अंश, और जिससे इसे विभाजित किया जाता है वह भाजक है।

भिन्न लिखने के लिए पहले उसका अंश लिखिए, फिर इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचिए और रेखा के नीचे हर लिखिए। अंश और हर को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा को भिन्नात्मक दंड कहते हैं। कभी-कभी इसे तिरछा "/" या "∕" के रूप में दर्शाया जाता है। इस मामले में, अंश रेखा के बाईं ओर लिखा जाता है, और हर को दाईं ओर लिखा जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अंश "दो-तिहाई" को 2/3 के रूप में लिखा जाएगा। स्पष्टता के लिए, अंश आमतौर पर पंक्ति के शीर्ष पर लिखा जाता है, और हर नीचे, यानी 2/3 के बजाय, आप पा सकते हैं: ।

भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, पहले एक के अंश को गुणा करें अंशोंदूसरे अंकगणित के लिए। परिणाम को नए के अंश में लिखें अंशों. फिर हरों को भी गुणा करें। नए में अंतिम मान निर्दिष्ट करें अंशों. उदाहरण के लिए, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)।

एक भिन्न को दूसरे से भाग देने के लिए, पहले के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। दूसरे भिन्न (भाजक) के साथ भी ऐसा ही करें। या, सभी चरणों को करने से पहले, पहले भाजक को "ओवर ओवर" करें, यदि यह आपके लिए अधिक सुविधाजनक है: अंश के स्थान पर भाजक होना चाहिए। फिर भाजक के हर को भाजक के नए हर से गुणा करें और अंशों को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)।

स्रोत:

• भिन्नों के लिए बुनियादी कार्य

भिन्नात्मक संख्याएँ आपको किसी मात्रा के सटीक मान को विभिन्न तरीकों से व्यक्त करने की अनुमति देती हैं। भिन्नों के साथ, आप पूर्णांकों के समान गणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। निर्णय लेने का तरीका जानने के लिए अंशों, उनकी कुछ विशेषताओं को याद रखना आवश्यक है। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य भाजक। निष्पादन के बाद कुछ अंकगणितीय कार्यों में परिणाम के भिन्नात्मक भाग में कमी की आवश्यकता होती है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर

अनुदेश

संख्याओं को ध्यान से देखें। यदि भिन्नों में दशमलव और अनियमित हैं, तो पहले दशमलव के साथ क्रिया करना और फिर उन्हें गलत रूप में परिवर्तित करना अधिक सुविधाजनक होता है। क्या आप अनुवाद कर सकते हैं अंशोंइस रूप में शुरू में अंश में दशमलव बिंदु के बाद मान लिखना और हर में 10 लगाना। यदि आवश्यक हो, तो ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक भाजक से विभाजित करके भिन्न को कम करें। वे भिन्न जिनमें पूरा भाग बाहर खड़ा होता है, हर से गुणा करके और परिणाम में अंश जोड़कर गलत रूप की ओर ले जाता है। यह मान नया अंश बन जाएगा अंशों. शुरू में गलत से पूरे हिस्से को निकालने के लिए अंशों, अंश को हर से विभाजित करें। से पूरा परिणाम लिखें अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, हर बन जाता है अंशोंजबकि नहीं बदल रहा है। पूर्णांक भाग वाले भिन्नों के लिए, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए अलग-अलग कार्य करना संभव है। उदाहरण के लिए, 1 2/3 और 2 के योग की गणना की जा सकती है:
- भिन्नों को गलत रूप में परिवर्तित करना:
- 1 2/3 + 2 = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- शब्दों के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का अलग-अलग योग:
- 1 2/3 + 2 = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

विभाजक ":" के माध्यम से उन्हें फिर से लिखें और सामान्य विभाजन जारी रखें।

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंश और हर को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके परिणामी अंश को कम करें, जो इस मामले में सबसे बड़ा संभव है। इस स्थिति में, रेखा के ऊपर और नीचे पूर्णांक संख्याएँ होनी चाहिए।

टिप्पणी

भिन्नों के साथ अंकगणित न करें जिनमें भिन्न हर हों। ऐसी संख्या चुनें कि जब प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाए, परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

मददगार सलाह

भिन्नात्मक संख्याएँ लिखते समय, लाभांश को रेखा के ऊपर लिखा जाता है। इस मात्रा को भिन्न के अंश के रूप में संदर्भित किया जाता है। रेखा के नीचे भिन्न का भाजक या हर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, डेढ़ किलो चावल भिन्न के रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा: 1 आधा किलो चावल। यदि किसी भिन्न का हर 10 हो, तो उसे दशमलव भिन्न कहा जाता है। इस मामले में, अंश (लाभांश) को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना की सुविधा के लिए, इस तरह के अंश को हमेशा गलत रूप में लिखा जा सकता है: 1 2/10 किलो आलू। सरल बनाने के लिए, आप अंश और हर के मानों को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके कम कर सकते हैं। इस उदाहरण में, 2 से भाग देना संभव है। परिणाम 1 1/5 किलो आलू है। सुनिश्चित करें कि आप जिन संख्याओं के साथ अंकगणित करने जा रहे हैं, वे उसी रूप में हैं।

अंशों के साथ क्रियाएँ। इस लेख में, हम उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे, स्पष्टीकरण के साथ सब कुछ विस्तृत है। हम साधारण भिन्नों पर विचार करेंगे। भविष्य में, हम दशमलव का विश्लेषण करेंगे। मेरा सुझाव है कि इसे पूरा देखें और क्रमिक रूप से अध्ययन करें।

1. भिन्नों का योग, भिन्नों का अंतर।

नियम: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने पर, परिणाम एक भिन्न होता है - जिसका हर समान रहता है, और उसका अंश भिन्नों के अंशों के योग के बराबर होगा।

नियम: समान हर के साथ भिन्नों के अंतर की गणना करते समय, हमें एक भिन्न मिलता है - हर समान रहता है, और दूसरे का अंश पहले अंश के अंश से घटाया जाता है।

समान हर वाले अंशों के योग और अंतर का औपचारिक संकेतन:

उदाहरण (1):

यह स्पष्ट है कि जब साधारण भिन्न दिए जाते हैं, तो सब कुछ सरल होता है, लेकिन यदि वे मिश्रित हों? कुछ भी जटिल नहीं...

विकल्प 1- आप उन्हें सामान्य में बदल सकते हैं और फिर उनकी गणना कर सकते हैं।

विकल्प 2- आप पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के साथ अलग से "काम" कर सकते हैं।

उदाहरण (2):

अधिक:

और यदि दो मिश्रित भिन्नों का अंतर दिया गया हो और पहली भिन्न का अंश दूसरे के अंश से कम हो? इसे दो तरह से भी किया जा सकता है।

उदाहरण (3):

* साधारण अंशों में अनुवादित, अंतर की गणना की, परिणामी अनुचित अंश को मिश्रित अंश में बदल दिया।

* पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों में विभाजित, तीन मिला, फिर 3 को 2 और 1 के योग के रूप में प्रस्तुत किया, इकाई को 11/11 के रूप में प्रस्तुत किया, फिर 11/11 और 7/11 के बीच का अंतर पाया और परिणाम की गणना की। उपरोक्त परिवर्तनों का अर्थ एक इकाई लेना (चुनना) है और इसे एक अंश के रूप में प्रस्तुत करना है जिसकी हमें आवश्यकता है, फिर इस अंश से हम पहले से ही दूसरे को घटा सकते हैं।

एक और उदाहरण:

निष्कर्ष: एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है - समान भाजक के साथ मिश्रित अंशों के योग (अंतर) की गणना करने के लिए, उन्हें हमेशा अनुचित में परिवर्तित किया जा सकता है, फिर आवश्यक कार्रवाई करें। उसके बाद, यदि परिणामस्वरूप हमें कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम उसे मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

ऊपर, हमने भिन्नों वाले उदाहरणों को देखा जिनमें समान भाजक हैं। क्या होगा यदि भाजक भिन्न होते हैं? इस मामले में, अंशों को एक ही हर में घटाया जाता है और निर्दिष्ट क्रिया की जाती है। भिन्न को बदलने (रूपांतरित) करने के लिए भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग किया जाता है।

सरल उदाहरणों पर विचार करें:

इन उदाहरणों में, हम तुरंत देखते हैं कि समान हर प्राप्त करने के लिए भिन्नों में से एक को कैसे परिवर्तित किया जा सकता है।

यदि हम भिन्नों को एक हर में कम करने के तरीके निर्दिष्ट करते हैं, तो इसे कहा जाएगा विधि एक.

यही है, अंश का "मूल्यांकन" करते समय, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या ऐसा दृष्टिकोण काम करेगा - हम जांचते हैं कि क्या बड़ा हर छोटे से विभाज्य है। और अगर इसे विभाजित किया जाता है, तो हम परिवर्तन करते हैं - हम अंश और हर को गुणा करते हैं ताकि दोनों अंशों के हर बराबर हो जाएं।

अब इन उदाहरणों को देखें:

यह तरीका उन पर लागू नहीं होता। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के अन्य तरीके हैं, उन पर विचार करें।

विधि सेकंड.

पहली भिन्न के अंश और हर को दूसरे के हर से गुणा करें, और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले के हर से गुणा करें:

*वास्तव में, हम भिन्नों को उस रूप में लाते हैं जब हर बराबर हो जाते हैं। अगला, हम समान हर के साथ डरपोक जोड़ने के नियम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण:

*इस विधि को सार्वभौमिक कहा जा सकता है, और यह हमेशा काम करती है। केवल नकारात्मक यह है कि गणना के बाद, एक अंश निकल सकता है जिसे और कम करने की आवश्यकता होगी।

एक उदाहरण पर विचार करें:

यह देखा जा सकता है कि अंश और हर 5 से विभाज्य हैं:

विधि तीसरा।

भाजक का अल्पतम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए। यह सामान्य भाजक होगा। यह संख्या क्या है? यह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

देखिए, यहाँ दो संख्याएँ हैं: 3 और 4, ऐसी कई संख्याएँ हैं जो उनसे विभाज्य हैं - ये 12, 24, 36, ... इनमें से सबसे छोटी संख्या 12 है। या 6 और 15, 30, 60, 90 हैं उनके द्वारा विभाज्य .... कम से कम 30. प्रश्न - इस कम से कम सामान्य गुणक का निर्धारण कैसे करें?

एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म है, लेकिन अक्सर यह गणना के बिना तुरंत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों (3 और 4, 6 और 15) के अनुसार, किसी एल्गोरिथ्म की आवश्यकता नहीं है, हमने बड़ी संख्याएँ (4 और 15) लीं, उन्हें दोगुना किया और देखा कि वे दूसरी संख्या से विभाज्य हैं, लेकिन संख्याओं के जोड़े 51 और 119 जैसे अन्य हो सकते हैं।

कलन विधि। अनेक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

- प्रत्येक संख्या को सरल कारकों में विघटित करें

- उनमें से BIGGER का अपघटन लिखिए

- इसे अन्य संख्याओं के गुम गुणनखंडों से गुणा करें

उदाहरणों पर विचार करें:

50 और 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, एक पाँच लुप्त है

=> एलसीएम(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 और 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, दो और तीन लुप्त हैं

=> एलसीएम (48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* दो अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर होता है

प्रश्न! और कम से कम सामान्य गुणक को खोजना क्यों उपयोगी है, क्योंकि आप दूसरी विधि का उपयोग कर सकते हैं और परिणामी अंश को कम कर सकते हैं? हाँ, आप कर सकते हैं, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। देखें कि 48 और 72 की संख्या के लिए हर क्या होगा यदि आप उन्हें केवल 48∙72 = 3456 से गुणा करते हैं। सहमत हैं कि छोटी संख्याओं के साथ काम करना अधिक सुखद है।

उदाहरणों पर विचार करें:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, एक ट्रिपल गायब है

=> एलसीएम(51,119) = 3∙7∙17

और अब हम पहली विधि लागू करते हैं:

* गणनाओं में अंतर देखें, पहले मामले में उनमें से एक न्यूनतम है, और दूसरे में आपको कागज के एक टुकड़े पर अलग से काम करने की आवश्यकता है, और यहां तक ​​कि जो अंश आपको मिला है उसे भी कम करने की आवश्यकता है। एलसीएम खोजने से काम काफी सरल हो जाता है।

और ज्यादा उदाहरण:

* दूसरे उदाहरण में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि सबसे छोटी संख्या जो 40 और 60 से विभाज्य है, 120 है।

कुल! सामान्य गणना एल्गोरिथ्म!

- यदि कोई पूर्णांक भाग है, तो हम साधारण अंशों में भिन्न लाते हैं।

- हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं (पहले हम यह देखने के लिए देखते हैं कि क्या एक भाजक दूसरे से विभाज्य है, यदि यह विभाज्य है, तो हम इस भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं; यदि यह विभाज्य नहीं है, तो हम इसका उपयोग करके कार्य करते हैं ऊपर बताए गए अन्य तरीके)।

- समान भाजक के साथ अंश प्राप्त करने के बाद, हम क्रिया (जोड़, घटाव) करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो हम परिणाम कम करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो पूरे भाग का चयन करें।

2. भिन्नों का गुणनफल।

नियम सरल है। भिन्नों को गुणा करते समय, उनके अंश और हर को गुणा किया जाता है:

उदाहरण:

काम। 13 टन सब्जियां बेस पर लाई गईं। आलू सभी आयातित सब्जियों का बनता है। कितने किलोग्राम आलू को आधार पर लाया गया?

चलिए काम खत्म करते हैं।

*पहले मैंने आपसे उत्पाद के माध्यम से अंश की मुख्य संपत्ति का औपचारिक विवरण देने का वादा किया था, कृपया:

3. भिन्नों का विभाजन।

भिन्नों का विभाजन उनके गुणन तक कम हो जाता है। यहां यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि वह अंश जो भाजक है (जिससे विभाजित होता है) को पलट दिया जाता है और क्रिया गुणन में बदल जाती है:

इस क्रिया को तथाकथित चार-मंजिला अंश के रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि विभाजन स्वयं ":" को भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है:

उदाहरण:

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

एक समीकरण एक समानता है जिसमें एक अक्षर होता है जिसका मूल्य पाया जाना है।

समीकरणों में, अज्ञात को आमतौर पर एक लोअरकेस लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले अक्षर "x" [x] और "y" [y] हैं।

समीकरण का मूल- यह उस अक्षर का मान है, जिस पर समीकरण से सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है।

प्रश्न हल करें- इसका अर्थ है इसकी सभी जड़ों को खोजना या यह सुनिश्चित करना कि कोई जड़ें नहीं हैं।

समीकरण को हल करने के बाद, हम हमेशा उत्तर के बाद चेक लिखते हैं।

माता-पिता के लिए सूचना

प्रिय माता-पिता, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि प्राथमिक विद्यालय और 5 वीं कक्षा में, बच्चे "नकारात्मक संख्या" विषय को नहीं जानते हैं।

इसलिए, उन्हें केवल जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना चाहिए। कक्षा 5 के समीकरणों को हल करने की विधियाँ नीचे दी गई हैं।

संकेतों के परिवर्तन के साथ समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में संख्याओं और अक्षरों को स्थानांतरित करके समीकरणों के समाधान की व्याख्या करने का प्रयास न करें।

आप "अंकगणित के नियम" पाठ में जोड़, घटाव, गुणा और भाग से संबंधित अवधारणाओं पर अपने ज्ञान को ताज़ा कर सकते हैं।

जोड़ और घटाव के समीकरणों को हल करना

अज्ञात को कैसे खोजें
अवधि

अज्ञात को कैसे खोजें
वियोज्य

अज्ञात को कैसे खोजें
वियोजक

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर घटाना आवश्यक है।

एक्स + 9 = 15
एक्स = 15 - 9
एक्स = 6
इंतिहान

एक्स - 14 = 2
एक्स = 14 + 2
एक्स = 16
इंतिहान

16 − 2 = 14
14 = 14

5 - एक्स = 3
एक्स = 5 - 3
एक्स = 2
इंतिहान

गुणा और भाग के समीकरणों को हल करना

अज्ञात को कैसे खोजें
कारक

अज्ञात को कैसे खोजें
लाभांश

अज्ञात को कैसे खोजें
विभक्त

अज्ञात कारक को खोजने के लिए, उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित किया जाना चाहिए।

अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।

अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, भाज्य को भागफल से भाग दें।

वाई 4 = 12
वाई=12:4
वाई = 3
इंतिहान

वाई:7=2
वाई = 2 7
वाई = 14
इंतिहान

8:y=4
वाई=8:4
वाई = 2
इंतिहान

एक समीकरण एक समीकरण होता है जिसमें वह अक्षर होता है जिसका चिन्ह खोजना होता है। एक समीकरण का हल अक्षर मानों का समुच्चय है जो समीकरण को एक वास्तविक समानता में बदल देता है:

याद रखें कि हल करने के लिए समीकरणअज्ञात के साथ शब्दों को समानता के एक हिस्से में स्थानांतरित करना आवश्यक है, और संख्यात्मक शर्तों को दूसरे में स्थानांतरित करना, समान लाना और निम्नलिखित समानता प्राप्त करना आवश्यक है:

अंतिम समानता से, हम अज्ञात को नियम द्वारा निर्धारित करते हैं: "कारकों में से एक दूसरे कारक से विभाजित भागफल के बराबर है।"

चूँकि परिमेय संख्याओं a और b में समान और भिन्न चिह्न हो सकते हैं, अज्ञात का चिह्न परिमेय संख्याओं को विभाजित करने के नियमों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया

कोष्ठक खोलकर और दूसरे चरण (गुणा और भाग) की क्रियाओं को निष्पादित करके रैखिक समीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए।

अज्ञात को समान चिह्न के एक तरफ और संख्याओं को समान चिह्न के दूसरी तरफ ले जाएं, दी गई समानता के समान हो,

समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान लाएँ, रूप की समानता प्राप्त करें कुल्हाड़ी = बी.

समीकरण की जड़ की गणना करें (अज्ञात खोजें एक्ससमानता से एक्स = बी : ए),

दिए गए समीकरण में अज्ञात को प्रतिस्थापित करके परीक्षण करें।

यदि हमें संख्यात्मक समानता में एक पहचान मिलती है, तो समीकरण को सही ढंग से हल किया जाता है।

समीकरणों को हल करने के विशेष मामले

1. यदि एक समीकरण 0 के बराबर उत्पाद द्वारा दिया जाता है, फिर इसे हल करने के लिए हम गुणन की संपत्ति का उपयोग करते हैं: "उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से एक या दोनों कारक शून्य के बराबर हैं।"

27 (एक्स - 3) = 0
27 0 के बराबर नहीं है, इसलिए एक्स - 3 = 0

दूसरे उदाहरण में समीकरण के दो हल हैं, क्योंकि
यह दूसरी डिग्री का समीकरण है:

यदि समीकरण के गुणांक साधारण भिन्न हैं, तो सबसे पहले आपको हर से छुटकारा पाना होगा। इसके लिए:

एक आम भाजक खोजें;

समीकरण के प्रत्येक पद के लिए अतिरिक्त कारक निर्धारित करें;

भिन्नों और पूर्णांकों के अंशों को अतिरिक्त कारकों से गुणा करें और हर के बिना समीकरण के सभी पदों को लिख लें (सामान्य हर को छोड़ दिया जा सकता है);

अज्ञात के साथ पदों को समीकरण के एक भाग में ले जाएं, और संख्यात्मक शब्दों को समान चिह्न से दूसरे में स्थानांतरित करें, एक समान समानता प्राप्त करें;

समान शर्तें लाओ;

समीकरणों के मूल गुण

समीकरण के किसी भी भाग में, आप समान पद ला सकते हैं या कोष्ठक खोल सकते हैं।

समीकरण के किसी भी पद को इसके चिह्न को विपरीत में बदलकर समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है।

समीकरण के दोनों पक्षों को 0 को छोड़कर एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है।

उपरोक्त उदाहरण में, समीकरण को हल करने के लिए इसके सभी गुणों का उपयोग किया गया था।

भिन्न में अज्ञात के साथ समीकरण को कैसे हल करें

कभी-कभी रैखिक समीकरण तब रूप लेते हैं जब अनजानएक या अधिक भिन्नों के अंश में प्रकट होता है। जैसे नीचे समीकरण में।

ऐसे मामलों में, ऐसे समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जा सकता है।

मैं समाधान का रास्ता
एक समीकरण को एक अनुपात में कम करना

अनुपात विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, आपको निम्नलिखित चरणों का पालन करना चाहिए:

सभी भिन्नों को एक समान हर में लाएँ और उन्हें बीजीय भिन्नों के रूप में जोड़ें (केवल एक भिन्न बाईं और दाईं ओर रहनी चाहिए);

अनुपात के नियम का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

तो, हमारे समीकरण पर वापस। बाईं ओर, हमारे पास पहले से ही केवल एक अंश है, इसलिए इसमें किसी परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है।

हम समीकरण के दाईं ओर काम करेंगे। समीकरण के दाएँ पक्ष को सरल कीजिए ताकि केवल एक भिन्न रह जाए। ऐसा करने के लिए, बीजीय भिन्न के साथ संख्या जोड़ने के नियमों को याद करें।

अब हम अनुपात के नियम का उपयोग करते हैं और समीकरण को अंत तक हल करते हैं।

समाधान की II विधि
भिन्नों के बिना एक रैखिक समीकरण में कमी

ऊपर दिए गए समीकरण पर फिर से विचार करें और इसे दूसरे तरीके से हल करें।

हम देखते हैं कि समीकरण में दो भिन्न हैं "

भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें। भिन्नों के साथ समीकरणों का घातीय समाधान।

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाआइए उदाहरण देखें। उदाहरण सरल और दृष्टांत हैं। उनकी मदद से आप सबसे ज्यादा समझने योग्य तरीके से समझ सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आपको एक साधारण समीकरण x/b + c = d को हल करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि भाजक में केवल संख्याएँ होती हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को b से गुणा करके हल किया जाता है, फिर समीकरण x = b*(d - c) का रूप लेता है, अर्थात। बाईं ओर भिन्न का हर घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक समीकरण को कैसे हल करें:
एक्स/5+4=9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं।
एक्स+20=45

एक और उदाहरण जहां अज्ञात हर में है:

इस प्रकार के समीकरणों को भिन्नात्मक परिमेय या केवल भिन्नात्मक कहा जाता है।

हम भिन्नों से छुटकारा पाकर एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करेंगे, जिसके बाद यह समीकरण अक्सर एक रैखिक या द्विघात समीकरण में बदल जाता है, जिसे सामान्य तरीके से हल किया जाता है। आपको केवल निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

• एक चर का मान जो हर को 0 में बदल देता है वह रूट नहीं हो सकता है;
• आप समीकरण को व्यंजक =0 से विभाजित या गुणा नहीं कर सकते।

यह वह जगह है जहां अनुमेय मूल्यों (ODZ) के क्षेत्र के रूप में ऐसी अवधारणा लागू होती है - ये समीकरण की जड़ों के मूल्य हैं जिनके लिए समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करते हुए, जड़ों को ढूंढना आवश्यक है, और फिर ओडीजेड के अनुपालन के लिए उनकी जांच करें। वे जड़ें जो हमारे डीएचएस के अनुरूप नहीं हैं, उन्हें उत्तर से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, आपको एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपरोक्त नियम के आधार पर, x = 0 नहीं हो सकता, अर्थात। इस मामले में ODZ: x - शून्य के अलावा कोई भी मान।

हम समीकरण के सभी पदों को x . से गुणा करके हर से छुटकारा पाते हैं

और सामान्य समीकरण हल करें

5x - 2x = 1
3x = 1
एक्स = 1/3

आइए समीकरण को और अधिक जटिल हल करें:

ODZ भी यहाँ मौजूद है: x -2।

इस समीकरण को हल करते हुए, हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित नहीं करेंगे और भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएंगे। हम समीकरण के दोनों पक्षों को तुरंत एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो एक ही बार में सभी हरों को कम कर देगा।

हर को कम करने के लिए, आपको बाईं ओर x + 2 और दाईं ओर 2 से गुणा करना होगा। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (x + 2) से गुणा किया जाना चाहिए:

यह भिन्नों का सबसे सामान्य गुणन है, जिसकी चर्चा हम ऊपर कर चुके हैं।

हम एक ही समीकरण लिखते हैं, लेकिन थोड़े अलग तरीके से।

बाईं ओर (x + 2) और दाईं ओर 2 से घटाया जाता है। कमी के बाद, हमें सामान्य रैखिक समीकरण मिलता है:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, जो हमारे ODZ . से मेल खाती है

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाउतना मुश्किल नहीं जितना यह लग सकता है। इस लेख में हमने इसे उदाहरणों के साथ दिखाया है। अगर आपको कोई कठिनाई हो रही है भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।

भिन्नों वाले समीकरणों को हल करना ग्रेड 5

भिन्नों के साथ समीकरणों का हल। भिन्नों के साथ समस्याओं को हल करना।

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"अंश ग्रेड 5 के साथ समीकरणों को हल करना"

- समान हर के साथ भिन्न जोड़ना।

- समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को वही छोड़ दें।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

समान हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए, सबट्रेंड के अंश को मिन्यूएंड के अंश से घटाएं, और हर को वही छोड़ दें।

समीकरणों को हल करते समय, समीकरणों, जोड़ और घटाव के गुणों को हल करने के लिए नियमों का उपयोग करना आवश्यक है।

गुणों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

नियमों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

समीकरण के बाईं ओर का व्यंजक योग है।

पद + पद = योग।

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

मिन्यूएंड - सबट्रेंड = अंतर

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर घटाएं।

समीकरण के बाईं ओर का व्यंजक अंतर है।

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

समीकरणों को हल करने के लिए नियमों का उपयोग करना।

समीकरण के बाईं ओर, व्यंजक योग है।

हर में एक चर वाले समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जा सकता है:

एक आम भाजक के लिए अंशों को कम करना

अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करना

चुनी गई विधि के बावजूद, समीकरण की जड़ों को खोजने के बाद, पाए गए मानों में से स्वीकार्य मानों को चुनना आवश्यक है, अर्थात वे जो हर को $0$ में नहीं बदलते हैं।

1 रास्ता। भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना।

उदाहरण 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

फेसला:

1. भिन्न को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

इसे सही ढंग से करने के लिए, हमें याद है कि जब तत्वों को समीकरण के दूसरे भाग में ले जाया जाता है, तो व्यंजकों के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। अत: यदि भिन्न के आगे दायीं ओर "+" का चिन्ह हो तो बायीं ओर उसके सामने "-" का चिन्ह होगा।

2. अब हम देखते हैं कि भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है कि अंतर को पूरा करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना आवश्यक है। आम भाजक मूल भिन्नों के हरों में बहुपदों का गुणनफल होगा: $(2x-1)(x+3)$

एक समान व्यंजक प्राप्त करने के लिए, पहले भिन्न के अंश और हर को बहुपद $(x+3)$ से गुणा किया जाना चाहिए, और दूसरे को बहुपद $(2x-1)$ से गुणा किया जाना चाहिए।

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

आइए पहले अंश के अंश में परिवर्तन करें - हम बहुपदों को गुणा करेंगे। याद रखें कि इसके लिए पहले बहुपद के पहले पद को गुणा करना होगा, दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा, फिर पहले बहुपद के दूसरे पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा।

\[\बाएं(2x+3\दाएं)\बाएं(x+3\दाएं)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

हम परिणामी व्यंजक में समान पद प्रस्तुत करते हैं

\[\बाएं(2x+3\दाएं)\बाएं(x+3\दाएं)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

दूसरे भिन्न के अंश में एक समान परिवर्तन करें - हम बहुपदों को गुणा करेंगे

$\बाएं(x-5\दाएं)\बाएं(2x-1\दाएं)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

तब समीकरण रूप लेगा:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

अब एक ही हर के साथ भिन्न, ताकि आप घटा सकें। याद रखें कि पहली भिन्न के अंश से एक ही हर के अंशों को घटाते समय, दूसरे भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक होता है, जिससे हर को समान छोड़ दिया जाता है।

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

आइए एक्सप्रेशन को अंश में बदलें। "-" चिह्न से पहले कोष्ठक को खोलने के लिए, कोष्ठक में पदों के सामने सभी चिह्नों को उलट देना चाहिए

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

हम समान शब्दों को प्रस्तुत करते हैं

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

तब भिन्न रूप ले लेगा

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. एक भिन्न $0$ के बराबर होती है यदि उसका अंश 0 है। इसलिए, हम भिन्न के अंश को $0$ के बराबर करते हैं।

\[(\rm 20x+4=0)\]

आइए रैखिक समीकरण को हल करें:

4. आइए जड़ों का नमूना लें। इसका मतलब यह है कि यह जांचना आवश्यक है कि मूल भिन्नों के हर मूल के मिलने पर $0$ में बदल जाते हैं या नहीं।

हमने शर्त रखी है कि हर $0$ . के बराबर नहीं है

x$\ne 0.5$ x$\ne -3$

इसका मतलब है कि $-3$ और $0.5$ को छोड़कर, चर के सभी मानों की अनुमति है।

हमें जो रूट मिला है वह एक वैध मान है, इसलिए इसे सुरक्षित रूप से समीकरण की जड़ माना जा सकता है। यदि पाया गया मूल मान्य मान नहीं था, तो ऐसी जड़ बाहरी होगी और निश्चित रूप से, उत्तर में शामिल नहीं की जाएगी।

जवाब:$-0,2.$

अब हम एक समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम लिख सकते हैं जिसमें हर में एक चर शामिल है

एक समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म जिसमें हर में एक चर होता है

समीकरण के दाईं ओर से सभी तत्वों को बाईं ओर ले जाएं। एक समान समीकरण प्राप्त करने के लिए, दाईं ओर के भावों के सामने के सभी चिह्नों को विपरीत में बदलना आवश्यक है

यदि बाईं ओर हमें भिन्न हर के साथ एक व्यंजक मिलता है, तो हम भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करके उन्हें एक सामान्य व्यंजक में लाते हैं। समान परिवर्तनों का उपयोग करके परिवर्तन करें और $0$ के बराबर अंतिम अंश प्राप्त करें।

अंश को $0$ के बराबर करें और परिणामी समीकरण की जड़ें खोजें।

आइए जड़ों का नमूना लें, यानी। वैध चर मान खोजें जो हर को $0$ में नहीं बदलते हैं।

2 रास्ते। अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करना

किसी अनुपात का मुख्य गुण यह है कि अनुपात के चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण 2

हम इस संपत्ति का उपयोग इस कार्य को हल करने के लिए करते हैं

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. आइए अनुपात के चरम और मध्य सदस्यों के गुणनफल को खोजें और समान करें।

$\बाएं(2x+3\दाएं)\cdot(\ x+3)=\बाएं(x-5\दाएं)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम मूल के मूल ज्ञात करते हैं

2. आइए एक चर के स्वीकार्य मान ज्ञात करें।

पिछले समाधान (पहला तरीका) से हमने पहले ही पाया है कि $-3$ और $0.5$ को छोड़कर किसी भी मान की अनुमति है।

फिर, यह स्थापित करने के बाद कि पाया गया रूट एक वैध मान है, हमने पाया कि $-0.2$ रूट होगा।

लेख में, हम दिखाएंगे भिन्नों को कैसे हल करेंसरल स्पष्ट उदाहरणों के साथ। आइए समझते हैं भिन्न क्या है और विचार करें भिन्नों को हल करना!

संकल्पना अंशोंमाध्यमिक विद्यालय की छठी कक्षा से शुरू होने वाले गणित के पाठ्यक्रम में पेश किया जाता है।

भिन्न ऐसे दिखते हैं: ±X/Y, जहां Y हर है, यह बताता है कि पूरे को कितने भागों में विभाजित किया गया था, और X अंश है, यह बताता है कि ऐसे कितने भाग लिए गए थे। स्पष्टता के लिए, आइए केक के साथ एक उदाहरण लें:

पहले मामले में, केक को समान रूप से काटा गया और एक आधा लिया गया, अर्थात। 1/2. दूसरे मामले में, केक को 7 भागों में काटा गया, जिसमें से 4 भाग लिए गए, अर्थात। 4/7.

यदि एक संख्या को दूसरी संख्या से भाग देने वाला भाग पूर्ण संख्या न हो तो उसे भिन्न के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 4:2 \u003d 2 एक पूर्णांक देता है, लेकिन 4:7 पूरी तरह से विभाज्य नहीं है, इसलिए इस व्यंजक को भिन्न 4/7 के रूप में लिखा जाता है।

दूसरे शब्दों में अंशएक अभिव्यक्ति है जो दो संख्याओं या भावों के विभाजन को दर्शाती है, और जो एक स्लैश के साथ लिखी जाती है।

यदि अंश हर से छोटा है, तो भिन्न सही है, यदि इसके विपरीत, तो यह गलत है। एक अंश में एक पूर्णांक हो सकता है।

उदाहरण के लिए, 5 पूर्ण 3/4।

इस प्रविष्टि का अर्थ है कि पूर्ण 6 प्राप्त करने के लिए चार का एक भाग पर्याप्त नहीं है।

अगर आप याद करना चाहते हैं छठी कक्षा के लिए भिन्नों को कैसे हल करेंआपको यह समझने की जरूरत है भिन्नों को हल करनामूल रूप से कुछ सरल चीजों को समझने के लिए नीचे आता है।

• भिन्न मूलतः भिन्न के लिए व्यंजक है। अर्थात्, किसी दिए गए मान का कौन सा भाग एक पूर्ण से है, इसका संख्यात्मक व्यंजक। उदाहरण के लिए, भिन्न 3/5 यह व्यक्त करता है कि यदि हम किसी पूर्ण वस्तु को 5 भागों में विभाजित करते हैं और इस पूर्ण के भागों या भागों की संख्या तीन होती है।
• एक भिन्न 1 से कम हो सकती है, उदाहरण के लिए 1/2 (या अनिवार्य रूप से आधा), तो यह सही है। यदि भिन्न 1 से बड़ा है, उदाहरण के लिए 3/2 (तीन आधा या डेढ़), तो यह गलत है और समाधान को सरल बनाने के लिए, हमारे लिए पूरे भाग 3/2 = 1 पूर्ण 1 का चयन करना बेहतर है। / 2।
• भिन्न 1, 3, 10 और यहां तक ​​कि 100 के समान संख्याएँ हैं, केवल संख्याएँ पूर्ण नहीं हैं, बल्कि भिन्न हैं। उनके साथ, आप संख्याओं के समान सभी कार्य कर सकते हैं। भिन्नों को गिनना अधिक कठिन नहीं है, और आगे हम इसे विशिष्ट उदाहरणों के साथ दिखाएंगे।

भिन्नों को कैसे हल करें। उदाहरण।

भिन्नों पर विभिन्न प्रकार की अंकगणितीय संक्रियाएँ लागू होती हैं।

एक सामान्य भाजक के लिए एक अंश लाना

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों 3/4 और 4/5 की तुलना करने की आवश्यकता है।

समस्या को हल करने के लिए, हम सबसे पहले सबसे छोटा आम भाजक पाते हैं, अर्थात। वह छोटी से छोटी संख्या जो भिन्नों के हर हर द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य हो

कम से कम उभयनिष्ठ हर (4.5) = 20

फिर दोनों भिन्नों के हर को सबसे कम सामान्य हर में घटाया जाता है

उत्तर: 15/20

भिन्नों का जोड़ और घटाव

यदि दो भिन्नों के योग की गणना करना आवश्यक है, तो उन्हें पहले एक सामान्य हर में लाया जाता है, फिर अंश जोड़े जाते हैं, जबकि हर अपरिवर्तित रहता है। भिन्नों के अंतर को इसी तरह से माना जाता है, अंतर केवल इतना है कि अंशों को घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, आपको 1/2 और 1/3 . भिन्नों का योग ज्ञात करना होगा

अब भिन्नों 1/2 और 1/4 . के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए

भिन्नों का गुणन और विभाजन

यहाँ भिन्नों का हल सरल है, यहाँ सब कुछ काफी सरल है:

• गुणन - भिन्नों के अंश और हर को आपस में गुणा किया जाता है;
• भाग - पहले हमें भिन्न मिलता है, दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम, अर्थात्। इसके अंश और हर को स्वैप करें, जिसके बाद हम परिणामी भिन्नों को गुणा करते हैं।

उदाहरण के लिए:

इस बारे में भिन्नों को कैसे हल करें, सब। यदि आपके पास . के बारे में कोई प्रश्न हैं भिन्नों को हल करना, कुछ स्पष्ट नहीं है, तो टिप्पणियों में लिखें और हम आपको उत्तर देंगे।

यदि आप एक शिक्षक हैं, तो प्राथमिक विद्यालय के लिए एक प्रस्तुति डाउनलोड करना संभव है (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) जो आपके काम आएगी।