घातांक का उपयोग किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने की संक्रिया को लिखना आसान बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप लिखने के बजाय लिख सकते हैं 4 5 (\displaystyle 4^(5))(इस तरह के संक्रमण की व्याख्या इस लेख के पहले खंड में दी गई है)। शक्तियां लंबी या जटिल अभिव्यक्ति या समीकरण लिखना आसान बनाती हैं; इसके अलावा, शक्तियों को आसानी से जोड़ा और घटाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति या समीकरण का सरलीकरण होता है (उदाहरण के लिए, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

टिप्पणी:यदि आपको एक घातांक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है (ऐसे समीकरण में, अज्ञात घातांक में है), पढ़ें।

कदम

शक्तियों के साथ सरल समस्याओं का समाधान

घातांक के आधार को घातांक के बराबर कई गुना गुणा करें।यदि आपको घातांक के साथ किसी समस्या को मैन्युअल रूप से हल करने की आवश्यकता है, तो घातांक को गुणन संक्रिया के रूप में फिर से लिखें, जहां घातांक का आधार स्वयं से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, दी गई डिग्री 3 4 (\displaystyle 3^(4)). इस मामले में, डिग्री 3 के आधार को 4 गुना से गुणा किया जाना चाहिए: 3 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

सबसे पहले, पहले दो नंबरों को गुणा करें।उदाहरण के लिए, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). चिंता न करें - गणना प्रक्रिया उतनी जटिल नहीं है जितनी पहली नज़र में लगती है। पहले पहले दो चौगुनी गुणा करें, और फिर उन्हें परिणाम से बदलें। ऐशे ही:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. परिणाम (हमारे उदाहरण में 16) को अगली संख्या से गुणा करें।प्रत्येक बाद के परिणाम आनुपातिक रूप से बढ़ेंगे। हमारे उदाहरण में, 16 को 4 से गुणा करें। इस प्रकार:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • अंतिम उत्तर प्राप्त होने तक पहली दो संख्याओं को अगली संख्या से गुणा करने के परिणाम को गुणा करते रहें। ऐसा करने के लिए, पहले दो नंबरों को गुणा करें, और फिर परिणाम को अनुक्रम में अगली संख्या से गुणा करें। यह विधि किसी भी डिग्री के लिए मान्य है। हमारे उदाहरण में, आपको मिलना चाहिए: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. निम्नलिखित समस्याओं को हल करें।कैलकुलेटर से अपना उत्तर जांचें।

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. कैलकुलेटर पर, "expक्स्प", या " x n (\displaystyle x^(n))", या" ^ "।इस कुंजी से आप किसी संख्या को घात तक बढ़ा सकते हैं। बड़े घातांक के साथ डिग्री की मैन्युअल रूप से गणना करना व्यावहारिक रूप से असंभव है (उदाहरण के लिए, डिग्री 9 15 (\displaystyle 9^(15))), लेकिन कैलकुलेटर आसानी से इस कार्य का सामना कर सकता है। विंडोज 7 में, मानक कैलकुलेटर को इंजीनियरिंग मोड में स्विच किया जा सकता है; ऐसा करने के लिए, "देखें" -\u003e "इंजीनियरिंग" पर क्लिक करें। सामान्य मोड पर स्विच करने के लिए, "देखें" -\u003e "सामान्य" पर क्लिक करें।

   • एक खोज इंजन (गूगल या यांडेक्स) का उपयोग करके प्राप्त उत्तर की जांच करें. कंप्यूटर कीबोर्ड पर "^" कुंजी का उपयोग करके, खोज इंजन में अभिव्यक्ति दर्ज करें, जो तुरंत सही उत्तर प्रदर्शित करेगा (और संभवतः अध्ययन के लिए समान अभिव्यक्तियों का सुझाव देगा)।

   शक्तियों का जोड़, घटाव, गुणा

   1. आप घातों को तभी जोड़ और घटा सकते हैं जब उनका आधार समान हो।यदि आपको समान आधारों और घातांक के साथ घातों को जोड़ने की आवश्यकता है, तो आप जोड़ संक्रिया को गुणन संक्रिया से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). याद रखें कि डिग्री 4 5 (\displaystyle 4^(5))के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है 1 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); इस प्रकार, 4 5 + 4 5 = 1 4 5 + 1 4 5 = 2 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(जहाँ 1 +1 = 2)। अर्थात् समान अंशों की संख्या गिनें, और फिर ऐसी घात और इस संख्या को गुणा करें। हमारे उदाहरण में, 4 को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाएं, और फिर परिणाम को 2 से गुणा करें। याद रखें कि जोड़ ऑपरेशन को गुणा ऑपरेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3 + 3 = 2 3 (\displaystyle 3+3=2*3). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

      • 3 2 + 3 2 = 2 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. जब एक ही आधार से घातों को गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक एक साथ जुड़ जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक x 2 x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). इस मामले में, आपको आधार को अपरिवर्तित छोड़कर, संकेतकों को जोड़ने की जरूरत है। इस प्रकार, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). यहाँ इस नियम की एक दृश्य व्याख्या है:

      किसी घात को घात में बढ़ाते समय, घातांक गुणा किया जाता है।उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी गई। चूँकि घातांक को गुणा किया जाता है, तब (x 2) 5 = x 2 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). इस नियम का अर्थ यह है कि आप शक्ति को गुणा करें (x 2) (\displaystyle (x^(2)))खुद पर पांच बार। ऐशे ही:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • चूंकि आधार समान है, घातांक बस जोड़ते हैं: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को भिन्न (प्रतिलोम घात में) में परिवर्तित किया जाना चाहिए।इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप नहीं जानते कि पारस्परिक क्या है। उदाहरण के लिए, यदि आपको एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री दी जाती है, 3 - 2 (\displaystyle 3^(-2)), इस घात को भिन्न के हर में लिखिए (अंश में 1 लगाइए), और घातांक को धनात्मक बनाइए। हमारे उदाहरण में: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

      एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटाए जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।विभाजन संक्रिया गुणन संक्रिया के विपरीत है। उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). अंश में घातांक से हर में घातांक घटाएं (आधार न बदलें)। इस प्रकार, 4 4 4 2 = 4 4 - 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • हर में डिग्री को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 - 2 (\displaystyle 4^(-2)). याद रखें कि भिन्न एक ऋणात्मक घातांक वाली एक संख्या (शक्ति, व्यंजक) है।

   4. बिजली की समस्याओं को हल करने का तरीका जानने में आपकी मदद करने के लिए नीचे कुछ भाव दिए गए हैं।उपरोक्त भाव इस खंड में प्रस्तुत सामग्री को कवर करते हैं। उत्तर देखने के लिए, बराबर चिह्न के बाद रिक्त स्थान को हाइलाइट करें।

   भिन्नात्मक घातांक के साथ समस्याओं का समाधान

   भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री (उदाहरण के लिए, ) को रूट एक्सट्रैक्शन ऑपरेशन में बदल दिया जाता है।हमारे उदाहरण में: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नात्मक घातांक के हर में कौन सी संख्या है। उदाहरण के लिए, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))"x" की चौथी जड़ है x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. यदि घातांक एक अनुचित भिन्न है, तो समस्या के समाधान को सरल बनाने के लिए ऐसे घातांक को दो घातों में विघटित किया जा सकता है। इसमें कुछ भी जटिल नहीं है - बस शक्तियों को गुणा करने का नियम याद रखें। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी गई। उस घातांक को एक मूल में बदल दें जिसका घातांक भिन्नात्मक घातांक के हर के बराबर हो, और फिर उस मूल को भिन्नात्मक घातांक के अंश के बराबर घातांक तक बढ़ाएँ। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). हमारे उदाहरण में:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. कुछ कैलकुलेटर में घातांक की गणना के लिए एक बटन होता है (पहले आपको आधार दर्ज करने की आवश्यकता होती है, फिर बटन दबाएं, और फिर घातांक दर्ज करें)। इसे ^ या x^y के रूप में दर्शाया जाता है।
   3. याद रखें कि कोई भी संख्या पहली घात के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)इसके अलावा, किसी भी संख्या को एक से गुणा या विभाजित करना स्वयं के बराबर होता है, उदाहरण के लिए, 5 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)और 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. जान लें कि डिग्री 0 0 मौजूद नहीं है (ऐसी डिग्री का कोई हल नहीं है)। जब आप कैलकुलेटर या कंप्यूटर पर इस तरह की डिग्री को हल करने का प्रयास करते हैं, तो आपको एक त्रुटि मिलेगी। लेकिन याद रखें कि शून्य के घात का कोई भी अंक 1 के बराबर होता है, उदाहरण के लिए, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. उच्च गणित में, जो काल्पनिक संख्याओं से संचालित होता है: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), कहाँ पे i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); ई लगभग 2.7 के बराबर एक स्थिरांक है; a एक मनमाना स्थिरांक है। इस समानता का प्रमाण उच्च गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है।

   चेतावनी

   • जैसे-जैसे घातांक बढ़ता है, इसका मान बहुत बढ़ जाता है। इसलिए, यदि उत्तर आपको गलत लगता है, तो वास्तव में यह सच हो सकता है। आप इसे किसी भी घातांकीय फलन, जैसे कि 2 x, को आलेखित करके देख सकते हैं।

हमने यह पता लगाया कि सामान्य तौर पर किसी संख्या की घात क्या होती है। अब हमें यह समझने की आवश्यकता है कि इसकी सही गणना कैसे करें, अर्थात। शक्तियों के लिए संख्या बढ़ाएँ। इस सामग्री में, हम एक पूर्णांक, प्राकृतिक, भिन्नात्मक, परिमेय और अपरिमेय घातांक के मामले में डिग्री की गणना के लिए बुनियादी नियमों का विश्लेषण करेंगे। सभी परिभाषाओं को उदाहरणों के साथ सचित्र किया जाएगा।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

घातांक की अवधारणा

आइए बुनियादी परिभाषाओं के निर्माण के साथ शुरू करें।

परिभाषा 1

घातांककिसी संख्या की शक्ति के मूल्य की गणना है।

अर्थात्, "डिग्री के मूल्य की गणना" और "घातांक" शब्दों का अर्थ एक ही है। इसलिए, यदि कार्य "संख्या 0 , 5 को पाँचवीं शक्ति तक बढ़ाएँ" है, तो इसे "शक्ति के मान की गणना (0 , 5) 5 के रूप में समझा जाना चाहिए।

अब हम बुनियादी नियम देते हैं जिनका ऐसी गणनाओं में पालन किया जाना चाहिए।

याद करें कि एक प्राकृतिक घातांक वाली संख्या की शक्ति क्या है। आधार a और घातांक n वाली घात के लिए, यह nवें गुणनखंडों का गुणनफल होगा, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

डिग्री के मूल्य की गणना करने के लिए, आपको गुणन के संचालन को करने की आवश्यकता है, अर्थात डिग्री के आधारों को निर्दिष्ट संख्या में गुणा करें। एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री की अवधारणा जल्दी से गुणा करने की क्षमता पर आधारित है। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 1

शर्त: उठाएँ - 2 को 4 के घात तक।

फेसला

ऊपर दी गई परिभाषा का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) । इसके बाद, हमें बस इन चरणों का पालन करने और 16 प्राप्त करने की आवश्यकता है।

आइए एक और अधिक जटिल उदाहरण लें।

उदाहरण 2

मान 3 2 7 2 . की गणना करें

फेसला

इस प्रविष्टि को 3 2 7 · 3 2 7 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। पहले हमने देखा कि कंडीशन में उल्लिखित मिश्रित संख्याओं को सही ढंग से कैसे गुणा किया जाए।

इन चरणों का पालन करें और उत्तर प्राप्त करें: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

यदि कार्य एक प्राकृतिक शक्ति के लिए अपरिमेय संख्याओं को बढ़ाने की आवश्यकता को इंगित करता है, तो हमें पहले उनके आधारों को एक अंक तक गोल करना होगा जो हमें वांछित सटीकता का उत्तर प्राप्त करने की अनुमति देगा। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 3

संख्या का वर्गीकरण करें।

फेसला

आइए पहले इसे सौवें तक गोल करें। तब 2 (3, 14) 2 = 9, 8596। अगर 3 . 14159, तब हमें अधिक सटीक परिणाम मिलेगा: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281।

ध्यान दें कि व्यवहार में अपरिमेय संख्याओं की शक्तियों की गणना करने की आवश्यकता अपेक्षाकृत कम ही उत्पन्न होती है। फिर हम उत्तर को स्वयं घात (ln 6) 3 के रूप में लिख सकते हैं या यदि संभव हो तो रूपांतरित कर सकते हैं: 5 7 = 125 5 ।

अलग से, यह इंगित किया जाना चाहिए कि किसी संख्या की पहली शक्ति क्या है। यहां आप केवल यह याद रख सकते हैं कि कोई भी संख्या जो पहली घात तक उठाई गई है, वही रहेगी:

यह रिकॉर्ड से स्पष्ट है। .

यह डिग्री के आधार पर निर्भर नहीं करता है।

उदाहरण 4

तो, (- 9) 1 = - 9 , और 7 3 को पहली घात तक बढ़ाए जाने पर 7 3 के बराबर रहता है।

सुविधा के लिए, हम तीन मामलों का अलग-अलग विश्लेषण करेंगे: यदि घातांक एक धनात्मक पूर्णांक है, यदि यह शून्य है, और यदि यह एक ऋणात्मक पूर्णांक है।

पहले मामले में, यह प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाने जैसा ही है: आखिरकार, सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित होते हैं। हम पहले ही बता चुके हैं कि ऊपर ऐसी डिग्री के साथ कैसे काम किया जाए।

अब देखते हैं कि शून्य शक्ति को ठीक से कैसे बढ़ाया जाए। गैर-शून्य आधार के साथ, यह गणना हमेशा 1 का आउटपुट उत्पन्न करती है। हम पहले बता चुके हैं कि a की 0वीं घात किसी भी वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित की जा सकती है जो 0 के बराबर नहीं है, और 0 = 1 है।

उदाहरण 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - परिभाषित नहीं।

हमारे पास केवल एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात का मामला बचा है। हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि ऐसी डिग्रियों को भिन्न 1 a z के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a कोई भी संख्या है, और z एक ऋणात्मक पूर्णांक है। हम देखते हैं कि इस भिन्न का हर एक धनात्मक पूर्णांक वाली साधारण घात से अधिक कुछ नहीं है, और हम पहले ही इसकी गणना करना सीख चुके हैं। आइए कार्यों के उदाहरण दें।

उदाहरण 6

3 से -2 की शक्ति बढ़ाएँ।

फेसला

ऊपर दी गई परिभाषा का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: 2 - 3 = 1 2 3

हम इस भिन्न के हर की गणना करते हैं और 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 प्राप्त करते हैं।

तो उत्तर है: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

उदाहरण 7

1, 43 को -2 शक्ति तक बढ़ाएँ।

फेसला

सुधारना: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

हम हर में वर्ग की गणना करते हैं: 1.43 1.43। दशमलव को इस तरह से गुणा किया जा सकता है:

परिणामस्वरूप, हमें (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 प्राप्त हुआ। इस परिणाम को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखना हमारे लिए शेष है, जिसके लिए इसे 10 हजार से गुणा करना आवश्यक है (अंशों के रूपांतरण पर सामग्री देखें)।

उत्तर: (1, 43) - 2 = 10000 20449

एक अलग मामला एक संख्या को घटाकर पहली शक्ति तक बढ़ा रहा है। ऐसी डिग्री का मान आधार के मूल मान के विपरीत संख्या के बराबर होता है: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a।

उदाहरण 8

उदाहरण: 3 - 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

किसी संख्या को भिन्नात्मक घात में कैसे बढ़ाएं

इस तरह के एक ऑपरेशन को करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की मूल परिभाषा को याद करने की आवश्यकता है: a m n \u003d a m n किसी भी सकारात्मक a, पूर्णांक m और प्राकृतिक n के लिए।

परिभाषा 2

इस प्रकार, भिन्नात्मक अंश की गणना दो चरणों में की जानी चाहिए: एक पूर्णांक घात तक बढ़ाना और nवीं डिग्री का मूल ज्ञात करना।

हमारे पास समानता a m n = a m n है, जिसका उपयोग मूल के गुणों को देखते हुए, आमतौर पर a m n = a n m के रूप में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। इसका मतलब यह है कि यदि हम संख्या a को भिन्नात्मक घात m / n तक बढ़ाते हैं, तो पहले हम nth डिग्री की जड़ को a से निकालते हैं, फिर हम परिणाम को पूर्णांक घातांक m के साथ घात तक बढ़ाते हैं।

आइए एक उदाहरण से समझाते हैं।

उदाहरण 9

8 - 2 3 की गणना करें।

फेसला

विधि 1. मूल परिभाषा के अनुसार, हम इसे इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

अब आइए मूल के नीचे की डिग्री की गणना करें और परिणाम से तीसरा मूल निकालें: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

विधि 2। आइए बुनियादी समानता को बदलें: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

उसके बाद, हम रूट 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 निकालते हैं और परिणाम का वर्ग करते हैं: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

हम देखते हैं कि समाधान समान हैं। आप अपनी पसंद का कोई भी तरीका इस्तेमाल कर सकते हैं।

ऐसे मामले हैं जब डिग्री में एक मिश्रित संख्या या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त संकेतक होता है। गणना में आसानी के लिए, इसे एक साधारण अंश से बदलना और ऊपर बताए अनुसार गिनना बेहतर है।

उदाहरण 10

44.89 को 2.5 के घात तक बढ़ाएँ।

फेसला

आइए संकेतक के मान को एक साधारण भिन्न में परिवर्तित करें - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2।

और अब हम ऊपर बताए गए सभी कार्यों को क्रम में करते हैं: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

उत्तर: 13501, 25107।

यदि एक भिन्नात्मक घातांक के अंश और हर में बड़ी संख्याएँ हैं, तो ऐसे घातांकों की परिमेय घातांक के साथ गणना करना एक कठिन कार्य है। इसके लिए आमतौर पर कंप्यूटर तकनीक की आवश्यकता होती है।

अलग से, हम एक शून्य आधार और एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री पर ध्यान केंद्रित करते हैं। 0 m n के रूप का व्यंजक निम्नलिखित अर्थ दिया जा सकता है: यदि m n > 0, तो 0 m n = 0 m n = 0; अगर मैं नहीं< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

किसी संख्या को अपरिमेय शक्ति में कैसे बढ़ाया जाए

डिग्री के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता, जिसके संकेतक में एक अपरिमेय संख्या है, इतनी बार उत्पन्न नहीं होती है। व्यवहार में, कार्य आमतौर पर अनुमानित मूल्य (दशमलव स्थानों की एक निश्चित संख्या तक) की गणना करने तक सीमित होता है। यह आमतौर पर ऐसी गणनाओं की जटिलता के कारण कंप्यूटर पर गणना की जाती है, इसलिए हम इस पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, हम केवल मुख्य प्रावधानों का संकेत देंगे।

यदि हमें एक अपरिमेय घातांक a के साथ घात a के मान की गणना करने की आवश्यकता है, तो हम घातांक का दशमलव सन्निकटन लेते हैं और उसमें से गिनते हैं। परिणाम एक अनुमानित उत्तर होगा। दशमलव सन्निकटन जितना सटीक होगा, उत्तर उतना ही सटीक होगा। आइए एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं:

उदाहरण 11

21, 174367 के अनुमानित मान की गणना करें ....

फेसला

हम स्वयं को दशमलव सन्निकटन a n = 1, 17 तक सीमित रखते हैं। आइए इस संख्या का उपयोग करके गणना करें: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 । यदि हम, उदाहरण के लिए, सन्निकटन a n = 1, 1743 लेते हैं, तो उत्तर थोड़ा अधिक सटीक होगा: 2 1 , 174367। . . 2 1 . 1743 2 . 256833 .

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प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण। व्यापक गाइड (2019)

डिग्री की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहां है? आपको उनका अध्ययन करने में समय बिताने की आवश्यकता क्यों है?

डिग्री के बारे में सब कुछ जानने के लिए, वे किस लिए हैं, अपने ज्ञान का दैनिक जीवन में उपयोग कैसे करें, इस लेख को पढ़ें।

और, निश्चित रूप से, डिग्री जानने से आप OGE या यूनिफाइड स्टेट परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करने के करीब आ जाएंगे।

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महत्वपूर्ण लेख! यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अस्पष्ट देखते हैं, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) या Cmd+R (Mac पर) दबाएँ।

प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग के समान गणितीय संक्रिया है।

अब मैं बहुत ही सरल उदाहरणों का उपयोग करके मानव भाषा में सब कुछ समझाऊंगा। ध्यान दें। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ के साथ शुरू करें।

यहां समझाने के लिए कुछ नहीं है। आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम में से आठ हैं। प्रत्येक के पास कोला की दो बोतलें हैं। कितना कोला? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा।

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है: . गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न देखते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का एक तरीका लेकर आते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास कोला की बोतलों की संख्या समान थी और गुणन नामक एक तकनीक के साथ आए। सहमत हूं, इसे आसान और तेज माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनने के लिए, आपको बस याद रखने की आवश्यकता है पहाड़ा. बेशक, आप सब कुछ धीमा, कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! लेकिन…

यहाँ गुणन तालिका है। दोहराना।

और दूसरा, सुंदर एक:

और आलसी गणितज्ञों ने और कौन-सी पेचीदा गिनने की तरकीबें निकालीं? सही ढंग से - एक संख्या को एक शक्ति में बढ़ाना.

किसी संख्या को घात में बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को अपने आप से पांच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञ कहते हैं कि आपको इस संख्या को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पांचवीं शक्ति है। और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज, आसान और त्रुटियों के बिना।

ऐसा करने के लिए, आपको केवल आवश्यकता है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करो, यह आपके जीवन को बहुत आसान बना देगा।

वैसे दूसरी डिग्री को क्यों कहा जाता है वर्गसंख्या, और तीसरा घनक्षेत्र? इसका क्या मतलब है? एक बहुत अच्छा प्रश्न। अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए किसी संख्या के वर्ग या दूसरी घात से शुरू करें।

मीटर से मीटर मापने वाले एक वर्ग पूल की कल्पना करें। पूल आपके पिछवाड़े में है। यह गर्म है और मैं वास्तव में तैरना चाहता हूं। लेकिन ... बिना तल का एक पूल! पूल के तल को टाइलों से ढकना आवश्यक है। आपको कितनी टाइलें चाहिए? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के तल के क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली पोक करके गिन सकते हैं कि पूल के नीचे क्यूब मीटर बाय मीटर है। यदि आपकी टाइलें मीटर दर मीटर हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइल कहाँ देखी? टाइल बल्कि सेमी से सेमी होगी और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनने" से पीड़ा होगी। फिर आपको गुणा करना होगा। तो, पूल के तल के एक तरफ, हम टाइल्स (टुकड़े) और दूसरी तरफ, टाइल्स भी फिट करेंगे। से गुणा करने पर आपको टाइलें () प्राप्त होती हैं।

क्या आपने देखा कि हमने पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया है? इसका क्या मतलब है? चूंकि एक ही संख्या को गुणा किया जाता है, हम घातांक तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ होती हैं, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो एक घात को बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में कम त्रुटियाँ भी हैं। परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी डिग्री () होगी। या आप कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति होती है। एक वर्ग एक संख्या की दूसरी शक्ति की एक छवि है।

वास्तविक जीवन उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है, संख्या के वर्ग का उपयोग करके शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं गिनें ... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या गिनने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा, या ... यदि आप देखते हैं कि एक बिसात एक भुजा वाला वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। सेल प्राप्त करें। () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब घन या किसी संख्या का तीसरा घात। वही तालाब। लेकिन अब आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है। (वैसे, आयतन और तरल पदार्थ, घन मीटर में मापा जाता है। अप्रत्याशित, है ना?) एक पूल बनाएं: एक मीटर आकार में एक नीचे और एक मीटर गहरा और गणना करने का प्रयास करें कि कितने मीटर मीटर क्यूब आपके पूल में प्रवेश करेंगे।

बस अपनी उंगली इंगित करें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... कितना निकला? खो नहीं गया? क्या उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लें। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन क्यूब्स के बराबर होगा ... आसान, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर वे इसे बहुत आसान बना देते हैं तो गणितज्ञ कितने आलसी और चालाक होते हैं। सब कुछ एक क्रिया में कम कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर है और उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया जाता है ... और इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का उपयोग कर सकते हैं। तो, आप एक बार एक उंगली से क्या गिनते हैं, वे एक क्रिया में करते हैं: एक घन में तीन बराबर होता है। यह इस प्रकार लिखा गया है:

ही रहता है डिग्री की तालिका याद रखें. जब तक, निश्चित रूप से, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक नहीं हैं। अगर आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनती जारी रख सकते हैं।

खैर, अंत में आपको यह समझाने के लिए कि डिग्री का आविष्कार आवारा और चालाक लोगों ने अपने जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया था, न कि आपके लिए समस्याएं पैदा करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन उदाहरण #4

आपके पास एक लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए एक और मिलियन कमाते हैं। यानी हर साल की शुरुआत में आपका एक लाख दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती और .. मूर्ख हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में जवाब देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले साल में - दो गुना दो ... दूसरे साल में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे साल में ... रुक जाओ! आपने देखा कि संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है। तो दो से पांचवीं शक्ति एक लाख है! अब कल्पना कीजिए कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो तेजी से गणना करता है उसे ये लाखों मिलेंगे ... क्या संख्याओं की डिग्री याद रखने लायक है, आपको क्या लगता है?

वास्तविक जीवन उदाहरण #5

आपके पास एक लाख है। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए दो और कमाते हैं। यह बहुत अच्छा है ना? हर मिलियन तीन गुना है। आपके पास एक साल में कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से ... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले से ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति एक लाख है। आपको बस यह याद रखने की जरूरत है कि तीन से चौथी घात या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाकर, आप अपने जीवन को बहुत आसान बना देंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्री के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की जरूरत है।

नियम और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। तुम क्या सोचते हो, घातांक क्या है?? यह बहुत आसान है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, उसी समय, क्या डिग्री का ऐसा आधार? और भी सरल वह संख्या है जो नीचे, आधार पर है।

आपके लिए सुनिश्चित करने के लिए यहां एक तस्वीर है।

खैर, सामान्य शब्दों में, सामान्यीकरण और बेहतर याद रखने के लिए ... आधार "" और एक संकेतक "" के साथ एक डिग्री को "डिग्री में" के रूप में पढ़ा जाता है और इस प्रकार लिखा जाता है:

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक एक प्राकृत संख्या है। हाँ, लेकिन क्या है प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनने में किया जाता है: एक, दो, तीन ... जब हम वस्तुओं की गिनती करते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात"। हम "एक तिहाई" या "शून्य दशमलव पांच दसवां" भी नहीं कहते हैं। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। आपको क्या लगता है ये संख्याएँ क्या हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएं संदर्भित करती हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांक में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात ऋण चिह्न के साथ ली गई), और एक संख्या शामिल होती है। शून्य को समझना आसान है - यह तब है जब कुछ भी नहीं है। और ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को इंगित करने के लिए किया गया था: यदि आपके पास रूबल में आपके फोन पर शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप ऑपरेटर के रूबल का भुगतान करते हैं।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे आए, क्या आपको लगता है? बहुत आसान। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों ने पाया कि लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि को मापने के लिए उनके पास पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएं नहीं थीं। और वे साथ आए परिमेय संख्या... दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, एक अनंत दशमलव अंश। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।

1. पहली घात का कोई भी अंक स्वयं के बराबर होता है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने के लिए उसे अपने आप से गुणा करना है:
3. किसी संख्या को घन करने के लिए उसे अपने आप से तीन गुना गुणा करना है:

परिभाषा।एक संख्या को एक प्राकृतिक घात में बढ़ाने के लिए संख्या को अपने आप से गुणा करना है:
.

डिग्री गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं अब आपको दिखाऊंगा।

आइए देखें क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक होते हैं?

यह बहुत आसान है: हमने कारकों में कारक जोड़े हैं, और परिणाम कारक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, जो कि: है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला:यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में आवश्यक रूप सेएक ही कारण होना चाहिए!
इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी परिस्थिति में आपको ऐसा नहीं लिखना चाहिए।

2. वह है -एक संख्या की शक्ति

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ डिग्री

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि घातांक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

डिग्री में प्राकृतिक संकेतकआधार हो सकता है कोई संख्या. वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों।

आइए इस बारे में सोचें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, क्या संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ? पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम से गुणा करें, तो यह पता चला है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहां उत्तर दिए गए हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में, सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है!

6 अभ्यास उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उनकी अदला-बदली की जाती है, तो नियम लागू हो सकता है।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

पूरा का पूराहम प्राकृतिक संख्याओं को नाम देते हैं, उनके विपरीत (अर्थात, "" चिह्न के साथ लिया जाता है) और संख्या।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले खंड जैसा दिखता है।

अब नए मामलों पर नजर डालते हैं। आइए एक संकेतक के साथ शुरू करें के बराबर।

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, हम खुद से पूछते हैं: ऐसा क्यों है?

आधार के साथ कुछ शक्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

इसलिए, हमने संख्या को इससे गुणा किया, और जैसा था - वैसा ही मिला। किस संख्या से गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू। माध्यम।

हम मनमाना संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद हैं। और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक तरफ, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - आप शून्य को अपने आप से कितना भी गुणा करें, फिर भी आपको शून्य मिलता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी संख्या की तरह शून्य डिग्री तक, यह बराबर होना चाहिए। तो इस बात का सच क्या है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल नहीं होने का फैसला किया और शून्य को शून्य तक बढ़ाने से इनकार कर दिया। यानी अब हम न सिर्फ जीरो से डिवाइड कर सकते हैं, बल्कि जीरो पावर तक बढ़ा भी सकते हैं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। प्राकृत संख्याओं और संख्याओं के अतिरिक्त, पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक डिग्री क्या है, आइए पिछली बार की तरह ही करें: हम कुछ सामान्य संख्या को उसी से ऋणात्मक डिग्री में गुणा करते हैं:

यहां से वांछित को व्यक्त करना पहले से ही आसान है:

अब हम परिणामी नियम को एक मनमाना डिग्री तक बढ़ाते हैं:

तो, चलिए नियम बनाते हैं:

एक नकारात्मक शक्ति के लिए एक संख्या एक सकारात्मक शक्ति के लिए समान संख्या का व्युत्क्रम है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

आइए संक्षेप करें:

I. अभिव्यक्ति को परिभाषित नहीं किया गया है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है: .

III. एक संख्या जो शून्य से ऋणात्मक घात के बराबर नहीं है, उसी संख्या का धनात्मक घात के विलोम है: .

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इसे हल नहीं कर पाए तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधान का विश्लेषण करें और आप सीखेंगे कि परीक्षा में इनका आसानी से सामना कैसे करें!

आइए एक घातांक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।

अब विचार करें परिमेय संख्या।किन संख्याओं को परिमेय कहा जाता है?

उत्तर: वह सब जिसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं, इसके अलावा।

क्या है समझने के लिए "आंशिक डिग्री"आइए एक अंश पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक शक्ति तक बढ़ाएं:

अब नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

किसी घात को प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या बढ़ानी चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या () की वें घात का मूल एक ऐसी संख्या है, जिसे जब घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह बराबर होती है।

अर्थात्, वें डिग्री का मूल घातांक का व्युत्क्रम संक्रिया है: .

परिणाम यह निकला। जाहिर है, इस विशेष मामले को बढ़ाया जा सकता है:।

अब अंश जोड़ें: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम के साथ उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आखिरकार, सभी नंबरों से रूट नहीं निकाला जा सकता है।

कोई भी नहीं!

नियम याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाए जाने पर एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश की जड़ें निकालना असंभव है!

और इसका अर्थ यह है कि ऐसी संख्याओं को एक सम भाजक के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, अर्थात व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या पैदा हो जाती है।

संख्या को अन्य, कम किए गए अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह मौजूद है, लेकिन मौजूद नहीं है, और ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन जैसे ही हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, हमें फिर से परेशानी होती है: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए विचार करें भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल धनात्मक आधार घातांक.

तो अगर:

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

परिमेय घातांक वाली घातें व्यंजकों को जड़ों से बदलने के लिए बहुत उपयोगी होती हैं, उदाहरण के लिए:

5 अभ्यास उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब - सबसे कठिन। अब हम विश्लेषण करेंगे एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

डिग्री के सभी नियम और गुण ठीक उसी तरह हैं जैसे डिग्री के लिए एक तर्कसंगत घातांक के साथ, अपवाद के साथ

वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य", या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है;

...शून्य शक्ति- यह, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक निश्चित "तैयारी" है एक संख्या", अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक घातांक- ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित "रिवर्स प्रोसेस" हुआ है, यानी संख्या को अपने आप से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

वैसे, विज्ञान में, एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग अक्सर किया जाता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं होती है।

लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

हमें यकीन है कि आप कहां जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधानों का विश्लेषण:

1. आइए डिग्री को एक डिग्री तक बढ़ाने के लिए पहले से ही सामान्य नियम से शुरू करें:

अब स्कोर देखिए। क्या वह आपको कुछ याद दिलाता है? हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करते हैं:

पर इस मामले में,

परिणाम यह निकला:

जवाब: .

2. हम घातांक में भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दशमलव या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

उन्नत स्तर, उच्च स्तर

डिग्री की परिभाषा

डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक।

प्राकृतिक घातांक के साथ घात (n = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है संख्या को अपने आप से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ शक्ति (0, ±1, ±2,...)

यदि घातांक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य शक्ति के लिए:

व्यंजक अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर तो किसी भी हद तक यह है, और दूसरी ओर, वें अंश तक कोई भी संख्या यह है।

यदि घातांक है पूर्णांक ऋणात्मकसंख्या:

(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

नल के बारे में एक बार और: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

डिग्री गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें।

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर, निम्नलिखित उत्पाद प्राप्त होता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात्:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला : .

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे नियम में आवश्यक रूप सेउसी आधार पर होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी हालत में मुझे यह नहीं लिखना चाहिए।

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इसे इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:!

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति।

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि क्या होना चाहिए सूचकडिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? डिग्री में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों। आइए इस बारे में सोचें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, क्या संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ?

पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम () से गुणा करते हैं, तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह एड इनफिनिटम: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ, चिन्ह बदल जाएगा। आप ये सरल नियम बना सकते हैं:

1. यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
4. किसी भी घात के लिए शून्य शून्य के बराबर होता है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में, सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन सा कम है: या? यदि आप इसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, जिसका अर्थ है कि आधार शून्य से कम है। यानी हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे में विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंतिम नियम का विश्लेषण करने से पहले, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों के मूल्यों की गणना करें:

समाधान :

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम 3 लागू किया जा सकता था, लेकिन यह कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे इससे गुणा करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलता है, है ना? लेकिन अब ऐसा दिखता है:

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!इसे हमारे लिए केवल एक आपत्तिजनक माइनस बदलकर नहीं बदला जा सकता है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करने जा रहे हैं? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें और सरल करें:

खैर, अब कोष्ठक खोलते हैं। कितने अक्षर होंगे? गुणक द्वारा बार - यह कैसा दिखता है? यह कुछ और नहीं बल्कि एक ऑपरेशन की परिभाषा है गुणा: कुल गुणक निकले। अर्थात्, यह परिभाषा के अनुसार, एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय संकेतक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात , अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य", या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है; शून्य डिग्री के लिए एक संख्या है, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक है निश्चित "एक संख्या की तैयारी", अर्थात् एक संख्या; एक ऋणात्मक पूर्णांक के साथ एक डिग्री - ऐसा लगता है कि एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, यानी संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की कल्पना करना बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना मुश्किल है)। बल्कि, यह एक विशुद्ध रूप से गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने एक डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के पूरे स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान में, एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग अक्सर किया जाता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं होती है। लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

तो अगर हम एक अपरिमेय घातांक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. वर्ग सूत्र का अंतर याद रखें। जवाब: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए: .
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

खंड सारांश और बुनियादी सूत्र

डिग्रीप्रपत्र का व्यंजक कहलाता है: , जहाँ:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका घातांक एक प्राकृत संख्या (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक) है।

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका सूचक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

घातांक जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री गुण

डिग्री की विशेषताएं।

• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है।
• कोई भी संख्या शून्य घात के बराबर होती है।

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और आपकी परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!

पिछले लेखों में से एक में, हमने पहले ही एक संख्या की डिग्री का उल्लेख किया था। आज हम इसका अर्थ खोजने की प्रक्रिया में नेविगेट करने का प्रयास करेंगे। वैज्ञानिक रूप से बोलते हुए, हम यह पता लगाएंगे कि ठीक से घातांक कैसे लगाया जाए। हम समझेंगे कि यह प्रक्रिया कैसे की जाती है, साथ ही साथ सभी संभावित प्रतिपादकों को छूते हुए: प्राकृतिक, तर्कहीन, तर्कसंगत, संपूर्ण।

तो, आइए उदाहरणों के समाधानों पर करीब से नज़र डालें और पता करें कि इसका क्या अर्थ है:

1. अवधारणा परिभाषा।
2. नकारात्मक कला की ओर बढ़ना।
3. पूरा स्कोर।
4. एक संख्या को एक अपरिमेय शक्ति तक बढ़ाना।

यहाँ एक परिभाषा है जो सटीक रूप से अर्थ को दर्शाती है: "एक शक्ति को बढ़ाना एक संख्या की डिग्री के मूल्य की परिभाषा है।"

तदनुसार, कला में संख्या ए का निर्माण। r और घातांक r के साथ घात a का मान ज्ञात करने की प्रक्रिया समान अवधारणाएँ हैं। उदाहरण के लिए, यदि कार्य डिग्री (0.6) 6 के मान की गणना करना है, तो इसे अभिव्यक्ति के लिए सरल बनाया जा सकता है "संख्या 0.6 को 6 की शक्ति तक बढ़ाएं"।

उसके बाद, आप सीधे निर्माण के नियमों के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

एक नकारात्मक शक्ति को ऊपर उठाना

स्पष्टता के लिए, आपको अभिव्यक्ति की निम्नलिखित श्रृंखला पर ध्यान देना चाहिए:

110 \u003d 0.1 \u003d 1 * 10 माइनस 1 सेंट में।

1100 \u003d 0.01 \u003d 1 * 10 माइनस 2 चरणों में।,

11000 \u003d 0.0001 \u003d 1 * 10 माइनस 3 सेंट।

110000=0.00001=1*10 से माइनस 4 डिग्री।

इन उदाहरणों के लिए धन्यवाद, आप किसी भी नकारात्मक शक्ति के लिए तुरंत 10 की गणना करने की क्षमता को स्पष्ट रूप से देख सकते हैं। इस उद्देश्य के लिए, बस दशमलव घटक को स्थानांतरित करना पर्याप्त है:

• 10 से -1 डिग्री - इकाई 1 शून्य से पहले;
• -3 में - एक से पहले तीन शून्य;
• -9 9 शून्य है और इसी तरह।

इस योजना के अनुसार यह समझना भी आसान है कि 10 माइनस 5 टेबलस्पून कितना होगा। -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

किसी संख्या को प्राकृतिक शक्ति में कैसे बढ़ाया जाए

परिभाषा को याद करते हुए, हम कला में प्राकृतिक संख्या को ध्यान में रखते हैं। n, n कारकों के गुणनफल के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर होता है। आइए उदाहरण दें: (a * a * ... a) n, जहां n गुणा की गई संख्याओं की संख्या है। तदनुसार, a को n तक बढ़ाने के लिए, निम्न रूप के उत्पाद की गणना करना आवश्यक है: a * a * ... और n गुणा से विभाजित करें।

यहाँ से यह स्पष्ट हो जाता है कि प्राकृतिक कला में निर्माण। गुणन करने की क्षमता पर निर्भर करता है(यह सामग्री वास्तविक संख्याओं के गुणन पर अनुभाग में शामिल है)। आइए समस्या को देखें:

-2 से 4 बड़े चम्मच उठाएँ।

हम एक प्राकृतिक संकेतक के साथ काम कर रहे हैं। तदनुसार, निर्णय की प्रक्रिया इस प्रकार होगी: (-2) कला में। 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)। अब यह केवल पूर्णांकों का गुणन करने के लिए रह गया है: (-2) * (-2) * (-2) * (-2)। हमें 16 मिलते हैं।

कार्य का उत्तर:

(-2) कला में। 4=16.

उदाहरण:

मान की गणना करें: तीन दशमलव दो सातवां वर्ग।

यह उदाहरण निम्न गुणनफल के बराबर है: तीन दशमलव दो सातवां गुणा तीन दशमलव दो सातवां. मिश्रित संख्याओं का गुणन कैसे किया जाता है, यह याद करते हुए, हम निर्माण पूरा करते हैं:

• 3 पूरे 2 सातवें अपने आप से गुणा;
• 23 सातवें गुणा 23 सातवें के बराबर;
• 529 उनतालीस के बराबर;
• हम घटाते हैं और 10 उनतीस उनतालीसवें प्राप्त करते हैं।

जवाब: 10 39/49

एक अपरिमेय संकेतक को ऊपर उठाने के मुद्दे के संबंध में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि डिग्री के आधार पर कुछ रैंक के प्रारंभिक दौर के पूरा होने के बाद गणना शुरू की जाती है, जो किसी दिए गए मूल्य के साथ मूल्य प्राप्त करने की अनुमति देगा शुद्धता। उदाहरण के लिए, हमें संख्या P (pi) का वर्ग करना होगा।

हम P को सौवां पूर्णांक बनाकर प्रारंभ करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी चुकता \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596। हालाँकि, यदि हम P को घटाकर दस-हज़ारवां कर दें, तो हमें P = 3.14159 प्राप्त होता है। फिर स्क्वेरिंग को एक पूरी तरह से अलग संख्या मिलती है: 9.8695877281।

यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई समस्याओं में एक शक्ति के लिए अपरिमेय संख्याओं को बढ़ाने की आवश्यकता नहीं होती है। एक नियम के रूप में, उत्तर या तो वास्तव में, एक डिग्री के रूप में दर्ज किया जाता है, उदाहरण के लिए, 6 की जड़ से 3 की शक्ति तक, या, यदि अभिव्यक्ति की अनुमति है, तो इसका परिवर्तन किया जाता है: 5 की जड़ से 7 डिग्री \u003d 125 की जड़ 5.

किसी संख्या को पूर्णांक घात में कैसे बढ़ाएं

यह बीजीय हेरफेर उपयुक्त है निम्नलिखित मामलों को ध्यान में रखें:

• पूर्णांकों के लिए;
• शून्य संकेतक के लिए;
• एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए।

चूंकि लगभग सभी सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं के द्रव्यमान के साथ मेल खाते हैं, इसे एक सकारात्मक पूर्णांक शक्ति पर सेट करना कला में इसे स्थापित करने के समान प्रक्रिया है। प्राकृतिक। हमने पिछले पैराग्राफ में इस प्रक्रिया का वर्णन किया है।

अब बात करते हैं कला की गणना की। व्यर्थ। हम पहले ही ऊपर पता लगा चुके हैं कि संख्या a की शून्य शक्ति किसी भी गैर-शून्य a (वास्तविक) के लिए निर्धारित की जा सकती है, जबकि a सेंट में। 0 1 के बराबर होगा।

तदनुसार, किसी भी वास्तविक संख्या से शून्य कला का निर्माण। एक देगा।

उदाहरण के लिए, सेंट में 10 = 1, (-3.65) 0 = 1, और सेंट में 0। 0 निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

एक पूर्णांक शक्ति के घातांक को पूरा करने के लिए, यह ऋणात्मक पूर्णांक मानों के विकल्पों पर निर्णय लेने के लिए रहता है। हमें वह कला याद है। पूर्णांक घातांक वाले a से -z को भिन्न के रूप में परिभाषित किया जाएगा। भिन्न के हर में कला है। एक सकारात्मक पूर्णांक मान के साथ, जिसका मूल्य हम पहले ही खोजना सीख चुके हैं। अब यह केवल निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करने के लिए बनी हुई है।

उदाहरण:

एक ऋणात्मक पूर्णांक के साथ घन संख्या 2 के मान की गणना करें।

समाधान प्रक्रिया:

एक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री की परिभाषा के अनुसार, हम निरूपित करते हैं: दो माइनस 3 बड़े चम्मच। एक से दो के बराबर तीसरी शक्ति।

हर की गणना सरलता से की जाती है: दो घन;

3 = 2*2*2=8.

जवाब: दो से घटाकर तीसरा बड़ा चम्मच। = एक आठवां।

प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण। व्यापक गाइड (2019)

डिग्री की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहां है? आपको उनका अध्ययन करने में समय बिताने की आवश्यकता क्यों है?

डिग्री के बारे में सब कुछ जानने के लिए, वे किस लिए हैं, अपने ज्ञान का दैनिक जीवन में उपयोग कैसे करें, इस लेख को पढ़ें।

और, निश्चित रूप से, डिग्री जानने से आप OGE या यूनिफाइड स्टेट परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करने के करीब आ जाएंगे।

चलो चले चलो चले!)

महत्वपूर्ण लेख! यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अस्पष्ट देखते हैं, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) या Cmd+R (Mac पर) दबाएँ।

प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग के समान गणितीय संक्रिया है।

अब मैं बहुत ही सरल उदाहरणों का उपयोग करके मानव भाषा में सब कुछ समझाऊंगा। ध्यान दें। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ के साथ शुरू करें।

यहां समझाने के लिए कुछ नहीं है। आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम में से आठ हैं। प्रत्येक के पास कोला की दो बोतलें हैं। कितना कोला? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा।

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है: . गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न देखते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का एक तरीका लेकर आते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास कोला की बोतलों की संख्या समान थी और गुणन नामक एक तकनीक के साथ आए। सहमत हूं, इसे आसान और तेज माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनने के लिए, आपको बस याद रखने की आवश्यकता है पहाड़ा. बेशक, आप सब कुछ धीमा, कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! लेकिन…

यहाँ गुणन तालिका है। दोहराना।

और दूसरा, सुंदर एक:

और आलसी गणितज्ञों ने और कौन-सी पेचीदा गिनने की तरकीबें निकालीं? सही ढंग से - एक संख्या को एक शक्ति में बढ़ाना.

किसी संख्या को घात में बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को अपने आप से पांच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञ कहते हैं कि आपको इस संख्या को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पांचवीं शक्ति है। और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज, आसान और त्रुटियों के बिना।

ऐसा करने के लिए, आपको केवल आवश्यकता है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करो, यह आपके जीवन को बहुत आसान बना देगा।

वैसे दूसरी डिग्री को क्यों कहा जाता है वर्गसंख्या, और तीसरा घनक्षेत्र? इसका क्या मतलब है? एक बहुत अच्छा प्रश्न। अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए किसी संख्या के वर्ग या दूसरी घात से शुरू करें।

मीटर से मीटर मापने वाले एक वर्ग पूल की कल्पना करें। पूल आपके पिछवाड़े में है। यह गर्म है और मैं वास्तव में तैरना चाहता हूं। लेकिन ... बिना तल का एक पूल! पूल के तल को टाइलों से ढकना आवश्यक है। आपको कितनी टाइलें चाहिए? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के तल के क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली पोक करके गिन सकते हैं कि पूल के नीचे क्यूब मीटर बाय मीटर है। यदि आपकी टाइलें मीटर दर मीटर हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइल कहाँ देखी? टाइल बल्कि सेमी से सेमी होगी और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनने" से पीड़ा होगी। फिर आपको गुणा करना होगा। तो, पूल के तल के एक तरफ, हम टाइल्स (टुकड़े) और दूसरी तरफ, टाइल्स भी फिट करेंगे। से गुणा करने पर आपको टाइलें () प्राप्त होती हैं।

क्या आपने देखा कि हमने पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया है? इसका क्या मतलब है? चूंकि एक ही संख्या को गुणा किया जाता है, हम घातांक तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ होती हैं, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो एक घात को बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में कम त्रुटियाँ भी हैं। परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी डिग्री () होगी। या आप कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति होती है। एक वर्ग एक संख्या की दूसरी शक्ति की एक छवि है।

वास्तविक जीवन उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है, संख्या के वर्ग का उपयोग करके शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं गिनें ... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या गिनने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा, या ... यदि आप देखते हैं कि एक बिसात एक भुजा वाला वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। सेल प्राप्त करें। () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब घन या किसी संख्या का तीसरा घात। वही तालाब। लेकिन अब आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है। (वैसे, आयतन और तरल पदार्थ, घन मीटर में मापा जाता है। अप्रत्याशित, है ना?) एक पूल बनाएं: एक मीटर आकार में एक नीचे और एक मीटर गहरा और गणना करने का प्रयास करें कि कितने मीटर मीटर क्यूब आपके पूल में प्रवेश करेंगे।

बस अपनी उंगली इंगित करें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... कितना निकला? खो नहीं गया? क्या उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लें। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन क्यूब्स के बराबर होगा ... आसान, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर वे इसे बहुत आसान बना देते हैं तो गणितज्ञ कितने आलसी और चालाक होते हैं। सब कुछ एक क्रिया में कम कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर है और उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया जाता है ... और इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का उपयोग कर सकते हैं। तो, आप एक बार एक उंगली से क्या गिनते हैं, वे एक क्रिया में करते हैं: एक घन में तीन बराबर होता है। यह इस प्रकार लिखा गया है:

ही रहता है डिग्री की तालिका याद रखें. जब तक, निश्चित रूप से, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक नहीं हैं। अगर आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनती जारी रख सकते हैं।

खैर, अंत में आपको यह समझाने के लिए कि डिग्री का आविष्कार आवारा और चालाक लोगों ने अपने जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया था, न कि आपके लिए समस्याएं पैदा करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन उदाहरण #4

आपके पास एक लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए एक और मिलियन कमाते हैं। यानी हर साल की शुरुआत में आपका एक लाख दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती और .. मूर्ख हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में जवाब देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले साल में - दो गुना दो ... दूसरे साल में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे साल में ... रुक जाओ! आपने देखा कि संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है। तो दो से पांचवीं शक्ति एक लाख है! अब कल्पना कीजिए कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो तेजी से गणना करता है उसे ये लाखों मिलेंगे ... क्या संख्याओं की डिग्री याद रखने लायक है, आपको क्या लगता है?

वास्तविक जीवन उदाहरण #5

आपके पास एक लाख है। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए दो और कमाते हैं। यह बहुत अच्छा है ना? हर मिलियन तीन गुना है। आपके पास एक साल में कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से ... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले से ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति एक लाख है। आपको बस यह याद रखने की जरूरत है कि तीन से चौथी घात या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाकर, आप अपने जीवन को बहुत आसान बना देंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्री के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की जरूरत है।

नियम और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। तुम क्या सोचते हो, घातांक क्या है?? यह बहुत आसान है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, उसी समय, क्या डिग्री का ऐसा आधार? और भी सरल वह संख्या है जो नीचे, आधार पर है।

आपके लिए सुनिश्चित करने के लिए यहां एक तस्वीर है।

खैर, सामान्य शब्दों में, सामान्यीकरण और बेहतर याद रखने के लिए ... आधार "" और एक संकेतक "" के साथ एक डिग्री को "डिग्री में" के रूप में पढ़ा जाता है और इस प्रकार लिखा जाता है:

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक एक प्राकृत संख्या है। हाँ, लेकिन क्या है प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनने में किया जाता है: एक, दो, तीन ... जब हम वस्तुओं की गिनती करते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात"। हम "एक तिहाई" या "शून्य दशमलव पांच दसवां" भी नहीं कहते हैं। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। आपको क्या लगता है ये संख्याएँ क्या हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएं संदर्भित करती हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांक में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात ऋण चिह्न के साथ ली गई), और एक संख्या शामिल होती है। शून्य को समझना आसान है - यह तब है जब कुछ भी नहीं है। और ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को इंगित करने के लिए किया गया था: यदि आपके पास रूबल में आपके फोन पर शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप ऑपरेटर के रूबल का भुगतान करते हैं।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे आए, क्या आपको लगता है? बहुत आसान। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों ने पाया कि लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि को मापने के लिए उनके पास पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएं नहीं थीं। और वे साथ आए परिमेय संख्या... दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, एक अनंत दशमलव अंश। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।

1. पहली घात का कोई भी अंक स्वयं के बराबर होता है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने के लिए उसे अपने आप से गुणा करना है:
3. किसी संख्या को घन करने के लिए उसे अपने आप से तीन गुना गुणा करना है:

परिभाषा।एक संख्या को एक प्राकृतिक घात में बढ़ाने के लिए संख्या को अपने आप से गुणा करना है:
.

डिग्री गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं अब आपको दिखाऊंगा।

आइए देखें क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक होते हैं?

यह बहुत आसान है: हमने कारकों में कारक जोड़े हैं, और परिणाम कारक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, जो कि: है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला:यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में आवश्यक रूप सेएक ही कारण होना चाहिए!
इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी परिस्थिति में आपको ऐसा नहीं लिखना चाहिए।

2. वह है -एक संख्या की शक्ति

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ डिग्री

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि घातांक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

डिग्री में प्राकृतिक संकेतकआधार हो सकता है कोई संख्या. वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों।

आइए इस बारे में सोचें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, क्या संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ? पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम से गुणा करें, तो यह पता चला है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहां उत्तर दिए गए हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में, सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है!

6 अभ्यास उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उनकी अदला-बदली की जाती है, तो नियम लागू हो सकता है।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

पूरा का पूराहम प्राकृतिक संख्याओं को नाम देते हैं, उनके विपरीत (अर्थात, "" चिह्न के साथ लिया जाता है) और संख्या।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले खंड जैसा दिखता है।

अब नए मामलों पर नजर डालते हैं। आइए एक संकेतक के साथ शुरू करें के बराबर।

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, हम खुद से पूछते हैं: ऐसा क्यों है?

आधार के साथ कुछ शक्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

इसलिए, हमने संख्या को इससे गुणा किया, और जैसा था - वैसा ही मिला। किस संख्या से गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू। माध्यम।

हम मनमाना संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद हैं। और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक तरफ, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - आप शून्य को अपने आप से कितना भी गुणा करें, फिर भी आपको शून्य मिलता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी संख्या की तरह शून्य डिग्री तक, यह बराबर होना चाहिए। तो इस बात का सच क्या है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल नहीं होने का फैसला किया और शून्य को शून्य तक बढ़ाने से इनकार कर दिया। यानी अब हम न सिर्फ जीरो से डिवाइड कर सकते हैं, बल्कि जीरो पावर तक बढ़ा भी सकते हैं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। प्राकृत संख्याओं और संख्याओं के अतिरिक्त, पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक डिग्री क्या है, आइए पिछली बार की तरह ही करें: हम कुछ सामान्य संख्या को उसी से ऋणात्मक डिग्री में गुणा करते हैं:

यहां से वांछित को व्यक्त करना पहले से ही आसान है:

अब हम परिणामी नियम को एक मनमाना डिग्री तक बढ़ाते हैं:

तो, चलिए नियम बनाते हैं:

एक नकारात्मक शक्ति के लिए एक संख्या एक सकारात्मक शक्ति के लिए समान संख्या का व्युत्क्रम है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

आइए संक्षेप करें:

I. अभिव्यक्ति को परिभाषित नहीं किया गया है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है: .

III. एक संख्या जो शून्य से ऋणात्मक घात के बराबर नहीं है, उसी संख्या का धनात्मक घात के विलोम है: .

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इसे हल नहीं कर पाए तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधान का विश्लेषण करें और आप सीखेंगे कि परीक्षा में इनका आसानी से सामना कैसे करें!

आइए एक घातांक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।

अब विचार करें परिमेय संख्या।किन संख्याओं को परिमेय कहा जाता है?

उत्तर: वह सब जिसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं, इसके अलावा।

क्या है समझने के लिए "आंशिक डिग्री"आइए एक अंश पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक शक्ति तक बढ़ाएं:

अब नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

किसी घात को प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या बढ़ानी चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या () की वें घात का मूल एक ऐसी संख्या है, जिसे जब घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह बराबर होती है।

अर्थात्, वें डिग्री का मूल घातांक का व्युत्क्रम संक्रिया है: .

परिणाम यह निकला। जाहिर है, इस विशेष मामले को बढ़ाया जा सकता है:।

अब अंश जोड़ें: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम के साथ उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आखिरकार, सभी नंबरों से रूट नहीं निकाला जा सकता है।

कोई भी नहीं!

नियम याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाए जाने पर एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश की जड़ें निकालना असंभव है!

और इसका अर्थ यह है कि ऐसी संख्याओं को एक सम भाजक के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, अर्थात व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या पैदा हो जाती है।

संख्या को अन्य, कम किए गए अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह मौजूद है, लेकिन मौजूद नहीं है, और ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन जैसे ही हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, हमें फिर से परेशानी होती है: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए विचार करें भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल धनात्मक आधार घातांक.

तो अगर:

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

परिमेय घातांक वाली घातें व्यंजकों को जड़ों से बदलने के लिए बहुत उपयोगी होती हैं, उदाहरण के लिए:

5 अभ्यास उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब - सबसे कठिन। अब हम विश्लेषण करेंगे एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

डिग्री के सभी नियम और गुण ठीक उसी तरह हैं जैसे डिग्री के लिए एक तर्कसंगत घातांक के साथ, अपवाद के साथ

वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य", या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है;

...शून्य शक्ति- यह, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक निश्चित "तैयारी" है एक संख्या", अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक घातांक- ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित "रिवर्स प्रोसेस" हुआ है, यानी संख्या को अपने आप से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

वैसे, विज्ञान में, एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग अक्सर किया जाता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं होती है।

लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

हमें यकीन है कि आप कहां जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधानों का विश्लेषण:

1. आइए डिग्री को एक डिग्री तक बढ़ाने के लिए पहले से ही सामान्य नियम से शुरू करें:

अब स्कोर देखिए। क्या वह आपको कुछ याद दिलाता है? हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करते हैं:

इस मामले में,

परिणाम यह निकला:

जवाब: .

2. हम घातांक में भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दशमलव या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

उन्नत स्तर, उच्च स्तर

डिग्री की परिभाषा

डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक।

प्राकृतिक घातांक के साथ घात (n = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है संख्या को अपने आप से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ शक्ति (0, ±1, ±2,...)

यदि घातांक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य शक्ति के लिए:

व्यंजक अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर तो किसी भी हद तक यह है, और दूसरी ओर, वें अंश तक कोई भी संख्या यह है।

यदि घातांक है पूर्णांक ऋणात्मकसंख्या:

(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

नल के बारे में एक बार और: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

डिग्री गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें।

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर, निम्नलिखित उत्पाद प्राप्त होता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात्:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला : .

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे नियम में आवश्यक रूप सेउसी आधार पर होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी हालत में मुझे यह नहीं लिखना चाहिए।

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इसे इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:!

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति।

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि क्या होना चाहिए सूचकडिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? डिग्री में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों। आइए इस बारे में सोचें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, क्या संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ?

पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम () से गुणा करते हैं, तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह एड इनफिनिटम: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ, चिन्ह बदल जाएगा। आप ये सरल नियम बना सकते हैं:

1. यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
4. किसी भी घात के लिए शून्य शून्य के बराबर होता है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में, सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन सा कम है: या? यदि आप इसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, जिसका अर्थ है कि आधार शून्य से कम है। यानी हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे में विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंतिम नियम का विश्लेषण करने से पहले, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों के मूल्यों की गणना करें:

समाधान :

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम 3 लागू किया जा सकता था, लेकिन यह कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे इससे गुणा करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलता है, है ना? लेकिन अब ऐसा दिखता है:

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!इसे हमारे लिए केवल एक आपत्तिजनक माइनस बदलकर नहीं बदला जा सकता है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करने जा रहे हैं? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें और सरल करें:

खैर, अब कोष्ठक खोलते हैं। कितने अक्षर होंगे? गुणक द्वारा बार - यह कैसा दिखता है? यह कुछ और नहीं बल्कि एक ऑपरेशन की परिभाषा है गुणा: कुल गुणक निकले। अर्थात्, यह परिभाषा के अनुसार, एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय संकेतक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात , अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य", या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है; शून्य डिग्री के लिए एक संख्या है, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक है निश्चित "एक संख्या की तैयारी", अर्थात् एक संख्या; एक ऋणात्मक पूर्णांक के साथ एक डिग्री - ऐसा लगता है कि एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, यानी संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की कल्पना करना बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना मुश्किल है)। बल्कि, यह एक विशुद्ध रूप से गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने एक डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के पूरे स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान में, एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग अक्सर किया जाता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं होती है। लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

तो अगर हम एक अपरिमेय घातांक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. वर्ग सूत्र का अंतर याद रखें। जवाब: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए: .
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

खंड सारांश और बुनियादी सूत्र

डिग्रीप्रपत्र का व्यंजक कहलाता है: , जहाँ:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका घातांक एक प्राकृत संख्या (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक) है।

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका सूचक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

घातांक जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री गुण

डिग्री की विशेषताएं।

• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है।
• कोई भी संख्या शून्य घात के बराबर होती है।

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