और अन्य। वे सभी अपने सैद्धांतिक समकक्षों के अनुमान हैं, जो एक नमूना नहीं, बल्कि सामान्य आबादी होने पर प्राप्त किया जा सकता है। लेकिन अफसोस, आम जनता बहुत महंगी है और अक्सर अनुपलब्ध रहती है।

अंतराल अनुमान की अवधारणा

किसी भी नमूना अनुमान में कुछ बिखराव होता है, क्योंकि एक विशेष नमूने में मूल्यों के आधार पर एक यादृच्छिक चर है। इसलिए, अधिक विश्वसनीय सांख्यिकीय अनुमानों के लिए, किसी को न केवल बिंदु अनुमान, बल्कि अंतराल भी जानना चाहिए, जिसकी उच्च संभावना है γ (गामा) अनुमानित संकेतक को कवर करता है θ (थीटा)।

औपचारिक रूप से, ये दो ऐसे मान (आँकड़े) हैं टी 1 (एक्स)और टी 2 (एक्स), क्या टी1< T 2 , जिसके लिए संभाव्यता के एक निश्चित स्तर पर γ शर्त पूरी होती है:

संक्षेप में, यह संभावना है γ या अधिक सही मान बिंदुओं के बीच है टी 1 (एक्स)और टी 2 (एक्स), जिन्हें निचली और ऊपरी सीमा कहा जाता है विश्वास अंतराल.

आत्मविश्वास अंतराल के निर्माण की शर्तों में से एक इसकी अधिकतम संकीर्णता है, अर्थात। यह यथासंभव छोटा होना चाहिए। इच्छा बिलकुल स्वाभाविक है, क्योंकि। शोधकर्ता वांछित पैरामीटर की खोज को अधिक सटीक रूप से स्थानीयकृत करने का प्रयास करता है।

यह इस प्रकार है कि विश्वास अंतराल को वितरण की अधिकतम संभावनाओं को कवर करना चाहिए। और स्कोर ही केंद्र में हो।

यानी ऊपर की ओर विचलन (अनुमान से सही संकेतक की) की संभावना नीचे की ओर विचलन की संभावना के बराबर है। यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि विषम वितरण के लिए, दाईं ओर का अंतराल बाईं ओर के अंतराल के बराबर नहीं है।

ऊपर दिया गया आंकड़ा स्पष्ट रूप से दिखाता है कि आत्मविश्वास का स्तर जितना अधिक होगा, अंतराल उतना ही व्यापक होगा - एक सीधा संबंध।

यह अज्ञात मापदंडों के अंतराल आकलन के सिद्धांत का एक छोटा सा परिचय था। आइए गणितीय अपेक्षा के लिए आत्मविश्वास की सीमा खोजने के लिए आगे बढ़ें।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल

यदि मूल डेटा को वितरित किया जाता है, तो औसत सामान्य मान होगा। यह इस नियम से चलता है कि सामान्य मूल्यों के रैखिक संयोजन का भी सामान्य वितरण होता है। इसलिए, संभावनाओं की गणना करने के लिए, हम सामान्य वितरण कानून के गणितीय तंत्र का उपयोग कर सकते हैं।

हालांकि, इसके लिए दो मापदंडों के ज्ञान की आवश्यकता होगी - अपेक्षित मूल्य और विचरण, जो आमतौर पर ज्ञात नहीं होते हैं। बेशक, आप मापदंडों (अंकगणित माध्य और) के बजाय अनुमानों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन तब माध्य का वितरण बिल्कुल सामान्य नहीं होगा, यह थोड़ा चपटा हो जाएगा। आयरलैंड के नागरिक विलियम गॉसेट ने इस तथ्य को बखूबी नोट किया जब उन्होंने बायोमेट्रिका के मार्च 1908 के अंक में अपनी खोज प्रकाशित की। गोपनीयता के उद्देश्य से, गॉसेट ने छात्र के साथ हस्ताक्षर किए। इस प्रकार विद्यार्थी का t-वितरण प्रकट हुआ।

हालांकि, खगोलीय प्रेक्षणों में त्रुटियों के विश्लेषण में के. गॉस द्वारा उपयोग किए गए डेटा का सामान्य वितरण, स्थलीय जीवन में अत्यंत दुर्लभ है और इसे स्थापित करना काफी कठिन है (उच्च सटीकता के लिए, लगभग 2 हजार टिप्पणियों की आवश्यकता होती है)। इसलिए, सामान्यता की धारणा को छोड़ना और उन तरीकों का उपयोग करना सबसे अच्छा है जो मूल डेटा के वितरण पर निर्भर नहीं करते हैं।

प्रश्न उठता है: यदि किसी अज्ञात वितरण के डेटा से गणना की जाए तो अंकगणितीय माध्य का वितरण क्या है? उत्तर सुप्रसिद्ध प्रायिकता सिद्धांत द्वारा दिया गया है केंद्रीय सीमा प्रमेय(सीपीटी)। गणित में, इसके कई संस्करण हैं (वर्षों में सूत्रों को परिष्कृत किया गया है), लेकिन उनमें से सभी मोटे तौर पर इस कथन पर आते हैं कि बड़ी संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग सामान्य वितरण कानून का पालन करता है।

अंकगणित माध्य की गणना करते समय, यादृच्छिक चर के योग का उपयोग किया जाता है। इससे यह पता चलता है कि अंकगणितीय माध्य का एक सामान्य वितरण होता है, जिसमें अपेक्षित मूल्य प्रारंभिक डेटा का अपेक्षित मूल्य होता है, और विचरण होता है।

स्मार्ट लोग सीएलटी को साबित करना जानते हैं, लेकिन हम इसे एक्सेल में किए गए एक प्रयोग की मदद से सत्यापित करेंगे। आइए 50 समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (एक्सेल फ़ंक्शन RANDOMBETWEEN का उपयोग करके) का एक नमूना अनुकरण करें। फिर हम ऐसे 1000 नमूने बनाएंगे और प्रत्येक के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना करेंगे। आइए उनके वितरण को देखें।

यह देखा जा सकता है कि औसत का वितरण सामान्य कानून के करीब है। यदि नमूनों की मात्रा और उनकी संख्या को और भी बड़ा कर दिया जाए, तो समानता और भी बेहतर हो जाएगी।

अब जब हमने अपने लिए सीएलटी की वैधता देख ली है, तो हम अंकगणितीय माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना कर सकते हैं, जो किसी दिए गए संभाव्यता के साथ सही माध्य या गणितीय अपेक्षा को कवर करता है।

ऊपरी और निचली सीमाओं को स्थापित करने के लिए, सामान्य वितरण के मापदंडों को जानना आवश्यक है। एक नियम के रूप में, वे नहीं हैं, इसलिए अनुमानों का उपयोग किया जाता है: अंकगणित औसतऔर नमूना विचरण. फिर से, यह विधि केवल बड़े नमूनों के लिए एक अच्छा सन्निकटन देती है। जब नमूने छोटे होते हैं, तो अक्सर छात्र के वितरण का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। विश्वास मत करो! माध्य के लिए विद्यार्थी का वितरण तभी होता है जब मूल डेटा का सामान्य वितरण होता है, यानी लगभग कभी नहीं। इसलिए, आवश्यक डेटा की मात्रा के लिए न्यूनतम बार तुरंत सेट करना और विषम रूप से सही तरीकों का उपयोग करना बेहतर है। वे कहते हैं कि 30 अवलोकन पर्याप्त हैं। 50 लो - तुम गलत नहीं हो सकते।

टी 1.2विश्वास अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएँ हैं

- नमूना अंकगणित माध्य

एस0- नमूना मानक विचलन (निष्पक्ष)

एन - नमूने का आकार

γ - आत्मविश्वास का स्तर (आमतौर पर 0.9, 0.95 या 0.99) के बराबर

सी γ =Φ -1 ((1+γ)/2)मानक सामान्य वितरण फ़ंक्शन का पारस्परिक है। सरल शब्दों में, यह अंकगणित माध्य से निचली या ऊपरी सीमा तक मानक त्रुटियों की संख्या है (संकेतित तीन संभावनाएं 1.64, 1.96 और 2.58 के मानों के अनुरूप हैं)।

सूत्र का सार यह है कि अंकगणित माध्य लिया जाता है और फिर उसमें से एक निश्चित राशि अलग कर दी जाती है ( . के साथ) मानक त्रुटियां ( एस 0 /√n) सब कुछ ज्ञात है, इसे लो और गिनें।

पीसी के बड़े पैमाने पर उपयोग से पहले, सामान्य वितरण फ़ंक्शन और इसके व्युत्क्रम के मूल्यों को प्राप्त करने के लिए, उन्होंने . वे अभी भी उपयोग किए जाते हैं, लेकिन तैयार एक्सेल फ़ार्मुलों की ओर मुड़ना अधिक कुशल है। उपरोक्त सूत्र ( , और ) के सभी तत्वों की गणना एक्सेल में आसानी से की जा सकती है। लेकिन कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना के लिए एक रेडीमेड फॉर्मूला भी है - विश्वास मानदंड. इसका सिंटैक्स निम्न है।

विश्वास मानदंड (अल्फा, मानक_देव, आकार)

अल्फा- महत्व स्तर या आत्मविश्वास का स्तर, जो उपरोक्त संकेतन में 1-γ के बराबर है, अर्थात। संभावना है कि गणितीयउम्मीद विश्वास अंतराल के बाहर होगी। 0.95 के आत्मविश्वास स्तर के साथ, अल्फा 0.05 है, और इसी तरह।

मानक_ऑफनमूना डेटा का मानक विचलन है। आपको मानक त्रुटि की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, एक्सेल n की जड़ से विभाजित होगा।

आकार- नमूना आकार (एन)।

CONFIDENCE.NORM फ़ंक्शन का परिणाम विश्वास अंतराल की गणना के लिए सूत्र से दूसरा शब्द है, अर्थात। आधा अंतराल। तदनुसार, निचले और ऊपरी बिंदु औसत ± प्राप्त मूल्य हैं।

इस प्रकार, अंकगणित माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म बनाना संभव है, जो प्रारंभिक डेटा के वितरण पर निर्भर नहीं करता है। सार्वभौमिकता की कीमत इसकी स्पर्शोन्मुख प्रकृति है, अर्थात। अपेक्षाकृत बड़े नमूनों का उपयोग करने की आवश्यकता। हालांकि, आधुनिक तकनीक के युग में, सही मात्रा में डेटा एकत्र करना आमतौर पर मुश्किल नहीं होता है।

एक विश्वास अंतराल का उपयोग करके सांख्यिकीय परिकल्पना का परीक्षण करना

(मॉड्यूल 111)

सांख्यिकी में हल की जाने वाली मुख्य समस्याओं में से एक है। संक्षेप में इसका सार यही है। उदाहरण के लिए, एक धारणा बनाई जाती है कि सामान्य जनसंख्या की अपेक्षा कुछ मूल्य के बराबर होती है। फिर नमूना साधनों के वितरण का निर्माण किया जाता है, जिसे एक निश्चित अपेक्षा के साथ देखा जा सकता है। इसके बाद, हम देखते हैं कि इस सशर्त वितरण में वास्तविक औसत कहाँ स्थित है। यदि यह स्वीकार्य सीमा से अधिक हो जाता है, तो इस तरह के औसत की उपस्थिति बहुत ही असंभव है, और प्रयोग की एक पुनरावृत्ति के साथ यह लगभग असंभव है, जो कि परिकल्पना के विपरीत है, जिसे सफलतापूर्वक खारिज कर दिया गया है। यदि औसत महत्वपूर्ण स्तर से आगे नहीं जाता है, तो परिकल्पना को खारिज नहीं किया जाता है (लेकिन यह भी साबित नहीं होता है!)

तो, विश्वास अंतराल की मदद से, हमारे मामले में अपेक्षा के लिए, आप कुछ परिकल्पनाओं का परीक्षण भी कर सकते हैं। यह करना बहुत आसान है। मान लीजिए कि किसी नमूने के लिए अंकगणितीय माध्य 100 है। परिकल्पना का परीक्षण किया जा रहा है कि अपेक्षित मान, मान लीजिए, 90 है। अर्थात, यदि हम प्रश्न को मूल रूप से रखते हैं, तो ऐसा लगता है: क्या यह हो सकता है कि वास्तविक मूल्य के साथ औसत 90 के बराबर, देखा गया औसत 100 था?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मानक विचलन और नमूना आकार पर अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता होगी। मान लें कि मानक विचलन 30 है, और अवलोकनों की संख्या 64 है (मूल को आसानी से निकालने के लिए)। तब माध्य की मानक त्रुटि 30/8 या 3.75 है। 95% विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए, आपको माध्य के दोनों ओर दो मानक त्रुटियों को अलग रखना होगा (अधिक सटीक रूप से, 1.96)। विश्वास अंतराल लगभग 100 ± 7.5, या 92.5 से 107.5 तक होगा।

आगे तर्क इस प्रकार है। यदि परीक्षण किया गया मान विश्वास अंतराल के भीतर आता है, तो यह परिकल्पना का खंडन नहीं करता है, क्योंकि यादृच्छिक उतार-चढ़ाव की सीमा के भीतर फिट बैठता है (95% की संभावना के साथ)। यदि परीक्षण बिंदु विश्वास अंतराल के बाहर है, तो ऐसी घटना की संभावना बहुत कम है, किसी भी मामले में स्वीकार्य स्तर से नीचे। अतः परिकल्पना को प्रेक्षित आँकड़ों के विपरीत बताते हुए अस्वीकृत किया जाता है। हमारे मामले में, उम्मीद की परिकल्पना विश्वास अंतराल के बाहर है (90 का परीक्षण मूल्य 100 ± 7.5 के अंतराल में शामिल नहीं है), इसलिए इसे अस्वीकार कर दिया जाना चाहिए। उपरोक्त आदिम प्रश्न का उत्तर देते हुए, किसी को कहना चाहिए: नहीं, यह किसी भी मामले में नहीं हो सकता है, ऐसा बहुत कम होता है। अक्सर, यह परिकल्पना (पी-स्तर) की गलत अस्वीकृति की एक विशिष्ट संभावना को इंगित करता है, न कि किसी दिए गए स्तर के अनुसार, जिसके अनुसार आत्मविश्वास अंतराल बनाया गया था, लेकिन उस पर एक और समय।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माध्य (या गणितीय अपेक्षा) के लिए एक विश्वास अंतराल बनाना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात सार को पकड़ना है, और फिर चीजें चली जाएंगी। व्यवहार में, अधिकांश 95% विश्वास अंतराल का उपयोग करते हैं, जो कि माध्य के दोनों ओर लगभग दो मानक त्रुटियां हैं।

अभी के लिए इतना ही। शुभकामनाएं!

कानून के अधीन एक सामान्य आबादी से एक नमूना बनाया जाए सामान्यवितरण एक्सएन( एम;  ) गणितीय आँकड़ों की यह मूल धारणा केंद्रीय सीमा प्रमेय पर आधारित है। सामान्य मानक विचलन ज्ञात होने दें  , लेकिन सैद्धांतिक वितरण की गणितीय अपेक्षा अज्ञात है एम(अर्थ )।

इस मामले में, नमूना मतलब , प्रयोग के दौरान प्राप्त किया गया (खंड 3.4.2), एक यादृच्छिक चर भी होगा एम;
) फिर "सामान्यीकृत" विचलन
N(0;1) एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर है।

समस्या के लिए एक अंतराल अनुमान खोजने के लिए है एम. आइए हम इसके लिए दो-तरफा विश्वास अंतराल का निर्माण करें एम ताकि वास्तविक गणितीय अपेक्षा दी गई संभावना (विश्वसनीयता) के साथ उससे संबंधित हो  .

मान के लिए ऐसा अंतराल सेट करें
का अर्थ है इस मात्रा का अधिकतम मूल्य ज्ञात करना
और न्यूनतम
, जो महत्वपूर्ण क्षेत्र की सीमाएँ हैं:
.

क्योंकि यह संभावना है
, तो इस समीकरण की जड़
लैपलेस फ़ंक्शन की तालिकाओं का उपयोग करके पाया जा सकता है (तालिका 3, परिशिष्ट 1)।

फिर संभावना के साथ  यह तर्क दिया जा सकता है कि यादृच्छिक चर
, अर्थात्, वांछित सामान्य माध्य अंतराल के अंतर्गत आता है
. (3.13)

मूल्य
(3.14)

बुलाया शुद्धताअनुमान।

संख्या
– मात्रासामान्य वितरण - 2Ф के अनुपात को देखते हुए, लैपलेस फ़ंक्शन (तालिका 3, परिशिष्ट 1) के तर्क के रूप में पाया जा सकता है। तुम)=, अर्थात। एफ( तुम)=
.

इसके विपरीत, निर्दिष्ट विचलन मान के अनुसार  यह ज्ञात करना संभव है कि अज्ञात सामान्य माध्य किस प्रायिकता के साथ अंतराल से संबंधित है
. ऐसा करने के लिए, आपको गणना करने की आवश्यकता है

. (3.15)

मान लीजिए कि पुन: चयन की विधि द्वारा सामान्य जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूना लिया जाता है। समीकरण से
पाया जा सकता है न्यूनतमपुन: नमूनाकरण मात्रा एनयह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि दी गई विश्वसनीयता के साथ विश्वास अंतराल पूर्व निर्धारित मूल्य से अधिक नहीं था  . आवश्यक नमूना आकार का अनुमान सूत्र का उपयोग करके लगाया जाता है:

. (3.16)

तलाश अनुमान सटीकता
:

1) नमूना आकार बढ़ाने के साथ एनआकार  कम हो जाती है, और इसलिए अनुमान की सटीकता बढ़ती है.

2) सी बढ़ोतरीअनुमानों की विश्वसनीयता तर्क का मूल्य बढ़ा हुआ है तुम(क्योंकि एफ(तुम) नीरस रूप से बढ़ता है) और इसलिए बढ़ती है  . इस मामले में, विश्वसनीयता में वृद्धि कम कर देता हैइसके मूल्यांकन की सटीकता  .

आकलन
(3.17)

बुलाया क्लासिक(कहाँ पे टीएक पैरामीटर है जो निर्भर करता है और एन), क्योंकि यह सबसे अधिक बार सामना किए जाने वाले वितरण कानूनों की विशेषता है।

3.5.3 अज्ञात मानक विचलन के साथ सामान्य वितरण की अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल

बता दें कि सामान्य जनसंख्या सामान्य वितरण के कानून के अधीन है एक्सएन( एम; ), जहां मूल्य वर्गमूल औसत का वर्गविचलन अनजान।

सामान्य माध्य का अनुमान लगाने के लिए एक विश्वास अंतराल बनाने के लिए, इस मामले में, आँकड़ों का उपयोग किया जाता है
, जिसमें एक छात्र का वितरण है क= एन-1 डिग्री स्वतंत्रता। यह इस तथ्य से होता है कि N(0;1) (आइटम 3.5.2 देखें), और
(खंड 3.5.3 देखें) और छात्र के वितरण की परिभाषा से (भाग 1.खंड 2.11.2)।

आइए हम विद्यार्थी के वितरण के शास्त्रीय अनुमान की सटीकता का पता लगाएं: यानी। पाना टीसूत्र (3.17) से। माना असमानता को पूरा करने की प्रायिकता
विश्वसनीयता द्वारा दिया गया  :

. (3.18)

जहां तक ​​कि टीसेंट( एन-1), यह स्पष्ट है कि टीपर निर्भर करता है  और एन, इसलिए हम आम तौर पर लिखते हैं
.

(3.19)

कहाँ पे
के साथ विद्यार्थी का वितरण फलन है एन-1 डिग्री स्वतंत्रता।

के लिए इस समीकरण को हल करना एम, हमें अंतराल मिलता है
जो विश्वसनीयता के साथ  अज्ञात पैरामीटर को कवर करता है एम.

मूल्य टी  , एन-1, एक यादृच्छिक चर के विश्वास अंतराल को निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जाता है टी(एन-1), के साथ छात्र द्वारा वितरित एन-1 डिग्री की स्वतंत्रता कहलाती है छात्र का गुणांक. यह दिए गए मानों द्वारा पाया जाना चाहिए एनऔर  "छात्र वितरण के महत्वपूर्ण बिंदु" तालिकाओं से। (सारणी 6, परिशिष्ट 1), जो समीकरण (3.19) के हल हैं।

नतीजतन, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है: शुद्धतागणितीय अपेक्षा (सामान्य माध्य) का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल, यदि विचरण अज्ञात है:

(3.20)

इस प्रकार, सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक सामान्य सूत्र है:

विश्वास अंतराल की सटीकता कहाँ है  ज्ञात या अज्ञात विचरण के आधार पर क्रमशः सूत्रों के अनुसार 3.16 पाया जाता है। और 3.20.

कार्य 10.कुछ परीक्षण किए गए, जिनके परिणाम तालिका में सूचीबद्ध हैं:

एक्स मैं

यह ज्ञात है कि वे सामान्य वितरण कानून का पालन करते हैं
. एक अनुमान खोजें एम*गणितीय अपेक्षा के लिए एम, इसके लिए 90% कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाएं।

फेसला:

इसलिए, एम(2.53;5.47).

टास्क 11.समुद्र की गहराई को एक उपकरण द्वारा मापा जाता है जिसकी व्यवस्थित त्रुटि 0 है, और यादृच्छिक त्रुटियों को मानक विचलन के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।  =15मी. 90% के आत्मविश्वास स्तर के साथ 5 मीटर से अधिक की त्रुटियों के साथ गहराई निर्धारित करने के लिए कितने स्वतंत्र माप किए जाने चाहिए?

फेसला:

समस्या की स्थिति से, हमारे पास है एक्सएन( एम;  ), कहाँ पे  =15मी,  = 5 मी,  =0.9. आइए जानते हैं वॉल्यूम एन.

1) दी गई विश्वसनीयता = 0.9 के साथ, हम टेबल 3 (परिशिष्ट 1) से लैपलेस फ़ंक्शन का तर्क पाते हैं तुम  = 1.65.

2) दी गई अनुमान सटीकता को जानना  =तुम  = 5, खोजें
. हमारे पास है

. इसलिए, परीक्षणों की संख्या एन 25.

कार्य 12.तापमान नमूनाकरण टीजनवरी के पहले 6 दिनों के लिए तालिका में प्रस्तुत किया गया है:

उम्मीद के लिए विश्वास अंतराल खोजें एमविश्वास संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या
और सामान्य मानक विचलन का अनुमान लगाएं एस.

फेसला:

और
.

2) निष्पक्ष अनुमान सूत्र द्वारा खोजें
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) चूँकि सामान्य प्रसरण अज्ञात है, लेकिन इसका अनुमान ज्ञात है, तो गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए एमहम विद्यार्थी के बंटन (तालिका 6, अनुबंध 1) और सूत्र (3.20) का उपयोग करते हैं।

क्योंकि एन 1 =एन 2 = 6, तब ,
, एस 1 = 6.85 हमारे पास है:
, इसलिए -29.2-4.1<एम 1 < -29.2+4.1.

इसलिए -33.3<एम 1 <-25.1.

इसी तरह, हमारे पास है
, एस 2 = 4.8, तो

–34.9< एम 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: एम 1 (-33.3;-25.1) और एम 2 (-34.9;-29.1).

अनुप्रयुक्त विज्ञान में, उदाहरण के लिए, निर्माण विषयों में, वस्तुओं की सटीकता का आकलन करने के लिए आत्मविश्वास अंतराल की तालिकाओं का उपयोग किया जाता है, जो प्रासंगिक संदर्भ साहित्य में दिए गए हैं।

अक्सर मूल्यांकक को उस खंड के अचल संपत्ति बाजार का विश्लेषण करना पड़ता है जिसमें मूल्यांकन वस्तु स्थित होती है। यदि बाजार विकसित होता है, तो प्रस्तुत वस्तुओं के पूरे सेट का विश्लेषण करना मुश्किल हो सकता है, इसलिए विश्लेषण के लिए वस्तुओं के नमूने का उपयोग किया जाता है। यह नमूना हमेशा सजातीय नहीं होता है, कभी-कभी इसे चरम सीमाओं से मुक्त करने की आवश्यकता होती है - बहुत अधिक या बहुत कम बाजार की पेशकश। इस उद्देश्य के लिए, इसे लागू किया जाता है विश्वास अंतराल. इस अध्ययन का उद्देश्य विश्वास अंतराल की गणना के लिए दो विधियों का तुलनात्मक विश्लेषण करना और estimatica.pro सिस्टम में विभिन्न नमूनों के साथ काम करते समय सर्वोत्तम गणना विकल्प चुनना है।

विश्वास अंतराल - नमूने के आधार पर गणना की जाती है, विशेषता के मूल्यों का अंतराल, जिसमें एक ज्ञात संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या का अनुमानित पैरामीटर होता है।

विश्वास अंतराल की गणना का अर्थ नमूना डेटा के आधार पर इस तरह के अंतराल का निर्माण करना है ताकि किसी निश्चित संभावना के साथ यह कहा जा सके कि अनुमानित पैरामीटर का मान इस अंतराल में है। दूसरे शब्दों में, एक निश्चित संभावना वाले विश्वास अंतराल में अनुमानित मात्रा का अज्ञात मान होता है। अंतराल जितना व्यापक होगा, अशुद्धि उतनी ही अधिक होगी।

कॉन्फिडेंस इंटरवल को निर्धारित करने के लिए अलग-अलग तरीके हैं। इस लेख में, हम 2 तरीकों पर विचार करेंगे:

• माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से;
• टी-सांख्यिकी (छात्र के गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से।

सीआई की गणना के लिए विभिन्न तरीकों के तुलनात्मक विश्लेषण के चरण:

1. एक डेटा नमूना बनाएं;

2. हम इसे सांख्यिकीय विधियों से संसाधित करते हैं: हम माध्य मान, माध्यिका, प्रसरण आदि की गणना करते हैं;

3. हम विश्वास अंतराल की गणना दो तरीकों से करते हैं;

4. साफ किए गए नमूनों और प्राप्त विश्वास अंतराल का विश्लेषण करें।

चरण 1. डेटा नमूनाकरण

नमूना estimatica.pro प्रणाली का उपयोग करके बनाया गया था। नमूने में "ख्रुश्चेव" योजना के प्रकार के साथ तीसरे मूल्य क्षेत्र में 1-कमरे वाले अपार्टमेंट की बिक्री के लिए 91 ऑफ़र शामिल थे।

तालिका 1. प्रारंभिक नमूना

	1 sq.m., c.u. की कीमत।

चित्र .1। प्रारंभिक नमूना

चरण 2. प्रारंभिक नमूने का प्रसंस्करण

सांख्यिकीय विधियों द्वारा नमूना प्रसंस्करण के लिए निम्नलिखित मूल्यों की गणना की आवश्यकता होती है:

1. अंकगणित माध्य

2. माध्यिका - एक संख्या जो नमूने की विशेषता बताती है: नमूना तत्वों का ठीक आधा माध्यिका से बड़ा होता है, दूसरा आधा माध्यिका से कम होता है

(एक विषम संख्या के मानों वाले नमूने के लिए)

3. रेंज - नमूने में अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर

4. भिन्नता - डेटा में भिन्नता का अधिक सटीक अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है

5. नमूने के लिए मानक विचलन (बाद में आरएमएस के रूप में संदर्भित) अंकगणितीय माध्य के आसपास समायोजन मूल्यों के फैलाव का सबसे सामान्य संकेतक है।

6. भिन्नता का गुणांक - समायोजन मूल्यों के फैलाव की डिग्री को दर्शाता है

7. दोलन गुणांक - औसत के आसपास के नमूने में कीमतों के चरम मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है

तालिका 2. मूल नमूने के सांख्यिकीय संकेतक

भिन्नता का गुणांक, जो डेटा की एकरूपता की विशेषता है, 12.29% है, लेकिन दोलन का गुणांक बहुत बड़ा है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मूल नमूना सजातीय नहीं है, तो चलिए विश्वास अंतराल की गणना के लिए आगे बढ़ते हैं।

चरण 3. विश्वास अंतराल की गणना

विधि 1. माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से गणना।

विश्वास अंतराल निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: न्यूनतम मान - मानक विचलन माध्यिका से घटाया जाता है; अधिकतम मान - मानक विचलन को माध्यिका में जोड़ा जाता है।

इस प्रकार, कॉन्फिडेंस इंटरवल (47179 सीयू; 60689 सीयू)

चावल। 2. विश्वास अंतराल के भीतर मान 1.

विधि 2. टी-सांख्यिकी के महत्वपूर्ण मूल्य (छात्र गुणांक) के माध्यम से एक आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण

एस.वी. ग्रिबोव्स्की ने "संपत्ति के मूल्य का आकलन करने के लिए गणितीय तरीके" पुस्तक में छात्र के गुणांक के माध्यम से आत्मविश्वास अंतराल की गणना के लिए एक विधि का वर्णन किया है। इस पद्धति द्वारा गणना करते समय, अनुमानक को स्वयं महत्व स्तर निर्धारित करना चाहिए, जो उस संभावना को निर्धारित करता है जिसके साथ विश्वास अंतराल बनाया जाएगा। 0.1 के महत्व के स्तर आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं; 0.05 और 0.01। वे 0.9 की विश्वास संभावनाओं के अनुरूप हैं; 0.95 और 0.99। इस पद्धति के साथ, गणितीय अपेक्षा और विचरण के वास्तविक मूल्यों को व्यावहारिक रूप से अज्ञात माना जाता है (जो व्यावहारिक मूल्यांकन समस्याओं को हल करते समय लगभग हमेशा सत्य होता है)।

कॉन्फिडेंस इंटरवल फॉर्मूला:

एन - नमूना आकार;

महत्व स्तर ∝ के साथ टी-सांख्यिकी (छात्र का वितरण) का महत्वपूर्ण मूल्य, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n-1, जो विशेष सांख्यिकीय तालिकाओं या एमएस एक्सेल (→ "सांख्यिकीय" → STUDRASPOBR) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है;

- महत्व स्तर, हम ∝=0.01 लेते हैं।

चावल। 2. विश्वास अंतराल के भीतर मान 2.

चरण 4. विश्वास अंतराल की गणना करने के विभिन्न तरीकों का विश्लेषण

विश्वास अंतराल की गणना के दो तरीकों - माध्यिका और छात्र के गुणांक के माध्यम से - अंतराल के विभिन्न मूल्यों को जन्म दिया। तदनुसार, दो अलग-अलग शुद्ध नमूने प्राप्त किए गए थे।

तालिका 3. तीन नमूनों के लिए सांख्यिकीय संकेतक।

सूचक	प्रारंभिक नमूना	1 विकल्प	विकल्प 2
अर्थ
फैलाव
कोफ. विविधताओं
कोफ. दोलनों
सेवानिवृत्त वस्तुओं की संख्या, पीसी।

प्रदर्शन की गई गणनाओं के आधार पर, हम कह सकते हैं कि विभिन्न तरीकों से प्राप्त विश्वास अंतराल के मान प्रतिच्छेद करते हैं, इसलिए आप मूल्यांकक के विवेक पर गणना के किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं।

हालांकि, हम मानते हैं कि एस्टिमेटिका.प्रो सिस्टम में काम करते समय, बाजार के विकास की डिग्री के आधार पर, विश्वास अंतराल की गणना के लिए एक विधि चुनना उचित है:

• यदि बाजार विकसित नहीं है, तो माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से गणना की विधि लागू करें, क्योंकि इस मामले में सेवानिवृत्त वस्तुओं की संख्या कम है;
• यदि बाजार विकसित है, तो टी-सांख्यिकी (छात्र गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से गणना लागू करें, क्योंकि एक बड़ा प्रारंभिक नमूना बनाना संभव है।

लेख तैयार करने में उपयोग किया गया था:

1. ग्रिबोव्स्की एस.वी., सिवेट्स एस.ए., लेविकिना आई.ए. संपत्ति के मूल्य का आकलन करने के लिए गणितीय तरीके। मॉस्को, 2014

2. estimatica.pro सिस्टम से डेटा

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर (हम सामान्य जनसंख्या के बारे में बात कर सकते हैं) को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, जिसके लिए प्रसरण D = 2 (> 0) ज्ञात है। सामान्य आबादी से (वस्तुओं के सेट पर जिनमें एक यादृच्छिक चर निर्धारित किया जाता है), आकार n का एक नमूना बनाया जाता है। नमूना x 1, x 2,..., x n को n स्वतंत्र यादृच्छिक चर के संग्रह के रूप में उसी तरह वितरित किया जाता है जैसे (पाठ में ऊपर वर्णित दृष्टिकोण)।

पहले, निम्नलिखित समानताओं पर भी चर्चा की गई और उन्हें सिद्ध किया गया:

एमएक्स 1 = एमएक्स 2 = ... = एमएक्स एन = एम;

डीएक्स 1 = डीएक्स 2 = ... = डीएक्स एन = डी;

यह केवल साबित करने के लिए पर्याप्त है (हम सबूत छोड़ देते हैं) कि इस मामले में यादृच्छिक चर भी सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

आइए अज्ञात मान M को a से निरूपित करें और दी गई विश्वसनीयता के अनुसार संख्या d > 0 चुनें ताकि निम्नलिखित शर्त संतुष्ट हो:

पी(-ए< d) = (1)

चूँकि यादृच्छिक चर को गणितीय अपेक्षा M = M = a और प्रसरण D = D /n = 2 /n के साथ सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, हम प्राप्त करते हैं:

पी(-ए< d) =P(a - d < < a + d) =

यह d चुनना बाकी है कि समानता

किसी के लिए, कोई तालिका से ऐसी संख्या t पा सकता है कि (t) \u003d / 2. इस संख्या t को कभी-कभी कहा जाता है मात्रा.

अब समानता से

डी के मूल्य को परिभाषित करें:

हम फॉर्मूला (1) को फॉर्म में प्रस्तुत करके अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं:

अंतिम सूत्र का अर्थ इस प्रकार है: विश्वसनीयता के साथ, विश्वास अंतराल

जनसंख्या के अज्ञात पैरामीटर a = M को शामिल करता है। इसे अलग तरह से कहा जा सकता है: एक बिंदु अनुमान पैरामीटर एम के मूल्य को डी = टी / और विश्वसनीयता की सटीकता के साथ निर्धारित करता है।

काम। 6.25 के बराबर फैलाव के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित कुछ विशेषताओं के साथ एक सामान्य आबादी होने दें। आकार n = 27 का एक नमूना बनाया गया था और विशेषता = 12 का औसत नमूना मूल्य प्राप्त किया गया था। विश्वसनीयता के साथ सामान्य जनसंख्या की अध्ययन की गई विशेषता की अज्ञात गणितीय अपेक्षा को कवर करने वाला विश्वास अंतराल खोजें = 0.99।

फेसला। सबसे पहले, लैपलेस फ़ंक्शन के लिए तालिका का उपयोग करते हुए, हम समीकरण (टी) \u003d / 2 \u003d 0.495 से टी का मान पाते हैं। प्राप्त मूल्य t = 2.58 के आधार पर, हम अनुमान की सटीकता (या विश्वास अंतराल की आधी लंबाई) d: d = 2.52.58 / 1.24 निर्धारित करते हैं। यहां से हम वांछित विश्वास अंतराल प्राप्त करते हैं: (10.76; 13.24)।

सांख्यिकीय परिकल्पना सामान्य परिवर्तनशील

अज्ञात विचरण के साथ सामान्य वितरण की अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल

आज्ञा देना एक अज्ञात गणितीय अपेक्षा एम के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर हो, जिसे हम अक्षर ए द्वारा निरूपित करते हैं। आइए आकार n का एक नमूना बनाएं। आइए हम ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके औसत नमूना और सही नमूना विचरण s 2 निर्धारित करें।

यादृच्छिक मूल्य

छात्र के कानून के अनुसार n-1 डिग्री स्वतंत्रता के साथ वितरित।

कार्य दी गई विश्वसनीयता और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n - 1 के अनुसार ऐसी संख्या t ज्ञात करना है ताकि समानता

या समकक्ष समानता

यहां, कोष्ठकों में, शर्त लिखी जाती है कि अज्ञात पैरामीटर का मान एक निश्चित अंतराल से संबंधित है, जो कि विश्वास अंतराल है। इसकी सीमा विश्वसनीयता पर निर्भर करती है, साथ ही साथ नमूनाकरण मापदंडों और एस पर भी निर्भर करती है।

परिमाण द्वारा t का मान निर्धारित करने के लिए, हम समानता (2) को रूप में बदलते हैं:

अब, एक यादृच्छिक चर टी के लिए तालिका के अनुसार, छात्र के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, संभावना 1 के अनुसार - और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n-1, हम t पाते हैं। सूत्र (3) समस्या का उत्तर देता है।

काम। 20 इलेक्ट्रिक लैंप के नियंत्रण परीक्षणों पर, उनके संचालन की औसत अवधि 2000 घंटे के बराबर थी, जिसमें मानक विचलन (सही नमूना विचरण के वर्गमूल के रूप में गणना) 11 घंटे के बराबर था। यह ज्ञात है कि दीपक संचालन की अवधि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.95 की विश्वसनीयता के साथ विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

फेसला। मान 1 - इस मामले में 0.05 के बराबर है। छात्र की वितरण तालिका के अनुसार, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 19 के बराबर है, हम पाते हैं: t = 2.093। आइए अब अनुमान की सटीकता की गणना करें: 2.093121/ = 56.6। यहां से हमें वांछित आत्मविश्वास अंतराल मिलता है: (1943.4; 2056.6)।

आइए विचरण के ज्ञात मान के मामले में वितरण के माध्य मान का अनुमान लगाने के लिए MS EXCEL में एक विश्वास अंतराल बनाएँ।

बेशक चुनाव भरोसे का स्तरपूरी तरह से हाथ में काम पर निर्भर करता है। इस प्रकार, विमान की विश्वसनीयता में हवाई यात्री के विश्वास की डिग्री, निश्चित रूप से, प्रकाश बल्ब की विश्वसनीयता में खरीदार के विश्वास की डिग्री से अधिक होनी चाहिए।

कार्य निरूपण

आइए मान लें कि . से आबादीले लिया नमूनाआकार एन. यह मान लिया है कि मानक विचलनयह वितरण ज्ञात है। इसके आधार पर आवश्यक नमूनेअज्ञात का मूल्यांकन करें वितरण माध्य(μ, ) और संगत का निर्माण करें द्विपक्षीय विश्वास अंतराल.

बिंदु अनुमान

जैसा कि से जाना जाता है आंकड़े(चलो इसे कहते हैं एक्स सीएफ) एक माध्य का निष्पक्ष अनुमानयह आबादीऔर वितरण N(μ;σ 2 /n) है।

टिप्पणी: क्या होगा अगर आपको निर्माण करने की आवश्यकता है विश्वास अंतरालवितरण के मामले में, जो क्या नहीं है सामान्य?इस मामले में, बचाव के लिए आता है, जो कहता है कि पर्याप्त रूप से बड़े आकार के साथ नमूने n वितरण से न सामान्य, आँकड़ों का नमूना वितरण avमर्जी लगभगअनुरूप सामान्य वितरणपैरामीटर एन (μ; σ 2 / एन) के साथ।

इसलिए, बिंदु लागत मध्य वितरण मूल्यहमारे पास है नमूना माध्य, अर्थात। एक्स सीएफ. चलो अब व्यस्त हो जाओ विश्वास अंतराल।

एक विश्वास अंतराल का निर्माण

आमतौर पर, वितरण और उसके मापदंडों को जानकर, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि एक यादृच्छिक चर किसी दिए गए अंतराल से एक मान लेगा। अब इसके विपरीत करते हैं: वह अंतराल ज्ञात करें जिसमें यादृच्छिक चर किसी दी गई संभावना के साथ आता है। उदाहरण के लिए, गुणों से सामान्य वितरणयह ज्ञात है कि 95% की संभावना के साथ, एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है सामान्य कानून, अंतराल के भीतर लगभग +/- 2 से . के भीतर आ जाएगा औसत मूल्य(के बारे में लेख देखें)। यह अंतराल हमारे प्रोटोटाइप के रूप में काम करेगा विश्वास अंतराल.

अब देखते हैं कि क्या हम वितरण जानते हैं , इस अंतराल की गणना करने के लिए? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें वितरण के रूप और उसके मापदंडों को निर्दिष्ट करना होगा।

हम जानते हैं कि वितरण का रूप है सामान्य वितरण(याद रखें कि हम बात कर रहे हैं नमूने का वितरण आंकड़े एक्स सीएफ).

पैरामीटर μ हमारे लिए अज्ञात है (इसे केवल उपयोग करके अनुमान लगाने की आवश्यकता है विश्वास अंतराल), लेकिन हमारे पास इसका अनुमान है एक्स सीएफ,गणना के आधार पर नमूना,जिसका उपयोग किया जा सकता है।

दूसरा पैरामीटर है नमूना माध्य मानक विचलन जाना जाएगा, यह /√n के बराबर है।

क्योंकि हम μ नहीं जानते हैं, तो हम अंतराल +/- 2 . का निर्माण करेंगे मानक विचलनइससे नहीं औसत मूल्य, लेकिन इसके ज्ञात अनुमान से एक्स सीएफ. वे। गणना करते समय विश्वास अंतरालहम यह नहीं मानेंगे कि एक्स सीएफअंतराल +/- 2 . के भीतर गिर जाएगा मानक विचलनμ से 95% की संभावना के साथ, और हम मान लेंगे कि अंतराल +/- 2 . है मानक विचलनसे एक्स सीएफ 95% की संभावना के साथ μ . को कवर करेगा - सामान्य जनसंख्या का औसत,किस से नमूना. ये दो कथन समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा कथन हमें निर्माण करने की अनुमति देता है विश्वास अंतराल.

इसके अलावा, हम अंतराल को परिष्कृत करते हैं: एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है सामान्य कानून, 95% संभावना के साथ अंतराल +/- 1.960 . के भीतर आता है मानक विचलन,नहीं +/- 2 मानक विचलन. इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2), से। मी। नमूना फ़ाइल शीट रिक्ति.

अब हम एक संभाव्य कथन बना सकते हैं जो हमें बनाने में मदद करेगा विश्वास अंतराल:
"संभावना है कि आबादी मतलबसे स्थित नमूना औसत 1.960 के भीतर" नमूना माध्य के मानक विचलन", 95% के बराबर है।

कथन में उल्लिखित प्रायिकता मान का एक विशेष नाम है , जो के साथ जुड़ा हुआ हैमहत्व स्तर α (अल्फा) एक साधारण अभिव्यक्ति द्वारा विश्वास स्तर =1 -α . हमारे मामले में महत्वपूर्ण स्तर α =1-0,95=0,05 .

अब, इस संभाव्य कथन के आधार पर, हम गणना करने के लिए एक व्यंजक लिखते हैं विश्वास अंतराल:

जहां Zα/2 – मानक सामान्य वितरण(एक यादृच्छिक चर का ऐसा मान जेड, क्या पी(जेड>=Zα/2 )=α/2).

टिप्पणी: ऊपरी α/2-क्वांटाइलचौड़ाई को परिभाषित करता है विश्वास अंतरालमें मानक विचलन नमूना माध्य। ऊपरी α/2-क्वांटाइल मानक सामान्य वितरणहमेशा 0 से बड़ा होता है, जो बहुत सुविधाजनक है।

हमारे मामले में, α=0.05 पर, ऊपरी α/2-क्वांटाइल 1.960 के बराबर है। अन्य महत्व स्तरों के लिए α (10%; 1%) ऊपरी α/2-क्वांटाइल Zα/2 सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) या, यदि ज्ञात हो विश्वास स्तर, =NORM.ST.OBR((1+विश्वास स्तर)/2).

आमतौर पर निर्माण करते समय माध्य का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतरालकेवल उपयोग ऊपरी α/2-मात्राऔर उपयोग न करें निचला α/2-मात्रा. यह संभव है क्योंकि मानक सामान्य वितरणएक्स-अक्ष के बारे में सममित ( इसके वितरण का घनत्वसममित के बारे में औसत, यानी 0). इसलिए, गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है निचला α/2-क्वांटाइल(इसे बस α . कहा जाता है /2-क्वांटाइल), क्योंकि यह बराबर है ऊपरी α/2-मात्रामाइनस साइन के साथ।

याद रखें कि, x के वितरण के आकार की परवाह किए बिना, संगत यादृच्छिक चर एक्स सीएफवितरित लगभग अच्छाएन(μ;σ 2 /n) (के बारे में लेख देखें)। इसलिए, सामान्य तौर पर, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए विश्वास अंतरालकेवल अनुमानित है। यदि x को अधिक वितरित किया जाता है सामान्य कानून N(μ;σ 2 /n), फिर के लिए व्यंजक विश्वास अंतरालसही है।

MS EXCEL में कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना

आइए समस्या का समाधान करें।
एक इनपुट सिग्नल के लिए एक इलेक्ट्रॉनिक घटक का प्रतिक्रिया समय एक उपकरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। एक इंजीनियर औसत प्रतिक्रिया समय के लिए 95% के आत्मविश्वास के स्तर पर एक विश्वास अंतराल की साजिश रचना चाहता है। पिछले अनुभव से, इंजीनियर जानता है कि प्रतिक्रिया समय का मानक विचलन 8 एमएस है। यह ज्ञात है कि इंजीनियर ने प्रतिक्रिया समय का अनुमान लगाने के लिए 25 माप किए, औसत मूल्य 78 एमएस था।

फेसला: एक इंजीनियर इलेक्ट्रॉनिक उपकरण का प्रतिक्रिया समय जानना चाहता है, लेकिन वह समझता है कि प्रतिक्रिया समय निश्चित नहीं है, बल्कि एक यादृच्छिक चर है जिसका अपना वितरण है। इसलिए वह इस वितरण के मापदंडों और आकार को निर्धारित करने के लिए सबसे अच्छी उम्मीद कर सकता है।

दुर्भाग्य से, समस्या की स्थिति से, हम प्रतिक्रिया समय के वितरण के रूप को नहीं जानते हैं (यह होना आवश्यक नहीं है) सामान्य) , यह वितरण भी अज्ञात है। केवल वही जाना जाता है मानक विचलन= 8। इसलिए, जबकि हम संभावनाओं की गणना नहीं कर सकते हैं और निर्माण कर सकते हैं विश्वास अंतराल.

हालाँकि, हालांकि हम वितरण को नहीं जानते हैं समय अलग प्रतिक्रिया, हम जानते हैं कि के अनुसार सीपीटी, नमूने का वितरण औसत प्रतिक्रिया समयलगभग है सामान्य(हम मान लेंगे कि शर्तें सीपीटीकिया जाता है, क्योंकि आकार नमूनेकाफी बड़ा (एन = 25)) .

आगे, औसतयह वितरण बराबर है औसत मूल्यइकाई प्रतिक्रिया वितरण, अर्थात्। μ. लेकिन मानक विचलनइस वितरण का (σ/√n) सूत्र =8/ROOT(25) का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

यह भी ज्ञात है कि इंजीनियर ने प्राप्त किया बिंदु लागतपैरामीटर μ 78 ms (X cf) के बराबर। इसलिए, अब हम प्रायिकताओं की गणना कर सकते हैं, क्योंकि हम वितरण प्रपत्र जानते हैं ( सामान्य) और इसके पैरामीटर (Х ср और σ/√n)।

इंजीनियर जानना चाहता है अपेक्षित मूल्यप्रतिक्रिया समय वितरण का μ। जैसा कि ऊपर कहा गया है, यह μ बराबर है औसत प्रतिक्रिया समय के नमूना वितरण की अपेक्षा. अगर हम उपयोग करते हैं सामान्य वितरणएन (एक्स सीएफ; σ/√n), तो वांछित μ लगभग 95% की संभावना के साथ +/-2*σ/√n की सीमा में होगा।

महत्वपूर्ण स्तर 1-0.95 = 0.05 के बराबर।

अंत में, बाएँ और दाएँ बॉर्डर खोजें विश्वास अंतराल.
बाईं सीमा: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0.05 / 2) * 8 / रूट (25) = 74,864
दाहिनी सीमा: \u003d 78 + नॉर्म। एसटी। ओबीआर (1-0.05 / 2) * 8 / रूट (25) \u003d 81.136

बाईं सीमा: =NORM.INV(0.05/2, 78, 8/SQRT(25))
दाहिनी सीमा: =NORM.INV(1-0.05/2, 78, 8/SQRT(25))

जवाब: विश्वास अंतरालपर 95% आत्मविश्वास का स्तर और=8एमएसईसीबराबरी 78+/-3.136ms

पर शीट सिग्मा पर उदाहरण फ़ाइलज्ञात गणना और निर्माण के लिए एक प्रपत्र बनाया द्विपक्षीय विश्वास अंतरालमनमानी के लिए नमूनेदिए गए और . के साथ महत्वपूर्ण स्तर.

CONFIDENCE.NORM () फ़ंक्शन

यदि मान नमूनेदायरे में हैं बी20:बी79 , ए महत्वपूर्ण स्तर 0.05 के बराबर; फिर एमएस एक्सेल फॉर्मूला:
=औसत(B20:B79)-कॉन्फिडेंस(0.05,σ, COUNT(B20:B79))
बाईं सीमा लौटाएगा विश्वास अंतराल.

सूत्र का उपयोग करके समान सीमा की गणना की जा सकती है:
=औसत(बी20:बी79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))

टिप्पणी: TRUST.NORM () फ़ंक्शन MS EXCEL 2010 में दिखाई दिया। MS EXCEL के पुराने संस्करणों में TRUST () फ़ंक्शन का उपयोग किया गया था।