आइए एलसीएम - कम से कम सामान्य एकाधिक, परिभाषा, उदाहरण अनुभाग में शुरू किए गए कम से कम सामान्य गुणक के बारे में चर्चा जारी रखें। इस विषय में, हम तीन या अधिक संख्याओं के लिए LCM खोजने के तरीकों पर विचार करेंगे, हम इस प्रश्न का विश्लेषण करेंगे कि ऋणात्मक संख्या का LCM कैसे ज्ञात किया जाए।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

हम पहले ही सबसे छोटे सामान्य गुणक और सबसे बड़े सामान्य भाजक के बीच संबंध स्थापित कर चुके हैं। अब आइए जानें कि GCD के माध्यम से LCM को कैसे परिभाषित किया जाए। सबसे पहले, आइए जानें कि सकारात्मक संख्याओं के लिए यह कैसे करें।

परिभाषा 1

आप सूत्र LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) का उपयोग करके सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक पा सकते हैं।

उदाहरण 1

संख्या 126 और 70 का LCM ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए a = 126 , b = 70 लें। सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) के माध्यम से अल्पतम समापवर्त्य की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।

संख्या 70 और 126 की GCD ज्ञात करता है। इसके लिए हमें यूक्लिड एल्गोरिथम की आवश्यकता है: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, इसलिए जीसीडी (126 , 70) = 14 .

आइए एलसीएम की गणना करें: एलसीएम (126, 70) = 126 70: जीसीडी (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

उत्तर:एलसीएम (126, 70) = 630।

उदाहरण 2

68 और 34 की संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस मामले में जीसीडी खोजना आसान है, क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है। सूत्र का उपयोग करके कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें: एलसीएम (68, 34) = 68 34: जीसीडी (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

उत्तर:एलसीएम (68, 34) = 68।

इस उदाहरण में, हमने सकारात्मक पूर्णांकों a और b के सबसे छोटे सामान्य गुणकों को खोजने के लिए नियम का उपयोग किया है: यदि पहली संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का LCM पहली संख्या के बराबर होगा।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

अब आइए एलसीएम को खोजने का एक तरीका देखें, जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन पर आधारित है।

परिभाषा 2

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, हमें कई सरल चरण करने होंगे:

• हम संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं जिसके लिए हमें LCM ज्ञात करने की आवश्यकता होती है;
• हम सभी प्रमुख कारकों को उनके प्राप्त उत्पादों से बाहर करते हैं;
• सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को समाप्त करने के बाद प्राप्त उत्पाद दी गई संख्याओं के एलसीएम के बराबर होगा।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का यह तरीका समानता LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) पर आधारित है। यदि आप सूत्र को देखें, तो यह स्पष्ट हो जाता है: संख्याओं a और b का गुणनफल उन सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के विस्तार में शामिल होते हैं। इस स्थिति में, दो संख्याओं का GCD उन सभी अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के गुणनखंडों में एक साथ मौजूद होते हैं।

उदाहरण 3

हमारे पास दो संख्याएँ 75 और 210 हैं। हम उन्हें इस तरह से निकाल सकते हैं: 75 = 3 5 5तथा 210 = 2 3 5 7. यदि आप दो मूल संख्याओं के सभी गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, तो आपको प्राप्त होता है: 2 3 3 5 5 5 7.

यदि हम संख्या 3 और 5 दोनों के सामान्य गुणनखंडों को हटा दें, तो हमें निम्नलिखित रूप का गुणनफल प्राप्त होता है: 2 3 5 5 7 = 1050. यह उत्पाद संख्या 75 और 210 के लिए हमारा एलसीएम होगा।

उदाहरण 4

संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए 441 तथा 700 , दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करना।

समाधान

आइए शर्त में दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

हमें संख्याओं की दो श्रृंखलाएँ मिलती हैं: 441 = 3 3 7 7 और 700 = 2 2 5 5 7।

इन संख्याओं के विस्तार में भाग लेने वाले सभी कारकों का गुणनफल इस तरह दिखेगा: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. आइए सामान्य कारक खोजें। यह संख्या 7 है। हम इसे सामान्य उत्पाद से बाहर करते हैं: 2 2 3 3 5 5 7 7. यह पता चला है कि एनओसी (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

उत्तर:एलसीएम (441 , 700) = 44 100।

आइए हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके LCM ज्ञात करने की विधि का एक और सूत्रीकरण दें।

परिभाषा 3

पहले, हमने दोनों संख्याओं के सामान्य कारकों की कुल संख्या से बाहर रखा था। अब हम इसे अलग तरीके से करेंगे:

• आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
• पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• हमें वह गुणनफल प्राप्त होता है, जो दो संख्याओं का वांछित LCM होगा।

उदाहरण 5

आइए 75 और 210 की संख्या पर वापस जाएं, जिसके लिए हम पिछले उदाहरणों में से एक में एलसीएम की तलाश कर चुके हैं। आइए उन्हें सरल कारकों में विभाजित करें: 75 = 3 5 5तथा 210 = 2 3 5 7. गुणनखंड 3 , 5 और . के गुणनफल के लिए 5 संख्या 75 लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें 2 तथा 7 संख्या 210। हम पाते हैं: 2 3 5 5 7 .यह संख्या 75 और 210 का एलसीएम है।

उदाहरण 6

84 और 648 संख्याओं के एलसीएम की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए स्थिति से संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें: 84 = 2 2 3 7तथा 648 = 2 2 2 3 3 3 3. गुणनखंड 2 , 2 , 3 और . के गुणनफल में जोड़ें 7 संख्या 84 लुप्त गुणनखंड 2 , 3 , 3 और
3 संख्या 648। हमें उत्पाद मिलता है 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536।यह 84 और 648 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम (84, 648) = 4536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

हम चाहे कितनी भी संख्याओं के साथ काम कर रहे हों, हमारे कार्यों का एल्गोरिथ्म हमेशा समान रहेगा: हम लगातार दो संख्याओं का LCM पाएंगे। इस मामले के लिए एक प्रमेय है।

प्रमेय 1

मान लीजिए हमारे पास पूर्णांक हैं ए 1 , ए 2 ,… , एक के. अनापत्ति प्रमाण पत्र एम कोइन संख्याओं में से अनुक्रमिक गणना m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) में पाई जाती है।

अब आइए देखें कि प्रमेय को विशिष्ट समस्याओं पर कैसे लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 7

आपको चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और . के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करने की आवश्यकता है 250 .

समाधान

आइए अंकन का परिचय दें: एक 1 \u003d 140, एक 2 \u003d 9, एक 3 \u003d 54, एक 4 \u003d 250।

आइए m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) की गणना करके शुरू करें। आइए 140 और 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 की जीसीडी की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करें। हम प्राप्त करते हैं: जीसीडी (140, 9) = 1, एलसीएम (140, 9) = 140 9: जीसीडी (140, 9) = 140 9: 1 = 1260। इसलिए, एम 2 = 1 260।

आइए अब उसी एल्गोरिथम के अनुसार गणना करें m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) । गणना के क्रम में, हमें m 3 = 3 780 प्राप्त होता है।

यह हमारे लिए m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) की गणना करना बाकी है। हम एक ही एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं। हमें एम 4 \u003d 94 500 मिलता है।

उदाहरण शर्त से चार संख्याओं का एलसीएम 94500 है।

उत्तर:एलसीएम (140, 9, 54, 250) = 94,500।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना सरल है, लेकिन काफी श्रमसाध्य है। समय बचाने के लिए आप दूसरे रास्ते पर जा सकते हैं।

परिभाषा 4

हम आपको क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिथम प्रदान करते हैं:

• सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें;
• पहली संख्या के गुणनखंडों के गुणनफल में, दूसरी संख्या के गुणनफल से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• तीसरे नंबर के लापता कारकों को पिछले चरण में प्राप्त उत्पाद में जोड़ें, आदि;
• परिणामी उत्पाद स्थिति से सभी संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।

उदाहरण 8

पांच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए सभी पांच संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13। अभाज्य संख्याएँ, जो कि संख्या 7 है, को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में उनके अपघटन के साथ मेल खाती हैं।

अब हम संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 का गुणनफल लेते हैं और उनमें दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ते हैं। हमने संख्या 6 को 2 और 3 में विघटित कर दिया है। ये कारक पहले से ही पहले नंबर के उत्पाद में हैं। इसलिए, हम उन्हें छोड़ देते हैं।

हम लापता गुणकों को जोड़ना जारी रखते हैं। हम संख्या 48 की ओर मुड़ते हैं, अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से, जिनमें से हम 2 और 2 लेते हैं। फिर हम चौथी संख्या से 7 का एक साधारण गुणनखंड और पांचवें के 11 और 13 के गुणनखंड जोड़ते हैं। हम पाते हैं: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। यह पाँच मूल संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना

ऋणात्मक संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए, इन संख्याओं को पहले विपरीत चिह्न वाली संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर उपरोक्त एल्गोरिदम के अनुसार गणना की जानी चाहिए।

उदाहरण 9

एलसीएम(54, −34) = एलसीएम(54, 34) और एलसीएम(−622,−46, −54,−888) = एलसीएम(622, 46, 54, 888)।

इस तरह के कार्यों की अनुमति इस तथ्य के कारण है कि यदि यह स्वीकार किया जाता है कि एकतथा - ए- विपरीत संख्या
फिर गुणकों का समुच्चय एककिसी संख्या के गुणजों के समुच्चय के साथ मेल खाता है - ए.

उदाहरण 10

ऋणात्मक संख्याओं के LCM की गणना करना आवश्यक है − 145 तथा − 45 .

समाधान

चलो नंबर बदलते हैं − 145 तथा − 45 उनके विपरीत संख्याओं के लिए 145 तथा 45 . अब, एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम एलसीएम (145 , 45) = 145 45: जीसीडी (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 की गणना करते हैं, पहले यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके जीसीडी निर्धारित करते हैं।

हम पाते हैं कि संख्याओं का एलसीएम - 145 और − 45 बराबरी 1 305 .

उत्तर:एलसीएम (- 145 , - 45) = 1 305।

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कम से कम सामान्य गुणक खोजने के तीन तरीकों पर विचार करें।

फैक्टरिंग द्वारा ढूँढना

पहला तरीका यह है कि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जाए।

मान लीजिए हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, हम इनमें से प्रत्येक संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित करते हैं:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हों। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को उच्चतम होने वाली घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

तो एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30, या 28 से समान रूप से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए, आपको उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को सबसे बड़े घातांक के साथ लेना होगा जिसके साथ यह होता है, और इन कारकों को एक साथ गुणा करें।

चूँकि सहअभाज्य संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है, उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 सहअभाज्य हैं। इसीलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

विभिन्न अभाज्यों के कम से कम सामान्य गुणकों की तलाश करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरा तरीका यह है कि फिटिंग द्वारा कम से कम सामान्य गुणक का पता लगाया जाए।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या अन्य दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती है, तो इन संख्याओं का LCM उनमें से बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6. उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एनओसी (60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम ऐसी संख्याएँ पाते हैं जो सबसे बड़ी संख्या के गुणज हैं, इसे आरोही क्रम में प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करते हैं और जाँचते हैं कि क्या शेष दी गई संख्याएँ परिणामी गुणनफल से विभाज्य हैं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। उनमें से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए - यह संख्या 24 है। इसके बाद, वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 24 के गुणज हैं, यह जाँचते हुए कि उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है या नहीं:

24 1 = 24 3 से विभाज्य है लेकिन 18 से विभाज्य नहीं है।

24 2 = 48 - 3 से विभाज्य लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 3 \u003d 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

तो एलसीएम (24, 3, 18) = 72।

अनुक्रमिक खोज एलसीएम द्वारा ढूँढना

तीसरा तरीका एलसीएम को क्रमिक रूप से खोजकर कम से कम सामान्य गुणक खोजना है।

दो दी गई संख्याओं का LCM उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

उदाहरण 1. दो दी गई संख्याओं का एलसीएम खोजें: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: जीसीडी (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

अत: LCM(12, 8) = 24.

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. सबसे पहले, दी गई संख्याओं में से किन्हीं दो का LCM ज्ञात किया जाता है।
2. फिर, कम से कम सामान्य गुणक का एलसीएम और तीसरी दी गई संख्या।
3. फिर, परिणामी कम से कम सामान्य गुणक और चौथी संख्या का एलसीएम, और इसी तरह।
4. इस प्रकार एलसीएम खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएं होती हैं।

उदाहरण 2. आइए तीन दी गई संख्याओं का एलसीएम खोजें: 12, 8 और 9। हम पिछले उदाहरण में संख्याओं 12 और 8 के एलसीएम को पहले ही ढूंढ चुके हैं (यह संख्या 24 है)। यह 24 का सबसे छोटा सामान्य गुणक और तीसरी दी गई संख्या - 9 को खोजने के लिए बनी हुई है। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: gcd (24, 9) = 3. LCM को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

तो एलसीएम(12, 8, 9) = 72।

भिन्न हर के साथ बीजीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर, भिन्न पहले की ओर ले जाते हैं आम विभाजक. इसका मतलब यह है कि उन्हें ऐसा एक एकल भाजक मिलता है, जो प्रत्येक बीजीय अंश के मूल हर से विभाजित होता है जो इस अभिव्यक्ति का हिस्सा है।

जैसा कि आप जानते हैं, यदि किसी भिन्न के अंश और हर को शून्य के अलावा उसी संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। यह अंश का मुख्य गुण है। इसलिए, जब भिन्न एक सामान्य भाजक की ओर ले जाते हैं, वास्तव में, प्रत्येक भिन्न के मूल हर को लापता कारक से एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है। इस मामले में, इस कारक और अंश के अंश से गुणा करना आवश्यक है (यह प्रत्येक अंश के लिए अलग है)।

उदाहरण के लिए, बीजीय भिन्नों का निम्नलिखित योग दिया गया है:

व्यंजक को सरल बनाना आवश्यक है, अर्थात् दो बीजीय भिन्नों को जोड़ना। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, पदों-अंशों को एक सामान्य हर में कम करना आवश्यक है। पहला कदम एक एकपदी को खोजना है जो 3x और 2y दोनों से विभाज्य हो। इस मामले में, यह वांछनीय है कि यह सबसे छोटा हो, यानी, 3x और 2y के लिए सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM) खोजें।

संख्यात्मक गुणांक और चर के लिए, एलसीएम को अलग से खोजा जाता है। एलसीएम(3, 2) = 6 और एलसीएम(x, y) = xy. इसके अलावा, पाए गए मूल्यों को गुणा किया जाता है: 6xy।

अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि 6xy प्राप्त करने के लिए हमें किस कारक से 3x गुणा करने की आवश्यकता है:
6xy 3x = 2y

इसका मतलब यह है कि जब पहले बीजगणितीय अंश को एक सामान्य हर में घटाया जाता है, तो इसके अंश को 2y से गुणा किया जाना चाहिए (एक सामान्य भाजक को घटाकर हर को पहले ही गुणा किया जा चुका है)। दूसरे भिन्न के अंश के गुणनखंड को इसी प्रकार खोजा जाता है। यह 3x के बराबर होगा।

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं:

इसके अलावा, समान भाजक के साथ भिन्न के रूप में कार्य करना पहले से ही संभव है: अंश जोड़े जाते हैं, और हर में एक सामान्य लिखा जाता है:

परिवर्तनों के बाद, एक सरलीकृत अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जो एक बीजीय अंश है, जो दो मूल अंशों का योग है:

मूल व्यंजक में बीजीय भिन्नों में ऐसे हर हो सकते हैं जो एकपदी के बजाय बहुपद हों (जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है)। इस मामले में, एक सामान्य भाजक को खोजने से पहले, भाजक (यदि संभव हो) का गुणनखंड करें। इसके अलावा, आम भाजक को विभिन्न कारकों से एकत्र किया जाता है। यदि गुणनखंड कई प्रारंभिक हरों में है, तो इसे एक बार लिया जाता है। यदि मूल हर में गुणक की अलग-अलग डिग्री होती है, तो इसे एक बड़े के साथ लिया जाता है। उदाहरण के लिए:

यहाँ बहुपद a 2 - b 2 को एक गुणनफल (a - b)(a + b) के रूप में दर्शाया जा सकता है। गुणनखंड 2a – 2b को 2(a – b) के रूप में विस्तारित किया जाता है। इस प्रकार, उभयनिष्ठ हर 2(a - b)(a + b) के बराबर होगा।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एनओसी खोजें

जीसीडी और एनओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट क्षेत्र में नंबर दर्ज करें
• गलत वर्ण दर्ज करने की स्थिति में, इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा
• बटन दबाएं "जीसीडी और एनओसी खोजें"

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का gcd और lcm ज्ञात करना कठिन नहीं होगा

एनओडी और एनओके क्या है?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याओं का वह सबसे बड़ा प्राकृत पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संक्षिप्त रूप में है जीसीडी.
आम एकाधिककई संख्याएँ वह छोटी से छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

कैसे जांचें कि कोई संख्या शेष के बिना किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें मिलाकर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों द्वारा विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या की 2 . से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 2 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा निकला हो, आप उसी प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं। फिर से।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 3 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 5 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 9 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का GCD कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे आसान तरीका इन संख्याओं के सभी संभावित भाजक ज्ञात करना और उनमें से सबसे बड़ा चुनना है।

GCD(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं, अर्थात् वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 \u003d 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणज लिख सकते हैं, और फिर उनमें से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की GCD ज्ञात करना है। आइए बस इस पर विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले मिली जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) पहले से ही 4 . के रूप में जाना जाता है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

एकाधिक संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है। साथ ही, कई संख्याओं की GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्न संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

इसी तरह का संबंध संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों पर भी लागू होता है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए GCD और LCM ज्ञात कीजिए।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 ।
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद जीसीडी देगा: 1 2 2 = 4
4. अब आइए एलसीएम खोजें: इसके लिए हम सबसे पहले एलसीएम(12, 32): 12 32/4 = 96 पाते हैं।
5. तीनों संख्याओं का एलसीएम खोजने के लिए, आपको जीसीडी (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, जीसीडी = 1 2 2 3 = 12 खोजने की जरूरत है।
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

निम्नलिखित समस्या के समाधान पर विचार करें। लड़के का कदम 75 सेमी है, और लड़की का कदम 60 सेमी है। यह न्यूनतम दूरी ज्ञात करना आवश्यक है जिस पर दोनों एक पूर्णांक संख्या में कदम उठाएंगे।

समाधान।लोग जिस पूरे रास्ते से गुजरेंगे, वह बिना किसी शेषफल के 60 और 70 से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि उनमें से प्रत्येक को पूर्णांक संख्या में कदम उठाने होंगे। दूसरे शब्दों में, उत्तर 75 और 60 दोनों का गुणज होना चाहिए।

सबसे पहले, हम संख्या 75 के लिए सभी गुणजों को लिखेंगे। हमें प्राप्त होता है:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

अब आइए उन संख्याओं को लिखें जो 60 का गुणज हों। हमें प्राप्त होता है:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

अब हम उन संख्याओं को ज्ञात करते हैं जो दोनों पंक्तियों में हैं।

• संख्याओं का सामान्य गुणज संख्याएँ, 300, 600 आदि होंगी।

उनमें से सबसे छोटी संख्या 300 है। इस मामले में, इसे 75 और 60 की संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा।

समस्या की स्थिति में लौटते हुए, सबसे छोटी दूरी जिस पर लोग पूर्णांक संख्या में कदम उठाते हैं वह 300 सेमी होगा।लड़का 4 चरणों में इस तरह से जाएगा, और लड़की को 5 कदम उठाने की आवश्यकता होगी।

कम से कम सामान्य गुणक ढूँढना

• दो प्राकृत संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्त्य वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में लिखना आवश्यक नहीं है।

आप निम्न विधि का उपयोग कर सकते हैं।

कम से कम सामान्य गुणक कैसे खोजें

सबसे पहले, आपको इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा।

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

अब हम उन सभी गुणनखंडों को लिखते हैं जो पहली संख्या (2,2,3,5) के विस्तार में हैं और दूसरी संख्या (5) के विस्तार से सभी लुप्त गुणनखंडों को इसमें जोड़ते हैं।

नतीजतन, हमें अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला मिलती है: 2,2,3,5,5। इन संख्याओं का गुणनफल इन संख्याओं के लिए अल्पतम समापवर्तक होगा। 2*2*3*5*5 = 300.

अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने की सामान्य योजना

• 1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।
• 2. उन अभाज्य कारकों को लिखिए जो उनमें से किसी एक का भाग हैं।
• 3. इन कारकों में उन सभी को जोड़ें जो बाकी के अपघटन में हैं, लेकिन चयनित में नहीं हैं।
• 4. लिखे गए सभी कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यह विधि सार्वभौमिक है। इसका उपयोग प्राकृतिक संख्याओं की किसी भी संख्या के सबसे छोटे सामान्य गुणकों को खोजने के लिए किया जा सकता है।