प्रमाण
रहने दो एबीसी" एक मनमाना त्रिभुज है। चलो ऊपर चलते हैं बी सीधी रेखा के समानांतर सीधी रेखाएसी (ऐसी सीधी रेखा को यूक्लिडियन सीधी रेखा कहा जाता है)। उस पर एक बिंदु अंकित करेंडी ताकि अंकए औरडी एक सीधी रेखा के विपरीत पक्षों पर लेटें ईसा पूर्वकोण डीबीसीऔर एसीबीएक छेदक द्वारा गठित आंतरिक क्रॉस के बराबर ईसा पूर्वसमानांतर रेखाओं के साथ एसीऔर बीडी. अत: त्रिभुज के शीर्षों पर कोणों का योग बीऔर साथ मेंकोण के बराबर अब्दत्रिभुज के तीनों कोणों का योग कोणों के योग के बराबर होता है अब्दऔर बीएसी. चूँकि ये कोण समांतर के लिए आंतरिक एक तरफा होते हैं एसीऔर बीडी secant . पर अब, तो उनका योग 180° होता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
परिणाम
प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी भी त्रिभुज में दो न्यून कोण होते हैं। वास्तव में, विरोधाभास द्वारा प्रमाण को लागू करते हुए, मान लीजिए कि त्रिभुज में केवल एक न्यून कोण है या बिल्कुल भी न्यून कोण नहीं है। तब इस त्रिभुज में कम से कम दो कोण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक कम से कम 90° का होता है। इन कोणों का योग 180° से कम नहीं होता है। लेकिन यह असंभव है, क्योंकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है। क्यू.ई.डी.
सिंप्लेक्स सिद्धांत का सामान्यीकरण
सिंप्लेक्स के i और j फलकों के बीच का कोण कहाँ है।
टिप्पणियाँ
- एक गोले पर, त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180° से अधिक होता है, अंतर को गोलाकार आधिक्य कहा जाता है और यह त्रिभुज के क्षेत्रफल के समानुपाती होता है।
- लोबचेवस्की तल में, त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180° से कम होता है। अंतर भी त्रिभुज के क्षेत्रफल के समानुपाती होता है।
यह सभी देखें
विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.
- टेलर
- निचला हंस पुल
देखें कि "एक त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय" अन्य शब्दकोशों में क्या है:
बहुभुज कोण योग प्रमेय- यूक्लिडियन ज्यामिति में बहुभुजों का गुण: बहुभुज के कोणों का योग 180°(n 2) होता है। सामग्री 1 सबूत 2 टिप्पणी ... विकिपीडिया
पाइथागोरस प्रमेय- पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत प्रमेयों में से एक है, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। सामग्री 1 ... विकिपीडिया
त्रिभुज का क्षेत्रफल
पाइथागोरस प्रमेय- पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत प्रमेयों में से एक है, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। सामग्री 1 कथन 2 प्रमाण ... विकिपीडिया
कोसाइन प्रमेय- कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्यीकरण है। एक त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग उसकी अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, बिना इन भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण की कोज्या से दोगुना किया जाता है। ए, बी, सी और कोण α के साथ एक फ्लैट त्रिकोण के लिए ... ... विकिपीडिया
त्रिकोण- इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, त्रिभुज (अर्थ) देखें। एक त्रिभुज (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में) तीन रेखा खंडों द्वारा बनाई गई एक ज्यामितीय आकृति है जो तीन गैर-रैखिक बिंदुओं को जोड़ती है। तीन बिंदु, ... ... विकिपीडिया
त्रिभुजों की समानता के लक्षण- मानक संकेतन त्रिभुज सबसे सरल बहुभुज है जिसमें 3 शीर्ष (कोने) और 3 भुजाएँ होती हैं; तीन बिंदुओं से घिरा एक विमान का एक हिस्सा जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होता है, और तीन रेखा खंड इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। त्रिभुज के शीर्ष ... विकिपीडिया
यूक्लिड- प्राचीन यूनानी गणितज्ञ। तीसरी शताब्दी में अलेक्जेंड्रिया में काम किया। ईसा पूर्व इ। मुख्य कार्य "शुरुआत" (15 पुस्तकें), जिसमें प्राचीन गणित की मूल बातें, प्राथमिक ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, संबंधों का सामान्य सिद्धांत और क्षेत्रों और मात्राओं को निर्धारित करने की एक विधि शामिल है, ... ... विश्वकोश शब्दकोश
यूक्लिड- (275 और 270 ईसा पूर्व के बीच मृत्यु) प्राचीन यूनानी गणितज्ञ। उनके जन्म के समय और स्थान के बारे में जानकारी हम तक नहीं पहुंची है, लेकिन यह ज्ञात है कि यूक्लिड अलेक्जेंड्रिया में रहते थे और उनकी गतिविधि का उत्तर मिस्र में टॉलेमी प्रथम के शासनकाल पर पड़ता है ... ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश
गैर-यूक्लिडन ज्यामिति- यूक्लिड की ज्यामिति के समान ज्यामिति जिसमें यह आंकड़ों की गति को परिभाषित करता है, लेकिन यूक्लिडियन ज्यामिति से भिन्न होता है कि इसके पांच अभिधारणाओं में से एक (दूसरा या पांचवां) को इसके निषेध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यूक्लिडियन अभिधारणाओं में से एक का खंडन ... ... कोलियर इनसाइक्लोपीडिया
लक्ष्य और उद्देश्य:
शैक्षिक:
- त्रिभुज के बारे में ज्ञान को दोहराना और सामान्य बनाना;
- त्रिभुज योग प्रमेय सिद्ध करें;
- व्यावहारिक रूप से प्रमेय के निर्माण की शुद्धता को सत्यापित करें;
- समस्याओं को हल करने में अर्जित ज्ञान को लागू करना सीखें।
विकसित होना:
- ज्यामितीय सोच, विषय में रुचि, छात्रों की संज्ञानात्मक और रचनात्मक गतिविधि, गणितीय भाषण, स्वतंत्र रूप से ज्ञान प्राप्त करने की क्षमता विकसित करना।
शैक्षिक:
- छात्रों के व्यक्तिगत गुणों को विकसित करने के लिए, जैसे दृढ़ संकल्प, दृढ़ता, सटीकता, एक टीम में काम करने की क्षमता।
उपकरण:मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, रंगीन कागज से बने त्रिकोण, शिक्षण सामग्री "लाइव गणित", कंप्यूटर, स्क्रीन।
प्रारंभिक चरण:शिक्षक छात्र को "एक त्रिभुज के कोणों का योग" प्रमेय पर एक ऐतिहासिक पृष्ठभूमि तैयार करने का कार्य देता है।
पाठ प्रकार: नई सामग्री सीखना।
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक क्षण
अभिवादन। काम करने के लिए छात्रों का मनोवैज्ञानिक रवैया।
द्वितीय. जोश में आना
हम पिछले पाठों में ज्यामितीय आकृति "त्रिकोण" से मिले थे। आइए हम त्रिभुज के बारे में जो जानते हैं उसे दोहराएं?
छात्र समूहों में काम करते हैं। उन्हें एक दूसरे के साथ संवाद करने का अवसर दिया जाता है, प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से अनुभूति की प्रक्रिया का निर्माण करने का अवसर दिया जाता है।
क्या हुआ? प्रत्येक समूह अपने सुझाव देता है और शिक्षक उन्हें ब्लैकबोर्ड पर लिखता है। परिणामों पर चर्चा की जा रही है:
चित्र 1
III. हम पाठ का कार्य तैयार करते हैं
तो, हम पहले से ही त्रिभुज के बारे में बहुत कुछ जानते हैं। लेकिन सब नहीं। आप में से प्रत्येक के पास अपने डेस्क पर त्रिभुज और प्रोट्रैक्टर हैं। आपको क्या लगता है, हम कौन सा कार्य तैयार कर सकते हैं?
छात्र पाठ का कार्य तैयार करते हैं - त्रिभुज के कोणों का योग ज्ञात करना।
चतुर्थ। नई सामग्री की व्याख्या
व्यावहारिक भाग(ज्ञान और आत्म-ज्ञान कौशल की प्राप्ति में योगदान देता है)। कोणों को एक चांदे से मापें और उनका योग ज्ञात करें। परिणामों को एक नोटबुक में लिखें (प्राप्त उत्तरों को सुनें)। हम पाते हैं कि सभी के लिए कोणों का योग अलग-अलग निकला (ऐसा इसलिए हो सकता है क्योंकि प्रोट्रैक्टर को गलत तरीके से लगाया गया था, गणना लापरवाही से की गई थी, आदि)।
बिंदीदार रेखाओं के साथ मोड़ो और पता करो कि त्रिभुज के कोणों का योग किसके बराबर है:
ए) 
चित्र 2
बी) 
चित्र तीन
में) 
चित्र 4
जी) 
चित्र 5
इ) 
चित्र 6
प्रायोगिक कार्य पूरा करने के बाद, छात्र उत्तर तैयार करते हैं: त्रिभुज के कोणों का योग विस्तारित कोण के डिग्री माप के बराबर होता है, अर्थात 180°।
शिक्षक: गणित में, व्यावहारिक कार्य केवल किसी प्रकार का कथन करना संभव बनाता है, लेकिन इसे सिद्ध करने की आवश्यकता होती है। एक कथन जिसकी वैधता प्रमाण द्वारा स्थापित की जाती है, प्रमेय कहलाती है। हम कौन सा प्रमेय बना सकते हैं और सिद्ध कर सकते हैं?
छात्र: त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
इतिहास संदर्भ:त्रिभुज के कोणों के योग का गुण प्राचीन मिस्र में स्थापित किया गया था। आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में दिए गए प्रमाण यूक्लिड के तत्वों पर प्रोक्लस की टिप्पणियों में पाए जाते हैं। प्रोक्लस का दावा है कि यह प्रमाण (चित्र 8) पाइथागोरस (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) द्वारा खोजा गया था। तत्वों की पहली पुस्तक में, यूक्लिड ने एक त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय का एक और प्रमाण दिया है, जिसे एक चित्र की सहायता से समझना आसान है (चित्र 7):
चित्र 7
आंकड़ा 8
प्रोजेक्टर के माध्यम से स्क्रीन पर चित्र प्रदर्शित किए जाते हैं।
शिक्षक चित्र की सहायता से प्रमेय को सिद्ध करने की पेशकश करता है।
फिर सीएमडी "लाइव गणित" का उपयोग करके सबूत किया जाता है. कंप्यूटर पर शिक्षक प्रमेय का प्रमाण प्रस्तुत करता है।
कोण प्रमेय का त्रिभुज योग: "एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है"
चित्र 9
प्रमाण:
ए) 
चित्र 10
बी) 
चित्र 11
में) 
चित्र 12
नोटबुक में छात्र प्रमेय के प्रमाण का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड बनाते हैं:
प्रमेय:त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।
चित्र 13
दिया गया:एबीसी
सिद्ध करना:ए + बी + सी = 180°।
प्रमाण:
क्या साबित करने की जरूरत थी।
वी. भौतिक. मिनट।
VI. नई सामग्री की व्याख्या (जारी)
त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय का परिणाम छात्रों द्वारा स्वयं प्राप्त किया जाता है, यह अपने स्वयं के दृष्टिकोण को तैयार करने, व्यक्त करने और तर्क करने की क्षमता के विकास में योगदान देता है:
किसी भी त्रिभुज में या तो सभी कोण न्यून होते हैं, या दो न्यून कोण होते हैं, और तीसरा अधिक कोण या समकोण होता है.
यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण हों, तो उसे कहते हैं तीव्र कोण.
यदि किसी त्रिभुज का कोई एक कोण अधिक कोण हो, तो वह कहलाता है कुंठित.
यदि किसी त्रिभुज का कोई एक कोण समकोण हो, तो वह कहलाता है आयताकार.
त्रिभुज योग प्रमेय हमें त्रिभुजों को न केवल भुजाओं द्वारा, बल्कि कोणों द्वारा भी वर्गीकृत करने की अनुमति देता है। (त्रिभुजों के प्रकारों का परिचय देते समय, छात्र एक तालिका भरते हैं)
तालिका नंबर एक
| त्रिभुज दृश्य | समद्विबाहु | समभुज | बहुमुखी |
| आयताकार | 
|
|
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| कुंठित | 
|
|
|
| तीव्र कोण | 
|
|
|
सातवीं। अध्ययन सामग्री का समेकन।
- मौखिक रूप से समस्याओं का समाधान करें:
(चित्र प्रोजेक्टर के माध्यम से स्क्रीन पर प्रदर्शित होते हैं)
(मूल सार)
विजुअल ज्योमेट्री ग्रेड 7. संदर्भ सार संख्या 4 त्रिभुज के कोणों का योग।
17वीं शताब्दी के महान फ्रांसीसी वैज्ञानिक ब्लेस पास्कल एक बच्चे के रूप में, उन्हें ज्यामितीय आकृतियों के साथ छेड़छाड़ करना पसंद था। वह चांदा से परिचित था और कोणों को मापना जानता था। युवा शोधकर्ता ने देखा कि सभी त्रिभुजों के लिए तीन कोणों का योग समान होता है - 180 °। "आप इसे कैसे साबित कर सकते हैं? पास्कल सोचा। "आखिरकार, आप सभी त्रिभुजों के कोणों के योग की जाँच नहीं कर सकते - उनमें से एक अनंत संख्या है।" फिर उसने त्रिभुज के दो कोनों को कैंची से काट दिया और उन्हें तीसरे कोने से जोड़ दिया। यह एक विकसित कोण निकला, जैसा कि आप जानते हैं, 180 ° के बराबर है। यह उनकी अपनी पहली खोज थी। लड़के का आगे का भाग्य पहले से ही पूर्व निर्धारित था।
इस विषय में, आप समकोण त्रिभुज समानता की पाँच विशेषताओं के बारे में जानेंगे और शायद 30° के कोण वाले समकोण त्रिभुज का सबसे लोकप्रिय गुण। यह इस तरह लगता है: 30 ° के कोण के विपरीत लेटा हुआ पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है। एक समबाहु त्रिभुज को ऊँचाई से विभाजित करने पर हमें तुरंत इस गुण का प्रमाण मिलता है।
प्रमेय. त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। इसे सिद्ध करने के लिए, हम आधार के समांतर शीर्ष से होकर जाने वाली एक रेखा खींचते हैं। अंधेरे कोण बराबर होते हैं और ग्रे कोण बराबर होते हैं क्योंकि वे समानांतर रेखाओं में स्थित होते हैं। डार्क कॉर्नर, ग्रे कॉर्नर और शीर्ष पर कोना एक सीधा कोना बनाते हैं, इनका योग 180° होता है। प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण 60° होते हैं और एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का योग 90° होता है।
बाहर का कोनात्रिभुज के कोण से लगा हुआ कोण त्रिभुज कहलाता है। इसलिए, कभी-कभी त्रिभुज के कोणों को ही आंतरिक कोण कहा जाता है।
त्रिभुज के बाहरी कोण पर प्रमेय. किसी त्रिभुज का बाह्य कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है जो उससे सटे नहीं होते हैं। वास्तव में, एक बाहरी कोना और दो भीतरी कोने जो उससे सटे नहीं हैं, भरे हुए कोने को 180° तक पूरा करते हैं। प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक बहिष्कोण किसी भी ऐसे आंतरिक कोण से बड़ा होता है जो उससे सटा नहीं होता है।
त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों पर प्रमेय. त्रिभुज में बड़ी भुजा बड़े कोण के सम्मुख होती है और बड़ी भुजा बड़े कोण के सम्मुख होती है। यह इस प्रकार है: 1) पैर कर्ण से छोटा है। 2) लंबवत ढलान से कम है।
बिंदु से रेखा की दूरी . चूँकि लंब एक ही बिंदु से खींचे गए किसी भी तिरछे से कम होता है, इसलिए इसकी लंबाई को बिंदु से रेखा की दूरी के रूप में लिया जाता है।
असमानित त्रिकोण . किसी त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई उसकी अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है, अर्थात्। ए< b + с , बी< а + с , साथ< а + बी . परिणाम. पॉलीलाइन की लंबाई इसके सिरों को जोड़ने वाले खंड से अधिक है।
समानता के लक्षण
आयताकार त्रिभुज
दो पैरों पर. यदि एक समकोण त्रिभुज की दो टाँगें क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो टाँगों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
पैर और आसन्न तीव्र कोण के साथ. यदि एक समकोण त्रिभुज का टांग और उसके निकट का न्यून कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के टांग और उससे लगे न्यून कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
पैर के साथ और विपरीत तीव्र कोण. यदि एक समकोण त्रिभुज का पाद और सम्मुख न्यून कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के पाद और विपरीत न्यून कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
कर्ण और न्यून कोण से. यदि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण और न्यून कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के कर्ण और न्यून कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
इन मानदंडों का प्रमाण तुरंत त्रिभुजों की समानता के मानदंडों में से एक को कम कर देता है।
पैर और कर्ण से. यदि एक समकोण त्रिभुज का पैर और कर्ण क्रमशः दूसरे समकोण त्रिभुज के पैर और कर्ण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
प्रमाण। हम समान पैरों के साथ त्रिकोण लगाते हैं। हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है। ऊपर से खींची गई इसकी ऊंचाई भी माध्यिका होगी। तब त्रिभुजों की दूसरी टाँगें बराबर होती हैं, और तीनों भुजाओं पर त्रिभुज बराबर होते हैं।
प्रमेय 30° . के कोण के विपरीत लेटे हुए पैर के गुण पर. 30° कोण के सम्मुख वाला पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है। यह त्रिभुज को एक समबाहु त्रिभुज में पूर्ण करने पर सिद्ध होता है।
कोण समद्विभाजक बिंदुओं के गुण पर प्रमेय. किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उसकी भुजाओं से समान दूरी पर होता है। यदि कोई बिंदु किसी कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, तो वह कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है। कोण की भुजाओं पर दो लंब खींचकर और समकोण त्रिभुजों पर विचार करके सिद्ध किया गया है।
दूसरा महान बिंदु . त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी. प्रमेय. दो समानांतर रेखाओं में से प्रत्येक के सभी बिंदु दूसरी रेखा से समान दूरी पर हैं। समांतर रेखाओं के बीच की दूरी की परिभाषा प्रमेय से इस प्रकार है।
परिभाषा. दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक समानांतर रेखा के किसी भी बिंदु से दूसरी रेखा तक की दूरी है।
प्रमेयों के विस्तृत प्रमाण
यह ग्रेड 7 में ज्यामिति में संदर्भ सार संख्या 4 है। अगले चरण चुनें:
त्रिकोण . तीव्र, अधिककोण और समकोण त्रिभुज।
पैर और कर्ण। समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज।
त्रिभुज के कोणों का योग।
त्रिभुज का बाहरी कोना। त्रिभुजों की समानता के लक्षण।
एक त्रिभुज में अद्भुत रेखाएँ और बिंदु: ऊँचाई, माध्यिकाएँ,
द्विभाजक, माध्यिकाइ लंबवत, ऑर्थोसेंटर,
गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, घेरे हुए वृत्त का केंद्र, खुदा हुआ वृत्त का केंद्र।
पाइथागोरस प्रमेय। एक मनमाना त्रिभुज का पक्षानुपात।
त्रिकोण एक बहुभुज है जिसकी तीन भुजाएँ (या तीन कोने) हैं। त्रिभुज के किनारों को अक्सर छोटे अक्षरों से दर्शाया जाता है, जो बड़े अक्षरों से मेल खाते हैं जो विपरीत शिखर को दर्शाते हैं।
यदि तीनों कोण न्यूनकोण हैं (अंजीर। 20), तो यह न्यून त्रिकोण
. यदि कोई एक कोना सही है(सी, अंजीर। 21), वह है सही त्रिकोण; पक्षोंए, बीसमकोण बनाने को कहते हैं पैर; पक्षसीसमकोण के विपरीत कहा जाता है कर्ण. यदि इनमें से एकअधिक कोण (बी, अंजीर। 22), वह है तिरछा त्रिभुज।
त्रिभुज ABC (चित्र 23) - समद्विबाहु, अगर दोइसके पक्ष बराबर हैंए=
सी); इन समान भुजाओं को कहा जाता है पार्श्व, तीसरे पक्ष को कहा जाता है आधारत्रिकोण। त्रिकोणएबीसी (चित्र 24) - समभुज,
अगर सबइसके पक्ष बराबर हैंए
=
बी
=
सी) सामान्य रूप में ( ए ≠ बी ≠ सी)
अपने पास विषम भुज तथ कोण वालात्रिकोण .
त्रिभुजों के मूल गुण। किसी भी त्रिभुज में:
1. बड़ी भुजा के विपरीत एक बड़ा कोण होता है, और इसके विपरीत।
2. समान कोण समान भुजाओं के विपरीत होते हैं, और इसके विपरीत।
विशेष रूप से, सभी कोणों में समभुजत्रिकोण बराबर हैं।
3. त्रिभुज के कोणों का योग 180 . होता है º .
अंतिम दो गुणों से यह निम्नानुसार है कि एक समबाहु में प्रत्येक कोण
त्रिभुज 60 . है º.
4. त्रिभुज की किसी एक भुजा को जारी रखते हुए (AC, आकृति 25), हम पाते हैं बाहरी
कोण बीसीडी . त्रिभुज का बहिष्कोण अंतः कोणों के योग के बराबर होता है,
इससे संबंधित नहीं : बीसीडी = ए + बी।
5. कोई भी एक त्रिभुज की भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम और अधिक होती है
उनके मतभेद (ए < बी + सी, ए > बी – सी;बी < ए + सी, बी > ए – सी;सी < ए + बी,सी > ए – बी).
त्रिभुजों की समानता के लक्षण।
त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि वे क्रमशः बराबर हों:
ए ) दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण;
बी ) दो कोने और उनसे सटे पक्ष;
ग) तीन पक्ष।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण।
दो आयताकारत्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि निम्नलिखित में से कोई एक स्थिति सत्य है:
1) उनके पैर बराबर हैं;
2) एक त्रिभुज के पैर और कर्ण दूसरे के पैर और कर्ण के बराबर हैं;
3) एक त्रिभुज का कर्ण और न्यून कोण दूसरे के कर्ण और न्यून कोण के बराबर होते हैं;
4) एक त्रिभुज का टांग और आसन्न न्यून कोण टांग के बराबर होता है और दूसरे त्रिभुज का निकटवर्ती न्यून कोण;
5) एक त्रिभुज की टाँग और सम्मुख न्यून कोण टाँग के बराबर होते हैं और दूसरे के न्यून कोण के विपरीत।
एक त्रिभुज में अद्भुत रेखाएँ और बिंदु।
ऊंचाई त्रिभुज हैलंबवत,किसी भी शीर्ष से विपरीत दिशा में गिरा ( या इसकी निरंतरता). इस पक्ष को कहा जाता हैत्रिभुज का आधार . त्रिभुज के तीन शीर्षलंब हमेशा प्रतिच्छेद करते हैंएक बिंदु परबुलाया ऑर्थोसेंटरत्रिकोण। न्यूनकोण त्रिभुज का लम्बकेन्द्र (बिंदु .)हे , चित्र 26) त्रिभुज के अंदर स्थित है, औरएक अधिक त्रिभुज का लम्बकेन्द्र (बिंदु .)हे , चित्र.27) – बाहर; एक समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र समकोण के शीर्ष के साथ मेल खाता है।
मंझला - यह रेखा खंड , त्रिभुज के किसी भी शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ना। त्रिभुज की तीन माध्यिकाएं (एडी, बीई, सीएफ, अंजीर। 28) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें हे , जो हमेशा त्रिभुज के अंदर होता हैऔर उसका होना ग्रैविटी केंद्र। यह बिंदु प्रत्येक माध्यिका को ऊपर से 2:1 विभाजित करता है।
द्विभाजक - यह द्विभाजक खंडऊपर से कोने तक विपरीत दिशा के साथ चौराहा। त्रिभुज के तीन समद्विभाजक (एडी, बीई, सीएफ, अंजीर। 29) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें ओह, हमेशा एक त्रिभुज के अंदर लेटनाऔर प्राणी खुदा वृत्त केंद्र(अनुभाग "अंकित" देखेंऔर परिचालित बहुभुज)।
द्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपाती भागों में विभाजित करता है ; उदाहरण के लिए, Fig.29 . मेंएई: सीई = एबी: बीसी।
माध्य लंबवत माध्य से खींचा गया लंबवत हैखंड बिंदु (पक्ष)। त्रिभुज ABC के तीन लम्ब समद्विभाजक(केओ, एमओ, नहीं, अंजीर.30 ) एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करता है, जो है केंद्र परिबद्ध वृत्त (अंक के, एम, एन त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुएबीसी)।
एक न्यूनकोण त्रिभुज में, यह बिंदु त्रिभुज के अंदर होता है; कुंठित - बाहर; एक आयताकार में - कर्ण के बीच में। ऑर्थोसेंटर, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, परिबद्ध का केंद्र और खुदा हुआ वृत्त का केंद्र केवल एक समबाहु त्रिभुज में संपाती होता है।
पाइथागोरस प्रमेय। एक समकोण त्रिभुज में, लंबाई का वर्गकर्ण पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है।
पायथागॉरियन प्रमेय का प्रमाण स्पष्ट रूप से चित्र 31 से मिलता है। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करेंपैरों के साथ एबीसी ए, बीऔर कर्ण सी.
चलो एक वर्ग बनाते हैंएकेएमबी कर्ण का उपयोग करनाअब एक पक्ष के रूप में। फिरएक समकोण त्रिभुज की भुजाओं का विस्तार करेंएबीसी तो एक वर्ग पाने के लिएसीडीईएफ , जिसकी भुजा के बराबर हैए + बी।अब यह स्पष्ट है कि एक वर्ग का क्षेत्रफलसीडीईएफ है ( ए+बी) 2 . दूसरी ओर, यह क्षेत्रफल योग के बराबर हैक्षेत्रों चार समकोण त्रिभुजऔर वर्ग AKMB , अर्थात्
सी 2 + 4 (अब / 2) = सी 2 + 2 एबी,
यहां से,
सी 2 + 2 अब= (ए+बी) 2 ,
और अंत में हमारे पास है:
सी 2 =ए 2 +बी 2 .
एक मनमाना त्रिभुज का पक्षानुपात।
सामान्य स्थिति में (एक मनमाना त्रिभुज के लिए) हमारे पास है:
सी 2 =ए 2 +बी 2 – 2अब· क्योंकि सी,
जहां सी - भुजाओं के बीच का कोणएऔर बी .
>>ज्यामिति: त्रिभुज के कोणों का योग। पूरा पाठ
पाठ का विषय: त्रिभुज के कोणों का योग।
पाठ मकसद:
- विषय पर छात्रों के ज्ञान का समेकन और परीक्षण: "एक त्रिभुज के कोणों का योग";
- त्रिभुज के कोणों के गुणों का प्रमाण;
- सरलतम समस्याओं को हल करने में इस संपत्ति का उपयोग;
- छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के विकास के लिए ऐतिहासिक सामग्री का उपयोग;
- चित्रों के निर्माण में सटीकता का कौशल पैदा करना।
पाठ मकसद:
- छात्रों की समस्याओं को हल करने की क्षमता की जाँच करें।
शिक्षण योजना:
- त्रिभुज;
- त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय;
- कार्य उदाहरण।
त्रिभुज।
फ़ाइल:O.gif त्रिभुज- सबसे सरल बहुभुज जिसमें 3 कोने (कोने) और 3 भुजाएँ होती हैं; एक विमान का एक भाग जो तीन बिंदुओं और तीन रेखा खंडों से घिरा होता है जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।
अंतरिक्ष में तीन बिंदु जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, एक और केवल एक विमान के अनुरूप होते हैं।
किसी भी बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है - यह प्रक्रिया कहलाती है ट्राईऐन्ग्युलेशंस.
त्रिकोण के पैटर्न के अध्ययन के लिए पूरी तरह से समर्पित गणित का एक खंड है - त्रिकोणमिति.
त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय।
फ़ाइल:T.gif कोणों के प्रमेय का त्रिभुज योग यूक्लिडियन ज्यामिति में एक शास्त्रीय प्रमेय है जो बताता है कि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। 
प्रमाण" :
माना ABC दिया है। आइए हम शीर्ष B से होकर (AC) के समांतर एक रेखा खींचते हैं और उस पर बिंदु D को इस प्रकार चिह्नित करते हैं कि बिंदु A और D रेखा BC के विपरीत पक्षों पर स्थित हों। तब कोण (DBC) और कोण (ACB) बराबर होते हैं, जैसे समानांतर रेखा BD और AC और छेदक (BC) पर स्थित आंतरिक क्रॉस। फिर शीर्ष B और C पर त्रिभुज के कोणों का योग कोण (ABD) के बराबर होता है। लेकिन त्रिभुज ABC के शीर्ष A पर कोण (ABD) और कोण (BAC) समांतर रेखाओं BD और AC और छेदक (AB) के साथ आंतरिक एकतरफा हैं और उनका योग 180° है। अत: त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
परिणाम।
किसी त्रिभुज का बाह्य कोण त्रिभुज के उन दो कोणों के योग के बराबर होता है जो उसके निकट नहीं होते हैं।
प्रमाण:
माना ABC दिया है। बिंदु D रेखा AC पर इस प्रकार स्थित है कि A, C और D के बीच में स्थित है। फिर BAD शीर्ष A पर त्रिभुज के कोण के बाहर है और A + BAD = 180° है। लेकिन ए + बी + सी = 180 डिग्री, और इसलिए बी + सी = 180 डिग्री - ए। इसलिए बीएडी = बी + सी। परिणाम सिद्ध होता है।
परिणाम।
किसी त्रिभुज का बाह्य कोण उस त्रिभुज के किसी भी कोण से बड़ा होता है जो उसके निकट नहीं होता है।
काम।
किसी त्रिभुज का बाह्य कोण इस त्रिभुज के किसी भी कोण से लगा हुआ कोण होता है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का एक बहिष्कोण त्रिभुज के उन दो कोणों के योग के बराबर होता है जो उसके निकट नहीं होते हैं। 
(चित्र .1)
फेसला:
माना ABC में DAC बाह्य है (आकृति 1)। तब ∠DAC=180°-∠BAC (आसन्न कोणों के गुण के अनुसार), एक त्रिभुज B+∠C =180°-∠BAC के कोणों के योग पर प्रमेय के अनुसार। इन समानताओं से हम प्राप्त करते हैं DAC=∠B+∠C
रोचक तथ्य:
त्रिभुज के कोणों का योग :
लोबचेव्स्की की ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 से कम होता है। यूक्लिड की ज्यामिति में, यह हमेशा 180 के बराबर होता है। रीमैनियन ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 से अधिक होता है।
गणित के इतिहास से:
यूक्लिड (तृतीय शताब्दी ईसा पूर्व) काम "बिगिनिंग्स" में निम्नलिखित परिभाषा देता है: "समानांतर सीधी रेखाएं हैं जो एक ही विमान में हैं और दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक विस्तारित होने के कारण, दोनों तरफ एक दूसरे के साथ नहीं मिलती हैं"।
पोसिडोनियस (पहली शताब्दी ईसा पूर्व) "एक ही विमान में पड़ी दो सीधी रेखाएं, एक दूसरे से समान दूरी पर"
प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक पप्पस (तृतीय शताब्दी ईसा पूर्व) ने समानांतर रेखाओं का प्रतीक पेश किया - चिन्ह =। इसके बाद, अंग्रेजी अर्थशास्त्री रिकार्डो (1720-1823) ने इस प्रतीक को एक समान चिह्न के रूप में इस्तेमाल किया।
केवल 18वीं शताब्दी में उन्होंने समानांतर रेखाओं के प्रतीक - चिन्ह || का उपयोग करना शुरू किया।
पीढ़ियों के बीच का सजीव संबंध एक क्षण के लिए भी बाधित नहीं होता है, प्रतिदिन हम अपने पूर्वजों द्वारा संचित अनुभव को सीखते हैं। प्राचीन यूनानियों, टिप्पणियों और व्यावहारिक अनुभव के आधार पर, निष्कर्ष निकाला, परिकल्पना व्यक्त की, और फिर, वैज्ञानिकों की बैठकों में - संगोष्ठी (शाब्दिक रूप से "दावत") - उन्होंने इन परिकल्पनाओं को प्रमाणित करने और साबित करने की कोशिश की। उस समय, कथन का गठन किया गया था: "सत्य का जन्म विवाद में होता है।"
प्रशन:
- एक त्रिभुज क्या है?
- त्रिभुज योग प्रमेय क्या कहता है?
- त्रिभुज का बाहरी कोण क्या है?
