अब द्विघात समीकरण पर विचार करें

जहां एक अज्ञात मात्रा है, समीकरण के पैरामीटर (गुणांक) हैं।

पैरामीटर के महत्वपूर्ण मूल्यों में शामिल होना चाहिए, सबसे पहले, मान पैरामीटर के निर्दिष्ट मूल्य पर, समीकरण (1) रूप लेता है

इसलिए, समीकरण का क्रम एक से कम हो जाता है। समीकरण (2) एक रैखिक समीकरण है और इसके हल की विधि पर पहले विचार किया गया था।

अन्य महत्वपूर्ण मूल्यों के लिए, पैरामीटर समीकरण के विवेचक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। यह ज्ञात है कि पर , समीकरण (1) का कोई मूल नहीं है; इसके लिए समीकरण के लिए एक ही मूल है (1) की दो अलग-अलग जड़ें हैं और

एक)। सभी पैरामीटर मान खोजें जिनके लिए द्विघात समीकरण

ए) दो अलग-अलग जड़ें हैं;

बी) कोई जड़ नहीं है;

c) दो समान जड़ें हैं।

फेसला।यह समीकरण शर्त से द्विघात है, और इसलिए इस समीकरण के विवेचक पर विचार करें

जब समीकरण के दो भिन्न मूल हों, क्योंकि

जब समीकरण का कोई मूल न हो, क्योंकि इस द्विघात समीकरण के दो बराबर मूल नहीं हो सकते, क्योंकि के लिए और यह समस्या की स्थिति के विपरीत है।

उत्तर: जब समीकरण के दो भिन्न मूल हों।

जब समीकरण की कोई जड़ नहीं होती है।

2)। समीकरण को हल करें। पैरामीटर के प्रत्येक स्वीकार्य मान के लिए, समीकरण को हल करें

फेसला।पहले मामले पर विचार करें जब

(इस मामले में, मूल समीकरण एक रैखिक समीकरण बन जाता है)। इस प्रकार, पैरामीटर का मान और इसके महत्वपूर्ण मान हैं। यह स्पष्ट है कि के लिए, इस समीकरण का मूल है और इसके लिए, इसका मूल है

अगर वो। और फिर यह समीकरण द्विघात है। आइए इसके विभेदक को खोजें:

सभी मूल्यों के लिए, विवेचक गैर-ऋणात्मक मान लेता है, और यह गायब हो जाता है (पैरामीटर के ये मान भी इसके महत्वपूर्ण मान हैं)।

इसलिए, यदि तब इस समीकरण का एक ही मूल है

इस मामले में, पैरामीटर का मान रूट से मेल खाता है

और मान रूट से मेल खाता है

यदि तब समीकरण के दो भिन्न मूल हैं। आइए इन जड़ों को खोजें।

जवाब।अगर है तो अगर तब

तो अगर , ।

3) समीकरण को हल करें। पैरामीटर के किन मूल्यों पर एक्या समीकरण का एक अनूठा हल है?

फेसला।यह समीकरण प्रणाली के बराबर है

द्विघात समीकरण की उपस्थिति और समाधान की विशिष्टता के लिए शर्त स्वाभाविक रूप से विवेचक की जड़ों की खोज की ओर ले जाएगी। हालाँकि, स्थिति x -3 को ध्यान आकर्षित करना चाहिए। और "सूक्ष्म बिंदु" यह है कि प्रणाली के द्विघात समीकरण की दो जड़ें हो सकती हैं! लेकिन उनमें से केवल एक ही -3 के बराबर होना चाहिए। हमारे पास है

डी = ए 2 - 4 , इसलिए डी = 0 यदि ए= ± 2; x \u003d -3 - समीकरण का मूल x 2 - एएक्स +1 = 0 पर

ए= -10/3, और इस मान के साथ एद्विघात समीकरण का दूसरा मूल भिन्न है

जवाब। ए= ±2 या ए = -10/3.

4) समीकरण को हल करें। पैरामीटर के किन मूल्यों पर एसमीकरण

(ए- 2)एक्स 2 + (4 - 2ए) एक्स+3 = 0 का एक अनूठा हल है?

फेसला।यह स्पष्ट है कि मामले से शुरू करना आवश्यक है ए= 2. लेकिन पर ए = 2मूल समीकरण का कोई हल नहीं है। यदि एक एक 2, तो यह समीकरण द्विघात है, और, ऐसा प्रतीत होता है, पैरामीटर के वांछित मान विवेचक की जड़ें हैं। हालाँकि, विवेचक गायब हो जाता है जब ए = 2या ए = 5. जब से हमने यह स्थापित किया है कि ए = 2फिट नहीं है, तो

जवाब, ए = 5.

9) समीकरण को हल करें। पैरामीटर के किन मूल्यों पर एसमीकरण ओह 2 - 4एक्स + ए+3 = 0 के एक से अधिक मूल हैं?

फेसला. पर ए= 0 समीकरण का एक ही मूल है, जो शर्त को पूरा नहीं करता है। पर ए≠ 0 मूल समीकरण, वर्गाकार होने के कारण, इसके दो मूल हैं यदि इसका विवेचक 16 - 4 . है ए 2 – 12एसकारात्मक। यहाँ से हमें -4 . प्राप्त होता है<ए<1.

हालांकि, परिणामी अंतराल (-4; 1) में संख्या 0 शामिल है। जवाब। -4<ए<0 или 0<ए<1.

दस)। पैरामीटर के किन मूल्यों पर एसमीकरण ए(ए+3)एक्स 2 + (2ए+6)एक्स– 3ए- 9 = 0 के एक से अधिक मूल हैं?

फेसला. मानक कदम - मामलों से शुरू करें ए= 0 और ए= -3। पर ए= 0 समीकरण का एक अद्वितीय हल है। यह उत्सुक है कि ए= -3 समीकरण का हल कोई वास्तविक संख्या होती है। पर ए-3 और ए 0, इस समीकरण के दोनों पक्षों को a +3 से भाग देने पर हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है ओह 2 + 2एक्स- 3 = 0, जिसका विवेचक 4 है (1 + Z ए) a > के लिए धनात्मक है। पिछले उदाहरणों का अनुभव बताता है कि अंतराल से

(-⅓ ;∞) आपको बिंदु को बाहर करने की आवश्यकता है ए= 0, और शामिल करना न भूलें ए = -3.

जवाब। ए= -3, या -< а < 0, или а > 0.

11)। समीकरण हल करें :

फेसला।सबसे पहले, ध्यान दें कि इस समीकरण के लिए एक समीकरण के बराबर है जिसका कोई समाधान नहीं है। अगर

1. कार्य।
पैरामीटर के किन मूल्यों पर एसमीकरण ( ए - 1)एक्स 2 + 2एक्स + ए- 1 = 0 की ठीक एक जड़ है?

1. निर्णय।
पर ए= 1 समीकरण का रूप 2 . है एक्स= 0 और स्पष्ट रूप से एक ही जड़ है एक्स= 0. अगर एनंबर 1, तो यह समीकरण द्विघात है और पैरामीटर के उन मानों के लिए एक ही मूल है जिसके लिए वर्ग ट्रिनोमियल का विवेचक शून्य के बराबर है। विवेचक को शून्य के बराबर करने पर, हम पैरामीटर के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं ए 4ए 2 - 8ए= 0, कहाँ से ए= 0 या ए = 2.

1. उत्तर:समीकरण का एक ही मूल है एओ (0; 1; 2)।

2. कार्य।
सभी पैरामीटर मान खोजें ए, जिसके लिए समीकरण के दो भिन्न मूल हैं एक्स 2 +4कुल्हाड़ी+8ए+3 = 0.
2. निर्णय।
समीकरण एक्स 2 +4कुल्हाड़ी+8ए+3 = 0 के दो भिन्न मूल हैं यदि और केवल यदि डी = 16ए 2 -4(8ए+3) > 0. हम पाते हैं (4 के एक सामान्य कारक द्वारा कमी के बाद) 4 ए 2 -8ए-3 > 0, कहां से

2. उत्तर:

एओ (-Ґ ; 1 -

सी 7 2

) और (1 +

सी 7 2

; Ґ ).

3. कार्य।
ह ज्ञात है कि
एफ 2 (एक्स) = 6एक्स-एक्स 2 -6.
ए) फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें एफ 1 (एक्स) पर ए = 1.
बी) किस मूल्य पर एफ़ंक्शन ग्राफ़ एफ 1 (एक्स) और एफ 2 (एक्स) एक ही सामान्य बिंदु है?

3. समाधान।
3.कआइए रूपांतरित करें एफ 1 (एक्स) इस अनुसार
इस फ़ंक्शन का ग्राफ ए= 1 दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है।
3.ख.हम तुरंत ध्यान देते हैं कि फलन रेखांकन करता है आप = केएक्स+बीऔर आप = कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी (एसंख्या 0) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि द्विघात समीकरण केएक्स+बी = कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सीएक ही जड़ है। दृश्य का उपयोग करना एफ 1 का 3.ए, हम समीकरण के विवेचक की बराबरी करते हैं ए = 6एक्स-एक्स 2 -6 से शून्य। समीकरण 36-24-4 . से ए= 0 हमें प्राप्त होता है ए= 3. समीकरण 2 . के साथ भी ऐसा ही करना एक्स-ए = 6एक्स-एक्स 2 -6 खोजें ए= 2. यह सत्यापित करना आसान है कि ये पैरामीटर मान समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं। जवाब: ए= 2 या ए = 3.

4. कार्य।
सभी मान खोजें ए, जिसके तहत असमानता के समाधान का सेट एक्स 2 -2कुल्हाड़ी-3ए i 0 में खंड है।

4. समाधान।
परवलय के शीर्ष का पहला निर्देशांक एफ(एक्स) = एक्स 2 -2कुल्हाड़ी-3एके बराबर है एक्स 0 = ए. द्विघात फलन के गुणों से, स्थिति एफ(एक्स) i 0 अंतराल पर तीन प्रणालियों की समग्रता के बराबर है
ठीक दो समाधान हैं?

5. निर्णय।
आइए इस समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें एक्स 2 + (2ए-2)एक्स - 3ए+7 = 0। यह एक द्विघात समीकरण है, इसके ठीक दो समाधान हैं यदि इसका विवेचक शून्य से सख्ती से बड़ा है। विवेचक की गणना करते हुए, हम पाते हैं कि ठीक दो जड़ें होने की शर्त असमानता की पूर्ति है ए 2 +ए-6 > 0. असमानता को हल करने पर, हम पाते हैं ए < -3 или ए> 2. जाहिर है, पहली असमानता का प्राकृतिक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है, और दूसरे का सबसे छोटा प्राकृतिक समाधान संख्या 3 है।

5. उत्तर: 3.

6. टास्क (10 सेल)
सभी मान खोजें ए, जिसके लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ या, स्पष्ट परिवर्तनों के बाद, ए-2 = | 2-ए| . अंतिम समीकरण असमानता के बराबर है एमैं 2.

6. उत्तर: एओ)