गाऊसी पद्धति के कई नुकसान हैं: यह जानना असंभव है कि क्या प्रणाली सुसंगत है या नहीं जब तक कि गाऊसी पद्धति में आवश्यक सभी परिवर्तन नहीं किए गए हैं; गाऊसी पद्धति अक्षर गुणांक वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त नहीं है।

रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने की अन्य विधियों पर विचार कीजिए। ये विधियां मैट्रिक्स के रैंक की अवधारणा का उपयोग करती हैं और किसी भी संयुक्त प्रणाली के समाधान को उस प्रणाली के समाधान तक कम करती हैं जिस पर क्रैमर का नियम लागू होता है।

उदाहरण 1कम सजातीय प्रणाली के समाधान की मौलिक प्रणाली और अमानवीय प्रणाली के एक विशेष समाधान का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें।

1. हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं एऔर सिस्टम का संवर्धित मैट्रिक्स (1)

2. सिस्टम का अन्वेषण करें (1) अनुकूलता के लिए। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स के रैंक पाते हैं एऔर https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">)। अगर यह पता चलता है, तो सिस्टम (1) असंगत अगर हम इसे प्राप्त करते हैं , तो यह प्रणाली सुसंगत है और हम इसे हल करेंगे। (संगति अध्ययन क्रोनकर-कैपेली प्रमेय पर आधारित है)।

ए। हम ढूंढे आरए.

ढूँढ़ने के लिए आरए, हम मैट्रिक्स के पहले, दूसरे, आदि आदेशों के क्रमिक रूप से गैर-शून्य नाबालिगों पर विचार करेंगे एऔर उनके आसपास के नाबालिग।

एम1=1≠0 (1 मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने से लिया गया है लेकिन).

सीमा एम1इस मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति और दूसरा कॉलम। . हम सीमा पर जारी रखते हैं एम1दूसरी लाइन और तीसरा कॉलम..gif" width="37" height="20 src=">. अब हम नॉन-जीरो माइनर को बॉर्डर करते हैं 2′द्वितीय आदेश।

हमारे पास है: (क्योंकि पहले दो कॉलम समान हैं)

(क्योंकि दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ समानुपाती होती हैं)।

हमने देखा कि आरए = 2, और मैट्रिक्स का आधार नाबालिग है ए.

बी। हम ढूंढे ।

पर्याप्त रूप से बुनियादी नाबालिग 2′मैट्रिक्स एमुक्त सदस्यों और सभी पंक्तियों के एक स्तंभ के साथ सीमा (हमारे पास केवल अंतिम पंक्ति है)।

. इससे यह पता चलता है कि 3′′मैट्रिक्स का आधार माइनर रहता है https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

जैसा 2′- मैट्रिक्स का आधार नाबालिग एप्रणाली (2) , तो यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है (3) , प्रणाली के पहले दो समीकरणों से मिलकर बनता है (2) (के लिए 2′मैट्रिक्स ए की पहली दो पंक्तियों में है)।

(3)

चूंकि मूल नाबालिग है https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

इस प्रणाली में, दो मुक्त अज्ञात ( x2 और x4 ) इसलिए एफएसआर प्रणाली (4) दो समाधान होते हैं। उन्हें खोजने के लिए, हम नि:शुल्क अज्ञात असाइन करते हैं (4) मान पहले x2=1 , x4=0 , और फिर - x2=0 , x4=1 .

पर x2=1 , x4=0 हम पाते हैं:

.

इस प्रणाली में पहले से ही है एकमात्र वस्तु समाधान (यह क्रैमर के नियम या किसी अन्य विधि द्वारा पाया जा सकता है)। पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाकर, हम प्राप्त करते हैं:

उसका निर्णय होगा x1= -1 , x3=0 . मूल्यों को देखते हुए x2 और x4 , जो हमने दिया है, हम प्रणाली का पहला मौलिक समाधान प्राप्त करते हैं (2) : .

अब हम डालते हैं (4) x2=0 , x4=1 . हम पाते हैं:

.

हम क्रैमर के प्रमेय का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करते हैं:

.

हम सिस्टम का दूसरा मौलिक समाधान प्राप्त करते हैं (2) : .

समाधान β1 , β2 और श्रृंगार एफएसआर प्रणाली (2) . तब इसका सामान्य हल होगा

γ= सी 1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

यहां सी 1 , सी2 मनमानी स्थिरांक हैं।

4. एक खोजें निजी फेसला विषम प्रणाली(1) . पैराग्राफ के रूप में 3 , सिस्टम के बजाय (1) समकक्ष प्रणाली पर विचार करें (5) , प्रणाली के पहले दो समीकरणों से मिलकर बनता है (1) .

(5)

हम मुक्त अज्ञात को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं x2और x4.

(6)

आइए मुफ्त अज्ञात दें x2 और x4 मनमाना मूल्य, उदाहरण के लिए, x2=2 , x4=1 और उन्हें प्लग इन करें (6) . आइए सिस्टम प्राप्त करें

इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है (क्योंकि इसका निर्धारक 2′0) इसे हल करना (क्रैमर प्रमेय या गॉस विधि का उपयोग करके), हम प्राप्त करते हैं x1=3 , x3=3 . मुक्त अज्ञात के मूल्यों को देखते हुए x2 और x4 , हम पाते हैं एक अमानवीय प्रणाली का विशेष समाधान(1)α1=(3,2,3,1)।

5. अब लिखना बाकी है एक अमानवीय प्रणाली का सामान्य समाधान α(1) : यह योग के बराबर है निजी निर्णययह प्रणाली और इसकी कम सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)।

इसका मतलब: (7)

6. इंतिहान।यह जाँचने के लिए कि क्या आपने सिस्टम को सही ढंग से हल किया है (1) , हमें एक सामान्य समाधान की आवश्यकता है (7) में स्थानापन्न (1) . यदि प्रत्येक समीकरण एक पहचान बन जाए ( सी 1 और सी2 नष्ट किया जाना चाहिए), तो समाधान सही ढंग से मिल जाता है।

हम स्थानापन्न करेंगे (7) उदाहरण के लिए, केवल सिस्टम के अंतिम समीकरण में (1) (एक्स1 + एक्स2 + एक्स3 ‑9 एक्स4 =‑1) .

हम पाते हैं: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

जहां -1 = -1। हमें एक पहचान मिली है। हम इसे सिस्टम के अन्य सभी समीकरणों के साथ करते हैं (1) .

टिप्पणी।सत्यापन आमतौर पर काफी बोझिल होता है। हम निम्नलिखित "आंशिक सत्यापन" की सिफारिश कर सकते हैं: सिस्टम के समग्र समाधान में (1) मनमाना स्थिरांक के लिए कुछ मान निर्दिष्ट करें और परिणामी विशेष समाधान को केवल छोड़े गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करें (अर्थात, उन समीकरणों में (1) जो में शामिल नहीं है (5) ) पहचान मिलती है तो अधिक संभावना, प्रणाली का समाधान (1) सही पाया गया (लेकिन ऐसा चेक शुद्धता की पूरी गारंटी नहीं देता है!) उदाहरण के लिए, यदि (7) लगाना सी 2 =- 1 , सी1=1, तो हम प्राप्त करते हैं: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. सिस्टम (1) के अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , यानी -1 = -1। हमें एक पहचान मिली है।

उदाहरण 2रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल ज्ञात कीजिए (1) , मुख्य अज्ञात को मुक्त लोगों के रूप में व्यक्त करना।

फेसला।के रूप में उदाहरण 1, मैट्रिक्स लिखें एऔर https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> इन मैट्रिसेस के। अब हम सिस्टम के केवल उन समीकरणों को छोड़ देते हैं (1) , जिसके गुणांक इस मूल नाबालिग में शामिल हैं (यानी, हमारे पास पहले दो समीकरण हैं) और उनमें से सिस्टम पर विचार करें, जो सिस्टम (1) के बराबर है।

आइए हम इन समीकरणों के दायीं ओर मुक्त अज्ञात को स्थानांतरित करें।

प्रणाली (9) हम गाऊसी पद्धति से हल करते हैं, सही भागों को मुक्त सदस्य मानते हुए।

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

विकल्प 2।

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

विकल्प 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

विकल्प 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

विकल्प 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

एक क्षेत्र पर रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली

परिभाषा। समीकरणों की प्रणाली के समाधान की मौलिक प्रणाली (1) इसके समाधानों की एक गैर-रिक्त रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली है, जिसका रैखिक विस्तार प्रणाली के सभी समाधानों के सेट के साथ मेल खाता है (1)।

ध्यान दें कि रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली जिसमें केवल एक शून्य समाधान होता है, में समाधान की एक मौलिक प्रणाली नहीं होती है।

प्रस्ताव 3.11. रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान के किन्हीं दो मूलभूत प्रणालियों में समान संख्या में समाधान होते हैं।

प्रमाण। वास्तव में, समीकरणों की सजातीय प्रणाली (1) के समाधान की कोई भी दो मूलभूत प्रणालियाँ समतुल्य और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, प्रस्ताव 1.12 के अनुसार, उनके रैंक बराबर हैं। इसलिए, एक मौलिक प्रणाली में शामिल समाधानों की संख्या समाधान की किसी अन्य मौलिक प्रणाली में शामिल समाधानों की संख्या के बराबर है।

यदि समीकरणों की सजातीय प्रणाली (1) का मुख्य मैट्रिक्स ए शून्य है, तो कोई भी वेक्टर सिस्टम (1) का समाधान है; इस मामले में, रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का कोई भी संग्रह समाधान की एक मौलिक प्रणाली है। यदि मैट्रिक्स ए का कॉलम रैंक है, तो सिस्टम (1) का केवल एक ही समाधान है - शून्य; इसलिए, इस मामले में, समीकरणों की प्रणाली (1) में समाधान की एक मौलिक प्रणाली नहीं है।

प्रमेय 3.12. यदि रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक (1) चर की संख्या से कम है, तो सिस्टम (1) में समाधानों की एक मौलिक प्रणाली होती है जिसमें समाधान होते हैं।

प्रमाण। यदि समांगी निकाय (1) के मुख्य आव्यूह A की रैंक शून्य या के बराबर है, तो यह ऊपर दिखाया गया था कि प्रमेय सत्य है। इसलिए, यह नीचे माना जाता है कि यह मानते हुए, हम मान लेंगे कि मैट्रिक्स ए के पहले कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इस मामले में, मैट्रिक्स ए कम चरण मैट्रिक्स के बराबर पंक्तिबद्ध है, और सिस्टम (1) समीकरणों की निम्न कम चरण प्रणाली के बराबर है:

यह जांचना आसान है कि सिस्टम (2) के मुक्त चर के मूल्यों की कोई भी प्रणाली सिस्टम (2) के एक और केवल एक समाधान से मेल खाती है और इसलिए, सिस्टम (1)। विशेष रूप से, सिस्टम (2) और सिस्टम (1) का केवल शून्य समाधान शून्य मानों की प्रणाली से मेल खाता है।

सिस्टम (2) में, हम एक फ्री वेरिएबल के लिए 1 के बराबर मान और अन्य वेरिएबल को शून्य मान असाइन करेंगे। नतीजतन, हम समीकरणों की प्रणाली (2) के समाधान प्राप्त करते हैं, जिसे हम निम्नलिखित मैट्रिक्स सी की पंक्तियों के रूप में लिखते हैं:

इस मैट्रिक्स की पंक्ति प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। दरअसल, समानता से किसी भी अदिश के लिए

समानता इस प्रकार है

और इसलिए समानता

आइए हम सिद्ध करें कि मैट्रिक्स C की पंक्तियों के निकाय का रैखिक स्पैन सिस्टम (1) के सभी समाधानों के समुच्चय के साथ मेल खाता है।

प्रणाली का मनमाना समाधान (1)। फिर वेक्टर

प्रणाली का समाधान भी है (1), और

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जिसमें सभी मुक्त पद शून्य के बराबर होते हैं, कहलाते हैं सजातीय :

कोई भी सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि इसमें हमेशा होता है शून्य (तुच्छ ) उपाय। सवाल उठता है कि किन परिस्थितियों में एक सजातीय प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान होगा।

प्रमेय 5.2.एक सजातीय प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान होता है यदि और केवल तभी जब अंतर्निहित मैट्रिक्स की रैंक उसके अज्ञात की संख्या से कम हो।

परिणाम. एक वर्ग सजातीय प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान होता है यदि और केवल तभी जब सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर न हो।

उदाहरण 5.6।पैरामीटर l के मान निर्धारित करें जिसके लिए सिस्टम में गैर-तुच्छ समाधान हैं और इन समाधानों को खोजें:

फेसला. मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर होने पर इस प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान होगा:

इस प्रकार, सिस्टम गैर तुच्छ है जब l=3 या l=2 । एल = 3 के लिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक 1 है। फिर, केवल एक समीकरण छोड़कर और यह मानते हुए कि आप=एऔर जेड=बी, हम पाते हैं एक्स = बी-ए, अर्थात।

एल = 2 के लिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक 2 है। फिर, मूल नाबालिग के रूप में चयन करना:

हमें एक सरलीकृत प्रणाली मिलती है

यहाँ से हम पाते हैं कि एक्स = जेड/4, y=z/ 2। यह मानते हुए जेड=4ए, हम पाते हैं

एक सजातीय प्रणाली के सभी समाधानों के सेट में एक बहुत ही महत्वपूर्ण है रैखिक गुण : अगर एक्स कॉलम 1 और एक्स 2 - सजातीय प्रणाली के समाधान AX = 0, तो उनमें से कोई रैखिक संयोजनए एक्स 1+बी एक्स 2 इस व्यवस्था का समाधान भी होगा. दरअसल, चूंकि कुल्हाड़ी 1 = 0 और कुल्हाड़ी 2 = 0 , तब ए(ए एक्स 1+बी एक्स 2) = ए कुल्हाड़ी 1+बी कुल्हाड़ी 2 = a · 0 + b · 0 = 0. इस गुण के कारण, यदि एक रैखिक प्रणाली में एक से अधिक समाधान हैं, तो इनमें से कई समाधान अनंत होंगे।

रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम इ 1 , इ 2 , ई को, जो एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, कहलाते हैं मौलिक निर्णय प्रणाली रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली यदि इस प्रणाली के सामान्य समाधान को इन स्तंभों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:

यदि एक सजातीय प्रणाली है एनचर, और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक बराबर है आर, तब क = एन आर.

उदाहरण 5.7।रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली के समाधान की मूल प्रणाली खोजें:

फेसला. सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक पाएं:

इस प्रकार, समीकरणों की इस प्रणाली के समाधान का सेट आयाम का एक रैखिक उप-स्थान बनाता है एन - आर= 5 - 2 = 3. हम मूल अवयस्क के रूप में चुनते हैं

.

फिर, केवल मूल समीकरणों को छोड़कर (बाकी इन समीकरणों का एक रैखिक संयोजन होगा) और मूल चर (हम बाकी को स्थानांतरित करते हैं, तथाकथित मुक्त चर दाईं ओर), हमें समीकरणों की एक सरलीकृत प्रणाली मिलती है:

यह मानते हुए एक्स 3 = ए, एक्स 4 = बी, एक्स 5 = सी, हम ढूंढे

, .

यह मानते हुए ए= 1, बी = सी= 0, हम पहला मूल समाधान प्राप्त करते हैं; यह सोचते हैं बी= 1, ए = सी= 0, हम दूसरा मूल हल प्राप्त करते हैं; यह सोचते हैं सी= 1, ए = बी= 0, हमें तीसरा मूल हल प्राप्त होता है। नतीजतन, समाधान की सामान्य मौलिक प्रणाली रूप लेती है

मौलिक प्रणाली का उपयोग करते हुए, सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक्स = ऐ 1 + होना 2 + सीई 3. ए

आइए, रैखिक समीकरणों के अमानवीय निकाय के हलों के कुछ गुणों पर ध्यान दें कुल्हाड़ी = बीऔर समीकरणों की संगत सजातीय प्रणाली के साथ उनका संबंध कुल्हाड़ी = 0.

एक अमानवीय प्रणाली का सामान्य समाधानसमरूप प्रणाली के सामान्य समाधान के योग के बराबर है AX = 0 और अमानवीय प्रणाली का एक मनमाना विशेष समाधान. दरअसल, चलो यू 0 एक अमानवीय प्रणाली का एक मनमाना विशेष समाधान है, अर्थात। एय 0 = बी, और यूएक अमानवीय प्रणाली का सामान्य समाधान है, अर्थात। एवाई = बी. एक समानता को दूसरे से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं
ए(Y Y 0) = 0, अर्थात्। Y Y 0 संबंधित सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान है कुल्हाड़ी= 0। इसलिये, Y Y 0 = एक्स, या वाई = वाई 0 + एक्स. क्यू.ई.डी.

मान लीजिए कि एक अमानवीय प्रणाली का रूप AX = B . है 1 + बी 2 . तब ऐसी प्रणाली का सामान्य हल X = X . के रूप में लिखा जा सकता है 1 + एक्स 2 , जहां कुल्हाड़ी 1 = बी 1 और कुल्हाड़ी 2 = बी 2. यह गुण किसी भी रैखिक प्रणाली की सार्वभौमिक संपत्ति को सामान्य रूप से व्यक्त करता है (बीजगणितीय, अंतर, कार्यात्मक, आदि)। भौतिकी में, इस संपत्ति को कहा जाता है अध्यारोपण सिद्धांतइलेक्ट्रिकल और रेडियो इंजीनियरिंग में - ओवरले सिद्धांत. उदाहरण के लिए, रैखिक विद्युत परिपथों के सिद्धांत में, किसी भी परिपथ में धारा को प्रत्येक ऊर्जा स्रोत द्वारा अलग से उत्पन्न होने वाली धाराओं के बीजगणितीय योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है और इसका एक तुच्छ समाधान होता है
. अस्तित्वहीन समाधान के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक है कि मैट्रिक्स का रैंक अज्ञात की संख्या से कम था:

.

मौलिक निर्णय प्रणाली सजातीय प्रणाली
कॉलम वैक्टर के रूप में समाधान की प्रणाली को बुलाओ
, जो विहित आधार के अनुरूप है, अर्थात्। जिस आधार पर मनमाना स्थिरांक
बारी-बारी से एक के बराबर सेट होते हैं, जबकि बाकी शून्य पर सेट होते हैं।

तब सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान का रूप है:

कहाँ पे
मनमानी स्थिरांक हैं। दूसरे शब्दों में, सामान्य समाधान समाधान की मौलिक प्रणाली का एक रैखिक संयोजन है।

इस प्रकार, सामान्य समाधान से मूल समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं यदि मुक्त अज्ञात को वैकल्पिक रूप से एकता का मूल्य दिया जाता है, अन्य सभी को शून्य के बराबर मानते हुए।

उदाहरण. आइए इस प्रणाली का समाधान खोजें

हम स्वीकार करते हैं, फिर हमें फॉर्म में समाधान मिलता है:

आइए अब हम समाधान की एक मूलभूत प्रणाली का निर्माण करें:

.

सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान में निम्नलिखित गुण होते हैं:

दूसरे शब्दों में, सजातीय प्रणाली के समाधानों का कोई भी रैखिक संयोजन फिर से एक समाधान है।

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय का समाधान

रेखीय समीकरणों को हल करने की प्रणाली कई शताब्दियों से गणितज्ञों के लिए रुचिकर रही है। पहले परिणाम XVIII सदी में प्राप्त किए गए थे। 1750 में, जी. क्रेमर (1704-1752) ने वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारकों पर अपने कार्यों को प्रकाशित किया और व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म का प्रस्ताव रखा। 1809 में, गॉस ने एक नई समाधान विधि की रूपरेखा तैयार की जिसे उन्मूलन विधि के रूप में जाना जाता है।

गॉस विधि, या अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि में यह तथ्य शामिल है कि, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, समीकरणों की प्रणाली को एक चरणबद्ध (या त्रिकोणीय) रूप की एक समान प्रणाली में घटा दिया जाता है। ऐसी प्रणालियाँ आपको एक निश्चित क्रम में सभी अज्ञात को लगातार खोजने की अनुमति देती हैं।

मान लीजिए कि प्रणाली में (1)
(जो हमेशा संभव है)।

(1)

तथाकथित द्वारा पहले समीकरण को बदले में गुणा करना उपयुक्त संख्या

और गुणन के परिणाम को निकाय के संगत समीकरणों के साथ जोड़ने पर, हमें एक समतुल्य निकाय प्राप्त होता है जिसमें पहले समीकरण को छोड़कर सभी समीकरणों का कोई अज्ञात नहीं होगा एक्स 1

(2)

अब हम सिस्टम (2) के दूसरे समीकरण को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करते हैं, यह मानते हुए कि

,

और इसे निचले वाले में जोड़कर, हम वेरिएबल को खत्म कर देते हैं तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों में से।

इस प्रक्रिया को जारी रखने के बाद
कदम हमें मिलता है:

(3)

यदि कम से कम एक संख्या
शून्य के बराबर नहीं है, तो संगत समानता असंगत है और प्रणाली (1) असंगत है। इसके विपरीत, किसी भी संयुक्त संख्या प्रणाली के लिए
शून्य के बराबर हैं। संख्या सिस्टम मैट्रिक्स (1) की रैंक के अलावा और कुछ नहीं है।

प्रणाली (1) से (3) में संक्रमण को कहा जाता है एक सीधी रेखा में गाऊसी विधि, और (3) से अज्ञात का पता लगाना - पीछे की ओर .

टिप्पणी : स्वयं समीकरणों के साथ नहीं, बल्कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स (1) के साथ परिवर्तन करना अधिक सुविधाजनक है।

उदाहरण. आइए इस प्रणाली का समाधान खोजें

.

आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें:

.

आइए 2,3,4 पहली पंक्तियों में जोड़ें, क्रमशः (-2), (-3), (-2) से गुणा करें:

.

आइए पंक्तियों 2 और 3 को स्वैप करें, फिर परिणामी मैट्रिक्स में पंक्ति 2 को पंक्ति 4 से गुणा करें :

.

पंक्ति 4 पंक्ति 3 को गुणा करके जोड़ें
:

.

जाहिर सी बात है
, इसलिए प्रणाली संगत है। समीकरणों की परिणामी प्रणाली से

हम रिवर्स प्रतिस्थापन द्वारा समाधान ढूंढते हैं:

,
,
,
.

उदाहरण 2सिस्टम समाधान खोजें:

.

यह स्पष्ट है कि प्रणाली असंगत है, क्योंकि
, ए
.

गॉस विधि के लाभ :

Cramer की विधि की तुलना में कम समय लगता है।

स्पष्ट रूप से सिस्टम की अनुकूलता स्थापित करता है और आपको समाधान खोजने की अनुमति देता है।

किसी भी मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने की क्षमता देता है।

रहने दो एम 0 रैखिक समीकरणों के समांगी निकाय (4) के हलों का समुच्चय है।

परिभाषा 6.12.वैक्टर साथ 1 ,साथ 2 , …, पी के साथ, जो रैखिक समीकरणों की एक समांगी प्रणाली के समाधान हैं, कहलाते हैं समाधान का मौलिक सेट(संक्षिप्त एफएनआर) यदि

1) वैक्टर साथ 1 ,साथ 2 , …, पी के साथरैखिक रूप से स्वतंत्र (अर्थात, उनमें से कोई भी दूसरों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है);

2) रैखिक समीकरणों की एक समांगी प्रणाली के किसी अन्य समाधान को समाधान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है साथ 1 ,साथ 2 , …, पी के साथ.

ध्यान दें कि अगर साथ 1 ,साथ 2 , …, पी के साथकुछ f.n.r. है, तो व्यंजक द्वारा क 1× साथ 1 + क 2× साथ 2 + … + केपी× पी के साथपूरे सेट का वर्णन कर सकते हैं एमसिस्टम के लिए 0 समाधान (4), इसलिए इसे कहा जाता है सिस्टम समाधान का सामान्य दृश्य (4).

प्रमेय 6.6।रैखिक समीकरणों की किसी भी अनिश्चित सजातीय प्रणाली में समाधानों का एक मौलिक समूह होता है।

समाधान के मूलभूत सेट को खोजने का तरीका इस प्रकार है:

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें;

निर्माण ( एन – आर) इस प्रणाली के आंशिक समाधान, जबकि मुक्त अज्ञात के मूल्यों को एक पहचान मैट्रिक्स बनाना चाहिए;

में शामिल समाधान के सामान्य रूप को लिखें एम 0 .

उदाहरण 6.5।निम्नलिखित प्रणाली के समाधानों का मूल सेट खोजें:

फेसला. आइए हम इस प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें।

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ इस प्रणाली में पांच अज्ञात हैं ( एन= 5), जिनमें से दो प्रमुख अज्ञात हैं ( आर= 2), तीन मुक्त अज्ञात ( एन – आर), अर्थात्, समाधानों के मूलभूत सेट में तीन समाधान सदिश होते हैं। आइए उनका निर्माण करें। हमारे पास है एक्स 1 और एक्स 3 - मुख्य अज्ञात, एक्स 2 , एक्स 4 , एक्स 5 - मुक्त अज्ञात

मुक्त अज्ञात के मूल्य एक्स 2 , एक्स 4 , एक्स 5 पहचान मैट्रिक्स बनाते हैं इतीसरा आदेश। वह वैक्टर मिल गया साथ 1 ,साथ 2 , साथ 3 फॉर्म एफ.एन.आर. यह प्रणाली। तब इस समांगी निकाय के विलयनों का समुच्चय होगा एम 0 = {क 1× साथ 1 + क 2× साथ 2 + क 3× साथ 3 , क 1 , क 2 , क 3 आर)।

आइए अब रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के गैर-शून्य समाधानों के अस्तित्व के लिए शर्तों का पता लगाएं, दूसरे शब्दों में, समाधानों के एक मौलिक सेट के अस्तित्व की शर्तें।

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली में गैर-शून्य समाधान होते हैं, अर्थात यह अनिश्चित होता है यदि

1) सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या से कम है;

2) रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली में, समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम होती है;

3) यदि रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, और मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है (अर्थात | ए| = 0).

उदाहरण 6.6. पैरामीटर के किस मान पर एरैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली गैर-शून्य समाधान हैं?

फेसला. आइए इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स की रचना करें और इसके सारणिक को खोजें: = = 1×(–1) 1+1 × = – ए- 4. इस मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर होता है जब ए = –4.

जवाब: –4.

7. अंकगणित एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष

बुनियादी अवधारणाओं

पिछले अनुभागों में, हम पहले से ही एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित वास्तविक संख्याओं के एक समूह की अवधारणा का सामना कर चुके हैं। यह एक पंक्ति मैट्रिक्स (या कॉलम मैट्रिक्स) है और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान है एनअनजान। इस जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

परिभाषा 7.1. एन-आयामी अंकगणितीय वेक्टरका क्रमित समुच्चय कहलाता है एनवास्तविक संख्या।

माध्यम ए= (ए 1 , ए 2 ,…, ए एन), जहां एक मैंआर, मैं = 1, 2, …, एनवेक्टर का सामान्य दृश्य है। संख्या एनबुलाया आयामवेक्टर, और संख्याएँ a मैंउसे बुलाया COORDINATES.

उदाहरण के लिए: ए= (1, -8, 7, 4, ) एक पंचविमीय सदिश है।

सब तैयार एन-आयामी वैक्टर को आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है आर नहीं.

परिभाषा 7.2.दो वैक्टर ए= (ए 1 , ए 2 ,…, ए एन) और बी= (बी 1 , बी 2 ,…, बी एन) एक ही आयाम के बराबरयदि और केवल यदि उनके संबंधित निर्देशांक समान हैं, अर्थात a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a एन= बी एन.

परिभाषा 7.3.जोड़दो एन-आयामी वैक्टर ए= (ए 1 , ए 2 ,…, ए एन) और बी= (बी 1 , बी 2 ,…, बी एन) को सदिश कहा जाता है ए + बी= (ए 1 + बी 1, ए 2 + बी 2, …, ए एन+बी एन).

परिभाषा 7.4. कामवास्तविक संख्या कप्रति वेक्टर ए= (ए 1 , ए 2 ,…, ए एन) को सदिश कहा जाता है क× ए = (क×ए 1 , क×ए 2 ,…, क×ए एन)

परिभाषा 7.5.वेक्टर के विषय में= (0, 0, …, 0) कहा जाता है शून्य(या शून्य वेक्टर).

यह जांचना आसान है कि वैक्टर जोड़ने और उन्हें वास्तविक संख्या से गुणा करने की क्रियाओं (संचालन) में निम्नलिखित गुण हैं: ए, बी, सी Î आर नहीं, " क, मैंआर:

1) ए + बी = बी + ए;

2) ए + (बी+ सी) = (ए + बी) + सी;

3) ए + के विषय में = ए;

4) ए+ (–ए) = के विषय में;

5) 1× ए = ए, 1 आर;

6) क×( मैं× ए) = मैं×( क× ए) = (मैं× क)× ए;

7) (क + मैं)× ए = क× ए + मैं× ए;

8) क×( ए + बी) = क× ए + क× बी.

परिभाषा 7.6.गुच्छा आर नहींसदिशों को जोड़ने और उस पर दी गई वास्तविक संख्या से गुणा करने की संक्रियाएँ कहलाती हैं अंकगणित एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष.