एक एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना न केवल सामान्य माध्यमिक शिक्षा के अंत में एक आवश्यकता है, बल्कि विश्वविद्यालयों में प्रवेश परीक्षाओं का भी हिस्सा है। स्कूली बच्चे जो गणितीय या तकनीकी पूर्वाग्रह के साथ विशिष्टताओं में प्रवेश करने का निर्णय लेते हैं, वे न केवल गणित के बुनियादी स्तर को पास करते हैं, बल्कि प्रोफाइल भी। इसकी विशेषताओं, समय और सत्यापन और परिणामों से संबंधित कुछ बिंदुओं पर विचार करें।

परीक्षा आयोजित करने की प्रक्रिया संघीय कानून संख्या 273 "रूसी संघ में शिक्षा पर" द्वारा स्थापित की गई है।

परीक्षा परिणाम कब पता चलेगा?

आधिकारिक समय सारिणी ने आत्मसमर्पण का निर्धारण किया गणित 2018 में उपयोग करेंशुक्रवार, 1 जून को प्रोफाइल दिशा। जैसा आरक्षित दिवसतारीख को मुख्य लूप में हाइलाइट किया गया है 25 जून, और 2 जुलाई सभी वस्तुओं की डिलीवरी के लिए एक अतिरिक्त दिन है।

पृथक्करण गणित की परीक्षापिछले साल हुए स्तरों पर। वे भिन्न हैंकई आधारों पर:

• ग्रेडिंग प्रणाली. विषय के ज्ञान के बुनियादी स्तर का मूल्यांकन पांच-बिंदु पैमाने पर किया जाता है (न्यूनतम के रूप में 3 अंक निर्धारित किए जाते हैं)। प्रोफाइल विषय में मूल्यांकन का मूल्यांकन 100 अंकों के पैमाने पर किया जाता है;
• अगला अंतर बुनियादी और प्रोफाइल स्तर की परीक्षाओं के प्रवेश में है शिक्षण संस्थानों में प्रवेश के लिएवरिष्ठ और मध्यम पेशेवर स्तर। तो, कॉलेजों, स्कूलों, उदार कला विश्वविद्यालयों के लिए बुनियादी स्तर पर्याप्त है। तकनीकी विशिष्टताओं के लिए प्रवेश परीक्षा में गणित की उपस्थिति के लिए आवेदक को प्रोफाइल स्तर पास करने की आवश्यकता होती है;
• अलग होना परीक्षा संरचना. आधार में संक्षिप्त उत्तरों के साथ 20 समस्याएं हैं। प्रोफाइल परीक्षा बहुत अधिक कठिन है और इसमें 2 भाग होते हैं।

यूएसई प्रणाली स्कूल के स्नातकों को बिना किसी प्रतिबंध के विषय का मूल और प्रोफाइल हिस्सा लेने की अनुमति देती है। इससे विश्वविद्यालयों में प्रवेश की संभावना काफी बढ़ जाती है।

परीक्षा के परिणामों को संसाधित करनाएक निश्चित समय सीमा और व्यवस्था है:

• क्षेत्रों में प्रपत्रों की स्कैनिंग और प्रसंस्करण - 4 दिनों तक;
• संघीय स्तर पर परिणामों का प्रसंस्करण - 7 दिनों तक;
• क्षेत्रों को परिणाम भेजना - 1 दिन;
• राज्य परीक्षा समिति द्वारा परिणामों की पुष्टि - 1 दिन से अधिक नहीं;
• परिणामों की घोषणा - 1 दिन।

इस प्रकार, परिणामों की जाँच और प्रकाशन की अवधि 2 सप्ताह से अधिक नहीं है। प्रोफ़ाइल स्तर पर गणित में USE 2018 के परिणाम 17 जून के बाद ज्ञात नहीं होंगे.

कैसे जानें अपना रिजल्ट?

जानिए पिछली परीक्षा के नतीजेकई तरीकों से किया जा सकता है:

• एकीकृत राज्य परीक्षा का आधिकारिक पोर्टल www.ege.edu.ru;
• स्कूलों या अन्य संस्थानों में जहां परीक्षा आयोजित की गई थी, वहां सूचना है;
• क्षेत्रीय विभागों या शिक्षा की समितियों में;
• कई क्षेत्र विशेष वेबसाइट या हॉटलाइन बनाते हैं।

अपना रिजल्ट चेक करेंउपलब्ध यदि उपलब्ध हो:

• विषय का पूरा नाम;
• पहचान परीक्षा के दौरान उपयोग किए गए पासपोर्ट या अन्य दस्तावेज की संख्या;
• परीक्षा में प्रत्येक प्रतिभागी को एक पहचान कोड सौंपा गया है।

परीक्षा के परिणामों के बारे में जानकारी निःशुल्क है और यूएसई प्रतिभागियों और उनके माता-पिता को निःशुल्क प्रदान की जाती है।

गणित में प्री-टर्म यूएसई परीक्षा

तथाकथित में गणित में कई स्कूली बच्चे पहले ही यूएसई पास कर चुके हैं शुरुआती समय. यदि छात्र मुख्य चरण में भाग नहीं ले सकता है तो इसमें भाग लेने की अनुमति है। कारण हो सकते हैं:

• नियोजित उपचार;
• स्वास्थ्य में सुधार करने वाले प्रतिष्ठानों में आराम करें;
• प्रतियोगिताओं, ओलंपियाड और अन्य शैक्षिक या रचनात्मक आयोजनों में भागीदारी।

2017 में गणित की शुरुआती डिलीवरी हुई 31 मार्च और 14 अप्रैल(रिजर्व डे)। 4.8 हजार स्कूली बच्चों ने बुनियादी स्तर पास किया, और लगभग 17 हजार विशिष्ट।

योजना के अनुसार, गणित 2017 में प्रारंभिक USE के परिणाम 11 अप्रैल को उपलब्ध होने वाले थे, लेकिन बहुत पहले - 7 तारीख को सार्वजनिक किए गए थे।

अपना काम कहाँ देखें

इलेक्ट्रॉनिक रूप में परीक्षा पास करने के बाद आप अपना काम देख सकते हैं। उसका स्कैन यूएसई पोर्टल पर आपके व्यक्तिगत खाते में उपलब्ध है। इस तक पहुंच तब जारी की जाती है जब:

• एकीकृत राज्य परीक्षा में भाग लेने वाले के पहचान कोड की उपस्थिति;
• पूरा नाम और पासपोर्ट नंबर।

यदि, परिणाम की घोषणा के बाद, प्रतिभागी दिए गए बिंदुओं से सहमत नहीं है, तो उसके पास है अपील दायर करने के लिए 2 दिनजांच समिति को। आवेदन 2 प्रतियों में लिखा जाता है और विचार के लिए आयोग को प्रस्तुत किया जाता है। 5 जून तक समस्याओं के समाधान की फिर से समीक्षा की जाएगी और आकलन में बदलाव या इसकी पुष्टि करने का निर्णय लिया जाएगा।

परीक्षा को कैसे वर्गीकृत किया जाता है? परिणामों के मूल्यांकन के लिए यूएसई प्रणाली प्राथमिक और परीक्षण स्कोर के साथ-साथ उन्हें एक दूसरे में अनुवाद करने के लिए एक विशेष पैमाने का उपयोग करती है। KIM (नियंत्रण और माप सामग्री) के समाधान का मूल्यांकन प्राथमिक बिंदुओं में किया जाता है और फिर तालिका के अनुसार परीक्षण वाले में स्थानांतरित किया जाता है। परीक्षा का अंतिम परिणाम स्कोर किए गए परीक्षण अंकों की संख्या है।

प्राथमिक स्कोर को टेस्ट स्कोर में बदलने के लिए एक पैमाने का विकास हर साल किया जाता है और स्कूली बच्चों की तैयारी के सामान्य स्तर को ध्यान में रखता है।

सफलता के लिए 2018 में पासिंग प्रोफाइल गणितआपको न्यूनतम टाइप करने की आवश्यकता है:

• 6 प्राथमिक बिंदु;
• 27 परीक्षण बिंदु।

2018 में गणित की परीक्षा दोबारा लेने की तिथि

एक संख्या है परीक्षा उत्तीर्ण करने की अतिरिक्त समय सीमा. वे उपलब्ध हैं यदि, अच्छे कारण के लिए, छात्र मुख्य दिन विषय को पास करने में असमर्थ था। प्रोफाइल गणित के लिए, यह है:

• 25 जून- मुख्य चरण के ढांचे के भीतर आरक्षित दिन;
• 2 जुलाई- परीक्षा के मुख्य भाग का एक आरक्षित दिन, जब आप किसी भी विषय को पास कर सकते हैं।

सितंबर में प्रोफाइल गणित को फिर से लेने का अवसर कई शर्तें हैं:

• अगर किसी छात्र ने बेसिक गणित पास कर लिया है तो उसे इस साल प्रोफाइल लेवल फिर से लेने की अनुमति नहीं दी जाएगी। परीक्षा फिर से लेने का अवसर अगले वर्ष ही मिलेगा;
• यदि गणित (बुनियादी और प्रोफाइल) में दोनों परीक्षाएं विफल हो जाती हैं, तो छात्र यह तय कर सकता है कि वह कौन सी परीक्षा दोबारा लेगा।

गणित फिर से लेनासितंबर में नियुक्त 7 सितंबर. 15 सितंबर को रिजर्व डे के रूप में सूचीबद्ध किया गया है।

ग्रेड 11

कार्य शर्तें

1. एक इलेक्ट्रिक केतली की कीमत में 14% की वृद्धि की गई और इसकी राशि 1,596 रूबल थी। मूल्य वृद्धि से पहले केतली की कीमत कितनी थी?
2. ग्राफ प्रति मिनट क्रांतियों की संख्या पर इंजन टॉर्क की निर्भरता को दर्शाता है। प्रति मिनट क्रांतियों की संख्या को भुज अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, और N∙m में टोक़ को निर्देशांक अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। वाहन की गति (किमी/घंटा में) सूत्र द्वारा अनुमानित है जहां n प्रति मिनट इंजन क्रांतियों की संख्या है। टॉर्क 120 N∙m होने के लिए कार की न्यूनतम गति कितनी होनी चाहिए? अपना उत्तर किलोमीटर प्रति घंटे में दें।
   
3. एक त्रिभुज ABC को सेल आकार x वाले चेकर पेपर पर दर्शाया गया है। भुजा BC तक गिराई गई इसकी ऊँचाई की लंबाई ज्ञात कीजिए।
4. वैज्ञानिक सम्मेलन 5 दिनों में आयोजित किया जाता है। कुल 75 रिपोर्ट की योजना बनाई गई है - पहले तीन दिन, 17 रिपोर्ट प्रत्येक, बाकी को चौथे और पांचवें दिनों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है। सम्मेलन में, प्रोफेसर एम द्वारा एक रिपोर्ट की योजना बनाई गई है। रिपोर्टों का क्रम बहुत से चित्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि सम्मेलन के अंतिम दिन प्रोफेसर एम. की रिपोर्ट निर्धारित की जाएगी?
5. समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए
6. चतुर्भुज ABCD एक वृत्त में अंकित है। कोण ABC 105 o के बराबर है, कोण CAD 35 o के बराबर है। कोण ABD ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
7. यह आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। सेगमेंट से संबंधित फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं की संख्या पाएं।
   
8. गेंद एक सिलेंडर में खुदी हुई है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 111 है। बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
9. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
10. स्क्रीन पर एक प्रकाश बल्ब की एक बढ़ी हुई छवि प्राप्त करने के लिए, प्रयोगशाला में एक मुख्य फोकल लंबाई सेमी के साथ एक अभिसारी लेंस का उपयोग किया जाता है। लेंस से प्रकाश बल्ब की दूरी 30 से 50 सेमी तक भिन्न हो सकती है, और से दूरी लेंस से स्क्रीन तक - अनुपात मिलने पर 150 से 180 सेमी तक स्क्रीन साफ ​​हो जाएगी। लेंस से सबसे छोटी दूरी को इंगित करें कि एक प्रकाश बल्ब रखा जा सकता है ताकि स्क्रीन पर इसकी छवि स्पष्ट हो। अपना उत्तर सेंटीमीटर में व्यक्त करें।
11. पियर्स ए और बी के बीच की दूरी 120 किमी है। ए से बी तक, एक बेड़ा नदी से नीचे उतरा, और एक घंटे बाद एक नौका उसके बाद रवाना हुई, जो बिंदु बी पर पहुंचकर तुरंत वापस आ गई और ए पर लौट आई। इस समय तक, बेड़ा 24 किमी की दूरी तय कर चुका था। . यदि नदी की गति 2 किमी/घंटा है, तो शांत जल में नौका की गति ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।
12. फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु खोजें।
13. ए) समीकरण हल करें ; बी) इस समीकरण की जड़ों को इंगित करें जो खंड से संबंधित हैं।
14. बिंदु M और N त्रिभुजाकार पिरामिड ABCD के किनारों AB और BC पर क्रमशः AM:MB = CN:NB = 3:1 से अंकित हैं। बिंदु P और Q क्रमशः DA और DC के किनारों के मध्य बिंदु हैं।
    ए) साबित करें कि बिंदु पी, क्यू, एम और एन एक ही विमान में स्थित हैं;
    ख) ज्ञात कीजिए कि यह तल पिरामिड के आयतन को किस अनुपात में विभाजित करता है।
15. असमानता को हल करें
16. बिंदु E समलम्ब चतुर्भुज ABCD की पार्श्व भुजा CD का मध्यबिंदु है। इसके किनारे AB ने एक बिंदु K लिया ताकि रेखाएँ SC और AE समानांतर हों। खंड SK और BE बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
    ए) साबित करें कि सीओ = सीओ।
    b) समलम्ब चतुर्भुज BC: AD के आधारों का अनुपात ज्ञात कीजिए, यदि त्रिभुज BCK का क्षेत्रफल संपूर्ण समलम्ब चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का 9/64 है।
17. जुलाई में, एक निश्चित राशि के लिए बैंक से ऋण लेने की योजना है। इसकी वापसी की शर्तें इस प्रकार हैं:
    - प्रत्येक जनवरी में पिछले वर्ष के अंत की तुलना में ऋण में r% की वृद्धि होती है;
    - हर साल फरवरी से जून तक कर्ज का कुछ हिस्सा चुकाना होगा।
    आर खोजें यदि यह ज्ञात है कि यदि आप प्रत्येक को 777,600 रूबल का भुगतान करते हैं, तो ऋण 4 वर्षों में चुकाया जाएगा, और यदि आप प्रत्येक वर्ष 1,317,600 रूबल का भुगतान करते हैं, तो ऋण 2 वर्षों में पूरी तरह से चुकाया जाएगा?
18. उस पैरामीटर के सभी मान ज्ञात करें जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण का अंतराल पर ठीक एक मूल है।
19. 32 छात्रों में से प्रत्येक ने या तो दो परीक्षणों में से एक लिखा, या दोनों परीक्षण लिखे। प्रत्येक कार्य के लिए 0 से 20 तक अंकों की पूर्णांक संख्या प्राप्त करना संभव था। दो टेस्ट पेपरों में से प्रत्येक के लिए, औसत स्कोर 14 था। फिर प्रत्येक छात्र ने अपने उच्चतम स्कोर का नाम दिया (यदि छात्र ने एक पेपर लिखा, तो उसने इसके लिए स्कोर का नाम दिया)। नामित अंकों का अंकगणितीय माध्य S के बराबर था।
    a) एक उदाहरण दीजिए जब S<14
    b) क्या S का मान 17 के बराबर हो सकता है?
    ग) यदि दोनों परीक्षण 12 छात्रों द्वारा लिखे गए हों तो S सबसे छोटा मान क्या ले सकता है?

माध्यमिक सामान्य शिक्षा

लाइन यूएमके जीके मुरावीना। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (गहरा)

लाइन UMK Merzlyak। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (यू)

गणित

गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

हम कार्यों का विश्लेषण करते हैं और शिक्षक के साथ उदाहरण हल करते हैं

प्रोफाइल-स्तरीय परीक्षा का पेपर 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) तक चलता है।

न्यूनतम सीमा- 27 अंक।

परीक्षा पत्र में दो भाग होते हैं, जो सामग्री, जटिलता और कार्यों की संख्या में भिन्न होते हैं।

कार्य के प्रत्येक भाग की परिभाषित विशेषता कार्यों का रूप है:

• भाग 1 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 8 कार्य (कार्य 1-8) शामिल हैं;
• भाग 2 में एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में एक संक्षिप्त उत्तर के साथ 4 कार्य (कार्य 9-12) और एक विस्तृत उत्तर के साथ 7 कार्य (कार्य 13-19) शामिल हैं (निर्णय का पूरा रिकॉर्ड के लिए तर्क के साथ कार्रवाई की गई)।

पनोवा स्वेतलाना अनातोलिवना, विद्यालय की उच्चतम श्रेणी के गणित के शिक्षक, 20 वर्ष का कार्य अनुभव:

"स्कूल प्रमाणपत्र प्राप्त करने के लिए, स्नातक को एकीकृत राज्य परीक्षा के रूप में दो अनिवार्य परीक्षाएं उत्तीर्ण करनी होंगी, जिनमें से एक गणित है। रूसी संघ में गणितीय शिक्षा के विकास की अवधारणा के अनुसार, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को दो स्तरों में विभाजित किया गया है: बुनियादी और विशिष्ट। आज हम प्रोफ़ाइल स्तर के विकल्पों पर विचार करेंगे।

टास्क नंबर 1- प्रायोगिक गतिविधियों में प्रारंभिक गणित में 5-9 ग्रेड के पाठ्यक्रम में अर्जित कौशल को लागू करने के लिए USE प्रतिभागियों की क्षमता की जाँच करता है। प्रतिभागी के पास कम्प्यूटेशनल कौशल होना चाहिए, तर्कसंगत संख्याओं के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए, दशमलव अंशों को गोल करने में सक्षम होना चाहिए, माप की एक इकाई को दूसरी में बदलने में सक्षम होना चाहिए।

उदाहरण 1जिस अपार्टमेंट में पेट्र रहता है, वहां ठंडे पानी का मीटर (मीटर) लगाया गया था। पहली मई को मीटर ने 172 क्यूबिक मीटर की खपत दिखाई। पानी की मीटर, और पहली जून को - 177 घन मीटर। मी. पीटर को मई के लिए ठंडे पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए, यदि कीमत 1 घन मीटर है। ठंडे पानी का मी 34 रूबल 17 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें।

फेसला:

1) प्रति माह खर्च किए गए पानी की मात्रा ज्ञात कीजिए:

177 - 172 = 5 (घन मीटर)

2) ज्ञात कीजिए कि खर्च किए गए पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान किया जाएगा:

34.17 5 = 170.85 (रगड़)

जवाब: 170,85.

टास्क नंबर 2- परीक्षा के सबसे सरल कार्यों में से एक है। अधिकांश स्नातक सफलतापूर्वक इसका सामना करते हैं, जो फ़ंक्शन की अवधारणा की परिभाषा के कब्जे को इंगित करता है। कार्य प्रकार संख्या 2 आवश्यकताओं के अनुसार कोडिफायर व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में अर्जित ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए एक कार्य है। कार्य संख्या 2 में वर्णन करना, कार्यों का उपयोग करना, मात्राओं के बीच विभिन्न वास्तविक संबंध और उनके रेखांकन की व्याख्या करना शामिल है। टास्क नंबर 2 टेबल, डायग्राम, ग्राफ में प्रस्तुत जानकारी को निकालने की क्षमता का परीक्षण करता है। स्नातकों को फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के विभिन्न तरीकों के साथ तर्क के मूल्य से फ़ंक्शन के मूल्य को निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए और इसके ग्राफ के अनुसार फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों का वर्णन करना चाहिए। फ़ंक्शन ग्राफ़ से सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने और अध्ययन किए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाने में सक्षम होना भी आवश्यक है। समस्या की स्थितियों को पढ़ने, आरेख को पढ़ने में की गई गलतियाँ यादृच्छिक प्रकृति की होती हैं।

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उदाहरण 2यह आंकड़ा अप्रैल 2017 की पहली छमाही में एक खनन कंपनी के एक शेयर के विनिमय मूल्य में बदलाव को दर्शाता है। 7 अप्रैल को व्यवसायी ने इस कंपनी के 1,000 शेयर खरीदे। 10 अप्रैल को, उसने खरीदे गए शेयरों का तीन-चौथाई हिस्सा बेच दिया, और 13 अप्रैल को उसने शेष सभी को बेच दिया। इन कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को कितना नुकसान हुआ?

फेसला:

2) 1000 3/4 = 750 (शेयर) - सभी खरीदे गए शेयरों का 3/4 बनाते हैं।

6) 247500 + 77500 = 325000 (रूबल) - व्यवसायी को 1000 शेयरों की बिक्री के बाद प्राप्त हुआ।

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (रूबल) - सभी कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को नुकसान हुआ।

जवाब: 15000.

टास्क नंबर 3- पहले भाग के बुनियादी स्तर का एक कार्य है, यह "प्लानिमेट्री" पाठ्यक्रम की सामग्री के अनुसार ज्यामितीय आकृतियों के साथ क्रियाओं को करने की क्षमता की जाँच करता है। टास्क 3 चेकर पेपर पर एक आकृति के क्षेत्र की गणना करने की क्षमता, कोणों के डिग्री उपायों की गणना करने की क्षमता, परिधि की गणना करने की क्षमता आदि का परीक्षण करता है।

उदाहरण 3 1 सेमी बटा 1 सेमी के सेल आकार के साथ चेकर पेपर पर खींचे गए आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें (आकृति देखें)। अपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में दें।

फेसला:इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप पीक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

इस आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम शिखर सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस= बी +	जी
	2

जहां वी = 10, जी = 6, इसलिए

एस = 18 +	6
	2

जवाब: 20.

यह भी पढ़ें: भौतिकी में उपयोग: कंपन के बारे में समस्याओं को हल करना

टास्क नंबर 4- पाठ्यक्रम का कार्य "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी"। सरलतम स्थिति में किसी घटना की संभावना की गणना करने की क्षमता का परीक्षण किया जाता है।

उदाहरण 4वृत्त पर 5 लाल और 1 नीले बिंदु हैं। निर्धारित करें कि कौन से बहुभुज बड़े हैं: वे सभी लाल शीर्षों के साथ, या वे जो नीले शीर्षों में से एक के साथ हैं। अपने उत्तर में इंगित करें कि एक में से कितने अधिक हैं।

फेसला: 1) हम से संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं एनतत्वों द्वारा क:

जिसके सभी शीर्ष लाल हैं।

3) सभी लाल शीर्षों वाला एक पंचभुज।

4) 10 + 5 + 1 = 16 बहुभुज जिसमें सभी लाल कोने हैं।

जिनके शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

जिनके शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

8) एक षट्भुज जिसका शीर्ष लाल है और एक नीला शीर्ष है।

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 बहुभुज जिनमें सभी लाल शीर्ष या एक नीला शीर्ष है।

10) 42 - 16 = 26 बहुभुज जो नीले बिंदु का उपयोग करते हैं।

11) 26 - 16 = 10 बहुभुज - कितने बहुभुज, जिनमें से एक शीर्ष नीला बिंदु है, बहुभुज से अधिक हैं, जिसमें सभी शीर्ष केवल लाल हैं।

जवाब: 10.

टास्क नंबर 5- पहले भाग का मूल स्तर सरलतम समीकरणों (तर्कहीन, घातीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक) को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 5समीकरण को हल करें 2 3 + एक्स= 0.4 5 3 + एक्स .

फेसला।इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 3 + . से भाग दें एक्स 0, हमें मिलता है

2 3 + एक्स	= 0.4 या		2		3 + एक्स	=	2	,
5 3 + एक्स			5				5

जहाँ से यह इस प्रकार है कि 3 + एक्स = 1, एक्स = –2.

जवाब: –2.

टास्क नंबर 6ज्यामिति की भाषा में वास्तविक स्थितियों की मॉडलिंग करते हुए, ज्यामितीय मात्रा (लंबाई, कोण, क्षेत्र) खोजने के लिए प्लानिमेट्री में। ज्यामितीय अवधारणाओं और प्रमेयों का उपयोग करके निर्मित मॉडलों का अध्ययन। कठिनाइयों का स्रोत, एक नियम के रूप में, योजनामिति के आवश्यक प्रमेयों की अज्ञानता या गलत अनुप्रयोग है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 129 के बराबर है। डे- भुजा के समानांतर माध्यिका रेखा अब. समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तर.

फेसला।त्रिकोण सीडीईत्रिभुज के समान टैक्सीदो कोनों पर, शीर्ष पर कोने के बाद से सीसामान्य, कोण सीडीईकोण के बराबर टैक्सीसंगत कोणों के रूप में डे || अबकाटनेवाला एसी. जैसा डेस्थिति से त्रिभुज की मध्य रेखा है, तो मध्य रेखा के गुण से | डे = (1/2)अब. तो समानता गुणांक 0.5 है। समान आकृतियों के क्षेत्रफल समरूपता गुणांक के वर्ग के रूप में संबंधित हैं, इसलिए

इसलिये, स अबेड = एस Δ एबीसी – एस Δ सीडीई = 129 – 32,25 = 96,75.

टास्क नंबर 7- फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न के आवेदन की जांच करता है। सफल कार्यान्वयन के लिए, व्युत्पन्न की अवधारणा का एक सार्थक, गैर-औपचारिक अधिकार आवश्यक है।

उदाहरण 7फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए आप = एफ(एक्स) एब्सिस्सा के साथ बिंदु पर एक्स 0 एक स्पर्श रेखा खींची जाती है, जो इस आलेख के बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली सीधी रेखा के लंबवत होती है। पाना एफ′( एक्स 0).

फेसला। 1) आइए दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करें और बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

(आप – आप 1)(एक्स 2 – एक्स 1) = (एक्स – एक्स 1)(आप 2 – आप 1)

(आप – 3)(3 – 4) = (एक्स – 4)(–1 – 3)

(आप – 3)(–1) = (एक्स – 4)(–4)

–आप + 3 = –4एक्स+ 16| · (-एक)

आप – 3 = 4एक्स – 16

आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4.

2) स्पर्शरेखा का ढाल ज्ञात कीजिए क 2 जो रेखा के लंबवत है आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4, सूत्र के अनुसार:

3) स्पर्शरेखा का ढलान संपर्क बिंदु पर फलन का व्युत्पन्न है। माध्यम, एफ′( एक्स 0) = क 2 = –0,25.

जवाब: –0,25.

टास्क नंबर 8- परीक्षा के प्रतिभागियों के बीच प्राथमिक स्टीरियोमेट्री के ज्ञान की जांच करता है, सतह क्षेत्रों और आंकड़ों की मात्रा, डायहेड्रल कोणों को खोजने के लिए सूत्रों को लागू करने की क्षमता, समान आंकड़ों के संस्करणों की तुलना करने, ज्यामितीय आंकड़े, निर्देशांक और वैक्टर के साथ कार्रवाई करने में सक्षम होने के लिए , आदि।

एक गोले के चारों ओर परिबद्ध घन का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

फेसला। 1) वीघन = ए 3 (जहां एघन के किनारे की लंबाई है), इसलिए

ए 3 = 216

ए = 3 √216

2) चूँकि गोला एक घन में अंकित है, इसका अर्थ है कि गोले के व्यास की लंबाई घन के किनारे की लंबाई के बराबर है, इसलिए डी = ए, डी = 6, डी = 2आर, आर = 6: 2 = 3.

टास्क नंबर 9- बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को बदलने और सरल बनाने के लिए स्नातक की आवश्यकता होती है। एक संक्षिप्त उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य संख्या 9। USE में "गणना और परिवर्तन" अनुभाग के कार्य कई प्रकारों में विभाजित हैं:

संख्यात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन;

बीजीय व्यंजकों और भिन्नों के रूपांतरण;

संख्यात्मक/अक्षर अपरिमेय व्यंजकों का रूपांतरण;

डिग्री के साथ कार्रवाई;

लघुगणकीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन;

1. संख्यात्मक/अक्षर त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का रूपांतरण।

उदाहरण 9 tgα की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि cos2α = 0.6 and

3π	< α < π.
4

फेसला। 1) आइए दोहरे तर्क सूत्र का उपयोग करें: cos2α = 2 cos 2 α - 1 और खोजें

तन 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	क्योंकि 2 α		0,8		8		4		4		4

इसलिए, tan 2 α = ± 0.5।

3) शर्त के अनुसार

3π	< α < π,
4

इसलिए α दूसरी तिमाही का कोण है और tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

जवाब: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# टास्क नंबर 10- व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में अर्जित प्रारंभिक ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए छात्रों की क्षमता की जांच करता है। हम कह सकते हैं कि ये भौतिकी में समस्याएँ हैं, गणित में नहीं, बल्कि सभी आवश्यक सूत्र और मात्राएँ शर्त में दी गई हैं। कार्यों को एक रैखिक या द्विघात समीकरण, या एक रैखिक या द्विघात असमानता को हल करने के लिए कम किया जाता है। इसलिए, ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करने और उत्तर निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है। उत्तर पूर्ण संख्या या अंतिम दशमलव भिन्न के रूप में होना चाहिए।

द्रव्यमान के दो पिंड एम= 2 किग्रा प्रत्येक, समान गति से गति करते हुए वी= 10 m/s एक दूसरे से 2α के कोण पर। उनके पूर्णतः बेलोचदार संघटन के दौरान निर्मुक्त ऊर्जा (जूल में) व्यंजक द्वारा निर्धारित की जाती है क्यू = एमवी 2 पाप 2 α. किस छोटे कोण पर 2α (डिग्री में) पिंडों को चलना चाहिए ताकि टक्कर के परिणामस्वरूप कम से कम 50 जूल निकल सकें?
फेसला।समस्या को हल करने के लिए, हमें असमानता Q ≥ 50 को अंतराल 2α (0°; 180°) पर हल करना होगा।

एमवी 2 पाप 2 α 50

2 10 2 पाप 2 α 50

200 sin2α 50

चूँकि α (0°; 90°), हम केवल हल करेंगे

हम असमानता के समाधान को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करते हैं:

चूँकि धारणा α (0°; 90°) से, इसका अर्थ है कि 30° α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

टास्क नंबर 11- विशिष्ट है, लेकिन यह छात्रों के लिए मुश्किल साबित होता है। कठिनाइयों का मुख्य स्रोत एक गणितीय मॉडल (एक समीकरण तैयार करना) का निर्माण है। टास्क नंबर 11 शब्द समस्याओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 11.स्प्रिंग ब्रेक के दौरान, 11-ग्रेडर वास्या को परीक्षा की तैयारी के लिए 560 प्रशिक्षण समस्याओं को हल करना था। 18 मार्च को, स्कूल के आखिरी दिन, वास्या ने 5 समस्याओं का समाधान किया। फिर हर दिन उसने पिछले दिन की तुलना में उतनी ही अधिक समस्याओं का समाधान किया। निर्धारित करें कि छुट्टी के आखिरी दिन 2 अप्रैल को वास्या ने कितनी समस्याओं का समाधान किया।

फेसला:निरूपित ए 1 = 5 - 18 मार्च को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या, डी- वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की दैनिक संख्या, एन= 16 - 18 मार्च से 2 अप्रैल तक के दिनों की संख्या को मिलाकर, एस 16 = 560 - कार्यों की कुल संख्या, ए 16 - 2 अप्रैल को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या। यह जानते हुए कि हर दिन वास्या ने पिछले दिन की तुलना में समान संख्या में कार्यों को हल किया, तो आप अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

560 = (5 + ए 16) 8,

5 + ए 16 = 560: 8,

5 + ए 16 = 70,

ए 16 = 70 – 5

ए 16 = 65.

जवाब: 65.

टास्क नंबर 12- कार्यों के साथ कार्यों को करने के लिए छात्रों की क्षमता की जांच करें, फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न लागू करने में सक्षम हों।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें आप= 10 एलएन ( एक्स + 9) – 10एक्स + 1.

फेसला: 1) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: एक्स + 9 > 0, एक्स> -9, यानी x (–9; )।

2) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

4) पाया गया बिंदु अंतराल (-9; ) से संबंधित है। हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं और चित्र में फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाते हैं:

वांछित अधिकतम बिंदु एक्स = –8.

यूएमके जी.के. की लाइन में गणित में कार्य कार्यक्रम को मुफ्त में डाउनलोड करें। मुरावीना, के.एस. मुराविना, ओ.वी. मुराविना 10-11 मुफ्त बीजगणित मैनुअल डाउनलोड करें

टास्क नंबर 13- एक विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का एक बढ़ा हुआ स्तर, जो समीकरणों को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया जाता है।

a) समीकरण को हल करें 2log 3 2 (2cos .) एक्स) - 5 लोग 3 (2cos एक्स) + 2 = 0

बी) इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो खंड से संबंधित हैं।

फेसला: a) मान लीजिए लॉग 3 (2cos .) एक्स) = टी, फिर 2 टी 2 – 5टी + 2 = 0,

	log3(2cos एक्स) =	2	⇔		2cos एक्स = 9	⇔		क्योंकि एक्स =	4,5	क्योंकि |cos एक्स| ≤ 1,
	log3(2cos एक्स) =	1			2cos एक्स = √3			क्योंकि एक्स =	√3
		2							2

फिर क्योंकि एक्स =	√3
	2

	एक्स =	π	+ 2π क
		6
	एक्स = –	π	+ 2π क, क ∈ जेड
		6

बी) खंड पर स्थित जड़ों का पता लगाएं।

यह चित्र से देखा जा सकता है कि दिए गए खंड की जड़ें हैं

11π	और	13π	.
6		6

जवाब:ए)	π	+ 2π क; –	π	+ 2π क, क ∈ जेड; बी)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

टास्क नंबर 14- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

बेलन के आधार के वृत्त का व्यास 20 है, बेलन का जनक 28 है। तल 12 और 16 लंबाई की जीवाओं के अनुदिश अपने आधारों को प्रतिच्छेद करता है। जीवाओं के बीच की दूरी 2√197 है।

a) सिद्ध कीजिए कि बेलन के आधारों के केंद्र इस तल के एक ही ओर स्थित हैं।

ख) इस तल और बेलन के आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

फेसला: a) लंबाई 12 की एक जीवा आधार वृत्त के केंद्र से = 8 की दूरी पर है, और लंबाई 16 की एक जीवा, इसी तरह, 6 की दूरी पर है। बेलनों का आधार या तो 8 + 6 = 14, या 8 - 6 = 2 है।

तब जीवाओं के बीच की दूरी या तो है

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

शर्त के अनुसार, दूसरी स्थिति का एहसास हुआ, जिसमें जीवाओं के प्रक्षेपण सिलेंडर के अक्ष के एक तरफ होते हैं। इसका अर्थ है कि अक्ष इस तल को बेलन के भीतर नहीं काटता है, अर्थात आधार इसके एक तरफ स्थित है। क्या साबित करने की जरूरत थी।

बी) आइए आधारों के केंद्रों को ओ 1 और ओ 2 के रूप में निरूपित करें। आइए हम आधार के केंद्र से 12 लंबाई की एक जीवा के साथ इस जीवा पर लंबवत द्विभाजक (इसकी लंबाई 8 है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है) और दूसरे आधार के केंद्र से दूसरी जीवा तक खींचते हैं। वे इन जीवाओं के लम्बवत एक ही तल में स्थित हैं। आइए छोटी जीवा बी के मध्य बिंदु को ए से बड़ा, और ए के प्रक्षेपण को दूसरे आधार एच (एच β) पर कॉल करें। तब AB,AH β और, इसलिए, AB, AH जीवा के लंबवत हैं, अर्थात दिए गए तल के साथ आधार के प्रतिच्छेदन की रेखा।

अतः अभीष्ट कोण है

एबीएच = आर्कटान	एएच	= आर्कटिक	28	= आर्कटिक 14.
	बिहार		8 – 6

कार्य संख्या 15- एक विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का एक बढ़ा हुआ स्तर, असमानताओं को हल करने की क्षमता की जाँच करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया जाता है।

उदाहरण 15असमानता को हल करें | एक्स 2 – 3एक्स| लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 .

फेसला:इस असमानता की परिभाषा का क्षेत्र अंतराल (-1; +∞) है। तीन मामलों पर अलग से विचार करें:

1) चलो एक्स 2 – 3एक्स= 0, यानी। एक्स= 0 या एक्स= 3. इस मामले में, यह असमानता सच हो जाती है, इसलिए, इन मूल्यों को समाधान में शामिल किया जाता है।

2) चलो अब एक्स 2 – 3एक्स> 0, यानी। एक्स(-1; 0) (3; +∞)। इस मामले में, इस असमानता को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है ( एक्स 2 – 3एक्स) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 और एक सकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करें एक्स 2 – 3एक्स. हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ –1, एक्स + 1 ≤ 2 –1 , एक्स 0.5 -1 या एक्स-0.5। परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (–1; –0,5].

3) अंत में, विचार करें एक्स 2 – 3एक्स < 0, при этом एक्स(0; 3)। इस मामले में, मूल असमानता को फॉर्म (3 .) में फिर से लिखा जाएगा एक्स – एक्स 2) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2. एक सकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करने के बाद 3 एक्स – एक्स 2, हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ 1, एक्स + 1 ≤ 2, एक्स 1. क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (0; 1].

प्राप्त समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं एक्स ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

जवाब: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

टास्क नंबर 16- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों, निर्देशांक और वैक्टर के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में शीर्ष A पर 120° का कोण है, एक समद्विभाजक BD खींचा गया है। आयत DEFH को त्रिभुज ABC में इस प्रकार अंकित किया गया है कि भुजा FH खंड BC पर स्थित है और शीर्ष E खंड AB पर स्थित है। a) सिद्ध कीजिए कि FH = 2DH है। b) आयत DEFH का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि AB = 4 है।

फेसला:ए)

1) BEF - आयताकार, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, फिर EF = BE 30° के कोण के विपरीत पैर के गुण के कारण।

2) माना EF = DH = एक्स, तो बीई = 2 एक्स, बीएफ = एक्स 3 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा।

3) चूँकि ABC समद्विबाहु है, तो B = C = 30˚।

BD, B का समद्विभाजक है, इसलिए ABD = DBC = 15˚।

4) DBH - आयताकार पर विचार करें, क्योंकि डीएच⊥बीसी।

2एक्स	=	4 – 2एक्स
2एक्स(√3 + 1)		4

1	=	2 – एक्स
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – एक्स

एक्स = 3 – √3

ईएफ = 3 - 3

2) एसडीईएफ़एच = ईडी ईएफ = (3 - √3) 2(3 - √3)

एसडीईएफ़एच = 24 - 12√3।

जवाब: 24 – 12√3.

टास्क नंबर 17- एक विस्तृत उत्तर वाला कार्य, यह कार्य व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में ज्ञान और कौशल के अनुप्रयोग, गणितीय मॉडल बनाने और तलाशने की क्षमता का परीक्षण करता है। यह कार्य आर्थिक सामग्री के साथ एक पाठ कार्य है।

उदाहरण 17. 20 मिलियन रूबल की राशि में जमा राशि को चार साल के लिए खोलने की योजना है। प्रत्येक वर्ष के अंत में, बैंक वर्ष की शुरुआत में अपने आकार की तुलना में जमा राशि में 10% की वृद्धि करता है। इसके अलावा, तीसरे और चौथे वर्ष की शुरुआत में, जमाकर्ता सालाना जमा की भरपाई करता है एक्समिलियन रूबल, जहां एक्स - पूरा का पूरासंख्या। उच्चतम मूल्य खोजें एक्स, जिस पर बैंक चार वर्षों में जमा राशि में 17 मिलियन से कम रूबल जोड़ देगा।

फेसला:पहले वर्ष के अंत में, योगदान 20 + 20 · 0.1 = 22 मिलियन रूबल होगा, और दूसरे के अंत में - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 मिलियन रूबल। तीसरे वर्ष की शुरुआत में, योगदान (मिलियन रूबल में) होगा (24.2 + .) एक्स), और अंत में - (24.2 + .) एक्स) + (24,2 + एक्स) 0.1 = (26.62 + 1.1 .) एक्स) चौथे वर्ष की शुरुआत में योगदान होगा (26.62 + 2.1 .) एक्स), और अंत में - (26.62 + 2.1 .) एक्स) + (26,62 + 2,1एक्स) 0.1 = (29.282 + 2.31 .) एक्स) शर्त के अनुसार, आपको सबसे बड़ा पूर्णांक x ज्ञात करना होगा जिसके लिए असमानता

(29,282 + 2,31एक्स) – 20 – 2एक्स < 17

29,282 + 2,31एक्स – 20 – 2एक्स < 17

0,31एक्स < 17 + 20 – 29,282

0,31एक्स < 7,718

एक्स <	7718
	310

एक्स <	3859
	155

एक्स < 24	139
	155

इस असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान संख्या 24 है।

जवाब: 24.

टास्क नंबर 18- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। उच्च स्तर की जटिलता का कार्य एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। कार्य 18 को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए ठोस गणितीय ज्ञान के अतिरिक्त उच्च स्तर की गणितीय संस्कृति की भी आवश्यकता होती है।

किस पर एअसमानताओं की प्रणाली

	एक्स 2 + आप 2 ≤ 2एय – ए 2 + 1
	आप + ए ≤ |एक्स| – ए

ठीक दो समाधान हैं?

फेसला:इस प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

	एक्स 2 + (आप– ए) 2 ≤ 1
	आप ≤ |एक्स| – ए

यदि हम पहली असमानता के समाधान के समुच्चय को समतल पर खींचते हैं, तो हमें बिंदु (0, ए) दूसरी असमानता के समाधान का समुच्चय समतल का वह भाग होता है जो फलन के ग्राफ के नीचे स्थित होता है आप = | एक्स| – ए, और बाद वाला फ़ंक्शन का ग्राफ है
आप = | एक्स| , द्वारा नीचे स्थानांतरित किया गया ए. इस प्रणाली का समाधान प्रत्येक असमानता के समाधान सेट का प्रतिच्छेदन है।

नतीजतन, इस प्रणाली के केवल अंजीर में दिखाए गए मामले में दो समाधान होंगे। एक।

सर्कल और लाइनों के बीच संपर्क के बिंदु सिस्टम के दो समाधान होंगे। प्रत्येक सीधी रेखा का झुकाव कुल्हाड़ियों से 45° के कोण पर होता है। तो त्रिभुज पीक्यूआर- आयताकार समद्विबाहु। दूरसंचार विभाग क्यूनिर्देशांक हैं (0, ए), और बिंदु आर- निर्देशांक (0, - ए) इसके अलावा, कटौती जनसंपर्कऔर पी क्यू 1 के बराबर वृत्त त्रिज्या के बराबर हैं। इसलिए,

क्यूआर= 2ए = √2, ए =	√2	.
	2

जवाब: ए =	√2	.
	2

टास्क नंबर 19- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। उच्च स्तर की जटिलता का कार्य एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। कार्य 19 के सफल समापन के लिए, ज्ञात विधियों में से विभिन्न दृष्टिकोणों का चयन करते हुए, अध्ययन की गई विधियों को संशोधित करते हुए, समाधान की खोज करने में सक्षम होना आवश्यक है।

रहने दो एस.एन.जोड़ पीएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य ( एक पी) ह ज्ञात है कि एस नहीं + 1 = 2एन 2 – 21एन – 23.

ए) सूत्र दें पीइस प्रगति के वें सदस्य।

बी) सबसे छोटा मॉड्यूल योग खोजें एस नहीं.

सी) सबसे छोटा खोजें पी, जिस पर एस नहींएक पूर्णांक का वर्ग होगा।

फेसला: ए) जाहिर है, एक = एस नहीं – एस नहीं- एक । इस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एस नहीं = एस (एन – 1) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 1) – 23 = 2एन 2 – 25एन,

एस नहीं – 1 = एस (एन – 2) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 2) – 23 = 2एन 2 – 25एन+ 27

साधन, एक = 2एन 2 – 25एन – (2एन 2 – 29एन + 27) = 4एन – 27.

बी) क्योंकि एस नहीं = 2एन 2 – 25एन, फिर फ़ंक्शन पर विचार करें एस(एक्स) = | 2एक्स 2 – 25एक्स|. उसका ग्राफ चित्र में देखा जा सकता है।

यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के शून्य के सबसे निकट स्थित पूर्णांक बिंदुओं पर सबसे छोटा मान प्राप्त किया जाता है। जाहिर है ये बिंदु हैं। एक्स= 1, एक्स= 12 और एक्स= 13. चूंकि, एस(1) = |एस 1 | = |2 – 25| = 23, एस(12) = |एस 12 | = |2 144 - 25 12| = 12, एस(13) = |एस 13 | = |2 169 - 25 13| = 13, तो सबसे छोटा मान 12 है।

ग) यह पिछले पैराग्राफ से निम्नानुसार है कि एस.एन.सकारात्मक तब से एन= 13. चूंकि एस नहीं = 2एन 2 – 25एन = एन(2एन- 25), तब स्पष्ट स्थिति जब यह व्यंजक एक पूर्ण वर्ग है, तब प्राप्त होता है जब एन = 2एन- 25, यानी साथ पी= 25.

यह 13 से 25 तक के मूल्यों की जांच करने के लिए बनी हुई है:

एस 13 = 13 1, एस 14 = 14 3, एस 15 = 15 5, एस 16 = 16 7, एस 17 = 17 9, एस 18 = 18 11, एस 19 = 19 13 एस 20 = 20 13, एस 21 = 21 17, एस 22 = 22 19, एस 23 = 23 21, एस 24 = 24 23.

यह पता चला है कि छोटे मूल्यों के लिए पीपूर्ण वर्ग प्राप्त नहीं होता है।

जवाब:ए) एक = 4एन- 27; बी) 12; ग) 25.

________________

*मई 2017 से, DROFA-VENTANA संयुक्त प्रकाशन समूह रूसी पाठ्यपुस्तक निगम का हिस्सा रहा है। निगम में एस्ट्रेल पब्लिशिंग हाउस और LECTA डिजिटल एजुकेशनल प्लेटफॉर्म भी शामिल है। अलेक्जेंडर ब्रिचकिन, रूसी संघ की सरकार के तहत वित्तीय अकादमी के स्नातक, आर्थिक विज्ञान के उम्मीदवार, डिजिटल शिक्षा के क्षेत्र में DROFA प्रकाशन गृह की नवीन परियोजनाओं के प्रमुख (पाठ्यपुस्तकों के इलेक्ट्रॉनिक रूप, रूसी इलेक्ट्रॉनिक स्कूल, LECTA डिजिटल शैक्षिक मंच) को महानिदेशक नियुक्त किया गया है। DROFA पब्लिशिंग हाउस में शामिल होने से पहले, उन्होंने EKSMO-AST पब्लिशिंग होल्डिंग के रणनीतिक विकास और निवेश के लिए उपाध्यक्ष का पद संभाला था। आज, रूसी पाठ्यपुस्तक प्रकाशन निगम के पास संघीय सूची में शामिल पाठ्यपुस्तकों का सबसे बड़ा पोर्टफोलियो है - 485 शीर्षक (लगभग 40%, सुधारात्मक स्कूलों के लिए पाठ्यपुस्तकों को छोड़कर)। निगम के प्रकाशन गृह भौतिकी, ड्राइंग, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, प्रौद्योगिकी, भूगोल, खगोल विज्ञान में पाठ्यपुस्तकों के सेट के मालिक हैं, रूसी स्कूलों द्वारा सबसे अधिक मांग - ज्ञान के क्षेत्र जो देश की उत्पादन क्षमता को विकसित करने के लिए आवश्यक हैं। निगम के पोर्टफोलियो में शिक्षा में राष्ट्रपति पुरस्कार से सम्मानित प्राथमिक विद्यालयों के लिए पाठ्यपुस्तकें और शिक्षण सहायक सामग्री शामिल हैं। ये विषय क्षेत्रों पर पाठ्यपुस्तकें और नियमावली हैं जो रूस की वैज्ञानिक, तकनीकी और औद्योगिक क्षमता के विकास के लिए आवश्यक हैं।

अभ्यास 1

अगर \(74\) लोग \(40\%\) हैं, तो \(74:2=37\) लोग \(20\%\) हैं। इसलिए, \(100\%\) \(37\cdot 5=185\) लोग हैं।

उत्तर: 185

टास्क 2

ग्राफ पानी के तापमान की निर्भरता को दिखाता है, जो डिग्री सेल्सियस में व्यक्त किया जाता है, इसके हीटिंग की शुरुआत से गिना जाता है। भुज मिनटों में समय दिखाता है, कोटि तापमान दिखाता है। ग्राफ से निर्धारित करें कि पानी का तापमान कितने डिग्री \(3\) मिनट से बदलकर \(8\) मिनट हो गया है। अपना उत्तर डिग्री सेल्सियस में दें।

ग्राफ से पता चलता है कि गर्म करने की शुरुआत के बाद \(3\) मिनट के बाद, पानी का तापमान \(40^\circ C\) के बराबर था, \(8\) मिनट के बाद तापमान \(90^\ के बराबर था वृत्त C\), इसलिए, \(3\) से \(8\) मिनट तक तापमान बदल कर \(90-40=50^\circ C\) हो गया।

उत्तर: 50

टास्क 3

एक त्रिभुज \(ABC\) को चेकर्ड पेपर पर दर्शाया गया है। इस त्रिभुज की मध्य रेखा भुजा \(AB\) के समांतर ज्ञात कीजिए।

चूँकि किसी त्रिभुज की मध्य रेखा उस भुजा के आधे के बराबर होती है, जिसके समांतर है, तो \(AB\) के समानांतर मध्य रेखा \(0.5 AB\) होगी। चूंकि \(AB=5\) , तो मध्य रेखा \(2,5\) है।

उत्तर: 2.5

टास्क 4

\(500\) स्कूली बच्चे गणित में ओलंपियाड में आए थे। उन्हें चार कक्षाओं में रखा गया था: तीन कक्षाओं में \(150\) लोगों के लिए, चौथे में -\(50\) लोगों के लिए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित छात्र एक छोटी कक्षा में ओलंपियाड लिखेगा।

हम सभी परिणामों की संख्या के लिए उपयुक्त परिणामों की संख्या के अनुपात के रूप में प्रायिकता की तलाश करेंगे। चूंकि एक छोटे से सभागार में \(50\) सीटें हैं, इसलिए उपयुक्त सीटों की संख्या \(50\) है। कुल सीटें \(500\)। इसलिए, प्रायिकता \[\dfrac(50)(500)=0.1.\] है

उत्तर: 0.1

टास्क 5

टास्क 6

पक्षों के साथ एक समांतर चतुर्भुज दिया गया \(21\) तथा \(28\) । एक ऊँचाई छोटी भुजा की ओर खींची जाती है, जिसकी लंबाई \(20\) है। लंबी भुजा की ओर खींची गई ऊँचाई की लंबाई ज्ञात कीजिए।

ड्राइंग पर विचार करें। चूँकि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक भुजा के गुणनफल और इस ओर खींची गई ऊँचाई के बराबर होता है, इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(21\cdot 20\) या \(28\cdot h\) होता है। इसलिये, \

उत्तर: 15

टास्क 7

चित्र \(y = f(x)\) फलन के अवकलज का ग्राफ दिखाता है। x-अक्ष पर सात बिंदु अंकित हैं: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\ ) . इनमें से कितने बिंदुओं पर फलन \(f(x)\) बढ़ता है?

फलन उन बिन्दुओं पर बढ़ता है जहाँ उसके अवकलज का मान धनात्मक होता है। इसलिए, चूंकि व्युत्पन्न का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है, वे बिंदु हमारे लिए उपयुक्त हैं जिन पर व्युत्पन्न का ग्राफ x-अक्ष के ऊपर है। ये बिंदु हैं \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) । ऐसे कुल 5 अंक हैं।

उत्तर: 5

टास्क 8

एक बेलनाकार बर्तन में \(32\) सेमी के स्तर तक पानी डाला जाता है। पानी किस स्तर तक पहुंच जाएगा यदि इसे दूसरे बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है, जिसका आधार त्रिज्या पहले बर्तन के आधार त्रिज्या का 4 गुना है? अपना उत्तर सेमी में दें।

मान लें कि पहले बर्तन के आधार की त्रिज्या \(R_1\) के बराबर है, और दूसरे के आधार की त्रिज्या \(R_2\) के बराबर है। फिर \(R_2=4R_1\) । ध्यान दें कि एक बर्तन से दूसरे बर्तन में पानी डालते समय पानी का आयतन स्थिर रहता है। जब पानी पहले बर्तन में था, तो इसका आयतन एक सिलेंडर के आयतन के बराबर होता है जिसकी ऊँचाई \(32\) और आधार त्रिज्या \(R_1\) : \(V=\pi R_1^2\cdot 32\) होती है। जब इसे दूसरे बर्तन में डाला गया, तो इसका आयतन एक सिलेंडर के आयतन के बराबर होता है जिसकी ऊँचाई \(h\) (यह मान अवश्य पाया जाना चाहिए) और एक आधार त्रिज्या \(R_2\) है, अर्थात \(V =\pi R_2^2\cdot h\ ) । परन्तु फिर: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\left(\dfrac(R_1)(R_2)\right)^2\cdot 32=\left( \dfrac14\right)^2\cdot 32=2.\]

उत्तर: 2

टास्क 9

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \

आइए फॉर्म में एक्सप्रेशन को फिर से लिखें \ दोहरे कोण कोसाइन सूत्र \(2\cos^2x-1=\cos 2x\) के अनुसार, व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा \

उत्तर: -3

टास्क 10

एक निश्चित माध्यम में एक दूसरे की ओर एक सीधी रेखा में चलते हुए ध्वनि संकेतों के स्रोत और रिसीवर के पास पहुंचने पर, रिसीवर द्वारा रिकॉर्ड किए गए ध्वनि संकेत की आवृत्ति मूल सिग्नल की आवृत्ति के साथ मेल नहीं खाती \(f_0=140\) हर्ट्ज और निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है: \ जहां \(c\) माध्यम में संकेत प्रसार की गति है (m/s में), और \(u=15\) m/s और \(v=14\) m/s रिसीवर के वेग हैं और माध्यम के सापेक्ष स्रोत, क्रमशः। माध्यम में सिग्नल प्रसार की अधिकतम गति \(c\) (m/s में) पर रिसीवर में सिग्नल आवृत्ति \(f\) कम से कम \(145\) Hz होगी?

चूँकि हमें ऐसा \(c\) खोजने की आवश्यकता है कि \(f\geqslant 145\) , हमें असमानता को हल करने की आवश्यकता है \ इस असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल करने पर, हमें \(c\in \) प्राप्त होता है। इसलिए, ऐसे मान \(c\) के लिए मान \(f\) कम से कम \(145\) होगा। तब \(c\) का सबसे बड़ा मान \(826\) है।

उत्तर: 826

टास्क 11

जहाज, जिसकी स्थिर जल में गति \(27\) किमी/घंटा है, धारा के अनुकूल बिंदु A से बिंदु B तक जाता है। बिंदु B पर पहुंचने पर, जहाज \(5\) घंटों के लिए रुकता है, फिर वापस चला जाता है बिंदु ए। यह ज्ञात है कि जहाज ए से प्रस्थान के बाद \(32\) घंटे के माध्यम से बिंदु ए पर लौट आया। यदि नदी की गति \(1\) किमी/घंटा है तो जहाज ने कितने किलोमीटर की यात्रा की?

मान लीजिए कि बिंदु A और B के बीच की दूरी \(S\) है। फिर जहाज A से B . तक सड़क पर खर्च हुआ \[\dfrac(S)(27+1)\quad (\small(\text(hours)))\]फिर वह बिंदु B पर 5 घंटे के लिए रुकता है, और B से A के रास्ते में वह खर्च करता है \[\dfrac(S)(27-1)\quad (\small(\text(hours)))\]कुल मिलाकर, उन्होंने 32 घंटे बिताए, इसलिए, \[\dfrac S(27+1)+5+\dfrac S(27-1)=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28 \]तब कुल जहाज \(2S\) किलोमीटर की दूरी तय करता है, या \

उत्तर: 728

टास्क 12

फलन का न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए \

ओडीजेड फ़ंक्शन: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)

किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां व्युत्पन्न अपना चिह्न "\(-\)" से "\(+\)" में बदलता है (जब बाएं से दाएं देखा जाता है)। हम अवकलज, उसके शून्य और उन बिंदुओं को ढूंढते हैं जहां यह मौजूद नहीं है, और परिणामी अंतरालों पर संकेतों की गणना करते हैं। \ व्युत्पन्न के शून्य: \ ODZ पर व्युत्पन्न संकेत:

इसलिए, \(x=-9\) एक न्यूनतम बिंदु है।

उत्तर: -9

टास्क 13

ए) समीकरण हल करें \[\log_4(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

बी) इस समीकरण की सभी जड़ों को इंगित करें जो खंड से संबंधित हैं \(\बाएं[-\dfrac(\pi)2;\dfrac(3\pi)2\right].\)

ए) ओडीजेड समीकरण: \(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). आइए ODZ के समीकरण को हल करें। इसे परिवर्तित किया जा सकता है: \[\begin(aligned) &2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow \\ &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end(aligned)\]इस समीकरण के समाधान हैं \(\cos x=0\) और \(\sin x=-\dfrac(\sqrt3)2\) : \[\बाएं[\शुरू(एकत्रित)\शुरू(गठबंधन) &x=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(\pi)3+ 2\pi m, m\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(2\pi)3+2\pi k, k\in\mathbb(Z) \end(aligned)\end(एकत्रित) \सही।\]आइए देखें कि क्या ये जड़ें ODZ में फिट होती हैं। चूंकि ये मूल समीकरण \((*)\) , और \(4^x>0\) सभी \(x\) के लिए प्राप्त किए गए थे, तब जब इन जड़ों को समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो बाईं ओर \(( *)\) भी हमेशा \(>0\) रहेगा। और यह ओडीजेड है। इसलिए, सभी जड़ें ODZ को संतुष्ट करती हैं।

बी) चलो जड़ें लेते हैं। \[\begin(aligned) &-\dfrac(\pi)2\leqslant \dfrac(\pi)2+\pi n\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n \leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)2; \dfrac(\pi)2; \dfrac(3\pi)2\\ & -\dfrac(\pi)2\leqslant -\dfrac(\pi)3+2\pi m\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1(12)\leqslant m\leqslant \dfrac(11)(12)\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)3\\ &-\dfrac (\pi)2\leqslant -\dfrac(2\pi)3+2\pi k\leqslant \dfrac(3\pi)2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1(12)\leqslant k\leqslant \dfrac( 13)(12)\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac(4\pi)3 \end(aligned)\]

जवाब:

ए) \(x=\dfrac(\pi)2+\pi n, -\dfrac(\pi)3+2\pi m, -\dfrac(2\pi)3+2\pi k, n,m,k \in\mathbb(Z)\)

बी) \(-\dfrac(\pi)2; -\dfrac(\pi)3; \dfrac(\pi)2; \dfrac(4\pi)3; \dfrac(3\pi)2\)

टास्क 14

चतुर्भुज पिरामिड का आधार \(SABCD\) आयत \(ABCD\) है, जहां \(AB=3\sqrt2\) , \(BC=6\) । पिरामिड की ऊंचाई का आधार आयत का केंद्र है। शीर्षों \(A\) और \(C\) से लंबों \(AP\) और \(CQ\) को किनारे \(SB\) तक गिराया जाता है।

a) सिद्ध कीजिए कि \(P\) \(BQ\) का मध्यबिंदु है।

ख) फलकों \(SBA\) और \(SBC\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए यदि \(SD=9\) ।

a) मान लीजिए \(O\) आयत के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है \(ABCD\) । तब \(SO\) पिरामिड की ऊंचाई है। चूँकि आयत के विकर्ण बराबर होते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होता है, तब \(AO=BO=CO=DO\) । इसलिये, \(\triangle AOS=\triangle BOS=\triangle COS=\triangle DOS\), जहां से \(AS=BS=CS=DS\) । निरूपित करें \(AS=x\) ।
चेहरे \(ASB\) पर विचार करें। आइए \(SK\perp AB\) ड्रा करें। फिर \(KB=0.5 AB=1.5\sqrt2\) । फिर \[\dfrac(KB)(SB)=\cos \angle SBA=\dfrac(BP)(BA) \quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\]चेहरे पर विचार करें \(CSB\) । आइए \(SH\perp CB\) करते हैं। फिर \(HB=0.5 CB=3\) । फिर \[\dfrac(HB)(SB)=\cos \angle SBC=\dfrac(BQ)(BC) \quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac (18)x\]इसलिए, \ Thd.

बी) शर्त से \(x=9\) । ध्यान दें कि चेहरे में \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) (क्योंकि \(PH\) \(\triangle CQB\) में मध्य रेखा है) इसलिए, \(PH\perp SB\) । इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \(\angle APH\) फलकों \(SBC\) और \(SBA\) के बीच रैखिक द्विफलकीय कोण है। आइए इसे \(\triangle APH\) से कोज्या प्रमेय का उपयोग करके खोजें।

\(BP=\frac9(x)=1\) । इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(\triangle ABP\) : \(AP^2=18-1=17\) से।
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(\triangle HBP\) : \(HP^2=9-1=8\) से।
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(\triangle ABH\) : \(AH^2=18+9=27\) से।
इसलिए, \(\triangle APH\) से कोज्या प्रमेय द्वारा: \[\cos \angle APH=\dfrac(AP^2+HP^2-AH^2)(2\cdot AP\cdot HP)= -\dfrac1(2\sqrt(34))\]इसलिए, फलकों \(SAB\) और \(SCB\) के बीच का कोण बराबर है \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1(2\sqrt(34))\right)\]

जवाब:

बी) \(\arccos\बाएं(-\frac1(2\sqrt(34))\right)\)

टास्क 15

असमानता को हल करें \[\dfrac(2^x)(2^x-8)+\dfrac(2^x+8)(2^x-4) +\dfrac(66)(4^x-12\cdot 2^x +32)\leqslant 0\]

आइए परिवर्तन करें \(2^x=t\) , फिर असमानता रूप लेती है \[\begin(aligned) &\dfrac(t)(t-8)+\dfrac(t+8)(t-4)+\dfrac(66)(t^2-12t+32)\leqslant 0 \ quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(t(t-4)+(t^2-8^2)+66)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\ लेफ्टराइटएरो\क्वाड \dfrac(2t^2-4t+2)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(2(t-1)^2)((t -8)(t-4))\leqslant 0 \end(aligned)\]हम इस असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं:

तो समाधान होगा \[\बाएं[\शुरू (एकत्रित)\शुरू (गठबंधन) और टी = 1 \\ और 4 तो उत्तर है: \

जवाब:

\(\(0\)\कप(2;3)\)

टास्क 16

बिंदु \(E\) समलम्बाकार \(ABCD\) के पार्श्व पक्ष \(CD\) का मध्यबिंदु है। इसके किनारे \(AB\) पर एक बिंदु \(K\) लिया जाता है ताकि रेखाएं \(CK\) और \(AE\) समानांतर हों। खंड \(CK\) और \(BE\) बिंदु \(O\) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

ए) साबित करें कि \(CO=OK\) ।

b) समलम्ब चतुर्भुज \(BC:AD\) के आधारों का अनुपात ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज \(BCK\) का क्षेत्रफल \(\dfrac9(64)\) पूरे समलंब के क्षेत्रफल का है \(ऐ बी सी डी\) ।

a) \(AE\) और \(BC\) को बिंदु \(P\) पर चौराहे तक बढ़ाएँ:

फिर \(\angle AED=\angle CEP\) को लंबवत के रूप में, \(\angle ADE=\angle PCE\) को \(AD\parallel BP\) और \(CD\) सेकेंड पर क्रॉसवाइज के रूप में। इसलिए, एक भुजा और दो आसन्न कोणों के अनुदिश \(\triangle AED=\triangle CEP\). फिर \(AD=CP\) , \(AE=EP\) ।
चूंकि \(CK\parallel AP\) , तो \(\triangle BKO\sim \triangle ABE\)और \(CBO\sim \triangle PBE\) , इसलिए \[\dfrac(KO)(AE)=\dfrac(BO)(BE)=\dfrac(OC)(EP) \quad\Rightarrow\quad \dfrac(KO)(OC)=\dfrac(AE)(EP) )=1\]तो \(KO=OC\) , chtd.

बी) क्योंकि \(\triangle AED=\triangle CEP\), फिर \(S_(ABCD)=S_(ABP)\) । तो \ चूंकि \(\triangle BCK\sim \triangle ABP\), तो उनके क्षेत्र समानता गुणांक के वर्ग के रूप में संबंधित हैं, इसलिए, \ इसलिए, \(BC:BP=3:8\) , जिसका अर्थ है \(BC:AD=BC:CP=3:5\) ।

जवाब:

बी) \(3:5\)

टास्क 17

जुलाई 2020 में एक निश्चित राशि के लिए बैंक से ऋण लेने की योजना है। इसकी वापसी की शर्तें इस प्रकार हैं:
- पिछले साल के अंत की तुलना में हर जनवरी में कर्ज \(30\%\) बढ़ता है;
- हर साल फरवरी से जून तक कर्ज का एक हिस्सा एक बार में चुकाना होता है।
बैंक से कितने रूबल लिए गए यदि यह ज्ञात हो कि ऋण पूरी तरह से तीन समान भुगतानों (अर्थात 3 वर्षों के लिए) में चुकाया गया था और भुगतान की राशि बैंक से ली गई राशि से अधिक है \(156\,060\ ) रूबल?

मान लीजिए \(A\) रूबल उधार ली गई राशि है। ध्यान दें कि ऋण वार्षिकी भुगतान में चुकाया जाएगा। आइए \(t=1,3\) को निरूपित करें और एक तालिका बनाएं: \[\begin(array)(|l|l|l|c|) \hline \text(वर्ष संख्या) और \text(प्रोद्भवन से पहले ऋण)\% और \text(प्रोद्भवन के बाद ऋण)\% और \text( भुगतान)\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-) x)-x) &x\\ \hline \end(array)\]फिर अंतिम भुगतान के बाद ऋण के बराबर होगा \ शर्त के अनुसार \(3x-A=156\,060\) , इसलिए, \[\dfrac(3At^3)(t^2+t+1)-A=156\.060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2.197A-3.99A=156060\cdot 3.99 \quad\ Rightarrow\quad ए=\dfrac(156060\cdot 3990)(2601)=60\cdot 3990=239\,400\]\(x_3\) संतुष्ट \((2)\) । यह भी ध्यान दें कि रूट \(x_1\) सेगमेंट \(\) से संबंधित है।
तीन मामलों पर विचार करें:

1) \(a>0\) । फिर \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) \(((2)\) को संतुष्ट करता है, \(x_3\) \((1)\) को संतुष्ट नहीं करता है, या \(x_1\) से मेल नहीं खाता है, या \((1)\) को संतुष्ट करता है, लेकिन खंड में शामिल नहीं है \(\) (अर्थात, \(0\) से कम);
- \(x_1\) संतुष्ट नहीं करता \((2)\) , \(x_3\) \((1)\) को संतुष्ट करता है और \(x_1\) के बराबर नहीं है।
ध्यान दें कि \(x_3\) दोनों शून्य से कम नहीं हो सकते हैं और \((1)\) (यानी \(\frac35\) से अधिक) संतुष्ट नहीं हो सकते। इस टिप्पणी को देखते हुए, मामले निम्नलिखित सेट में दर्ज किए गए हैं: \[\बाएं[ \शुरू (एकत्रित)\शुरू (गठबंधन) और\शुरू(मामले) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(मामलों)\\ &\begin(मामलों) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>इस संग्रह को हल करने और उस \(a>0\) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं: \

2) \(a=0\) । फिर \(x_2=x_3=3\in .\) ध्यान दें कि इस मामले में \(x_1\) \((2)\) को संतुष्ट करता है और \(x_2=3\) \((1)\) को संतुष्ट करता है, तो वहां एक समीकरण है जिसके दो मूल हैं \(\) । यह मान \(a\) हमें शोभा नहीं देता।

3) \(ए<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) और \(x_3\notin \) । पैराग्राफ 1 के समान तर्क देते हुए, आपको सेट को हल करने की आवश्यकता है: \[\बाएं[ \begin(एकत्रित)\begin(गठबंधन) और\begin(मामलों) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(मामलों)\\ &\begin(मामलों) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(मामलों) \end(संरेखित) \end(इकट्ठे)\दाएं।\]दी गई जनसंख्या को हल करना और दिया है कि \(1, 2, 3, \dots, 99\) । तब सभी सौ संख्याओं का योग उस स्थिति में सबसे छोटा संभव योग होता है जब संख्याओं में \(230\) हों। आइए इसकी गणना करें: \[\dfrac(1+99)2\cdot 99+230=5180>5120\]हमें शर्त के साथ एक विरोधाभास मिला, इसलिए, उत्तर है: नहीं।

b) मान लीजिए कि बोर्ड पर कोई संख्या \(14\) नहीं है। आइए संख्याओं को फिर से आरोही क्रम में क्रमबद्ध करें और संख्याओं पर विचार करें: \(1, 2, \डॉट्स, 13, 15, \डॉट्स, 101\). हमने पहली संख्या के लिए सबसे छोटा संभव मान लिया, दूसरे के लिए, और इसी तरह। तब इन सभी संख्याओं का योग मनमाना सौ प्राकृत संख्याओं के योगों में सबसे छोटा संभव योग होता है। यह इसके बराबर है: \[\dfrac(1+101)2\cdot 101-14=5137>5120\]हमें फिर से शर्त के साथ एक विरोधाभास मिला, इसलिए, उत्तर है: नहीं।

ग) आइए एक उदाहरण दें जब संख्याओं में से चार संख्याएँ हैं जो \(14\) के गुणज हैं (ये संख्याएँ हैं \(14, 28, 42, 56\) ): \ आइए हम सिद्ध करें कि ऐसी चार से कम संख्याएँ नहीं हो सकती हैं जो \(14\) के गुणज हों।
आइए \(1\) से \(100\) तक की संख्याओं का एक सेट लें। इस सेट में संख्याओं का योग \(5050\) है। यह 100 विभिन्न प्राकृतिक संख्याओं का सबसे छोटा संभव योग है। आइए उन नंबरों पर कॉल करें जो \(14\) के गुणज अजीब हैं। इस सेट में 7 अजीब संख्याएं हैं। हम सेट में संख्याओं का योग न्यूनतम रखते हुए अपने सेट में अजीब संख्याओं की संख्या कम कर देंगे।
इसलिए, संख्याओं का योग न्यूनतम होने के लिए, हमें सबसे बड़ी अजीब संख्या को हटाना होगा - यह \(98\) है। फिर बदले में उसे एक और नंबर जोड़ना होगा (अजीब नहीं!) ऐसी सबसे छोटी संख्या \(101\) है। उसके बाद, हमें \(5053\) के बराबर न्यूनतम राशि मिलेगी। यह \(5120\) से कम है, इसलिए हम चलते रहेंगे।
ऐसा ही करते हुए, अजीब संख्याओं को हटा दें \(98, 84, 70\) । इसके बजाय, \(101, 102, 103\) जोड़ें। इस मामले में, हमें \(5104\) के बराबर न्यूनतम राशि मिलती है। इस ऑपरेशन को फिर से करने पर, यानी \(56\) को हटाने और \(104\) को जोड़ने पर, हमें न्यूनतम योग \(5152\) मिलता है, जो कि \(5120\) से अधिक है। चूँकि हमारे समुच्चय में संख्याओं का योग न्यूनतम है, इसलिए हमें एक अंतर्विरोध प्राप्त होता है।