गणितीय भौतिकी की समस्याओं का अध्ययन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण अभिन्न परिवर्तनों की विधि है। मान लें कि फलन f(x) को अंतराल (a, 6) पर परिमित या अनंत पर परिभाषित किया जाता है। फंक्शन f(x) का इंटीग्रल ट्रांसफॉर्मेशन वह फंक्शन है जहां K(x, w) किसी दिए गए ट्रांसफॉर्मेशन के लिए फिक्स्ड फंक्शन है, जिसे ट्रांसफॉर्मेशन कर्नेल कहा जाता है (यह माना जाता है कि इंटीग्रल (*) अपने उचित या अनुचित अर्थ में मौजूद है। ) §एक। फूरियर इंटीग्रल कोई भी फ़ंक्शन f(x), जो खंड पर [-f, I] फूरियर श्रृंखला में विस्तार की शर्तों को संतुष्ट करता है, इस खंड पर त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है गुणांक a*, और श्रृंखला के 6n (1 ) यूलर-फूरियर सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं: फूरियर ट्रांसफॉर्म फूरियर इंटीग्रल कॉम्प्लेक्स इंटीग्रल फॉर्म फूरियर ट्रांसफॉर्म कोसाइन और साइन ट्रांसफॉर्म एम्प्लिट्यूड और फेज स्पेक्ट्रा अनुप्रयोग गुण समीकरण (1) के दाईं ओर की श्रृंखला को एक अलग रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रयोजन के लिए, हम इसे सूत्र (2) से गुणांक a» और op के मान से परिचित कराते हैं, इंटीग्रल कॉस ^ x और sin x (जो संभव है, क्योंकि इंटीग्रेशन वेरिएबल m है) के संकेतों के तहत घटाना है। O) और अंतर की कोज्या के लिए सूत्र का उपयोग करें। हमारे पास होगा यदि फ़ंक्शन /(x) को मूल रूप से अंतराल [-1,1] (उदाहरण के लिए, संपूर्ण अक्ष पर) से अधिक संख्यात्मक अक्ष के अंतराल पर परिभाषित किया गया था, तो विस्तार (3) मानों को पुन: उत्पन्न करेगा इस फलन का केवल अंतराल [-1, 1] पर और 21 की अवधि के साथ आवर्त फलन के रूप में संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर जारी रहता है (चित्र 1)। इसलिए, यदि फ़ंक्शन f(x) (सामान्यतया, गैर-आवधिक) को संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर परिभाषित किया गया है, तो सूत्र (3) में कोई व्यक्ति I + oo के रूप में सीमा तक जाने का प्रयास कर सकता है। इस मामले में, निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करने की आवश्यकता होना स्वाभाविक है: 1. f(x) ऑक्स\अक्ष 2 के किसी भी परिमित खंड पर फूरियर श्रृंखला में विस्तार की शर्तों को संतुष्ट करता है। फ़ंक्शन f(x) बिल्कुल है संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर एकीकृत करने योग्य। यदि शर्त 2 संतुष्ट है, तो समानता (3) के दाईं ओर पहला पद I -* + oo के रूप में शून्य हो जाता है। वास्तव में, आइए हम यह स्थापित करने का प्रयास करें कि (3) के दाईं ओर का योग I + oo के रूप में सीमा में क्या जाएगा। आइए मान लें कि तब (3) के दाहिने हाथ का योग रूप लेगा, अभिन्न के पूर्ण अभिसरण के कारण, बड़े के लिए यह योग एक अभिव्यक्ति से थोड़ा भिन्न होता है जो कार्य के लिए अभिन्न योग जैसा दिखता है परिवर्तन के अंतराल (0, + oo) के लिए संकलित चर £। इसलिए, यह अपेक्षा करना स्वाभाविक है कि योग (5) के लिए अभिन्न С दूसरी ओर, निश्चित के लिए) यह सूत्र से अनुसरण करता है (3 ) कि हम समानता भी प्राप्त करते हैं सूत्र (7) की वैधता के लिए पर्याप्त शर्त निम्नलिखित प्रमेय द्वारा व्यक्त की जाती है। प्रमेय 1. यदि फलन f(x) संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर पूर्णतः समाकलनीय है और, इसके व्युत्पन्न के साथ, किसी भी खंड [a, 6] पर पहले प्रकार के असंततता बिंदुओं की एक सीमित संख्या है, तो वें प्रकार का फंक्शन /(x) का, (7) के दाईं ओर इंटीग्रल का मान फॉर्मूला (7) के बराबर होता है, फूरियर इंटीग्रल फॉर्मूला कहलाता है, और इसके दाईं ओर इंटीग्रल को फूरियर इंटीग्रल कहा जाता है। यदि हम अंतर की कोज्या के दिन के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, तो सूत्र (7) को इस प्रकार लिखा जा सकता है कि फ़ंक्शन a(t), b(t) संबंधित फूरियर गुणांक a और bn 2n-आवधिक के अनुरूप हैं। फ़ंक्शन, लेकिन बाद वाले को n के असतत मानों के लिए परिभाषित किया गया है, जबकि a(0> HO को G(-oo, +oo) के निरंतर मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है। फूरियर इंटीग्रल का जटिल रूप, स्पष्ट रूप से एक विषम कार्य लेकिन फिर दूसरी ओर, समाकल चर का एक सम फलन है जिससे कि फूरियर समाकलन सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: आइए हम समानता को काल्पनिक इकाई i से गुणा करें और समानता (10) में जोड़ें। यह फूरियर इंटीग्रल का जटिल रूप है। यहां, टी पर बाहरी एकीकरण को कॉची प्रिंसिपल वैल्यू के अर्थ में समझा जाता है: § 2. फूरियर ट्रांसफॉर्म कोसाइन और साइन फूरियर ट्रांसफॉर्म चलो फंक f(x) x-अक्ष के किसी भी परिमित खंड पर टुकड़े-टुकड़े में चिकना होता है और संपूर्ण अक्ष पर पूर्णतः समाकलनीय होता है। परिभाषा। जिस फलन से, यूलर सूत्र के आधार पर, हमारे पास होगा, उसे फलन f(r) (वर्णक्रमीय फलन) का फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। यह एक कर्नेल के साथ अंतराल (-oo, + oo) पर फ़ंक्शन / (आर) का अभिन्न परिवर्तन है। फूरियर इंटीग्रल फॉर्मूला का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं यह तथाकथित उलटा फूरियर ट्रांसफॉर्म है, जो एफ से संक्रमण देता है (टी) से / (एक्स)। कभी-कभी प्रत्यक्ष फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार दिया जाता है: फिर व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण f(x) को भी निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: फूरियर रूपांतरण फूरियर इंटीग्रल कॉम्प्लेक्स फॉर्म ऑफ इंटीग्रल फूरियर ट्रांसफॉर्म कोसाइन और साइन परिवर्तन आयाम और चरण स्पेक्ट्रा अनुप्रयोग गुण फिर, बदले में, इस मामले में, कारक ^ की स्थिति मनमानी है: यह या तो सूत्र (1") या सूत्र (2") दर्ज कर सकता है। उदाहरण 1. फलन का फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए -4 हमारे पास यह समानता समाकल चिह्न के अंतर्गत £ के संबंध में विभेदन की अनुमति देती है (विभेदन के बाद प्राप्त समाकलन समान रूप से तब होता है जब (किसी परिमित खंड से संबंधित हो): भागों द्वारा समाकलन, हमारे पास होगा हम कहाँ से प्राप्त करते हैं (सी एकीकरण का स्थिरांक है)। £ = 0 को (4) में सेट करने पर, हम = F(0) पाते हैं। (3) के गुण से हमें ज्ञात होता है कि विशेष रूप से, के लिए) हमें वह प्राप्त होता है आइए हम फलन 4 पर विचार करें। फलन F(t) के स्पेक्ट्रम के लिए, हम इसलिए प्राप्त करते हैं (चित्र 2)। संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर फलन f(x) की पूर्ण समाकलनीयता की शर्त बहुत सख्त है। इसमें शामिल नहीं है, उदाहरण के लिए, f(x) = e1 जैसे प्राथमिक कार्य, जिसके लिए फूरियर रूपांतरण (यहाँ माना गया शास्त्रीय रूप में) मौजूद नहीं है। केवल उन कार्यों में एक फूरियर रूपांतरण होता है जो |x| . के लिए पर्याप्त तेजी से शून्य हो जाता है -+ +oo (उदाहरण 1 और 2 में)। 2.1. कोसाइन और साइन फूरियर रूपांतरण कोसाइन सूत्र का उपयोग करते हुए, अंतर, हम फूरियर अभिन्न सूत्र को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखते हैं: मान लें कि f(x) एक सम फलन है। फिर, ताकि समानता (5) से हमारे पास विषम f(x) के मामले में, हम इसी तरह प्राप्त करते हैं यदि f(x) केवल (0, -foo) पर दिया जाता है, तो सूत्र (6) f(x) का विस्तार करता है पूरे ऑक्स अक्ष को एक समान तरीके से, और सूत्र (7) - विषम। (7) परिभाषा। फ़ंक्शन को फ़ंक्शन f(x) का कोसाइन फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। (6) से यह इस प्रकार है कि एक सम फलन f(x) के लिए इसका अर्थ है कि f(x), बदले में, Fc(t) के लिए एक कोज्या रूपांतर है। दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन / और Fc परस्पर कोसाइन परिवर्तन हैं। परिभाषा। फ़ंक्शन को फ़ंक्शन f(x) का साइन फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। (7) से हम प्राप्त करते हैं कि एक विषम फलन f(x) के लिए, अर्थात्, f और Fs परस्पर ज्या परिवर्तन हैं। उदाहरण 3 (समकोण नाड़ी)। मान लें कि f(t) एक सम फलन है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: (चित्र 3)। आइए प्राप्त परिणाम का उपयोग करके समाकलन की गणना करें सूत्र (9) के आधार पर, हमारे पास है Fig.3 0 0 बिंदु t = 0 पर, फलन f(t) निरंतर है और एक के बराबर है। इसलिए, (12") से हम 2.2 प्राप्त करते हैं। फूरियर इंटीग्रल का आयाम और चरण स्पेक्ट्रा मान लें कि f(x) 2m की अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है और फूरियर श्रृंखला में विस्तारित होता है। इस समानता को तब लिखा जा सकता है जब हम आते हैं एक आवर्त फलन के आयाम और चरण स्पेक्ट्रा की अवधारणाएं (-oo, +oo) पर दिए गए एक गैर-आवधिक फलन f(x) के लिए, कुछ शर्तों के तहत, इसे फूरियर इंटीग्रल द्वारा निरूपित करना संभव हो जाता है, जो इस फ़ंक्शन को सभी आवृत्तियों पर विस्तारित करता है (निरंतर आवृत्ति स्पेक्ट्रम में विस्तार परिभाषा वर्णक्रमीय फ़ंक्शन, या फूरियर इंटीग्रल का वर्णक्रमीय घनत्व, एक अभिव्यक्ति है (फ़ंक्शन f के प्रत्यक्ष फूरियर रूपांतरण को आयाम स्पेक्ट्रम कहा जाता है, और फ़ंक्शन Ф " ) = -argSfc) - फ़ंक्शन का चरण स्पेक्ट्रम / (")। आयाम स्पेक्ट्रम A(t) फ़ंक्शन f(x) में आवृत्ति t के योगदान के माप के रूप में कार्य करता है। उदाहरण 4. फलन का आयाम और प्रावस्था स्पेक्ट्रम ज्ञात कीजिए। 4 वर्णक्रमीय फलन ज्ञात कीजिए। यहाँ से इन फलनों के आलेख चित्र में दिखाए गए हैं। 4. 3. फूरियर रूपांतरण गुण 1. रैखिकता। यदि और G(0 क्रमशः f(x) और q(x) फलनों के फूरियर रूपांतर हैं, तो किसी भी स्थिरांक a और p के लिए f(x) + p g(x) फलन का फूरियर रूपांतरण फलन होगा ए इंटीग्रल की रैखिकता संपत्ति का उपयोग करते हुए, हमारे पास है, इस प्रकार, फूरियर ट्रांसफॉर्म एक रैखिक ऑपरेटर है। इसे हम लिखेंगे। यदि एफ (टी) एक फ़ंक्शन का फूरियर ट्रांसफॉर्म है एफ (एक्स) पूरे वास्तविक पर पूरी तरह से एकीकृत है अक्ष, फिर F(t) सभी के लिए परिबद्ध है। मान लें कि फलन f(x) पूरे अक्ष पर पूर्णतः समाकलनीय है - फलन f (x) का फूरियर रूपांतरण। फिर 3 "flts J. मान लें कि f (x) हो एक फ़ंक्शन, जिसकी सहिष्णुता फूरियर रूपांतरण है, एल गुणों की संख्या है। फ़ंक्शन fh (x) \u003d f (z-h) को फंडियम f(x) की शिफ्ट कहा जाता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म की परिभाषा का उपयोग करना , वह समस्या दिखाएं। मान लें कि एक फ़ंक्शन f(z) में एक फूरियर रूपांतरण है F(0> h एक वास्तविक संख्या है। दिखाएँ कि 3. फूरियर रूपांतरण और विभेदन ooeresis। मान लीजिए कि एक पूर्ण रूप से अभिन्न कार्य f (x) का व्युत्पन्न f है " (x), जो संपूर्ण अक्ष पर भी पूर्णतः समाकलनीय है ओह, तो /(n) शून्य हो जाता है |x| -» +ऊ। f "(x) को एक सुचारू कार्य मानते हुए, हम भागों द्वारा एकीकरण लिखते हैं, हमारे पास इंटीग्रल के बाहर का शब्द है (क्योंकि, और हम इस प्रकार प्राप्त करते हैं, फ़ंक्शन का विभेदन / (x) इसके फूरियर के गुणन से मेल खाता है छवि ^ पी /] कारक द्वारा यदि फ़ंक्शन f (x) में m समावेशी क्रम तक चिकनी बिल्कुल इंटेटेबल डेरिवेटिव हैं, और उनमें से सभी, फ़ंक्शन f (x) की तरह, शून्य हो जाते हैं, और फिर, भागों द्वारा एकीकृत करते हैं आवश्यक संख्या में, हम फूरियर रूपांतरण प्राप्त करते हैं, यह बहुत उपयोगी है क्योंकि यह एक मूल्य द्वारा गुणन के संचालन के साथ भेदभाव के संचालन को प्रतिस्थापित करता है और इस तरह कुछ प्रकार के अंतर समीकरणों को एकीकृत करने की समस्या को सरल बनाता है। चूंकि फूरियर एक बिल्कुल का रूपांतरण करता है समाकलनीय फलन f^k\x) (संपत्ति 2) का एक परिबद्ध फलन है, संबंध (2) से हम निम्नलिखित अनुमान प्राप्त करते हैं: के साथ यह मूल्यांकन इस प्रकार है: जितना अधिक फलन f(x) में पूर्णतया समाकलनीय व्युत्पन्न होते हैं, उतनी ही तेजी से इसका फूरियर रूपांतरण शून्य पर जाता है। टिप्पणी। स्थिति काफी स्वाभाविक है, क्योंकि फूरियर इंटीग्रल्स का सामान्य सिद्धांत उन प्रक्रियाओं से संबंधित है, जो एक अर्थ या किसी अन्य में, शुरुआत और अंत हैं, लेकिन लगभग समान तीव्रता के साथ अनिश्चित काल तक जारी नहीं रहते हैं। 4. |z| . के लिए फलन f(x) की क्षय दर के बीच संबंध -» -फ ऊ और इसके फ़ोरम ट्रांसफ़ॉर्मेशन की चिकनाई। आइए मान लें कि न केवल /(x), बल्कि इसका उत्पाद xf(x) भी संपूर्ण x-अक्ष पर एक पूर्ण रूप से अभिन्न फलन है। फिर फूरियर ट्रांसफॉर्म) एक अलग कार्य होगा। दरअसल, इंटीग्रैंड के पैरामीटर £ के संबंध में औपचारिक भेदभाव एक इंटीग्रल की ओर जाता है जो पैरामीटर के संबंध में बिल्कुल और समान रूप से अभिसरण होता है। । यदि फलन f(x) के साथ फलन संपूर्ण ऑक्स अक्ष पर पूर्णतः समाकलनीय हैं, तो विभेदन की प्रक्रिया जारी रखी जा सकती है। हम प्राप्त करते हैं कि फ़ंक्शन में m समावेशी क्रम तक व्युत्पन्न है, और इस प्रकार, फ़ंक्शन f (x) जितनी तेज़ी से घटता है, फ़ंक्शन उतना ही आसान होता है। प्रमेय 2 (ड्रिल के बारे में)। आज्ञा देना कार्यों के फूरियर रूपांतरण हो /,(x), तथा f2(x), क्रमशः। तब दायीं ओर का दोहरा समाकलन पूर्णतः अभिसरण करता है। एक्स डालते हैं। तब हमारे पास होगा या, एकीकरण के क्रम को बदलते हुए, फ़ंक्शन को फ़ंक्शन का कनवल्शन कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है फॉर्मूला (1) अब निम्नानुसार लिखा जा सकता है: इससे यह देखा जा सकता है कि कनवल्शन का फूरियर रूपांतरण f\(x) और f2(x) के फलनों का गुणनफल y/2x के गुणनफल के बराबर है जो फोल्डेबल फंक्शन के फूरियर रूपांतरण का गुणनफल है, रिमार्क। दृढ़ संकल्प के निम्नलिखित गुणों को स्थापित करना आसान है: 1) रैखिकता: 2) कम्यूटेटिविटी: §4। फूरियर रूपांतरण के अनुप्रयोग 1. मान लें कि Р(^) स्थिर गुणांकों के साथ क्रम m का एक रैखिक अंतर संकारक है। y(x) में एक फूरियर रूपांतरण y (O. और फलन f(x) में एक परिवर्तन /(t) है। फूरियर रूपांतरण को समीकरण (1) में लागू करते हुए, हम अक्ष पर एक विभेदक बीजीय समीकरण के बजाय प्राप्त करते हैं, जहां से औपचारिक रूप से जहां प्रतीक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है इस पद्धति की प्रयोज्यता की मुख्य सीमा निम्नलिखित के साथ जुड़ी हुई है तथ्य: स्थिर गुणांक वाले एक साधारण अंतर समीकरण के समाधान में फॉर्म के कार्य होते हैं< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

मेरा मानना ​​​​है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म जैसे अद्भुत गणितीय उपकरण के अस्तित्व के बारे में आम तौर पर हर कोई जानता है। हालांकि, विश्वविद्यालयों में, किसी कारण से, इसे इतनी बुरी तरह से पढ़ाया जाता है कि अपेक्षाकृत कम लोग समझते हैं कि यह परिवर्तन कैसे काम करता है और इसका सही तरीके से उपयोग कैसे किया जाना चाहिए। इस बीच, इस परिवर्तन का गणित आश्चर्यजनक रूप से सुंदर, सरल और सुरुचिपूर्ण है। मैं सभी को फूरियर ट्रांसफॉर्म और संबंधित विषय के बारे में थोड़ा और जानने के लिए आमंत्रित करता हूं कि कैसे कम्प्यूटेशनल प्रोसेसिंग के लिए एनालॉग सिग्नल को प्रभावी रूप से डिजिटल में परिवर्तित किया जा सकता है।

जटिल सूत्रों और मैटलैब का उपयोग किए बिना, मैं निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयास करूंगा:

• एफटी, डीटीएफ, डीटीएफटी - अंतर क्या हैं और कैसे प्रतीत होता है कि पूरी तरह से अलग सूत्र ऐसे वैचारिक रूप से समान परिणाम देते हैं?
• फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) परिणामों की सही व्याख्या कैसे करें
• अगर 179 नमूनों का संकेत दिया जाता है और एफएफटी को इनपुट के रूप में दो की शक्ति के बराबर लंबाई के अनुक्रम की आवश्यकता होती है तो क्या करें
• क्यों, जब फूरियर का उपयोग करके साइनसॉइड का स्पेक्ट्रम प्राप्त करने की कोशिश की जाती है, तो अपेक्षित सिंगल "स्टिक" के बजाय, एक अजीब स्क्वीगल ग्राफ पर निकलता है और इसके बारे में क्या किया जा सकता है
• एडीसी से पहले और डीएसी के बाद एनालॉग फिल्टर क्यों रखे जाते हैं?
• क्या नमूना दर के आधे से अधिक आवृत्ति वाले एडीसी सिग्नल को डिजिटाइज़ करना संभव है (स्कूल का उत्तर गलत है, सही उत्तर संभव है)
• डिजिटल अनुक्रम मूल सिग्नल को कैसे पुनर्स्थापित करता है

मैं इस धारणा से आगे बढ़ूंगा कि पाठक समझता है कि एक अभिन्न क्या है, एक जटिल संख्या (साथ ही इसके मापांक और तर्क), कार्यों का दृढ़ीकरण, साथ ही कम से कम "उंगलियों पर" कल्पना करता है कि डिराक डेल्टा फ़ंक्शन क्या है। पता नहीं - कोई बात नहीं, ऊपर दिए गए लिंक्स को पढ़ें। इस पाठ में "कार्यों के उत्पाद" से, मेरा हमेशा मतलब होगा "बिंदुवार गुणा"

हमें शायद इस तथ्य से शुरू करना चाहिए कि सामान्य फूरियर ट्रांसफॉर्म किसी प्रकार की चीज है, जैसा कि आप नाम से अनुमान लगा सकते हैं, एक फ़ंक्शन को दूसरे में बदल देता है, यानी वास्तविक चर x (टी) के प्रत्येक फ़ंक्शन को इसके स्पेक्ट्रम को असाइन करता है या फूरियर छवि y (w):

यदि हम उपमाएँ देते हैं, तो अर्थ में समान परिवर्तन का एक उदाहरण हो सकता है, उदाहरण के लिए, विभेदन, जो किसी फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न में बदल देता है। यही है, फूरियर रूपांतरण, वास्तव में, व्युत्पन्न लेने के समान ऑपरेशन है, और इसे अक्सर इसी तरह से दर्शाया जाता है, फ़ंक्शन पर त्रिकोणीय "टोपी" खींचना। केवल भेदभाव के विपरीत, जिसे वास्तविक संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, फूरियर हमेशा अधिक सामान्य जटिल संख्याओं के साथ "काम करता है"। इस वजह से, इस परिवर्तन के परिणामों के प्रदर्शन के साथ लगातार समस्याएं उत्पन्न होती हैं, क्योंकि जटिल संख्याएं एक से नहीं, बल्कि वास्तविक संख्याओं के साथ काम करने वाले ग्राफ पर दो निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती हैं। सबसे सुविधाजनक तरीका, एक नियम के रूप में, एक मॉड्यूल और एक तर्क के रूप में जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना और उन्हें दो अलग-अलग ग्राफ़ के रूप में अलग-अलग करना है:

एक जटिल मूल्य के तर्क के ग्राफ को अक्सर इस मामले में "चरण स्पेक्ट्रम" के रूप में संदर्भित किया जाता है, और मापांक के ग्राफ को अक्सर "आयाम स्पेक्ट्रम" कहा जाता है। आयाम स्पेक्ट्रम, एक नियम के रूप में, बहुत अधिक रुचि का है, और इसलिए स्पेक्ट्रम के "चरण" भाग को अक्सर छोड़ दिया जाता है। इस लेख में, हम "आयाम" चीजों पर भी ध्यान केंद्रित करेंगे, लेकिन हमें ग्राफ के लापता चरण भाग के अस्तित्व के बारे में नहीं भूलना चाहिए। इसके अलावा, एक जटिल मान के सामान्य मापांक के बजाय, इसका लघुगणक 10 से गुणा किया जाता है। परिणाम एक लॉगरिदमिक प्लॉट है, जिस पर मान डेसीबल (डीबी) में प्रदर्शित होते हैं।

कृपया ध्यान दें कि इस मामले में लॉगरिदमिक ग्राफ (-20 डीबी या उससे कम) की बहुत अधिक नकारात्मक संख्याएं "सामान्य" ग्राफ पर लगभग शून्य संख्याओं के अनुरूप नहीं हैं। इसलिए, ऐसे ग्राफ़ पर विभिन्न स्पेक्ट्रा की लंबी और चौड़ी "पूंछ", जब "साधारण" निर्देशांक में प्रदर्शित होती है, एक नियम के रूप में, व्यावहारिक रूप से गायब हो जाती है। इस तरह के एक अजीब तरह के प्रतिनिधित्व की सुविधा इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि विभिन्न कार्यों के फूरियर रूपांतरण को अक्सर एक दूसरे के साथ गुणा करने की आवश्यकता होती है। जटिल-मूल्यवान फूरियर छवियों के ऐसे बिंदुवार गुणन के साथ, उनके चरण स्पेक्ट्रा को जोड़ा जाता है, और उनके आयाम स्पेक्ट्रा को गुणा किया जाता है। पहला करना आसान है, जबकि दूसरा अपेक्षाकृत कठिन है। हालांकि, आयाम को गुणा करते समय आयाम के लघुगणक जोड़ दिए जाते हैं, इसलिए लघुगणकीय आयाम रेखांकन, चरण रेखांकन की तरह, बस बिंदु दर बिंदु जोड़े जा सकते हैं। इसके अलावा, व्यावहारिक समस्याओं में अक्सर सिग्नल के "आयाम" के साथ नहीं, बल्कि इसकी "शक्ति" (आयाम का वर्ग) के साथ संचालित करना अधिक सुविधाजनक होता है। लॉगरिदमिक पैमाने पर, दोनों ग्राफ़ (आयाम और शक्ति दोनों) समान दिखते हैं और केवल गुणांक में भिन्न होते हैं - पावर ग्राफ़ पर सभी मान आयाम पैमाने पर दोगुने बड़े होते हैं। तदनुसार, शक्ति के आवृत्ति वितरण (डेसीबल में) की साजिश करने के लिए, आप कुछ भी वर्ग नहीं कर सकते हैं, लेकिन दशमलव लॉगरिदम की गणना करें और इसे 20 से गुणा करें।

क्या आप बोर हो रहे हैं? रुको, बस थोड़ा और, लेख के उबाऊ हिस्से के साथ चार्ट की व्याख्या कैसे करें, हम जल्द ही समाप्त कर देंगे :)। लेकिन उससे पहले, समझने वाली एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात यह है कि हालांकि उपरोक्त सभी स्पेक्ट्रम प्लॉट कुछ सीमित मूल्यों (विशेष रूप से, सकारात्मक संख्या) के लिए तैयार किए गए थे, ये सभी प्लॉट वास्तव में प्लस और माइनस अनंत में जारी हैं। ग्राफ़ केवल ग्राफ़ के कुछ "सबसे सार्थक" भाग दिखाते हैं, जो आमतौर पर पैरामीटर के नकारात्मक मानों के लिए प्रतिबिंबित होते हैं और बड़े पैमाने पर देखे जाने पर अक्सर कुछ चरणों के साथ समय-समय पर दोहराए जाते हैं।

रेखांकन पर क्या खींचा गया है, इस पर निर्णय लेने के बाद, आइए फूरियर को स्वयं और उसके गुणों को रूपांतरित करें। इस परिवर्तन को परिभाषित करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जो छोटे विवरणों (विभिन्न सामान्यीकरण) में भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, हमारे विश्वविद्यालयों में, किसी कारण से, वे अक्सर फूरियर रूपांतरण के सामान्यीकरण का उपयोग करते हैं जो कोणीय आवृत्ति (प्रति सेकंड रेडियन) के संदर्भ में स्पेक्ट्रम निर्धारित करता है। मैं एक अधिक सुविधाजनक पश्चिमी सूत्रीकरण का उपयोग करूंगा जो सामान्य आवृत्ति (हर्ट्ज) के संदर्भ में स्पेक्ट्रम को परिभाषित करता है। इस मामले में प्रत्यक्ष और उलटा फूरियर रूपांतरण बाईं ओर के सूत्रों द्वारा परिभाषित किया गया है, और इस परिवर्तन के कुछ गुण जिनकी हमें आवश्यकता है, वे दाईं ओर सात वस्तुओं की सूची हैं:

इनमें से पहला गुण रैखिकता है। यदि हम कार्यों के कुछ रैखिक संयोजन लेते हैं, तो इस संयोजन का फूरियर रूपांतरण इन कार्यों की फूरियर छवियों का एक ही रैखिक संयोजन होगा। यह संपत्ति जटिल कार्यों को कम करना संभव बनाती है और उनका फूरियर सरल लोगों में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, आवृत्ति f और आयाम a के साथ एक साइनसॉइडल फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण दो डेल्टा कार्यों का एक संयोजन है जो बिंदु f और -f पर स्थित है और गुणांक a/2 के साथ है:

यदि हम अलग-अलग आवृत्तियों के साथ साइनसॉइड के एक सेट के योग से युक्त एक फ़ंक्शन लेते हैं, तो, रैखिकता संपत्ति के अनुसार, इस फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण में डेल्टा फ़ंक्शन के संबंधित सेट शामिल होंगे। यह हमें सिद्धांत के अनुसार स्पेक्ट्रम की एक भोली, लेकिन दृश्य व्याख्या देने की अनुमति देता है "यदि किसी फ़ंक्शन आवृत्ति के स्पेक्ट्रम में f आयाम a से मेल खाती है, तो मूल फ़ंक्शन को साइनसॉइड के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से एक होगा आवृत्ति f और आयाम 2a के साथ एक साइनसॉइड बनें"। कड़ाई से बोलते हुए, यह व्याख्या गलत है, क्योंकि एक डेल्टा फ़ंक्शन और एक ग्राफ पर एक बिंदु पूरी तरह से अलग चीजें हैं, लेकिन जैसा कि हम आगे देखेंगे, असतत फूरियर रूपांतरण के लिए, यह सच्चाई से बहुत दूर नहीं होगा।

फूरियर रूपांतरण की दूसरी संपत्ति सिग्नल के समय परिवर्तन से आयाम स्पेक्ट्रम की स्वतंत्रता है। यदि हम x-अक्ष पर फलन को बाएँ या दाएँ घुमाते हैं, तो केवल उसका चरण स्पेक्ट्रम बदलेगा।

तीसरी संपत्ति - समय अक्ष (x) के साथ मूल फ़ंक्शन का खिंचाव (संपीड़न) आनुपातिक रूप से अपने फूरियर रूपांतरण को आवृत्ति पैमाने (w) के साथ संपीड़ित (खिंचाव) करता है। विशेष रूप से, परिमित अवधि के संकेत का स्पेक्ट्रम हमेशा असीम रूप से चौड़ा होता है, और इसके विपरीत, परिमित चौड़ाई का स्पेक्ट्रम हमेशा असीमित अवधि के संकेत से मेल खाता है।

चौथा और पाँचवाँ गुण शायद सभी में सबसे उपयोगी हैं। वे कार्यों के कनवल्शन को उनके फूरियर रूपांतरणों के बिंदुवार गुणन तक कम करना संभव बनाते हैं, और इसके विपरीत - उनके फूरियर रूपांतरणों के कनवल्शन के लिए कार्यों का बिंदुवार गुणन। थोड़ा आगे मैं दिखाऊंगा कि यह कितना सुविधाजनक है।

छठी संपत्ति फूरियर छवियों की समरूपता के बारे में बोलती है। विशेष रूप से, यह इस संपत्ति से निम्नानुसार है कि वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (यानी कोई भी "वास्तविक" सिग्नल) के फूरियर रूपांतरण में आयाम स्पेक्ट्रम हमेशा एक समान कार्य होता है, और चरण स्पेक्ट्रम (यदि सीमा तक कम हो जाता है -pi.. .pi) विषम है। यही कारण है कि स्पेक्ट्रम का नकारात्मक हिस्सा स्पेक्ट्रम के ग्राफ पर लगभग कभी नहीं खींचा जाता है - वास्तविक-मूल्यवान संकेतों के लिए, यह कोई नई जानकारी प्रदान नहीं करता है (लेकिन, मैं दोहराता हूं, यह शून्य भी नहीं है)।

अंत में, आखिरी, सातवीं संपत्ति, कहती है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म सिग्नल की "ऊर्जा" को बरकरार रखता है। यह केवल परिमित अवधि के संकेतों के लिए समझ में आता है, जिनकी ऊर्जा सीमित है, और कहते हैं कि अनंत पर ऐसे संकेतों का स्पेक्ट्रम तेजी से शून्य के करीब पहुंच रहा है। यह इस संपत्ति के कारण है कि, एक नियम के रूप में, सिग्नल के केवल "मुख्य" भाग को स्पेक्ट्रम रेखांकन पर दर्शाया गया है, जो ऊर्जा के शेर के हिस्से को वहन करता है - शेष ग्राफ बस शून्य हो जाता है (लेकिन, फिर से) , यह शून्य नहीं है)।

इन 7 गुणों के साथ, आइए एक निरंतर संकेत को अंकों के अनुक्रम में अनुवाद करने के लिए "डिजिटाइज़िंग" के गणित पर एक नज़र डालें। ऐसा करने के लिए, हमें "डिराक कंघी" नामक एक फ़ंक्शन लेने की आवश्यकता है:

एक डिराक कंघी केवल एकता डेल्टा कार्यों का एक आवधिक अनुक्रम है, जो शून्य से शुरू होता है और चरण टी के साथ आगे बढ़ता है। संकेतों को डिजिटाइज़ करने के लिए, टी को जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है, टी<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

एक निरंतर कार्य के बजाय, इस तरह के गुणन के बाद, एक निश्चित ऊंचाई के डेल्टा दालों का एक क्रम प्राप्त होता है। इस मामले में, फूरियर रूपांतरण की संपत्ति 5 के अनुसार, परिणामी असतत संकेत का स्पेक्ट्रम संबंधित डायराक कंघी के साथ मूल स्पेक्ट्रम का दृढ़ संकल्प है। यह समझना आसान है कि, दृढ़ संकल्प के गुणों के आधार पर, मूल सिग्नल का स्पेक्ट्रम, जैसा कि यह था, आवृत्ति अक्ष के साथ एक अनंत संख्या में "प्रतिलिपि" किया गया था 1/T के एक चरण के साथ, और फिर संक्षेप में .

ध्यान दें कि यदि मूल स्पेक्ट्रम की एक सीमित चौड़ाई थी और हमने पर्याप्त रूप से उच्च नमूना दर का उपयोग किया था, तो मूल स्पेक्ट्रम की प्रतियां ओवरलैप नहीं होंगी, और इसलिए एक दूसरे में नहीं जोड़ी जाएंगी। यह समझना आसान है कि इस तरह के "फोल्डेड" स्पेक्ट्रम से मूल स्पेक्ट्रम को पुनर्स्थापित करना आसान होगा - यह केवल शून्य के क्षेत्र में स्पेक्ट्रम के घटक को लेने के लिए पर्याप्त होगा, अतिरिक्त प्रतियों को "काटना" अनन्त तक। ऐसा करने का सबसे सरल तरीका है कि स्पेक्ट्रम को एक आयताकार फलन से गुणा किया जाए जो इस श्रेणी के बाहर -1/2T...1/2T और शून्य में T के बराबर है। एक समान फूरियर रूपांतरण sinc (Tx) फ़ंक्शन से मेल खाता है और गुण 4 के अनुसार, ऐसा गुणन फ़ंक्शन sinc(Tx) के साथ डेल्टा फ़ंक्शन के मूल अनुक्रम के कनवल्शन के बराबर है।

यही है, फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके, हमें समय-नमूना वाले से मूल सिग्नल को आसानी से पुनर्स्थापित करने का एक तरीका मिला, जो काम करता है बशर्ते कि हम एक नमूना आवृत्ति का उपयोग करें जो कम से कम दो बार हो (स्पेक्ट्रम में नकारात्मक आवृत्तियों की उपस्थिति के कारण) ) मूल सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति। यह परिणाम व्यापक रूप से जाना जाता है और इसे कोटेलनिकोव / शैनन-न्यक्विस्ट प्रमेय कहा जाता है। हालाँकि, जैसा कि अब देखना आसान है (सबूत को समझना), यह परिणाम, एक व्यापक गलत धारणा के विपरीत, निर्धारित करता है पर्याप्त, लेकिन नहीं ज़रूरीमूल सिग्नल को बहाल करने के लिए शर्त। हमें केवल यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि सिग्नल का नमूना लेने के बाद हमारे लिए रुचि के स्पेक्ट्रम का हिस्सा एक दूसरे को ओवरलैप नहीं करता है, और यदि सिग्नल पर्याप्त रूप से संकीर्ण-बैंड है (इसमें गैर-शून्य भाग की एक छोटी "चौड़ाई" है) स्पेक्ट्रम), तो यह परिणाम अक्सर अधिकतम सिग्नल आवृत्ति के दोगुने से बहुत कम नमूना दर पर भी प्राप्त किया जा सकता है। इस तकनीक को "अंडरसैंपलिंग" (सबसैंपलिंग, बैंडपास सैंपलिंग) कहा जाता है और सभी प्रकार के रेडियो सिग्नल के प्रसंस्करण में काफी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम आवृत्ति बैंड में 88 से 108 मेगाहर्ट्ज तक चलने वाले एफएम रेडियो को लेते हैं, तो कोटेलनिकोव प्रमेय द्वारा ग्रहण किए गए 216 मेगाहर्ट्ज के बजाय केवल 43.5 मेगाहर्ट्ज की आवृत्ति वाले एडीसी का उपयोग इसे डिजिटाइज़ करने के लिए किया जा सकता है। इस मामले में, हालांकि, आपको एक उच्च-गुणवत्ता वाले एडीसी और एक अच्छे फ़िल्टर की आवश्यकता है।

मैं ध्यान देता हूं कि निचले आदेशों (अलियासिंग) की आवृत्तियों द्वारा उच्च आवृत्तियों का "दोहराव" सिग्नल नमूनाकरण की प्रत्यक्ष संपत्ति है, परिणाम को अपरिवर्तनीय रूप से "खराब" करता है। इसलिए, यदि उच्च-क्रम आवृत्तियाँ सिद्धांत रूप में सिग्नल में मौजूद हो सकती हैं (अर्थात, लगभग हमेशा), एडीसी के सामने एक एनालॉग फ़िल्टर रखा जाता है, जो मूल सिग्नल में सीधे सब कुछ "कट" कर देता है (क्योंकि यह होगा) नमूना लेने के बाद ऐसा करने में बहुत देर हो चुकी है)। एनालॉग उपकरणों के रूप में इन फिल्टरों की विशेषताएं आदर्श नहीं हैं, इसलिए कुछ संकेत "क्षति" अभी भी होते हैं, और व्यवहार में यह इस प्रकार है कि स्पेक्ट्रम में उच्चतम आवृत्तियां आमतौर पर अविश्वसनीय होती हैं। इस समस्या को कम करने के लिए, एनालॉग इनपुट फिल्टर को कम बैंडविड्थ पर सेट करते हुए और एडीसी की सैद्धांतिक रूप से उपलब्ध आवृत्ति रेंज के केवल निचले हिस्से का उपयोग करते हुए, ओवरसैंपल दर पर सिग्नल का नमूना लेना असामान्य नहीं है।

एक और आम गलतफहमी, वैसे, जब डीएसी के आउटपुट पर सिग्नल "स्टेप्स" में खींचा जाता है। "चरण" चौड़ाई टी और ऊंचाई 1 के आयताकार कार्य के साथ संकेतों के नमूना अनुक्रम के दृढ़ संकल्प के अनुरूप हैं:

इस तरह के परिवर्तन के साथ, सिग्नल स्पेक्ट्रम को इस आयताकार फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण से गुणा किया जाता है, और एक समान आयताकार फ़ंक्शन के लिए यह फिर से sinc (w) होता है, "विस्तारित" जितना मजबूत होता है, संबंधित आयत की चौड़ाई उतनी ही छोटी होती है। एक समान "DAC" के साथ सैंपल किए गए सिग्नल के स्पेक्ट्रम को इस स्पेक्ट्रम से बिंदुवार गुणा किया जाता है। इस मामले में, स्पेक्ट्रम की "अतिरिक्त प्रतियों" के साथ अनावश्यक उच्च आवृत्तियों को पूरी तरह से काट नहीं दिया जाता है, और इसके विपरीत, स्पेक्ट्रम के "उपयोगी" हिस्से का ऊपरी हिस्सा कमजोर हो जाता है।

व्यवहार में, निश्चित रूप से, कोई भी ऐसा नहीं करता है। डीएसी के निर्माण के लिए कई अलग-अलग दृष्टिकोण हैं, लेकिन सबसे समान भार प्रकार डीएसी में भी, इसके विपरीत, डीएसी में आयताकार दालों को जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है (डेल्टा कार्यों के वास्तविक अनुक्रम तक पहुंचने के लिए) अनावश्यक दमन से बचने के लिए स्पेक्ट्रम के उपयोगी भाग का। परिणामी ब्रॉडबैंड सिग्नल में "अतिरिक्त" आवृत्तियों को एनालॉग कम-पास फ़िल्टर के माध्यम से सिग्नल पास करके लगभग हमेशा कम किया जाता है, ताकि कनवर्टर के "अंदर" या इसके अलावा, इसके आउटपुट पर कोई "डिजिटल चरण" न हो।

हालांकि, आइए फूरियर रूपांतरण पर वापस जाएं। संकेतों के पूर्व-नमूना अनुक्रम पर लागू ऊपर वर्णित फूरियर रूपांतरण को डिस्क्रीट टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी) कहा जाता है। इस तरह के परिवर्तन से प्राप्त स्पेक्ट्रम हमेशा 1/टी-आवधिक होता है, इसलिए डीटीएफटी स्पेक्ट्रम पूरी तरह से खंड पर इसके मूल्यों से निर्धारित होता है)