दशमलव अंश में अल्पविराम होना चाहिए। भिन्न का वह संख्यात्मक भाग, जो दशमलव बिंदु के बाईं ओर स्थित होता है, पूर्ण कहलाता है; दाईं ओर - भिन्नात्मक:

5.28 5 - पूर्णांक भाग 28 - भिन्नात्मक भाग

दशमलव का भिन्नात्मक भाग से बना होता है दशमलव स्थान(दशमलव स्थान):

• दसवां - 0.1 (एक दसवां);
• सौवां - 0.01 (एक सौवां);
• हजारवां - 0.001 (एक हजारवां);
• दस-हज़ारवां - 0.0001 (एक दस-हज़ारवां);
• सौ हजारवां - 0.00001 (एक सौ हजारवां);
• मिलियनवां - 0.000001 (एक मिलियनवां);
• दस मिलियनवां - 0.000001 (एक दस मिलियनवां);
• एक सौ मिलियनवां - 0.00000001 (एक सौ मिलियनवां);
• अरबवां - 0.000000001 (एक अरबवां), आदि।

• वह संख्या पढ़ें जो भिन्न का पूर्णांक भाग है और शब्द जोड़ें " पूरे";
• उस संख्या को पढ़ें जो भिन्न के भिन्नात्मक भाग को बनाती है और सबसे कम महत्वपूर्ण अंक का नाम जोड़ें।

उदाहरण के लिए:

• 0.25 - शून्य दशमलव पच्चीस सौवां;
• 9.1 - नौ दशमलव एक दसवां;
• 18.013 - अठारह दशमलव तेरह हज़ारवां;
• 100.2834 एक सौ दो हजार आठ सौ चौंतीस दस हजारवां है।

दशमलव लिखना

दशमलव भिन्न लिखने के लिए, आपको यह करना होगा:

• भिन्न के पूर्णांक भाग को लिख लें और अल्पविराम लगा दें (संख्या जिसका अर्थ अंश का पूर्णांक भाग हमेशा शब्द के साथ समाप्त होता है " पूरे");
• भिन्न के भिन्नात्मक भाग को इस प्रकार लिखें कि अंतिम अंक वांछित अंक में आ जाए (यदि कुछ दशमलव स्थानों में कोई सार्थक अंक नहीं हैं, तो उन्हें शून्य से बदल दिया जाता है)।

उदाहरण के लिए:

• बीस दशमलव नौ - 20.9 - इस उदाहरण में, सब कुछ सरल है;
• पांच अंक एक सौवां - 5.01 - "सौवां" शब्द का अर्थ है कि दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होने चाहिए, लेकिन चूंकि संख्या 1 में कोई दसवां स्थान नहीं है, इसलिए इसे शून्य से बदल दिया जाता है;
• शून्य दशमलव आठ सौ आठ हज़ारवां - 0.808;
• तीन दशमलव पंद्रह - ऐसे दशमलव अंश को लिखना असंभव है, क्योंकि भिन्नात्मक भाग के उच्चारण में गलती हुई थी - संख्या 15 में दो अंक होते हैं, और "दसवें" शब्द का अर्थ केवल एक होता है। सही तीन दशमलव पंद्रह सौवां (या हजारवां, दस हजारवां, आदि) होगा।

दशमलव तुलना

दशमलव अंशों की तुलना प्राकृतिक संख्याओं की तुलना के समान ही की जाती है।

1. सबसे पहले, भिन्नों के पूर्णांक भागों की तुलना की जाती है - बड़े पूर्णांक भाग वाला दशमलव अंश बड़ा होगा;
2. यदि भिन्नों के पूर्णांक भाग समान होते हैं, तो भिन्नात्मक भागों की तुलना अल्पविराम से शुरू करते हुए, बाएं से दाएं: दसवें, सौवें, हज़ारवें, आदि से बिट दर बिट की जाती है। तुलना पहली विसंगति तक की जाती है - वह दशमलव अंश बड़ा होगा, जिसमें भिन्नात्मक भाग के संबंधित अंक में एक बड़ा असमान अंक होगा। उदाहरण के लिए: 1.2 8 3 > 1,27 9, क्योंकि सौवें में पहली भिन्न में 8 है, और दूसरी में 7 है।

एक दशमलव भिन्न एक साधारण भिन्न से इस मायने में भिन्न होता है कि इसका हर एक बिट इकाई है।

उदाहरण के लिए:

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों से अलग रूप में अलग कर दिया गया है, जिससे इन भिन्नों की तुलना करने, जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने के अपने नियम बन गए हैं। सिद्धांत रूप में, आप साधारण अंशों के नियमों के अनुसार दशमलव अंशों के साथ काम कर सकते हैं। दशमलव अंशों को परिवर्तित करने के लिए स्वयं के नियम गणनाओं को सरल बनाते हैं, और साधारण अंशों को दशमलव में बदलने के नियम, और इसके विपरीत, इस प्रकार के अंशों के बीच एक कड़ी के रूप में कार्य करते हैं।

दशमलव अंशों को लिखना और पढ़ना आपको प्राकृतिक संख्याओं के साथ संचालन के नियमों के समान नियमों के अनुसार उन पर लिखने, तुलना करने और संचालित करने की अनुमति देता है।

पहली बार दशमलव भिन्नों की प्रणाली और उन पर संचालन का वर्णन 15वीं शताब्दी में किया गया था। समरकंद गणितज्ञ और खगोलशास्त्री जमशेद इब्न-मसूदल-काशी "द की टू द आर्ट ऑफ अकाउंटिंग" पुस्तक में।

दशमलव अंश के पूर्णांक भाग को अल्पविराम द्वारा भिन्नात्मक भाग से अलग किया जाता है, कुछ देशों (यूएसए) में वे एक अवधि डालते हैं। यदि दशमलव भिन्न में कोई पूर्णांक भाग नहीं है, तो दशमलव बिंदु से पहले संख्या 0 रखें।

दशमलव भिन्न के दायीं ओर के भिन्नात्मक भाग में कितनी भी संख्या में शून्य जोड़ा जा सकता है, इससे भिन्न का मान नहीं बदलता है। दशमलव भिन्न के भिन्नात्मक भाग को अंतिम सार्थक अंक से पढ़ा जाता है।

उदाहरण के लिए:
0.3 - तीन दसवां अंश
0.75 - पचहत्तर सौवां
0.000005 - पाँच मिलियन।

दशमलव के पूर्णांक भाग को पढ़ना प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के समान है।

उदाहरण के लिए:
27.5 - सत्ताईस ...;
1.57 - एक...

दशमलव भिन्न के पूर्णांक भाग के बाद "संपूर्ण" शब्द का उच्चारण किया जाता है।

उदाहरण के लिए:
10.7 - दस दशमलव सात

0.67 - शून्य बिंदु साठ-सत्तरवां।

दशमलव भिन्नात्मक अंक हैं। भिन्नात्मक भाग अंकों (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) द्वारा नहीं पढ़ा जाता है, लेकिन संपूर्ण रूप से, इसलिए दशमलव अंश का भिन्नात्मक भाग अंतिम महत्वपूर्ण अंक द्वारा दाईं ओर निर्धारित किया जाता है। दशमलव भिन्न के भिन्नात्मक भाग की बिट प्रणाली प्राकृत संख्याओं की तुलना में कुछ भिन्न होती है।

• व्यस्त होने के बाद पहला अंक - दसवां अंक
• दशमलव बिंदु के बाद दूसरा स्थान - सौवां स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद तीसरा स्थान - हजारवां स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद चौथा स्थान - दस हजारवां स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद पाँचवाँ स्थान - सौ-हज़ारवाँ स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद छठा स्थान - लाखवाँ स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद सातवाँ स्थान - दस लाखवाँ स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद आठवां स्थान सौ मिलियनवां स्थान है

गणना में, पहले तीन अंक सबसे अधिक बार उपयोग किए जाते हैं। दशमलव भिन्नों के भिन्नात्मक भाग की बड़ी बिट गहराई का उपयोग केवल ज्ञान की विशिष्ट शाखाओं में किया जाता है, जहाँ पर अतिसूक्ष्म मानों की गणना की जाती है।

दशमलव से मिश्रित भिन्न रूपांतरणइसमें निम्नलिखित शामिल हैं: मिश्रित भिन्न के पूर्णांक भाग के रूप में दशमलव बिंदु से पहले की संख्या लिखें; दशमलव बिंदु के बाद की संख्या उसके भिन्नात्मक भाग का अंश है, और भिन्नात्मक भाग के हर में, दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक हैं उतने शून्य के साथ एक लिखें।

3.4 सही क्रम
पिछले भाग में, हमने संख्याओं की तुलना संख्या रेखा पर उनकी स्थिति के आधार पर की थी। दशमलव अंकन में संख्याओं के परिमाण की तुलना करने का यह एक अच्छा तरीका है। यह विधि हमेशा काम करती है, लेकिन जब भी आपको दो संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता होती है, तो इसे करना श्रमसाध्य और असुविधाजनक होता है। यह पता लगाने का एक और अच्छा तरीका है कि दो में से कौन सी संख्या बड़ी है।

उदाहरण ए

पिछले अनुभाग की संख्याओं पर विचार करें और 0.05 और 0.2 की तुलना करें।

यह पता लगाने के लिए कि कौन सी संख्या बड़ी है, हम पहले उनके पूर्णांक भागों की तुलना करते हैं। हमारे उदाहरण में दोनों संख्याओं में समान संख्या में पूर्णांक हैं - 0. फिर उनके दहाई की तुलना करें। संख्या 0.05 में 0 दहाई और संख्या 0.2 में 2 दहाई होती है। यह कि संख्या 0.05 में 5 सौवां है, कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि दसवां यह निर्धारित करता है कि संख्या 0.2 अधिक है। हम इस प्रकार लिख सकते हैं:

दोनों संख्याओं में 0 पूर्णांक और 6 दहाई है, और हम अभी तक यह निर्धारित नहीं कर सकते हैं कि कौन सा बड़ा है। हालाँकि, संख्या 0.612 में केवल 1 सौवां भाग है, और संख्या 0.62 में दो हैं। तब, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि

0,62 > 0,612

तथ्य यह है कि संख्या 0.612 में 2 हजारवां है, कोई फर्क नहीं पड़ता, यह अभी भी 0.62 से कम है।

इसे हम एक चित्र द्वारा स्पष्ट कर सकते हैं:

		0,612
		0,62

यह निर्धारित करने के लिए कि दशमलव संकेतन में कौन सी दो संख्याएँ अधिक हैं, आपको निम्नलिखित करने की आवश्यकता है:

1. पूरे भागों की तुलना करें। वह संख्या जिसका पूर्णांक भाग बड़ा और बड़ा होगा।

2 . यदि पूर्णांक भाग समान हैं, तो दहाई की तुलना करें। वह संख्या, जिसका दहाई अधिक होगा, अधिक होगी।

3 . यदि दहाई बराबर है, तो सौवें भाग की तुलना करें। वह संख्या, जिसका सौवां भाग अधिक होगा, अधिक होगी।

4 . यदि सौवां बराबर है, तो हजारवें भाग की तुलना करें। वह संख्या, जिसमें हजारवां भाग अधिक होगा, अधिक होगी।

इस लेख में, हम विषय को कवर करेंगे दशमलव तुलना". सबसे पहले, आइए दशमलव भिन्नों की तुलना करने के सामान्य सिद्धांत पर चर्चा करें। उसके बाद, हम यह पता लगाएंगे कि कौन से दशमलव अंश बराबर हैं और कौन से असमान हैं। इसके बाद, हम सीखेंगे कि कैसे निर्धारित किया जाए कि कौन सा दशमलव अंश बड़ा है और कौन सा कम। ऐसा करने के लिए, हम परिमित, अनंत आवधिक और अनंत गैर-आवधिक भिन्नों की तुलना करने के नियमों का अध्ययन करेंगे। हम विस्तृत समाधान के साथ उदाहरणों के साथ पूरे सिद्धांत की आपूर्ति करेंगे। अंत में, आइए हम दशमलव भिन्नों की तुलना प्राकृत संख्याओं, साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं से करें।

आइए तुरंत कहें कि यहां हम केवल सकारात्मक दशमलव अंशों की तुलना करने के बारे में बात करेंगे (सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएं देखें)। शेष मामलों का विश्लेषण परिमेय संख्याओं की तुलना करने वाले लेखों में किया गया है और वास्तविक संख्याओं की तुलना.

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दशमलव भिन्नों की तुलना करने का सामान्य सिद्धांत

तुलना के इस सिद्धांत के आधार पर, दशमलव अंशों की तुलना करने के नियम बनाए गए हैं, जो तुलनात्मक दशमलव अंशों को साधारण अंशों में परिवर्तित किए बिना करना संभव बनाते हैं। इन नियमों के साथ-साथ उनके आवेदन के उदाहरण, हम निम्नलिखित पैराग्राफ में विश्लेषण करेंगे।

एक समान सिद्धांत के अनुसार, परिमित दशमलव अंश या अनंत आवधिक दशमलव अंशों की तुलना प्राकृतिक संख्याओं, साधारण अंशों और मिश्रित संख्याओं से की जाती है: तुलना की गई संख्याओं को उनके संबंधित साधारण अंशों से बदल दिया जाता है, जिसके बाद साधारण अंशों की तुलना की जाती है।

विषय में अनंत अनावर्ती दशमलवों की तुलना, तो यह आमतौर पर अंतिम दशमलव अंशों की तुलना करने के लिए नीचे आता है। ऐसा करने के लिए, तुलनात्मक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों के ऐसे कई संकेतों पर विचार करें, जो आपको तुलना का परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है।

समान और असमान दशमलव

पहले हम परिचय समान और असमान अंतिम दशमलव की परिभाषा.

परिभाषा।

दो अनुगामी दशमलव कहलाते हैं बराबरयदि उनके संगत उभयनिष्ठ भिन्न समान हों, अन्यथा ये दशमलव भिन्न कहलाते हैं असमान.

इस परिभाषा के आधार पर, निम्नलिखित कथन का औचित्य सिद्ध करना आसान है: यदि किसी दिए गए दशमलव अंश के अंत में हम कई अंक 0 को विशेषता या त्याग देते हैं, तो हमें इसके बराबर दशमलव भिन्न मिलता है। उदाहरण के लिए, 0.3=0.30=0.300=… और 140.000=140.00=140.0=140 ।

वास्तव में, दशमलव भिन्न के अंत में दायीं ओर शून्य जोड़ना या छोड़ना, संबंधित साधारण भिन्न के अंश और हर को 10 से गुणा या विभाजित करने के अनुरूप है। और हम एक भिन्न के मूल गुण को जानते हैं, जो कहता है कि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही प्राकृत संख्या से गुणा करने या भाग देने पर भिन्न मूल के बराबर होता है। इससे सिद्ध होता है कि दशमलव भिन्न के भिन्नात्मक भाग में दायीं ओर शून्य जोड़ने या हटाने पर मूल भिन्न के बराबर भिन्न प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए, एक दशमलव अंश 0.5 एक साधारण अंश 5/10 से मेल खाता है, शून्य को दाईं ओर जोड़ने के बाद, एक दशमलव अंश 0.50 प्राप्त होता है, जो एक साधारण अंश 50/100 से मेल खाता है, और। तो 0.5 = 0.50। इसके विपरीत, यदि दशमलव भिन्न में 0.50 दाईं ओर 0 को छोड़ दें, तो हमें भिन्न 0.5 प्राप्त होती है, इसलिए एक साधारण भिन्न 50/100 से हम भिन्न 5/10 पर आएंगे, लेकिन . इसलिए, 0.50=0.5 ।

चलिए आगे बढ़ते हैं समान और असमान अनंत आवर्त दशमलव भिन्नों की परिभाषा.

परिभाषा।

दो अनंत आवर्त भिन्न बराबर, यदि उनके संगत साधारण भिन्न समान हैं; यदि उनके संगत साधारण भिन्न समान नहीं हैं, तो तुलनात्मक आवर्त भिन्न भी हैं बराबर नहीं.

इस परिभाषा से तीन निष्कर्ष निकलते हैं:

• यदि आवर्त दशमलव भिन्नों के अभिलेख बिल्कुल समान हों, तो ऐसे अनंत आवर्त दशमलव भिन्न बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, आवर्त दशमलव 0.34(2987) और 0.34(2987) बराबर हैं।
• यदि तुलनात्मक दशमलव आवर्त भिन्नों का आवर्त एक ही स्थान से प्रारंभ होता है, तो पहले भिन्न का आवर्त 0 होता है, दूसरे का आवर्त 9 होता है, और पूर्ववर्ती अवधि 0 के अंक का मान अंक के मान से एक अधिक होता है। पूर्ववर्ती अवधि 9, तो ऐसे अनंत आवधिक दशमलव अंश बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, आवर्त भिन्न 8.3(0) और 8.2(9) बराबर हैं, और भिन्न 141,(0) और 140,(9) भी बराबर हैं।
• कोई दो अन्य आवर्त भिन्न समान नहीं हैं। यहां असमान अनंत आवधिक दशमलव अंशों के उदाहरण दिए गए हैं: 9.0(4) और 7,(21) , 0,(12) और 0,(121) , 10,(0) और 9.8(9)।

इससे निपटना बाकी है बराबर और असमान अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश. जैसा कि आप जानते हैं, ऐसे दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है (ऐसे दशमलव अंश अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं), इसलिए अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की तुलना को साधारण भिन्नों की तुलना में कम नहीं किया जा सकता है।

परिभाषा।

दो अनंत अनावर्ती दशमलव बराबरयदि उनकी प्रविष्टियाँ बिल्कुल मेल खाती हैं।

लेकिन एक चेतावनी है: अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों के "समाप्त" रिकॉर्ड को देखना असंभव है, इसलिए, उनके रिकॉर्ड के पूर्ण संयोग के बारे में सुनिश्चित होना असंभव है। हो कैसे?

अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की तुलना करते समय, तुलनात्मक अंशों के संकेतों की केवल एक सीमित संख्या पर विचार किया जाता है, जो हमें आवश्यक निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। इस प्रकार, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की तुलना परिमित दशमलव अंशों की तुलना में कम हो जाती है।

इस दृष्टिकोण के साथ, हम अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की समानता के बारे में केवल विचारित अंक तक ही बात कर सकते हैं। आइए उदाहरण देते हैं। अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश 5.45839 ... और 5.45839 ... सौ हजारवें हिस्से के बराबर हैं, क्योंकि अंतिम दशमलव अंश 5.45839 और 5.45839 बराबर हैं; गैर-आवर्ती दशमलव अंश 19.54 ... और 19.54810375 ... निकटतम सौवें के बराबर हैं, क्योंकि भिन्न 19.54 और 19.54 बराबर हैं।

इस दृष्टिकोण के साथ अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की असमानता निश्चित रूप से स्थापित होती है। उदाहरण के लिए, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश 5.6789… और 5.67732… बराबर नहीं हैं, क्योंकि उनके रिकॉर्ड में अंतर स्पष्ट हैं (अंतिम दशमलव अंश 5.6789 और 5.6773 बराबर नहीं हैं)। अनंत दशमलव 6.49354... और 7.53789... भी बराबर नहीं हैं।

दशमलव भिन्नों की तुलना करने के नियम, उदाहरण, समाधान

इस तथ्य को स्थापित करने के बाद कि दो दशमलव अंश बराबर नहीं हैं, अक्सर यह पता लगाना आवश्यक होता है कि इनमें से कौन सी भिन्न बड़ी है और कौन सी दूसरी से कम है। अब हम दशमलव भिन्नों की तुलना करने के नियमों का विश्लेषण करेंगे, जिससे हमें पूछे गए प्रश्न का उत्तर मिल सकेगा।

कई मामलों में, तुलनात्मक दशमलव के पूर्णांक भागों की तुलना करना पर्याप्त है। निम्नलिखित सत्य है दशमलव तुलना नियम: दशमलव भिन्न से बड़ा, जिसका पूर्णांक भाग बड़ा होता है, और दशमलव भिन्न से छोटा होता है, जिसका पूर्णांक भाग कम होता है।

यह नियम परिमित दशमलव और अनंत दशमलव दोनों पर लागू होता है। आइए उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव 9.43 और 7.983023… की तुलना करें।

समाधान।

जाहिर है, ये दशमलव अंश बराबर नहीं हैं। अंतिम दशमलव भिन्न 9.43 का पूर्णांक भाग 9 के बराबर है, और अनंत गैर-आवधिक भिन्न का पूर्णांक भाग 7.983023 ... 7 के बराबर है। चूंकि 9>7 (प्राकृतिक संख्याओं की तुलना देखें), तो 9.43>7.983023।

उत्तर:

9,43>7,983023 .

उदाहरण।

दशमलव 49.43(14) और 1045.45029... में से कौन सा कम है?

समाधान।

आवर्त भिन्न का पूर्णांक भाग 49.43(14) अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्न 1 045.45029 के पूर्णांक भाग से कम है, इसलिए, 49.43(14)<1 045,45029… .

उत्तर:

49,43(14) .

यदि तुलनात्मक दशमलव भिन्नों के पूर्णांक भाग समान हैं, तो यह पता लगाने के लिए कि उनमें से कौन बड़ा है और कौन सा कम है, भिन्नात्मक भागों की तुलना करना आवश्यक है। दशमलव भिन्नों के भिन्नात्मक भागों की तुलना बिट द्वारा की जाती है- दसवीं की श्रेणी से लेकर छोटों तक।

सबसे पहले, आइए दो अंतिम दशमलव अंशों की तुलना करने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

अंतिम दशमलव 0.87 और 0.8521 की तुलना करें।

समाधान।

इन दशमलव भिन्नों के पूर्णांक भाग बराबर हैं (0=0 ), तो चलिए भिन्नात्मक भागों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। दशम स्थान का मान बराबर (8=8) है, और अंश 0.87 के सौवें स्थान का मान भिन्न के सौवें स्थान के मान से अधिक है 0.8521 (7>5)। इसलिए, 0.87>0.8521।

उत्तर:

0,87>0,8521 .

कभी-कभी, विभिन्न दशमलव संख्याओं के साथ अनुगामी दशमलव की तुलना करने के लिए, आपको कम दशमलव वाली भिन्न के दाईं ओर कई शून्य जोड़ने होंगे। अंतिम दशमलव अंशों में से किसी एक के दाईं ओर एक निश्चित संख्या में शून्य जोड़कर तुलना करना शुरू करने से पहले दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना काफी सुविधाजनक है।

उदाहरण।

अनुगामी दशमलव 18.00405 और 18.0040532 की तुलना करें।

समाधान।

जाहिर है, ये भिन्न असमान हैं, क्योंकि उनके रिकॉर्ड अलग हैं, लेकिन साथ ही उनके बराबर पूर्णांक भाग (18=18) हैं।

इन भिन्नों के भिन्नात्मक भागों की बिटवाइज तुलना करने से पहले, हम दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर कर देते हैं। ऐसा करने के लिए, हम भिन्न 18.00405 के अंत में दो अंक 0 निर्दिष्ट करते हैं, जबकि हमें इसके बराबर दशमलव अंश 18.0040500 मिलता है।

18.0040500 और 18.0040532 के दशमलव स्थान एक सौ हजारवें स्थान के बराबर हैं, और 18.0040500 के दसवें स्थान का मान 18.0040532 के संगत भिन्न स्थान के मान से कम है।<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

उत्तर:

18,00405<18,0040532 .

जब एक परिमित दशमलव अंश की अनंत के साथ तुलना की जाती है, तो अंतिम अंश को उसके बराबर एक अनंत आवधिक अंश द्वारा 0 की अवधि के साथ बदल दिया जाता है, जिसके बाद अंकों द्वारा तुलना की जाती है।

उदाहरण।

अंतिम दशमलव 5.27 की तुलना अनंत अनावर्ती दशमलव 5.270013… से करें।

समाधान।

इन दशमलवों के पूर्णांक भाग बराबर होते हैं। इन भिन्नों के दसवें और सौवें के अंकों का मान बराबर होता है, और आगे की तुलना करने के लिए, हम अंतिम दशमलव अंश को एक अनंत आवधिक अंश के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, जो कि फॉर्म के 0 की अवधि के साथ 5.270000 है। ..। पांचवें दशमलव स्थान से पहले, दशमलव स्थानों के मान 5.270000... और 5.270013... बराबर हैं, और पांचवें दशमलव स्थान पर हमारे पास 0 है<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

उत्तर:

5,27<5,270013… .

अनंत दशमलव अंशों की तुलना भी बिट द्वारा की जाती है, और जैसे ही कुछ बिट के मान भिन्न होते हैं, समाप्त हो जाता है।

उदाहरण।

अनंत दशमलव 6.23(18) और 6.25181815… की तुलना करें।

समाधान।

इन भिन्नों के पूर्णांक भाग समान होते हैं, दशम स्थान का मान भी समान होता है। और आवर्त भिन्न 6.23(18) के सौवें स्थान का मान अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्न 6.25181815 के सौवें स्थान से कम है, इसलिए, 6.23(18)<6,25181815… .

उत्तर:

6,23(18)<6,25181815… .

उदाहरण।

अनंत आवर्त दशमलव 3,(73) और 3,(737) में से कौन बड़ा है?

समाधान।

यह स्पष्ट है कि 3,(73)=3.73737373… और 3,(737)=3.737737737… . चौथे दशमलव स्थान पर, बिटवाइज़ तुलना समाप्त हो जाती है, क्योंकि वहाँ हमारे पास 3 . है<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

उत्तर:

3,(737) .

प्राकृतिक संख्याओं, सामान्य भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के साथ दशमलव की तुलना करें।

दशमलव भिन्न की प्राकृत संख्या से तुलना करने का परिणाम प्राप्त करने के लिए, आप इस भिन्न के पूर्णांक भाग की तुलना किसी दिए गए प्राकृत संख्या से कर सकते हैं। इस मामले में, 0 या 9 की अवधि वाले आवधिक अंशों को पहले उनके समान अंतिम दशमलव अंशों से बदला जाना चाहिए।

निम्नलिखित सत्य है दशमलव भिन्न और प्राकृत संख्या की तुलना करने का नियम: यदि दशमलव भिन्न का पूर्णांक भाग किसी दी गई प्राकृत संख्या से कम है, तो पूर्ण भिन्न इस प्राकृत संख्या से कम है; यदि किसी भिन्न का पूर्णांक भाग दी गई प्राकृत संख्या से बड़ा या उसके बराबर है, तो भिन्न दी गई प्राकृत संख्या से बड़ी होती है।

इस तुलना नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 7 की दशमलव भिन्न 8.8329 से तुलना करें….

समाधान।

चूँकि दी गई प्राकृत संख्या दी गई दशमलव भिन्न के पूर्णांक भाग से कम है, तो यह संख्या दी गई दशमलव भिन्न से कम है।

उत्तर:

7<8,8329… .

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 7 और दशमलव 7.1 की तुलना करें।