चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एकता के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी के लिए a>0 , a≠1 । प्रमाण सीधा है: चूंकि a 0 =1 किसी भी a के लिए जो उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो सिद्ध समानता लॉग a 1=0 तुरंत लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है।
आइए मानी गई संपत्ति के आवेदन के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0 , lg1=0 तथा ।
आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर किसी संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए = 1 a>0 , a≠1 के लिए। वास्तव में, चूंकि a 1 =a किसी भी a के लिए है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार a a=1 लॉग करें।
लघुगणक के इस गुण का उपयोग करने के उदाहरण हैं log 5 5=1 , log 5.6 5.6 और lne=1 ।
उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 2 7 =7 , लघुगणक 10 -4 = -4 और 
.
दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर हैं: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 । आइए हम उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x+log a y =a log a x a log a y, और चूंकि मुख्य लघुगणकीय पहचान द्वारा a log a x =x और a log a y =y , तो a log a x a log a y =x y । इस प्रकार, a log a x+log a y =x y , जहां से आवश्यक समानता लघुगणक की परिभाषा के अनुसार होती है।
आइए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3)=लॉग 5 2+लॉग 5 3 और 
.
गुणनफल लघुगणक गुण को धनात्मक संख्याओं x 1, x 2, ..., x n की एक परिमित संख्या n के गुणनफल के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (x 1 x 2 ... x n)= लॉग a x 1 + लॉग a x 2 +…+ लॉग a x n . यह समानता आसानी से सिद्ध हो जाती है।
उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणकों के योग से बदला जा सकता है।
दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर हैं। भागफल लघुगणक गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है, जहाँ a>0 , a≠1 , x और y कुछ धनात्मक संख्याएँ हैं। इस सूत्र की वैधता उत्पाद के लघुगणक के सूत्र की तरह सिद्ध होती है: चूँकि 
, फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार।
लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: 
.
चलिए आगे बढ़ते हैं डिग्री के लघुगणक की संपत्ति. एक डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। हम डिग्री के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखते हैं: लॉग ए बी पी = पी लॉग ए |बी|, जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।
हम पहले इस गुण को धनात्मक b के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को a log a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी व्यंजक, power गुण के कारण, a p log a b के बराबर होता है। इसलिए हम समानता b p =a p log a b पर पहुंचते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p log a b ।
यह इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना शेष है। यहाँ हम ध्यान दें कि व्यंजक लॉग a b p ऋणात्मक b के लिए केवल सम घातांक p के लिए अर्थ रखता है (क्योंकि घात b p का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई अर्थ नहीं होगा), और इस स्थिति में b p =|b| पी । फिर बी पी == बी | p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, कहाँ से लॉग a b p =p log a |b| .
उदाहरण के लिए, 
और ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 ।
यह पिछली संपत्ति से इस प्रकार है जड़ से लघुगणक की संपत्ति: nवें अंश के मूल का लघुगणक भिन्न 1/n के गुणनफल और मूल व्यंजक के लघुगणक के बराबर होता है, अर्थात्, 
, जहां a>0 , a≠1 , n एक से बड़ी प्राकृत संख्या है, b>0 ।
सबूत समानता (देखें) पर आधारित है, जो किसी भी सकारात्मक b के लिए मान्य है, और डिग्री के लघुगणक की संपत्ति: 
.
इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: 
.
चलिए अब साबित करते हैं लघुगणक के नए आधार में रूपांतरण सूत्रतरह 
. ऐसा करने के लिए, यह समानता लॉग c b=log a b log c a की वैधता को साबित करने के लिए पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को लॉग a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b के रूप में। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: लॉग सी ए लॉग ए बी = लॉग ए बी लॉग सी ए. इस प्रकार, समानता लॉग c b=log a b log c a सिद्ध होता है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार में संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है।
आइए लघुगणक के इस गुण को लागू करने के कुछ उदाहरण दिखाते हैं: और 
.
एक नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक पर स्विच करने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण का सूत्र कुछ मामलों में किसी दिए गए लघुगणक के मूल्य को खोजने की अनुमति देता है, जब अन्य आधारों के साथ कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।
फॉर्म के c=b के लिए लॉगरिदम के एक नए आधार में संक्रमण के लिए अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला सूत्र का एक विशेष मामला है 
. यह दर्शाता है कि लॉग a b और लॉग b a – । उदाहरण के लिए, 
.
अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला सूत्र है 
, जो लघुगणक मानों को खोजने के लिए उपयोगी है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि फॉर्म के लॉगरिदम के मूल्य की गणना कैसे की जाती है। हमारे पास है 
. सूत्र सिद्ध करने के लिए 
यह लघुगणक के नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है a: 
.
यह लघुगणक के तुलनात्मक गुणों को साबित करने के लिए बनी हुई है।
आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी धनात्मक संख्या b 1 और b 2 , b 1 . के लिए लॉग a b 2 , और a>1 के लिए, असमानता लॉग a b 1 अंत में, यह लघुगणक के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को साबित करना बाकी है। हम स्वयं को इसके पहले भाग को सिद्ध करने तक ही सीमित रखते हैं, अर्थात हम यह सिद्ध करते हैं कि यदि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 1 सत्य है लॉग ए 1 बी>लॉग ए 2 बी। लघुगणक के इस गुण के शेष कथन इसी सिद्धांत से सिद्ध होते हैं। आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 . के लिए 1 log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों से, इन असमानताओं को फिर से लिखा जा सकता है 
और 
क्रमशः, और उनसे यह निम्नानुसार है कि लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2, क्रमशः। फिर, समान आधार वाले घातों के गुणों से, समानताएं b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 को संतुष्ट किया जाना चाहिए, अर्थात a 1 a 2 । इस प्रकार, हम 1 . की स्थिति के विरोधाभास पर पहुंच गए हैं
ग्रंथ सूची।
- कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
- गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।
समाज के विकास के साथ-साथ उत्पादन की जटिलता, गणित का भी विकास हुआ। सरल से जटिल की ओर गति। जोड़ और घटाव की सामान्य लेखांकन पद्धति से, उनकी बार-बार पुनरावृत्ति के साथ, वे गुणा और भाग की अवधारणा पर आए। बार-बार होने वाले ऑपरेशन में कमी घातांक की अवधारणा बन गई। आधार पर संख्याओं की निर्भरता और घातांक की संख्या की पहली तालिकाएँ भारतीय गणितज्ञ वरसेना द्वारा 8वीं शताब्दी में संकलित की गई थीं। उनसे, आप लघुगणक की घटना के समय की गणना कर सकते हैं।
ऐतिहासिक रूपरेखा
16वीं शताब्दी में यूरोप के पुनरुद्धार ने यांत्रिकी के विकास को भी प्रेरित किया। टी गणना की एक बड़ी मात्रा की आवश्यकता हैबहु-अंकीय संख्याओं के गुणन और विभाजन से संबंधित। प्राचीन तालिकाओं ने बहुत अच्छी सेवा की। उन्होंने जटिल कार्यों को सरल लोगों के साथ बदलना संभव बना दिया - जोड़ और घटाव। एक बड़ा कदम आगे 1544 में प्रकाशित गणितज्ञ माइकल स्टीफेल का काम था, जिसमें उन्होंने कई गणितज्ञों के विचार को महसूस किया। इससे न केवल अभाज्य संख्याओं के रूप में अंशों के लिए, बल्कि मनमाने परिमेय संख्याओं के लिए भी तालिकाओं का उपयोग करना संभव हो गया।
1614 में, स्कॉट्समैन जॉन नेपियर ने इन विचारों को विकसित करते हुए, पहली बार "एक संख्या का लघुगणक" शब्द पेश किया। साइन और कोसाइन के लघुगणक, साथ ही स्पर्शरेखाओं की गणना के लिए नई जटिल तालिकाएँ संकलित की गईं। इसने खगोलविदों के काम को बहुत कम कर दिया।
नई तालिकाएँ दिखाई देने लगीं, जिनका वैज्ञानिकों द्वारा तीन शताब्दियों तक सफलतापूर्वक उपयोग किया गया। बीजगणित में नए ऑपरेशन को अपना तैयार रूप हासिल करने से पहले बहुत समय बीत गया। लघुगणक को परिभाषित किया गया और इसके गुणों का अध्ययन किया गया।
केवल 20वीं शताब्दी में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन के साथ, मानव जाति ने उन प्राचीन तालिकाओं को त्याग दिया जो 13वीं शताब्दी में सफलतापूर्वक काम कर रही थीं।
आज हम संख्या x को आधार बनाने के लिए b का लघुगणक कहते हैं, जो कि संख्या b प्राप्त करने के लिए a की घात है। यह एक सूत्र के रूप में लिखा गया है: x = log a(b)।
उदाहरण के लिए, लॉग 3(9) 2 के बराबर होगा। यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं तो यह स्पष्ट है। यदि हम 3 को 2 के घात तक बढ़ाते हैं, तो हमें 9 प्राप्त होता है।
इस प्रकार, तैयार की गई परिभाषा केवल एक प्रतिबंध लगाती है, संख्याएँ a और b वास्तविक होनी चाहिए।
लघुगणक की किस्में
शास्त्रीय परिभाषा को वास्तविक लघुगणक कहा जाता है और यह वास्तव में समीकरण a x = b का समाधान है। विकल्प a = 1 सीमा रेखा है और इसमें कोई रुचि नहीं है। नोट: किसी भी घात के लिए 1 होता है।
लघुगणक का वास्तविक मूल्यकेवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आधार और तर्क 0 से अधिक हों, और आधार 1 के बराबर न हो।
गणित के क्षेत्र में विशेष स्थानलघुगणक खेलें, जिनका नाम उनके आधार के मान के आधार पर रखा जाएगा:
नियम और प्रतिबंध
लघुगणक का मूल गुण नियम है: किसी उत्पाद का लघुगणक लघुगणक योग के बराबर होता है। लॉग एबीपी = लॉग ए (बी) + लॉग ए (पी)।
इस कथन के एक प्रकार के रूप में, यह होगा: लॉग सी (बी / पी) \u003d लॉग सी (बी) - लॉग सी (पी), भागफल फ़ंक्शन फ़ंक्शन के अंतर के बराबर है।
पिछले दो नियमों से यह देखना आसान है कि: लॉग ए (बी पी) = पी * लॉग ए (बी)।
अन्य गुणों में शामिल हैं:
टिप्पणी। सामान्य गलती न करें - योग का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर नहीं होता है।
कई शताब्दियों के लिए, लघुगणक को खोजने का कार्य काफी समय लेने वाला कार्य था। गणितज्ञों ने बहुपद में विस्तार के लघुगणकीय सिद्धांत के प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग किया:
एलएन (1 + एक्स) = एक्स - (एक्स^2)/2 + (एक्स^3)/3 - (एक्स^4)/4 + ... + ((-1)^(एन + 1))* ((x^n)/n), जहां n 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है, जो गणना की सटीकता को निर्धारित करती है।
अन्य आधारों के साथ लघुगणक की गणना एक आधार से दूसरे आधार में संक्रमण और उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति पर प्रमेय का उपयोग करके की गई थी।
चूंकि यह विधि बहुत श्रमसाध्य है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समयलागू करना मुश्किल था, उन्होंने लॉगरिदम की पूर्व-संकलित तालिकाओं का उपयोग किया, जिससे पूरे काम में तेजी आई।
कुछ मामलों में, लघुगणक के विशेष रूप से संकलित रेखांकन का उपयोग किया गया था, जो कम सटीकता देता था, लेकिन वांछित मूल्य की खोज में काफी तेजी लाता था। फ़ंक्शन का वक्र y = लॉग a(x), कई बिंदुओं पर निर्मित, किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्यों को खोजने के लिए सामान्य शासक का उपयोग करने की अनुमति देता है। लंबे समय तक, इंजीनियरों ने इन उद्देश्यों के लिए तथाकथित ग्राफ पेपर का इस्तेमाल किया।
17वीं शताब्दी में, पहली सहायक एनालॉग कंप्यूटिंग स्थितियां सामने आईं, जिन्होंने 19वीं शताब्दी तक एक पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया था। सबसे सफल उपकरण को स्लाइड नियम कहा जाता था। डिवाइस की सादगी के बावजूद, इसकी उपस्थिति ने सभी इंजीनियरिंग गणनाओं की प्रक्रिया को काफी तेज कर दिया है, और इसे कम करना मुश्किल है। वर्तमान में, बहुत कम लोग इस उपकरण से परिचित हैं।
कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन ने किसी भी अन्य उपकरण का उपयोग करना व्यर्थ बना दिया है।
समीकरण और असमानता
लघुगणक का उपयोग करके विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:
- एक आधार से दूसरे में संक्रमण: लॉग ए (बी) = लॉग सी (बी) / लॉग सी (ए);
- पिछले संस्करण के परिणामस्वरूप: लॉग ए (बी) = 1 / लॉग बी (ए)।
असमानताओं को हल करने के लिए, यह जानना उपयोगी है:
- लघुगणक का मान केवल तभी सकारात्मक होगा जब आधार और तर्क दोनों एक से अधिक या कम हों; यदि कम से कम एक शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो लघुगणक का मान ऋणात्मक होगा।
- यदि लघुगणक फलन असमानता के दाएँ और बाएँ पक्षों पर लागू होता है, और लघुगणक का आधार एक से बड़ा होता है, तो असमानता का चिह्न संरक्षित रहता है; अन्यथा, यह बदल जाता है।
कार्य उदाहरण
लघुगणक और उनके गुणों का उपयोग करने के लिए कई विकल्पों पर विचार करें। समीकरणों को हल करने के उदाहरण:
लघुगणक को डिग्री में रखने के विकल्प पर विचार करें:
- कार्य 3. 25^लॉग 5(3) की गणना करें। समाधान: समस्या की स्थितियों में, संकेतन निम्न (5^2)^log5(3) या 5^(2 * log 5(3)) के समान है। आइए इसे अलग तरीके से लिखें: 5^लॉग 5(3*2), या किसी संख्या के वर्ग को फ़ंक्शन तर्क के रूप में फ़ंक्शन के वर्ग के रूप में ही लिखा जा सकता है (5^लॉग 5(3))^2। लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, यह व्यंजक 3^2 है। उत्तर: गणना के परिणामस्वरूप हमें 9 प्राप्त होते हैं।
प्रायोगिक उपयोग
विशुद्ध रूप से गणितीय उपकरण होने के कारण, यह वास्तविक जीवन से बहुत दूर लगता है कि वास्तविक दुनिया में वस्तुओं का वर्णन करने में लघुगणक का अचानक बहुत महत्व हो गया है। ऐसा विज्ञान खोजना मुश्किल है जहां इसका उपयोग नहीं किया जाता है। यह पूरी तरह से न केवल प्राकृतिक पर लागू होता है, बल्कि ज्ञान के मानविकी क्षेत्रों पर भी लागू होता है।
लॉगरिदमिक निर्भरता
यहाँ संख्यात्मक निर्भरता के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
यांत्रिकी और भौतिकी
ऐतिहासिक रूप से, यांत्रिकी और भौतिकी हमेशा गणितीय अनुसंधान विधियों का उपयोग करके विकसित हुए हैं और साथ ही गणित के विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया है, जिसमें लॉगरिदम भी शामिल है। भौतिकी के अधिकांश नियमों का सिद्धांत गणित की भाषा में लिखा जाता है। हम लघुगणक का उपयोग करते हुए भौतिक नियमों के वर्णन के केवल दो उदाहरण देते हैं।
Tsiolkovsky सूत्र का उपयोग करके रॉकेट की गति के रूप में इतनी जटिल मात्रा की गणना करने की समस्या को हल करना संभव है, जिसने अंतरिक्ष अन्वेषण के सिद्धांत की नींव रखी:
वी = मैं * एलएन(एम1/एम2), जहां
- V वायुयान की अंतिम गति है।
- मैं इंजन का विशिष्ट आवेग है।
- एम 1 रॉकेट का प्रारंभिक द्रव्यमान है।
- एम 2 - अंतिम द्रव्यमान।
एक और महत्वपूर्ण उदाहरण- यह एक अन्य महान वैज्ञानिक मैक्स प्लैंक के सूत्र में उपयोग है, जो थर्मोडायनामिक्स में संतुलन की स्थिति का मूल्यांकन करने का कार्य करता है।
एस = के * एलएन (Ω), जहां
- S एक ऊष्मागतिकीय गुण है।
- k बोल्ट्जमान नियतांक है।
- Ω विभिन्न राज्यों का सांख्यिकीय भार है।
रसायन विज्ञान
लघुगणक के अनुपात वाले रसायन विज्ञान में सूत्रों का उपयोग कम स्पष्ट होगा। यहाँ सिर्फ दो उदाहरण हैं:
- नर्नस्ट समीकरण, पदार्थों की गतिविधि और संतुलन स्थिरांक के संबंध में माध्यम की रेडॉक्स क्षमता की स्थिति।
- ऑटोप्रोलिसिस इंडेक्स और समाधान की अम्लता जैसे स्थिरांक की गणना भी हमारे कार्य के बिना पूरी नहीं होती है।
मनोविज्ञान और जीव विज्ञान
और यह पूरी तरह से समझ से बाहर है कि मनोविज्ञान का इससे क्या लेना-देना है। यह पता चला है कि उत्तेजना की तीव्रता को इस फ़ंक्शन द्वारा उत्तेजना तीव्रता मूल्य के कम तीव्रता मूल्य के विपरीत अनुपात के रूप में अच्छी तरह से वर्णित किया गया है।
उपरोक्त उदाहरणों के बाद, अब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि जीव विज्ञान में लघुगणक का विषय भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लॉगरिदमिक सर्पिल के अनुरूप जैविक रूपों के बारे में संपूर्ण खंड लिखे जा सकते हैं।
अन्य क्षेत्र
ऐसा लगता है कि इस कार्य के संबंध के बिना दुनिया का अस्तित्व असंभव है, और यह सभी कानूनों को नियंत्रित करता है। खासकर जब प्रकृति के नियम ज्यामितीय प्रगति से जुड़े हों। यह MatProfi वेबसाइट को संदर्भित करने योग्य है, और गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में ऐसे कई उदाहरण हैं:
सूची अंतहीन हो सकती है। इस समारोह के बुनियादी नियमों में महारत हासिल करने के बाद, आप अनंत ज्ञान की दुनिया में उतर सकते हैं।
एक लघुगणक क्या है?
ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")
एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।
यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास मत करो? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:
1. समझें लघुगणक क्या है?.
2. घातांकीय समीकरणों की एक पूरी कक्षा को हल करना सीखें। भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।
3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।
इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन तालिका को जानना होगा, और किसी संख्या को घात में कैसे बढ़ाया जाता है ...
मुझे लगता है कि आपको संदेह है ... ठीक है, समय रखो! जाना!
सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:
अगर आपको यह साइट पसंद है...
वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)
आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)
आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।
के संदर्भ में
दिए गए अन्य दो में से तीन संख्याओं में से किसी एक को खोजने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। दिया गया है और फिर घातांक द्वारा N पाया जाता है। यदि N दिया जाता है और फिर घात x (या घातांक) का मूल निकालकर a पाया जाता है। अब उस स्थिति पर विचार करें, जब a और N दिए जाने पर x ज्ञात करना आवश्यक हो।
मान लीजिए कि संख्या N धनात्मक है: संख्या a धनात्मक है और एक के बराबर नहीं है: ।
परिभाषा। संख्या N से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको संख्या N प्राप्त करने के लिए a को ऊपर उठाने की आवश्यकता होती है; लघुगणक द्वारा निरूपित किया जाता है
इस प्रकार, समानता (26.1) में, घातांक N के आधार a के लघुगणक के रूप में पाया जाता है। प्रविष्टियां
एक ही अर्थ रखते हैं। समानता (26.1) को कभी-कभी लघुगणक के सिद्धांत की मूल पहचान कहा जाता है; वास्तव में, यह लघुगणक की अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करता है। इस परिभाषा के अनुसार, लघुगणक का आधार हमेशा सकारात्मक होता है और एकता से अलग होता है; लघुगणकीय संख्या N धनात्मक है। ऋणात्मक संख्याओं और शून्य में लघुगणक नहीं होते हैं। यह सिद्ध किया जा सकता है कि दिए गए आधार वाली किसी भी संख्या का एक सुपरिभाषित लघुगणक होता है। इसलिए समानता जरूरी है। ध्यान दें कि यहां शर्त आवश्यक है, अन्यथा निष्कर्ष उचित नहीं होगा, क्योंकि समानता x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है।
उदाहरण 1. खोजें
फेसला। संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको आधार 2 को शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है।
आप ऐसे उदाहरणों को निम्नलिखित रूप में हल करते समय रिकॉर्ड कर सकते हैं:
उदाहरण 2. खोजें।
फेसला। हमारे पास है
उदाहरण 1 और 2 में, हमने तर्कसंगत घातांक के साथ आधार की डिग्री के रूप में लघुगणकीय संख्या का प्रतिनिधित्व करके वांछित लघुगणक को आसानी से पाया। सामान्य स्थिति में, उदाहरण के लिए, आदि के लिए, ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि लघुगणक का एक अपरिमेय मान होता है। आइए इस कथन से संबंधित एक प्रश्न पर ध्यान दें। 12 में हमने किसी दी गई धनात्मक संख्या की वास्तविक घात ज्ञात करने की संभावना की अवधारणा दी है। लॉगरिदम की शुरूआत के लिए यह आवश्यक था, जो सामान्य रूप से, अपरिमेय संख्याएं हो सकती हैं।
लघुगणक के कुछ गुणों पर विचार करें।
संपत्ति 1. यदि संख्या और आधार समान हैं, तो लघुगणक एक के बराबर है, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक एक के बराबर है, तो संख्या और आधार समान हैं।
प्रमाण। चलो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है और कहां से
इसके विपरीत, फिर परिभाषा के अनुसार
गुण 2. किसी भी आधार से एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।
प्रमाण। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार (किसी भी धनात्मक आधार की शून्य घात एक के बराबर होती है, देखें (10.1))। यहां से
क्यू.ई.डी.
विलोम कथन भी सत्य है: यदि , तो N = 1. वास्तव में, हमारे पास .
लघुगणक के निम्नलिखित गुण बताने से पहले, आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि दो संख्याएँ a और b तीसरी संख्या c के एक ही तरफ स्थित हैं, यदि वे दोनों या तो c से बड़ी हैं या c से कम हैं। यदि इनमें से एक संख्या c से बड़ी है और दूसरी c से छोटी है, तो हम कहते हैं कि वे c के विपरीत दिशा में स्थित हैं।
संपत्ति 3. यदि संख्या और आधार एकता के एक ही तरफ हैं, तो लघुगणक धनात्मक है; यदि संख्या और आधार एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं, तो लघुगणक ऋणात्मक होता है।
गुण 3 का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक धनात्मक है, या आधार एक से कम है और घातांक ऋणात्मक है तो a की घात एक से अधिक है। यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक ऋणात्मक है, या आधार एक से कम है और घातांक धनात्मक है तो अंश एक से कम है।
विचार करने के लिए चार मामले हैं:
हम उनमें से पहले के विश्लेषण के लिए खुद को सीमित रखते हैं, पाठक बाकी पर विचार करेगा।
मान लीजिए कि समानता में घातांक न तो ऋणात्मक है और न ही शून्य के बराबर है, इसलिए, यह सकारात्मक है, अर्थात, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।
उदाहरण 3. ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-से लघुगणक धनात्मक हैं और कौन-से ऋणात्मक हैं:
हल, क) क्योंकि संख्या 15 और आधार 12 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं;
बी) , चूंकि 1000 और 2 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं; साथ ही, यह आवश्यक नहीं है कि आधार लघुगणक संख्या से बड़ा हो;
सी), चूंकि 3.1 और 0.8 एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं;
जी) ; क्यों?
इ) ; क्यों?
निम्नलिखित गुण 4-6 को अक्सर लघुगणक के नियम कहा जाता है: वे अनुमति देते हैं, कुछ संख्याओं के लघुगणक जानने के लिए, उनके उत्पाद के लघुगणक, भागफल, उनमें से प्रत्येक की डिग्री का पता लगाने के लिए।
गुण 4 (उत्पाद के लघुगणक के लिए नियम)। किसी दिए गए आधार में कई धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक एक ही आधार में इन संख्याओं के लघुगणक के योग के बराबर होता है।
प्रमाण। सकारात्मक अंक दिए जाने दें।
उनके उत्पाद के लघुगणक के लिए, हम लघुगणक को परिभाषित करते हुए समानता (26.1) लिखते हैं:
यहाँ से हम पाते हैं
प्रथम और अंतिम व्यंजकों के घातांकों की तुलना करने पर हमें अपेक्षित समानता प्राप्त होती है:
ध्यान दें कि शर्त आवश्यक है; दो ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक समझ में आता है, लेकिन इस मामले में हमें मिलता है
सामान्य तौर पर, यदि कई कारकों का गुणनफल सकारात्मक होता है, तो इसका लघुगणक इन कारकों के मॉड्यूल के लघुगणक के योग के बराबर होता है।
गुण 5 (भागफल लघुगणक नियम)। धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक समान आधार में लिए गए लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। प्रमाण। लगातार खोजें
क्यू.ई.डी.
संपत्ति 6 (डिग्री के लघुगणक का नियम)। किसी भी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक उस संख्या के घातांक के गुणा के लघुगणक के बराबर होता है।
प्रमाण। हम संख्या के लिए फिर से मुख्य पहचान (26.1) लिखते हैं:
क्यू.ई.डी.
परिणाम। एक धनात्मक संख्या के मूल का लघुगणक मूल संख्या के लघुगणक के बराबर होता है जो मूल के घातांक से विभाजित होता है:
हम गुण 6 को कैसे और किस प्रकार उपयोग करके प्रस्तुत करते हैं, हम इस उपफल की वैधता को सिद्ध कर सकते हैं।
उदाहरण 4. आधार का लघुगणक a:
ए) (यह माना जाता है कि सभी मान बी, सी, डी, ई सकारात्मक हैं);
बी) (ऐसा माना जाता है)।
हल, क) इस व्यंजक में भिन्नात्मक घातों को पारित करना सुविधाजनक है:
समानता के आधार पर (26.5)-(26.7) अब हम लिख सकते हैं:
हम देखते हैं कि संख्याओं के लघुगणक पर स्वयं संख्याओं की तुलना में सरल संचालन किया जाता है: संख्याओं को गुणा करते समय, उनके लघुगणक जोड़े जाते हैं, विभाजित होने पर उन्हें घटाया जाता है, आदि।
इसीलिए अभिकलनात्मक अभ्यास में लघुगणक का उपयोग किया गया है (देखें भाग 29)।
लघुगणक के विपरीत क्रिया को पोटेंशिएशन कहा जाता है, अर्थात्: पोटेंशिएशन वह क्रिया है जिसके द्वारा यह संख्या स्वयं किसी संख्या के दिए गए लघुगणक द्वारा पाई जाती है। संक्षेप में, पोटेंशिएशन कोई विशेष क्रिया नहीं है: यह आधार को एक शक्ति (संख्या के लघुगणक के बराबर) तक बढ़ाने के लिए नीचे आता है। शब्द "पोटेंशिएशन" को "एक्सपोनेंटिएशन" शब्द का पर्याय माना जा सकता है।
पोटेंशियेटिंग करते समय, उन नियमों का उपयोग करना आवश्यक है जो लघुगणक के नियमों के विपरीत हैं: लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक से बदलें, भागफल के लघुगणक के साथ लघुगणक का अंतर, आदि। विशेष रूप से, यदि वहाँ है लॉगरिदम के संकेत के सामने कोई भी कारक, फिर पोटेंशिएशन के दौरान इसे लघुगणक के संकेत के तहत संकेतक डिग्री में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
उदाहरण 5. यदि ज्ञात हो कि N ज्ञात कीजिए
फेसला। पोटेंशिएशन नियम के संबंध में अभी कहा गया है, कारक 2/3 और 1/3, जो इस समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेतों के सामने हैं, इन लघुगणक के संकेतों के तहत घातांक को स्थानांतरित कर दिए जाएंगे; हम पाते हैं
अब हम लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से बदलते हैं:
समानता की इस श्रृंखला में अंतिम अंश प्राप्त करने के लिए, हमने पिछले अंश को हर में अपरिमेयता से मुक्त किया (धारा 25)।
संपत्ति 7. यदि आधार एक से बड़ा है, तो बड़ी संख्या में एक बड़ा लघुगणक होता है (और छोटे वाले का एक छोटा होता है), यदि आधार एक से कम होता है, तो बड़ी संख्या में एक छोटा लघुगणक होता है (और छोटा होता है) एक के पास एक बड़ा है)।
यह गुण असमानताओं के लघुगणक के लिए एक नियम के रूप में भी तैयार किया गया है, जिसके दोनों भाग धनात्मक हैं:
असमानताओं के लघुगणक को एक से अधिक आधार पर ले जाने पर, असमानता का चिन्ह संरक्षित रहता है, और जब एक लघुगणक को एक से कम के आधार पर ले जाया जाता है, तो असमानता का चिन्ह उलट जाता है (आइटम 80 भी देखें)।
सबूत गुण 5 और 3 पर आधारित है। उस स्थिति पर विचार करें जब यदि, तो और, लघुगणक लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं
(ए और एन/एम एकता के एक ही तरफ स्थित हैं)। यहां से
केस ए इस प्रकार है, पाठक इसे अपने लिए समझ लेगा।
