संख्यात्मक अनुक्रम की परिभाषा दी गई है। अपरिमित रूप से बढ़ते, अभिसरण और अपसारी अनुक्रमों के उदाहरण माने जाते हैं। सभी परिमेय संख्याओं वाले अनुक्रम पर विचार किया जाता है।

विषय

यह सभी देखें:

परिभाषा

संख्यात्मक अनुक्रम (एक्स एन)- यह वह नियम (नियम) है जिसके अनुसार प्रत्येक प्राकृत संख्या के लिए n = 1, 2, 3, . . . कुछ संख्या x n असाइन की गई है।
तत्व x n को अनुक्रम का nवां सदस्य या तत्व कहा जाता है।

अनुक्रम को घुंघराले कोष्ठक में संलग्न nवें सदस्य के रूप में दर्शाया गया है: . निम्नलिखित पदनाम भी संभव हैं: . वे स्पष्ट रूप से कहते हैं कि सूचकांक n प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित है और यह कि अनुक्रम में सदस्यों की अनंत संख्या है। यहाँ अनुक्रमों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
, , .

दूसरे शब्दों में, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक ऐसा फलन है जिसका डोमेन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय होता है। अनुक्रम में तत्वों की संख्या अनंत है। तत्वों में समान मान वाले सदस्य भी हो सकते हैं। इसके अलावा, अनुक्रम को संख्याओं के एक क्रमांकित सेट के रूप में माना जा सकता है, जिसमें अनंत संख्या में सदस्य होते हैं।

हम मुख्य रूप से इस प्रश्न में रुचि लेंगे - जब n अनंत की ओर जाता है तो अनुक्रम कैसे व्यवहार करते हैं: । यह सामग्री अनुक्रम सीमा - मूल प्रमेय और गुण खंड में प्रस्तुत की गई है। और यहाँ हम अनुक्रमों के कुछ उदाहरण देखेंगे।

अनुक्रम उदाहरण

असीम रूप से बढ़ते अनुक्रमों के उदाहरण

आइए एक क्रम पर विचार करें। इस क्रम का सामान्य शब्द है। आइए पहले कुछ शब्द लिखें:
.
यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, तत्व सकारात्मक मूल्यों की ओर अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं। हम कह सकते हैं कि यह क्रम : पर जाता है।

अब एक सामान्य पद वाले अनुक्रम पर विचार करें। यहाँ इसके कुछ पहले सदस्य हैं:
.
जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, इस अनुक्रम के तत्व निरपेक्ष मान में अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं, लेकिन उनका कोई स्थिर चिह्न नहीं होता है। अर्थात्, यह क्रम : पर जाता है।

परिमित संख्या में परिवर्तित होने वाले अनुक्रमों के उदाहरण

आइए एक क्रम पर विचार करें। इसका सामान्य सदस्य पहली शर्तें इस प्रकार हैं:
.
यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, इस अनुक्रम के तत्व अपने सीमा मान a . तक पहुंचते हैं = 0 : पर । तो प्रत्येक बाद का पद पिछले एक की तुलना में शून्य के करीब है। एक मायने में, हम मान सकते हैं कि संख्या के लिए एक अनुमानित मूल्य है = 0 एक त्रुटि के साथ। यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, यह त्रुटि शून्य हो जाती है, अर्थात n को चुनकर त्रुटि को मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है। इसके अलावा, किसी भी त्रुटि के लिए ε > 0 ऐसी संख्या N निर्दिष्ट करना संभव है, कि N: से अधिक संख्या वाले सभी तत्वों के लिए, सीमा मान a से संख्या का विचलन त्रुटि ε: से अधिक नहीं होगा।

अगला, अनुक्रम पर विचार करें। इसका सामान्य सदस्य यहाँ इसके कुछ पहले सदस्य हैं:
.
इस क्रम में सम संख्या वाले पद शून्य होते हैं। विषम n वाले सदस्य हैं। इसलिए, जैसे-जैसे n बढ़ता है, उनके मान सीमित मान a . तक पहुंचते हैं = 0 . यह इस तथ्य से भी निकलता है कि
.
पिछले उदाहरण की तरह, हम मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि निर्दिष्ट कर सकते हैं > 0 , जिसके लिए ऐसी संख्या N ज्ञात करना संभव है कि N से अधिक संख्या वाले तत्व सीमा मान a से विचलित हो जाएंगे = 0 निर्दिष्ट त्रुटि से अधिक नहीं के मान से। इसलिए, यह क्रम मान a . में परिवर्तित हो जाता है = 0 : पर ।

अपसारी अनुक्रमों के उदाहरण

निम्नलिखित सामान्य शब्द वाले अनुक्रम पर विचार करें:

यहाँ इसके पहले सदस्य हैं:


.
यह देखा जा सकता है कि सम संख्याओं वाले पद:
,
मान a . में अभिसरण करें 1 = 0 . विषम संख्या वाले सदस्य:
,
मान a . में अभिसरण करें 2 = 2 . अनुक्रम स्वयं, जैसे n बढ़ता है, किसी भी मान में परिवर्तित नहीं होता है।

अंतराल में वितरित शर्तों के साथ अनुक्रम (0;1)

अब एक और दिलचस्प क्रम पर विचार करें। संख्या रेखा पर एक खंड लीजिए। आइए इसे आधे में विभाजित करें। हमें दो खंड मिलते हैं। रहने दो
.
प्रत्येक खंड को फिर से आधे में विभाजित किया गया है। हमें चार खंड मिलते हैं। रहने दो
.
प्रत्येक खंड को फिर से आधा में विभाजित करें। चलो ले लो


.
आदि।

नतीजतन, हम एक अनुक्रम प्राप्त करते हैं जिसके तत्व एक खुले अंतराल में वितरित किए जाते हैं (0; 1) . बंद अंतराल से हम जो भी बिंदु लेते हैं , हम हमेशा अनुक्रम के सदस्यों को ढूंढ सकते हैं जो मनमाने ढंग से इस बिंदु के करीब हैं, या इसके साथ मेल खाते हैं।

फिर मूल अनुक्रम से कोई एक ऐसे अनुक्रम को अलग कर सकता है जो अंतराल से एक मनमाना बिंदु में परिवर्तित हो जाएगा . अर्थात्, जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, बाद के सदस्य पूर्व-चयनित बिंदु के करीब और करीब आते जाएंगे।

उदाहरण के लिए, बिंदु a . के लिए = 0 आप निम्नलिखित बाद का चयन कर सकते हैं:
.
= 0 .

बिंदु a के लिए = 1 निम्नलिखित बाद का चयन करें:
.
इस बाद के सदस्य मान में परिवर्तित हो जाते हैं a = 1 .

चूंकि ऐसे अनुक्रम हैं जो विभिन्न मूल्यों में परिवर्तित होते हैं, मूल अनुक्रम स्वयं किसी संख्या में परिवर्तित नहीं होता है।

अनुक्रम जिसमें सभी परिमेय संख्याएँ हों

आइए अब एक ऐसा क्रम बनाएँ जिसमें सभी परिमेय संख्याएँ हों। इसके अलावा, प्रत्येक परिमेय संख्या को इस तरह के क्रम में अनंत बार शामिल किया जाएगा।

परिमेय संख्या r को निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:
,
एक पूर्णांक कहाँ है; - प्राकृतिक।
हमें प्रत्येक प्राकृत संख्या n को संख्या p और q का एक युग्म निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है ताकि p और q का कोई भी युग्म हमारे अनुक्रम में शामिल हो जाए।

ऐसा करने के लिए, समतल पर अक्ष p और q खीचें। हम पूर्णांक मानों p और q के माध्यम से ग्रिड रेखाएँ खींचते हैं। फिर इस ग्रिड का प्रत्येक नोड एक परिमेय संख्या के अनुरूप होगा। परिमेय संख्याओं के पूरे सेट को नोड्स के एक सेट द्वारा दर्शाया जाएगा। हमें सभी नोड्स को नंबर देने का एक तरीका खोजने की जरूरत है ताकि हम एक भी नोड को मिस न करें। यह करना आसान है यदि हम उन वर्गों के अनुसार नोड्स की संख्या करते हैं जिनके केंद्र बिंदु पर स्थित हैं (0; 0) (तस्वीर देखने)। इस मामले में, q . के साथ वर्गों के निचले हिस्से < 1 हमें नहीं चाहिए। इसलिए, उन्हें आकृति में नहीं दिखाया गया है।

तो, पहले वर्ग के ऊपरी हिस्से के लिए हमारे पास है:
.
अगला, हम अगले वर्ग के ऊपरी भाग को क्रमांकित करते हैं:

.
हम अगले वर्ग के ऊपरी भाग को संख्या देते हैं:

.
आदि।

इस प्रकार हमें एक अनुक्रम प्राप्त होता है जिसमें सभी परिमेय संख्याएँ होती हैं। यह देखा जा सकता है कि इस क्रम में कोई भी परिमेय संख्या अनंत बार प्रकट होती है। दरअसल, नोड के साथ, इस क्रम में नोड्स भी शामिल होंगे, जहां एक प्राकृतिक संख्या है। लेकिन ये सभी नोड्स एक ही परिमेय संख्या के अनुरूप हैं।

फिर हमारे द्वारा बनाए गए अनुक्रम से, हम एक अनुवर्ती (तत्वों की अनंत संख्या वाले) का चयन कर सकते हैं, जिसके सभी तत्व एक पूर्व निर्धारित परिमेय संख्या के बराबर हैं। चूंकि हमने जो अनुक्रम बनाया है, उसके बाद के क्रम अलग-अलग संख्याओं में परिवर्तित होते हैं, अनुक्रम किसी भी संख्या में परिवर्तित नहीं होता है।

निष्कर्ष

यहां हमने संख्यात्मक अनुक्रम की सटीक परिभाषा दी है। हमने सहज ज्ञान युक्त विचारों के आधार पर इसके अभिसरण के मुद्दे को भी छुआ। अनुक्रम की सीमा निर्धारित करने वाले पृष्ठ पर अभिसरण की सटीक परिभाषा पर चर्चा की गई है। संबंधित गुण और प्रमेय अनुक्रम सीमा - मूल प्रमेय और गुण पृष्ठ पर उल्लिखित हैं।

यह सभी देखें:

रहने दो एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)या तो वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है आर (\displaystyle \mathbb (आर)), या सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय सी (\displaystyle \mathbb (सी)). फिर क्रम ( x n ) n = 1 (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty ))तत्वों को सेट करें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बुलाया संख्यात्मक अनुक्रम.

उदाहरण

अनुक्रमों पर संचालन

परवर्ती

परिणाम को दृश्यों (x n) (\displaystyle (x_(n)))क्रम है (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), कहाँ पे (एन के) (\displaystyle (n_(k)))प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के तत्वों का बढ़ता क्रम है।

दूसरे शब्दों में, तत्वों की एक सीमित या गणनीय संख्या को हटाकर अनुक्रम से एक अनुक्रम प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण

• अभाज्य संख्याओं का क्रम प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम का एक क्रम है।
• प्राकृत संख्याओं का अनुक्रम जो कि गुणज हैं, सम प्राकृत संख्याओं के अनुक्रम का अनुवर्ती है।

गुण

अनुक्रम सीमा बिंदु किसी भी पड़ोस में एक बिंदु है जिसमें इस क्रम के असीम रूप से कई तत्व होते हैं। अभिसरण संख्यात्मक अनुक्रमों के लिए, सीमा बिंदु सीमा के साथ मेल खाता है।

अनुक्रम सीमा

अनुक्रम सीमा वह वस्तु है कि संख्या बढ़ने पर अनुक्रम के सदस्य निकट आते हैं। इस प्रकार, एक मनमाना टोपोलॉजिकल स्पेस में, अनुक्रम की सीमा किसी भी पड़ोस में एक तत्व है जिसमें अनुक्रम के सभी सदस्य किसी एक से शुरू होते हैं। विशेष रूप से, संख्यात्मक अनुक्रमों के लिए, सीमा किसी भी पड़ोस में एक संख्या है जिसमें अनुक्रम के सभी सदस्य किसी एक से शुरू होते हैं।

मौलिक क्रम

मौलिक अनुक्रम (स्व-अभिसरण अनुक्रम , कॉची अनुक्रम ) एक मीट्रिक स्थान के तत्वों का एक क्रम है, जिसमें, किसी भी पूर्व निर्धारित दूरी के लिए, एक ऐसा तत्व होता है, जिससे उसके बाद आने वाले किसी भी तत्व की दूरी दिए गए एक से अधिक नहीं होती है। संख्यात्मक अनुक्रमों के लिए, मौलिक और अभिसरण अनुक्रमों की अवधारणाएं समान हैं, लेकिन सामान्य स्थिति में ऐसा नहीं है।

गणित वह विज्ञान है जो दुनिया का निर्माण करता है। वैज्ञानिक और आम आदमी दोनों - इसके बिना कोई नहीं कर सकता। सबसे पहले, छोटे बच्चों को गिनना, फिर जोड़ना, घटाना, गुणा करना और विभाजित करना सिखाया जाता है, मिडिल स्कूल द्वारा, अक्षर पदनाम चलन में आ जाते हैं, और बड़े बच्चों में अब उन्हें दूर नहीं किया जा सकता है।

लेकिन आज हम बात करेंगे कि सभी ज्ञात गणित किस पर आधारित हैं। "अनुक्रम सीमा" नामक संख्याओं के समुदाय के बारे में।

अनुक्रम क्या हैं और उनकी सीमा कहाँ है?

"अनुक्रम" शब्द का अर्थ व्याख्या करना मुश्किल नहीं है। यह चीजों का एक ऐसा निर्माण है, जहां कोई या कुछ एक निश्चित क्रम या कतार में स्थित होता है। उदाहरण के लिए, चिड़ियाघर के टिकटों की कतार एक क्रम है। और केवल एक ही हो सकता है! यदि, उदाहरण के लिए, आप स्टोर की कतार को देखते हैं, तो यह एक क्रम है। और अगर एक व्यक्ति अचानक इस कतार को छोड़ देता है, तो यह एक अलग कतार है, एक अलग क्रम है।

"सीमा" शब्द की भी आसानी से व्याख्या की जाती है - यह किसी चीज का अंत है। हालाँकि, गणित में, अनुक्रमों की सीमाएँ संख्या रेखा पर वे मान हैं जो संख्याओं के एक क्रम की ओर प्रवृत्त होते हैं। क्यों प्रयास करता है और समाप्त नहीं होता है? यह आसान है, संख्या रेखा का कोई अंत नहीं है, और अधिकांश अनुक्रम, जैसे किरणें, केवल एक शुरुआत होती हैं और इस तरह दिखती हैं:

एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, ... एक्स एन ...

इसलिए अनुक्रम की परिभाषा प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है। सरल शब्दों में, यह कुछ सेट के सदस्यों की एक श्रृंखला है।

संख्या अनुक्रम कैसे बनाया जाता है?

संख्या अनुक्रम का सबसे सरल उदाहरण इस तरह दिख सकता है: 1, 2, 3, 4, …n…

ज्यादातर मामलों में, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अनुक्रम संख्याओं से बनाए जाते हैं, और श्रृंखला के प्रत्येक अगले सदस्य, चलो इसे एक्स द्वारा निरूपित करते हैं, इसका अपना नाम है। उदाहरण के लिए:

x 1 - अनुक्रम का पहला सदस्य;

x 2 - अनुक्रम का दूसरा सदस्य;

x 3 - तीसरा सदस्य;

x n nवाँ सदस्य है।

व्यावहारिक तरीकों में, अनुक्रम एक सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है जिसमें कुछ चर होता है। उदाहरण के लिए:

X n \u003d 3n, फिर संख्याओं की श्रृंखला स्वयं इस तरह दिखेगी:

यह याद रखने योग्य है कि अनुक्रमों के सामान्य अंकन में, आप किसी भी लैटिन अक्षर का उपयोग कर सकते हैं, न कि केवल X। उदाहरण के लिए: y, z, k, आदि।

अनुक्रमों के भाग के रूप में अंकगणितीय प्रगति

अनुक्रमों की सीमाओं की तलाश करने से पहले, ऐसी संख्या श्रृंखला की अवधारणा में गहराई से जाने की सलाह दी जाती है, जिसका सामना हर किसी ने तब किया जब वे मध्यम वर्ग में थे। एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें आसन्न पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है।

कार्य: "चलो 1 \u003d 15, और संख्या श्रृंखला d \u003d 4 की प्रगति का चरण। इस पंक्ति के पहले 4 सदस्यों का निर्माण करें"

हल: a 1 = 15 (शर्त के अनुसार) प्रगति (संख्या श्रृंखला) का पहला सदस्य है।

और 2 = 15+4=19 प्रगति का दूसरा सदस्य है।

और 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 तीसरा पद है।

और 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 चौथा पद है।

हालांकि, इस पद्धति के साथ बड़े मूल्यों तक पहुंचना मुश्किल है, उदाहरण के लिए, 125 तक। विशेष रूप से ऐसे मामलों के लिए, अभ्यास के लिए सुविधाजनक एक सूत्र प्राप्त किया गया था: a n \u003d a 1 + d (n-1)। इस मामले में, 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511।

अनुक्रम प्रकार

अधिकांश दृश्य अंतहीन हैं, यह जीवन भर याद रखने योग्य है। संख्या श्रृंखला के दो दिलचस्प प्रकार हैं। पहला सूत्र a n =(-1) n द्वारा दिया गया है। गणितज्ञ अक्सर इस फ्लैशर अनुक्रम का उल्लेख करते हैं। क्यों? आइए इसकी संख्या की जांच करें।

1, 1, -1, 1, -1, 1, आदि। इस उदाहरण से, यह स्पष्ट हो जाता है कि क्रम में संख्याओं को आसानी से दोहराया जा सकता है।

तथ्यात्मक अनुक्रम। यह अनुमान लगाना आसान है कि अनुक्रम को परिभाषित करने वाले सूत्र में एक भाज्य है। उदाहरण के लिए: और n = (n+1)!

फिर अनुक्रम इस तरह दिखेगा:

और 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

और 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, आदि।

एक अंकगणितीय प्रगति द्वारा दिए गए अनुक्रम को अनंत रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि असमानता -1 को उसके सभी सदस्यों के लिए मनाया जाता है

और 3 \u003d - 1/8, आदि।

यहां तक ​​​​कि एक ही संख्या से मिलकर एक क्रम भी है। तो, और n \u003d 6 में अनंत छक्के होते हैं।

अनुक्रम की सीमा निर्धारित करना

गणित में अनुक्रम सीमाएं लंबे समय से मौजूद हैं। बेशक, वे अपने स्वयं के सक्षम डिजाइन के लायक हैं। तो, अनुक्रम सीमा की परिभाषा सीखने का समय। सबसे पहले, एक रेखीय फलन की सीमा पर विस्तार से विचार करें:

1. सभी सीमाएं लिम के रूप में संक्षिप्त हैं।
2. सीमा प्रविष्टि में संक्षिप्त नाम सीमा होती है, कुछ चर एक निश्चित संख्या, शून्य या अनंत, साथ ही साथ कार्य भी करते हैं।

यह समझना आसान है कि अनुक्रम की सीमा की परिभाषा निम्नानुसार तैयार की जा सकती है: यह एक निश्चित संख्या है, जिसके लिए अनुक्रम के सभी सदस्य असीम रूप से पहुंचते हैं। सरल उदाहरण: और x = 4x+1। तो सिलसिला खुद ही कुछ इस तरह दिखेगा।

5, 9, 13, 17, 21…x…

इस प्रकार, यह क्रम अनिश्चित काल तक बढ़ेगा, जिसका अर्थ है कि इसकी सीमा x→∞ के रूप में अनंत के बराबर है, और इसे इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

यदि हम एक समान अनुक्रम लेते हैं, लेकिन x 1 की ओर प्रवृत्त होता है, तो हमें प्राप्त होता है:

और संख्याओं की श्रृंखला इस प्रकार होगी: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, आदि। हर बार आपको संख्या को अधिक से अधिक एक (0.1, 0.2, 0.9, 0.986) के करीब स्थानापन्न करने की आवश्यकता होती है। इस श्रृंखला से यह देखा जा सकता है कि फलन की सीमा पाँच है।

इस भाग से, यह याद रखने योग्य है कि संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा क्या है, सरल कार्यों को हल करने की परिभाषा और विधि।

अनुक्रमों की सीमा के लिए सामान्य संकेतन

संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा, इसकी परिभाषा और उदाहरणों का विश्लेषण करने के बाद, हम एक अधिक जटिल विषय पर आगे बढ़ सकते हैं। अनुक्रमों की बिल्कुल सभी सीमाएं एक सूत्र द्वारा तैयार की जा सकती हैं, जिसका आमतौर पर पहले सेमेस्टर में विश्लेषण किया जाता है।

तो, अक्षरों, मॉड्यूल और असमानता के संकेतों के इस सेट का क्या मतलब है?

एक सार्वभौमिक परिमाणक है, जो "सभी के लिए", "सब कुछ के लिए", आदि वाक्यांशों की जगह लेता है।

∃ एक अस्तित्व क्वांटिफायर है, इस मामले में इसका मतलब है कि प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित कुछ मूल्य एन है।

N का अनुसरण करने वाली एक लंबी खड़ी छड़ी का अर्थ है कि दिया गया सेट N "ऐसा है कि" है। व्यवहार में, इसका अर्थ "ऐसा", "ऐसा", आदि हो सकता है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, सूत्र को ज़ोर से पढ़ें।

अनिश्चितता और सीमा की निश्चितता

अनुक्रमों की सीमा को खोजने की विधि, जिसकी ऊपर चर्चा की गई थी, हालांकि उपयोग में सरल है, व्यवहार में इतनी तर्कसंगत नहीं है। इस फ़ंक्शन की सीमा खोजने का प्रयास करें:

यदि हम अलग-अलग x मानों को प्रतिस्थापित करते हैं (हर बार बढ़ते हुए: 10, 100, 1000, आदि), तो हमें अंश में मिलता है, लेकिन हर में भी। यह एक अजीब अंश निकला:

लेकिन क्या सच में ऐसा है? इस मामले में संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की गणना करना काफी आसान लगता है। सब कुछ वैसे ही छोड़ना संभव होगा, क्योंकि उत्तर तैयार है, और इसे उचित शर्तों पर प्राप्त किया गया था, लेकिन ऐसे मामलों के लिए विशेष रूप से एक और तरीका है।

सबसे पहले, आइए भिन्न के अंश में उच्चतम डिग्री ज्ञात करें - यह 1 है, क्योंकि x को x 1 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए अब हर में उच्चतम डिग्री ज्ञात करें। साथ ही 1.

अंश और हर दोनों को चर द्वारा उच्चतम अंश तक विभाजित करें। इस मामले में, हम भिन्न को x 1 से विभाजित करते हैं।

इसके बाद, आइए जानें कि वेरिएबल वाले प्रत्येक पद का क्या मान होता है। इस मामले में, अंशों पर विचार किया जाता है। x→∞ के रूप में, प्रत्येक भिन्न का मान शून्य हो जाता है। लिखित रूप में एक पेपर बनाते समय, निम्नलिखित फुटनोट बनाने लायक है:

निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है:

बेशक, x वाले भिन्न शून्य नहीं बने! लेकिन उनका मूल्य इतना छोटा है कि गणना में इसे ध्यान में नहीं रखना काफी अनुमेय है। वास्तव में, इस मामले में x कभी भी 0 के बराबर नहीं होगा, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

पड़ोस क्या है?

आइए मान लें कि प्रोफेसर के पास अपने निपटान में एक जटिल अनुक्रम है, जाहिर है, कम जटिल सूत्र द्वारा दिया गया है। प्रोफेसर को जवाब मिल गया, लेकिन क्या यह सही है? आखिर सभी लोग गलती करते हैं।

अगस्टे कॉची दृश्यों की सीमा को साबित करने के लिए एक शानदार तरीका लेकर आए। उनके तरीके को पड़ोस ऑपरेशन कहा जाता था।

मान लीजिए कि कोई बिंदु a है, वास्तविक रेखा पर दोनों दिशाओं में इसका पड़ोस ε ("एप्सिलॉन") के बराबर है। चूँकि अंतिम चर दूरी है, इसका मान हमेशा धनात्मक होता है।

आइए अब कुछ अनुक्रम x n सेट करें और मान लें कि अनुक्रम का दसवां सदस्य (x 10) a के पड़ोस में शामिल है। इस तथ्य को गणितीय भाषा में कैसे लिखें?

मान लीजिए x 10 बिंदु a के दाईं ओर है, तो दूरी x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

अब समय आ गया है कि ऊपर बताए गए फॉर्मूले को व्यवहारिक रूप से समझाया जाए। किसी संख्या को अनुक्रम का अंतिम बिंदु कहना उचित है यदि असमानता ε>0 इसकी किसी भी सीमा के लिए है, और पूरे पड़ोस की अपनी प्राकृतिक संख्या N है, जैसे कि उच्च संख्या वाले अनुक्रम के सभी सदस्य होंगे अनुक्रम के अंदर |x n - a|< ε.

इस तरह के ज्ञान के साथ, अनुक्रम की सीमाओं को हल करना, तैयार उत्तर को साबित करना या अस्वीकार करना आसान है।

प्रमेयों

अनुक्रमों की सीमा पर प्रमेय सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण घटक है, जिसके बिना अभ्यास असंभव है। केवल चार मुख्य प्रमेय हैं, जिन्हें याद करके, आप हल करने या सिद्ध करने की प्रक्रिया को महत्वपूर्ण रूप से सुविधाजनक बना सकते हैं:

1. एक अनुक्रम की सीमा की विशिष्टता। किसी भी क्रम की केवल एक सीमा हो सकती है या बिल्कुल नहीं। कतार के साथ एक ही उदाहरण जिसमें केवल एक छोर हो सकता है।
2. यदि संख्याओं की एक श्रृंखला की एक सीमा होती है, तो इन संख्याओं का क्रम सीमित होता है।
3. अनुक्रमों के योग (अंतर, उत्पाद) की सीमा उनकी सीमाओं के योग (अंतर, उत्पाद) के बराबर है।
4. दो अनुक्रमों की भागफल सीमा सीमा के भागफल के बराबर होती है यदि और केवल यदि हर गायब नहीं होता है।

अनुक्रम प्रमाण

कभी-कभी एक प्रतिलोम समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है, एक संख्यात्मक अनुक्रम की दी गई सीमा को सिद्ध करने के लिए। आइए एक उदाहरण देखें।

सिद्ध कीजिए कि सूत्र द्वारा दिए गए अनुक्रम की सीमा शून्य के बराबर है।

उपरोक्त नियम के अनुसार, किसी भी अनुक्रम के लिए असमानता |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

आइए एक निश्चित संख्या के अस्तित्व को दिखाने और अनुक्रम सीमा के अस्तित्व को साबित करने के लिए "एप्सिलॉन" के संदर्भ में n व्यक्त करें।

इस स्तर पर, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि "एप्सिलॉन" और "एन" सकारात्मक संख्याएं हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं। अब आप हाई स्कूल में प्राप्त असमानताओं के बारे में ज्ञान का उपयोग करके आगे के परिवर्तन जारी रख सकते हैं।

जहां से यह पता चलता है कि n > -3 + 1/ε. चूंकि यह याद रखने योग्य है कि हम प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, परिणाम को वर्ग कोष्ठक में रखकर गोल किया जा सकता है। इस प्रकार, यह साबित हो गया कि बिंदु a = 0 के "एप्सिलॉन" पड़ोस के किसी भी मूल्य के लिए, एक मान पाया गया था कि प्रारंभिक असमानता संतुष्ट है। इससे हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि संख्या a दिए गए अनुक्रम की सीमा है। क्यू.ई.डी.

इस तरह की एक सुविधाजनक विधि से, आप एक संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा को साबित कर सकते हैं, चाहे वह पहली नज़र में कितना भी जटिल क्यों न हो। मुख्य बात यह है कि कार्य को देखकर घबराना नहीं है।

या शायद वह मौजूद नहीं है?

व्यवहार में अनुक्रम सीमा का अस्तित्व आवश्यक नहीं है। संख्याओं की ऐसी श्रृंखला खोजना आसान है जिसका वास्तव में कोई अंत नहीं है। उदाहरण के लिए, वही फ्लैशर x n = (-1) n । यह स्पष्ट है कि चक्रीय रूप से दोहराए जाने वाले केवल दो अंकों वाले अनुक्रम की सीमा नहीं हो सकती है।

एक ही कहानी को अनुक्रमों के साथ दोहराया जाता है जिसमें एकल संख्या, भिन्नात्मक, गणना के दौरान किसी भी क्रम की अनिश्चितता (0/0, ∞/∞, ∞/0, आदि) होती है। हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि गलत गणना भी होती है। कभी-कभी अपने स्वयं के समाधान की पुन: जाँच करने से आपको उत्तराधिकार की सीमा का पता लगाने में मदद मिलेगी।

मोनोटोनिक अनुक्रम

ऊपर, हमने अनुक्रमों के कई उदाहरणों पर विचार किया, उन्हें हल करने के तरीके, और अब आइए एक और विशिष्ट मामला लेने का प्रयास करें और इसे "मोनोटोन अनुक्रम" कहें।

परिभाषा: किसी भी अनुक्रम को नीरस रूप से बढ़ाना उचित है यदि वह सख्त असमानता को संतुष्ट करता है x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >एक्स एन +1।

इन दो स्थितियों के साथ, समान गैर-सख्त असमानताएँ भी हैं। तदनुसार, x n x n +1 (गैर-घटते अनुक्रम) और x n x n +1 (गैर-बढ़ते अनुक्रम)।

लेकिन इसे उदाहरणों से समझना आसान है।

सूत्र x n \u003d 2 + n द्वारा दिया गया अनुक्रम संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला बनाता है: 4, 5, 6, आदि। यह एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ क्रम है।

और अगर हम x n \u003d 1 / n लेते हैं, तो हमें एक श्रृंखला मिलती है: 1/3, , 1/5, आदि। यह एक नीरस रूप से घटते क्रम है।

अभिसरण और परिबद्ध अनुक्रम की सीमा

एक बाउंडेड सीक्वेंस एक सीक्वेंस है जिसकी एक सीमा होती है। एक अभिसरण अनुक्रम संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें एक अनंत सीमा होती है।

इस प्रकार, एक परिबद्ध अनुक्रम की सीमा कोई वास्तविक या सम्मिश्र संख्या होती है। याद रखें कि केवल एक सीमा हो सकती है।

अभिसारी अनुक्रम की सीमा एक अतिसूक्ष्म मात्रा (वास्तविक या जटिल) है। यदि आप एक अनुक्रम आरेख बनाते हैं, तो एक निश्चित बिंदु पर यह, जैसा कि यह था, अभिसरण होगा, एक निश्चित मूल्य में बदल जाएगा। इसलिए नाम - अभिसरण अनुक्रम।

मोनोटोनिक अनुक्रम सीमा

इस तरह के अनुक्रम की सीमा हो भी सकती है और नहीं भी। सबसे पहले, यह समझना उपयोगी है कि यह कब है, यहां से आप सीमा की अनुपस्थिति को साबित करते समय शुरू कर सकते हैं।

मोनोटोनिक अनुक्रमों में, अभिसरण और विचलन प्रतिष्ठित हैं। अभिसारी - यह एक अनुक्रम है जो समुच्चय x द्वारा बनता है और इस समुच्चय में इसकी वास्तविक या जटिल सीमा होती है। अपसारी - एक अनुक्रम जिसके सेट में कोई सीमा नहीं है (न तो वास्तविक और न ही जटिल)।

इसके अलावा, अनुक्रम अभिसरण करता है यदि इसकी ऊपरी और निचली सीमाएं एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व में परिवर्तित हो जाती हैं।

अभिसारी अनुक्रम की सीमा कई मामलों में शून्य के बराबर हो सकती है, क्योंकि किसी भी अतिसूक्ष्म अनुक्रम की एक ज्ञात सीमा (शून्य) होती है।

आप जो भी अभिसरण अनुक्रम लें, वे सभी बंधे हुए हैं, लेकिन सभी बंधे हुए अनुक्रमों से बहुत दूर हैं।

दो अभिसारी अनुक्रमों का योग, अंतर, गुणनफल भी एक अभिसारी अनुक्रम है। हालाँकि, भागफल परिभाषित होने पर अभिसरण भी कर सकता है!

सीमा के साथ विभिन्न क्रियाएं

अनुक्रम सीमाएँ उतनी ही महत्वपूर्ण (ज्यादातर मामलों में) हैं जितनी संख्याएँ और संख्याएँ: 1, 2, 15, 24, 362, आदि। यह पता चला है कि कुछ संचालन सीमा के साथ किए जा सकते हैं।

सबसे पहले, अंकों और संख्याओं की तरह, किसी भी अनुक्रम की सीमाओं को जोड़ा और घटाया जा सकता है। अनुक्रमों की सीमा पर तीसरे प्रमेय के आधार पर, निम्नलिखित समानता सत्य है: अनुक्रमों के योग की सीमा उनकी सीमाओं के योग के बराबर है।

दूसरे, अनुक्रमों की सीमाओं पर चौथे प्रमेय के आधार पर, निम्नलिखित समानता सत्य है: अनुक्रमों की nवीं संख्या के गुणनफल की सीमा उनकी सीमाओं के गुणनफल के बराबर होती है। विभाजन के लिए भी यही सच है: दो अनुक्रमों के भागफल की सीमा उनकी सीमाओं के भागफल के बराबर होती है, बशर्ते कि सीमा शून्य के बराबर न हो। आखिरकार, यदि अनुक्रमों की सीमा शून्य के बराबर है, तो शून्य से भाग निकलेगा, जो असंभव है।

अनुक्रम मान गुण

ऐसा लगता है कि संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा का पहले ही कुछ विस्तार से विश्लेषण किया जा चुका है, लेकिन "असीम रूप से छोटे" और "असीम रूप से बड़े" जैसे वाक्यांशों का एक से अधिक बार उल्लेख किया गया है। जाहिर है, अगर कोई अनुक्रम 1/x है, जहां x→∞, तो ऐसा अंश असीम रूप से छोटा होता है, और यदि समान अनुक्रम होता है, लेकिन सीमा शून्य (x→0) हो जाती है, तो अंश एक असीम रूप से बड़ा मान बन जाता है . और ऐसे मूल्यों की अपनी विशेषताएं हैं। मनमाना छोटे या बड़े मान वाले अनुक्रम की सीमा के गुण इस प्रकार हैं:

1. मनमाने ढंग से छोटी मात्राओं की किसी भी संख्या का योग भी एक छोटी मात्रा होगी।
2. किसी भी संख्या में बड़े मानों का योग असीम रूप से बड़ा मान होगा।
3. मनमाने ढंग से छोटी मात्राओं का गुणनफल अपरिमित रूप से छोटा होता है।
4. मनमाने ढंग से बड़ी संख्या का गुणनफल एक अपरिमित रूप से बड़ी मात्रा है।
5. यदि मूल अनुक्रम एक अनंत संख्या की ओर प्रवृत्त होता है, तो इसका व्युत्क्रम अपरिमित होगा और शून्य की ओर प्रवृत्त होगा।

वास्तव में, यदि आप एक सरल एल्गोरिथम को जानते हैं, तो अनुक्रम की सीमा की गणना करना इतना कठिन कार्य नहीं है। लेकिन अनुक्रमों की सीमा एक ऐसा विषय है जिस पर अधिकतम ध्यान और दृढ़ता की आवश्यकता होती है। बेशक, इस तरह के भावों के समाधान के सार को समझने के लिए पर्याप्त है। छोटे से शुरू करके, समय के साथ, आप बड़ी ऊंचाइयों तक पहुंच सकते हैं।

संख्यात्मक अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित एक संख्यात्मक फलन कहलाता है .

यदि फलन प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर दिया जाता है
, तो फ़ंक्शन के मानों का सेट गणनीय होगा और प्रत्येक संख्या
संख्या का मिलान किया गया
. इस मामले में, हम कहते हैं कि दिया गया संख्यात्मक अनुक्रम. नंबर कहलाते हैं तत्वोंया अनुक्रम के सदस्य, और संख्या - सामान्य या - अनुक्रम का सदस्य। प्रत्येक तत्व एक अनुयायी है
. यह "अनुक्रम" शब्द के उपयोग की व्याख्या करता है।

अनुक्रम आमतौर पर या तो इसके तत्वों को सूचीबद्ध करके या उस कानून को इंगित करके निर्दिष्ट किया जाता है जिसके द्वारा संख्या वाले तत्व की गणना की जाती है , अर्थात। सूत्र का संकेत वां सदस्य .

उदाहरण।परिणाम को
सूत्र द्वारा दिया जा सकता है:
.

आमतौर पर अनुक्रमों को निम्नानुसार दर्शाया जाता है: आदि, जहां इसका सूत्र वें सदस्य।

उदाहरण।परिणाम को
‑यह क्रम है

अनुक्रम के सभी तत्वों का समुच्चय
लक्षित
.

रहने दो
और
- दो क्रम।

साथ में उम्माहदृश्यों
और
अनुक्रम को बुलाओ
, कहाँ पे
, अर्थात..

आर अज़्नोस्तिकइन अनुक्रमों में से अनुक्रम कहा जाता है
, कहाँ पे
, अर्थात..

यदि एक और ‑ स्थिरांक, फिर अनुक्रम
,
बुलाया रैखिक संयोजन दृश्यों
और
, अर्थात।

कामदृश्यों
और
अनुक्रम को बुलाओ -वें सदस्य
, अर्थात।
.

यदि एक
, तो यह निर्धारित करना संभव है निजी
.

अनुक्रमों का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल
और
वे कहते हैं बीजगणितीयरचनाओं.

उदाहरण।अनुक्रमों पर विचार करें
और
, कहाँ पे। फिर
, अर्थात। परिणाम को
सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

,
, अर्थात। गुणनफल और भागफल के सभी अवयव बराबर हैं
.

अगर हम अनुक्रम के कुछ तत्वों को पार करते हैं
ताकि अनंत संख्या में तत्व बचे हों, फिर हमें एक और क्रम मिलता है, जिसे कहा जाता है परिणाम कोदृश्यों
. यदि हम अनुक्रम के पहले कुछ तत्वों को काट दें
, तब नया क्रम कहलाता है शेष.

परिणाम को
सीमितऊपर(नीचे की ओर से) अगर सेट
ऊपर से सीमित (नीचे से)। अनुक्रम कहा जाता है सीमितअगर यह ऊपर और नीचे से घिरा है। एक अनुक्रम परिबद्ध होता है यदि और केवल यदि इसके शेष में से कोई भी परिबद्ध हो।

अभिसरण अनुक्रम

वे कहते हैं कि परिणाम को
यदि कोई संख्या है तो अभिसरण करता है ऐसा कि किसी के लिए
ऐसा है
, जो किसी के लिए
, निम्नलिखित असमानता रखती है:
.

संख्या बुलाया अनुक्रम सीमा
. उसी समय, वे रिकॉर्ड करते हैं
या
.

उदाहरण।
.

आइए दिखाते हैं कि
. कोई भी नंबर सेट करें
. असमानता
के लिए प्रदर्शन किया
, ऐसा है कि
कि अभिसरण की परिभाषा संख्या के लिए रखती है
. माध्यम,
.

दूसरे शब्दों में
इसका मतलब है कि अनुक्रम के सभी सदस्य
पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या के साथ संख्या से थोड़ा भिन्न होता है , अर्थात। कुछ नंबर से शुरू
(जब) अनुक्रम के तत्व अंतराल में हों
, इससे कहते है -बिंदु का पड़ोस .

परिणाम को
, जिसकी सीमा शून्य के बराबर है (
, या
पर
) कहा जाता है बहुत छोता.

जैसा कि इनफिनिटसिमल्स पर लागू होता है, निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

दो अतिसूक्ष्मों का योग अपरिमित है;

एक परिबद्ध मान से एक इनफिनिटिमल का गुणनफल एक इनफिनिटिमल होता है।

प्रमेय .क्रम के लिए
एक सीमा थी, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि
, कहाँ पे - लगातार; - असीम रूप से छोटा .

अभिसरण अनुक्रमों के मुख्य गुण:

गुण 3. और 4. अभिसरण अनुक्रमों की किसी भी संख्या के मामले में सामान्यीकरण करें।

ध्यान दें कि एक भिन्न की सीमा की गणना करते समय जिसका अंश और हर शक्तियों के रैखिक संयोजन होते हैं , भिन्न की सीमा उच्चतम पदों के अनुपात की सीमा के बराबर है (अर्थात, सबसे बड़ी घात वाले पद मीटर और विभाजक)।

परिणाम को
बुलाया:

ऐसे सभी क्रम कहलाते हैं नीरस.

प्रमेय . यदि क्रम
नीरस रूप से बढ़ता है और ऊपर से घिरा होता है, फिर यह अभिसरण करता है और इसकी सीमा इसकी सबसे बड़ी ऊपरी सीमा के बराबर होती है; यदि अनुक्रम घट रहा है और नीचे से घिरा हुआ है, तो यह अपनी सबसे बड़ी निचली सीमा में परिवर्तित हो जाता है।

यदि किसी फलन को प्राकृत संख्याओं N के समुच्चय पर परिभाषित किया जाता है, तो ऐसे फलन को अनंत संख्या क्रम कहते हैं। आमतौर पर, एक संख्यात्मक अनुक्रम को (Xn) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां n प्राकृतिक संख्या N के सेट से संबंधित है।

संख्यात्मक अनुक्रम एक सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, Xn=1/(2*n)। इस प्रकार, हम प्रत्येक प्राकृत संख्या n को अनुक्रम के कुछ निश्चित अवयव (Xn) प्रदान करते हैं।

यदि अब हम क्रमशः n को 1,2,3, …. के बराबर लेते हैं, तो हमें अनुक्रम (Xn) प्राप्त होता है: ½, , 1/6, …, 1/(2*n), …

अनुक्रम प्रकार

अनुक्रम सीमित या असीमित हो सकता है, बढ़ या घट सकता है।

अनुक्रम (Xn) कॉल सीमितयदि दो संख्याएँ m और M इस प्रकार हैं कि प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से संबंधित किसी भी n के लिए, समानता m<=Xn

अनुक्रम (एक्सएन), सीमित नहीं,असंबद्ध क्रम कहलाता है।

की बढ़तीयदि सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए निम्नलिखित समानता है: X(n+1) > Xn। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से बड़ा होना चाहिए।

अनुक्रम (Xn) कहा जाता है घट रहा है,यदि सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए निम्नलिखित समानता X(n+1) रखती है< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

अनुक्रम उदाहरण

आइए देखें कि क्या क्रम 1/n और (n-1)/n घट रहे हैं।

यदि अनुक्रम घट रहा है, तो X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(एन -1) / एन:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. तो अनुक्रम (n-1)/n है की बढ़ती।