प्रथम कोटि का समांगी अवकल समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है
, जहां f एक फलन है।

सजातीय अंतर समीकरण को कैसे परिभाषित करें

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण समरूप है, किसी को एक स्थिर t का परिचय देना चाहिए और y को ty से और x को tx: y → ty , x → tx से प्रतिस्थापित करना चाहिए। यदि t घटाया जाता है, तो यह सजातीय अंतर समीकरण. इस तरह के परिवर्तन के तहत व्युत्पन्न y′ नहीं बदलता है।
.

उदाहरण

निर्धारित करें कि क्या दिया गया समीकरण सजातीय है

समाधान

हम परिवर्तन करते हैं y → ty , x → tx ।


t . से विभाजित करें 2 .

.
समीकरण में t नहीं है। अतः यह एक समांगी समीकरण है।

एक समांगी अवकल समीकरण को हल करने की विधि

प्रतिस्थापन y = ux का उपयोग करके एक सजातीय प्रथम-क्रम अंतर समीकरण को वियोज्य चर वाले समीकरण में घटाया जाता है। आइए इसे दिखाते हैं। समीकरण पर विचार करें:
(मैं)
हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
वाई = ux
जहाँ u, x का एक फलन है। x के संबंध में अंतर करें:
वाई' =
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं (मैं).
,
,
(ii) .
अलग चर। dx से गुणा करें और x . से भाग दें (एफ (यू) - यू).

f . के लिए (यू) - यू 0और एक्स 0 हम पाते हैं:

हम एकीकृत करते हैं:

इस प्रकार, हमने समीकरण का व्यापक समाकलन प्राप्त किया है (मैं)वर्गों में:

हम एकीकरण स्थिरांक C को द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं लॉग सी, फिर

हम मापांक के संकेत को छोड़ देते हैं, क्योंकि वांछित संकेत निरंतर सी के संकेत की पसंद से निर्धारित होता है। तब सामान्य समाकलन रूप लेगा:

अगला, मामले पर विचार करें f (यू) - यू = 0.
यदि इस समीकरण की जड़ें हैं, तो वे समीकरण का हल हैं (ii). समीकरण के बाद से (ii)मूल समीकरण के साथ मेल नहीं खाता है, तो आपको यह सुनिश्चित करना चाहिए कि अतिरिक्त समाधान मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं (मैं).

जब भी, परिवर्तन की प्रक्रिया में, हम किसी समीकरण को किसी फलन से विभाजित करते हैं, जिसे हम g . के रूप में निरूपित करते हैं (एक्स, वाई), तो आगे के परिवर्तन g . के लिए मान्य हैं (एक्स, वाई) 0. इसलिए, मामला जी (एक्स, वाई) = 0.

प्रथम-क्रम सजातीय अंतर समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

प्रश्न हल करें

समाधान

आइए देखें कि क्या यह समीकरण सजातीय है। हम परिवर्तन करते हैं y → ty , x → tx । इस मामले में, y′ → y′ ।
,
,
.
हम टी से कम करते हैं।

स्थिरांक t कम कर दिया गया है। इसलिए, समीकरण सजातीय है।

हम एक प्रतिस्थापन y = ux बनाते हैं, जहाँ u x का एक फलन है।
वाई' = (यूएक्स) ′ = यू′ एक्स + यू (एक्स) ′ = यू′ एक्स + यू
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
,
,
,
.
एक्स . के लिए 0 , |x| = एक्स। एक्स . के लिए 0 , |x| = - एक्स। हम लिखते हैं |x| = x का अर्थ है कि ऊपरी चिह्न x . के मानों को दर्शाता है 0 , और निचला वाला - मानों के लिए x 0 .
,
dx से गुणा करें और भाग दें।

तुम्हारे लिए 2 - 1 ≠ 0 अपने पास:

हम एकीकृत करते हैं:

टेबल इंटीग्रल,
.

आइए सूत्र लागू करें:
(ए + बी) (ए - बी) = ए 2 - बी 2.
चलो ए = यू,।
.
मोडुलो और लघुगणक दोनों भागों को लें,
.
यहाँ से
.

इस प्रकार हमारे पास है:
,
.
हम मापांक के चिह्न को छोड़ देते हैं, क्योंकि आवश्यक चिह्न अचर C के चिह्न को चुनकर प्रदान किया जाता है।

x से गुणा करें और ux = y प्रतिस्थापित करें।
,
.
आइए इसे चौकोर करें।
,
,
.

अब मामले पर विचार करें, आप 2 - 1 = 0 .
इस समीकरण की जड़ें
.
यह देखना आसान है कि फलन y = x मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

उत्तर

,
,
.

सन्दर्भ:
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, लैन, 2003।

विराम! आइए हम भी इस बोझिल फॉर्मूले को समझने की कोशिश करें।

पहली जगह में कुछ गुणांक के साथ डिग्री में पहला चर होना चाहिए। हमारे मामले में, यह

हमारे मामले में यह है। जैसा कि हमने पाया, इसका मतलब है कि यहां पहले चर के लिए डिग्री अभिसरण करती है। और पहली डिग्री में दूसरा चर जगह में है। गुणांक।

हमारे पास है।

पहला चर घातांक है, और दूसरा चर एक गुणांक के साथ चुकता है। यह समीकरण का अंतिम पद है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारा समीकरण सूत्र के रूप में परिभाषा में फिट बैठता है।

आइए परिभाषा के दूसरे (मौखिक) भाग को देखें।

हमारे पास दो अज्ञात और हैं। यहीं जम जाता है।

आइए सभी शर्तों पर विचार करें। उनमें, अज्ञात की डिग्री का योग समान होना चाहिए।

शक्तियों का योग बराबर होता है।

शक्तियों का योग (पर और पर) के बराबर है।

शक्तियों का योग बराबर होता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ फिट बैठता है!

आइए अब सजातीय समीकरणों को परिभाषित करने का अभ्यास करें।

निर्धारित करें कि कौन से समीकरण सजातीय हैं:

सजातीय समीकरण - संख्याओं के साथ समीकरण:

आइए समीकरण पर अलग से विचार करें।

यदि हम प्रत्येक पद को प्रत्येक पद का विस्तार करके विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है

और यह समीकरण पूरी तरह सजातीय समीकरणों की परिभाषा के अंतर्गत आता है।

सजातीय समीकरणों को कैसे हल करें?

उदाहरण 2

आइए समीकरण को विभाजित करें।

हमारी शर्त के अनुसार, y बराबर नहीं हो सकता। इसलिए, हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं

प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक साधारण द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:

चूंकि यह एक कम द्विघात समीकरण है, हम वीटा प्रमेय का उपयोग करते हैं:

रिवर्स प्रतिस्थापन करने पर, हमें उत्तर मिलता है

उत्तर:

उदाहरण 3

समीकरण को (शर्त के अनुसार) से विभाजित करें।

उत्तर:

उदाहरण 4

अगर खोजें।

यहां आपको विभाजित करने की नहीं, बल्कि गुणा करने की आवश्यकता है। पूरे समीकरण को इससे गुणा करें:

आइए एक प्रतिस्थापन करें और द्विघात समीकरण को हल करें:

रिवर्स प्रतिस्थापन करने पर, हमें उत्तर मिलता है:

उत्तर:

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान।

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान ऊपर वर्णित समाधान विधियों से अलग नहीं है। केवल यहाँ, अन्य बातों के अलावा, आपको थोड़ा त्रिकोणमिति जानने की आवश्यकता है। और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में सक्षम हो (इसके लिए आप अनुभाग पढ़ सकते हैं)।

आइए उदाहरणों पर ऐसे समीकरणों पर विचार करें।

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें।

हम एक विशिष्ट सजातीय समीकरण देखते हैं: और अज्ञात हैं, और प्रत्येक पद में उनकी शक्तियों का योग बराबर है।

समान समांगी समीकरणों को हल करना मुश्किल नहीं है, लेकिन समीकरणों को विभाजित करने से पहले, उस स्थिति पर विचार करें जब

इस मामले में, समीकरण रूप लेगा: लेकिन ज्या और कोज्या एक ही समय में समान नहीं हो सकते, क्योंकि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार। इसलिए, हम इसे सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं:

चूंकि समीकरण कम हो गया है, तो विएटा प्रमेय के अनुसार:

उत्तर:

उदाहरण 6

प्रश्न हल करें।

उदाहरण के रूप में, आपको समीकरण को विभाजित करने की आवश्यकता है। मामले पर विचार करें जब:

लेकिन ज्या और कोज्या एक ही समय में समान नहीं हो सकते, क्योंकि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार। इसीलिए।

आइए एक प्रतिस्थापन करें और द्विघात समीकरण को हल करें:

आइए हम उलटा प्रतिस्थापन करें और खोजें और:

उत्तर:

सजातीय घातीय समीकरणों का समाधान।

सजातीय समीकरणों को उसी तरह हल किया जाता है जैसे ऊपर माना जाता है। यदि आप भूल गए हैं कि घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाए - संबंधित अनुभाग () को देखें!

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 7

प्रश्न हल करें

कल्पना कीजिए कि कैसे:

हम दो चरों और घातों के योग के साथ एक विशिष्ट सजातीय समीकरण देखते हैं। आइए समीकरण को इसमें विभाजित करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें कम द्विघात समीकरण मिलता है (इस मामले में, शून्य से विभाजित होने से डरने की कोई आवश्यकता नहीं है - यह हमेशा शून्य से अधिक सख्ती से होता है):

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

उत्तर: .

उदाहरण 8

प्रश्न हल करें

कल्पना कीजिए कि कैसे:

आइए समीकरण को इसमें विभाजित करें:

आइए एक प्रतिस्थापन करें और द्विघात समीकरण को हल करें:

जड़ शर्त को पूरा नहीं करता है। हम रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं और पाते हैं:

उत्तर:

सजातीय समीकरण। औसत स्तर

सबसे पहले, एक समस्या के उदाहरण का उपयोग करते हुए, मैं आपको याद दिला दूं समांगी समीकरण क्या होते हैं और समांगी समीकरणों का हल क्या होता है।

समस्या का समाधान:

अगर खोजें।

यहां आप एक जिज्ञासु चीज देख सकते हैं: यदि हम प्रत्येक पद को इससे विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

अर्थात्, अब कोई पृथक् नहीं हैं और, - अब वांछित मान समीकरण में चर है। और यह एक साधारण द्विघात समीकरण है, जिसे वीटा के प्रमेय का उपयोग करके हल करना आसान है: जड़ों का उत्पाद बराबर है, और योग संख्या है और।

उत्तर:

फॉर्म के समीकरण

सजातीय कहा जाता है। अर्थात् यह दो अज्ञातों वाला एक समीकरण है, जिसके प्रत्येक पद में इन अज्ञातों की शक्तियों का योग समान है। उदाहरण के लिए, ऊपर के उदाहरण में, यह राशि बराबर है। इस डिग्री में अज्ञात में से एक द्वारा विभाजित करके सजातीय समीकरणों का समाधान किया जाता है:

और चर के बाद के परिवर्तन: . इस प्रकार, हम एक अज्ञात के साथ डिग्री का समीकरण प्राप्त करते हैं:

सबसे अधिक बार, हम दूसरी डिग्री (अर्थात द्विघात) के समीकरणों का सामना करेंगे, और हम उन्हें हल कर सकते हैं:

ध्यान दें कि पूरे समीकरण को एक चर से विभाजित करना (और गुणा करना) तभी संभव है जब हम आश्वस्त हों कि यह चर शून्य के बराबर नहीं हो सकता है! उदाहरण के लिए, यदि हमें खोजने के लिए कहा जाता है, तो हम तुरंत समझ जाते हैं, क्योंकि विभाजित करना असंभव है। ऐसे मामलों में जहां यह इतना स्पष्ट नहीं है, मामले की अलग से जांच करना आवश्यक है जब यह चर शून्य के बराबर हो। उदाहरण के लिए:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

हम यहां एक विशिष्ट सजातीय समीकरण देखते हैं: और अज्ञात हैं, और प्रत्येक पद में उनकी शक्तियों का योग बराबर है।

लेकिन, सम्मान के साथ द्विघात समीकरण को विभाजित करने और प्राप्त करने से पहले, हमें उस स्थिति पर विचार करना चाहिए जब। इस मामले में, समीकरण रूप लेगा: , इसलिए, । लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हो सकते, क्योंकि मूल त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार:। इसलिए, हम इसे सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं:

मुझे आशा है कि यह समाधान पूरी तरह से स्पष्ट है? यदि नहीं, तो अनुभाग पढ़ें। यदि यह स्पष्ट नहीं है कि यह कहाँ से आया है, तो आपको पहले भी वापस जाने की आवश्यकता है - अनुभाग में।

अपने लिए तय करें:

1. अगर खोजें।
2. अगर खोजें।
3. प्रश्न हल करें।

यहाँ मैं संक्षेप में सीधे सजातीय समीकरणों का हल लिखूंगा:

समाधान:

उत्तर: ।

और यहाँ यह आवश्यक है कि विभाजित न करें, बल्कि गुणा करें:

उत्तर:

यदि आपने अभी तक त्रिकोणमितीय समीकरणों को नहीं पढ़ा है, तो आप इस उदाहरण को छोड़ सकते हैं।

चूंकि यहां हमें से विभाजित करने की आवश्यकता है, हम पहले यह सुनिश्चित करते हैं कि एक सौ शून्य के बराबर नहीं है:

और यह असंभव है।

उत्तर: ।

सजातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

सभी सजातीय समीकरणों के समाधान को डिग्री में अज्ञात में से एक द्वारा विभाजित करने और चर के आगे परिवर्तन को कम कर दिया जाता है।

कलन विधि:

सजातीय अंतर समीकरणों के उदाहरणों के लिए तैयार उत्तरकई छात्र पहले आदेश की तलाश में हैं (प्रशिक्षण में पहले क्रम के डीई सबसे आम हैं), तो आप उनका विस्तार से विश्लेषण कर सकते हैं। लेकिन उदाहरणों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम अनुशंसा करते हैं कि आप एक संक्षिप्त सैद्धांतिक सामग्री को ध्यान से पढ़ें।
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 के रूप के समीकरण, जहां फलन P(x,y) और Q(x,y) समान क्रम के समांगी फलन हैं, कहलाते हैं सजातीय अंतर समीकरण(ओडीआर)।

सजातीय अंतर समीकरण को हल करने की योजना

1. सबसे पहले आपको प्रतिस्थापन y=z*x लागू करना होगा, जहां z=z(x) एक नया अज्ञात फलन है (इस प्रकार मूल समीकरण को वियोज्य चरों के साथ एक अंतर समीकरण में बदल दिया जाता है।
2. उत्पाद का व्युत्पन्न है y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z या अंतरों में dy=d(zx)=z*dx+x* डी.जे.
3. इसके बाद, हम नए फलन y और उसके अवकलज y "(या dy) को . में प्रतिस्थापित करते हैं वियोज्य चर के साथ DE x और z के संबंध में।
4. वियोज्य चर के साथ अंतर समीकरण को हल करने के बाद, हम एक उलटा प्रतिस्थापन y=z*x करेंगे, इसलिए z= y/x, और हम प्राप्त करते हैं अवकल समीकरण का सामान्य हल (सामान्य समाकलन).
5. यदि प्रारंभिक शर्त y(x 0)=y 0 दी जाती है, तो हम कॉची समस्या का एक विशेष समाधान ढूंढते हैं। सिद्धांत रूप में, सब कुछ आसान लगता है, लेकिन व्यवहार में, अंतर समीकरणों को हल करने के लिए हर कोई इतना मजेदार नहीं है। इसलिए, ज्ञान को गहरा करने के लिए, सामान्य उदाहरणों पर विचार करें। आसान कार्यों पर, आपको सिखाने के लिए बहुत कुछ नहीं है, इसलिए हम तुरंत अधिक जटिल कार्यों की ओर बढ़ेंगे।

पहले क्रम के सजातीय अंतर समीकरणों की गणना

उदाहरण 1

हल: समीकरण के दाएँ पक्ष को उस चर से विभाजित करें जो अवकलज के निकट एक कारक है। नतीजतन, हम पर पहुंचते हैं क्रम 0 . का समांगी अवकल समीकरण

और यहाँ यह बहुतों के लिए दिलचस्प हो गया, एक सजातीय समीकरण के एक समारोह के क्रम का निर्धारण कैसे करें?
प्रश्न काफी प्रासंगिक है, और इसका उत्तर इस प्रकार है:
दाईं ओर, हम फ़ंक्शन और तर्क के बजाय मान t*x, t*y को प्रतिस्थापित करते हैं। सरल करते समय, पैरामीटर "t" एक निश्चित डिग्री k तक प्राप्त होता है, और इसे समीकरण का क्रम कहा जाता है। हमारे मामले में, "t" कम हो जाएगा, जो कि 0 डिग्री के बराबर है या सजातीय समीकरण का शून्य क्रम।
आगे दाईं ओर हम नए चर y=zx पर जा सकते हैं; जेड = वाई / एक्स।
साथ ही, नए चर के व्युत्पन्न के माध्यम से "y" के व्युत्पन्न को व्यक्त करना न भूलें। भागों के नियम से, हम पाते हैं

अंतर में समीकरणरूप लेगा

हम दाएं और बाएं तरफ संयुक्त शर्तों को कम करते हैं और पास करते हैं अलग चर के साथ अंतर समीकरण।

आइए हम DE के दोनों भागों को एकीकृत करें

आगे के परिवर्तनों की सुविधा के लिए, हम तुरंत लघुगणक के तहत स्थिरांक का परिचय देते हैं

लॉगरिदम के गुणों से, परिणामी लॉगरिदमिक समीकरण निम्नलिखित के बराबर है

यह प्रविष्टि अभी तक एक समाधान (उत्तर) नहीं है, आपको प्रदर्शन किए गए चर के परिवर्तन पर लौटने की आवश्यकता है

इस प्रकार वे पाते हैं अंतर समीकरणों का सामान्य समाधान. यदि आप पिछले पाठों को ध्यान से पढ़ें, तो हमने कहा कि आप अलग-अलग चर वाले समीकरणों की गणना के लिए योजना को स्वतंत्र रूप से लागू करने में सक्षम होना चाहिए और ऐसे समीकरणों की गणना अधिक जटिल प्रकार के रिमोट कंट्रोल के लिए करनी होगी।

उदाहरण 2 अवकल समीकरण का समाकल ज्ञात कीजिए

हल: सजातीय और सारांश DE की गणना करने की योजना अब आप से परिचित है। हम चर को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और अंश और हर में भी हम एक सामान्य कारक के रूप में x 2 निकालते हैं।

इस प्रकार, हम एक समांगी शून्य-कोटि DE प्राप्त करते हैं।
अगला कदम चर z=y/x, y=z*x के परिवर्तन को पेश करना है, जिसे हम आपको याद रखने के लिए लगातार याद दिलाएंगे

उसके बाद, हम DE को डिफरेंशियल में लिखते हैं

इसके बाद, हम निर्भरता को बदल देते हैं अलग चर के साथ अंतर समीकरण

और इसे एकीकरण द्वारा हल करें।

इंटीग्रल सरल हैं, शेष परिवर्तन लॉगरिदम के गुणों पर आधारित हैं। अंतिम क्रिया में लघुगणक को उजागर करना शामिल है। अंत में, हम मूल प्रतिस्थापन पर लौटते हैं और फॉर्म में लिखते हैं

निरंतर "सी" कोई भी मूल्य लेता है। अनुपस्थिति में अध्ययन करने वाले सभी लोगों को इस प्रकार के समीकरणों से परीक्षा में समस्या होती है, इसलिए कृपया गणना योजना को ध्यान से देखें और याद रखें।

उदाहरण 3 अंतर समीकरण हल करें

हल: उपरोक्त तकनीक के अनुसार इस प्रकार के अवकल समीकरण हल करते हैं एक नया चर पेश करके।आइए निर्भरता को फिर से लिखें ताकि व्युत्पन्न एक चर के बिना हो

इसके अलावा, दाईं ओर का विश्लेषण करके, हम देखते हैं कि भाग -ई हर जगह मौजूद है और नए अज्ञात द्वारा दर्शाया गया है
z=y/x, y=z*x ।
y . का अवकलज ज्ञात करना

प्रतिस्थापन को ध्यान में रखते हुए, हम मूल DE को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

समान शर्तों को सरल बनाएं, और सभी प्राप्त शर्तों को DE तक कम करें अलग चर के साथ

समानता के दोनों पक्षों को एकीकृत करके

हम लघुगणक के रूप में समाधान पर आते हैं

निर्भरता को उजागर करके हम पाते हैं एक अंतर समीकरण का सामान्य समाधान

जो चरों के आरंभिक परिवर्तन को इसमें प्रतिस्थापित करने के बाद रूप लेता है

यहाँ C एक स्थिरांक है, जिसे कॉची अवस्था से बढ़ाया जा सकता है। यदि कॉची समस्या नहीं दी जाती है, तो यह एक मनमाना वास्तविक मूल्य बन जाता है।
सजातीय अंतर समीकरणों की गणना में यह सब ज्ञान है।

फलन f(x,y) कहलाता है सजातीय कार्यउनके आयाम तर्क n यदि पहचान f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

उदाहरण के लिए, फलन f(x,y)=x^2+y^2-xy दूसरे आयाम का एक समांगी फलन है, क्योंकि

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y)।

n=0 के लिए हमारे पास एक शून्य आयाम फलन है। उदाहरण के लिए, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)एक सजातीय शून्य आयाम फलन है, क्योंकि

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

फॉर्म का डिफरेंशियल इक्वेशन \frac(dy)(dx)=f(x,y) x और y के संबंध में सजातीय कहा जाता है यदि f(x,y) इसके शून्य आयाम तर्कों का एक सजातीय कार्य है। एक सजातीय समीकरण को हमेशा के रूप में दर्शाया जा सकता है

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

एक नया वांछित फलन u=\frac(y)(x) पेश करके, समीकरण (1) को अलग-अलग चर वाले समीकरण में घटाया जा सकता है:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

यदि u=u_0 समीकरण का मूल है \varphi(u)-u=0 , तो समांगी समीकरण का हल होगा u=u_0 या y=u_0x (मूल से गुजरने वाली सीधी रेखा)।

टिप्पणी।सजातीय समीकरणों को हल करते समय, उन्हें फॉर्म (1) में कम करना आवश्यक नहीं है। आप तुरंत y=ux प्रतिस्थापन कर सकते हैं।

उदाहरण 1सजातीय समीकरण हल करें xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं y"=\sqrt(1-(\बाएं(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !}अतः दिया गया समीकरण x और y के सन्दर्भ में समघात हो जाता है। आइए u=\frac(y)(x) , या y=ux डालते हैं। फिर y"=xu"+u । समीकरण में y और y" के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). चर अलग करना: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). यहाँ से, एकीकरण द्वारा, हम पाते हैं

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), या \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

चूंकि C_1|x|=\pm(C_1x) , जो \pm(C_1)=C को दर्शाता है, हम पाते हैं \arcsin(u)=\ln(Cx), कहाँ पे |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)या e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). u को \frac(y)(x) से बदलने पर, हमारे पास सामान्य समाकल होगा \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

इसलिए सामान्य समाधान: y=x\sin\ln(Cx) ।

चरों को अलग करते समय, हमने समीकरण के दोनों पक्षों को उत्पाद x\sqrt(1-u^2) से विभाजित किया, ताकि हम उस समाधान को खो सकें जो इस उत्पाद को शून्य में बदल देता है।

आइए अब x=0 और \sqrt(1-u^2)=0 डालते हैं। लेकिन x\ne0 प्रतिस्थापन के कारण u=\frac(y)(x) , और संबंध \sqrt(1-u^2)=0 से हमें वह मिलता है 1-\frac(y^2)(x^2)=0, जहां से y=\pm(x) । प्रत्यक्ष सत्यापन द्वारा, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि फलन y=-x और y=x भी इस समीकरण के समाधान हैं।

उदाहरण 2समांगी वक्रों के परिवार पर विचार करें C_\alpha सजातीय समीकरण का y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). दिखाएँ कि इस समांगी अवकल समीकरण द्वारा परिभाषित वक्रों के संगत बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।

टिप्पणी:हम फोन करेंगे से मिलता जुलता C_\alpha वक्र पर वे बिंदु जो मूल बिंदु से शुरू होकर एक ही किरण पर स्थित होते हैं।

समाधान।संबंधित बिंदुओं की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), ताकि, समीकरण के आधार पर, y"=y"_1, जहां y" और y"_1 इंटीग्रल कर्व्स C_\alpha और C_(\alpha_1) की स्पर्शरेखाओं के ढलान हैं, बिंदु M पर और M_1, क्रमशः (चित्र 12)।

सजातीय को कम करने वाले समीकरण

लेकिन।फॉर्म के एक अंतर समीकरण पर विचार करें

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

जहां a,b,c,a_1,b_1,c_1 स्थिरांक हैं और f(u) इसके तर्क u का एक सतत कार्य है।

अगर c=c_1=0 , तो समीकरण (3) सजातीय है और यह ऊपर के रूप में एकीकृत होता है।

यदि संख्याओं में से कम से कम एक c,c_1 शून्य से भिन्न है, तो दो स्थितियों में अंतर किया जाना चाहिए।

1) निर्धारक \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. सूत्रों के अनुसार नए चर \xi और \eta का परिचय x=\xi+h,~y=\eta+k , जहां h और k अभी भी अपरिभाषित स्थिरांक हैं, हम समीकरण (3) को रूप में लाते हैं

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\सही)।

रैखिक समीकरणों के निकाय के हल के रूप में h और k का चयन करना

\begin(मामलों)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(मामलों)~(\Delta\ne0),

हम एक सजातीय समीकरण प्राप्त करते हैं \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). इसका सामान्य समाकल ज्ञात करने और इसमें \xi को x-h से तथा \eta को y-k से प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरण (3) का व्यापक समाकल प्राप्त करते हैं।

2) निर्धारक \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. सिस्टम (4) का सामान्य मामले में कोई समाधान नहीं है, और उपरोक्त विधि लागू नहीं है; इस मामले में \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, और, इसलिए, समीकरण (3) का रूप है \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). प्रतिस्थापन z=ax+by इसे एक वियोज्य चर समीकरण में लाता है।

उदाहरण 3प्रश्न हल करें (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

समाधान।रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें \begin(मामलों)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(मामलों)

इस प्रणाली के निर्धारक \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

सिस्टम का एक अनूठा समाधान है x_0=-1,~y_0=3 । हम प्रतिस्थापन x=\xi-1,~y=\eta+3 करते हैं। तब समीकरण (5) रूप लेता है

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

यह समीकरण एक समांगी समीकरण है। \eta=u\xi सेट करने पर, हमें मिलता है

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, कहाँ पे (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

चर को अलग करना \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

एकीकृत करना, हम पाते हैं \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)या \xi^2(1+2u-u^2)=C ।

चर x,~y पर लौटना:

(x+1)^2\बाएं=C_1या x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14)।

उदाहरण 4प्रश्न हल करें (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

समाधान।रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली \begin(मामलों)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(मामलों)असंगत इस मामले में, पिछले उदाहरण में लागू की गई विधि उपयुक्त नहीं है। समीकरण को एकीकृत करने के लिए, हम प्रतिस्थापन x+y=z , dy=dz-dx का उपयोग करते हैं। समीकरण का रूप लेगा

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

चरों को अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0इसलिए x-2z-3\ln|z-2|=C.

चर x,~y पर लौटने पर, हम इस समीकरण का सामान्य समाकल प्राप्त करते हैं

एक्स+2y+3\ln|x+y-2|=सी।

बी।कभी-कभी चर y=z^\alpha को बदलकर समीकरण को एक सजातीय में घटाया जा सकता है। यह वह स्थिति है जब समीकरण के सभी पद समान आयाम के होते हैं, यदि चर x को आयाम 1 दिया जाता है, तो चर y को आयाम \alpha दिया जाता है, और अवकलज \frac(dy)(dx) को दिया जाता है आयाम \ अल्फा -1।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

समाधान।एक प्रतिस्थापन बनाना y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, जहां \alpha अभी के लिए एक मनमाना संख्या है, जिसे हम बाद में चुनेंगे। समीकरण में y और dy के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0या \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

ध्यान दें कि x^2z^(3\alpha-1) का आयाम है 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) का आयाम \alpha-1 है, xz^(3\alpha) का आयाम 1+3\alpha है। परिणामी समीकरण समरूप होगा यदि सभी पदों के माप समान हों, अर्थात। अगर शर्त पूरी हो जाती है 3\alpha+1=\alpha-1, या \alpha-1 ।

चलो y=\frac(1)(z) डालते हैं; मूल समीकरण रूप लेता है

\बाएं(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0या (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

चलिए अब डालते हैं z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. तब यह समीकरण रूप लेगा (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, कहाँ पे u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

इस समीकरण में चरों को अलग करना \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. एकीकृत करना, हम पाते हैं

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)या \frac(x(u^2+1))(u)=C.

u को \frac(1)(xy) से बदलने पर, हमें इस समीकरण 1+x^2y^2=Cy का सामान्य समाकलन प्राप्त होता है।

समीकरण का एक स्पष्ट समाधान भी है y=0 , जो C\to\infty पर सामान्य समाकल से प्राप्त होता है यदि समाकल को इस प्रकार लिखा जाता है y=\frac(1+x^2y^2)(सी), और फिर C\to\infty पर सीमा तक कूदें। इस प्रकार, फलन y=0 मूल समीकरण का एक विशेष हल है।

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