इस लेख में, हम एक निश्चित अभिन्न के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं। इनमें से अधिकांश गुण रीमैन और डारबौक्स की एक निश्चित अभिन्न की अवधारणाओं के आधार पर सिद्ध होते हैं।

निश्चित समाकल की गणना अक्सर पहले पांच गुणों का उपयोग करके की जाती है, इसलिए जब आवश्यक हो तो हम उनका उल्लेख करेंगे। निश्चित समाकल के शेष गुण मुख्य रूप से विभिन्न व्यंजकों का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

आगे बढ़ने से पहले एक निश्चित अभिन्न के मूल गुण, हम सहमत हैं कि a, b से अधिक नहीं है।

x = a के लिए परिभाषित फलन y = f(x) के लिए, समानता सत्य है।

अर्थात् समान समाकलन सीमा वाले निश्चित समाकल का मान शून्य होता है। यह गुण रीमैन इंटीग्रल की परिभाषा का परिणाम है, क्योंकि इस मामले में अंतराल के किसी भी विभाजन के लिए प्रत्येक अभिन्न योग और अंक के किसी भी विकल्प शून्य के बराबर है, इसलिए, अभिन्न रकम की सीमा शून्य है।

एक खंड पर समाकलनीय फ़ंक्शन के लिए, हमारे पास है .

दूसरे शब्दों में, जब एकीकरण की ऊपरी और निचली सीमाओं को उलट दिया जाता है, तो निश्चित अभिन्न का मान उलट जाता है। एक निश्चित समाकलन का यह गुण भी रीमैन समाकलन की अवधारणा का अनुसरण करता है, केवल एक खंड के विभाजन की संख्या बिंदु x = b से शुरू होनी चाहिए।

फलनों के लिए y = f(x) और y = g(x) एक अंतराल पर समाकलनीय है।

प्रमाण।

हम फ़ंक्शन का अभिन्न योग लिखते हैं खंड के दिए गए विभाजन और बिंदुओं के दिए गए विकल्प के लिए:

खंड के दिए गए विभाजन के लिए क्रमशः y = f(x) और y = g(x) कार्यों के अभिन्न योग कहां और हैं।

सीमा तक जा रहा है हम प्राप्त करते हैं कि, रीमैन इंटीग्रल की परिभाषा के अनुसार, संपत्ति की पुष्टि के दावे के बराबर है।

अचर गुणनखंड को निश्चित समाकल के चिह्न से निकाला जा सकता है। अर्थात्, खंड y = f(x) और एक मनमाना संख्या k पर समाकलनीय फलन के लिए, समानता .

एक निश्चित अभिन्न के इस गुण का प्रमाण पिछले एक के समान है:


मान लीजिए फलन y = f(x) अंतराल X , और . पर समाकलनीय है और फिर .

यह संपत्ति या के लिए और दोनों के लिए मान्य है।

प्रमाण निश्चित समाकल के पिछले गुणों के आधार पर किया जा सकता है।

यदि कोई फलन किसी खंड पर समाकलनीय है, तो वह किसी भी आंतरिक खंड पर भी समाकलनीय है।

सबूत Darboux रकम की संपत्ति पर आधारित है: यदि खंड के मौजूदा विभाजन में नए अंक जोड़े जाते हैं, तो निचला Darboux योग कम नहीं होगा, और ऊपरी नहीं बढ़ेगा।

यदि फलन y = f(x) अंतराल पर और तर्क के किसी भी मान के लिए समाकलनीय है, तो .

यह गुण रीमैन इंटीग्रल की परिभाषा के माध्यम से सिद्ध होता है: खंड और बिंदुओं के विभाजन बिंदुओं के किसी भी विकल्प के लिए कोई भी अभिन्न योग गैर-ऋणात्मक (सकारात्मक नहीं) होगा।

परिणाम।

एक अंतराल पर समाकलनीय फलनों y = f(x) और y = g(x) के लिए, निम्नलिखित असमानताएँ होती हैं:


इस कथन का अर्थ है कि असमानताओं का एकीकरण स्वीकार्य है। हम इस उपफल का प्रयोग निम्नलिखित गुणों को सिद्ध करने के लिए करेंगे।

मान लें कि फलन y = f(x) खंड पर समाकलनीय है, तो असमानता .

प्रमाण।

जाहिर सी बात है . पिछली संपत्ति में, हमने पाया कि असमानता को शब्द दर शब्द एकीकृत किया जा सकता है, इसलिए, यह सच है . इस दोहरी असमानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है .

मान लें कि अंतराल पर फलन y = f(x) और y = g(x) समाकलनीय हैं और तर्क के किसी भी मान के लिए, तब , कहाँ पे और ।

प्रमाण उसी तरह से किया जाता है। चूँकि m और M फलन y = f(x) के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान हैं, तो . दोहरी असमानता को गैर-ऋणात्मक फलन y = g(x) से गुणा करने पर हमें निम्नलिखित दोहरी असमानता प्राप्त होती है। इसे खंड पर एकीकृत करते हुए, हम सिद्ध होने के दावे पर पहुंचते हैं।

परिणाम।

यदि हम g(x) = 1 लेते हैं, तो असमानता का रूप ले लेती है .

औसत के लिए पहला सूत्र।

मान लीजिए फलन y = f(x) खंड पर समाकलनीय है, और , तो एक संख्या ऐसी है कि .

परिणाम।

यदि फलन y = f(x) खंड पर सतत है, तो एक संख्या ऐसी है कि .

सामान्यीकृत रूप में औसत मूल्य का पहला सूत्र।

मान लें कि अंतराल पर फलन y = f(x) और y = g(x) अभिन्न हैं, और, और g(x) > 0 तर्क के किसी भी मान के लिए। फिर एक संख्या ऐसी है कि .

औसत के लिए दूसरा सूत्र।

यदि किसी खंड पर फलन y = f(x) समाकलनीय है और y = g(x) एक स्वर है, तो ऐसी संख्या मौजूद है कि समानता .

इन गुणों का उपयोग इंटीग्रल के रूपांतरणों को करने के लिए किया जाता है ताकि इसे प्राथमिक इंटीग्रल में से एक में लाया जा सके और आगे की गणना की जा सके।

1. अनिश्चितकालीन अभिन्न का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:

2. अनिश्चित समाकल का अंतर समाकलन के बराबर होता है:

3. किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चितकालीन अभिन्न इस फ़ंक्शन के योग और एक मनमाना स्थिरांक के बराबर है:

4. एक अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है:

इसके अलावा, एक 0

5. योग का समाकल (अंतर) समाकलों के योग (अंतर) के बराबर होता है:

6. संपत्ति गुण 4 और 5 का एक संयोजन है:

इसके अलावा, एक ≠ 0 ˄ बी ≠ 0

7. अनिश्चितकालीन अभिन्न की अपरिवर्तनीय संपत्ति:

तो अगर

8. संपत्ति:

तो अगर

वास्तव में, यह गुण चर परिवर्तन विधि का उपयोग करके एकीकरण का एक विशेष मामला है, जिसकी चर्चा अगले भाग में अधिक विस्तार से की गई है।

एक उदाहरण पर विचार करें:

पहले हमने गुण 5 लागू किया, फिर गुण 4, फिर हमने प्रतिअवकलन तालिका का उपयोग किया और परिणाम प्राप्त किया।

हमारे ऑनलाइन इंटीग्रल कैलकुलेटर का एल्गोरिथम ऊपर सूचीबद्ध सभी गुणों का समर्थन करता है और आपके इंटीग्रल के लिए एक विस्तृत समाधान आसानी से मिल जाएगा।

विभेदक कलन में, समस्या हल हो जाती है: दिए गए फलन के अंतर्गत (x) इसका अवकलज ज्ञात कीजिए(या अंतर)। इंटीग्रल कैलकुलस व्युत्क्रम समस्या को हल करता है: फ़ंक्शन F (x) को खोजने के लिए, इसके व्युत्पन्न F को जानना "(x) \u003d (x) (या अंतर)। वांछित फ़ंक्शन F (x) को फ़ंक्शन का एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है। (एक्स)।

फलन F(x) कहलाता है प्राचीनफ़ंक्शन (x) अंतराल पर (a; b), यदि किसी x (a; b) के लिए समानता

एफ " (एक्स)=ƒ(एक्स) (या डीएफ(एक्स)=ƒ(एक्स)डीएक्स)।

उदाहरण के लिए, प्रतिअवकलन फलन y \u003d x 2, x R, एक फलन है, क्योंकि

जाहिर है, एंटीडेरिवेटिव्स भी कोई फंक्शन होंगे

जहाँ C एक अचर है, क्योंकि

प्रमेय 29. 1. यदि फलन F(x) (a;b) पर फलन (x) का प्रतिअवकलन है, तो ƒ(x) के लिए सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय सूत्र F(x)+ द्वारा दिया जाता है। सी, जहां सी एक स्थिर संख्या है।

फलन F(x)+C, ƒ(x) का प्रतिअवकलन है।

वास्तव में, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x)।

मान लीजिए F(x) कुछ अन्य है, F(x), प्रतिअवकलन फलन ƒ(x) से भिन्न है, अर्थात, "(x)=ƒ(x)। तब किसी x є (a; b) के लिए हमारे पास है

और इसका अर्थ है (देखें परिणाम 25.1) कि

जहाँ C एक अचर संख्या है। इसलिए, Ф(х)=F(x)+С.▼

ƒ(x) के लिए सभी आदिम फलनों F(x)+C के समुच्चय को कहा जाता है फलन का अनिश्चित समाकल (x)और प्रतीक (x) dx द्वारा निरूपित किया जाता है।

तो परिभाषा के अनुसार

(x)dx= F(x)+C.

यहाँ (x) कहा जाता है एकीकृत, (एक्स)डीएक्स - एकीकृत,एक्स - एकीकरण चर, ∫ -अनिश्चित अभिन्न संकेत.

किसी फलन का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करने की क्रिया इस फलन का समाकलन कहलाती है।

ज्यामितीय रूप से अनिश्चित अभिन्न "समानांतर" घटता y \u003d F (x) + C (C का प्रत्येक संख्यात्मक मान परिवार के एक निश्चित वक्र से मेल खाता है) का एक परिवार है (चित्र 166 देखें)। प्रत्येक अवकलज (वक्र) के ग्राफ को कहते हैं अभिन्न वक्र.

क्या प्रत्येक फलन का अनिश्चित समाकलन होता है?

एक प्रमेय है जिसमें कहा गया है कि "(ए; बी) पर निरंतर प्रत्येक फ़ंक्शन का इस अंतराल पर एक एंटीडेरिवेटिव होता है", और, परिणामस्वरूप, एक अनिश्चित अभिन्न।

हम अनिश्चित समाकल के कई गुणों को नोट करते हैं जो इसकी परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

1. अनिश्चित समाकल का अंतर समाकलन के बराबर होता है, और अनिश्चित समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है:

डी(∫ (x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ (x)dx) "=ƒ(x).

दरअसल, डी (∫ (एक्स) डीएक्स) \u003d डी (एफ (एक्स) + सी) \u003d डीएफ (एक्स) + डी (सी) \u003d एफ "(एक्स) डीएक्स \u003d ƒ (एक्स) डीएक्स

(∫ (एक्स) डीएक्स) "=(एफ(एक्स)+सी)"=एफ"(एक्स)+0 =ƒ(एक्स)।

इस संपत्ति के लिए धन्यवाद, भेदभाव द्वारा एकीकरण की शुद्धता की पुष्टि की जाती है। उदाहरण के लिए, समानता

(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

सच है, क्योंकि (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4।

2. किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चितकालीन अभिन्न इस फ़ंक्शन के योग और एक मनमाना स्थिरांक के बराबर है:

dF(x)=F(x)+C.

सच में,

3. अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है:

α 0 एक अचर है।

सच में,

(सी 1 / ए \u003d सी डालें)

4. निरंतर फलनों की एक सीमित संख्या के बीजीय योग का अनिश्चितकालीन समाकल फलन के पदों के समाकलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है:

चलो F"(x)=ƒ(x) और G"(x)=g(x)। फिर

जहां सी 1 ± सी 2 \u003d सी।

5. (एकीकरण सूत्र का व्युत्क्रम)।

यदि एक , जहां u=φ(x) एक मनमाना फलन है जिसका एक सतत अवकलज है।

▲ मान लीजिए x एक स्वतंत्र चर है, (x) एक सतत फलन है और F(x) इसका प्रतिअवकलन है। फिर

आइए अब हम u=φ(x) सेट करें, जहां (x) एक निरंतर अवकलनीय फलन है। एक जटिल फलन F(u)=F(φ(x)) पर विचार करें। फलन के प्रथम अवकलन के रूप में अपरिवर्तनशीलता के कारण (देखें पृष्ठ 160), हमारे पास है

यहाँ से▼

इस प्रकार, अनिश्चित समाकलन का सूत्र इस बात की परवाह किए बिना वैध रहता है कि समाकलन चर एक स्वतंत्र चर है या इसका कोई फलन जिसका एक सतत अवकलज है।

तो, सूत्र से x को u (u=φ(x)) से बदलने पर हमें प्राप्त होता है

विशेष रूप से,

उदाहरण 29.1।अभिन्न का पता लगाएं

जहाँ C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

उदाहरण 29.2।अभिन्न समाधान खोजें:

• 29.3. मूल अनिश्चित समाकलों की तालिका

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि समाकलन विभेदन का विलोम है, कोई व्यक्ति अवकलन (अंतरों की तालिका) के संगत सूत्रों को उलट कर और अनिश्चित समाकल के गुणों का उपयोग करके बुनियादी समाकलों की एक तालिका प्राप्त कर सकता है।

उदाहरण के लिए, जैसा

डी (पाप यू) = क्योंकि यू। डु,

एकीकरण के मुख्य तरीकों पर विचार करते समय कई तालिका सूत्रों की व्युत्पत्ति दी जाएगी।

नीचे दी गई तालिका में समाकलकों को सारणीबद्ध समाकलन कहा जाता है। उन्हें दिल से जाना जाना चाहिए। इंटीग्रल कैलकुलस में, डिफरेंशियल कैलकुलस की तरह, प्राथमिक कार्यों से एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए कोई सरल और सार्वभौमिक नियम नहीं हैं। एंटीडेरिवेटिव खोजने के तरीके (यानी, एक फ़ंक्शन को एकीकृत करना) को उन तरीकों को इंगित करने के लिए कम कर दिया जाता है जो एक तालिका में दिए गए (वांछित) अभिन्न अंग लाते हैं। इसलिए, सारणीबद्ध समाकलों को जानना और उन्हें पहचानने में सक्षम होना आवश्यक है।

ध्यान दें कि मूल समाकलन की तालिका में, समाकलन चर और एक स्वतंत्र चर और एक स्वतंत्र चर के एक फलन दोनों को निरूपित कर सकता है (एकीकरण सूत्र के इनवेरियन गुण के अनुसार)।

नीचे दिए गए सूत्रों की वैधता को दाईं ओर के अंतर को लेकर सत्यापित किया जा सकता है, जो सूत्र के बाईं ओर के पूर्णांक के बराबर होगा।

आइए, उदाहरण के लिए, सूत्र 2 की वैधता को सिद्ध करें। फ़ंक्शन 1/u परिभाषित है और u के सभी गैर-शून्य मानों के लिए निरंतर है।

यदि u > 0, तब ln|u|=lnu, तब इसलिए

अगर आप<0, то ln|u|=ln(-u). Ноमाध्यम

तो फॉर्मूला 2 सही है। इसी तरह, आइए फॉर्मूला 15 की जाँच करें:

बुनियादी इंटीग्रल की तालिका

मित्र! हम आपको चर्चा करने के लिए आमंत्रित करते हैं। अगर आपकी कोई राय है तो हमें कमेंट में लिखें।

यह लेख एक निश्चित अभिन्न के मुख्य गुणों के बारे में विस्तार से बात करता है। वे रीमैन और डारबौक्स इंटीग्रल की अवधारणा का उपयोग करके सिद्ध होते हैं। एक निश्चित अभिन्न की गणना, 5 गुणों के लिए धन्यवाद। उनमें से बाकी का उपयोग विभिन्न अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।

निश्चित समाकल के मुख्य गुणों पर जाने से पहले, यह सुनिश्चित कर लेना आवश्यक है कि a, b से अधिक नहीं है।

एक निश्चित अभिन्न के मूल गुण

परिभाषा 1

फ़ंक्शन y \u003d f (x) , x \u003d a के लिए परिभाषित, निष्पक्ष समानता a a f (x) d x \u003d 0 के समान है।

सबूत 1

यहाँ से हम देखते हैं कि समाकलन सीमा के साथ समाकलन का मान शून्य के बराबर होता है। यह रीमैन इंटीग्रल का परिणाम है, क्योंकि अंतराल पर किसी भी विभाजन के लिए प्रत्येक इंटीग्रल योग [ a ; a ] और i का कोई भी विकल्प शून्य के बराबर होता है, क्योंकि x i - x i - 1 = 0 , i = 1, 2 , । . . , n, इसलिए हम पाते हैं कि समाकलन फलनों की सीमा शून्य है।

परिभाषा 2

खंड पर समाकलनीय फ़ंक्शन के लिए [ a ; b ] , शर्त a b f (x) d x = - b a f (x) d x संतुष्ट है।

सबूत 2

दूसरे शब्दों में, यदि आप स्थानों में एकीकरण की ऊपरी और निचली सीमाओं को बदलते हैं, तो समाकलन का मान मान को विपरीत में बदल देगा। यह संपत्ति रीमैन इंटीग्रल से ली गई है। हालाँकि, खंड के विभाजन की संख्या बिंदु x = b से शुरू होती है।

परिभाषा 3

a b f x ± g (x) d x = a b f (x) d x ± a b g (x) d x का उपयोग अंतराल पर परिभाषित y = f (x) और y = g (x) प्रकार के अभिन्न कार्यों के लिए किया जाता है [ a ; बी] ।

सबूत 3

i: = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = के दिए गए विकल्प के साथ खंडों में विभाजित करने के लिए फ़ंक्शन y = f (x) ± g (x) का अभिन्न योग लिखें। i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± i = 1 n g i x i - x i - 1 = σ f ± g

जहां f और g खंड को विभाजित करने के लिए y = f (x) और y = g (x) कार्यों के अभिन्न योग हैं। = m a x i = 1, 2 , पर सीमा तक जाने के बाद। . . , n (x i - x i - 1) → 0 हमें वह lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g मिलता है।

रीमैन की परिभाषा से, यह अभिव्यक्ति समतुल्य है।

परिभाषा 4

एक निश्चित अभिन्न के संकेत से निरंतर कारक लेना। अंतराल से एक समाकलनीय फलन [ a ; b ] k के मनमाना मान के साथ a b k · f (x) d x = k · a b f (x) d x के रूप में एक वैध असमानता है।

सबूत 4

एक निश्चित अभिन्न की संपत्ति का प्रमाण पिछले एक के समान है:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k f ⇒ लिम λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ a b k f (x) d x = k a b f (x) d x

परिभाषा 5

यदि y = f (x) के रूप का कोई फलन a x , b ∈ x के साथ अंतराल x पर समाकलनीय है, तो हम a b f (x) d x = a c f (x) d x + c b f (x) d x प्राप्त करते हैं।

सबूत 5

संपत्ति को c a के लिए वैध माना जाता है; बी, सी ए और सी ≥ बी के लिए। सबूत पिछले गुणों के समान ही किया जाता है।

परिभाषा 6

जब किसी फ़ंक्शन में खंड से समाकलनीय होने की क्षमता होती है [ a ; b ] , तो यह किसी भी आंतरिक खंड c के लिए संभव है; डी ए; बी।

सबूत 6

सबूत Darboux संपत्ति पर आधारित है: यदि किसी खंड के मौजूदा विभाजन में अंक जोड़े जाते हैं, तो निचला Darboux योग कम नहीं होगा, और ऊपरी वाला नहीं बढ़ेगा।

परिभाषा 7

जब कोई फ़ंक्शन [ a ; पर समाकलनीय होता है ; b ] f (x) 0 f (x) ≤ 0 से x a के किसी भी मान के लिए; b , तो हम पाते हैं कि a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 ।

संपत्ति को रीमैन इंटीग्रल की परिभाषा का उपयोग करके साबित किया जा सकता है: खंड के विभाजन बिंदुओं के किसी भी विकल्प के लिए कोई भी अभिन्न योग और i इस शर्त के साथ कि f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 गैर-ऋणात्मक है।

सबूत 7

यदि फलन y = f (x) और y = g (x) खंड [ a ; पर समाकलनीय हैं; बी] , तो निम्नलिखित असमानताओं को मान्य माना जाता है:

∫ a b f (x) d x ≤ a b g (x) d x , f (x) g (x) x ∈ a ; बी ∫ ए बी एफ (एक्स) डी एक्स ≥ ए बी जी (एक्स) डी एक्स, एफ (एक्स) ≥ जी (एक्स) ∀ एक्स ∈ ए; बी

दावे के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि एकीकरण स्वीकार्य है। इस परिणाम का उपयोग अन्य संपत्तियों के प्रमाण में किया जाएगा।

परिभाषा 8

खंड [ a ; से एक समाकलनीय फलन y = f (x) के लिए; b ] हमारे पास a b f (x) d x a b f (x) d x के रूप की एक वैध असमानता है।

सबूत 8

हमारे पास वह है - f (x) f (x) f (x) । पिछली संपत्ति से, हमने प्राप्त किया कि असमानता को शब्द दर शब्द एकीकृत किया जा सकता है और यह फॉर्म की असमानता से मेल खाता है - a b f (x) d x a b f (x) d x a b f (x) d x । इस दोहरी असमानता को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है: a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ।

परिभाषा 9

जब फलन y = f (x) और y = g (x) खंड [ a ; बी] जी (एक्स) ≥ 0 के लिए किसी भी एक्स ∈ ए के लिए; बी, हम फॉर्म की असमानता प्राप्त करते हैं m a b g (x) d x a b f (x) g (x) d x M ∫ a b g (x) d x , जहां m = m i n x ∈ a ; बी एफ (एक्स) और एम = एम एक्स एक्स ∈ ए; बी एफ (एक्स)।

सबूत 9

प्रमाण इसी तरह से किया जाता है। M और m को खंड [ a ; से परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान माना जाता है; बी], फिर एम ≤ एफ (एक्स) ≤ एम। दोहरी असमानता को फलन y = g (x) से गुणा करना आवश्यक है, जो m g (x) f (x) g (x) M g (x) के रूप की दोहरी असमानता का मान देगा। इसे खंड पर एकीकृत करना आवश्यक है [ a ; b] , तब हम सिद्ध होने के लिए अभिकथन प्राप्त करते हैं।

परिणाम: g (x) = 1 के लिए, असमानता m b - a ≤ a b f (x) d x M (b - a) हो जाती है।

पहला औसत सूत्र

परिभाषा 10

y = f (x) के लिए अंतराल पर समाकलनीय [ a ; बी] एम = एम आई एन एक्स ∈ ए के साथ; बी एफ (एक्स) और एम = एम एक्स एक्स ∈ ए; b f (x) एक संख्या है μ m ; M , जो a b f (x) d x = μ · b - a फिट बैठता है।

परिणाम: जब फलन y = f (x) खंड [ a ; बी] , तो ऐसी संख्या सी ∈ ए है; b , जो समानता a b f (x) d x = f (c) b - a को संतुष्ट करता है।

सामान्यीकृत रूप में औसत मूल्य का पहला सूत्र

परिभाषा 11

जब फलन y = f (x) और y = g (x) खंड [ a ; बी] एम = एम आई एन एक्स ∈ ए के साथ; बी एफ (एक्स) और एम = एम एक्स एक्स ∈ ए; b f (x) , और g (x) > 0 x a के किसी भी मान के लिए; बी। अतः हमारे पास एक संख्या μ m है; एम, जो समानता ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · a b g (x) d x को संतुष्ट करता है।

दूसरा माध्य मान सूत्र

परिभाषा 12

जब फलन y = f (x) खंड [ a ; से समाकलनीय है; b ] , और y = g (x) मोनोटोनिक है, तो एक संख्या है कि c a ; बी, जहां हम फॉर्म की उचित समानता प्राप्त करते हैं ए बी एफ (एक्स) जी (एक्स) डी एक्स = जी (ए) ए सी एफ (एक्स) डी एक्स + जी (बी) ∫ सी बी एफ (एक्स) डी एक्स

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इंटीग्रल को हल करना एक आसान काम है, लेकिन केवल अभिजात वर्ग के लिए। यह लेख उन लोगों के लिए है जो इंटीग्रल को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में बहुत कम या कुछ भी नहीं जानते हैं। अभिन्न... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? निश्चित और अनिश्चित समाकल क्या हैं?

यदि आप जिस इंटीग्रल को जानते हैं उसका एकमात्र उपयोग हार्ड-टू-पहुंच स्थानों से एक इंटीग्रल आइकन के आकार में हुक के साथ उपयोगी कुछ प्राप्त करना है, तो आपका स्वागत है! जानें कि सरल और अन्य इंटीग्रल को कैसे हल किया जाए और आप इसके बिना गणित में क्यों नहीं कर सकते।

हम अवधारणा का अध्ययन करते हैं « अभिन्न »

एकीकरण प्राचीन मिस्र में जाना जाता था। बेशक, आधुनिक रूप में नहीं, लेकिन फिर भी। तब से, गणितज्ञों ने इस विषय पर बहुत सारी किताबें लिखी हैं। विशेष रूप से प्रतिष्ठित न्यूटन और लाइबनिट्स लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है।

स्क्रैच से इंटीग्रल को कैसे समझें? बिलकुल नहीं! इस विषय को समझने के लिए, आपको अभी भी गणितीय विश्लेषण के मूलभूत ज्ञान की आवश्यकता होगी। इंटीग्रल को समझने के लिए आवश्यक सीमा और डेरिवेटिव के बारे में जानकारी, हमारे पास पहले से ही हमारे ब्लॉग में है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

चलो कुछ कार्य करते हैं एफ (एक्स) .

फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न एफ (एक्स) इस तरह के एक समारोह कहा जाता है एफ (एक्स) , जिसका व्युत्पन्न कार्य के बराबर है एफ (एक्स) .

दूसरे शब्दों में, एक इंटीग्रल एक रिवर्स डेरिवेटिव या एंटीडेरिवेटिव है। वैसे, डेरिवेटिव की गणना कैसे करें, इस पर हमारा लेख पढ़ें।

सभी निरंतर कार्यों के लिए एक एंटीडेरिवेटिव मौजूद है। इसके अलावा, एक स्थिर चिह्न को अक्सर एंटीडेरिवेटिव में जोड़ा जाता है, क्योंकि कार्यों के डेरिवेटिव जो एक निरंतर संयोग से भिन्न होते हैं। इंटीग्रल खोजने की प्रक्रिया को इंटीग्रेशन कहा जाता है।

सरल उदाहरण:

प्राथमिक कार्यों के प्रतिपदार्थों की लगातार गणना न करने के लिए, उन्हें एक तालिका में लाना और तैयार मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है।

छात्रों के लिए इंटीग्रल की पूरी तालिका

समाकलन परिभाषित करें

एक अभिन्न की अवधारणा के साथ काम करते समय, हम अनंत मात्राओं के साथ काम कर रहे हैं। अभिन्न आकृति के क्षेत्र की गणना करने में मदद करेगा, एक अमानवीय शरीर का द्रव्यमान, असमान गति के दौरान यात्रा की गई पथ, और बहुत कुछ। यह याद रखना चाहिए कि समाकल एक अपरिमित रूप से बड़ी संख्या में अपरिमित रूप से छोटे पदों का योग है।

एक उदाहरण के रूप में, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से बंधी हुई आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? एक अभिन्न की मदद से! आइए निर्देशांक अक्षों और फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरे वक्रीय समलम्बाकार को अन्तर्निहित खंडों में तोड़ें। इस प्रकार, आकृति को पतले स्तंभों में विभाजित किया जाएगा। स्तंभों के क्षेत्रफलों का योग समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा। लेकिन याद रखें कि ऐसी गणना अनुमानित परिणाम देगी। हालाँकि, खंड जितने छोटे और संकरे होंगे, गणना उतनी ही सटीक होगी। यदि हम उन्हें इस हद तक कम करते हैं कि लंबाई शून्य हो जाती है, तो खंडों के क्षेत्रों का योग आकृति के क्षेत्र में आ जाएगा। यह निश्चित समाकलन है, जो इस प्रकार लिखा गया है:

बिंदु a और b को समाकलन की सीमा कहा जाता है।

« अभिन्न »

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डमी के लिए इंटीग्रल की गणना के नियम

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

अनिश्चितकालीन अभिन्न को कैसे हल करें? यहां हम अनिश्चित समाकल के गुणों पर विचार करेंगे, जो उदाहरणों को हल करने में उपयोगी होंगे।

• इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:

• स्थिरांक को अभिन्न चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है:

• योग का समाकल समाकलों के योग के बराबर होता है। अंतर के लिए भी सही:

निश्चित अभिन्न के गुण

• रैखिकता:

• यदि एकीकरण की सीमाएं उलट दी जाती हैं तो अभिन्न परिवर्तन का संकेत:

• पर कोई भीअंक ए, बीऔर साथ:

हम पहले ही जान चुके हैं कि निश्चित समाकल योग की सीमा है। लेकिन उदाहरण को हल करते समय एक विशिष्ट मूल्य कैसे प्राप्त करें? इसके लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र है:

इंटीग्रल को हल करने के उदाहरण

नीचे हम अनिश्चित समाकलन और समाधानों के साथ उदाहरणों पर विचार करते हैं। हम आपको समाधान की पेचीदगियों को स्वतंत्र रूप से समझने की पेशकश करते हैं, और यदि कुछ स्पष्ट नहीं है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।

सामग्री को समेकित करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है, इस पर एक वीडियो देखें। अगर इंटीग्रल तुरंत नहीं दिया जाता है तो निराश न हों। एक पेशेवर छात्र सेवा की ओर मुड़ें, और एक बंद सतह पर कोई भी ट्रिपल या कर्विलिनियर इंटीग्रल आपकी शक्ति के भीतर होगा।