बिना जबरदस्ती के पढ़ाना

(गणित की आकर्षक दुनिया के लिए एक गाइड)

गणित को पहले से ही पढ़ाने की जरूरत है, कि यह दिमाग को क्रम में रखता है। (एम.वी. लोमोनोसोव)

तो आप गणित कैसे सीखते हैं?

यह सवाल कई लोगों के लिए दिलचस्प है।

पहला कदम अतीत से अंतराल को बंद करना है। यदि आप किसी विषय से चूक गए (समझ नहीं पाए, सिद्धांत रूप में अध्ययन नहीं किया, आदि), तो देर-सबेर आप निश्चित रूप से इस रेक पर कदम रखेंगे। एक क्लासिक परिणाम के साथ... गणित इस तरह काम करता है।

चाहे आप कोई नया विषय सीख रहे हों या किसी पुराने विषय पर फिर से जा रहे हों, गणित की परिभाषाओं और शर्तों में महारत हासिल करें! ध्यान देना, मैं नहीं कहता - "सीखें", लेकिन मैं कहता हूं "गुरु"। ये अलग चीजें हैं। आपको समझना चाहिए, उदाहरण के लिए, सरल, यहां तक ​​कि आदिम स्तर पर हर, विभेदक, या आर्क्सिन क्या है। यह क्या है, इसकी आवश्यकता क्यों है और इससे कैसे निपटना है। जीवन आसान हो जाएगा।

यदि मैं आपसे सघन प्रतिबंधित पर्यावरण संक्रमण उपकरण का उपयोग करने के लिए कहूं, तो आप उत्तर देने में असहज महसूस करेंगे, है ना? और अगर तुम समझते हो कि यह यंत्र एक साधारण द्वार है? यह वास्तव में अधिक मजेदार है।

और, ज़ाहिर है, आपको तय करने की ज़रूरत है। यदि आप नहीं जानते कि कैसे निर्णय लेना है, तो कोई बड़ी बात नहीं है। आपको कोशिश करनी है और कोशिश करनी है। सभी एक बार नहीं जानते थे कि कैसे। लेकिन जिन्होंने कोशिश की और कोशिश की, गलत तरीके से, गलतियों के साथ, अब वे हल करना जानते हैं। और जिसने कोशिश नहीं की, उसने पढ़ाई नहीं की - उसने कभी नहीं सीखा।

यहाँ प्रश्न के उत्तर के तीन घटक हैं: "गणित कैसे पढ़ाया जाए?" कमियों को दूर करें, समझने योग्य स्तर पर शर्तों में महारत हासिल करें और कार्यों को सार्थक रूप से हल करें।

यदि गणित आपको कुछ नियमों, सूत्रों, अभिव्यक्तियों का जंगल लगता है जिसमें नेविगेट करना असंभव है, तो मैं आपको सांत्वना दूंगा। वहाँ रास्ते और मार्गदर्शक सितारे हैं! आप इसमें बस जाएंगे, इसकी आदत डाल लेंगे, और आप भी इन जंगली जानवरों की प्रशंसा करना शुरू कर देंगे ...

स्कूली पाठ्यक्रम का गणित जटिल उदाहरणों को हल नहीं करता है, क्योंकि यह नहीं जानता कि कैसे। वह अच्छी तरह से 5x \u003d 10, विवेचक के माध्यम से एक द्विघात समीकरण, और त्रिकोणमिति, लघुगणक, आदि से समान सरल हल कर सकती है। और गणित की सारी शक्ति का उद्देश्य जटिल भावों को सरल बनाना है। इसके लिए विभिन्न परिवर्तनों के लिए नियमों और सूत्रों की आवश्यकता होती है। वे हमें मूल अभिव्यक्ति को उसके सार को बदले बिना हमारे लिए सुविधाजनक एक अलग रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

"गणित एक ही नाम से विभिन्न चीजों को बुलाने की कला है।" (ए पॉइनकेयर)

उदाहरण के लिए, 8 = 6 + 2 = 2 = = लॉग 6561 = 32: 4। यह अभी भी वही संख्या 8 है! केवल विभिन्न रूपों में दर्ज किया गया। किस प्रकार का चयन करना है - हम तय करते हैं! कार्य और सामान्य ज्ञान के अनुरूप।

गणित में मुख्य मार्गदर्शक सितारा भावों को बदलने की क्षमता है। लगभग कोई भी समाधान मूल अभिव्यक्ति के परिवर्तन से शुरू होता है। नियमों और सूत्रों की मदद से, जो इतनी पागल राशि नहीं है जितना आप सोचते हैं।

हम अक्सर कहते हैं, "सभी सूत्र बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ काम करते हैं।" मान लीजिए (a + b) लगभग हर कोई इसे a + 2ab + b के रूप में लिखता है। लेकिन हर कोई (दुर्भाग्य से) यह नहीं जानता कि x + 2x + 1 को (x + 1) के रूप में लिखा जा सकता है। और यहां आपको जानने की जरूरत है! सूत्र को व्यक्तिगत रूप से जानना आवश्यक है! चालाक शिक्षकों द्वारा एन्क्रिप्ट किए गए भावों में उन्हें पहचानने में सक्षम होने के लिए, सूत्रों के कुछ हिस्सों की पहचान करने के लिए, यदि आवश्यक हो, तो उन्हें पूरा करने के लिए लाने के लिए।

अभिव्यक्ति रूपांतरण पहली बार में परेशानी भरा है। श्रम की आवश्यकता है। प्रारंभिक चरण में, जहां संभव हो, उलटा परिवर्तन द्वारा परिवर्तन की शुद्धता की जांच करना आवश्यक है। फैक्टर आउट - वापस गुणा करें और समान लाएं। यह मूल अभिव्यक्ति निकला - हुर्रे! समीकरण की जड़ें मिलीं - मूल व्यंजक में स्थानापन्न करें। देखिए क्या हुआ। आदि।

इसलिए, मैं आपको गणित की अद्भुत दुनिया में आमंत्रित करता हूं। और आइए भिन्नों को जानकर अपनी यात्रा शुरू करें, क्योंकि यह शायद अधिकांश स्कूली बच्चों के लिए सबसे कमजोर जगह है।

सफलता मिले!

पाठ 1।

अंशों के प्रकार। परिवर्तन।

भिन्नों को कौन जानता है, वह बलवान है, वह गणित में बहादुर है!

अंश तीन प्रकार के होते हैं।

1. सामान्य भिन्न , उदाहरण के लिए: , , , ।

कभी-कभी, क्षैतिज रेखा के बजाय, वे एक स्लैश लगाते हैं: 1/2, 3/7, 19/5। एक रेखा, दोनों क्षैतिज (विनकुलियम) और तिरछी (सॉलिडस) का अर्थ एक ही ऑपरेशन है: शीर्ष संख्या (अंश) को नीचे की संख्या (हर) से विभाजित करना। और बस! एक रेखा के बजाय, एक विभाजन चिह्न - दो बिंदु रखना काफी संभव है। 1/2 = 1:2।

जब विभाजन पूरी तरह से संभव हो, तो इसे किया जाना चाहिए। तो, अंश 32/8 के बजाय, संख्या 4 लिखना अधिक सुखद है। वह है। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है। 32/8 = 32: 8 = 4। मैं भिन्न 4/1 के बारे में बात नहीं कर रहा हूँ, जो कि 4 के बराबर भी है। और अगर यह पूरी तरह से विभाजित नहीं होता है, तो हम इसे एक के रूप में छोड़ देते हैं। अंश। कभी-कभी आपको उल्टा करना पड़ता है। एक पूर्ण संख्या से भिन्न बनाओ। लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए: 0.5; 3.28; 0.543; 23.32.

3. मिश्रित संख्या , उदाहरण के लिए: , , , ।

हाई स्कूल में मिश्रित संख्याओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में बदलना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से यह जानना होगा कि यह कैसे करना है! और फिर टास्क में इतना नंबर आ जाएगा और हैंग हो जाएगा... स्क्रैच से। लेकिन हमें यह प्रक्रिया याद है!

सामान्य अंश सबसे बहुमुखी हैं। आइए उनके साथ शुरू करते हैं। वैसे, यदि भिन्न में सभी प्रकार के लघुगणक, ज्या और अन्य अक्षर हों, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली सभी क्रियाएं साधारण भिन्न वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

तो आगे बढ़ो! भिन्न भिन्न परिवर्तनों की पूरी विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे ही कहते हैं एक अंश की मूल संपत्ति. याद रखें: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो भिन्न नहीं बदलेगा। वे:

और हमें इसकी आवश्यकता है, ये सभी परिवर्तन? - तुम पूछो। और कैसे! अब आप खुद देख लेंगे। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कम करने के लिए भिन्न के मूल गुण का उपयोग करें। ऐसा लगता है कि बात प्राथमिक है। हम अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करते हैं और बस! गलत होना असंभव है! लेकिन...मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप हर जगह गलतियाँ कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 के रूप का एक अंश नहीं, बल्कि एक भिन्नात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्ति को कम करना है।

आमतौर पर छात्र अंश और हर को समान संख्या (या व्यंजक) से विभाजित करने के बारे में नहीं सोचता! वह ऊपर और नीचे से समान रूप से सब कुछ काट देता है! यह वह जगह है जहां एक सामान्य गलती छिपी हुई है, एक गलती, यदि आप चाहें तो।

उदाहरण के लिए, आपको व्यंजक को सरल बनाने की आवश्यकता है: .

हम क्या कर रहे हैं? हम कारक को ऊपर और नीचे की डिग्री को पार करते हैं! हम पाते हैं: ।

सब कुछ सही है। लेकिन वास्तव में आपने साझा किया पूरा अंशऔर पूरा भाजकपर गुणक ए.यदि आप केवल क्रासिंग आउट करने के अभ्यस्त हैं, तो, जल्दी में, आप एक्सप्रेशन में अक्षर a को क्रॉस आउट कर सकते हैं और फिर से प्राप्त कर सकते हैं। जो स्पष्ट रूप से गलत होगा: एक अक्षम्य गलती। क्योंकि यहाँ पूरा अंशपहले से ही सांझा नहीं किया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता है।

कम करते समय, आपको पूरे अंश और पूरे भाजक को विभाजित करने की आवश्यकता होती है!

भिन्नों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए, 375/1000। और अब उसके साथ कैसे काम करें? कैलकुलेटर के बिना? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग !? और अगर आप बहुत आलसी नहीं हैं, लेकिन ध्यान से पांच से कम करें, और यहां तक ​​​​कि पांच, और यहां तक ​​​​कि ... जबकि इसे कम किया जा रहा है। हमें 3/8 मिलते हैं! बहुत अच्छा, है ना?

एक अंश की मुख्य संपत्ति आपको कैलकुलेटर के बिना साधारण अंशों को दशमलव और इसके विपरीत में बदलने की अनुमति देती है! सीटी में यह महत्वपूर्ण है, है ना?

दशमलव के साथ यह आसान है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25। यह शून्य बिंदु है, पच्चीस सौवां। तो हम लिखते हैं: 25/100। हम कम करते हैं (अंश और हर को 25 से विभाजित करते हैं), हमें एक साधारण अंश मिलता है: 1/4। हर चीज़। ऐसा होता है, और कुछ भी कम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, 0.3. यह तीन दसवां हिस्सा है, यानी। 3/10.

क्या होगा यदि पूर्णांक गैर-शून्य हैं? ठीक है। हम अंश में बिना किसी अल्पविराम के पूर्ण भिन्न लिखते हैं, और हर में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17. यह तीन पूरे, सत्रह सौवां हिस्सा है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं, हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी कम नहीं हुआ यानी सब कुछ। यही उत्तर है। उपरोक्त सभी से, एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है।

लेकिन रिवर्स रूपांतरण, साधारण से दशमलव, कुछ कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते। लेकिन तुम्हें चाहिए! आप उत्तर कैसे लिखेंगे? हम इस प्रक्रिया को ध्यान से पढ़ते हैं और इसमें महारत हासिल करते हैं।

दशमलव अंश क्या है? उसका हर हमेशा 10, या 100, या 1000, या 10,000, इत्यादि होता है। यदि आपके सामान्य भिन्न में ऐसा हर है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4। या 7/100 = 0.07। या 12/10 = 1.2। क्या होगा यदि परिणाम 1/2 है? और उत्तर दशमलव में लिखा जाना चाहिए...

हम याद रखते हैं एक अंश की मूल संपत्ति! गणित अनुकूल रूप से आपको अंश और हर को समान संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। वैसे किसी के लिए भी! शून्य को छोड़कर, बिल्कुल। आइए इस सुविधा का उपयोग अपने लाभ के लिए करें! हर को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (छोटा बेहतर है, निश्चित रूप से...)? 5, जाहिर है। हर को 5 से गुणा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। लेकिन फिर अंश को भी 5 से गुणा किया जाना चाहिए। हमें 1/2 = 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, भाजक भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 3/16। फिर आप 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको एक कोने से विभाजित करना होगा, जैसा कि उन्होंने प्राथमिक ग्रेड में पढ़ाया था। हम 0.1875 प्राप्त करते हैं।

और कुछ बहुत बुरे भाजक हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 1/3 को एक अच्छे दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। और कैलकुलेटर पर, और एक कोने से विभाजित करने पर, हमें 0.3333333 मिलता है ... इसलिए एक और उपयोगी निष्कर्ष। प्रत्येक सामान्य अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है!

तो, साधारण और दशमलव अंशों के साथ हल किया गया। यह मिश्रित संख्याओं से निपटने के लिए बनी हुई है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण अंशों में बदलने की जरूरत है। यह कैसे करना है? आप पांचवें ग्रेडर को पकड़ सकते हैं और उससे पूछ सकते हैं। लेकिन हमेशा पांचवीं कक्षा पास नहीं होगी ... आपको इसे स्वयं करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ें। यह एक उभयनिष्ठ भिन्न का अंश होगा। भाजक के बारे में क्या? भाजक वही रहेगा। यह जटिल लगता है, लेकिन यह वास्तव में काफी सरल है। आइए एक उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि कार्य में आपने डरावनी संख्या देखी है:

शांति से, बिना घबराहट के, हम बहस करते हैं। पूरा पार्ट 1 है। एक। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। अतः भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह हर साधारण भिन्न का हर होगा। विचार करें: अंश। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (अंश का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 मिलता है। यह एक साधारण भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। यह गणितीय संकेतन में और भी सरल दिखता है:

सरलता? फिर अपनी सफलता सुनिश्चित करें! इन मिश्रित संख्याओं को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलें। आपको 10/3, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

खैर, लगभग सब कुछ। आपने भिन्नों के प्रकार को याद किया और समझा कि उनका एक प्रकार से दूसरे प्रकार में अनुवाद कैसे किया जाता है। सवाल बना रहता है: ऐसा क्यों करते हैं? इस गहन ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

कोई भी उदाहरण ही आवश्यक कार्यों का सुझाव देता है। यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव और यहां तक ​​कि मिश्रित संख्याओं को एक गुच्छा में मिला दिया जाता है, तो हम हर चीज़ को साधारण भिन्न में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है। ठीक है, अगर यह लिखा है, उदाहरण के लिए, 0.8 + 0.3, तो हम ऐसा सोचते हैं, बिना किसी अनुवाद के। हमें अतिरिक्त काम की आवश्यकता क्यों है? हम हल करने का तरीका चुनते हैं जो हमारे लिए सुविधाजनक है!

यदि कार्य दशमलव अंशों से भरा है, लेकिन उम ... कुछ डरावने वाले, सामान्य वाले पर जाएं, इसे आज़माएं! शायद सब कुछ ठीक हो जाएगा। उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना है। इतना आसान नहीं अगर आपने कैलकुलेटर की आदत नहीं छोड़ी है! आपको न केवल एक कॉलम में संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, बल्कि यह भी सोचना है कि अल्पविराम कहाँ डाला जाए! यह निश्चित रूप से मेरे दिमाग में काम नहीं करता है! और अगर आप एक साधारण अंश में जाते हैं? 0.125 = 125/1000। हम 5 से कम करते हैं (यह शुरुआत के लिए है)। हमें 25/200 मिलते हैं। एक बार फिर 5 पर। हमें 5/40 मिलते हैं। अभी भी सिकुड़ रहा है! 5 पर वापस! हमें 1/8 मिलता है। आसानी से वर्गाकार (आपके दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त करें। हर चीज़!

आइए हमारे पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

1. भिन्न तीन प्रकार के होते हैं: साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव और मिश्रित संख्याओं को हमेशा उभयनिष्ठ भिन्नों में बदला जा सकता है। रिवर्स ट्रांसफर हमेशा संभव नहीं होता है।

3. कार्य के साथ कार्य करने के लिए भिन्नों के प्रकार का चुनाव इसी कार्य पर निर्भर करता है। यदि एक कार्य में भिन्न प्रकार के भिन्न हैं, तो सबसे विश्वसनीय बात साधारण भिन्नों पर स्विच करना है।

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! अपने दिमाग में गणना करते समय गलती करने की तुलना में मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले उदाहरणों में - साधारण भिन्नों पर जाएं।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम करते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को साधारण लोगों तक कम करते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

अब सिद्धांत को व्यवहार में लाने का प्रयास करें।

तो, चलिए इसे परीक्षा मोड में हल करते हैं! हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जांचते हैं, हम निम्नलिखित को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहले से आखिरी उदाहरण तक फिर से जाँच की। और फिर हम उत्तरों को देखते हैं।

तय? आप से मेल खाने वाले उत्तरों की तलाश में। प्रलोभन से दूर, अव्यवस्था में उत्तर लिखे जाते हैं, इसलिए बोलना...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया - आपके लिए खुश! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। नहीं तो... धैर्य और मेहनत से सब कुछ पीस जाएगा।

इस लेख की सामग्री भिन्नों वाले भावों के परिवर्तन पर एक सामान्य नज़र है। यहां हम उन बुनियादी परिवर्तनों पर विचार करेंगे जो भिन्नों वाले व्यंजकों की विशेषता हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

भिन्नात्मक व्यंजक और भिन्नात्मक व्यंजक

आरंभ करने के लिए, आइए स्पष्ट करें कि हम किस प्रकार के अभिव्यक्ति परिवर्तन से निपटने जा रहे हैं।

लेख के शीर्षक में स्व-व्याख्यात्मक वाक्यांश है " भिन्नों के साथ व्यंजक". यानी नीचे हम संख्यात्मक अभिव्यक्तियों और चर के साथ भावों के परिवर्तन के बारे में बात करेंगे, जिसके रिकॉर्ड में कम से कम एक अंश होता है।

हम तुरंत ध्यान दें कि लेख के प्रकाशन के बाद " भिन्नों का परिवर्तन: एक सामान्य दृश्य"अब हमें व्यक्तिगत अंशों में कोई दिलचस्पी नहीं है। इस प्रकार, आगे हम जड़ों, शक्तियों, लघुगणक के साथ योग, अंतर, उत्पाद, आंशिक और अधिक जटिल अभिव्यक्तियों पर विचार करेंगे, जो केवल कम से कम एक अंश की उपस्थिति से एकजुट होते हैं।

और बात करते हैं भिन्नात्मक भाव. यह भिन्नों वाले व्यंजकों के समान नहीं है। भिन्न अभिव्यक्ति एक अधिक सामान्य अवधारणा है। भिन्नों वाला प्रत्येक व्यंजक भिन्नात्मक व्यंजक नहीं होता। उदाहरण के लिए, व्यंजक भिन्नात्मक व्यंजक नहीं है, यद्यपि इसमें भिन्न है, यह एक पूर्णांक परिमेय व्यंजक है। इसलिए भिन्नों वाले व्यंजक को पूर्ण रूप से सुनिश्चित किए बिना भिन्नात्मक व्यंजक न कहें।

भिन्नों के साथ व्यंजकों के मूल समान परिवर्तन

उदाहरण।

व्यंजक को सरल कीजिए .

फेसला।

इस स्थिति में, आप कोष्ठक खोल सकते हैं, जो व्यंजक देगा , जिसमें समान पद और , साथ ही −3 और 3 शामिल हैं। उनकी कमी के बाद, हमें एक अंश मिलता है।

आइए समाधान लिखने का एक संक्षिप्त रूप दिखाएं:

जवाब:

.

अलग-अलग अंशों के साथ काम करना

हम जिन व्यंजकों को रूपांतरित करने की बात कर रहे हैं, वे मुख्य रूप से भिन्नों की उपस्थिति में अन्य व्यंजकों से भिन्न हैं। और भिन्नों की उपस्थिति के लिए उनके साथ काम करने के लिए उपकरणों की आवश्यकता होती है। इस पैराग्राफ में, हम इस अभिव्यक्ति के रिकॉर्ड में शामिल अलग-अलग अंशों के परिवर्तन पर चर्चा करेंगे, और अगले पैराग्राफ में हम उन अंशों के साथ संचालन करने के लिए आगे बढ़ेंगे जो मूल अभिव्यक्ति बनाते हैं।

किसी भी भिन्न के साथ जो मूल व्यंजक का एक घटक है, आप आलेख में बताए गए किसी भी रूपांतरण को कर सकते हैं भिन्नों को परिवर्तित करना। यानी आप एक अलग भिन्न ले सकते हैं, उसके अंश और हर के साथ काम कर सकते हैं, उसे कम कर सकते हैं, उसे एक नए हर में ला सकते हैं, आदि। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के साथ, चयनित अंश को उसके बराबर एक भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा, और मूल अभिव्यक्ति को इसके बराबर एक अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा। आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

व्यंजक को भिन्न के साथ बदलें एक सरल रूप में।

फेसला।

आइए भिन्न के साथ कार्य करके परिवर्तन प्रारंभ करें। सबसे पहले, कोष्ठक खोलिए और भिन्न के अंश में समान पद दीजिए: . अब यह अंश में सामान्य कारक x की ब्रैकेटिंग और बाद में बीजीय अंश की कमी की मांग करता है: . यह केवल मूल व्यंजक में भिन्न के स्थान पर प्राप्त परिणाम को प्रतिस्थापित करने के लिए रहता है, जो देता है .

जवाब:

.

भिन्नों के साथ क्रिया करना

भावों को भिन्नों के साथ बदलने की प्रक्रिया का हिस्सा अक्सर करना होता है भिन्न के साथ क्रिया. उन्हें कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया के अनुसार किया जाता है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि किसी भी संख्या या व्यंजक को हमेशा 1 के हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण।

व्यंजक को सरल कीजिए .

फेसला।

समस्या को विभिन्न कोणों से संपर्क किया जा सकता है। विचाराधीन विषय के संदर्भ में, हम भिन्नों के साथ क्रियाएँ करेंगे। आइए भिन्नों को गुणा करके प्रारंभ करें:

अब हम गुणनफल को एक भाजक के साथ भिन्न के रूप में लिखते हैं, जिसके बाद हम भिन्नों को घटाते हैं:

यदि वांछित और आवश्यक हो, तब भी हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाया जा सकता है , जिस पर आप परिवर्तन समाप्त कर सकते हैं।

जवाब:

जड़ों, शक्तियों, लघुगणक आदि के गुणों का अनुप्रयोग।

भिन्नों वाले व्यंजकों का वर्ग बहुत विस्तृत है। इस तरह के भाव, स्वयं भिन्नों के अलावा, जड़ें, विभिन्न घातांक के साथ डिग्री, मॉड्यूल, लघुगणक, त्रिकोणमितीय कार्य आदि हो सकते हैं। स्वाभाविक रूप से, जब वे परिवर्तित होते हैं, तो संबंधित गुण लागू होते हैं।

भिन्नों के लिए लागू, यह अंश की जड़ की संपत्ति, अंश की संपत्ति की डिग्री, भागफल के मापांक की संपत्ति और अंतर के लघुगणक की संपत्ति को उजागर करने के लायक है .

स्पष्टता के लिए, हम कुछ उदाहरण देते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में डिग्री के गुणों के आधार पर, पहले अंश को एक डिग्री से बदलना उपयोगी हो सकता है, जो आगे हमें व्यंजक को एक वर्ग अंतर के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है। लॉगरिदमिक व्यंजक को परिवर्तित करते समय एक भिन्न के लघुगणक को लघुगणक के अंतर से बदलना संभव है, जो आगे हमें समान पदों को लाने की अनुमति देता है और इस तरह अभिव्यक्ति को सरल बनाता है:। त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के लिए एक स्पर्शरेखा के साथ साइन के अनुपात को उसी कोण के कोसाइन में बदलने की आवश्यकता हो सकती है। यह भी संभव है कि आपको आधे तर्क से उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करके पूरे तर्क की ओर बढ़ना होगा, जिससे भिन्न तर्क से छुटकारा मिल जाएगा, उदाहरण के लिए, .

जड़ों, डिग्री आदि के गुणों को लागू करना। भावों के परिवर्तन के बारे में लेखों में अधिक विस्तार से बताया गया है:

• जड़ों के गुणों का उपयोग करके अपरिमेय व्यंजकों का रूपांतरण,
• शक्तियों के गुणों का उपयोग करके भावों का परिवर्तन,
• लघुगणक के गुणों का उपयोग करके लघुगणकीय व्यंजकों को परिवर्तित करना,
• त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना.

दशमलव संख्याएं जैसे 0.2; 1.05; 3.017 आदि। जैसे वे सुने जाते हैं, वैसे ही वे लिखे जाते हैं। शून्य बिंदु दो, हमें एक भिन्न मिलता है। एक पूरे पांच सौवां, हमें एक अंश मिलता है। तीन पूरे सत्रह हज़ारवां, हमें एक अंश मिलता है। दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु से पहले के अंक भिन्न का पूर्णांक भाग होते हैं। दशमलव बिंदु के बाद की संख्या भविष्य के अंश का अंश है। यदि दशमलव बिंदु के बाद एक अंक की संख्या है, तो हर 10 होगा, यदि दो अंक - 100, तीन अंक - 1000, आदि। परिणामी अंशों में से कुछ को कम किया जा सकता है। हमारे उदाहरणों में

भिन्न को दशमलव संख्या में बदलना

यह पिछले परिवर्तन के विपरीत है। दशमलव अंश क्या है? उसका हर हमेशा 10, या 100, या 1000, या 10,000, इत्यादि होता है। यदि आपके सामान्य भिन्न में ऐसा हर है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, या

यदि एक अंश, उदाहरण के लिए। इस मामले में, आपको भिन्न की मूल संपत्ति का उपयोग करने और हर को 10 या 100, या 1000 में बदलने की आवश्यकता है ... हमारे उदाहरण में, यदि हम अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, तो हमें एक अंश मिलता है जिसे लिखा जा सकता है दशमलव संख्या 0.12 के रूप में।

कुछ भिन्नों को हर को बदलने की तुलना में विभाजित करना आसान होता है। उदाहरण के लिए,

कुछ भिन्नों को दशमलव संख्या में नहीं बदला जा सकता है!
उदाहरण के लिए,

मिश्रित भिन्न को अनुचित में बदलना

एक मिश्रित भिन्न, जैसे , आसानी से एक अनुचित भिन्न में बदल जाती है। ऐसा करने के लिए, आपको हर (नीचे) से पूर्णांक भाग को गुणा करना होगा और इसे अंश (शीर्ष) में जोड़ना होगा, जिससे हर (नीचे) अपरिवर्तित रह जाएगा। अर्थात

मिश्रित भिन्न को अनुचित में परिवर्तित करते समय, आप याद रख सकते हैं कि आप भिन्नों के योग का उपयोग कर सकते हैं

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना (पूरे भाग को हाइलाइट करना)

एक अनुचित भिन्न को पूरे भाग को हाइलाइट करके मिश्रित भिन्न में बदला जा सकता है। एक उदाहरण पर विचार करें, . निर्धारित करें कि कितने पूर्णांक बार "3" "23" में फिट होते हैं। या हम कैलकुलेटर पर 23 को 3 से विभाजित करते हैं, दशमलव बिंदु तक की पूरी संख्या वांछित है। यह "7" है। अगला, हम भविष्य के अंश का अंश निर्धारित करते हैं: हम परिणामी "7" को हर "3" से गुणा करते हैं और परिणाम को अंश "23" से घटाते हैं। यदि हम "3" की अधिकतम संख्या को हटा दें, तो हम अंश "23" से जो अतिरिक्त बचता है, उसे कैसे प्राप्त करेंगे। भाजक अपरिवर्तित रहता है। सब कुछ हो गया है, परिणाम लिखो

भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हाई स्कूल में अंश बहुत कष्टप्रद नहीं हैं। उतने समय के लिए। जब तक आपको परिमेय घातांक और लघुगणक वाले घातांक नहीं मिलते। और वहाँ…। आप दबाते हैं, आप कैलकुलेटर दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं के सभी पूर्ण स्कोरबोर्ड दिखाता है। आपको अपने दिमाग से सोचना होगा, जैसे तीसरी कक्षा में।

आइए भिन्नों से निपटें, अंत में! अच्छा, आप उनमें कितना भ्रमित हो सकते हैं!? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, अंश क्या हैं?

अंशों के प्रकार। परिवर्तन।

अंश तीन प्रकार के होते हैं।

1. सामान्य भिन्न , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी, क्षैतिज रेखा के बजाय, वे एक स्लैश लगाते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, कुआं, इत्यादि। यहाँ हम अक्सर इस वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या को कहा जाता है मीटर, निचला - हर।यदि आप लगातार इन नामों को भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है ...), अपने आप को अभिव्यक्ति के साथ वाक्यांश बताएं: " ज़ज़्ज़्ज़याद रखना! ज़ज़्ज़्ज़हर - बाहर ज़ज़्ज़तुम!" देखो, सब कुछ याद रहेगा।)

एक पानी का छींटा, जो क्षैतिज है, जो तिरछा है, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से नीचे की संख्या (भाजक)। और बस! एक डैश के बजाय, एक विभाजन चिह्न - दो बिंदु रखना काफी संभव है।

जब विभाजन पूरी तरह से संभव हो, तो इसे किया जाना चाहिए। तो, अंश "32/8" के बजाय संख्या "4" लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं अंश "4/1" के बारे में बात नहीं कर रहा हूँ। जो भी सिर्फ "4" है। और अगर यह पूरी तरह से विभाजित नहीं होता है, तो हम इसे एक अंश के रूप में छोड़ देते हैं। कभी-कभी आपको उल्टा करना पड़ता है। एक पूर्ण संख्या से भिन्न बनाओ। लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि कार्यों "बी" के उत्तर लिखना आवश्यक होगा।

3. मिश्रित संख्या , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्याओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में बदलना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से यह जानना होगा कि यह कैसे करना है! और फिर इतनी संख्या पहेली में आ जाएगी और लटक जाएगी ... खरोंच से। लेकिन हमें यह प्रक्रिया याद है! थोड़ा नीचे।

सबसे बहुमुखी सामान्य भिन्न. आइए उनके साथ शुरू करते हैं। वैसे, यदि भिन्न में सभी प्रकार के लघुगणक, ज्या और अन्य अक्षर हों, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सब कुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएं साधारण भिन्न वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

एक अंश की मूल संपत्ति।

तो चलते हैं! सबसे पहले मैं आपको हैरान कर दूंगा। भिन्न भिन्न परिवर्तनों की पूरी विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे ही कहते हैं एक अंश की मूल संपत्ति. याद है: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलेगी।वे:

यह स्पष्ट है कि आप आगे लिख सकते हैं, जब तक कि आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लॉगरिदम को भ्रमित न होने दें, हम उनसे आगे निपटेंगे। समझने वाली मुख्य बात यह है कि ये सभी विभिन्न भाव हैं एक ही अंश . 2/3.

और हमें इसकी आवश्यकता है, ये सभी परिवर्तन? और कैसे! अब आप खुद देख लेंगे। सबसे पहले, आइए के लिए भिन्न के मूल गुण का उपयोग करें भिन्न संक्षिप्ताक्षर. ऐसा लगता है कि बात प्राथमिक है। हम अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करते हैं और बस! गलत होना असंभव है! लेकिन...मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप हर जगह गलतियाँ कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे अंश को कम नहीं करना है, बल्कि सभी प्रकार के अक्षरों के साथ एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को कम करना है।

बिना अनावश्यक काम किए भिन्नों को सही ढंग से और जल्दी से कैसे कम करें, विशेष धारा 555 में पाया जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और हर को समान संख्या (या व्यंजक) से विभाजित करने की जहमत नहीं उठाता! वह ऊपर और नीचे से समान रूप से सब कुछ काट देता है! यह वह जगह है जहां एक सामान्य गलती छिपी हुई है, एक गलती, यदि आप चाहें तो।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

सोचने की कोई बात नहीं है, हम ऊपर से "ए" अक्षर और नीचे से ड्यूस को पार करते हैं! हम पाते हैं:

सब कुछ सही है। लेकिन वास्तव में आपने साझा किया पूरा अंश और पूरा भाजक "ए"। यदि आप बस पार करने के आदी हैं, तो, जल्दी में, आप अभिव्यक्ति में "ए" को पार कर सकते हैं

और फिर से प्राप्त करें

जो स्पष्ट रूप से गलत होगा। क्योंकि यहाँ पूरापहले से ही "ए" पर अंश सांझा नहीं किया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता है। वैसे, ऐसा संक्षिप्त नाम है, उम ... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती। यह माफ नहीं किया गया है! याद है? कम करते समय, विभाजित करना आवश्यक है पूरा अंश और पूरा हर!

भिन्नों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। और अब उसके साथ कैसे काम करें? कैलकुलेटर के बिना? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग !? और अगर आप बहुत आलसी नहीं हैं, लेकिन ध्यान से पांच से कम करें, और यहां तक ​​​​कि पांच, और यहां तक ​​​​कि ... जबकि इसे कम किया जा रहा है, संक्षेप में। हमें 3/8 मिलते हैं! बहुत अच्छा, है ना?

भिन्न का मूल गुण आपको साधारण भिन्न को दशमलव में और इसके विपरीत बदलने की अनुमति देता है कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक रूप से दूसरे रूप में कैसे बदलें।

दशमलव के साथ यह आसान है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25। यह शून्य बिंदु है, पच्चीस सौवां। तो हम लिखते हैं: 25/100। हम कम करते हैं (अंश और हर को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य अंश मिलता है: 1/4। हर चीज़। ऐसा होता है, और कुछ भी कम नहीं होता है। 0.3 की तरह। यह तीन दसवां हिस्सा है, यानी। 3/10.

क्या होगा यदि पूर्णांक गैर-शून्य हैं? ठीक है। पूरा अंश लिखिए बिना किसी अल्पविराम केअंश में, और हर में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17. यह तीन पूरे, सत्रह सौवां हिस्सा है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं, हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी कम नहीं हुआ यानी सब कुछ। यही उत्तर है। प्राथमिक वाटसन! उपरोक्त सभी से, एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है .

लेकिन रिवर्स रूपांतरण, साधारण से दशमलव, कुछ कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते। लेकिन तुम्हें चाहिए! आप परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे !? हम इस प्रक्रिया को ध्यान से पढ़ते हैं और इसमें महारत हासिल करते हैं।

दशमलव अंश क्या है? उसके पास हर में है हमेशा 10 या 100 या 1000 या 10000 के लायक है और इसी तरह। यदि आपके सामान्य भिन्न में ऐसा हर है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4। या 7/100 = 0.07। या 12/10 = 1.2। और अगर खंड "बी" के कार्य के उत्तर में यह 1/2 निकला? प्रत्युत्तर में हम क्या लिखेंगे? दशमलव आवश्यक है...

हम याद रखते हैं एक अंश की मूल संपत्ति ! गणित अनुकूल रूप से आपको अंश और हर को समान संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। वैसे किसी के लिए भी! शून्य को छोड़कर, बिल्कुल। आइए इस सुविधा का उपयोग अपने लाभ के लिए करें! हर को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (छोटा बेहतर है, निश्चित रूप से...)? 5, जाहिर है। हर को गुणा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें (यह है हमआवश्यक) 5 से। लेकिन, फिर अंश को भी 5 से गुणा किया जाना चाहिए। यह पहले से ही है अंक शास्त्रमांग! हमें 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 3/16 गिर जाएगा। इसे आज़माएं, पता करें कि 16 को 100, या 1000 प्राप्त करने के लिए क्या गुणा करना है ... काम नहीं करता है? फिर आप केवल 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको एक कोने में, कागज के एक टुकड़े पर विभाजित करना होगा, जैसा कि उन्होंने प्राथमिक ग्रेड में पढ़ाया था। हम 0.1875 प्राप्त करते हैं।

और कुछ बहुत बुरे भाजक हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 1/3 को एक अच्छे दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। कैलकुलेटर और कागज के टुकड़े दोनों पर, हमें 0.3333333 मिलता है ... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश में अनुवाद नहीं करता. जैसे 1/7, 5/6 वगैरह। उनमें से कई अनुवाद योग्य नहीं हैं। इसलिए एक और उपयोगी निष्कर्ष। प्रत्येक सामान्य अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। !

वैसे, यह आत्मनिरीक्षण के लिए उपयोगी जानकारी है। जवाब में खंड "बी" में, आपको एक दशमलव अंश लिखना होगा। और आपको मिला, उदाहरण के लिए, 4/3। यह अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। इसका मतलब है कि कहीं न कहीं आपने गलती की है! वापस आओ, समाधान की जाँच करें।

तो, साधारण और दशमलव अंशों के साथ हल किया गया। यह मिश्रित संख्याओं से निपटने के लिए बनी हुई है। उनके साथ काम करने के लिए, उन सभी को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है। यह कैसे करना है? आप छठे ग्रेडर को पकड़ सकते हैं और उससे पूछ सकते हैं। लेकिन हमेशा छठा ग्रेडर हाथ में नहीं होगा ... हमें इसे खुद करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ें। यह एक उभयनिष्ठ भिन्न का अंश होगा। भाजक के बारे में क्या? भाजक वही रहेगा। यह जटिल लगता है, लेकिन यह वास्तव में काफी सरल है। आइए एक उदाहरण देखें।

समस्या में आपने डरावनी संख्या के साथ देखा:

शांति से, बिना घबराहट के, हम समझते हैं। पूरा पार्ट 1 है। एक। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। अतः भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह हर साधारण भिन्न का हर होगा। हम अंश गिनते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (अंश का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 मिलता है। यह एक साधारण भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। यह गणितीय संकेतन में और भी सरल दिखता है:

स्पष्ट रूप से? फिर अपनी सफलता सुनिश्चित करें! सामान्य भिन्नों में परिवर्तित करें। आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, अगर... और यदि आप - हाई स्कूल में नहीं हैं - तो आप विशेष धारा 555 में देख सकते हैं। उसी स्थान पर, आप अनुचित भिन्नों के बारे में जानेंगे।

खैर, लगभग सब कुछ। आपने भिन्नों के प्रकार को याद किया और समझा जैसा उन्हें एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित करें। सवाल बना रहता है: क्यों कर दो? इस गहन ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मैं जवाब देता हुँ। कोई भी उदाहरण ही आवश्यक कार्यों का सुझाव देता है। यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव और यहां तक ​​कि मिश्रित संख्याओं को एक गुच्छा में मिला दिया जाता है, तो हम हर चीज़ को साधारण भिन्न में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर 0.8 + 0.3 जैसा कुछ लिखा है, तो हम ऐसा सोचते हैं, बिना किसी अनुवाद के। हमें अतिरिक्त काम की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

यदि कार्य दशमलव अंशों से भरा है, लेकिन उम ... किसी प्रकार की बुराई, सामान्य लोगों पर जाएं, इसे आजमाएं! देखो सब ठीक हो जाएगा। उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना है। इतना आसान नहीं अगर आपने कैलकुलेटर की आदत नहीं छोड़ी है! आपको न केवल एक कॉलम में संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, बल्कि यह भी सोचना है कि अल्पविराम कहाँ डाला जाए! यह निश्चित रूप से मेरे दिमाग में काम नहीं करता है! और अगर आप एक साधारण अंश में जाते हैं?

0.125 = 125/1000। हम 5 से कम करते हैं (यह शुरुआत के लिए है)। हमें 25/200 मिलते हैं। एक बार फिर 5 पर। हमें 5/40 मिलते हैं। ओह, यह सिकुड़ रहा है! 5 पर वापस! हमें 1/8 मिलता है। आसानी से वर्गाकार (आपके दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त करें। हर चीज़!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

1. भिन्न तीन प्रकार के होते हैं। साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव और मिश्रित संख्या हमेशासामान्य अंशों में परिवर्तित किया जा सकता है। उल्टा अनुवाद हर बार नहींउपलब्ध।

3. कार्य के साथ कार्य करने के लिए भिन्नों के प्रकार का चुनाव इसी कार्य पर निर्भर करता है। यदि एक कार्य में भिन्न प्रकार के भिन्न हैं, तो सबसे विश्वसनीय बात साधारण भिन्नों पर स्विच करना है।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं। सबसे पहले, इन दशमलव अंशों को साधारण अंशों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह के उत्तर मिलने चाहिए (गड़बड़ी में!):

इस पर हम समाप्त करेंगे। इस पाठ में, हमने भिन्नों के मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डाला। हालांकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है ...) अगर कोई पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक महारत हासिल नहीं कर पाया है ... वे एक विशेष धारा 555 में जा सकते हैं। सभी मूल बातें वहां विस्तृत हैं। कई अचानक सब समज गयाशुरू कर रहे हैं। और वे मक्खी पर अंशों को हल करते हैं)।

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बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाना बीजगणित सीखने की चाबियों में से एक है और सभी गणितज्ञों के लिए एक अत्यंत उपयोगी कौशल है। सरलीकरण आपको एक जटिल या लंबी अभिव्यक्ति को सरल अभिव्यक्ति में कम करने की अनुमति देता है जिसके साथ काम करना आसान है। बुनियादी सरलीकरण कौशल उन लोगों के लिए भी अच्छा है जो गणित के प्रति उत्साही नहीं हैं। कुछ सरल नियमों का पालन करके, कई सबसे सामान्य प्रकार के बीजीय व्यंजकों को बिना किसी विशेष गणितीय ज्ञान के सरल बनाया जा सकता है।

कदम

महत्वपूर्ण परिभाषाएं

1. समान सदस्य . ये एक ही क्रम के चर वाले सदस्य हैं, समान चर वाले सदस्य, या मुक्त सदस्य (वे सदस्य जिनमें कोई चर नहीं है)। दूसरे शब्दों में, समान शब्दों में एक चर को समान सीमा तक शामिल किया जाता है, कई समान चरों को शामिल किया जाता है, या एक चर को बिल्कुल भी शामिल नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में शर्तों का क्रम मायने नहीं रखता।

   • उदाहरण के लिए, 3x 2 और 4x 2 समान पद हैं क्योंकि उनमें दूसरे क्रम का चर "x" है (द्वितीय घात में)। हालाँकि, x और x 2 समान सदस्य नहीं हैं, क्योंकि उनमें विभिन्न क्रमों (प्रथम और द्वितीय) के चर "x" होते हैं। इसी तरह, -3yx और 5xz समान सदस्य नहीं हैं क्योंकि उनमें विभिन्न चर होते हैं।

2. गुणन . यह ऐसी संख्याएँ ज्ञात कर रहा है, जिनका गुणनफल मूल संख्या की ओर जाता है। किसी भी मूल संख्या के कई गुणनखंड हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 12 को कारकों की निम्नलिखित श्रृंखला में विघटित किया जा सकता है: 1 × 12, 2 × 6 और 3 × 4, इसलिए हम कह सकते हैं कि संख्या 1, 2, 3, 4, 6 और 12 कारक हैं संख्या 12. गुणनखंड भाजक के समान हैं, अर्थात वे संख्याएँ जिनसे मूल संख्या विभाज्य है।

   • उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 20 का गुणनखंड करना चाहते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखें: 4×5.
   • ध्यान दें कि फैक्टरिंग करते समय, चर को ध्यान में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, 20x = 4(5x).
   • अभाज्य संख्याओं का गुणनखंड नहीं किया जा सकता क्योंकि वे केवल स्वयं से विभाज्य हैं और 1.

3. गलतियों से बचने के लिए संचालन के क्रम को याद रखें और उसका पालन करें।

   • कोष्टक
   • डिग्री
   • गुणा
   • विभाजन
   • योग
   • घटाव

   सदस्यों की तरह कास्टिंग

   1. अभिव्यक्ति लिखिए।सरलतम बीजीय व्यंजक (जिसमें भिन्न, मूल आदि नहीं होते हैं) को कुछ ही चरणों में हल (सरलीकृत) किया जा सकता है।

      • उदाहरण के लिए, व्यंजक को सरल कीजिए 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. समान सदस्यों को परिभाषित करें (समान क्रम के चर वाले सदस्य, समान चर वाले सदस्य, या मुक्त सदस्य)।

      • इस व्यंजक में समान पद ज्ञात कीजिए। पद 2x और 4x में एक ही क्रम (प्रथम) का एक चर है। साथ ही, 1 और -3 मुक्त सदस्य हैं (एक चर शामिल नहीं है)। इस प्रकार, इस अभिव्यक्ति में, पद 2x और 4xसमान हैं, और सदस्य 1 और -3भी समान हैं।

   3. समान पद दीजिए।इसका अर्थ है उन्हें जोड़ना या घटाना और व्यंजक को सरल बनाना।

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. दिए गए सदस्यों को ध्यान में रखते हुए व्यंजक को फिर से लिखिए।आपको कम शब्दों के साथ एक सरल अभिव्यक्ति मिलेगी। नई अभिव्यक्ति मूल के बराबर है।

      • हमारे उदाहरण में: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, अर्थात्, मूल व्यंजक सरलीकृत है और इसके साथ काम करना आसान है।

   5. उस क्रम का निरीक्षण करें जिसमें समान पदों की ढलाई करते समय संचालन किया जाता है।हमारे उदाहरण में, समान शब्दों को लाना आसान था। हालांकि, जटिल अभिव्यक्तियों के मामले में जिसमें सदस्य कोष्ठक में संलग्न हैं और अंश और मूल मौजूद हैं, ऐसे शब्दों को लाना इतना आसान नहीं है। इन मामलों में, संचालन के क्रम का पालन करें।

      • उदाहरण के लिए, व्यंजक 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x पर विचार करें। यहां 3x और 2x को समान पदों के रूप में तुरंत परिभाषित करना और उन्हें उद्धृत करना एक गलती होगी, क्योंकि पहले आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। इसलिए, उनके क्रम में संचालन करें।
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x। अभी, जब व्यंजक में केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएं होती हैं, तो आप समान पदों को कास्ट कर सकते हैं।
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • एक्स 2 + 12x + 3

   गुणक को छोटा करना

   1. पाना महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) व्यंजक के सभी गुणांकों का। GCD वह सबसे बड़ी संख्या है जिससे व्यंजक के सभी गुणांक विभाज्य होते हैं।

      • उदाहरण के लिए, समीकरण 9x 2 + 27x - 3 पर विचार करें। इस मामले में, gcd=3, क्योंकि इस व्यंजक का कोई भी गुणांक 3 से विभाज्य है।

   2. व्यंजक के प्रत्येक पद को gcd से भाग दें।परिणामी शब्दों में मूल व्यंजक की तुलना में छोटे गुणांक होंगे।

      • हमारे उदाहरण में, प्रत्येक व्यंजक पद को 3 से भाग दें।
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • यह अभिव्यक्ति निकला 3x2 + 9x-1. यह मूल अभिव्यक्ति के बराबर नहीं है।

   3. मूल व्यंजक को परिणामी व्यंजक के gcd गुणा के गुणनफल के बराबर लिखिए।यही है, परिणामी अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करें, और GCD को कोष्ठक से बाहर रखें।

      • हमारे उदाहरण में: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. गुणक को कोष्ठक से निकालकर भिन्नात्मक व्यंजकों को सरल बनाना।गुणक को कोष्ठक से बाहर क्यों निकालें, जैसा कि पहले किया गया था? फिर, भिन्नात्मक व्यंजकों जैसे जटिल व्यंजकों को सरल बनाने का तरीका जानने के लिए। इस मामले में, गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने से भिन्न (हर से) से छुटकारा पाने में मदद मिल सकती है।

      • उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक व्यंजक (9x 2 + 27x - 3)/3 पर विचार करें। इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए कोष्ठकों का प्रयोग करें।
        • गुणनखंड 3 का गुणनखंड करें (जैसा आपने पहले किया था): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • ध्यान दें कि अंश और हर दोनों में अब संख्या 3 है। इसे कम किया जा सकता है, और आपको व्यंजक मिलता है: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • चूँकि कोई भी भिन्न जिसका हर में नंबर 1 होता है, वह अंश के बराबर होता है, मूल भिन्नात्मक व्यंजक को सरल बनाया जाता है: 3x2 + 9x-1.

   अतिरिक्त सरलीकरण तकनीक

   1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना।जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यदि अंश और हर दोनों में समान पद (या समान भाव) हों, तो उन्हें कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको अंश या हर, या अंश और हर दोनों का सामान्य गुणनखंड निकालना होगा। या आप अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित कर सकते हैं और इस प्रकार व्यंजक को सरल बना सकते हैं।

      • उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक व्यंजक (5x 2 + 10x + 20)/10 पर विचार करें। यहाँ, अंश के प्रत्येक पद को हर (10) से विभाजित करें। लेकिन ध्यान दें कि 5x2 पद 10 से भी विभाज्य नहीं है (क्योंकि 5 10 से कम है)।
        • अतः सरलीकृत व्यंजक इस प्रकार लिखें: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों का सरलीकरण।मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक मूलक व्यंजक कहलाते हैं। उन्हें उचित कारकों में उनके अपघटन के माध्यम से सरल बनाया जा सकता है और बाद में जड़ के नीचे से एक कारक को हटा दिया जा सकता है।

      • एक साधारण उदाहरण पर विचार करें: (90)। संख्या 90 को निम्नलिखित कारकों में विघटित किया जा सकता है: 9 और 10, और 9 से, वर्गमूल (3) लें और जड़ के नीचे से 3 निकालें।
        • √(90)
        • (9×10)
        • (9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों को सरल बनाना।कुछ भावों में, डिग्री के साथ गुणा या पदों के विभाजन के संचालन होते हैं। एक आधार से पदों के गुणन के मामले में, उनकी डिग्री जोड़ दी जाती हैं; समान आधार वाले पदों को विभाजित करने की स्थिति में, उनकी डिग्री घटा दी जाती है।

      • उदाहरण के लिए, व्यंजक 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15) पर विचार करें। गुणा के मामले में, घातांक जोड़ें, और भाग के मामले में, उन्हें घटाएं।
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • पदों को एक डिग्री से गुणा और विभाजित करने के नियम की व्याख्या निम्नलिखित है।
        • पदों को घातों से गुणा करना, पदों को अपने आप से गुणा करने के बराबर है। उदाहरण के लिए, चूंकि x 3 = x × x × x और x 5 = x × x × x × x × x, तो x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × एक्स), या एक्स 8।
        • इसी प्रकार, पदों को शक्तियों से विभाजित करना, पदों को स्वयं से विभाजित करने के बराबर है। x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x)। चूँकि अंश और हर दोनों में समान पदों को कम किया जा सकता है, दो "x" या x 2 का गुणनफल अंश में रहता है।