"फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु" - महत्वपूर्ण बिंदु। महत्वपूर्ण बिंदुओं में चरम बिंदु हैं। एक चरम के लिए एक आवश्यक शर्त। उत्तर: 2. परिभाषा। लेकिन, अगर f "(x0) = 0, तो यह आवश्यक नहीं है कि बिंदु x0 एक चरम बिंदु होगा। चरम बिंदु (पुनरावृत्ति)। फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु। चरम बिंदु।

"कोऑर्डिनेट प्लेन ग्रेड 6" - गणित ग्रेड 6। 1. X. 1. बिंदुओं A, B, C, D: -6 के निर्देशांक खोजें और लिखें। कार्तिकये निर्देशांक। ओ -3। 7. डब्ल्यू.

"कार्य और उनके रेखांकन" - निरंतरता। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान। उलटा कार्य की अवधारणा। रैखिक। लघुगणक। मोनोटोन। यदि k > 0 है, तो बना कोण न्यून है, यदि k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"फ़ंक्शंस ग्रेड 9" - फ़ंक्शंस पर मान्य अंकगणितीय संचालन। [+] - जोड़, [-] - घटाव, [*] - गुणा, [:] - भाग। ऐसे मामलों में, कोई फ़ंक्शन के चित्रमय विनिर्देश की बात करता है। प्राथमिक कार्यों के एक वर्ग का गठन। पावर फंक्शन वाई = x0.5। इओवलेव मैक्सिम निकोलाइविच, RIOU रादुज़स्काया स्कूल की 9 वीं कक्षा का छात्र है।

"पाठ स्पर्शरेखा समीकरण" - 1. फ़ंक्शन ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की अवधारणा को स्पष्ट करें। लाइबनिज ने मनमाना वक्र पर स्पर्श रेखा खींचने की समस्या पर विचार किया। ग्राफ y=f(x) की स्पर्श रेखा के समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम। पाठ विषय: परीक्षण: किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं। स्पर्शरेखा समीकरण। प्रवाह। ग्रेड 10। समझें कि आइजैक न्यूटन ने एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे कहा।

"फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएँ" - फ़ंक्शन y=3cosx दिया गया है। फलन का ग्राफ y=m*sin x. फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करें। सामग्री: एक फ़ंक्शन दिया गया: y=sin (x+?/2)। ग्राफ y=cosx को y अक्ष के अनुदिश खींचना। जारी रखने के लिए एल दबाएं। माउस बटन। फलन y=cosx+1 दिया गया है। ग्राफ़ ऑफ़सेट y=sinx लंबवत रूप से। फलन y=3sinx दिया गया है। ग्राफ़ ऑफ़सेट y=cosx क्षैतिज रूप से।

विषय में कुल 25 प्रस्तुतियाँ हैं

इस लेख में, हम देखेंगे रैखिक प्रकार्य, एक रेखीय फलन का आलेख और उसके गुण। और, हमेशा की तरह, हम इस विषय पर कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

रैखिक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है

फलन समीकरण में जिस संख्या से हम गुणा करते हैं उसे ढाल कारक कहते हैं।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन समीकरण में;

फ़ंक्शन समीकरण में;

फ़ंक्शन समीकरण में;

फ़ंक्शन समीकरण में।

एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है।

एक । फ़ंक्शन प्लॉट करने के लिए, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित दो बिंदुओं के निर्देशांक चाहिए। उन्हें खोजने के लिए, आपको दो x मान लेने होंगे, उन्हें फ़ंक्शन के समीकरण में स्थानापन्न करना होगा, और उनसे संबंधित y मानों की गणना करनी होगी।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, इसे लेना सुविधाजनक है और, फिर इन बिंदुओं के निर्देशांक और के बराबर होंगे।

हमें अंक A(0;2) और B(3;3) मिलते हैं। आइए उन्हें कनेक्ट करें और फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करें:

2 . फ़ंक्शन समीकरण में, फ़ंक्शन ग्राफ़ के ढलान के लिए गुणांक जिम्मेदार है:

शीर्षक = "(!LANG:k>0">!}

अक्ष के साथ ग्राफ को स्थानांतरित करने के लिए गुणांक जिम्मेदार है:

शीर्षक = "(!LANG:b>0">!}

नीचे दिया गया आंकड़ा कार्यों के रेखांकन दिखाता है; ;

ध्यान दें कि इन सभी कार्यों में गुणांक शून्य से ऊपर सही. इसके अलावा, मान जितना बड़ा होता है, सीधी रेखा उतनी ही तेज होती जाती है।

सभी कार्यों में - और हम देखते हैं कि सभी ग्राफ़ ओए अक्ष को बिंदु (0; 3) पर काटते हैं

अब फ़ंक्शन ग्राफ़ पर विचार करें; ;

इस बार सभी कार्यों में गुणांक शून्य से कम, और सभी फ़ंक्शन ग्राफ़ विषम हैं बांई ओर.

ध्यान दें कि |k| जितना बड़ा होगा, रेखा उतनी ही तेज होगी। गुणांक b समान है, b=3, और ग्राफ़, पिछले मामले की तरह, OY अक्ष को बिंदु (0;3) पर पार करते हैं

कार्यों के रेखांकन पर विचार करें; ;

अब फलनों के सभी समीकरणों में गुणांक बराबर होते हैं। और हमें तीन समानांतर रेखाएँ मिलीं।

लेकिन गुणांक b भिन्न हैं, और ये रेखांकन OY अक्ष को विभिन्न बिंदुओं पर काटते हैं:

फ़ंक्शन का ग्राफ (b=3) ओए अक्ष को बिंदु (0;3) पर पार करता है

फ़ंक्शन का ग्राफ (b=0) ओए अक्ष को बिंदु (0;0) - मूल बिंदु पर पार करता है।

फ़ंक्शन का ग्राफ (b=-2) ओए अक्ष को बिंदु (0;-2) पर पार करता है

इसलिए, यदि हम गुणांक k और b के संकेतों को जानते हैं, तो हम तुरंत कल्पना कर सकते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है।

यदि एक क<0 и b>0 , तब फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह दिखता है:

यदि एक के>0 और बी>0 ,तब फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह दिखता है:

यदि एक कश्मीर>0 और बी<0 , तब फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह दिखता है:

यदि एक क<0 и b<0 , तब फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह दिखता है:

यदि एक के = 0,तब फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन में बदल जाता है और इसका ग्राफ इस तरह दिखता है:

फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सभी बिंदुओं के निर्देशांक बराबर हैं

यदि एक बी = 0, तो फ़ंक्शन का ग्राफ मूल से होकर गुजरता है:

यह प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ.

3. अलग से, मैं समीकरण के ग्राफ को नोट करता हूं. इस समीकरण का आलेख अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, जिसके सभी बिंदुओं पर एक भुज होता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण ग्राफ इस तरह दिखता है:

ध्यान!समीकरण एक फ़ंक्शन नहीं है, क्योंकि तर्क के विभिन्न मान फ़ंक्शन के समान मान से मेल खाते हैं, जो इसके अनुरूप नहीं है।

4 . दो पंक्तियों के समांतरता के लिए शर्त:

फंक्शन ग्राफ फ़ंक्शन के ग्राफ के समानांतर, यदि

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति:

फंक्शन ग्राफ फ़ंक्शन के ग्राफ के लंबवतमैं के लिए

6. निर्देशांक अक्षों के साथ फलन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु।

ओए अक्ष के साथ।ओए अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु का भुज शून्य के बराबर होता है। इसलिए, ओए अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु को खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के समीकरण में x के बजाय शून्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें y=b प्राप्त होता है। यही है, ओए अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु में निर्देशांक (0; बी) हैं।

ओएक्स अक्ष के साथ: OX अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु की कोटि शून्य होती है। इसलिए, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के समीकरण में y के बजाय शून्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें 0=kx+b मिलता है। यहाँ से। अर्थात्, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (; 0) हैं:

समस्या समाधान पर विचार करें।

एक । फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं यदि यह ज्ञात हो कि यह बिंदु A (-3; 2) से होकर गुजरता है और रेखा y \u003d -4x के समानांतर है।

फ़ंक्शन समीकरण में दो अज्ञात पैरामीटर हैं: k और b। इसलिए, समस्या के पाठ में दो स्थितियां होनी चाहिए जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ को चिह्नित करती हैं।

ए) इस तथ्य से कि फ़ंक्शन का ग्राफ सीधी रेखा y=-4x के समानांतर है, यह इस प्रकार है कि k=-4। अर्थात्, फ़ंक्शन के समीकरण का रूप है

बी) यह हमारे लिए बी खोजने के लिए रहता है। यह ज्ञात है कि फ़ंक्शन का ग्राफ बिंदु A (-3; 2) से होकर गुजरता है। यदि कोई बिंदु किसी फ़ंक्शन के ग्राफ से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक को फ़ंक्शन के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही समानता मिलती है:

इसलिए बी=-10

इस प्रकार, हमें फ़ंक्शन को प्लॉट करने की आवश्यकता है

बिंदु A(-3;2) हमें ज्ञात है, बिंदु B(0;-10) लें

आइए इन बिंदुओं को निर्देशांक तल में रखें और उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़ें:

2. बिंदुओं A(1;1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए; बी (2; 4)।

यदि रेखा दिए गए निर्देशांक वाले बिंदुओं से गुजरती है, तो बिंदुओं के निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं। अर्थात्, यदि हम बिंदुओं के निर्देशांकों को एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता प्राप्त होगी।

समीकरण में प्रत्येक बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें और रैखिक समीकरणों का एक निकाय प्राप्त करें।

हम पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से घटाते हैं, और हमें मिलता है। प्रणाली के पहले समीकरण में k का मान रखें और b=-2 प्राप्त करें।

तो, एक सीधी रेखा का समीकरण।

3. प्लॉट समीकरण

अज्ञात के किन मूल्यों पर कई कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर है, आपको प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करने और खाते में लेने की आवश्यकता है प्रत्येक गुणक।

इस समीकरण का ODZ पर कोई प्रतिबंध नहीं है। आइए हम दूसरे कोष्ठक का गुणनखंड करें और प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करें। हमें समीकरणों का एक सेट मिलता है:

हम एक निर्देशांक तल में समुच्चय के सभी समीकरणों के आलेख बनाते हैं। यह समीकरण का ग्राफ है :

चार । फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं यदि यह सीधी रेखा के लंबवत है और बिंदु M (-1; 2) से होकर गुजरता है

हम एक ग्राफ नहीं बनाएंगे, हम केवल एक सीधी रेखा का समीकरण पाएंगे।

a) चूँकि फलन का ग्राफ, यदि यह सीधी रेखा के लंबवत है, तो यहाँ से। अर्थात्, फ़ंक्शन के समीकरण का रूप है

ख) हम जानते हैं कि फलन का ग्राफ बिंदु M (-1; 2) से होकर गुजरता है। इसके निर्देशांकों को फलन के समीकरण में रखिए। हम पाते हैं:

यहाँ से।

इसलिए, हमारा कार्य इस तरह दिखता है: .

5. फंक्शन प्लॉट करें

आइए फ़ंक्शन समीकरण के दाईं ओर के व्यंजक को सरल करें।

महत्वपूर्ण!व्यंजक को सरल बनाने से पहले, आइए इसका ODZ ज्ञात करें।

भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए title="(!LANG:x1">, title="एक्स 1">.!}

तब हमारा कार्य बन जाता है:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

यही है, हमें एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने और उस पर दो बिंदुओं को बाहर निकालने की आवश्यकता है: एब्सिसस x = 1 और x = -1 के साथ:

रैखिक समीकरण और असमानताएँ I

3 रैखिक फलन और उनके रेखांकन

समानता पर विचार करें

पर = 2एक्स + 1. (1)

एक अक्षर का प्रत्येक मान एक्स यह समानता पत्र के एक सुपरिभाषित अर्थ को जोड़ती है पर . यदि, उदाहरण के लिए, एक्स = 0, तब पर = 20 + 1 = 1; यदि एक्स = 10, तब पर = 2 10 + 1 = 21; पर एक्स \u003d - 1/2 हमारे पास y \u003d 2 (- 1/2) + 1 \u003d 0, आदि हैं। आइए एक और समानता की ओर मुड़ें:

पर = एक्स 2 (2)

प्रत्येक मान एक्स यह समानता, समानता (1) की तरह, एक अच्छी तरह से परिभाषित मूल्य को जोड़ती है पर . यदि, उदाहरण के लिए, एक्स = 2, तब पर = 4; पर एक्स = - 3 हमें मिलता है पर = 9, आदि। समानताएं (1) और (2) दो मात्राओं को जोड़ती हैं एक्स तथा पर ताकि उनमें से एक का प्रत्येक मान ( एक्स ) किसी अन्य मात्रा के सुपरिभाषित मान से संबद्ध है ( पर ).

यदि मात्रा का प्रत्येक मान एक्समात्रा के एक अच्छी तरह से परिभाषित मूल्य से मेल खाती है पर, तो यह मान परका एक कार्य कहा जाता है एक्स. मूल्य एक्सफ़ंक्शन तर्क कहा जाता है पर.

इस प्रकार, सूत्र (1) और (2) तर्क के दो अलग-अलग कार्यों को परिभाषित करते हैं एक्स .

तर्क समारोह एक्स , फार्म होने

वाई = कुल्हाड़ी + बी , (3)

कहाँ पे एक तथा बी - कुछ दिए गए नंबर, जिन्हें कहा जाता है रैखिक. कोई भी फ़ंक्शन रैखिक फ़ंक्शन के उदाहरण के रूप में कार्य कर सकता है:

वाई = एक्स + 2 (एक = 1, बी = 2);
पर = - 10 (एक = 0, बी = - 10);
पर = - 3एक्स (एक = - 3, बी = 0);
पर = 0 (ए = बी = 0).

जैसा कि आठवीं कक्षा के पाठ्यक्रम से जाना जाता है, फंक्शन ग्राफ वाई = कुल्हाड़ी + बीएक सीधी रेखा है. इसलिए इस फलन को रैखिक कहते हैं।

याद कीजिए कि रैखिक फलन का आलेख कैसे बनाया जाता है वाई = कुल्हाड़ी + बी .

1. फंक्शन ग्राफ वाई = बी . पर एक = 0 रैखिक फलन वाई = कुल्हाड़ी + बी रूप है वाई = बी . इसका ग्राफ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है एक्स और क्रॉस अक्ष पर निर्देशांक के साथ बिंदु पर बी . आकृति 1 में आप फंक्शन y = 2 ( बी > 0), और चित्र 2 में - फ़ंक्शन का ग्राफ़ पर = - 1 (बी < 0).

अगर ही नहीं एक , लेकिन बी शून्य के बराबर है, तो फ़ंक्शन वाई = कुल्हाड़ी + बी रूप है पर = 0. इस स्थिति में, इसका ग्राफ अक्ष के साथ संपाती होता है एक्स (चित्र 3.)

2. फंक्शन ग्राफ वाई = आह . पर बी = 0 रैखिक फलन वाई = कुल्हाड़ी + बी रूप है वाई = आह .

यदि एक एक =/= 0, तो इसका ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली और अक्ष की ओर झुकी हुई एक सीधी रेखा है एक्स एक कोण पर φ , जिसकी स्पर्श रेखा है एक (चित्र 4)। एक सीधी रेखा बनाने के लिए वाई = आह यह अपने किसी एक बिंदु को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो मूल से अलग है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, समानता में वाई = आह एक्स = 1, हमें मिलता है पर = एक . इसलिए, निर्देशांक के साथ बिंदु M (1; एक ) हमारी रेखा पर स्थित है (चित्र 4)। अब मूल बिंदु और बिंदु M से एक सीधी रेखा खींचते हुए, हमें वांछित सीधी रेखा प्राप्त होती है वाई = कुल्हाड़ी .

चित्र 5 एक उदाहरण के रूप में एक सीधी रेखा दिखाता है। पर = 2एक्स (एक > 0), और आकृति 6 में - एक सीधी रेखा वाई = - एक्स (एक < 0).

3. फंक्शन ग्राफ वाई = कुल्हाड़ी + बी .

होने देना बी > 0. फिर रेखा वाई = कुल्हाड़ी + बी वाई = आह पर बी इकाइयां ऊपर। एक उदाहरण के रूप में, चित्र 7 एक सीधी रेखा के निर्माण को दर्शाता है पर = एक्स / 2 + 3.

यदि एक बी < 0, то прямая वाई = कुल्हाड़ी + बी सीधी रेखा के समानांतर शिफ्ट द्वारा प्राप्त किया गया वाई = आह पर - बी इकाइयों नीचे। एक उदाहरण के रूप में, चित्र 8 एक सीधी रेखा के निर्माण को दर्शाता है पर = एक्स / 2 - 3

प्रत्यक्ष वाई = कुल्हाड़ी + बी दूसरे तरीके से बनाया जा सकता है।

कोई भी रेखा पूरी तरह से उसके दो बिंदुओं से निर्धारित होती है। इसलिए, फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए वाई = कुल्हाड़ी + बी यह इसके किन्हीं दो बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, और फिर उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना। आइए इसे फ़ंक्शन के उदाहरण के साथ समझाते हैं पर = - 2एक्स + 3.

पर एक्स = 0 पर = 3, जबकि एक्स = 1 पर = 1. इसलिए, दो बिंदु: M निर्देशांक के साथ (0; 3) और N निर्देशांक के साथ (1; 1) - हमारी लाइन पर स्थित है। निर्देशांक तल पर इन बिंदुओं को चिह्नित करके और उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़ने पर (चित्र 9), हमें फलन का एक आलेख प्राप्त होता है पर = - 2एक्स + 3.

अंक एम और एन के बजाय, निश्चित रूप से, अन्य दो अंक ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, मानों के रूप में एक्स हम ऊपर के रूप में 0 और 1 नहीं, बल्कि 1 और 2.5 चुन सकते हैं। फिर के लिए पर हमें क्रमशः 5 और - 2 के मान मिलेंगे। अंक एम और एन के बजाय, हमारे पास निर्देशांक (- 1; 5) और क्यू निर्देशांक (2.5; - 2) के साथ बिंदु होंगे। ये दो बिंदु, साथ ही बिंदु M और N, वांछित रेखा को पूरी तरह से निर्धारित करते हैं पर = - 2एक्स + 3.

अभ्यास

15. एक ही आकृति पर, कार्यों के रेखांकन बनाएँ:

एक) पर = - 4; बी) पर = -2; में) पर = 0; जी) पर = 2; इ) पर = 4.

क्या ये ग्राफ निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेद करते हैं? यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्दिष्ट करें।

16. एक ही आकृति पर, प्लॉट फ़ंक्शन ग्राफ़:

एक) पर = एक्स / चार ; बी) पर = एक्स / 2; में) पर =एक्स ; जी) पर = 2एक्स ; इ) पर = 4एक्स .

17. एक ही आकृति पर, कार्यों के रेखांकन बनाएँ:

एक) पर = - एक्स / चार ; बी) पर = - एक्स / 2; में) पर = - एक्स ; जी) पर = - 2एक्स ; इ) पर = - 4एक्स .

इन कार्यों के ग्राफ बनाएं (संख्या 18-21) और निर्देशांक अक्षों के साथ इन ग्राफों के चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें।

18. पर = 3+ एक्स . 20. पर = - 4 - एक्स .

19. पर = 2एक्स - 2. 21. पर = 0,5(1 - 3एक्स ).

22. एक फ़ंक्शन ग्राफ़ करें

पर = 2एक्स - 4;

इस ग्राफ का उपयोग करके, पता करें: क) किन मूल्यों के लिए एक्स वाई = 0;

बी) किन मूल्यों पर एक्स मूल्यों पर नकारात्मक और किस पर - सकारात्मक;

ग) किन मूल्यों पर एक्स मात्रा एक्स तथा पर समान संकेत हैं;

घ) किन मूल्यों पर एक्स मात्रा एक्स तथा पर अलग-अलग संकेत हैं।

23. आकृति 10 और 11 में दर्शाई गई रेखाओं के समीकरण लिखिए।

24. रैखिक फलनों का उपयोग करते हुए आपके ज्ञात भौतिक नियमों में से कौन-सा वर्णित है?

25. किसी फ़ंक्शन को कैसे ग्राफ़ करें पर = - (कुल्हाड़ी + बी ) यदि फलन का आलेख दिया गया है वाई = कुल्हाड़ी + बी ?

जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, द्विघात फलन के गुणों और रेखांकन पर कार्य गंभीर कठिनाइयों का कारण बनते हैं। यह बल्कि अजीब है, क्योंकि 8 वीं कक्षा में द्विघात कार्य पारित किया जाता है, और फिर 9वीं कक्षा की पूरी पहली तिमाही परवलय के गुणों द्वारा "जब्ती" की जाती है और इसके रेखांकन विभिन्न मापदंडों के लिए बनाए जाते हैं।

यह इस तथ्य के कारण है कि छात्रों को परवलय बनाने के लिए मजबूर करते हुए, वे व्यावहारिक रूप से ग्राफ़ को "पढ़ने" के लिए समय नहीं देते हैं, अर्थात वे चित्र से प्राप्त जानकारी को समझने का अभ्यास नहीं करते हैं। जाहिर है, यह माना जाता है कि, दो दर्जन रेखांकन बनाने के बाद, एक स्मार्ट छात्र स्वयं सूत्र में गुणांक और ग्राफ की उपस्थिति के बीच संबंध खोजेगा और तैयार करेगा। व्यवहार में, यह काम नहीं करता है। इस तरह के सामान्यीकरण के लिए, गणितीय लघु-अनुसंधान में गंभीर अनुभव की आवश्यकता होती है, जो निश्चित रूप से, अधिकांश नौवीं कक्षा के छात्रों के पास नहीं है। इस बीच, जीआईए में वे अनुसूची के अनुसार गुणांक के संकेतों को ठीक से निर्धारित करने का प्रस्ताव करते हैं।

हम स्कूली बच्चों से असंभव की मांग नहीं करेंगे और ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए केवल एक एल्गोरिदम की पेशकश करेंगे।

तो, फॉर्म का एक फ़ंक्शन y=ax2+bx+cद्विघात कहलाता है, इसका आलेख परवलय होता है। जैसा कि नाम से पता चलता है, मुख्य घटक है कुल्हाड़ी 2. वह है एकशून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, शेष गुणांक ( बीतथा साथ) शून्य के बराबर हो सकता है।

आइए देखें कि इसके गुणांक के संकेत परवलय की उपस्थिति को कैसे प्रभावित करते हैं।

गुणांक के लिए सबसे सरल निर्भरता एक. अधिकांश स्कूली बच्चे आत्मविश्वास से उत्तर देते हैं: "अगर एक> 0, तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि एक < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой एक > 0.

वाई = 0.5x2 - 3x + 1

पर ये मामला एक = 0,5

और अब के लिए एक < 0:

वाई = - 0.5x2 - 3x + 1

इस मामले में एक = - 0,5

गुणांक का प्रभाव साथपालन ​​​​करने में भी काफी आसान है। कल्पना कीजिए कि हम किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना चाहते हैं एक्स= 0. सूत्र में शून्य रखें:

आप = एक 0 2 + बी 0 + सी = सी. परिणाम यह निकला वाई = सी. वह है साथ y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि है। एक नियम के रूप में, इस बिंदु को ग्राफ पर खोजना आसान है। और निर्धारित करें कि यह शून्य से ऊपर है या नीचे। वह है साथ> 0 या साथ < 0.

साथ > 0:

वाई=x2+4x+3

साथ < 0

वाई = एक्स 2 + 4x - 3

तदनुसार, यदि साथ= 0, तो परवलय अनिवार्य रूप से मूल बिंदु से होकर गुजरेगा:

y=x2+4x

पैरामीटर के साथ और अधिक कठिन बी. जिस बिंदु से हम इसे पाएंगे वह न केवल पर निर्भर करता है बीलेकिन से भी एक. यह परवलय का शीर्ष है। इसका भुज (अक्ष निर्देशांक एक्स) सूत्र द्वारा पाया जाता है एक्स इन \u003d - बी / (2 ए). इस तरह, b = - 2ax in. यही है, हम निम्नानुसार कार्य करते हैं: ग्राफ पर हम परवलय के शीर्ष को पाते हैं, इसके भुज का संकेत निर्धारित करते हैं, अर्थात हम शून्य के दाईं ओर देखते हैं ( एक्स इन> 0) या बाईं ओर ( एक्स इन < 0) она лежит.

हालाँकि, यह सब नहीं है। हमें गुणांक के चिन्ह पर भी ध्यान देना चाहिए एक. यानी यह देखने के लिए कि परवलय की शाखाओं को कहां निर्देशित किया जाता है। और उसके बाद ही सूत्र के अनुसार b = - 2ax inसंकेत निर्धारित करें बी.

एक उदाहरण पर विचार करें:

शाखाएं ऊपर की ओर इशारा करती हैं एक> 0, परवलय अक्ष को पार करता है परशून्य से नीचे का मतलब साथ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, एक्स इन> 0. सो b = - 2ax in = -++ = -. बी < 0. Окончательно имеем: एक > 0, बी < 0, साथ < 0.

रैखिक कार्य परिभाषा

आइए हम एक रेखीय फलन की परिभाषा का परिचय दें

परिभाषा

$y=kx+b$ के रूप का एक फलन, जहां $k$ अशून्य है, एक रैखिक फलन कहलाता है।

एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है। संख्या $k$ को रेखा का ढलान कहा जाता है।

$b=0$ के लिए रैखिक फलन को प्रत्यक्ष आनुपातिकता फलन $y=kx$ कहा जाता है।

चित्र 1 पर विचार करें।

चावल। 1. सीधी रेखा के ढलान का ज्यामितीय अर्थ

त्रिभुज ABC पर विचार करें। हम देखते हैं कि $BC=kx_0+b$। $Ox$ अक्ष के साथ $y=kx+b$ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं:

\ \

तो $AC=x_0+\frac(b)(k)$। आइए इन भुजाओं का अनुपात ज्ञात करें:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

दूसरी ओर, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$।

इस प्रकार, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

निष्कर्ष

गुणांक $k$ का ज्यामितीय अर्थ। सीधी रेखा $k$ का ढलान इस सीधी रेखा के ढलान की अक्ष $Ox$ की स्पर्शरेखा के बराबर है।

रैखिक फलन का अध्ययन $f\left(x\right)=kx+b$ और उसका ग्राफ

सबसे पहले, फ़ंक्शन $f\left(x\right)=kx+b$ पर विचार करें, जहां $k > 0$।

1. $f"\बाएं(x\दाएं)=(\बाएं(kx+b\right))"=k>0$. इसलिए, यह फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है। कोई चरम बिंदु नहीं हैं।
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. ग्राफ (चित्र 2)।

चावल। 2. फ़ंक्शन के ग्राफ़ $y=kx+b$, $k > 0$ के लिए।

अब फ़ंक्शन $f\left(x\right)=kx$ पर विचार करें, जहां $k

1. दायरा सभी संख्या है।
2. दायरा सभी संख्या है।
3. $f\बाएं(-x\दाएं)=-kx+b$. फ़ंक्शन न तो सम है और न ही विषम।
4. $x=0,f\बाएं(0\दाएं)=b$ के लिए। $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$ के लिए।

समन्वय अक्षों के साथ चौराहे बिंदु: $\बाएं(-\frac(b)(k),0\right)$ और $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\बाएं(x\दाएं)=(\बाएं(kx\दाएं))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$। इसलिए, फ़ंक्शन में कोई विभक्ति बिंदु नहीं है।
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. ग्राफ (चित्र 3)।