सभी त्रिभुजों में दो विशेष प्रकार होते हैं: समकोण त्रिभुज और समद्विबाहु त्रिभुज। इस प्रकार के त्रिभुज इतने खास क्यों हैं? खैर, सबसे पहले, ऐसे त्रिकोण अक्सर पहले भाग की एकीकृत राज्य परीक्षा के कार्यों में मुख्य अभिनेता बन जाते हैं। और दूसरी बात, समकोण और समद्विबाहु त्रिभुज की समस्याओं को ज्यामिति में अन्य समस्याओं की तुलना में हल करना बहुत आसान है। आपको बस कुछ नियमों और गुणों को जानने की जरूरत है। संबंधित विषय में सभी सबसे दिलचस्प चर्चा की गई है, और अब हम समद्विबाहु त्रिभुजों पर विचार करेंगे। और सबसे पहले, समद्विबाहु त्रिभुज क्या है। या, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा क्या है?
देखें कि यह कैसा दिखता है:
एक समकोण त्रिभुज की तरह, एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं के लिए विशेष नाम होते हैं। दो समान भुजाएँ कहलाती हैं पक्षों, और तीसरा पक्ष आधार.
और फिर, तस्वीर को देखें:
बेशक, यह इस तरह हो सकता है:
तो सावधान रहें: पार्श्व भुजा - दो समान भुजाओं में से एकएक समद्विबाहु त्रिभुज में, तथा आधार एक तृतीय पक्ष है।
समद्विबाहु त्रिभुज इतना अच्छा क्यों है? इसे समझने के लिए, आइए ऊंचाई को आधार तक खींचते हैं। क्या आपको याद है कि ऊंचाई क्या है?
क्या हुआ? एक समद्विबाहु त्रिभुज से, दो समकोण वाले निकले।
यह पहले से ही अच्छा है, लेकिन यह किसी भी, सबसे "तिरछे" त्रिभुज में होगा।
समद्विबाहु त्रिभुज के लिए चित्र में क्या अंतर है? दुबारा देखो:
खैर, सबसे पहले, निश्चित रूप से, इन अजीब गणितज्ञों के लिए केवल यह देखना पर्याप्त नहीं है - उन्हें निश्चित रूप से साबित करना होगा। और फिर अचानक ये त्रिभुज थोड़े भिन्न होते हैं, और हम इन्हें एक ही मानेंगे।
लेकिन चिंता न करें: इस मामले में, साबित करना लगभग उतना ही आसान है जितना कि देखना।
हम शुरू करें? ध्यान से देखें, हमारे पास है:
और इसीलिए,! क्यों? हाँ, हम पाइथागोरस प्रमेय से केवल और, और (उसी समय को याद करते हुए) पाते हैं।
क्या आपको यकीन है? खैर, अब हमारे पास है
और तीन तरफ - त्रिभुजों की समानता का सबसे आसान (तीसरा) चिन्ह।
खैर, हमारे समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान आयताकारों में विभाजित किया गया है।
देखें कि कितना दिलचस्प है? ऐसा पता चला कि:
गणितज्ञों के लिए इस बारे में बात करना कैसे प्रथागत है? चलो क्रम में चलते हैं:
(यहां हमें याद है कि माध्यिका शीर्ष से खींची गई एक रेखा है जो भुजा को समद्विभाजित करती है और समद्विभाजक कोण है।)
खैर, यहां हमने चर्चा की कि समद्विबाहु त्रिभुज दिए जाने पर क्या अच्छा देखा जा सकता है। हमने यह निष्कर्ष निकाला है कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर कोण बराबर होते हैं, और आधार पर खींची गई ऊंचाई, द्विभाजक और माध्यिका समान होती है।
और अब एक और प्रश्न उठता है: समद्विबाहु त्रिभुज की पहचान कैसे करें? अर्थात्, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, क्या हैं एक समद्विबाहु त्रिभुज के लक्षण?
और यह पता चला है कि आपको इसके विपरीत सभी बयानों को "चालू" करने की आवश्यकता है। यह, निश्चित रूप से, हमेशा नहीं होता है, लेकिन एक समद्विबाहु त्रिभुज अभी भी एक बड़ी बात है! "उलट" के बाद क्या होता है?
अच्छा यहाँ देखो:
यदि ऊँचाई और माध्यिका समान हैं, तो:
यदि ऊँचाई और समद्विभाजक समान हैं, तो: 
यदि समद्विभाजक और माध्यिका समान हों, तो:
खैर, मत भूलना और उपयोग करें:
- यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज दिया गया है, तो बेझिझक ऊँचाई खींचिए, दो समकोण त्रिभुज प्राप्त कीजिए और समकोण त्रिभुज के बारे में पहले से ही समस्या का समाधान कीजिए।
- अगर दिया गया तो दो कोण बराबर हैं, फिर त्रिभुज बिल्कुलसमद्विबाहु और आप एक ऊंचाई खींच सकते हैं और .... (वह घर जिसे जैक ने बनाया ...)।
- यदि यह पता चला कि ऊंचाई आधे हिस्से में विभाजित है, तो त्रिभुज समद्विबाहु है जिसमें सभी आगामी बोनस हैं।
- यदि यह पता चला कि ऊंचाई कोण को फर्श से विभाजित करती है - समद्विबाहु भी!
- यदि समद्विभाजक भुजा को आधा या माध्यिका - कोण में विभाजित करे, तो ऐसा भी होता है केवलएक समद्विबाहु त्रिभुज में
आइए देखें कि यह कार्यों में कैसा दिखता है।
कार्य 1(सबसे साधारण)
एक त्रिभुज में, भुजाएँ और बराबर होती हैं, a. ढूँढ़ने के लिए।
हमने निर्णय किया:
पहले एक ड्राइंग।
यहाँ आधार क्या है? निश्चित रूप से, ।
हमें याद है कि अगर, तब और।
अद्यतन ड्राइंग:
आइए के लिए नामित करें। त्रिभुज के कोणों का योग कितना होता है? ?
हम प्रयोग करते हैं:
वह है जवाब: .
आसान, है ना? मुझे ऊँचा भी नहीं जाना था।
टास्क 2(यह भी बहुत मुश्किल नहीं है, लेकिन आपको विषय को दोहराने की जरूरत है)
एक त्रिभुज में, ढूँढ़ने के लिए।
हमने निर्णय किया:
त्रिभुज समद्विबाहु है! हम ऊंचाई खींचते हैं (यह फोकस है, जिसकी मदद से अब सब कुछ तय हो जाएगा)।
अब "हम जीवन से हटाते हैं", हम केवल विचार करेंगे।
तो, हमारे पास है:
हम कोसाइन के सारणीबद्ध मूल्यों को याद करते हैं (ठीक है, या चीट शीट को देखें ...)
यह खोजना बाकी है:।
जवाब: .
ध्यान दें कि हम यहाँ हैं बहुतसही त्रिकोण और "सारणीबद्ध" साइन और कोसाइन के बारे में आवश्यक ज्ञान। बहुत बार ऐसा होता है: विषय, "समद्विबाहु त्रिभुज" और पहेली में बंडलों में जाते हैं, लेकिन वे अन्य विषयों के साथ बहुत अनुकूल नहीं हैं।
समद्विबाहु त्रिकोण। मध्य स्तर।
ये दो बराबर पक्षबुलाया पक्षों, ए तीसरी भुजा एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार है।
चित्र को देखें: और - भुजाएँ, - समद्विबाहु त्रिभुज का आधार।
ऐसा क्यों है आइए एक तस्वीर में देखते हैं। एक बिंदु से ऊंचाई बनाएं।
इसका मतलब है कि सभी संबंधित तत्व समान हैं।
हर चीज़! एक झटके में (ऊंचाई) सारे बयान एक ही बार में साबित हो गए।
और आपको याद है: समद्विबाहु त्रिभुज की समस्या को हल करने के लिए, ऊंचाई को समद्विबाहु त्रिभुज के आधार तक कम करना और इसे दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करना अक्सर बहुत उपयोगी होता है।
समद्विबाहु त्रिभुज के चिन्ह
विलोम कथन भी सत्य हैं:
इनमें से लगभग सभी कथनों को "एक झटके में" फिर से सिद्ध किया जा सकता है।
1. तो, मान लीजिए कि v बराबर निकला और।
चलो ऊंचाई लेते हैं। फिर
2. ए) अब कुछ त्रिकोण में चलो समान ऊँचाई और समद्विभाजक.
2. ख) और यदि ऊंचाई और माध्यिका समान हैं? सब कुछ लगभग समान है, अधिक जटिल कुछ भी नहीं!
 |
- दो पैरों पर |
2. सी) लेकिन अगर कोई ऊंचाई नहीं है, जिसे एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर उतारा जाता है, तो प्रारंभ में कोई समकोण त्रिभुज नहीं होते हैं। बुरी तरह!
लेकिन एक रास्ता है - इसे अगले स्तर के सिद्धांत में पढ़ें, क्योंकि सबूत यहां अधिक जटिल है, लेकिन अभी के लिए बस याद रखें कि यदि माध्यिका और द्विभाजक मेल खाते हैं, तो त्रिभुज भी समद्विबाहु होगा, और ऊंचाई होगी अभी भी इन द्विभाजक और माध्यिका के साथ मेल खाता है।
संक्षेप में:
- यदि त्रिभुज समद्विबाहु है, तो आधार पर कोण बराबर होते हैं, और आधार पर खींची गई ऊंचाई, द्विभाजक और माध्यिका समान होती है।
- यदि किसी त्रिभुज में दो समान कोण हों, या तीन रेखाओं (द्विभाजक, माध्यिका, ऊँचाई) में से कोई दो संपाती हों, तो ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु होता है।
समद्विबाहु त्रिकोण। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र
एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो समान भुजाएँ होती हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज के लक्षण:
- यदि किसी त्रिभुज में दो समान कोण हों, तो वह समद्विबाहु होता है।
- यदि किसी त्रिभुज में संयोग हो:
ए) ऊंचाई और द्विभाजकया
बी) ऊंचाई और माध्यिकाया
में) माध्यिका और द्विभाजक,
एक तरफ खींचा जाता है, तो ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु है।
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हमारी सभ्यता के पहले इतिहासकार - प्राचीन यूनानी - मिस्र का उल्लेख ज्यामिति के जन्मस्थान के रूप में करते हैं। उनके साथ असहमत होना मुश्किल है, यह जानकर कि फिरौन की विशाल कब्रों को किस अद्भुत सटीकता के साथ बनाया गया था। पिरामिडों के विमानों की पारस्परिक व्यवस्था, उनके अनुपात, कार्डिनल बिंदुओं के लिए अभिविन्यास - ज्यामिति की मूल बातें जाने बिना ऐसी पूर्णता प्राप्त करना अकल्पनीय होगा।
"ज्यामिति" शब्द का अनुवाद "पृथ्वी की माप" के रूप में किया जा सकता है। इसके अलावा, शब्द "पृथ्वी" एक ग्रह के रूप में नहीं - सौर मंडल का हिस्सा है, बल्कि एक विमान के रूप में प्रकट होता है। कृषि के लिए क्षेत्रों का अंकन, सबसे अधिक संभावना है, ज्यामितीय आकृतियों, उनके प्रकार और गुणों के विज्ञान का मूल आधार है।
एक त्रिभुज प्लानिमेट्री की सबसे सरल स्थानिक आकृति है, जिसमें केवल तीन बिंदु होते हैं - कोने (कोई कम नहीं)। नींव की बुनियाद शायद यही वजह है कि उसमें कुछ रहस्यमय और प्राचीन लगता है। एक त्रिभुज के अंदर सभी को देखने वाली आंख सबसे पहले ज्ञात गुप्त संकेतों में से एक है, और इसके वितरण और समय सीमा का भूगोल बस अद्भुत है। प्राचीन मिस्र, सुमेरियन, एज़्टेक और अन्य सभ्यताओं से लेकर दुनिया भर में फैले हुए मनोगत प्रेमियों के अधिक आधुनिक समुदायों तक।
त्रिभुज क्या होते हैं
एक साधारण स्केलीन त्रिभुज एक बंद ज्यामितीय आकृति है, जिसमें अलग-अलग लंबाई और तीन कोणों के तीन खंड होते हैं, जिनमें से कोई भी सीधा नहीं होता है। इसके अतिरिक्त भी कई प्रकार के विशेष हैं।
एक न्यूनकोण त्रिभुज में सभी कोण 90 डिग्री से कम होते हैं। दूसरे शब्दों में, ऐसे त्रिभुज के सभी कोण न्यून होते हैं।
एक समकोण त्रिभुज, जिसके ऊपर प्रमेयों की प्रचुरता के कारण स्कूली बच्चे हर समय रोते हैं, में एक कोण होता है जिसका मान 90 डिग्री होता है, या, जैसा कि इसे समकोण भी कहा जाता है।
एक अधिक त्रिभुज इस तथ्य से प्रतिष्ठित होता है कि इसका एक कोण अधिक कोण है, अर्थात इसका मान 90 डिग्री से अधिक है।
एक समबाहु त्रिभुज की तीन भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। ऐसी आकृति में सभी कोण भी बराबर होते हैं।
और अंत में, तीन भुजाओं वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज में, दो एक दूसरे के बराबर होते हैं।
विशिष्ट सुविधाएं
एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण भी इसके मुख्य, मुख्य अंतर - दोनों पक्षों की समानता को निर्धारित करते हैं। इन समान भुजाओं को आमतौर पर कूल्हे (या, अधिक बार, भुजाएँ) कहा जाता है, लेकिन तीसरे पक्ष को "आधार" कहा जाता है।
विचाराधीन चित्र में, a = b.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का दूसरा चिन्ह साइन प्रमेय का अनुसरण करता है। चूँकि भुजाएँ a और b बराबर हैं, उनके सम्मुख कोणों की ज्याएँ भी समान हैं:
a/sin = b/sin α, जहां से हमारे पास है: sin = sin α।
साइन की समानता से कोणों की समानता इस प्रकार है: = α।
तो, एक समद्विबाहु त्रिभुज का दूसरा चिन्ह आधार से सटे दो कोणों की समानता है।
तीसरा संकेत। एक त्रिभुज में, ऊँचाई, द्विभाजक और माध्यिका जैसे तत्वों को प्रतिष्ठित किया जाता है।
यदि समस्या को हल करने की प्रक्रिया में यह पता चलता है कि विचाराधीन त्रिभुज में, इनमें से कोई भी दो तत्व मेल खाते हैं: द्विभाजक के साथ ऊंचाई; माध्यिका के साथ द्विभाजक; ऊंचाई के साथ माध्यिका - हम निश्चित रूप से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज समद्विबाहु है।
एक आकृति के ज्यामितीय गुण
1. एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण। आकृति के विशिष्ट गुणों में से एक आधार से सटे कोणों की समानता है:
<ВАС = <ВСА.
2. ऊपर चर्चा की गई एक और संपत्ति: एक समद्विबाहु त्रिभुज में माध्यिका, द्विभाजक और ऊँचाई समान होती है यदि वे इसके शीर्ष से आधार तक बनी हों।
3. आधार पर शीर्षों से खींचे गए समद्विभाजक की समानता:
यदि AE कोण BAC का समद्विभाजक है और CD कोण BCA का समद्विभाजक है, तो: AE = DC।
4. एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण आधार पर शीर्षों से खींची गई ऊँचाइयों की समानता भी प्रदान करते हैं।
यदि हम त्रिभुज ABC (जहाँ AB = BC) की ऊँचाई A और C से बनाते हैं, तो परिणामी खंड CD और AE बराबर होंगे।
5. आधार के कोनों से खींची गई माध्यिकाएं भी बराबर होंगी।
अतः, यदि AE और DC माध्यिकाएँ हैं, अर्थात् AD = DB, और BE = EC, तो AE = DC।
एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई
पक्षों और कोणों की समानता प्रश्न में आकृति के तत्वों की लंबाई की गणना में कुछ विशेषताओं का परिचय देती है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में ऊँचाई आकृति को 2 सममित समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिसके कर्ण भुजाएँ हैं। इस मामले में ऊंचाई पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार एक पैर के रूप में निर्धारित की जाती है।
एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान हो सकती हैं, तो वह समबाहु कहलाती है। एक समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई समान रूप से निर्धारित की जाती है, केवल गणना के लिए केवल एक मान जानने के लिए पर्याप्त है - इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई।
आप ऊंचाई को दूसरे तरीके से निर्धारित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, आधार और उसके आस-पास के कोण को जानना।
एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका
ज्यामितीय विशेषताओं के कारण विचाराधीन त्रिभुज का प्रकार, प्रारंभिक डेटा के न्यूनतम सेट द्वारा काफी सरलता से हल किया जाता है। चूंकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में माध्यिका इसकी ऊंचाई और इसके द्विभाजक दोनों के बराबर होती है, इसलिए इसे निर्धारित करने के लिए एल्गोरिथ्म उस क्रम से अलग नहीं है जिसमें इन तत्वों की गणना की जाती है।
उदाहरण के लिए, आप ज्ञात पार्श्व पक्ष द्वारा माध्यिका की लंबाई और शीर्ष पर कोण का मान निर्धारित कर सकते हैं।
परिधि का निर्धारण कैसे करें
चूँकि विचाराधीन समतलीय आकृति की दो भुजाएँ हमेशा समान होती हैं, इसलिए परिमाप निर्धारित करने के लिए आधार की लंबाई और किसी एक भुजा की लंबाई जानना पर्याप्त है।
एक उदाहरण पर विचार करें जब आपको ज्ञात आधार और ऊंचाई को देखते हुए त्रिभुज की परिधि निर्धारित करने की आवश्यकता हो।
परिमाप आधार के योग के बराबर है और भुजा की लंबाई का दोगुना है। पार्श्व पक्ष, बदले में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में निर्धारित किया जाता है। इसकी लंबाई ऊंचाई के वर्ग के योग के वर्गमूल और आधे आधार के वर्ग के बराबर होती है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
एक नियम के रूप में, कठिनाइयों और समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का कारण नहीं बनता है। आधार और उसकी ऊंचाई के आधे उत्पाद के रूप में त्रिभुज के क्षेत्र को निर्धारित करने का सार्वभौमिक नियम, निश्चित रूप से, हमारे मामले में लागू होता है। हालाँकि, एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण फिर से कार्य को आसान बनाते हैं।
आइए मान लें कि हम आधार से सटे हुए कोण की ऊंचाई और कोण जानते हैं। आपको आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करने की आवश्यकता है। आप इसे इस तरह से कर सकते हैं।
चूँकि किसी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, अतः कोण का परिमाण ज्ञात करना कठिन नहीं है। इसके अलावा, साइन प्रमेय के अनुसार तैयार किए गए अनुपात का उपयोग करके, त्रिभुज के आधार की लंबाई निर्धारित की जाती है। सब कुछ, आधार और ऊंचाई - क्षेत्र निर्धारित करने के लिए पर्याप्त डेटा - उपलब्ध हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज के अन्य गुण
एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त के केंद्र की स्थिति शीर्ष के कोण पर निर्भर करती है। इसलिए, यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज न्यूनकोण है, तो वृत्त का केंद्र आकृति के अंदर स्थित होता है।
एक अधिक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र इसके बाहर स्थित होता है। और, अंत में, यदि शीर्ष पर कोण 90° है, तो केंद्र आधार के बिल्कुल बीच में स्थित है, और वृत्त का व्यास आधार से ही होकर गुजरता है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित एक वृत्त की त्रिज्या निर्धारित करने के लिए, पार्श्व पक्ष की लंबाई को शीर्ष पर आधे कोण के कोज्या से दोगुना विभाजित करना पर्याप्त है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण निम्नलिखित प्रमेयों को व्यक्त करते हैं।
प्रमेय 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।
प्रमेय 2. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार की ओर खींचा गया समद्विभाजक माध्यिका और ऊँचाई होता है।
प्रमेय 3. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींची गई माध्यिका समद्विभाजक और ऊँचाई होती है।
प्रमेय 4. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार तक खींची गई ऊँचाई समद्विभाजक और माध्यिका होती है।
आइए उनमें से एक को सिद्ध करें, उदाहरण के लिए, प्रमेय 2.5।
प्रमाण। आधार BC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC पर विचार कीजिए और सिद्ध कीजिए कि B = C. मान लीजिए AD त्रिभुज ABC का समद्विभाजक है (आकृति 1)। त्रिभुजों की समानता के पहले चिन्ह के अनुसार त्रिभुज ABD और ACD बराबर हैं (शर्त के अनुसार AB = AC, AD उभयनिष्ठ भुजा है, 1 = 2, क्योंकि AD द्विभाजक है)। इन त्रिभुजों की समानता से यह निकलता है कि B = C. प्रमेय सिद्ध होता है।
प्रमेय 1 का प्रयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्रमेय की स्थापना करते हैं।
प्रमेय 5. त्रिभुजों की समानता की तीसरी कसौटी। यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं (चित्र 2)।
टिप्पणी। उदाहरण 1 और 2 में स्थापित वाक्य खंड के लंबवत द्विभाजक के गुणों को व्यक्त करते हैं। इन प्रस्तावों से यह निम्नानुसार है कि त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं.
उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि खंड के सिरों से समदूरस्थ तल का बिंदु इस खंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है।
फेसला। मान लीजिए कि बिंदु M खंड AB (आकृति 3) के सिरों से समान दूरी पर है, अर्थात AM = VM।
तब AMV समद्विबाहु है। आइए हम बिंदु M और खंड AB के मध्य बिंदु O से होकर एक रेखा p खींचते हैं। निर्माण से, खंड MO समद्विबाहु त्रिभुज AMB का माध्यिका है, और इसलिए (प्रमेय 3), और ऊँचाई, यानी, सीधी रेखा MO, खंड AB का लंबवत द्विभाजक है।
उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि किसी खंड के लंब समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु उसके सिरों से समान दूरी पर होता है।
फेसला। मान लीजिए p खंड AB का लंब समद्विभाजक है और बिंदु O खंड AB का मध्यबिंदु है (चित्र 3 देखें)।
एक मनमाना बिंदु M पर विचार करें जो रेखा p पर स्थित है। आइए एएम और वीएम सेगमेंट बनाएं। त्रिभुज एओएम और वीओएम बराबर हैं, क्योंकि शीर्ष ओ पर उनके कोण सीधे हैं, पैर ओएम आम है, और पैर ओए स्थिति के अनुसार पैर ओबी के बराबर है। त्रिभुज AOM और BOM की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि AM = BM।
उदाहरण 3त्रिभुज ABC में (चित्र 4 देखें) AB \u003d 10 सेमी, BC \u003d 9 सेमी, AC \u003d 7 सेमी; त्रिभुज में DEF DE = 7 सेमी, EF = 10 सेमी, FD = 9 सेमी।
त्रिभुज ABC और DEF की तुलना करें। संगत समान कोण ज्ञात कीजिए।
फेसला। तीसरी कसौटी में ये त्रिभुज बराबर हैं। तदनुसार, समान कोण: A और E (वे समान भुजाओं BC और FD के विपरीत स्थित हैं), B और F (वे समान भुजाओं AC और DE के विपरीत स्थित हैं), C और D (वे समान भुजाओं AB और EF के विपरीत स्थित हैं)।
उदाहरण 4आकृति 5 में AB = DC, BC = AD, B = 100°।
कोण डी खोजें।
फेसला। त्रिभुज ABC और ADC पर विचार करें। वे तीसरी विशेषता में बराबर हैं (एबी = डीसी, बीसी = एडी शर्त के अनुसार और पक्ष एसी आम है)। इन त्रिभुजों की समानता से यह पता चलता है कि ∠ B = D, लेकिन कोण B 100° है, इसलिए कोण D 100° है।
उदाहरण 5आधार AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, शीर्ष C पर बाह्य कोण 123° है। कोण ABC ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
वीडियो समाधान।
