ज्यामिति एक बहुत ही बहुआयामी विज्ञान है। यह तर्क, कल्पना और बुद्धि विकसित करता है। बेशक, इसकी जटिलता और बड़ी संख्या में प्रमेयों और स्वयंसिद्धों के कारण, स्कूली बच्चे हमेशा इसे पसंद नहीं करते हैं। इसके अलावा, आम तौर पर स्वीकृत मानकों और नियमों का उपयोग करके अपने निष्कर्षों को लगातार साबित करने की आवश्यकता है।

आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोण ज्यामिति का एक अभिन्न अंग हैं। निश्चित रूप से कई स्कूली बच्चे उन्हें इस कारण से प्यार करते हैं कि उनके गुण स्पष्ट और साबित करने में आसान हैं।

कोनों का गठन

कोई भी कोण दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन या एक बिंदु से दो किरणें खींचकर बनता है। उन्हें या तो एक अक्षर या तीन कहा जा सकता है, जो क्रमिक रूप से कोने के निर्माण के बिंदुओं को निर्दिष्ट करते हैं।

कोणों को डिग्री में मापा जाता है और (उनके मूल्य के आधार पर) अलग तरीके से कहा जा सकता है। तो, एक समकोण, न्यूनकोण, अधिक कोण और तैनात है। प्रत्येक नाम एक निश्चित डिग्री माप या उसके अंतराल से मेल खाता है।

न्यून कोण वह कोण होता है जिसका माप 90 डिग्री से अधिक नहीं होता है।

अधिक कोण 90 डिग्री से अधिक का कोण होता है।

एक कोण को समकोण कहा जाता है जब उसका माप 90 होता है।

उस स्थिति में जब यह एक सतत सीधी रेखा से बनता है, और इसकी डिग्री माप 180 है, इसे तैनात कहा जाता है।

ऐसे कोण जिनका एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है, जिसका दूसरा पक्ष एक दूसरे को जारी रखता है, आसन्न कहलाते हैं। वे या तो तेज या कुंद हो सकते हैं। रेखा का प्रतिच्छेदन आसन्न कोण बनाता है। उनके गुण इस प्रकार हैं:

1. ऐसे कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होगा (इसे साबित करने वाला एक प्रमेय है)। इसलिए, उनमें से एक की गणना आसानी से की जा सकती है यदि दूसरा ज्ञात हो।
2. पहले बिंदु से यह निष्कर्ष निकलता है कि आसन्न कोण दो अधिक या दो न्यून कोणों से नहीं बन सकते हैं।

इन गुणों के लिए धन्यवाद, कोई हमेशा किसी अन्य कोण के मान या कम से कम उनके बीच के अनुपात को देखते हुए कोण के डिग्री माप की गणना कर सकता है।

लंब कोण

कोण जिनकी भुजाएँ एक-दूसरे की निरंतरता होती हैं, लंबवत कहलाती हैं। उनकी कोई भी किस्म ऐसी जोड़ी के रूप में कार्य कर सकती है। लंबवत कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं।

वे तब बनते हैं जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। उनके साथ, आसन्न कोने हमेशा मौजूद होते हैं। एक कोण एक के लिए आसन्न और दूसरे के लिए लंबवत दोनों हो सकता है।

एक मनमानी रेखा को पार करते समय, कई और प्रकार के कोणों पर भी विचार किया जाता है। ऐसी रेखा को एक छेदक कहा जाता है, और यह संबंधित, एकतरफा और क्रॉस-झूठ वाले कोण बनाती है। वे एक दूसरे के बराबर हैं। उन्हें उन गुणों के प्रकाश में देखा जा सकता है जो लंबवत और आसन्न कोण हैं।

इस प्रकार, कोनों का विषय काफी सरल और समझने योग्य लगता है। उनके सभी गुणों को याद रखना और सिद्ध करना आसान है। समस्याओं को हल करना तब तक मुश्किल नहीं है जब तक कि कोण एक संख्यात्मक मान के अनुरूप हों। पहले से ही, जब पाप और कारण का अध्ययन शुरू होता है, तो आपको कई जटिल सूत्रों, उनके निष्कर्षों और परिणामों को याद रखना होगा। तब तक, आप केवल आसान पहेलियों का आनंद ले सकते हैं जिसमें आपको आसन्न कोनों को खोजने की आवश्यकता होती है।

अध्याय 1।

बुनियादी अवधारणाओं।

§ग्यारह। आसन्न और लंबवत कोण।

1. आसन्न कोने।

यदि हम किसी कोने की भुजा को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें दो कोने प्राप्त होंगे (चित्र 72): / एक सूरज और / SVD, जिसमें एक भुजा BC उभयनिष्ठ है, और अन्य दो AB और BD एक सीधी रेखा बनाते हैं।

दो कोण जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और अन्य दो एक सीधी रेखा बनाते हैं, आसन्न कोण कहलाते हैं।

आसन्न कोण इस प्रकार भी प्राप्त किए जा सकते हैं: यदि हम एक सीधी रेखा पर किसी बिंदु से एक किरण खींचते हैं (दी गई सीधी रेखा पर स्थित नहीं है), तो हमें आसन्न कोण मिलते हैं।
उदाहरण के लिए, / एडीएफ और / FDВ - आसन्न कोने (चित्र। 73)।

आसन्न कोनों में विभिन्न प्रकार के स्थान हो सकते हैं (चित्र 74)।

आसन्न कोण एक सीधे कोण में जुड़ते हैं, इसलिए दो आसन्न कोणों का उमा है 2डी।

इसलिए, एक समकोण को उसके आसन्न कोण के बराबर कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

आसन्न कोणों में से एक का मान जानने के बाद, हम दूसरे आसन्न कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आसन्न कोणों में से एक 3/5 . है डी, तो दूसरा कोण इसके बराबर होगा:

2डी- 3 / 5 डी= एल 2 / 5 डी.

2. लंबवत कोण।

यदि हम किसी कोण की भुजाओं को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें ऊर्ध्वाधर कोण प्राप्त होते हैं। 75 आरेखण में, कोण EOF और AOC लंबवत हैं; कोण AOE और COF भी लंबवत हैं।

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं का विस्तार हों।

रहने दो / 1 = 7 / 8 डी(चित्र। 76)। इसके समीप / 2 बराबर होगा 2 डी- 7 / 8 डी, यानी 1 1/8 डी.

इसी तरह, आप गणना कर सकते हैं कि क्या बराबर हैं / 3 और / 4.
/ 3 = 2डी - 1 1 / 8 डी = 7 / 8 डी; / 4 = 2डी - 7 / 8 डी = 1 1 / 8 डी(चित्र। 77)।

हमने देखा कि / 1 = / 3 और / 2 = / 4.

आप समान समस्याओं में से कई को हल कर सकते हैं, और हर बार आपको एक ही परिणाम मिलता है: लंबवत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं, व्यक्तिगत संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि विशेष उदाहरणों से निकाले गए निष्कर्ष कभी-कभी गलत हो सकते हैं।

तर्क द्वारा, प्रमाण द्वारा ऊर्ध्वाधर कोणों के गुण की वैधता को सत्यापित करना आवश्यक है।

प्रमाण निम्नानुसार किया जा सकता है (चित्र 78):

/ ए +/ सी = 2डी;
/ बी+/ सी = 2डी;

(चूंकि आसन्न कोणों का योग 2 . है डी).

/ ए +/ सी = / बी+/ सी

(चूंकि इस समानता का बायां भाग 2 . के बराबर है डी, और इसका दाहिना भाग भी 2 . के बराबर है डी).

इस समानता में एक ही कोण शामिल है साथ.

यदि हम समान मानों में से समान रूप से घटाते हैं, तो यह समान रूप से रहेगा। परिणाम होगा: / ए = / बी, यानी, ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर हैं।

ऊर्ध्वाधर कोणों के प्रश्न पर विचार करते समय, हमने पहले समझाया कि कौन से कोण लंबवत कहलाते हैं, अर्थात, हमने दिया परिभाषाऊर्ध्वाधर कोनों।

फिर हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की समानता के बारे में एक निर्णय (कथन) किया और हम प्रमाण द्वारा इस निर्णय की वैधता के बारे में आश्वस्त थे। ऐसे निर्णय, जिनकी वैधता सिद्ध की जानी चाहिए, कहलाते हैं प्रमेयों. इस प्रकार, इस भाग में हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की परिभाषा दी है, और उनके गुणधर्म के बारे में एक प्रमेय भी बताया और सिद्ध किया है।

भविष्य में, ज्यामिति के अध्ययन में, हमें लगातार प्रमेयों की परिभाषाओं और प्रमाणों से मिलना होगा।

3. एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले कोणों का योग।

ड्राइंग 79 . पर / 1, / 2, / 3 और / 4 एक सीधी रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं और इस सीधी रेखा पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। कुल मिलाकर, ये कोण एक सीधा कोण बनाते हैं, अर्थात।
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2डी.

ड्राइंग पर 80 / 1, / 2, / 3, / 4 और / 5 एक सामान्य शीर्ष है। कुल मिलाकर, ये कोण एक पूर्ण कोण बनाते हैं, अर्थात। / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4डी.

व्यायाम।

1. आसन्न कोणों में से एक 0.72 . है डी।इन आसन्न कोणों के द्विभाजक द्वारा बनाए गए कोण की गणना करें।

2. सिद्ध कीजिए कि दो आसन्न कोणों के समद्विभाजक एक समकोण बनाते हैं।

3. सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।

4. 81 ड्राइंग में आसन्न कोनों के कितने जोड़े हैं?

5. क्या आसन्न कोणों के युग्म में दो न्यून कोण हो सकते हैं? दो तिरछे कोनों से? समकोण और अधिक कोण से? एक समकोण और तीव्र कोण से?

6. यदि आसन्न कोणों में से एक समकोण है, तो उसके आसन्न कोण के मान के बारे में क्या कहा जा सकता है?

7. यदि दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक समकोण हो, तो शेष तीन कोणों के आकार के बारे में क्या कहा जा सकता है?

पाठ 8 दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं का विस्तार हों। प्रमेय। लंबवत कोण बराबर होते हैं। प्रमाण: = = 180 समान = = 3 2 = 4 समस्या समाधान: 64, 66 गृहकार्य: आइटम 11, 66, 67

गणितीय श्रुतलेख। 1 विकल्प। 1. वाक्य को पूरा करें: "यदि कोण 1 और 2 आसन्न हैं, तो उनका योग ..." 2. क्या 30 डिग्री के कोण के निकट कोण न्यून, अधिक या दाएं होगा? 3. दो कोणों का योग 180 डिग्री होता है। क्या इन कोणों को आसन्न होना चाहिए? 4. रेखाएँ AM और CE बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनके बीच स्थित है। क्या इसका परिणाम ऊर्ध्वाधर कोणों में हुआ? यदि हां, तो कृपया उनका नाम बताएं। 5. कोण क्या है यदि इसके साथ लंबवत कोण 34 डिग्री है? 6. दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनने वाले चार कोणों में से एक 140 डिग्री है। बाकी कोण क्या हैं? 7. दो कोनों में एक उभयनिष्ठ शीर्ष है, पहला कोना 40 डिग्री है, दूसरा 140 डिग्री है। क्या ये कोने लंबवत हैं? विकल्प 2। 1. वाक्य को पूरा करें: "दो कोणों को आसन्न कहा जाता है यदि एक पक्ष आम है और दूसरा ..." 2. क्या 130 डिग्री के कोण के निकट कोण न्यून, अधिक या दाएं होगा? 3. 180 डिग्री के उभयनिष्ठ भुजा वाले दो कोणों का योग। क्या इन कोणों को आसन्न होना चाहिए? 4. छात्र ने 2 लंबवत कोनों का निर्माण किया। इसका परिणाम कितनी सीधी रेखाओं के जोड़े में हुआ? 5. दो कोनों में एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है, इनमें से प्रत्येक कोने 60 डिग्री के बराबर होता है। क्या इन कोणों को लंबवत होना चाहिए? 6. दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनने वाले चार कोणों में से एक कोण 80 डिग्री होता है। बाकी कोण क्या हैं? 7. कोण क्या है यदि इसके साथ लंबवत कोण 120 डिग्री है?

उत्तर। 1. 180 डिग्री के बराबर 2. अधिक कोण 3. संख्या 4. कोण AOC और EOM, AOE और COM डिग्री और 40 डिग्री 7. हाँ 1. अतिरिक्त किरणें 2. तीव्र कोण 3. नहीं 4. एक जोड़ी 5. नहीं और 100 डिग्री डिग्री