विएटा की प्रमेय - यह अवधारणा स्कूल के दिनों से लगभग सभी से परिचित है। लेकिन क्या यह वास्तव में "परिचित" है? रोजमर्रा की जिंदगी में कम ही लोग इससे मिलते हैं। लेकिन गणित से संबंधित सभी लोग कभी-कभी इस प्रमेय के गहरे अर्थ और महान महत्व को पूरी तरह से नहीं समझते हैं।

विएटा का प्रमेय बड़ी संख्या में गणितीय समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया को बहुत सुविधाजनक बनाता है, जो अंततः हल करने के लिए नीचे आते हैं:

इस तरह के एक सरल और प्रभावी गणितीय उपकरण के महत्व को समझने के बाद, कोई भी अनजाने में उस व्यक्ति के बारे में सोचता है जिसने इसे सबसे पहले खोजा था।

एक वकील के रूप में अपना करियर शुरू करने वाले प्रसिद्ध फ्रांसीसी वैज्ञानिक। लेकिन, जाहिर है, गणित उनकी बुलाहट थी। एक सलाहकार के रूप में शाही सेवा में रहते हुए, वह स्पेन के राजा से नीदरलैंड तक एक इंटरसेप्टेड एन्क्रिप्टेड संदेश को पढ़ने में सक्षम होने के लिए प्रसिद्ध हो गए। इससे फ्रांसीसी राजा हेनरी III को अपने विरोधियों के सभी इरादों के बारे में जानने का मौका मिला।

धीरे-धीरे गणितीय ज्ञान से परिचित होते हुए, फ्रेंकोइस वियत इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि उस समय के "बीजगणित" के नवीनतम शोध और पूर्वजों की गहरी ज्यामितीय विरासत के बीच घनिष्ठ संबंध होना चाहिए। वैज्ञानिक अनुसंधान के दौरान, उन्होंने लगभग संपूर्ण प्रारंभिक बीजगणित का विकास और सूत्रीकरण किया। वह गणितीय तंत्र में शाब्दिक मूल्यों के उपयोग की शुरुआत करने वाले पहले व्यक्ति थे, जो अवधारणाओं के बीच स्पष्ट रूप से अंतर करते थे: संख्या, परिमाण और उनके संबंध। वियत ने साबित किया कि प्रतीकात्मक रूप में संचालन करके, सामान्य मामले के लिए समस्या को हल करना संभव है, दी गई मात्रा के लगभग किसी भी मूल्य के लिए।

दूसरे की तुलना में उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए उनके शोध के परिणामस्वरूप एक प्रमेय निकला जिसे अब सामान्यीकृत विएटा प्रमेय के रूप में जाना जाता है। यह बहुत व्यावहारिक महत्व का है, और इसके आवेदन से उच्च क्रम के समीकरणों को जल्दी से हल करना संभव हो जाता है।

इस प्रमेय का एक गुण इस प्रकार है: सभी nवें घातों का गुणनफल इसके अचर पद के बराबर होता है। बहुपद के क्रम को कम करने के लिए तीसरी या चौथी डिग्री के समीकरणों को हल करते समय अक्सर इस संपत्ति का उपयोग किया जाता है। यदि nवीं डिग्री वाले बहुपद के पूर्णांक मूल हों, तो उन्हें सरल चयन द्वारा आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। और फिर बहुपद को व्यंजक (x-x1) से भाग देने पर हमें बहुपद (n-1)-th घात प्राप्त होता है।

अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि विएटा का प्रमेय स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम के सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है। और उनका नाम महान गणितज्ञों के नामों में एक योग्य स्थान रखता है।

गणित में, ऐसी विशेष तरकीबें हैं जिनके साथ कई द्विघात समीकरण बहुत जल्दी और बिना किसी भेदभाव के हल हो जाते हैं। इसके अलावा, उचित प्रशिक्षण के साथ, कई लोग द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से हल करना शुरू करते हैं, शाब्दिक रूप से "एक नज़र में।"

दुर्भाग्य से, स्कूली गणित के आधुनिक पाठ्यक्रम में, ऐसी तकनीकों का लगभग अध्ययन नहीं किया जाता है। और आपको पता होना चाहिए! और आज हम इनमें से एक तकनीक पर विचार करेंगे - विएटा की प्रमेय। सबसे पहले, आइए एक नई परिभाषा पेश करें।

x 2 + bx + c = 0 के रूप का द्विघात समीकरण घटा हुआ कहलाता है। कृपया ध्यान दें कि x 2 पर गुणांक 1 के बराबर है। गुणांकों पर कोई अन्य प्रतिबंध नहीं हैं।

1. x 2 + 7x + 12 = 0 घटा हुआ द्विघात समीकरण है;
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - भी घटाया गया;
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - लेकिन यह कुछ भी कम नहीं है, क्योंकि x 2 पर गुणांक 2 है।

बेशक, कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 के रूप के किसी भी द्विघात समीकरण को कम किया जा सकता है - यह सभी गुणांक को संख्या ए से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। हम हमेशा ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि द्विघात समीकरण की परिभाषा का अर्थ है कि 0.

सच है, जड़ें खोजने के लिए ये परिवर्तन हमेशा उपयोगी नहीं होंगे। थोड़ा कम, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि यह तभी किया जाना चाहिए जब अंतिम वर्ग समीकरण में सभी गुणांक पूर्णांक हों। अभी के लिए, आइए कुछ सरल उदाहरण देखें:

काम। द्विघात समीकरण को घटा में बदलें:

1. 3x2 -12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x - 11 = 0.

आइए प्रत्येक समीकरण को चर x 2 के गुणांक से विभाजित करें। हम पाते हैं:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 x 2 - 4x + 6 = 0 - सब कुछ 3 से विभाजित;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4 से विभाजित;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - 1.5 से विभाजित, सभी गुणांक पूर्णांक बन गए;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - 2 से विभाजित। इस मामले में, भिन्नात्मक गुणांक उत्पन्न हुए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दिए गए द्विघात समीकरणों में पूर्णांक गुणांक हो सकते हैं, भले ही मूल समीकरण में भिन्न हों।

अब हम मुख्य प्रमेय तैयार करते हैं, जिसके लिए, वास्तव में, एक कम द्विघात समीकरण की अवधारणा पेश की गई थी:

विएटा का प्रमेय। x 2 + bx + c \u003d 0 के रूप के कम द्विघात समीकरण पर विचार करें। मान लीजिए कि इस समीकरण की वास्तविक जड़ें x 1 और x 2 हैं। इस मामले में, निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1. x1 + x2 = -बी। दूसरे शब्दों में, दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग, विपरीत चिह्न से लिए गए चर x के गुणांक के बराबर होता है;
2. एक्स 1 एक्स 2 = सी। द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त गुणांक के बराबर होता है।

उदाहरण। सादगी के लिए, हम केवल दिए गए द्विघात समीकरणों पर विचार करेंगे जिन्हें अतिरिक्त परिवर्तनों की आवश्यकता नहीं है:

1. x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (-9) = 9; एक्स 1 एक्स 2 = 20; जड़ें: x 1 = 4; एक्स 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -2; एक्स 1 एक्स 2 \u003d -15; जड़ें: x 1 = 3; एक्स 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -5; एक्स 1 एक्स 2 = 4; जड़ें: x 1 \u003d -1; एक्स 2 \u003d -4।

विएटा का प्रमेय हमें द्विघात समीकरण की जड़ों के बारे में अतिरिक्त जानकारी देता है। पहली नज़र में, यह जटिल लग सकता है, लेकिन न्यूनतम प्रशिक्षण के साथ भी, आप जड़ों को "देखना" सीखेंगे और सचमुच कुछ ही सेकंड में उनका अनुमान लगा लेंगे।

काम। द्विघात समीकरण को हल करें:

1. x2 - 9x + 14 = 0;
2. एक्स 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x - 210 = 0.

आइए विएटा प्रमेय के अनुसार गुणांकों को लिखने का प्रयास करें और जड़ों का "अनुमान लगाएं":

1. x 2 - 9x + 14 = 0 घटा हुआ द्विघात समीकरण है।
   वीटा प्रमेय से, हमारे पास है: x 1 + x 2 = -(-9) = 9; x 1 x 2 = 14. यह देखना आसान है कि मूल संख्या 2 और 7 हैं;
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - भी घटाया गया।
   वीटा प्रमेय द्वारा: x 1 + x 2 = -(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. इसलिए मूल: 3 और 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - यह समीकरण कम नहीं होता है। लेकिन अब हम समीकरण के दोनों पक्षों को गुणांक a \u003d 3 से विभाजित करके इसे ठीक कर देंगे। हमें मिलता है: x 2 + 11x + 10 \u003d 0।
   हम वियत प्रमेय के अनुसार हल करते हैं: x 1 + x 2 = -11; x 1 x 2 = 10 मूल: −10 और −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0 - फिर से x 2 पर गुणांक 1 के बराबर नहीं है, अर्थात। समीकरण नहीं दिया। हम प्रत्येक वस्तु को संख्या a = −7 से भाग देते हैं। हम पाते हैं: x 2 - 11x + 30 = 0।
   वीटा प्रमेय द्वारा: x 1 + x 2 = -(−11) = 11; एक्स 1 एक्स 2 = 30; इन समीकरणों से जड़ों का अनुमान लगाना आसान है: 5 और 6।

उपरोक्त तर्क से, यह देखा जा सकता है कि विएटा का प्रमेय द्विघात समीकरणों के समाधान को कैसे सरल करता है। कोई जटिल गणना नहीं, कोई अंकगणितीय जड़ें और अंश नहीं। और यहां तक ​​​​कि विवेचक (पाठ देखें " द्विघात समीकरणों को हल करना") हमें इसकी आवश्यकता नहीं थी।

बेशक, हमारे सभी प्रतिबिंबों में, हम दो महत्वपूर्ण मान्यताओं से आगे बढ़े, जो आम तौर पर वास्तविक समस्याओं में हमेशा पूरी नहीं होती हैं:

1. द्विघात समीकरण कम हो जाता है, अर्थात। x 2 पर गुणांक 1 है;
2. समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। बीजगणित की दृष्टि से, इस मामले में विवेचक D > 0 - वास्तव में, हम शुरू में यह मान लेते हैं कि यह असमानता सत्य है।

हालाँकि, विशिष्ट गणितीय समस्याओं में ये शर्तें पूरी होती हैं। यदि, गणनाओं के परिणामस्वरूप, एक "खराब" द्विघात समीकरण प्राप्त होता है (x 2 पर गुणांक 1 से भिन्न होता है), तो इसे ठीक करना आसान है - पाठ की शुरुआत में उदाहरणों पर एक नज़र डालें। मैं आमतौर पर जड़ों के बारे में चुप रहता हूं: यह किस तरह का काम है जिसमें कोई जवाब नहीं है? बेशक जड़ें होंगी।

इस प्रकार, वियत प्रमेय के अनुसार द्विघात समीकरणों को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

1. द्विघात समीकरण को दिए गए समीकरण में कम करें, यदि यह पहले से ही समस्या की स्थिति में नहीं किया गया है;
2. यदि उपरोक्त द्विघात समीकरण के गुणांक भिन्नात्मक निकले, तो हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं। तुम भी अधिक "सुविधाजनक" संख्याओं के साथ काम करने के लिए मूल समीकरण पर वापस जा सकते हैं;
3. पूर्णांक गुणांकों के मामले में, हम वियत प्रमेय का उपयोग करके समीकरण को हल करते हैं;
4. यदि कुछ सेकंड के भीतर जड़ों का अनुमान लगाना संभव नहीं था, तो हम विएटा प्रमेय पर स्कोर करते हैं और विवेचक के माध्यम से हल करते हैं।

काम। समीकरण हल करें: 5x 2 - 35x + 50 = 0।

तो, हमारे पास एक समीकरण है जो कम नहीं है, क्योंकि गुणांक a \u003d 5. सब कुछ 5 से विभाजित करें, हमें मिलता है: x 2 - 7x + 10 \u003d 0।

द्विघात समीकरण के सभी गुणांक पूर्णांक हैं - आइए विएटा प्रमेय का उपयोग करके हल करने का प्रयास करें। हमारे पास है: x 1 + x 2 = -(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. इस मामले में, जड़ों का अनुमान लगाना आसान है - ये 2 और 5 हैं। आपको विवेचक के माध्यम से गिनने की आवश्यकता नहीं है।

काम। समीकरण हल करें: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0।

हम देखते हैं: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - यह समीकरण कम नहीं हुआ है, हम दोनों पक्षों को गुणांक a = -5 से विभाजित करते हैं। हमें मिलता है: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - भिन्नात्मक गुणांक वाला एक समीकरण।

मूल समीकरण पर वापस लौटना और विभेदक के माध्यम से गिनना बेहतर है: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 D = 8 2 - 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; एक्स 2 \u003d 0.4।

काम। समीकरण को हल करें: 2x 2 + 10x - 600 = 0।

शुरू करने के लिए, हम सब कुछ गुणांक a \u003d 2 से विभाजित करते हैं। हमें समीकरण x 2 + 5x - 300 \u003d 0 मिलता है।

वीटा प्रमेय के अनुसार यह घटा हुआ समीकरण है: x 1 + x 2 = −5; एक्स 1 एक्स 2 \u003d -300। इस मामले में द्विघात समीकरण की जड़ों का अनुमान लगाना मुश्किल है - व्यक्तिगत रूप से, जब मैंने इस समस्या को हल किया तो मैं गंभीरता से "जम गया"।

हमें विभेदक के माध्यम से जड़ों की तलाश करनी होगी: D = 5 2 - 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 । यदि आपको विवेचक का मूल याद नहीं है, तो मैं केवल यह नोट करूंगा कि 1225: 25 = 49. इसलिए, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 ।

अब जबकि विवेचक का मूल ज्ञात हो गया है, समीकरण को हल करना कठिन नहीं है। हमें मिलता है: x 1 \u003d 15; एक्स 2 \u003d -20।

विएटा के प्रमेय पर आगे बढ़ने से पहले, हम एक परिभाषा पेश करते हैं। रूप का द्विघात समीकरण एक्स² + पिक्सल + क्यू= 0 कम कहा जाता है। इस समीकरण में, अग्रणी गुणांक एक के बराबर है। उदाहरण के लिए, समीकरण एक्स- 3 एक्स- 4 = 0 घटा है। फॉर्म का कोई भी द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी+ बी एक्स + सी= 0 को घटाया जा सकता है, इसके लिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं ए 0. उदाहरण के लिए, समीकरण 4 एक्स+ 4 एक्स- 3 \u003d 0 को 4 से विभाजित करके फॉर्म में घटाया जाता है: एक्स² + एक्स- 3/4 = 0. हम दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र प्राप्त करते हैं, इसके लिए हम सामान्य द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र का उपयोग करते हैं: कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी = 0

घटा हुआ समीकरण एक्स² + पिक्सल + क्यू= 0 एक सामान्य समीकरण के साथ मेल खाता है जिसमें ए = 1, बी = पी, सी = क्यू।इसलिए, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, सूत्र रूप लेता है:

अंतिम व्यंजक को न्यून द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र कहा जाता है, इस सूत्र का उपयोग करना विशेष रूप से सुविधाजनक होता है जब आर- सम संख्या। उदाहरण के लिए, आइए समीकरण को हल करें एक्स- 14 एक्स — 15 = 0

उत्तर में, हम लिखते हैं कि समीकरण के दो मूल हैं।

धनात्मक के साथ घटे हुए द्विघात समीकरण के लिए, निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।

विएटा का प्रमेय

यदि एक एक्स 1 और एक्स 2 - समीकरण की जड़ें एक्स² + पिक्सल + क्यू= 0, तो सूत्र मान्य हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 = — आर

एक्स 1 * एक्स 2 \u003d क्यू,अर्थात् दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न से लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है।

उपरोक्त द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र के आधार पर, हमारे पास है:

इन समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं: एक्स 1 + एक्स 2 = —आर।

इन समानताओं को गुणा करने पर, वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

ध्यान दें कि विएटा प्रमेय भी तब मान्य होता है जब विवेचक शून्य होता है, यदि हम मानते हैं कि इस मामले में द्विघात समीकरण की दो समान जड़ें हैं: एक्स 1 = एक्स 2 = — आर/2.

समीकरण हल नहीं करना एक्स- 13 एक्स+ 30 = 0 इसके मूलों का योग और गुणनफल ज्ञात कीजिए एक्स 1 और एक्स 2. यह समीकरण डी\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, इसलिए आप वियत प्रमेय लागू कर सकते हैं: एक्स 1 + एक्स 2 = 13, एक्स 1 * एक्स 2 = 30. कुछ और उदाहरणों पर विचार करें। समीकरण की जड़ों में से एक एक्स² — पिक्सल- 12 = 0 है एक्स 1 = 4. गुणांक खोजें आरऔर दूसरी जड़ एक्सइस समीकरण के 2. विएटा के प्रमेय के अनुसार एक्स 1 * एक्स 2 =— 12, एक्स 1 + एक्स 2 = — आर।जैसा एक्स 1 = 4 फिर 4 एक्स 2 = - 12, कहाँ से एक्स 2 = — 3, आर = — (एक्स 1 + एक्स 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. जवाब में, हम दूसरी जड़ लिखते हैं एक्स 2 = - 3, गुणांक पी = - 1.

समीकरण हल नहीं करना एक्स+ 2 एक्स- 4 = 0 इसके मूलों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए। रहने दो एक्स 1 और एक्स 2 समीकरण के मूल हैं। विएटा के प्रमेय के अनुसार एक्स 1 + एक्स 2 = — 2, एक्स 1 * एक्स 2 = - 4. जैसा एक्स 1²+ एक्स 2² = ( एक्स 1 + एक्स 2)² - 2 एक्स 1 एक्स 2, फिर एक्स 1²+ एक्स 2 \u003d (- 2) -2 (- 4) \u003d 12.

समीकरण 3 . के मूलों का योग और गुणनफल ज्ञात कीजिए एक्स+ 4 एक्स- 5 \u003d 0. विवेचक के बाद से इस समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं डी= 16 + 4*3*5 > 0. समीकरण को हल करने के लिए हम वियत प्रमेय का उपयोग करते हैं। यह प्रमेय कम द्विघात समीकरण के लिए सिद्ध हो गया है। तो आइए इस समीकरण को 3 से भाग दें।

इसलिए, जड़ों का योग -4/3 है, और उनका उत्पाद -5/3 है।

सामान्य तौर पर, समीकरण की जड़ें कुल्हाड़ी+ बी एक्स + सी= 0 निम्नलिखित समानता से संबंधित हैं: एक्स 1 + एक्स 2 = — बी/ए, एक्स 1 * एक्स 2 = सी/ए,इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, इस द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करना पर्याप्त है ए ≠ 0 और परिणामी घटे हुए द्विघात समीकरण पर Vieta के प्रमेय को लागू करें। एक उदाहरण पर विचार करें, आपको दिए गए द्विघात समीकरण की रचना करने की आवश्यकता है, जिसके मूल एक्स 1 = 3, एक्स 2 = 4. जैसा एक्स 1 = 3, एक्स 2 = 4 द्विघात समीकरण के मूल हैं एक्स² + पिक्सल + क्यू= 0, फिर विएटा प्रमेय द्वारा आर = — (एक्स 1 + एक्स 2) = — 7, क्यू = एक्स 1 एक्स 2 = 12. प्रत्युत्तर में हम लिखते हैं एक्स- 7 एक्स+ 12 = 0. निम्नलिखित प्रमेय का प्रयोग कुछ समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय

अगर संख्या आर, क्यू, एक्स 1 , एक्स 2 ऐसे हैं कि एक्स 1 + एक्स 2 = — पी, एक्स 1 * एक्स 2 \u003d क्यू, तब एक्स 1और x2समीकरण की जड़ें हैं एक्स² + पिक्सल + क्यू= 0. बाईं ओर रखें एक्स² + पिक्सल + क्यूके बजाय आरअभिव्यक्ति - ( एक्स 1 + एक्स 2), लेकिन इसके बजाय क्यू- काम एक्स 1 * एक्स 2।हम पाते हैं: एक्स² + पिक्सल + क्यू = एक्स² — ( एक्स 1 + एक्स 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2)।इस प्रकार, यदि संख्या आर, क्यू, एक्स 1 और एक्स 2 इन संबंधों से संबंधित हैं, तो सभी के लिए एक्ससमानता एक्स² + पिक्सल + क्यू = (एक्स - एक्स 1) (एक्स - एक्स 2),जिससे यह इस प्रकार है एक्स 1 और एक्स 2 - समीकरण की जड़ें एक्स² + पिक्सल + क्यू= 0. विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय का उपयोग करते हुए, कभी-कभी चयन द्वारा द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजना संभव होता है। एक उदाहरण पर विचार करें, एक्स- 5 एक्स+ 6 = 0. यहाँ आर = — 5, क्यू= 6. दो संख्याएँ चुनें एक्स 1 और एक्स 2 ताकि एक्स 1 + एक्स 2 = 5, एक्स 1 * एक्स 2 = 6. यह देखते हुए कि 6 = 2 * 3, और 2 + 3 = 5, प्रमेय द्वारा वियत के प्रमेय के विपरीत, हम प्राप्त करते हैं एक्स 1 = 2, एक्स 2 = 3 - समीकरण की जड़ें एक्स- 5 एक्स + 6 = 0.

विएटा के प्रमेय का प्रयोग अक्सर पहले से पाई गई जड़ों का परीक्षण करने के लिए किया जाता है। यदि आपको जड़ें मिल गई हैं, तो आप मानों की गणना करने के लिए सूत्रों \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) का उपयोग कर सकते हैं \(p\ ) और \(क्यू\ )। और अगर वे मूल समीकरण के समान हो जाते हैं, तो जड़ें सही पाई जाती हैं।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरण को हल करें \(x^2+x-56=0\) का उपयोग करें और मूल प्राप्त करें: \(x_1=7\), \(x_2=-8\)। आइए देखें कि क्या हमने हल करने की प्रक्रिया में कोई गलती की है। हमारे मामले में, \(p=1\), और \(q=-56\)। विएटा के प्रमेय से हमारे पास है:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

दोनों कथनों का अभिसरण हुआ, जिसका अर्थ है कि हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया।

यह परीक्षण मौखिक रूप से किया जा सकता है। यह 5 सेकंड का समय लेगा और आपको बेवकूफी भरी गलतियों से बचाएगा।

उलटा वीटा प्रमेय

अगर \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), तो \(x_1\) और \(x_2\) द्विघात समीकरण के मूल हैं \ (x^ 2+px+q=0\)।

या सरल तरीके से: यदि आपके पास \(x^2+px+q=0\) फॉर्म का समीकरण है, तो सिस्टम को हल करके \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) आप इसके मूल पाएंगे।

इस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप एक द्विघात समीकरण की जड़ों को जल्दी से ढूंढ सकते हैं, खासकर अगर ये जड़ें हैं। यह कौशल महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बहुत समय बचाता है।

उदाहरण . समीकरण को हल करें \(x^2-5x+6=0\)।

फेसला : व्युत्क्रम वियत प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि जड़ें शर्तों को पूरा करती हैं: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\)।
\(x_1 \cdot x_2=6\) प्रणाली के दूसरे समीकरण को देखें। संख्या \(6\) को किन दो में विघटित किया जा सकता है? \(2\) और \(3\), \(6\) और \(1\) या \(-2\) और \(-3\), और \(-6\) और \(- पर एक\)। और किस जोड़ी को चुनना है, सिस्टम का पहला समीकरण बताएगा: \(x_1+x_2=5\)। \(2\) और \(3\) समान हैं, क्योंकि \(2+3=5\)।
जवाब : \(x_1=2\), \(x_2=3\)।

उदाहरण . विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम का उपयोग करते हुए, द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:
ए) \(x^2-15x+14=0\); बी) \(x^2+3x-4=0\); सी) \(x^2+9x+20=0\); डी) \(x^2-88x+780=0\)।

फेसला :
a) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) किन कारकों में विघटित होता है? \(2\) और \(7\), \(-2\) और \(-7\), \(-1\) और \(-14\), \(1\) और \(14\ ) संख्याओं के कौन-से युग्म \(15\) का योग करते हैं? उत्तर: \(1\) और \(14\)।

b) \(x^2+3x-4=0\) - किन कारकों में \(-4\) विघटित होता है? \(-2\) और \(2\), \(4\) और \(-1\), \(1\) और \(-4\)। संख्याओं के कौन-से युग्म \(-3\) का योग करते हैं? उत्तर: \(1\) और \(-4\)।

ग) \(x^2+9x+20=0\) - किन कारकों में \(20\) विघटित होता है? \(4\) और \(5\), \(-4\) और \(-5\), \(2\) और \(10\), \(-2\) और \(-10\ ), \(-20\) और \(-1\), \(20\) और \(1\)। संख्याओं के कौन-से युग्म \(-9\) का योग करते हैं? उत्तर: \(-4\) और \(-5\)।

d) \(x^2-88x+780=0\) - किन कारकों में \(780\) विघटित होता है? \(390\) और \(2\)। क्या वे \(88\) तक जोड़ते हैं? नहीं। \(780\) के और कौन से गुणक हैं? \(78\) और \(10\)। क्या वे \(88\) तक जोड़ते हैं? हां। उत्तर: \(78\) और \(10\)।

अंतिम पद को सभी संभावित कारकों में विघटित करना आवश्यक नहीं है (जैसा कि अंतिम उदाहरण में है)। आप तुरंत जांच सकते हैं कि उनका योग \(-p\) देता है या नहीं।

जरूरी!विएटा की प्रमेय और विलोम प्रमेय केवल के साथ काम करते हैं, अर्थात, जिसका गुणांक \(x^2\) के सामने एक के बराबर है। यदि हमारे पास शुरू में एक गैर-घटित समीकरण है, तो हम इसे केवल \ (x ^ 2 \) के सामने गुणांक से विभाजित करके कम कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण \(2x^2-4x-6=0\) दिया जाए और हम विएटा के प्रमेयों में से एक का उपयोग करना चाहते हैं। लेकिन हम ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि \(x^2\) से पहले का गुणांक \(2\) के बराबर है। आइए पूरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करके इससे छुटकारा पाएं।

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

तैयार। अब हम दोनों प्रमेयों का उपयोग कर सकते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों के उत्तर

प्रश्न: विएटा के प्रमेय से, आप कोई भी हल कर सकते हैं?
जवाब: दुर्भाग्यवश नहीं। यदि समीकरण में पूर्णांक नहीं हैं या समीकरण का कोई मूल नहीं है, तो विएटा का प्रमेय मदद नहीं करेगा। इस मामले में, आपको उपयोग करने की आवश्यकता है विभेदक . सौभाग्य से, स्कूल गणित पाठ्यक्रम के 80% समीकरणों में पूर्णांक हल होते हैं।