लेख में, हम दिखाएंगे भिन्नों को कैसे हल करेंसरल स्पष्ट उदाहरणों के साथ। आइए समझते हैं भिन्न क्या है और विचार करें भिन्नों को हल करना!

संकल्पना अंशोंमाध्यमिक विद्यालय की छठी कक्षा से शुरू होने वाले गणित के पाठ्यक्रम में पेश किया जाता है।

भिन्न ऐसे दिखते हैं: ±X/Y, जहां Y हर है, यह बताता है कि पूरे को कितने भागों में विभाजित किया गया था, और X अंश है, यह बताता है कि ऐसे कितने भाग लिए गए थे। स्पष्टता के लिए, आइए केक के साथ एक उदाहरण लें:

पहले मामले में, केक को समान रूप से काटा गया और एक आधा लिया गया, अर्थात। 1/2. दूसरे मामले में, केक को 7 भागों में काटा गया, जिसमें से 4 भाग लिए गए, अर्थात। 4/7.

यदि एक संख्या को दूसरी संख्या से भाग देने वाला भाग पूर्ण संख्या न हो तो उसे भिन्न के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 4:2 \u003d 2 एक पूर्णांक देता है, लेकिन 4:7 पूरी तरह से विभाज्य नहीं है, इसलिए इस व्यंजक को भिन्न 4/7 के रूप में लिखा जाता है।

दूसरे शब्दों में अंशएक अभिव्यक्ति है जो दो संख्याओं या भावों के विभाजन को दर्शाती है, और जो एक स्लैश के साथ लिखी जाती है।

यदि अंश हर से छोटा है, तो भिन्न सही है, यदि इसके विपरीत, तो यह गलत है। एक अंश में एक पूर्णांक हो सकता है।

उदाहरण के लिए, 5 पूर्ण 3/4।

इस प्रविष्टि का अर्थ है कि पूर्ण 6 प्राप्त करने के लिए चार का एक भाग पर्याप्त नहीं है।

अगर आप याद रखना चाहते हैं छठी कक्षा के लिए भिन्नों को कैसे हल करेंआपको यह समझने की जरूरत है भिन्नों को हल करनामूल रूप से कुछ सरल चीजों को समझने के लिए नीचे आता है।

• भिन्न मूलतः भिन्न के लिए व्यंजक है। अर्थात्, किसी दिए गए मान का कौन सा भाग एक पूर्ण से है, इसका संख्यात्मक व्यंजक। उदाहरण के लिए, भिन्न 3/5 यह व्यक्त करता है कि यदि हम किसी पूर्ण वस्तु को 5 भागों में विभाजित करते हैं और इस पूर्ण के भागों या भागों की संख्या तीन होती है।
• एक भिन्न 1 से कम हो सकती है, उदाहरण के लिए 1/2 (या अनिवार्य रूप से आधा), तो यह सही है। यदि भिन्न 1 से बड़ा है, उदाहरण के लिए 3/2 (तीन आधा या डेढ़), तो यह गलत है और समाधान को सरल बनाने के लिए, हमारे लिए पूरे भाग 3/2 = 1 पूर्ण 1 का चयन करना बेहतर है। / 2।
• भिन्न 1, 3, 10 और यहां तक ​​कि 100 के समान संख्याएँ हैं, केवल संख्याएँ पूर्ण नहीं हैं, बल्कि भिन्न हैं। उनके साथ, आप संख्याओं के समान सभी कार्य कर सकते हैं। भिन्नों को गिनना अधिक कठिन नहीं है, और आगे हम इसे विशिष्ट उदाहरणों के साथ दिखाएंगे।

भिन्नों को कैसे हल करें। उदाहरण।

भिन्नों पर विभिन्न प्रकार की अंकगणितीय संक्रियाएँ लागू होती हैं।

एक सामान्य भाजक के लिए एक अंश लाना

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों 3/4 और 4/5 की तुलना करने की आवश्यकता है।

समस्या को हल करने के लिए, हम सबसे पहले सबसे छोटा आम भाजक पाते हैं, अर्थात। वह छोटी से छोटी संख्या जो भिन्नों के हर हर द्वारा शेष के बिना विभाज्य है

कम से कम उभयनिष्ठ हर (4.5) = 20

फिर दोनों भिन्नों के हर को सबसे कम सामान्य हर में घटाया जाता है

उत्तर: 15/20

भिन्नों का जोड़ और घटाव

यदि दो भिन्नों के योग की गणना करना आवश्यक है, तो उन्हें पहले एक सामान्य हर में लाया जाता है, फिर अंश जोड़े जाते हैं, जबकि हर अपरिवर्तित रहता है। भिन्नों के अंतर को इसी तरह से माना जाता है, अंतर केवल इतना है कि अंशों को घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, आपको भिन्न 1/2 और 1/3 . का योग ज्ञात करना होगा

अब भिन्नों 1/2 और 1/4 . के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए

भिन्नों का गुणा और भाग

यहाँ भिन्नों का हल सरल है, यहाँ सब कुछ काफी सरल है:

• गुणन - भिन्नों के अंश और हर को आपस में गुणा किया जाता है;
• भाग - पहले हमें भिन्न मिलता है, दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम, अर्थात्। इसके अंश और हर को स्वैप करें, जिसके बाद हम परिणामी भिन्नों को गुणा करते हैं।

उदाहरण के लिए:

इस बारे में भिन्नों को कैसे हल करें, सब। यदि आपके पास . के बारे में कोई प्रश्न हैं भिन्नों को हल करना, कुछ स्पष्ट नहीं है, तो टिप्पणियों में लिखें और हम आपको उत्तर देंगे।

यदि आप एक शिक्षक हैं, तो प्राथमिक विद्यालय के लिए एक प्रस्तुति डाउनलोड करना संभव है (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) जो आपके काम आएगी।

यह लेख भिन्नों के साथ संक्रियाओं पर एक सामान्य नज़र है। यहां हम जोड़, घटाव, गुणा, भाग और सामान्य रूप A/B के भिन्नों की घात तक बढ़ाने के नियमों को बनाते हैं और उन्हें सही ठहराते हैं, जहां A और B कुछ संख्याएं, संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ व्यंजक हैं। हमेशा की तरह, हम समाधान के विस्तृत विवरण के साथ व्याख्यात्मक उदाहरणों के साथ सामग्री की आपूर्ति करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों के साथ संचालन करने के नियम

आइए सहमत हैं कि सामान्य संख्यात्मक भिन्न भिन्न होते हैं जिनमें अंश और / या हर को न केवल प्राकृतिक संख्याओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, बल्कि अन्य संख्याओं या संख्यात्मक अभिव्यक्तियों द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। स्पष्टता के लिए, यहाँ ऐसे भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: .

हम उन नियमों को जानते हैं जिनके द्वारा . समान नियमों के अनुसार, आप सामान्य रूप के अंशों के साथ संचालन कर सकते हैं:

नियमों के लिए तर्क

सामान्य संख्यात्मक अंशों के साथ क्रिया करने के नियमों की वैधता को सही ठहराने के लिए, निम्नलिखित बिंदुओं से शुरू किया जा सकता है:

• एक भिन्नात्मक पट्टी अनिवार्य रूप से एक विभाजन चिन्ह है,
• कुछ गैर-शून्य संख्या से विभाजन को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा माना जा सकता है (यह तुरंत अंशों को विभाजित करने के नियम की व्याख्या करता है),
• वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुण,
• और इसकी सामान्यीकृत समझ,

वे आपको निम्नलिखित परिवर्तनों को करने की अनुमति देते हैं जो समान और अलग-अलग हरों के साथ अंशों को जोड़ने, घटाने के नियमों के साथ-साथ अंशों को गुणा करने के नियम को सही ठहराते हैं:

उदाहरण

आइए हम पिछले पैराग्राफ में सीखे गए नियमों के अनुसार एक सामान्य रूप के अंशों के साथ एक क्रिया करने के उदाहरण दें। आइए तुरंत कहें कि आमतौर पर, भिन्नों के साथ क्रिया करने के बाद, परिणामी अंश को सरलीकरण की आवश्यकता होती है, और एक अंश को सरल बनाने की प्रक्रिया अक्सर पिछली क्रियाओं को करने की तुलना में अधिक जटिल होती है। हम भिन्नों के सरलीकरण पर ध्यान नहीं देंगे (इस लेख में संबंधित परिवर्तनों पर चर्चा की गई है अंशों का परिवर्तन), ताकि हमारे लिए रुचि के विषय से विचलित न हों।

आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों से शुरू करें। आइए भिन्नों को जोड़कर प्रारंभ करें और . जाहिर है भाजक बराबर हैं। संगत नियम के अनुसार, हम एक भिन्न लिखते हैं जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों के योग के बराबर होता है, और हर को वही छोड़ देते हैं, जो हमारे पास है। जोड़ किया जाता है, यह परिणामी अंश को सरल बनाने के लिए रहता है: . इसलिए, .

निर्णय को एक अलग तरीके से करना संभव था: पहले, साधारण अंशों में संक्रमण करें, और फिर जोड़ दें। इस दृष्टिकोण के साथ, हमारे पास है .

अब भिन्न से घटाएं अंश . भिन्नों के हर बराबर होते हैं, इसलिए हम समान हर वाले भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार कार्य करते हैं:

आइए अलग-अलग हरों के साथ भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों पर चलते हैं। यहाँ मुख्य कठिनाई भिन्नों को एक समान हर में लाने में है। सामान्य रूप के अंशों के लिए, यह एक व्यापक विषय है, हम एक अलग लेख में इसका विस्तार से विश्लेषण करेंगे। एक आम भाजक के लिए अंशों को कम करना. अभी के लिए, हम अपने आप को कुछ सामान्य अनुशंसाओं तक सीमित रखेंगे, क्योंकि इस समय हम भिन्नों के साथ क्रिया करने की तकनीक में अधिक रुचि रखते हैं।

सामान्य तौर पर, प्रक्रिया साधारण भिन्नों के एक सामान्य हर में कमी के समान होती है। अर्थात् हर को गुणनफल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, फिर पहले भिन्न के हर से सभी गुणनखंड लिए जाते हैं और दूसरी भिन्न के हर से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ा जाता है।

जब जोड़े या घटाए गए अंशों के हर में सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो उनके उत्पाद को एक सामान्य भाजक के रूप में लेना तर्कसंगत है। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

मान लें कि हमें भिन्न और 1/2 जोड़ने की आवश्यकता है। यहाँ, एक सामान्य हर के रूप में, मूल भिन्नों के हरों का गुणनफल लेना तर्कसंगत है, अर्थात्। इस स्थिति में, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 2 होगा। अंश और हर को इससे गुणा करने पर भिन्न का रूप ले लेता है। और दूसरे भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड व्यंजक है। इसकी सहायता से भिन्न 1/2 को रूप में घटाया जाता है। यह परिणामी भिन्नों को समान हरों के साथ जोड़ने के लिए बनी हुई है। यहाँ संपूर्ण समाधान का सारांश दिया गया है:

एक सामान्य रूप के अंशों के मामले में, हम अब सबसे छोटे सामान्य भाजक के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, जिसमें सामान्य अंश आमतौर पर कम हो जाते हैं। हालांकि इस मामले में कुछ अतिसूक्ष्मवाद के लिए प्रयास करना अभी भी वांछनीय है। इसके द्वारा हम यह कहना चाहते हैं कि मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल को एक सामान्य हर के रूप में तुरंत लेना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, भिन्नों और गुणनफल के उभयनिष्ठ हर को लेना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है . यहाँ, एक सामान्य भाजक के रूप में, हम ले सकते हैं।

हम एक सामान्य रूप के भिन्नों के गुणन के उदाहरणों की ओर मुड़ते हैं। भिन्नों को गुणा करें और . इस क्रिया को करने का नियम हमें एक भिन्न लिखने के लिए कहता है जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल होता है और हर हर का गुणनफल होता है। हमारे पास है . यहाँ, जैसा कि कई अन्य मामलों में भिन्नों को गुणा करते समय, आप भिन्न को कम कर सकते हैं: .

भिन्नों को विभाजित करने का नियम आपको एक व्युत्क्रम द्वारा विभाजन से गुणा में जाने की अनुमति देता है। यहां आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को स्वैप करना होगा। यहाँ सामान्य भिन्नों को विभाजित करने से गुणन में संक्रमण का एक उदाहरण दिया गया है: . यह गुणा करने और परिणामी अंश को सरल बनाने के लिए बनी हुई है (यदि आवश्यक हो, तो अपरिमेय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन देखें):

इस पैराग्राफ की जानकारी को समाप्त करते हुए, हम याद करते हैं कि किसी भी संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति को एक भाजक के साथ एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए, एक संख्या और एक अंश का जोड़, घटाव, गुणा और भाग इसके साथ संबंधित क्रिया को करने के रूप में माना जा सकता है। भिन्न, जिनमें से एक में हर में एक इकाई होती है। उदाहरण के लिए, व्यंजक में प्रतिस्थापित करना तीन भिन्नों का मूल, हम एक भिन्न को एक संख्या से गुणा करने से दो भिन्नों को गुणा करने की ओर अग्रसर होंगे: .

चर वाले भिन्नों के साथ संचालन करना

इस आलेख के पहले भाग के नियम उन भिन्नों के साथ संचालन करने पर भी लागू होते हैं जिनमें चर होते हैं। आइए हम उनमें से पहले को सही ठहराते हैं - समान भाजक के साथ अंशों के जोड़ और घटाव का नियम, बाकी बिल्कुल उसी तरह सिद्ध होते हैं।

आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी व्यंजक A , C और D (D समान रूप से शून्येतर है) के लिए हमारे पास समानता है चर के स्वीकार्य मूल्यों की अपनी सीमा पर।

आइए ODZ से वेरिएबल के कुछ सेट लें। चरों के इन मानों के लिए व्यंजकों A , C और D को 0 , c 0 और d 0 मान लेने दें। फिर चयनित सेट से चर के मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह संख्यात्मक अंशों के योग (अंतर) में रूप के समान हर के साथ बदल जाता है, जो कि संख्यात्मक अंशों के जोड़ (घटाव) के नियम के अनुसार होता है समान भाजक, के बराबर है। लेकिन चयनित समुच्चय से चरों के मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर वह उसी भिन्न में बदल जाता है। इसका मतलब यह है कि ODZ से चर मानों के चयनित सेट के लिए, भावों के मान और समान हैं। यह स्पष्ट है कि इन भावों के मान ODZ से चर के मूल्यों के किसी भी अन्य सेट के लिए समान होंगे, जिसका अर्थ है कि भाव और समान रूप से समान हैं, अर्थात सिद्ध की जा रही समानता सत्य है .

चर के साथ भिन्नों के जोड़ और घटाव के उदाहरण

जब जोड़ या घटाई जा रही भिन्नों के हर समान होते हैं, तो सब कुछ काफी सरल होता है - अंश जोड़े या घटाए जाते हैं, और हर समान रहता है। यह स्पष्ट है कि इसके बाद प्राप्त अंश यदि आवश्यक और संभव हो तो सरलीकृत किया जाता है।

ध्यान दें कि कभी-कभी भिन्नों के हर पहली नज़र में ही भिन्न होते हैं, लेकिन वास्तव में वे समान रूप से समान भाव होते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, और, या और। और कभी-कभी यह प्रारंभिक अंशों को सरल बनाने के लिए पर्याप्त होता है ताकि उनके समान भाजक "दिखाई दें"।

उदाहरण।

, बी) , में) .

फेसला।

a) हमें समान हर वाले भिन्नों को घटाना होगा। इसी नियम के अनुसार, हम हर को वही छोड़ते हैं और अंश घटाते हैं, हमारे पास है . कार्रवाई की गई। लेकिन आप अभी भी अंश में कोष्ठक खोल सकते हैं और समान पद ला सकते हैं: .

b) जाहिर है, जोड़े गए भिन्नों के हर समान हैं। इसलिए, हम अंश जोड़ते हैं, और हर को वही छोड़ देते हैं: . जोड़ पूरा हुआ। लेकिन यह देखना आसान है कि परिणामी भिन्न को कम किया जा सकता है। वास्तव में, परिणामी भिन्न के अंश को योग के वर्ग (lgx + 2) 2 (संक्षिप्त गुणन सूत्र देखें) के रूप में घटाया जा सकता है, इसलिए निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं: .

सी) योग में अंश अलग-अलग भाजक हैं। लेकिन, भिन्नों में से किसी एक को परिवर्तित करके, आप समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। हम दो समाधान दिखाते हैं।

पहला तरीका। पहले भिन्न के हर को वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करके फ़ैक्टर किया जा सकता है, और फिर इस अंश को कम किया जा सकता है: . इस प्रकार, । भिन्न के हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने में कोई हर्ज नहीं है: .

दूसरा तरीका। दूसरे अंश के अंश और हर को गुणा करना (यह अभिव्यक्ति मूल अभिव्यक्ति के लिए डीपीवी से चर x के किसी भी मान के लिए गायब नहीं होती है) आपको एक साथ दो लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देता है: तर्कहीनता से छुटकारा पाएं और जोड़ने के लिए आगे बढ़ें समान भाजक वाले अंश। हमारे पास है

जवाब:

ए) , बी) , में) .

पिछले उदाहरण ने हमें भिन्नों को एक समान भाजक में लाने के प्रश्न पर लाया। वहां, हम लगभग गलती से एक ही भाजक के पास आ गए, जो कि जोड़े गए अंशों में से एक को सरल बना रहा था। लेकिन ज्यादातर मामलों में, भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय, किसी को उद्देश्यपूर्ण रूप से भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होता है। ऐसा करने के लिए, भिन्नों के हरों को आमतौर पर उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, सभी कारकों को पहले अंश के हर से लिया जाता है, और दूसरे अंश के हर से लापता कारकों को जोड़ा जाता है।

उदाहरण।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ करें: a) , बी), सी) .

फेसला।

a) भिन्नों के हर के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है। एक आम भाजक के रूप में, हम उत्पाद लेते हैं . इस मामले में, पहले अंश के लिए अतिरिक्त कारक अभिव्यक्ति है, और दूसरे अंश के लिए - संख्या 3। ये अतिरिक्त कारक भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं, जो आगे हमें वह क्रिया करने की अनुमति देता है जिसकी हमें आवश्यकता है, हमारे पास है

बी) इस उदाहरण में, हर को पहले से ही उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया गया है, और किसी अतिरिक्त परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। जाहिर है, हर में कारक केवल घातांक में भिन्न होते हैं, इसलिए, एक सामान्य हर के रूप में, हम सबसे बड़े घातांक वाले कारकों का उत्पाद लेते हैं, अर्थात, . फिर पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड x 4 होगा, और दूसरे के लिए - ln(x+1) । अब हम भिन्नों को घटाने के लिए तैयार हैं:

ग) और इस मामले में, आरंभ करने के लिए, हम भिन्नों के हर के साथ काम करेंगे। वर्गों के अंतर और योग के वर्ग के सूत्र आपको मूल योग से व्यंजक तक जाने की अनुमति देते हैं . अब यह स्पष्ट है कि इन भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है . इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखेगा:

जवाब:

ए)

बी)

में)

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करने पर वह भिन्न प्राप्त होता है जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल होता है और हर हर का गुणनफल होता है। यहां, जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ परिचित और सरल है, और हम केवल यह जोड़ सकते हैं कि इस क्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त अंश अक्सर कम हो जाता है। इन मामलों में, इसे कम किया जाता है, जब तक कि निश्चित रूप से, यह आवश्यक और उचित न हो।

यह लेख भिन्नों पर संचालन से संबंधित है। फॉर्म ए बी के अंशों के जोड़, घटाव, गुणा, भाग या घातांक के नियम बनाए जाएंगे और उचित होंगे, जहां ए और बी संख्या, संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ अभिव्यक्ति हो सकते हैं। अंत में, विस्तृत विवरण के साथ समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों के साथ संचालन करने के नियम

सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों में एक अंश और एक भाजक होता है, जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ या संख्यात्मक व्यंजक होते हैं। यदि हम ऐसी भिन्नों को 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + मानते हैं। 2 0, 5 ln 3, तो यह स्पष्ट है कि अंश और हर में न केवल संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि एक अलग योजना के भाव भी हो सकते हैं।

परिभाषा 1

ऐसे नियम हैं जिनके द्वारा साधारण अंशों के साथ क्रियाएं की जाती हैं। यह सामान्य रूप के भिन्नों के लिए भी उपयुक्त है:

• समान हर के साथ अंशों को घटाते समय, केवल अंश जोड़े जाते हैं, और हर समान रहता है, अर्थात्: a d ± c d \u003d a ± c d, मान a, c और d 0 कुछ संख्याएं या संख्यात्मक भाव होते हैं।
• अलग-अलग हर के साथ अंशों को जोड़ते या घटाते समय, एक सामान्य को कम करना आवश्यक है, और फिर समान संकेतकों के साथ परिणामी अंशों को जोड़ना या घटाना आवश्यक है। सचमुच, यह ऐसा दिखता है a b ± c d = a p ± c r s , जहां मान a , b 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 वास्तविक संख्याएं हैं, और b p = d r = एस. जब p = d और r = b, तब a b ± c d = a d ± c d b d।
• अंशों को गुणा करते समय, अंशों के साथ एक क्रिया की जाती है, जिसके बाद हर के साथ, हमें a b c d \u003d a c b d मिलता है, जहाँ a, b 0, c, d 0 वास्तविक संख्याओं के रूप में कार्य करते हैं।
• किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करते समय, हम पहले को दूसरे पारस्परिक से गुणा करते हैं, अर्थात हम अंश और हर को स्वैप करते हैं: a b: c d \u003d a b d c।

नियमों के लिए तर्क

परिभाषा 2

निम्नलिखित गणितीय बिंदु हैं जिन पर आपको गणना करते समय भरोसा करना चाहिए:

• एक भिन्नात्मक बार का अर्थ है एक विभाजन चिह्न;
• किसी संख्या से भाग को उसके व्युत्क्रम से गुणा माना जाता है;
• वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं की संपत्ति का अनुप्रयोग;
• भिन्न और संख्यात्मक असमानताओं के मूल गुण का अनुप्रयोग।

उनकी मदद से आप फॉर्म में बदलाव कर सकते हैं:

ए डी ± सी डी = ए डी - 1 ± सी डी - 1 = ए ± सी डी - 1 = ए ± सी डी; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

उदाहरण

पिछले पैराग्राफ में, भिन्नों के साथ क्रियाओं के बारे में कहा गया था। इसके बाद अंश को सरल बनाने की आवश्यकता है। भिन्नों को परिवर्तित करने वाले अनुभाग में इस विषय पर विस्तार से चर्चा की गई थी।

सबसे पहले, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1

अंश 8 2 , 7 और 1 2 , 7 दिए गए हैं, तो नियम के अनुसार अंश को जोड़ना और हर को फिर से लिखना आवश्यक है।

फेसला

तब हमें 8 + 1 2 , 7 के रूप का भिन्न प्राप्त होता है। जोड़ करने के बाद, हमें 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 के रूप का भिन्न प्राप्त होता है। तो 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3।

जवाब: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

हल करने का एक और तरीका है। आरंभ करने के लिए, एक साधारण अंश के रूप में एक संक्रमण किया जाता है, जिसके बाद हम एक सरलीकरण करते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

उदाहरण 2

आइए हम 1 - 2 3 से घटाएं लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 फॉर्म के अंश 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1।

चूँकि बराबर हर दिए गए हैं, इसका मतलब है कि हम एक ही हर के साथ एक भिन्न की गणना कर रहे हैं। हमें वह मिलता है

1 - 2 3 लघुगणक 2 3 लघुगणक 2 5 + 1 - 2 3 3 लघुगणक 2 3 लघुगणक 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 लघुगणक 2 3 लघुगणक 2 5 + 1

भिन्न हर के साथ भिन्नों की गणना के उदाहरण हैं। एक महत्वपूर्ण बिंदु एक आम भाजक की कमी है। इसके बिना, हम भिन्नों के साथ आगे की क्रियाएं नहीं कर पाएंगे।

यह प्रक्रिया दूर से एक सामान्य हर में कमी की याद दिलाती है। अर्थात्, हर में सबसे कम उभयनिष्ठ भाजक की खोज की जाती है, जिसके बाद भिन्नों में लुप्त गुणनखंड जोड़ दिए जाते हैं।

यदि जोड़े गए भिन्नों का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, तो उनका गुणनफल एक हो सकता है।

उदाहरण 3

भिन्न 2 3 5 + 1 और 1 2 जोड़ने के उदाहरण पर विचार करें।

फेसला

इस मामले में, आम भाजक हर का उत्पाद है। तब हमें वह 2 · 3 5 + 1 प्राप्त होता है। फिर, अतिरिक्त कारक सेट करते समय, हमारे पास पहले अंश के लिए यह 2 के बराबर होता है, और दूसरे के लिए 3 5 + 1 होता है। गुणन के बाद भिन्नों को 4 2 3 5 + 1 के रूप में घटाया जाता है। सामान्य कास्ट 1 2 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 होगा। हम परिणामी भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ते हैं और पाते हैं कि

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

जवाब: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

जब हम एक सामान्य रूप के अंशों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो आमतौर पर कम से कम सामान्य भाजक ऐसा नहीं होता है। अंशों के गुणनफल को हर के रूप में लेना लाभहीन है। पहले आपको यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या कोई संख्या है जो उनके उत्पाद से कम मूल्य की है।

उदाहरण 4

उदाहरण 1 6 2 1 5 और 1 4 2 3 5 पर विचार करें जब उनका उत्पाद 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 के बराबर हो। फिर हम 12 · 2 3 5 को एक उभयनिष्ठ हर के रूप में लेते हैं।

एक सामान्य रूप के अंशों के गुणन के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 5

ऐसा करने के लिए, 2 + 1 6 और 2 · 5 3 · 2 + 1 को गुणा करना आवश्यक है।

फेसला

नियम का पालन करते हुए, अंशों के गुणनफल को हर के रूप में फिर से लिखना और लिखना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1। जब भिन्न को गुणा किया जाता है, तो इसे सरल बनाने के लिए कटौती की जा सकती है। फिर 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10।

एक व्युत्क्रम द्वारा विभाजन से गुणा में संक्रमण के नियम का उपयोग करते हुए, हम दिए गए का व्युत्क्रम प्राप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, अंश और हर को उलट दिया जाता है। आइए एक उदाहरण देखें:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

उसके बाद, उन्हें गुणा करना होगा और परिणामी भिन्न को सरल बनाना होगा। यदि आवश्यक हो, तो हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाएं। हमें वह मिलता है

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

जवाब: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

यह अनुच्छेद तब लागू होता है जब किसी संख्या या संख्यात्मक व्यंजक को 1 के बराबर हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ऐसे भिन्न के साथ संक्रिया को एक अलग अनुच्छेद माना जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 1 6 7 4 - 1 3 दर्शाता है कि 3 के मूल को अन्य 3 1 व्यंजक से बदला जा सकता है। तब यह रिकॉर्ड 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 के रूप की दो भिन्नों के गुणन जैसा दिखाई देगा।

चर वाले भिन्नों के साथ एक क्रिया करना

पहले लेख में चर्चा किए गए नियम चर वाले भिन्नों के साथ संचालन पर लागू होते हैं। घटाव नियम पर विचार करें जब भाजक समान हों।

यह साबित करना आवश्यक है कि ए, सी और डी (डी शून्य के बराबर नहीं) कोई भी अभिव्यक्ति हो सकती है, और समानता ए डी ± सी डी = ए ± सी डी इसके वैध मूल्यों की सीमा के बराबर है।

ODZ वेरिएबल्स का एक सेट लेना आवश्यक है। फिर A, C, D को संबंधित मान a 0 , c 0 और . लेना चाहिए d0. फॉर्म ए डी ± सी डी के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप एक 0 डी 0 ± सी 0 डी 0 के रूप में अंतर होता है, जहां, अतिरिक्त नियम के अनुसार, हमें फॉर्म का एक सूत्र प्राप्त होता है a 0 ± c 0 d 0 । यदि हम व्यंजक A ± C D को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें a 0 ± c 0 d 0 के रूप का वही भिन्न प्राप्त होता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ओडीजेड, ए ± सी डी और ए डी ± सी डी को संतुष्ट करने वाले चुने हुए मूल्य को बराबर माना जाता है।

चरों के किसी भी मान के लिए, ये व्यंजक समान होंगे, अर्थात वे समान रूप से समान कहलाते हैं। इसका अर्थ यह है कि इस व्यंजक को A D ± C D = A ± C D के रूप की एक सिद्ध समानता माना जाता है।

चर के साथ भिन्नों के जोड़ और घटाव के उदाहरण

जब समान भाजक होते हैं, तो केवल अंशों को जोड़ना या घटाना आवश्यक होता है। इस अंश को सरल बनाया जा सकता है। कभी-कभी आपको भिन्नों के साथ काम करना पड़ता है जो समान रूप से समान होते हैं, लेकिन पहली नज़र में यह ध्यान देने योग्य नहीं है, क्योंकि कुछ परिवर्तन किए जाने चाहिए। उदाहरण के लिए, x 2 3 x 1 3 + 1 और x 1 3 + 1 2 या 1 2 sin 2 α और sin a cos a. बहुधा, समान हरों को देखने के लिए मूल व्यंजक के सरलीकरण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 6

गणना करें: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + एक्स एक्स + 1।

फेसला

1. गणना करने के लिए, आपको समान भाजक वाले अंशों को घटाना होगा। तब हम पाते हैं कि x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 । उसके बाद, आप समान शर्तों को कम करके कोष्ठक खोल सकते हैं। हम पाते हैं कि x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. चूंकि हर समान हैं, यह केवल अंशों को जोड़ने के लिए रहता है, हर को छोड़कर: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   जोड़ने का काम पूरा हो गया है। यह देखा जा सकता है कि अंश को कम किया जा सकता है। इसके अंश को योग वर्ग सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है, फिर हम प्राप्त करते हैं (l g x + 2) 2 संक्षिप्त गुणन सूत्रों से। तब हमें वह मिलता है
   एल जी 2 एक्स + 4 + 2 एल जी एक्स एक्स (एल जी एक्स + 2) = (एल जी एक्स + 2) 2 एक्स (एल जी एक्स + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स
3. विभिन्न हरों के साथ x - 1 x - 1 + x x + 1 के रूप के भिन्न दिए गए हैं। परिवर्तन के बाद, आप जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

आइए दो तरह के समाधान पर विचार करें।

पहली विधि यह है कि पहले अंश के हर को वर्गों का उपयोग करके और उसके बाद की कमी के साथ गुणन के अधीन किया जाता है। हमें फॉर्म का एक अंश मिलता है

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

तो x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 ।

इस मामले में, भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाना आवश्यक है।

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

दूसरा तरीका है दूसरे भिन्न के अंश और हर को x - 1 से गुणा करना। इस प्रकार, हम अपरिमेयता से छुटकारा पाते हैं और समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए आगे बढ़ते हैं। फिर

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

जवाब: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x) + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स, 3) एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स -1।

पिछले उदाहरण में, हमने पाया कि एक सामान्य हर में कमी अपरिहार्य है। ऐसा करने के लिए, आपको अंशों को सरल बनाने की आवश्यकता है। जोड़ने या घटाने के लिए, आपको हमेशा एक सामान्य हर की तलाश करनी होगी, जो अंशों में अतिरिक्त कारकों को जोड़ने के साथ हर के उत्पाद की तरह दिखता है।

उदाहरण 7

भिन्नों के मानों की गणना करें: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - पाप x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

फेसला

1. हर को किसी भी जटिल गणना की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए आपको उनके उत्पाद को 3 x 7 + 2 2 के रूप में चुनने की आवश्यकता होती है, फिर पहले अंश के लिए x 7 + 2 2 को एक अतिरिक्त कारक के रूप में चुना जाता है, और 3 से दूसरे तक। गुणा करने पर, हमें x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 + 3 3 के रूप का भिन्न प्राप्त होता है। x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. यह देखा जा सकता है कि हर को एक उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसका अर्थ है कि अतिरिक्त परिवर्तन अनावश्यक हैं। सामान्य हर x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 के रूप का गुणनफल होगा। यहाँ से x 4 प्रथम भिन्न का एक अतिरिक्त गुणनखंड है, और ln (x + 1) दूसरे को। फिर हम घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:
   एक्स + 1 एक्स एलएन 2 (एक्स + 1) 2 एक्स - 4 - पाप एक्स एक्स 5 एलएन (एक्स + 1) 2 एक्स - 4 = = एक्स + 1 एक्स 4 एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) 2 एक्स - 4 - पाप एक्स एलएन एक्स + 1 एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4) = = एक्स + 1 एक्स 4 - पाप एक्स एलएन (एक्स + 1) एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4) = एक्स एक्स 4 + एक्स 4 - पाप एक्स एलएन (एक्स + 1) एक्स 5 एलएन 2 (एक्स + 1) (2 एक्स - 4))
3. भिन्नों के हर के साथ काम करते समय यह उदाहरण समझ में आता है। वर्गों और योग के वर्ग के अंतर के लिए सूत्रों को लागू करना आवश्यक है, क्योंकि वे 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) के रूप की अभिव्यक्ति को पारित करना संभव बना देंगे। ) 2. यह देखा जा सकता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जाता है। हम पाते हैं कि cos x - x cos x + x 2 ।

तब हमें वह मिलता है

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

जवाब:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - पाप x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 ।

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा किया जाता है। फिर आप कमी संपत्ति लागू कर सकते हैं।

उदाहरण 8

भिन्न x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x गुणा करें।

फेसला

आपको गुणा करने की जरूरत है। हमें वह मिलता है

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)

गणना की सुविधा के लिए संख्या 3 को पहले स्थान पर स्थानांतरित किया जाता है, और आप अंश को x 2 से कम कर सकते हैं, फिर हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है

3 एक्स - 2 एक्स एक्स 1 3 एक्स + 1 - 2 एलएन एक्स 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)

जवाब:एक्स + 2 एक्स एक्स 2 एलएन एक्स 2 एलएन एक्स + 1 3 एक्स 2 1 3 एक्स + 1 - 2 पाप (2 एक्स - एक्स) = 3 एक्स - 2 एक्स एक्स 1 3 एक्स + 1 - 2 एलएन एक्स 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)।

विभाजन

भिन्नों का विभाजन गुणन के समान है, क्योंकि पहली भिन्न को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम भिन्न x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 लेते हैं और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x से विभाजित करते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , फिर x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + के गुणनफल से प्रतिस्थापित करें 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x)

घातांक

आइए घातांक के साथ एक सामान्य रूप के अंशों के साथ क्रिया पर विचार करें। यदि प्राकृतिक सूचकांक के साथ एक डिग्री है, तो क्रिया को समान अंशों के गुणन के रूप में माना जाता है। लेकिन शक्तियों के गुणों के आधार पर एक सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। कोई भी व्यंजक ए और सी, जहां सी समान रूप से शून्य के बराबर नहीं है, और ओडीजेड पर कोई वास्तविक आर फॉर्म ए सी आर की अभिव्यक्ति के लिए, समानता ए सी आर = ए आर सी आर सत्य है। परिणाम एक शक्ति के लिए उठाया गया एक अंश है। उदाहरण के लिए, विचार करें:

x 0 , 7 - ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

भिन्नों के साथ संचालन का क्रम

भिन्नों पर क्रियाएँ कुछ नियमों के अनुसार की जाती हैं। व्यवहार में, हम देखते हैं कि एक व्यंजक में कई भिन्न या भिन्नात्मक व्यंजक हो सकते हैं। फिर सभी क्रियाओं को एक सख्त क्रम में करना आवश्यक है: एक शक्ति बढ़ाएँ, गुणा करें, विभाजित करें, फिर जोड़ें और घटाएँ। यदि कोष्ठक हैं, तो उनमें पहली क्रिया की जाती है।

उदाहरण 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x परिकलित करें।

फेसला

चूँकि हमारे पास एक ही हर है, तो 1 - x cos x और 1 c o s x , लेकिन नियम के अनुसार घटाना असंभव है, पहले कोष्ठक में क्रियाएँ की जाती हैं, जिसके बाद गुणा और फिर जोड़ दिया जाता है। फिर, गणना करते समय, हम पाते हैं कि

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

व्यंजक को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x। भिन्नों को गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x। सभी प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें 1 - x cos x - x + 1 cos x · x प्राप्त होता है। अब आपको भिन्नों के साथ काम करने की ज़रूरत है जिनके अलग-अलग हर हैं। हम पाते हैं:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

जवाब: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x ।

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अनुदेश

एक सामान्य भाजक में कमी।

मान लीजिए भिन्न a/b और c/d दिए गए हैं।

पहले भिन्न के अंश और हर को LCM / b . से गुणा किया जाता है

दूसरे भिन्न के अंश और हर को LCM/d . से गुणा किया जाता है

एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है।

भिन्नों की तुलना करने के लिए, उनके पास एक सामान्य हर होना चाहिए, फिर अंशों की तुलना करें। उदाहरण के लिए, 3/4< 4/5, см. .

भिन्नों का जोड़ और घटाव।

दो साधारण भिन्नों का योग ज्ञात करने के लिए, उन्हें एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, और फिर अंशों को जोड़ना चाहिए, भाजक अपरिवर्तित रहता है। भिन्न 1/2 और 1/3 जोड़ने का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है।

भिन्नों का अंतर इसी प्रकार पाया जाता है, सार्व भाजक ज्ञात करने के बाद भिन्नों के अंशों को घटाया जाता है, देखिए आकृति।

साधारण भिन्नों को गुणा करते समय अंश और हर को एक साथ गुणा किया जाता है।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के भिन्न की आवश्यकता है, अर्थात्। इसके अंश और हर को बदलें, और फिर परिणामी भिन्नों को गुणा करें।

संबंधित वीडियो

स्रोत:

• अंश ग्रेड 5 उदाहरण के द्वारा
• भिन्नों के लिए बुनियादी कार्य

मापांकअभिव्यक्ति के निरपेक्ष मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। मॉड्यूल को नामित करने के लिए कोष्ठक का उपयोग किया जाता है। उनमें निहित मूल्यों को मॉड्यूलो लिया जाता है। मॉड्यूल का समाधान कुछ नियमों के अनुसार कोष्ठक खोलना और अभिव्यक्ति के मूल्यों का सेट खोजना है। ज्यादातर मामलों में, एक मॉड्यूल का विस्तार इस तरह से किया जाता है कि सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति शून्य सहित सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों की एक श्रृंखला पर ले जाती है। मॉड्यूल के इन गुणों के आधार पर, मूल अभिव्यक्ति के और समीकरणों और असमानताओं को संकलित और हल किया जाता है।

अनुदेश

के साथ मूल समीकरण लिखिए। इसके लिए मॉड्यूल खोलें। प्रत्येक सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति पर विचार करें। निर्धारित करें कि इसमें शामिल अज्ञात मात्राओं के किस मूल्य पर, मॉड्यूलर कोष्ठक में व्यंजक गायब हो जाता है।

ऐसा करने के लिए, सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन को शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण खोजें। पाए गए मानों को लिखिए। इसी प्रकार दिए गए समीकरण में प्रत्येक मापांक के लिए अज्ञात चर के मान ज्ञात कीजिए।

एक संख्या रेखा खींचिए और उस पर परिणामी मान आलेखित कीजिए। शून्य मॉड्यूल में चर के मान मॉड्यूलर समीकरण को हल करने में बाधाओं के रूप में काम करेंगे।

मूल समीकरण में, आपको मॉड्यूलर वाले को खोलने की जरूरत है, चिन्ह को बदलना ताकि चर के मान संख्या रेखा पर प्रदर्शित लोगों के अनुरूप हों। परिणामी समीकरण को हल करें। मॉड्यूल द्वारा निर्दिष्ट प्रतिबंध के विरुद्ध चर के पाए गए मान की जाँच करें। यदि समाधान शर्त को संतुष्ट करता है, तो यह सत्य है। जड़ें जो प्रतिबंधों को पूरा नहीं करती हैं उन्हें त्याग दिया जाना चाहिए।

इसी तरह, मूल अभिव्यक्ति के मॉड्यूल का विस्तार करें, संकेत को ध्यान में रखते हुए, और परिणामी समीकरण की जड़ों की गणना करें। उन सभी प्राप्त मूलों को लिखिए जो अवरोध असमानताओं को संतुष्ट करते हैं।

भिन्नात्मक संख्याएँ आपको किसी मात्रा के सटीक मान को विभिन्न तरीकों से व्यक्त करने की अनुमति देती हैं। भिन्नों के साथ, आप पूर्णांकों के समान गणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। निर्णय लेने का तरीका जानने के लिए अंशों, उनकी कुछ विशेषताओं को याद रखना आवश्यक है। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य भाजक। निष्पादन के बाद कुछ अंकगणितीय संचालन के लिए परिणाम के आंशिक भाग में कमी की आवश्यकता होती है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर

अनुदेश

संख्याओं को ध्यान से देखें। यदि भिन्नों में दशमलव और अनियमित भिन्न हैं, तो पहले दशमलव के साथ क्रिया करना और फिर उन्हें गलत रूप में परिवर्तित करना अधिक सुविधाजनक होता है। क्या आप अनुवाद कर सकते हैं अंशोंइस रूप में शुरू में अंश में दशमलव बिंदु के बाद मान लिखना और हर में 10 लगाना। यदि आवश्यक हो, तो ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक भाजक से विभाजित करके भिन्न को कम करें। वे भिन्न जिनमें पूरा भाग अलग दिखता है, हर से गुणा करके और परिणाम में अंश जोड़कर गलत रूप की ओर ले जाता है। यह मान नया अंश बन जाएगा अंशों. शुरू में गलत से पूरे हिस्से को निकालने के लिए अंशों, अंश को हर से विभाजित करें। से पूरा परिणाम लिखें अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, हर बन जाता है अंशोंजबकि नहीं बदल रहा है। पूर्णांक भाग वाले भिन्नों के लिए, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए अलग-अलग कार्य करना संभव है। उदाहरण के लिए, 1 2/3 और 2 के योग की गणना की जा सकती है:
- भिन्नों को गलत रूप में परिवर्तित करना:
- 1 2/3 + 2 = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- शब्दों के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का अलग-अलग योग:
- 1 2/3 + 2 = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

पंक्ति के नीचे के मानों के लिए, उभयनिष्ठ हर का पता लगाएं। उदाहरण के लिए, 5/9 और 7/12 के लिए, सामान्य भाजक 36 होगा। इसके लिए, पहले का अंश और हर अंशोंआपको 4 से गुणा करने की आवश्यकता है (यह 28/36 निकलेगा), और दूसरा - 3 से (यह 15/36 निकलेगा)। अब आप गणना कर सकते हैं।

यदि आप भिन्नों के योग या अंतर की गणना करने जा रहे हैं, तो पहले पंक्ति के नीचे पाए गए सामान्य भाजक को लिख लें। अंशों के बीच आवश्यक क्रियाएँ करें, और परिणाम को नई पंक्ति के ऊपर लिखें अंशों. इस प्रकार, नया अंश मूल भिन्नों के अंशों का अंतर या योग होगा।

भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, भिन्नों के अंशों को गुणा करें और अंतिम के अंश के स्थान पर परिणाम लिखें अंशों. भाजक के लिए भी ऐसा ही करें। एक को विभाजित करते समय अंशोंएक भिन्न को दूसरे पर लिखें, और फिर उसके अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। उसी समय, पहले का भाजक अंशोंदूसरे के अंश से तदनुसार गुणा किया जाता है। वहीं, दूसरे का एक प्रकार का उलटफेर अंशों(विभक्त)। अंतिम भिन्न दोनों भिन्नों के अंशों और हरों के गुणा के परिणामों से होगी। सीखने में आसान अंशों, "चार-कहानी" के रूप में स्थिति में लिखा गया अंशों. अगर यह दो को अलग करता है अंशों, उन्हें ":" सीमांकक के साथ फिर से लिखें, और सामान्य विभाजन के साथ जारी रखें।

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंश और हर को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके परिणामी अंश को कम करें, जो इस मामले में सबसे बड़ा संभव है। इस स्थिति में, रेखा के ऊपर और नीचे पूर्णांक संख्याएँ होनी चाहिए।

टिप्पणी

भिन्नों के साथ अंकगणित न करें जिनमें भिन्न हर हों। ऐसी संख्या चुनें कि जब प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाए, परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

मददगार सलाह

भिन्नात्मक संख्याएँ लिखते समय, लाभांश को रेखा के ऊपर लिखा जाता है। इस मात्रा को भिन्न के अंश के रूप में संदर्भित किया जाता है। रेखा के नीचे भिन्न का भाजक या हर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, डेढ़ किलो चावल भिन्न के रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा: 1 आधा किलो चावल। यदि किसी भिन्न का हर 10 हो, तो उसे दशमलव भिन्न कहा जाता है। इस मामले में, अंश (लाभांश) को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना की सुविधा के लिए, इस तरह के अंश को हमेशा गलत रूप में लिखा जा सकता है: 1 2/10 किलो आलू। सरल बनाने के लिए, आप अंश और हर के मानों को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके कम कर सकते हैं। इस उदाहरण में, 2 से भाग देना संभव है। परिणाम 1 1/5 किलो आलू है। सुनिश्चित करें कि आप जिन संख्याओं के साथ अंकगणित करने जा रहे हैं, वे उसी रूप में हैं।

अनुदेश

"सम्मिलित करें" मेनू आइटम पर एक बार क्लिक करें, फिर "प्रतीक" आइटम का चयन करें। यह सम्मिलित करने के सबसे आसान तरीकों में से एक है अंशोंलिखने के लिए। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं। तैयार पात्रों का सेट है अंशों. उनकी संख्या आमतौर पर छोटी होती है, लेकिन अगर आपको पाठ में 1/2 नहीं बल्कि 1/2 लिखना है, तो यह विकल्प आपके लिए सबसे इष्टतम होगा। इसके अलावा, भिन्न वर्णों की संख्या फ़ॉन्ट पर निर्भर हो सकती है। उदाहरण के लिए, टाइम्स न्यू रोमन फ़ॉन्ट के लिए, उसी एरियल की तुलना में थोड़ा कम अंश हैं। जब सरल भावों की बात आती है तो सबसे अच्छा विकल्प खोजने के लिए फोंट में बदलाव करें।

मेनू आइटम "इन्सर्ट" पर क्लिक करें और उप-आइटम "ऑब्जेक्ट" चुनें। आप सम्मिलित करने के लिए संभावित वस्तुओं की सूची के साथ एक विंडो देखेंगे। उनमें से Microsoft समीकरण 3.0 चुनें। यह ऐप आपको टाइप करने में मदद करेगा अंशों. और न केवल अंशों, बल्कि जटिल गणितीय व्यंजक भी हैं जिनमें विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन और अन्य तत्व शामिल हैं। बाईं माउस बटन से इस ऑब्जेक्ट पर डबल-क्लिक करें। आपको कई वर्णों वाली एक विंडो दिखाई देगी।

एक भिन्न को प्रिंट करने के लिए, एक खाली अंश और हर के साथ एक भिन्न का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रतीक का चयन करें। बाईं माउस बटन से एक बार उस पर क्लिक करें। की योजना को निर्दिष्ट करते हुए एक अतिरिक्त मेनू दिखाई देगा अंशों. कई विकल्प हो सकते हैं। अपने लिए सबसे उपयुक्त चुनें और बाईं माउस बटन से एक बार उस पर क्लिक करें।

अंशों के साथ क्रियाएँ। इस लेख में, हम उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे, स्पष्टीकरण के साथ सब कुछ विस्तृत है। हम साधारण भिन्नों पर विचार करेंगे। भविष्य में, हम दशमलव का विश्लेषण करेंगे। मेरा सुझाव है कि इसे पूरा देखें और क्रमिक रूप से अध्ययन करें।

1. भिन्नों का योग, भिन्नों का अंतर।

नियम: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने पर, परिणाम एक भिन्न होता है - जिसका हर समान रहता है, और उसका अंश भिन्नों के अंशों के योग के बराबर होगा।

नियम: समान हर के साथ भिन्नों के अंतर की गणना करते समय, हमें एक भिन्न मिलता है - हर समान रहता है, और दूसरे का अंश पहले अंश के अंश से घटाया जाता है।

समान हर वाले अंशों के योग और अंतर का औपचारिक संकेतन:

उदाहरण (1):

यह स्पष्ट है कि जब साधारण भिन्न दिए जाते हैं, तो सब कुछ सरल होता है, लेकिन यदि वे मिश्रित हों? कुछ भी जटिल नहीं...

विकल्प 1- आप उन्हें सामान्य में बदल सकते हैं और फिर उनकी गणना कर सकते हैं।

विकल्प 2- आप पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के साथ अलग से "काम" कर सकते हैं।

उदाहरण (2):

अधिक:

और यदि दो मिश्रित भिन्नों का अंतर दिया गया हो और पहली भिन्न का अंश दूसरे के अंश से कम हो? इसे दो तरह से भी किया जा सकता है।

उदाहरण (3):

* साधारण अंशों में अनुवादित, अंतर की गणना की, परिणामी अनुचित अंश को मिश्रित अंश में बदल दिया।

* पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों में विभाजित, तीन मिला, फिर 3 को 2 और 1 के योग के रूप में प्रस्तुत किया, इकाई को 11/11 के रूप में प्रस्तुत किया, फिर 11/11 और 7/11 के बीच का अंतर पाया और परिणाम की गणना की। उपरोक्त परिवर्तनों का अर्थ एक इकाई लेना (चुनना) है और इसे एक अंश के रूप में प्रस्तुत करना है जिसकी हमें आवश्यकता है, फिर इस अंश से हम पहले से ही दूसरे को घटा सकते हैं।

एक और उदाहरण:

निष्कर्ष: एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है - समान भाजक के साथ मिश्रित अंशों के योग (अंतर) की गणना करने के लिए, उन्हें हमेशा अनुचित में परिवर्तित किया जा सकता है, फिर आवश्यक कार्रवाई करें। उसके बाद, यदि परिणामस्वरूप हमें कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम उसे मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

ऊपर, हमने भिन्नों वाले उदाहरणों को देखा जिनमें समान भाजक हैं। क्या होगा यदि भाजक भिन्न होते हैं? इस मामले में, अंशों को एक ही हर में घटाया जाता है और निर्दिष्ट क्रिया की जाती है। भिन्न को बदलने (रूपांतरित) करने के लिए भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग किया जाता है।

सरल उदाहरणों पर विचार करें:

इन उदाहरणों में, हम तुरंत देखते हैं कि समान हर प्राप्त करने के लिए भिन्नों में से एक को कैसे परिवर्तित किया जा सकता है।

यदि हम भिन्नों को एक हर में कम करने के तरीके निर्दिष्ट करते हैं, तो इसे कहा जाएगा विधि एक.

यही है, अंश का "मूल्यांकन" करते समय, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या ऐसा दृष्टिकोण काम करेगा - हम जांचते हैं कि क्या बड़ा हर छोटे से विभाज्य है। और अगर इसे विभाजित किया जाता है, तो हम परिवर्तन करते हैं - हम अंश और हर को गुणा करते हैं ताकि दोनों अंशों के हर बराबर हो जाएं।

अब इन उदाहरणों को देखें:

यह तरीका उन पर लागू नहीं होता। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के अन्य तरीके हैं, उन पर विचार करें।

विधि सेकंड.

पहली भिन्न के अंश और हर को दूसरे के हर से और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले के हर से गुणा करें:

*वास्तव में, हम भिन्नों को उस रूप में लाते हैं जब हर बराबर हो जाते हैं। अगला, हम समान हर के साथ डरपोक जोड़ने के नियम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण:

*इस विधि को सार्वभौमिक कहा जा सकता है, और यह हमेशा काम करती है। केवल नकारात्मक यह है कि गणना के बाद, एक अंश निकल सकता है जिसे और कम करने की आवश्यकता होगी।

एक उदाहरण पर विचार करें:

यह देखा जा सकता है कि अंश और हर 5 से विभाज्य हैं:

विधि तीसरा।

भाजक का अल्पतम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए। यह सामान्य भाजक होगा। यह संख्या क्या है? यह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

देखिए, यहाँ दो संख्याएँ हैं: 3 और 4, ऐसी कई संख्याएँ हैं जो उनसे विभाज्य हैं - ये 12, 24, 36, ... इनमें से सबसे छोटी संख्या 12 है। या 6 और 15, 30, 60, 90 हैं उनके द्वारा विभाज्य .... कम से कम 30. प्रश्न - इस कम से कम सामान्य गुणक का निर्धारण कैसे करें?

एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म है, लेकिन अक्सर यह गणना के बिना तुरंत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों (3 और 4, 6 और 15) के अनुसार, किसी एल्गोरिथ्म की आवश्यकता नहीं है, हमने बड़ी संख्याएँ (4 और 15) लीं, उन्हें दोगुना किया और देखा कि वे दूसरी संख्या से विभाज्य हैं, लेकिन संख्याओं के जोड़े 51 और 119 जैसे अन्य हो सकते हैं।

कलन विधि। अनेक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

- प्रत्येक संख्या को सरल कारकों में विघटित करें

- उनमें से BIGGER का अपघटन लिखिए

- इसे अन्य संख्याओं के गुम गुणनखंडों से गुणा करें

उदाहरणों पर विचार करें:

50 और 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, एक पाँच लुप्त है

=> एलसीएम(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 और 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, दो और तीन लुप्त हैं

=> एलसीएम (48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* दो अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर होता है

प्रश्न! और कम से कम सामान्य गुणक को खोजना क्यों उपयोगी है, क्योंकि आप दूसरी विधि का उपयोग कर सकते हैं और परिणामी अंश को कम कर सकते हैं? हाँ, आप कर सकते हैं, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। संख्या 48 और 72 के लिए हर को देखें, यदि आप उन्हें 48∙72 = 3456 से गुणा करते हैं। सहमत हैं कि छोटी संख्याओं के साथ काम करना अधिक सुखद है।

उदाहरणों पर विचार करें:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, एक ट्रिपल गायब है

=> एलसीएम(51,119) = 3∙7∙17

और अब हम पहली विधि लागू करते हैं:

* गणनाओं में अंतर देखें, पहले मामले में उनमें से एक न्यूनतम है, और दूसरे में आपको कागज के एक टुकड़े पर अलग से काम करने की आवश्यकता है, और यहां तक ​​कि जो अंश आपको मिला है उसे भी कम करने की आवश्यकता है। एलसीएम खोजने से काम काफी सरल हो जाता है।

और ज्यादा उदाहरण:

* दूसरे उदाहरण में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि सबसे छोटी संख्या जो 40 और 60 से विभाज्य है, 120 है।

कुल! सामान्य गणना एल्गोरिथ्म!

- यदि कोई पूर्णांक भाग है, तो हम साधारण अंशों में भिन्न लाते हैं।

- हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं (पहले हम देखते हैं कि क्या एक भाजक दूसरे से विभाज्य है, यदि यह विभाज्य है, तो हम इस भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं; यदि यह विभाज्य नहीं है, तो हम इसका उपयोग करके कार्य करते हैं ऊपर बताए गए अन्य तरीके)।

- समान भाजक के साथ अंश प्राप्त करने के बाद, हम क्रिया (जोड़, घटाव) करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो हम परिणाम कम करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो पूरे भाग का चयन करें।

2. भिन्नों का गुणनफल।

नियम सरल है। भिन्नों को गुणा करते समय, उनके अंश और हर को गुणा किया जाता है:

उदाहरण: