संरेखित करें = केंद्र>

त्रिकोणमिति- गणित का एक माइक्रोसेक्शन जो कोणों और त्रिभुजों के पक्षों की लंबाई के साथ-साथ त्रिकोणमितीय कार्यों की बीजगणितीय पहचान के बीच संबंधों का अध्ययन करता है।
ऐसे कई क्षेत्र हैं जहां त्रिकोणमिति और त्रिकोणमितीय कार्य लागू होते हैं। त्रिकोणमिति या त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग खगोल विज्ञान, समुद्री और हवाई नेविगेशन, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, वास्तुकला और अन्य क्षेत्रों में किया जाता है।

त्रिकोणमिति के निर्माण का इतिहास

त्रिकोणमिति का इतिहास, एक त्रिभुज और अन्य ज्यामितीय आकृतियों के कोणों और पक्षों के बीच संबंधों के विज्ञान के रूप में, दो सहस्राब्दियों से अधिक को कवर करता है। इनमें से अधिकांश संबंधों को साधारण बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करके व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और इसलिए विशेष त्रिकोणमितीय कार्यों को पेश करना आवश्यक था, जो मूल रूप से संख्यात्मक तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किए गए थे।
इतिहासकारों का मानना ​​​​है कि त्रिकोणमिति प्राचीन खगोलविदों द्वारा बनाई गई थी, और थोड़ी देर बाद इसका उपयोग वास्तुकला में किया जाने लगा। समय के साथ, त्रिकोणमिति के दायरे का लगातार विस्तार हुआ है, आज इसमें लगभग सभी प्राकृतिक विज्ञान, प्रौद्योगिकी और गतिविधि के कई अन्य क्षेत्र शामिल हैं।

प्रारंभिक सदियों

बेबीलोन के गणित से, हम डिग्री, मिनट और सेकंड में कोणों को मापने के आदी हैं (प्राचीन यूनानी गणित में इन इकाइयों की शुरूआत आमतौर पर दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व के लिए जिम्मेदार है)।

इस अवधि की मुख्य उपलब्धि एक समकोण त्रिभुज में टांगों और कर्ण का अनुपात था, जिसे बाद में पाइथागोरस प्रमेय कहा गया।

प्राचीन ग्रीस

प्राचीन ग्रीक ज्यामिति में त्रिकोणमितीय संबंधों की एक सामान्य और तार्किक रूप से सुसंगत प्रस्तुति दिखाई दी। ग्रीक गणितज्ञों ने अभी तक त्रिकोणमिति को एक अलग विज्ञान के रूप में नहीं पहचाना, उनके लिए यह खगोल विज्ञान का हिस्सा था।
प्राचीन त्रिकोणमितीय सिद्धांत की मुख्य उपलब्धि "त्रिभुजों को हल करने" की समस्या के सामान्य रूप में समाधान थी, अर्थात्, त्रिभुज के अज्ञात तत्वों को खोजना, इसके तीन तत्वों के आधार पर (जिनमें से कम से कम एक है पक्ष)।
लागू त्रिकोणमितीय समस्याएं बहुत विविध हैं - उदाहरण के लिए, सूचीबद्ध मात्राओं पर संचालन के मापन योग्य परिणाम (उदाहरण के लिए, कोणों का योग या पक्ष की लंबाई का अनुपात) सेट किया जा सकता है।
समतल त्रिकोणमिति के विकास के समानांतर, यूनानियों ने खगोल विज्ञान के प्रभाव में, गोलाकार त्रिकोणमिति को दूर तक बढ़ाया। इस विषय पर यूक्लिड के "सिद्धांतों" में, विभिन्न व्यास की गेंदों के आयतन के अनुपात पर केवल एक प्रमेय है, लेकिन खगोल विज्ञान और कार्टोग्राफी की जरूरतों के कारण गोलाकार त्रिकोणमिति और संबंधित क्षेत्रों का तेजी से विकास हुआ - आकाशीय समन्वय प्रणाली, कार्टोग्राफिक अनुमानों का सिद्धांत, और खगोलीय उपकरणों की तकनीक।

मध्य युग

चतुर्थ शताब्दी में प्राचीन विज्ञान की मृत्यु के बाद गणित के विकास का केंद्र भारत में चला गया। उन्होंने त्रिकोणमिति की कुछ अवधारणाओं को बदल दिया, उन्हें आधुनिक लोगों के करीब लाया: उदाहरण के लिए, वे सबसे पहले कोसाइन को उपयोग में लाने वाले थे।

त्रिकोणमिति पर पहला विशेष ग्रंथ मध्य एशियाई वैज्ञानिक (X-XI सदी) "द बुक ऑफ द कीज ऑफ द साइंस ऑफ एस्ट्रोनॉमी" (995-996) का काम था। त्रिकोणमिति के पूरे पाठ्यक्रम में अल-बिरूनी का मुख्य कार्य शामिल था - "द कैनन ऑफ मसूद" (पुस्तक III)। साइन की तालिकाओं के अलावा (15 "के चरण के साथ), अल-बिरूनी ने स्पर्शरेखाओं की तालिकाएं (1 डिग्री के एक चरण के साथ) दीं।

बारहवीं-XIII सदियों में अरबी ग्रंथों का लैटिन में अनुवाद किए जाने के बाद, भारतीय और फारसी गणितज्ञों के कई विचार यूरोपीय विज्ञान की संपत्ति बन गए। जाहिरा तौर पर, त्रिकोणमिति के साथ यूरोपीय लोगों का पहला परिचित ज़िज के लिए धन्यवाद हुआ, जिसके दो अनुवाद 12 वीं शताब्दी में किए गए थे।

पूरी तरह से त्रिकोणमिति के लिए समर्पित पहला यूरोपीय कार्य अक्सर अंग्रेजी खगोलशास्त्री रिचर्ड ऑफ वॉलिंगफोर्ड (लगभग 1320) द्वारा प्रत्यक्ष और उलट चॉर्ड्स पर चार ग्रंथ कहा जाता है। त्रिकोणमितीय सारणी, अक्सर अरबी से अनुवादित, लेकिन कभी-कभी मूल, 14 वीं -15 वीं शताब्दी के कई अन्य लेखकों के कार्यों में निहित हैं। फिर त्रिकोणमिति ने विश्वविद्यालय के पाठ्यक्रमों में अपना स्थान बना लिया।

नया समय

आधुनिक समय में त्रिकोणमिति का विकास न केवल खगोल विज्ञान और ज्योतिष के लिए, बल्कि लंबी दूरी की समुद्री यात्राओं के दौरान मुख्य रूप से तोपखाने, प्रकाशिकी और नेविगेशन के लिए भी अत्यंत महत्वपूर्ण हो गया है। इसलिए, 16 वीं शताब्दी के बाद, निकोलस कोपरनिकस, जोहान्स केपलर, फ्रेंकोइस वियत सहित कई प्रमुख वैज्ञानिकों ने इस विषय पर काम किया। कोपरनिकस ने अपने ग्रंथ ऑन द रेवोल्यूशन ऑफ द सेलेस्टियल स्फेयर्स (1543) में त्रिकोणमिति के दो अध्याय समर्पित किए। जल्द ही (1551) कोपरनिकस के एक छात्र, रैटिकस की 15-अंकीय त्रिकोणमितीय तालिकाएँ दिखाई दीं। केप्लर ने ऑप्टिकल एस्ट्रोनॉमी (1604) प्रकाशित की।

विएटा ने अपने "गणितीय कैनन" (1579) के पहले भाग में त्रिकोणमितीय सहित विभिन्न तालिकाओं को रखा, और दूसरे भाग में उन्होंने एक विस्तृत और व्यवस्थित दिया, हालांकि बिना सबूत के, विमान और गोलाकार त्रिकोणमिति की प्रस्तुति। 1593 में विएटा ने इस पूंजी कार्य का एक विस्तारित संस्करण तैयार किया।
अल्ब्रेक्ट ड्यूरर के काम के लिए धन्यवाद, एक साइनसॉइड का जन्म हुआ।

18 वीं सदी

उन्होंने त्रिकोणमिति को आधुनिक रूप दिया। इनफिनिट्स के विश्लेषण के परिचय (1748) में, यूलर ने आधुनिक एक के बराबर त्रिकोणमितीय कार्यों की एक परिभाषा दी और तदनुसार व्युत्क्रम कार्यों को परिभाषित किया।

यूलर ने ऋणात्मक कोणों और 360° से अधिक कोणों को स्वीकार्य माना, जिससे संपूर्ण वास्तविक संख्या रेखा पर त्रिकोणमितीय फलन निर्धारित करना संभव हो गया, और फिर उन्हें जटिल तल तक विस्तारित किया गया। जब त्रिकोणमितीय फलनों को अधिक कोणों तक विस्तारित करने का प्रश्न उठा, तो यूलर के सामने इन फलनों के चिन्हों को अक्सर गलत तरीके से चुना गया था; कई गणितज्ञों ने माना, उदाहरण के लिए, एक अधिक कोण के कोसाइन और स्पर्शरेखा को सकारात्मक माना जाता है। यूलर ने इन संकेतों को कमी सूत्रों के आधार पर विभिन्न समन्वय चतुर्भुजों में कोणों के लिए निर्धारित किया।
यूलर ने त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सामान्य सिद्धांत का अध्ययन नहीं किया और प्राप्त श्रृंखला के अभिसरण की जांच नहीं की, लेकिन उन्होंने कई महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए। विशेष रूप से, उन्होंने साइन और कोसाइन की पूर्णांक शक्तियों के विस्तार को प्राप्त किया।

त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

जो लोग कहते हैं कि वास्तविक जीवन में त्रिकोणमिति की आवश्यकता नहीं है, वे अपने तरीके से सही हैं। खैर, इसके सामान्य रूप से लागू कार्य क्या हैं? दुर्गम वस्तुओं के बीच की दूरी को मापें।
त्रिभुज तकनीक का बहुत महत्व है, जो खगोल विज्ञान में आस-पास के सितारों की दूरी को मापना, भूगोल में स्थलों के बीच और उपग्रह नेविगेशन सिस्टम को नियंत्रित करना संभव बनाता है। नेविगेशन प्रौद्योगिकी, संगीत सिद्धांत, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, वित्तीय बाजार विश्लेषण, इलेक्ट्रॉनिक्स, संभाव्यता सिद्धांत, सांख्यिकी, जीव विज्ञान, चिकित्सा (अल्ट्रासाउंड और कंप्यूटेड टोमोग्राफी सहित), फार्मास्यूटिकल्स, रसायन विज्ञान, संख्या सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग भी ध्यान देने योग्य है। (और, परिणामस्वरूप, क्रिप्टोग्राफी), भूकंप विज्ञान, मौसम विज्ञान, समुद्र विज्ञान, कार्टोग्राफी, भौतिकी की कई शाखाएं, स्थलाकृति और भूगणित, वास्तुकला, ध्वन्यात्मकता, अर्थशास्त्र, इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियरिंग, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स, क्रिस्टलोग्राफी, आदि।
निष्कर्ष:त्रिकोणमिति हमारे दैनिक जीवन में बहुत बड़ी सहायक है।

चिकित्सा और जीव विज्ञान में त्रिकोणमिति

बोरीदम मॉडलत्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। बायोरिदम का एक मॉडल बनाने के लिए, आपको किसी व्यक्ति की जन्म तिथि, संदर्भ की तारीख (दिन, महीना, वर्ष) और पूर्वानुमान की अवधि (दिनों की संख्या) दर्ज करनी होगी।

हृदय सूत्र. ईरानी शिराज विश्वविद्यालय, वाहिद-रेज़ा अब्बासी में एक छात्र द्वारा किए गए एक अध्ययन के परिणामस्वरूप, डॉक्टर पहली बार हृदय की विद्युत गतिविधि, या दूसरे शब्दों में, इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफी से संबंधित जानकारी को सुव्यवस्थित करने में सक्षम थे। सूत्र एक जटिल बीजगणितीय-त्रिकोणमितीय समीकरण है, जिसमें अतालता के मामलों में गणना के लिए कई अतिरिक्त सहित 8 भाव, 32 गुणांक और 33 मुख्य पैरामीटर शामिल हैं। डॉक्टरों के अनुसार, यह सूत्र हृदय की गतिविधि के मुख्य मापदंडों का वर्णन करने की प्रक्रिया को बहुत सुविधाजनक बनाता है, जिससे निदान में तेजी आती है और वास्तविक उपचार शुरू होता है।

त्रिकोणमिति हमारे मस्तिष्क को वस्तुओं से दूरी निर्धारित करने में भी मदद करती है।

1) त्रिकोणमिति हमारे मस्तिष्क को वस्तुओं से दूरी निर्धारित करने में मदद करती है।

अमेरिकी वैज्ञानिकों का दावा है कि मस्तिष्क जमीन के तल और दृष्टि के तल के बीच के कोण को मापकर वस्तुओं की दूरी का अनुमान लगाता है। कड़ाई से बोलते हुए, "कोणों को मापने" का विचार नया नहीं है। यहां तक ​​​​कि प्राचीन चीन के कलाकारों ने दूर की वस्तुओं को देखने के क्षेत्र में उच्चतर चित्रित किया, कुछ हद तक परिप्रेक्ष्य के नियमों की उपेक्षा की। 11वीं शताब्दी के अरब वैज्ञानिक अलहाज़ेन ने कोणों का अनुमान लगाकर दूरी निर्धारित करने का सिद्धांत तैयार किया। पिछली शताब्दी के मध्य में एक लंबे विस्मरण के बाद, मनोवैज्ञानिक जेम्स द्वारा इस विचार को पुनर्जीवित किया गया था

2)पानी में मछली की आवाजाहीसाइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होता है, यदि आप पूंछ पर एक बिंदु तय करते हैं, और फिर गति के प्रक्षेपवक्र पर विचार करें। तैरते समय, मछली का शरीर एक वक्र का रूप ले लेता है जो फंक्शन y=tg(x) के ग्राफ जैसा दिखता है।
5। निष्कर्ष

शोध कार्य के परिणामस्वरूप:

मैं त्रिकोणमिति के इतिहास से परिचित हुआ।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए व्यवस्थित तरीके।

· वास्तुकला, जीव विज्ञान, चिकित्सा में त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों के बारे में सीखा।

MBOU Tselinnaya माध्यमिक विद्यालय

वास्तविक जीवन में त्रिकोणमिति की रिपोर्ट करें

तैयार और संचालित

गणित शिक्षक

योग्यता श्रेणी

इलिना वी.पी.

त्सेलिनी मार्च 2014

विषयसूची।

1। परिचय .

2. त्रिकोणमिति के निर्माण का इतिहास:

प्रारंभिक सदियों।

प्राचीन ग्रीस।

मध्य युग।

नया समय।

गोलाकार ज्यामिति के विकास के इतिहास से।

3. त्रिकोणमिति और वास्तविक जीवन:

नेविगेशन में त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग।

बीजगणित में त्रिकोणमिति।

भौतिकी में त्रिकोणमिति।

चिकित्सा और जीव विज्ञान में त्रिकोणमिति।

संगीत में त्रिकोणमिति।

कंप्यूटर विज्ञान में त्रिकोणमिति

निर्माण और भूगणित में त्रिकोणमिति।

4। निष्कर्ष .

5. संदर्भों की सूची।

परिचय

गणित में यह लंबे समय से स्थापित है कि गणित के व्यवस्थित अध्ययन में, हम छात्रों को तीन बार त्रिकोणमिति से मिलना होता है। तदनुसार, इसकी सामग्री में तीन भाग होते हैं। प्रशिक्षण के दौरान, इन भागों को समय पर एक दूसरे से अलग कर दिया जाता है और बुनियादी अवधारणाओं के स्पष्टीकरण में निवेशित अर्थ के संदर्भ में और विकसित उपकरण और सेवा कार्यों (अनुप्रयोगों) के संदर्भ में एक-दूसरे के समान नहीं होते हैं।

और वास्तव में, पहली बार हम 8 वीं कक्षा में त्रिकोणमितीय सामग्री से मिले, जब "एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच अनुपात" विषय का अध्ययन किया। तो हमने सीखा कि साइन, कोसाइन और टेंगेंट क्या हैं, फ्लैट त्रिकोणों को हल करना सीखा।

हालांकि, कुछ समय बीत गया और 9वीं कक्षा में हम फिर से त्रिकोणमिति में लौट आए। लेकिन यह त्रिकोणमिति पहले अध्ययन की तरह नहीं है। इसके अनुपातों को अब एक वृत्त (एक इकाई अर्धवृत्त) की सहायता से परिभाषित किया जाता है, न कि एक समकोण त्रिभुज। यद्यपि उन्हें अभी भी कोणों के कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया है, ये कोण पहले से ही मनमाने ढंग से बड़े हैं।

10 वीं कक्षा में जाने के बाद, हमने फिर से त्रिकोणमिति का सामना किया और देखा कि यह और भी कठिन हो गया था, कोण के रेडियन माप की अवधारणा पेश की गई थी, और त्रिकोणमितीय पहचान, और समस्याओं का निर्माण, और उनके समाधान की व्याख्या दिखती है। को अलग। त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन पेश किए जाते हैं। अंत में, त्रिकोणमितीय समीकरण दिखाई देते हैं। और यह सारी सामग्री हमारे सामने पहले से ही बीजगणित के हिस्से के रूप में दिखाई दी, न कि ज्यामिति के रूप में। और हमारे लिए त्रिकोणमिति के इतिहास, दैनिक जीवन में इसके अनुप्रयोग का अध्ययन करना बहुत दिलचस्प हो गया, क्योंकि पाठ की सामग्री प्रस्तुत करते समय गणित शिक्षक द्वारा ऐतिहासिक जानकारी का उपयोग अनिवार्य नहीं है। हालांकि, जैसा कि के.ए. मालीगिन बताते हैं, "... ऐतिहासिक अतीत में भ्रमण पाठ को जीवंत करते हैं, मानसिक तनाव को आराम देते हैं, अध्ययन की जा रही सामग्री में रुचि बढ़ाते हैं और इसके स्थायी आत्मसात में योगदान करते हैं।" इसके अलावा, गणित के इतिहास की सामग्री बहुत व्यापक और दिलचस्प है, क्योंकि गणित का विकास सभ्यता के अस्तित्व के सभी कालखंडों में उत्पन्न होने वाली तत्काल समस्याओं के समाधान के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है।

त्रिकोणमिति के उद्भव के ऐतिहासिक कारणों के बारे में जानने के बाद, और यह अध्ययन करने के बाद कि महान वैज्ञानिकों की गतिविधियों के फल ने गणित के इस क्षेत्र के विकास और विशिष्ट समस्याओं के समाधान को कैसे प्रभावित किया, हम स्कूली बच्चों के बीच वृद्धि करते हैं अध्ययन किए जा रहे विषय में रुचि, और हम इसका व्यावहारिक महत्व देखेंगे।

परियोजना का उद्देश्य - बीजगणित के पाठ्यक्रम में "त्रिकोणमिति" विषय के अध्ययन में रुचि का विकास और अध्ययन की जा रही सामग्री के लागू मूल्य के प्रिज्म के माध्यम से विश्लेषण की शुरुआत; त्रिकोणमितीय कार्यों वाले ग्राफिक अभ्यावेदन का विस्तार; भौतिकी, जीव विज्ञान आदि जैसे विज्ञानों में त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग।

बाहरी दुनिया के साथ त्रिकोणमिति का संबंध, कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में त्रिकोणमिति का महत्व, त्रिकोणमितीय कार्यों की चित्रमय क्षमताएं स्कूली बच्चों के ज्ञान को "भौतिक" बनाना संभव बनाती हैं। यह आपको त्रिकोणमिति के अध्ययन में अर्जित ज्ञान की महत्वपूर्ण आवश्यकता को बेहतर ढंग से समझने की अनुमति देता है, इस विषय के अध्ययन में रुचि बढ़ाता है।

अनुसंधान के उद्देश्य:

1. त्रिकोणमिति के उद्भव और विकास के इतिहास पर विचार करें।

2. विभिन्न विज्ञानों में त्रिकोणमिति के व्यावहारिक अनुप्रयोगों को ठोस उदाहरणों के साथ दिखाइए।

3. विशिष्ट उदाहरणों पर त्रिकोणमितीय फलनों के उपयोग की संभावनाओं की व्याख्या करें, जो "छोटे दिलचस्प" कार्यों को ऐसे कार्यों में बदलने की अनुमति देते हैं जिनके रेखांकन बहुत ही मूल रूप में होते हैं।

"एक बात स्पष्ट है, कि दुनिया खतरनाक और खूबसूरती से व्यवस्थित है।"

एन रुबत्सोव

त्रिकोणमिति - यह गणित की एक शाखा है जो कोणों और त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई के साथ-साथ त्रिकोणमितीय कार्यों की बीजगणितीय पहचान के बीच संबंधों का अध्ययन करती है। यह कल्पना करना कठिन है, लेकिन हम इस विज्ञान का सामना न केवल गणित के पाठों में करते हैं, बल्कि अपने दैनिक जीवन में भी करते हैं। हम इसके बारे में नहीं जानते होंगे, लेकिन त्रिकोणमिति भौतिकी, जीव विज्ञान जैसे विज्ञानों में पाई जाती है, यह चिकित्सा में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, और सबसे दिलचस्प बात यह है कि संगीत और वास्तुकला भी इसके बिना नहीं कर सकता था। गणित के अध्ययन में प्राप्त सैद्धांतिक ज्ञान को व्यवहार में लागू करने के कौशल को विकसित करने में व्यावहारिक सामग्री के साथ समस्याएं महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। गणित का प्रत्येक छात्र इस बात में रुचि रखता है कि अर्जित ज्ञान को कैसे और कहाँ लागू किया जाए। यह कार्य इस प्रश्न का उत्तर प्रदान करता है।

त्रिकोणमिति के निर्माण का इतिहास

प्रारंभिक सदियों

बेबीलोन के गणित से, हम डिग्री, मिनट और सेकंड में कोणों को मापने के आदी हैं (प्राचीन यूनानी गणित में इन इकाइयों की शुरूआत आमतौर पर दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व के लिए जिम्मेदार है)।

इस अवधि की मुख्य उपलब्धि एक समकोण त्रिभुज में पैरों और कर्ण का अनुपात था, जिसे बाद में नाम मिला।

प्राचीन ग्रीस

प्राचीन ग्रीक ज्यामिति में त्रिकोणमितीय संबंधों की एक सामान्य और तार्किक रूप से सुसंगत प्रस्तुति दिखाई दी। ग्रीक गणितज्ञों ने अभी तक त्रिकोणमिति को एक अलग विज्ञान के रूप में नहीं पहचाना, उनके लिए यह खगोल विज्ञान का हिस्सा था।
प्राचीन त्रिकोणमितीय सिद्धांत की मुख्य उपलब्धि "त्रिभुजों को हल करने" की समस्या के सामान्य रूप में समाधान थी, अर्थात्, त्रिभुज के अज्ञात तत्वों को खोजना, इसके तीन तत्वों के आधार पर (जिनमें से कम से कम एक है पक्ष)।

मध्य युग

चतुर्थ शताब्दी में प्राचीन विज्ञान की मृत्यु के बाद गणित के विकास का केंद्र भारत में चला गया। उन्होंने त्रिकोणमिति की कुछ अवधारणाओं को बदल दिया, उन्हें आधुनिक लोगों के करीब लाया: उदाहरण के लिए, वे सबसे पहले कोसाइन को उपयोग में लाने वाले थे।
त्रिकोणमिति पर पहला विशेष ग्रंथ मध्य एशियाई वैज्ञानिक (X-XI सदी) "द बुक ऑफ द कीज ऑफ द साइंस ऑफ एस्ट्रोनॉमी" (995-996) का काम था। त्रिकोणमिति के पूरे पाठ्यक्रम में अल-बिरूनी का मुख्य कार्य शामिल था - "द कैनन ऑफ मसूद" (पुस्तक III)। साइन की तालिकाओं के अलावा (15 "के चरण के साथ), अल-बिरूनी ने स्पर्शरेखाओं की तालिकाएं (1 डिग्री के एक चरण के साथ) दीं।

बारहवीं-XIII सदियों में अरबी ग्रंथों का लैटिन में अनुवाद किए जाने के बाद, भारतीय और फारसी गणितज्ञों के कई विचार यूरोपीय विज्ञान की संपत्ति बन गए। जाहिरा तौर पर, त्रिकोणमिति के साथ यूरोपीय लोगों का पहला परिचित ज़िज के लिए धन्यवाद हुआ, जिसके दो अनुवाद 12 वीं शताब्दी में किए गए थे।

पूरी तरह से त्रिकोणमिति के लिए समर्पित पहला यूरोपीय कार्य अक्सर एक अंग्रेजी खगोलशास्त्री (लगभग 1320) द्वारा प्रत्यक्ष और उलट तार पर चार ग्रंथ कहा जाता है। त्रिकोणमितीय सारणी, अक्सर अरबी से अनुवादित, लेकिन कभी-कभी मूल, 14 वीं -15 वीं शताब्दी के कई अन्य लेखकों के कार्यों में निहित हैं। फिर त्रिकोणमिति ने विश्वविद्यालय के पाठ्यक्रमों में अपना स्थान बना लिया।

नया समय

जर्मन धर्मशास्त्री और गणितज्ञ पिटिसस की एक पुस्तक के शीर्षक में "त्रिकोणमिति" शब्द पहली बार (1505) सामने आया है। इस शब्द की उत्पत्ति ग्रीक है: त्रिकोण, माप। दूसरे शब्दों में, त्रिकोणमिति त्रिभुजों को मापने का विज्ञान है। हालाँकि यह नाम अपेक्षाकृत हाल ही में उत्पन्न हुआ था, लेकिन अब त्रिकोणमिति से संबंधित कई अवधारणाएँ और तथ्य दो हज़ार साल पहले से ही ज्ञात थे।

साइन की अवधारणा का एक लंबा इतिहास रहा है। वास्तव में, एक त्रिभुज और एक वृत्त (और, संक्षेप में, त्रिकोणमितीय कार्यों) के खंडों के विभिन्न अनुपात पहले से ही c में पाए जाते हैं। ईसा पूर्व ई प्राचीन ग्रीस के महान गणितज्ञों के कार्यों में - यूक्लिड, आर्किमिडीज, पेर्गा के अपोलोनियस। रोमन काल में, इन संबंधों का पहले से ही मेनेलॉस (Ӏ शताब्दी ईसा पूर्व) द्वारा काफी व्यवस्थित रूप से अध्ययन किया गया था, हालांकि उन्होंने एक विशेष नाम प्राप्त नहीं किया था। उदाहरण के लिए, एक कोण के आधुनिक ऋण का अध्ययन अर्ध-जीवाओं के गुणनफल के रूप में किया गया था, जिस पर केंद्रीय कोण एक मान द्वारा समर्थित होता है, या एक दोगुने चाप की जीवा के रूप में।

बाद की अवधि में, भारतीय और अरब वैज्ञानिकों द्वारा लंबे समय तक गणित को सबसे अधिक सक्रिय रूप से विकसित किया गया था। मेंवी- वीसदियों विशेष रूप से, महान भारतीय वैज्ञानिक आर्यभट्ट (476-सीए। 550) के खगोल विज्ञान पर कार्यों में एक विशेष शब्द दिखाई दिया, जिसके नाम पर पृथ्वी के पहले भारतीय उपग्रह का नाम रखा गया।

बाद में, एक छोटा नाम जीवा अपनाया गया। में अरब गणितज्ञएक्समें। जीवा (या जीबा) शब्द को अरबी शब्द जैब (उभार) से बदल दिया गया था। अरबी गणितीय ग्रंथों का अनुवाद करते समयXΙΙमें। इस शब्द को लैटिन साइन से बदल दिया गया था (साइनस- मोड़, वक्रता)

कोसाइन शब्द बहुत छोटा है। कोसाइन लैटिन अभिव्यक्ति का संक्षिप्त नाम हैपूरक हैंसाइनस, अर्थात "अतिरिक्त ज्या" (या अन्यथा "अतिरिक्त चाप की ज्या"; याद रखेंक्योंकिए= पाप(90°- ए)).

त्रिकोणमितीय कार्यों से निपटने के लिए, हम अनिवार्य रूप से "त्रिकोणों को मापने" के कार्य के दायरे से परे जाते हैं। इसलिए, प्रसिद्ध गणितज्ञ एफ। क्लेन (1849-1925) ने "त्रिकोणमितीय" कार्यों के सिद्धांत को अन्यथा कॉल करने का प्रस्ताव दिया - गोनियोमेट्री (कोण)। हालांकि, यह नाम टिक नहीं पाया।

छाया की लंबाई निर्धारित करने की समस्या के समाधान के संबंध में स्पर्शरेखा उत्पन्न हुई। टेंगेंट (साथ ही कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट) को में पेश किया गया हैएक्समें। अरब गणितज्ञ अबू-एल-वफ़ा, जिन्होंने स्पर्शरेखा और कोटंगेंट खोजने के लिए पहली तालिकाएँ भी संकलित कीं। हालाँकि, ये खोज लंबे समय तक यूरोपीय वैज्ञानिकों के लिए अज्ञात रही, और स्पर्शरेखा को फिर से खोजा गयाXIVमें। पहले अंग्रेजी वैज्ञानिक टी. ब्रेवरडिन द्वारा, और बाद में जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्री रेजीओमोंटानस (1467) द्वारा। "स्पर्शरेखा" नाम लैटिन से आया हैटेंगर(स्पर्श करने के लिए), 1583 में दिखाई दियास्पर्शरेखा"स्पर्श" के रूप में अनुवादित (याद रखें: स्पर्शरेखा की रेखा इकाई सर्कल के स्पर्शरेखा है)

आधुनिक पदनामचाप पापऔर आर्कटिक1772 में विनीज़ गणितज्ञ शेरफर और प्रसिद्ध फ्रांसीसी वैज्ञानिक जेएल लैग्रेंज के कार्यों में दिखाई देते हैं, हालांकि जे। बर्नौली ने उन्हें थोड़ा पहले ही माना था, जिन्होंने एक अलग प्रतीकवाद का इस्तेमाल किया था। लेकिन इन प्रतीकों को आम तौर पर अंत में ही स्वीकार किया गयाXVΙΙΙसदियों। उपसर्ग "आर्क" लैटिनो से आया हैआर्कसएक्स, उदाहरण के लिए -, यह एक कोण है (या, कोई कह सकता है, एक चाप), जिसकी ज्या बराबर हैएक्स.

लंबे समय तक, त्रिकोणमिति ज्यामिति के भाग के रूप में विकसित हुई, अर्थात्। जो तथ्य अब हम त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में तैयार करते हैं, उन्हें ज्यामितीय अवधारणाओं और कथनों की सहायता से निरूपित और सिद्ध किया गया। शायद त्रिकोणमिति के विकास के लिए सबसे बड़ा प्रोत्साहन खगोल विज्ञान की समस्याओं को हल करने के संबंध में उत्पन्न हुआ, जो महान व्यावहारिक रुचि का था (उदाहरण के लिए, एक पोत के स्थान को निर्धारित करने की समस्याओं को हल करने के लिए, ग्रहणों की भविष्यवाणी करना आदि)।

खगोलविद एक गोले पर पड़े बड़े वृत्तों से बने गोलाकार त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध में रुचि रखते थे। और यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पुरातनता के गणितज्ञों ने उन समस्याओं का सफलतापूर्वक सामना किया जो समतल त्रिभुजों को हल करने की समस्याओं से कहीं अधिक कठिन थीं।

किसी भी मामले में, ज्यामितीय रूप में, हमें ज्ञात कई त्रिकोणमिति सूत्र प्राचीन ग्रीक, भारतीय, अरब गणितज्ञों द्वारा खोजे गए और फिर से खोजे गए (हालांकि त्रिकोणमितीय कार्यों के अंतर के सूत्र केवल में ज्ञात हुएXVΙv. - उन्हें अंग्रेजी गणितज्ञ नेपियर द्वारा त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ गणना को सरल बनाने के लिए लाया गया था। और साइनसॉइड का पहला चित्र 1634 में सामने आया।)

मौलिक महत्व का के। टॉलेमी द्वारा साइन की पहली तालिका का संकलन था (लंबे समय तक इसे जीवा की तालिका कहा जाता था): कई लागू समस्याओं को हल करने के लिए एक व्यावहारिक उपकरण दिखाई दिया, और सबसे पहले, खगोल विज्ञान की समस्याएं .

तैयार टेबलों के साथ काम करते समय, या कैलकुलेटर का उपयोग करते समय, हम अक्सर इस तथ्य के बारे में नहीं सोचते हैं कि एक समय था जब तालिकाओं का आविष्कार नहीं हुआ था। उन्हें संकलित करने के लिए, न केवल बड़ी मात्रा में गणना करना आवश्यक था, बल्कि तालिकाओं को संकलित करने के तरीके के साथ आना भी आवश्यक था। टॉलेमी की तालिकाएँ पाँच दशमलव स्थानों तक सटीक हैं, सम्मिलित हैं।

त्रिकोणमिति का आधुनिक रूप सबसे बड़े गणितज्ञ ने दिया थाXVसेंचुरी एल. यूलर (1707-1783), जन्म से स्विस, रूस में कई वर्षों तक काम किया और सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य थे। यह यूलर था जिसने पहली बार त्रिकोणमितीय कार्यों की प्रसिद्ध परिभाषाओं को पेश किया, एक मनमाना कोण के कार्यों पर विचार करना शुरू किया, और कमी सूत्र प्राप्त किए। यह सब यूलर ने लंबे जीवन में गणित में क्या करने में कामयाब रहे, इसका एक छोटा सा अंश है: उन्होंने 800 से अधिक पेपर छोड़े, कई प्रमेयों को साबित किया जो गणित के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित शास्त्रीय बन गए हैं। लेकिन अगर आप ज्यामितीय रूप में त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम करने की कोशिश कर रहे हैं, यानी यूलर से पहले गणितज्ञों की कई पीढ़ियों ने किया था, तो आप त्रिकोणमिति के व्यवस्थितकरण में यूलर के गुणों की सराहना करने में सक्षम होंगे। यूलर के बाद, त्रिकोणमिति ने कलन का एक नया रूप प्राप्त कर लिया: त्रिकोणमिति सूत्रों के औपचारिक अनुप्रयोग से विभिन्न तथ्य सिद्ध होने लगे; प्रमाण बहुत अधिक कॉम्पैक्ट और सरल हो गए।

गोलाकार ज्यामिति के विकास के इतिहास से .

यह व्यापक रूप से ज्ञात है कि यूक्लिडियन ज्यामिति सबसे प्राचीन विज्ञानों में से एक है: पहले से हीतृतीयशताब्दी ईसा पूर्व यूक्लिड का क्लासिक काम "बिगिनिंग्स" दिखाई दिया। कम ज्ञात यह है कि गोलाकार ज्यामिति केवल थोड़ी छोटी है। उसकी पहली व्यवस्थित प्रदर्शनी को संदर्भित करता हैमैं- द्वितीयसदियों। ग्रीक गणितज्ञ मेनेलॉस द्वारा लिखित पुस्तक "स्फीयर" में (मैंग.), गोलाकार त्रिभुजों के गुणों का अध्ययन किया गया; विशेष रूप से यह सिद्ध हो गया था कि एक गोलाकार त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होता है। एक और यूनानी गणितज्ञ क्लॉडियस टॉलेमी ने एक बड़ा कदम आगे बढ़ाया (द्वितीयमें।)। संक्षेप में, वह त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाओं को संकलित करने और स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे।

यूक्लिड की ज्यामिति की तरह, व्यावहारिक प्रकृति की समस्याओं और मुख्य रूप से खगोल विज्ञान की समस्याओं को हल करते समय गोलाकार ज्यामिति उत्पन्न हुई। ये कार्य आवश्यक थे, उदाहरण के लिए, सितारों द्वारा नेविगेट करने वाले यात्रियों और नाविकों के लिए। और चूंकि खगोलीय अवलोकनों में यह मान लेना सुविधाजनक है कि सूर्य और चंद्रमा और तारे दोनों चित्रित "आकाशीय क्षेत्र" के साथ चलते हैं, यह स्वाभाविक है कि उनके आंदोलन का अध्ययन करने के लिए क्षेत्र की ज्यामिति का ज्ञान आवश्यक था। इसलिए, यह कोई संयोग नहीं है कि टॉलेमी के सबसे प्रसिद्ध काम को "13 पुस्तकों में खगोल विज्ञान का महान गणितीय निर्माण" कहा जाता था।

गोलाकार त्रिकोणमिति के इतिहास में सबसे महत्वपूर्ण अवधि मध्य पूर्व में वैज्ञानिकों की गतिविधियों से जुड़ी है। भारतीय वैज्ञानिकों ने गोलाकार त्रिकोणमिति की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल किया। हालाँकि, टॉलेमी द्वारा वर्णित विधि और मेनेलॉस के प्रमेय के आधार पर पूर्ण चतुर्भुज का उपयोग उनके द्वारा नहीं किया गया था। और गोलाकार त्रिकोणमिति में, उन्होंने प्रक्षेप्य विधियों का उपयोग किया जो टॉलेमी के एनालेम्मा के अनुरूप थे। नतीजतन, उन्होंने विशिष्ट कम्प्यूटेशनल नियमों का एक सेट प्राप्त किया जिससे गोलाकार खगोल विज्ञान की लगभग किसी भी समस्या को हल करना संभव हो गया। उनकी मदद से, इस तरह की समस्या को अंततः समान समतल समकोण त्रिभुजों की एक दूसरे के साथ तुलना करने तक सीमित कर दिया गया। हल करते समय, द्विघात समीकरणों के सिद्धांत और क्रमिक सन्निकटन की विधि का अक्सर उपयोग किया जाता था। एक खगोलीय समस्या का एक उदाहरण जिसे भारतीय वैज्ञानिकों ने अपने द्वारा विकसित नियमों का उपयोग करके हल किया, वह समस्या है जिसे वराहमिहिर द्वारा पंगा सिद्धांतिका में माना जाता है (वी- छठी) इसमें सूर्य की ऊंचाई का पता लगाना शामिल है, यदि स्थान का अक्षांश ज्ञात हो, तो सूर्य की गिरावट और उसके घंटे का कोण। इस समस्या को हल करने के परिणामस्वरूप, निर्माणों की एक श्रृंखला के बाद, एक संबंध स्थापित होता है जो एक गोलाकार त्रिभुज के लिए आधुनिक कोसाइन प्रमेय के बराबर होता है। हालांकि, यह संबंध, और साइन प्रमेय के समकक्ष, किसी भी गोलाकार त्रिभुज पर लागू नियमों के रूप में सामान्यीकृत नहीं किया गया है।

मेनेलॉस के प्रमेय की चर्चा की ओर मुड़ने वाले पहले पूर्वी विद्वानों में, बानू मुसा भाइयों का नाम होना चाहिए - मुहम्मद, हसन और अहमद, मूसा इब्न शाकिर के पुत्र, जिन्होंने बगदाद में काम किया और गणित, खगोल विज्ञान और यांत्रिकी का अध्ययन किया। लेकिन मेनेलॉस के प्रमेय पर सबसे पुराना जीवित काम उनके छात्र थबित इब्न कोर्रा (836-901) द्वारा "सिकेंट के आंकड़े पर ग्रंथ" है।

थबित इब्न कोर्रा का ग्रंथ अरबी मूल में हमारे पास आया है। और लैटिन अनुवाद मेंबारहवींमें। क्रेमोना के गेरांडो (1114-1187) का यह अनुवाद मध्यकालीन यूरोप में व्यापक रूप से इस्तेमाल किया गया था।

त्रिकोणमिति का इतिहास, एक त्रिभुज और अन्य ज्यामितीय आकृतियों के कोणों और पक्षों के बीच संबंधों के विज्ञान के रूप में, दो सहस्राब्दियों से अधिक को कवर करता है। इनमें से अधिकांश संबंधों को साधारण बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करके व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और इसलिए विशेष त्रिकोणमितीय कार्यों को पेश करना आवश्यक था, जो मूल रूप से संख्यात्मक तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किए गए थे।
इतिहासकारों का मानना ​​​​है कि त्रिकोणमिति प्राचीन खगोलविदों द्वारा बनाई गई थी, और थोड़ी देर बाद इसका उपयोग वास्तुकला में किया जाने लगा। समय के साथ, त्रिकोणमिति के दायरे का लगातार विस्तार हुआ है, आज इसमें लगभग सभी प्राकृतिक विज्ञान, प्रौद्योगिकी और गतिविधि के कई अन्य क्षेत्र शामिल हैं।

लागू त्रिकोणमितीय समस्याएं बहुत विविध हैं - उदाहरण के लिए, सूचीबद्ध मात्राओं पर संचालन के मापन योग्य परिणाम (उदाहरण के लिए, कोणों का योग या पक्ष की लंबाई का अनुपात) सेट किया जा सकता है।

समतल त्रिकोणमिति के विकास के समानांतर, यूनानियों ने खगोल विज्ञान के प्रभाव में, गोलाकार त्रिकोणमिति को दूर तक बढ़ाया। इस विषय पर यूक्लिड के "सिद्धांतों" में, विभिन्न व्यास की गेंदों के आयतन के अनुपात पर केवल एक प्रमेय है, लेकिन खगोल विज्ञान और कार्टोग्राफी की जरूरतों के कारण गोलाकार त्रिकोणमिति और संबंधित क्षेत्रों का तेजी से विकास हुआ - आकाशीय समन्वय प्रणाली, कार्टोग्राफिक अनुमानों का सिद्धांत, और खगोलीय उपकरणों की तकनीक।

पाठ्यक्रम।

त्रिकोणमिति और वास्तविक जीवन

त्रिकोणमितीय कार्यों ने गणितीय विश्लेषण, भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, भूगणित, चिकित्सा, संगीत, भूभौतिकी और नेविगेशन में आवेदन पाया है।

नेविगेशन में त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

नेविगेशन (यह शब्द लैटिन भाषा से आया है)पथ प्रदर्शन- जहाज पर नौकायन) - सबसे प्राचीन विज्ञानों में से एक। नेविगेशन के सबसे सरल कार्य, जैसे, उदाहरण के लिए, सबसे छोटा मार्ग निर्धारित करना, आंदोलन की दिशा चुनना, पहले नाविकों का सामना करना पड़ा। वर्तमान में, इन और अन्य कार्यों को न केवल नाविकों द्वारा, बल्कि पायलटों और अंतरिक्ष यात्रियों द्वारा भी हल किया जाना है। आइए नेविगेशन की कुछ अवधारणाओं और कार्यों पर अधिक विस्तार से विचार करें।

काम। भौगोलिक निर्देशांक ज्ञात हैं - पृथ्वी की सतह के बिंदु A और B का अक्षांश और देशांतर:, और, । पृथ्वी की सतह के साथ बिंदु A और B के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करना आवश्यक है (पृथ्वी की त्रिज्या ज्ञात मानी जाती है:आर= 6371 किमी)

फेसला। पहले याद करें कि पृथ्वी की सतह के बिंदु M का अक्षांश OM त्रिज्या द्वारा निर्मित कोण का मान है, जहाँ O पृथ्वी का केंद्र है, भूमध्य रेखा के तल के साथ: और भूमध्य रेखा के उत्तर में , अक्षांश को सकारात्मक माना जाता है, और दक्षिण में - नकारात्मक

बिंदु M का देशांतर विमानों COM और SON के बीच के डायहेड्रल कोण का मान है, जहां C पृथ्वी का उत्तरी ध्रुव है, और H ग्रीनविच वेधशाला से संबंधित बिंदु है: (ग्रीनविच मेरिडियन के पूर्व में) , देशांतर को सकारात्मक माना जाता है, पश्चिम में - नकारात्मक)।

जैसा कि पहले से ही ज्ञात है, पृथ्वी की सतह पर बिंदु A और B के बीच की सबसे छोटी दूरी A और B को जोड़ने वाले एक बड़े वृत्त के छोटे चापों की लंबाई है (ऐसे चाप को ऑर्थोड्रोम कहा जाता है - ग्रीक से अनुवादित का अर्थ है "सीधा दौड़ना" ) इसलिए, हमारा कार्य गोलाकार त्रिभुज ABC (C उत्तरी ध्रुव है) की भुजा AB की लंबाई निर्धारित करने के लिए कम हो गया है।

त्रिभुज ABC के तत्वों और संबंधित त्रिभुज कोण OABS के लिए मानक संकेतन को लागू करने पर, समस्या की स्थिति से हम पाते हैं: α = = -, β = (चित्र 2)।

कोण C को बिंदु A और B के निर्देशांक के रूप में व्यक्त करना भी मुश्किल नहीं है। परिभाषा के अनुसार, ≤, इसलिए, या तो कोण C = यदि , या - यदि। जानना = कोज्या प्रमेय का उपयोग करना: = + (-)। जानने और, इसलिए, कोण, हम आवश्यक दूरी पाते हैं: =।

नेविगेशन में त्रिकोणमिति 2.

गेरहार्ड मर्केटर (1569) के प्रक्षेपण में बनाए गए नक्शे पर जहाज के पाठ्यक्रम की साजिश रचने के लिए अक्षांश निर्धारित करना आवश्यक था। जब तक भूमध्य सागर में नौकायन दिशाओं में नौकायन करते हैंXVIIमें। अक्षांश निर्दिष्ट नहीं किया गया था। एडमंड गनथर (1623) ने पहली बार नेविगेशन में त्रिकोणमितीय गणना लागू की।

त्रिकोणमिति विमान की उड़ान पर हवा के प्रभाव की गणना करने में मदद करती है। वेग त्रिभुज एयरस्पीड वेक्टर द्वारा निर्मित त्रिभुज है (वी), पवन वेक्टर (वू), जमीनी वेग वेक्टर (वीपी ) पीयू - ट्रैक एंगल, एसडब्ल्यू - विंड एंगल, केयूवी - हेडिंग विंड एंगल।

नेविगेशन वेग त्रिभुज के तत्वों के बीच संबंध का रूप है:

वी पी = वी क्योंकि यूएस + वू क्योंकि यूवी; पाप यूएस = * पाप यूवी, टीजी दप =

गति के नेविगेशन त्रिकोण को गिनने वाले उपकरणों की मदद से, नेविगेशन रूलर पर और लगभग दिमाग में हल किया जाता है।

बीजगणित में त्रिकोणमिति।

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करके एक जटिल समीकरण को हल करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है।

समीकरण को देखते हुए

रहने दो , हम पाते हैं

;

कहाँ पे: या

प्रतिबंधों के अधीन, हम प्राप्त करते हैं:

भौतिकी में त्रिकोणमिति

जहां कहीं भी हमें आवधिक प्रक्रियाओं और दोलनों से निपटना होता है - चाहे वह ध्वनिकी, प्रकाशिकी या एक पेंडुलम का स्विंग हो - हम त्रिकोणमितीय कार्यों से निपट रहे हैं। दोलन सूत्र:

कहाँ पे ए- दोलन आयाम, - दोलन की कोणीय आवृत्ति, - दोलन का प्रारंभिक चरण

दोलन चरण।

जब वस्तुओं को पानी में डुबोया जाता है, तो वे अपना आकार या आकार नहीं बदलते हैं। संपूर्ण रहस्य ऑप्टिकल प्रभाव है जो हमारी दृष्टि को वस्तु को एक अलग तरीके से अनुभव कराता है। सबसे सरल त्रिकोणमितीय सूत्र और बीम के घटना और अपवर्तन के कोण के साइन के मान मध्यम से मध्यम तक प्रकाश किरण के संक्रमण के दौरान निरंतर अपवर्तक सूचकांक की गणना करना संभव बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक इंद्रधनुष इस तथ्य के कारण होता है कि अपवर्तन के नियम के अनुसार हवा में निलंबित पानी की बूंदों में सूर्य का प्रकाश अपवर्तित होता है:

पाप α / पाप β =एन 1 /एन 2

कहाँ पे:

एन 1 - पहले माध्यम का अपवर्तनांक
एन 2 - दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक

α -घटना का कोण, β प्रकाश के अपवर्तन का कोण है।

सौर पवन के आवेशित कणों का ग्रहों के ऊपरी वायुमंडल में प्रवेश, सौर पवन के साथ ग्रह के चुंबकीय क्षेत्र की परस्पर क्रिया से निर्धारित होता है।

चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाले बल को लोरेंत्ज़ बल कहते हैं। यह कण के आवेश और क्षेत्र के वेक्टर उत्पाद और कण के वेग के समानुपाती होता है।

एक व्यावहारिक उदाहरण के रूप में, एक भौतिक समस्या पर विचार करें जिसे त्रिकोणमिति का उपयोग करके हल किया जाता है।

काम। क्षितिज के साथ 24.5 का कोण बनाते हुए एक झुके हुए तल परके विषय में , द्रव्यमान 90 किग्रा का एक पिंड है। उस बल का पता लगाएं जिसके साथ यह शरीर झुके हुए तल पर दबाव डालता है (अर्थात, इस तल पर शरीर कितना दबाव डालता है)।

फेसला:

एक्स और वाई कुल्हाड़ियों को नामित करने के बाद, हम पहले इस सूत्र का उपयोग करके कुल्हाड़ियों पर बलों के अनुमानों का निर्माण शुरू करेंगे:

एमए = एन + मिलीग्राम तो तस्वीर को देखो,

एक्स : मा = 0 + मिलीग्राम पाप24.5 0

वाई: 0 = एन - मिलीग्राम cos24.5 0

एन = मिलीग्राम क्योंकि 24,5 0

हम द्रव्यमान को प्रतिस्थापित करते हैं, हम पाते हैं कि बल 819 N है।

उत्तर: 819 एन

चिकित्सा और जीव विज्ञान में त्रिकोणमिति

में से एक मौलिक गुणजीवित प्रकृति इसमें होने वाली अधिकांश प्रक्रियाओं की चक्रीयता है।

जैविक लय, बायोरिदमजैविक प्रक्रियाओं की प्रकृति और तीव्रता में कमोबेश नियमित परिवर्तन होते हैं।

बुनियादी पृथ्वी लय- दैनिक।

त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके बायोरिदम का मॉडल बनाया जा सकता है।

बायोरिदम का एक मॉडल बनाने के लिए, आपको किसी व्यक्ति की जन्म तिथि, संदर्भ की तारीख (दिन, महीना, वर्ष) और पूर्वानुमान की अवधि (दिनों की संख्या) दर्ज करनी होगी।

यहां तक ​​कि मस्तिष्क के कुछ हिस्सों को भी साइनस कहा जाता है।

साइनस की दीवारें एंडोथेलियम के साथ पंक्तिबद्ध ड्यूरा मेटर द्वारा बनाई जाती हैं। अन्य नसों के विपरीत, साइनस गैप, वाल्व और पेशी झिल्ली के लुमेन अनुपस्थित हैं। साइनस की गुहा में एंडोथेलियम से ढके रेशेदार सेप्टा होते हैं। साइनस से, रक्त आंतरिक गले की नसों में प्रवेश करता है; इसके अलावा, आरक्षित शिरापरक स्नातकों के माध्यम से साइनस और खोपड़ी की बाहरी सतह की नसों के बीच एक संबंध है।

पानी में मछली की गति साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होती है, यदि आप पूंछ पर एक बिंदु तय करते हैं, और फिर गति के प्रक्षेपवक्र पर विचार करते हैं।

तैरते समय, मछली का शरीर एक वक्र का रूप ले लेता है जो एक ग्राफ जैसा दिखता है।

कार्यों आप= टीजीएक्स.

संगीत में त्रिकोणमिति

हम संगीत सुनते हैंएमपी 3।

एक ऑडियो सिग्नल एक तरंग है, यहाँ इसका "ग्राफ" है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हालांकि यह बहुत जटिल है, यह एक साइनसॉइड है जो त्रिकोणमिति के नियमों का पालन करता है।

2003 के वसंत में मॉस्को आर्ट थिएटर में, समूह "नाइट स्निपर्स" द्वारा एल्बम "ट्रिगोनोमेट्री" की प्रस्तुति, एकल कलाकार डायना अर्बेनिना हुई। एल्बम की सामग्री "त्रिकोणमिति" शब्द का मूल अर्थ प्रकट करती है - पृथ्वी का माप।

कंप्यूटर विज्ञान में त्रिकोणमिति

सटीक गणना के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किया जा सकता है।

त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके, आप किसी का भी अनुमान लगा सकते हैं

(एक अर्थ में, "अच्छा") इसे फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करके कार्य करता है:

ए 0 + ए 1 कॉस एक्स + बी 1 पाप एक्स + ए 2 cos 2x + b 2 पाप 2x + ए 3 क्योंकि 3x + बी 3 पाप 3x + ...

सही नंबर चुननाए 0, ए 1 , बी 1 , ए 2 , बी 2 , ..., इस तरह के (अनंत) योग के रूप में आवश्यक सटीकता के साथ कंप्यूटर में लगभग किसी भी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करना संभव है।

ग्राफिकल जानकारी के साथ काम करते समय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन उपयोगी होते हैं। किसी अक्ष के चारों ओर किसी वस्तु के घूर्णन का अनुकरण करना (कंप्यूटर में वर्णन करना) आवश्यक है। एक निश्चित कोण के माध्यम से एक घूर्णन होता है। बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, आपको साइन और कोसाइन से गुणा करना होगा।

जस्टिन विंडेल, प्रोग्रामर और डिजाइनरगूगल ग्राफिक्स प्रयोगशाला , गतिशील एनिमेशन बनाने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करने के उदाहरण दिखाते हुए एक डेमो प्रकाशित किया।

निर्माण और भूगणित में त्रिकोणमिति

तल पर एक मनमाना त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और कोण कुछ संबंधों द्वारा परस्पर जुड़े होते हैं, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण कोसाइन और साइन प्रमेय कहलाते हैं।

2ab

= =

इन सूत्रों में,बी, सी- त्रिभुज एबीसी के पक्षों की लंबाई, कोण ए, बी, सी के विपरीत क्रमशः झूठ बोल रही है। ये सूत्र हमें शेष तीन तत्वों को त्रिभुज के तीन तत्वों - पक्षों की लंबाई और कोणों से पुनर्स्थापित करने की अनुमति देते हैं। उनका उपयोग व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है, उदाहरण के लिए, भूगणित में।

सभी "शास्त्रीय" भूगणित त्रिकोणमिति पर आधारित हैं। चूंकि, वास्तव में, प्राचीन काल से, सर्वेक्षणकर्ता त्रिभुजों को "सुलझाने" में लगे हुए हैं।

इमारतों, सड़कों, पुलों और अन्य संरचनाओं के निर्माण की प्रक्रिया सर्वेक्षण और डिजाइन के काम से शुरू होती है। निर्माण स्थल पर सभी माप थियोडोलाइट और त्रिकोणमितीय स्तर जैसे सर्वेक्षण उपकरणों का उपयोग करके किए जाते हैं। त्रिकोणमितीय समतलन के साथ, पृथ्वी की सतह पर कई बिंदुओं के बीच की ऊंचाई का अंतर निर्धारित किया जाता है।

निष्कर्ष

कोणों को मापने की आवश्यकता से त्रिकोणमिति को जीवन में लाया गया, लेकिन अंततः त्रिकोणमितीय कार्यों के विज्ञान में विकसित हुआ।

त्रिकोणमिति प्रकृति, संगीत, वास्तुकला, चिकित्सा और प्रौद्योगिकी में पाए जाने वाले भौतिकी से निकटता से संबंधित है।

त्रिकोणमिति हमारे जीवन में परिलक्षित होती है, और जिन क्षेत्रों में यह एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, उनका विस्तार होगा, इसलिए सभी को इसके नियमों को जानने की जरूरत है।

बाहरी दुनिया के साथ गणित का संबंध आपको स्कूली बच्चों के ज्ञान को "भौतिक" करने की अनुमति देता है। यह हमें स्कूल में अर्जित ज्ञान की महत्वपूर्ण आवश्यकता को बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है।

व्यावहारिक सामग्री के साथ एक गणितीय समस्या (एक लागू प्रकृति का कार्य) से हमारा मतलब एक ऐसी समस्या से है जिसका कथानक संबंधित शैक्षणिक विषयों, प्रौद्योगिकी और रोजमर्रा की जिंदगी में गणित के अनुप्रयोगों को प्रकट करता है।

त्रिकोणमिति के उद्भव के ऐतिहासिक कारणों, इसके विकास और व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में कहानी हमारे स्कूली बच्चों को अध्ययन किए जा रहे विषय में रुचि रखने के लिए प्रोत्साहित करती है, हमारी विश्वदृष्टि बनाती है और हमारी सामान्य संस्कृति में सुधार करती है।

यह काम हाई स्कूल के उन छात्रों के लिए उपयोगी होगा जिन्होंने अभी तक त्रिकोणमिति की सुंदरता नहीं देखी है और आसपास के जीवन में इसके आवेदन के क्षेत्रों से परिचित नहीं हैं।

ग्रंथ सूची:

1. त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों को दोहराएं और अभ्यास के दौरान उनके ज्ञान को समेकित करें;
2. आत्म-नियंत्रण कौशल विकसित करना, कंप्यूटर प्रस्तुति के साथ काम करने की क्षमता।
3. शैक्षिक कार्य के लिए एक जिम्मेदार रवैये की शिक्षा, अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता।

उपकरण: कंप्यूटर, कंप्यूटर प्रस्तुति।

अपेक्षित परिणाम:

1. प्रत्येक छात्र को त्रिकोणमिति सूत्रों को जानना चाहिए और आवश्यक परिणामों के स्तर पर त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए उन्हें लागू करने में सक्षम होना चाहिए।
2. इन सूत्रों की व्युत्पत्ति को जानें और त्रिकोणमितीय व्यंजकों को परिवर्तित करने के लिए उन्हें लागू करने में सक्षम हों।
3. त्रिकोणमिति के सूत्रों को जानें, इन सूत्रों को प्राप्त करने में सक्षम हों और उन्हें अधिक जटिल त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों पर लागू करें।

पाठ के मुख्य चरण:

1. विषय का संदेश, उद्देश्य, पाठ के उद्देश्य और शैक्षिक गतिविधियों की प्रेरणा।
2. मौखिक गिनती
3. गणित के इतिहास से संदेश
4. कंप्यूटर प्रस्तुति का उपयोग करके त्रिकोणमिति सूत्रों की पुनरावृत्ति (ग्रेड 9 से)
5. व्यंजकों को परिवर्तित करने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रों को लागू करना
6. परीक्षण निष्पादन
7. पाठ को सारांशित करना
8. घर पर एक कार्य निर्धारित करना

कक्षाओं के दौरान

मैं। आयोजन का समय।

विषय, लक्ष्यों, पाठ के उद्देश्यों और सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरणा की रिपोर्ट करना

द्वितीय. मौखिक कार्य (प्रत्येक छात्र के लिए कार्य पूर्व-मुद्रित होते हैं):

त्रिभुज के दो कोणों का रेडियन माप है तथा । त्रिभुज के प्रत्येक कोण का माप ज्ञात कीजिए। जवाब: 60, 30, 90

एक त्रिभुज के कोणों का रेडियन माप ज्ञात कीजिए यदि उनका अनुपात 2:3:4 है। जवाब: , ,

क्या कोज्या बराबर हो सकता है: a), b), c), d), e) -2? जवाब: ए) हाँ; बी) नहीं; ग) नहीं; घ) हाँ; आंखें।

क्या ज्या बराबर हो सकती है: a) -3, 7 b), c)? जवाब: ए) नहीं; बी) हाँ; ग) नहीं।

a और b के किन मानों के लिए निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं: a) cos x = ; बी) पाप एक्स =; सी) कॉसएक्स =; डी) टीजी एक्स =; ई) पाप एक्स = ए? जवाब: ए) / ए / 7; बी ० ए/ ; सी) 0 डी) बी - कोई भी संख्या; इ) -

III. त्रिकोणमिति के इतिहास से संदेश (संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि):

त्रिकोणमिति प्राचीन काल में खगोल विज्ञान की शाखाओं में से एक के रूप में उत्पन्न हुई और विकसित हुई, इसके कंप्यूटिंग उपकरण के रूप में जो मनुष्य की व्यावहारिक आवश्यकताओं को पूरा करता है।

कुछ त्रिकोणमितीय जानकारी प्राचीन बेबीलोनियों और मिस्रवासियों को ज्ञात थी, लेकिन इस विज्ञान की नींव प्राचीन ग्रीस में रखी गई थी।

दूसरी शताब्दी में यूनानी खगोलशास्त्री हिप्पार्कस। ईसा पूर्व इ। उनके द्वारा अनुबंधित चापों के परिमाण के आधार पर, जीवाओं के संख्यात्मक मानों की एक तालिका तैयार की। त्रिकोणमिति से अधिक संपूर्ण जानकारी टॉलेमी के प्रसिद्ध "अल्मागेस्ट" में निहित है। की गई गणनाओं ने टॉलेमी को एक तालिका संकलित करने की अनुमति दी जिसमें 0 से 180 तक की जीवाएँ थीं।

साइन और कोसाइन लाइनों के नाम सबसे पहले भारतीय वैज्ञानिकों द्वारा पेश किए गए थे। उन्होंने साइन की पहली तालिकाओं को भी संकलित किया, हालांकि टॉलेमिक लोगों की तुलना में कम सटीक।

भारत में, संक्षेप में, त्रिकोणमितीय मात्राओं का सिद्धांत शुरू होता है, जिसे बाद में गोनियोमेट्री कहा जाता है ("गोनिया" से - कोण और "मेट्रियो" - मैं मापता हूं)।

17वीं सदी की दहलीज पर त्रिकोणमिति के विकास में एक नई दिशा शुरू होती है - विश्लेषणात्मक।

त्रिकोणमिति भौतिकी, यांत्रिकी, खगोल विज्ञान, जियोडोसी, कार्टोग्राफी और अन्य विज्ञानों में उत्पन्न होने वाली वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए कई अवधारणाओं और विधियों के विकास के लिए आवश्यक विधि प्रदान करती है। इसके अलावा, त्रिविममिति समस्याओं को हल करने में त्रिकोणमिति एक बड़ी मदद है।

चतुर्थ। प्रेजेंटेशन के साथ कंप्यूटर पर काम करें:

"त्रिकोणमिति के मूल सूत्र" (परिशिष्ट 1)

प्री-रिमाइंड सुरक्षा सावधानियांकंप्यूटर विज्ञान कक्षा में।

• मूल त्रिकोणमितीय पहचान।
• जोड़ सूत्र।
• कास्ट सूत्र
• साइन (कोसाइन) के योग और अंतर के लिए सूत्र।
• डबल तर्क सूत्र।
• आधा तर्क सूत्र।

V. व्यंजकों के रूपांतरण में त्रिकोणमितीय सूत्रों का अनुप्रयोग।

a) एक छात्र बोर्ड के पीछे काम पूरा करता है, बाकी जगह से चेक करता है और सिग्नल कार्ड (सही - "+", गलत - "-") को जगह से उठाता है।

एक उत्तर चुनें।

व्यंजक 7 cos - 5 को सरल कीजिए।

ए) 1+कॉस; बी) 2; बारह बजे; घ) 12

व्यंजक को सरल कीजिए 5 - 4 si n

ए) 1; बी) 9; ग) 1+8पाप; डी) 1+ क्योंकि।