समाधान।
संभावना है कि कोई प्रतीक नहीं खींचा गया: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
पी(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
पी(2)= 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
हथियारों के तीन कोट प्राप्त करने की संभावना: पी(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
यादृच्छिक चर X का वितरण नियम:
| एक्स | 0 | 1 | 2 | 3 |
| पी | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
उदाहरण क्रमांक 2. पहले निशानेबाज के लिए एक निशानेबाज द्वारा एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.8 है, दूसरे निशानेबाज के लिए - 0.85। निशानेबाजों ने लक्ष्य पर एक गोली चलाई। लक्ष्य को भेदने को व्यक्तिगत निशानेबाजों के लिए स्वतंत्र घटनाओं के रूप में मानते हुए, घटना ए की संभावना ज्ञात कीजिए - लक्ष्य पर ठीक एक प्रहार।
समाधान।
घटना ए पर विचार करें - लक्ष्य पर एक प्रहार। इस घटना के घटित होने के संभावित विकल्प इस प्रकार हैं:
- पहला शूटर हिट हुआ, दूसरा शूटर चूक गया: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- पहला निशानेबाज चूक गया, दूसरे निशानेबाज ने लक्ष्य मारा: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- पहला और दूसरा तीर एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से लक्ष्य पर प्रहार करते हैं: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
वितरण का नियम और विशेषताएँ
यादृच्छिक चर
यादृच्छिक चर, उनका वर्गीकरण और वर्णन के तरीके।
यादृच्छिक मात्रा वह मात्रा है जो प्रयोग के परिणामस्वरूप एक या दूसरा मान ले सकती है, लेकिन कौन सा मान पहले से ज्ञात नहीं होता है। इसलिए, एक यादृच्छिक चर के लिए, आप केवल मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिनमें से एक वह निश्चित रूप से प्रयोग के परिणामस्वरूप लेगा। निम्नलिखित में हम इन मानों को यादृच्छिक चर के संभावित मान कहेंगे। चूँकि एक यादृच्छिक चर मात्रात्मक रूप से किसी प्रयोग के यादृच्छिक परिणाम की विशेषता बताता है, इसे एक यादृच्छिक घटना की मात्रात्मक विशेषता के रूप में माना जा सकता है।
यादृच्छिक चर को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, X..Y..Z, और उनके संभावित मानों को संबंधित छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।
यादृच्छिक चर तीन प्रकार के होते हैं:
पृथक; निरंतर; मिश्रित।
अलगएक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मानों की संख्या एक गणनीय सेट बनाती है। बदले में, वह समुच्चय जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है, गणनीय कहलाता है। शब्द "असतत" लैटिन डिस्क्रेटस से आया है, जिसका अर्थ है "असंतत, अलग-अलग हिस्सों से मिलकर बना"।
उदाहरण 1. एक असतत यादृच्छिक चर nproducts के एक बैच में दोषपूर्ण भागों X की संख्या है। दरअसल, इस यादृच्छिक चर के संभावित मान 0 से n तक पूर्णांकों की एक श्रृंखला हैं।
उदाहरण 2. एक असतत यादृच्छिक चर लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या है। यहां, उदाहरण 1 की तरह, संभावित मानों को क्रमांकित किया जा सकता है, हालांकि सीमित मामले में संभावित मान एक असीम रूप से बड़ी संख्या है।
निरंतरएक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मान लगातार संख्यात्मक अक्ष के एक निश्चित अंतराल को भरते हैं, जिसे कभी-कभी इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल भी कहा जाता है। इस प्रकार, अस्तित्व के किसी भी सीमित अंतराल पर, निरंतर यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या असीम रूप से बड़ी होती है।
उदाहरण 3. एक सतत यादृच्छिक चर एक उद्यम की मासिक बिजली खपत है।
उदाहरण 4. एक सतत यादृच्छिक चर एक अल्टीमीटर का उपयोग करके ऊंचाई मापने में त्रुटि है। अल्टीमीटर के ऑपरेटिंग सिद्धांत से ज्ञात हो कि त्रुटि 0 से 2 मीटर तक की सीमा में होती है। इसलिए, इस यादृच्छिक चर के अस्तित्व का अंतराल 0 से 2 मीटर तक का अंतराल है।
यादृच्छिक चरों के वितरण का नियम.
एक यादृच्छिक चर को पूरी तरह से निर्दिष्ट माना जाता है यदि इसके संभावित मान संख्यात्मक अक्ष पर इंगित किए जाते हैं और वितरण कानून स्थापित किया जाता है।
यादृच्छिक चर के वितरण का नियम एक ऐसा संबंध है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।
एक यादृच्छिक चर को किसी दिए गए कानून के अनुसार, या किसी दिए गए वितरण कानून के अधीन वितरित किया जाता है। वितरण कानूनों के रूप में कई संभावनाओं, वितरण फ़ंक्शन, संभाव्यता घनत्व और विशेषता फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है।
वितरण कानून एक यादृच्छिक चर का पूर्ण संभावित विवरण देता है। वितरण नियम के अनुसार, कोई प्रयोग से पहले निर्णय ले सकता है कि यादृच्छिक चर के कौन से संभावित मान अधिक बार दिखाई देंगे और कौन से कम बार।
एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण कानून को एक तालिका के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और ग्राफिक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।
असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका (मैट्रिक्स) है, जो यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को आरोही क्रम में सूचीबद्ध करता है, अर्थात।
ऐसी तालिका को असतत यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला कहा जाता है। 1
घटनाएँ X 1, X 2,..., X n, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर असंगत और एकमात्र संभव (चूंकि तालिका एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों को सूचीबद्ध करती है), यानी। एक पूरा समूह बनाएं. इसलिए, उनकी संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। इस प्रकार, किसी भी असतत यादृच्छिक चर के लिए
(यह इकाई किसी तरह यादृच्छिक चर के मूल्यों के बीच वितरित की जाती है, इसलिए "वितरण" शब्द)।
यदि यादृच्छिक चर के मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और उनकी संबंधित संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, तो वितरण श्रृंखला को ग्राफिक रूप से चित्रित किया जा सकता है। प्राप्त बिंदुओं का कनेक्शन एक टूटी हुई रेखा बनाता है जिसे बहुभुज या संभाव्यता वितरण का बहुभुज कहा जाता है (चित्र 1)।
उदाहरणलॉटरी में शामिल हैं: 5,000 डेन की कीमत वाली एक कार। इकाइयाँ, 250 डेन की लागत वाले 4 टीवी। इकाइयाँ, 200 डेन मूल्य के 5 वीडियो रिकॉर्डर। इकाइयां 7 दिनों के लिए कुल 1000 टिकट बिके। इकाइयां एक टिकट खरीदने वाले लॉटरी प्रतिभागी द्वारा प्राप्त शुद्ध जीत के लिए एक वितरण कानून बनाएं।
समाधान. यादृच्छिक चर X के संभावित मान - प्रति टिकट शुद्ध जीत - 0-7 = -7 पैसे के बराबर हैं। इकाइयां (यदि टिकट नहीं जीता), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 डेन। इकाइयां (यदि टिकट पर क्रमशः वीसीआर, टीवी या कार की जीत दर्ज है)। यह मानते हुए कि 1000 टिकटों में से गैर-विजेताओं की संख्या 990 है, और संकेतित जीत क्रमशः 5, 4 और 1 है, और संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं।
हम असतत यादृच्छिक चर के वितरण के सबसे सामान्य कानूनों पर प्रकाश डाल सकते हैं:
- द्विपद वितरण कानून
- पॉइसन वितरण कानून
- ज्यामितीय वितरण कानून
- हाइपरज्यामितीय वितरण कानून
असतत यादृच्छिक चर के दिए गए वितरण के लिए, उनके मूल्यों की संभावनाओं की गणना, साथ ही संख्यात्मक विशेषताओं (गणितीय अपेक्षा, विचरण, आदि) को कुछ "सूत्रों" का उपयोग करके किया जाता है। इसलिए, इस प्रकार के वितरण और उनके मूल गुणों को जानना बहुत महत्वपूर्ण है।
1. द्विपद वितरण नियम.
एक असतत यादृच्छिक चर $X$ द्विपद संभाव्यता वितरण कानून के अधीन है यदि यह संभावनाओं के साथ $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ मान लेता है $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. वास्तव में, यादृच्छिक चर $X$ $n$ स्वतंत्र परीक्षणों में घटना $A$ की घटनाओं की संख्या है। यादृच्छिक चर $X$ के संभाव्यता वितरण का नियम:
$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 0 और 1 और \बिंदु और n \\
\hline
p_i और P_n\left(0\right) और P_n\left(1\right) और \dots और P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(सरणी)$
ऐसे यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=np$ है, विचरण $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ है।
उदाहरण . परिवार में दो बच्चे हैं। एक लड़के और एक लड़की के होने की संभावनाओं को $0.5$ के बराबर मानते हुए, यादृच्छिक चर $\xi$ के वितरण का नियम खोजें - परिवार में लड़कों की संख्या।
मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $\xi $ परिवार में लड़कों की संख्या है। वे मान जो $\xi ले सकते हैं:\ 0,\ 1,\ 2$. इन मानों की संभावनाओं को सूत्र $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) का उपयोग करके पाया जा सकता है )$, जहां $n =2$ स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या है, $p=0.5$ $n$ परीक्षणों की श्रृंखला में किसी घटना के घटित होने की संभावना है। हम पाते हैं:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$
फिर यादृच्छिक चर $\xi $ का वितरण कानून मान $0,\ 1,\ 2$ और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार है, अर्थात:
$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
\xi और 0 और 1 और 2 \\
\hline
पी(\xi) और 0.25 और 0.5 और 0.25 \\
\hline
\end(सरणी)$
वितरण कानून में संभावनाओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए, यानी $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.
उम्मीद $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, भिन्नता $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, मानक विचलन $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\लगभग $0.707.
2. पॉइसन वितरण कानून।
यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक मान $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ संभावनाओं के साथ $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
टिप्पणी. इस वितरण की ख़ासियत यह है कि, प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर, हम अनुमान पाते हैं $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, यदि प्राप्त अनुमान एक दूसरे के करीब हैं, तो हमारे पास है यह दावा करने का कारण कि यादृच्छिक चर पॉइसन वितरण कानून के अधीन है।
उदाहरण . पॉइसन वितरण कानून के अधीन यादृच्छिक चर के उदाहरण हो सकते हैं: कल गैस स्टेशन द्वारा परोसी जाने वाली कारों की संख्या; विनिर्मित उत्पादों में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या।
उदाहरण . फ़ैक्टरी ने बेस को $500$ के उत्पाद भेजे। पारगमन में उत्पाद के क्षतिग्रस्त होने की संभावना $0.002$ है। क्षतिग्रस्त उत्पादों की संख्या के बराबर यादृच्छिक चर $X$ के वितरण का नियम ज्ञात करें; $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ क्या है।
असतत यादृच्छिक चर $X$ को क्षतिग्रस्त उत्पादों की संख्या होने दें। ऐसा यादृच्छिक चर पैरामीटर $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ के साथ पॉइसन वितरण कानून के अधीन है। मानों की संभावनाएं $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) के बराबर हैं}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
यादृच्छिक चर $X$ का वितरण नियम:
$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 0 और 1 और 2 और 3 और 4 और 5 और 6 और ... और k \\
\hline
पी_आई एवं 0.368; और 0.368 और 0.184 और 0.061 और 0.015 और 0.003 और 0.001 और ... और (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(सरणी)$
ऐसे यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा और विचरण एक दूसरे के बराबर हैं और पैरामीटर $\lambda $ के बराबर हैं, अर्थात, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. ज्यामितीय वितरण कानून.
यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ केवल प्राकृतिक मान $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ संभावनाओं के साथ $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) ले सकता है दाएं)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, तो वे कहते हैं कि ऐसा यादृच्छिक चर $X$ संभाव्यता वितरण के ज्यामितीय कानून के अधीन है। वास्तव में, ज्यामितीय वितरण पहली सफलता तक बर्नौली परीक्षण है।
उदाहरण . ज्यामितीय वितरण वाले यादृच्छिक चर के उदाहरण हो सकते हैं: लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या; पहली विफलता तक डिवाइस परीक्षणों की संख्या; पहला चित्त आने तक सिक्के उछालने की संख्या, आदि।
ज्यामितीय वितरण के अधीन एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता क्रमशः $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) के बराबर होती है )/पी^ $2.
उदाहरण . अंडे देने वाली जगह पर मछली की आवाजाही के रास्ते में $4$ का ताला होता है। प्रत्येक ताले से मछली के गुजरने की प्रायिकता $p=3/5$ है। यादृच्छिक चर $X$ के वितरण की एक श्रृंखला का निर्माण करें - ताले पर पहली नजरबंदी से पहले मछली द्वारा पारित तालों की संख्या। $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ खोजें।
मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ ताले पर पहली गिरफ्तारी से पहले मछली द्वारा पारित तालों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर संभाव्यता वितरण के ज्यामितीय नियम के अधीन है। वे मान जो यादृच्छिक चर $X ले सकते हैं:$ 1, 2, 3, 4। इन मानों की संभावनाओं की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, जहां: $ p=2/5$ - ताले के माध्यम से मछली के फंसने की संभावना, $q=1-p=3/5$ - ताले के माध्यम से मछली के गुजरने की संभावना, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ (5))=0.4;$ से अधिक
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ (5) से अधिक)\cdot ((9)\ओवर (25))=((18)\ओवर (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\ओवर (5))\राइट))^4=((27)\ओवर (125))=0.216.$
$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 1 और 2 और 3 और 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) और 0.4 और 0.24 और 0.144 और 0.216 \\
\hline
\end(सरणी)$
अपेक्षित मूल्य:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
फैलाव:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ बाएँ( 1-2,176\दाएं))^2+0.24\cdot (\left(2-2,176\दाएं))^2+0.144\cdot (\left(3-2,176\दाएं))^2+$
$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\लगभग 1.377.$
मानक विचलन:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\लगभग 1,173.$
4. अतिज्यामितीय वितरण नियम.
यदि $N$ ऑब्जेक्ट, जिनमें से $m$ ऑब्जेक्ट में एक दी गई संपत्ति है। $n$ वस्तुओं को बिना लौटाए यादृच्छिक रूप से पुनर्प्राप्त किया जाता है, जिनमें से $k$ वस्तुएं थीं जिनमें एक दी गई संपत्ति होती है। हाइपरजियोमेट्रिक वितरण इस संभावना का अनुमान लगाना संभव बनाता है कि नमूने में बिल्कुल $k$ वस्तुओं में एक दी गई संपत्ति है। मान लें कि यादृच्छिक चर $X$ नमूने में उन वस्तुओं की संख्या है जिनमें दी गई संपत्ति है। फिर यादृच्छिक चर $X$ के मानों की संभावनाएँ:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
टिप्पणी. एक्सेल $f_x$ फ़ंक्शन विज़ार्ड का सांख्यिकीय फ़ंक्शन HYPERGEOMET आपको यह संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है कि एक निश्चित संख्या में परीक्षण सफल होंगे।
$f_x\से$ सांख्यिकीय$\से$ हाइपरजीओमेट$\से$ ठीक है. एक डायलॉग बॉक्स दिखाई देगा जिसे आपको भरना होगा। कॉलम में नमूने में सफलताओं की संख्यामूल्य $k$ इंगित करें। नमूने का आकार$n$ के बराबर है। कॉलम में एक साथ_सफलताओं_की_संख्यामूल्य $m$ इंगित करें। जनसंख्या का आकार$N$ के बराबर है।
ज्यामितीय वितरण कानून के अधीन, एक असतत यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा और विचरण क्रमशः $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= के बराबर हैं ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
उदाहरण . बैंक का क्रेडिट विभाग उच्च वित्तीय शिक्षा वाले 5 विशेषज्ञों और उच्च कानूनी शिक्षा वाले 3 विशेषज्ञों को नियुक्त करता है। बैंक के प्रबंधन ने उनकी योग्यता में सुधार के लिए यादृच्छिक क्रम में चयन करके 3 विशेषज्ञों को भेजने का निर्णय लिया।
क) उच्च वित्तीय शिक्षा वाले उन विशेषज्ञों की संख्या के लिए एक वितरण श्रृंखला बनाएं जिन्हें उनके कौशल में सुधार के लिए भेजा जा सकता है;
ख) इस वितरण की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ तीन चयनित लोगों में से उच्च वित्तीय शिक्षा वाले विशेषज्ञों की संख्या है। वे मान जो $X ले सकते हैं: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. यह यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मापदंडों के साथ हाइपरजियोमेट्रिक वितरण के अनुसार वितरित किया जाता है: $N=8$ - जनसंख्या आकार, $m=5$ - जनसंख्या में सफलताओं की संख्या, $n=3$ - नमूना आकार, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - नमूने में सफलताओं की संख्या। फिर संभावनाओं $P\left(X=k\right)$ की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ से अधिक। हमारे पास है:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\लगभग 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\लगभग 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\लगभग 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\लगभग 0.179.$
फिर यादृच्छिक चर $X$ की वितरण श्रृंखला:
$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और 0 और 1 और 2 और 3 \\
\hline
p_i और 0.018 और 0.268 और 0.536 और 0.179 \\
\hline
\end(सरणी)$
आइए हाइपरजियोमेट्रिक वितरण के सामान्य सूत्रों का उपयोग करके यादृच्छिक चर $X$ की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें।
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\दाएं))\ओवर (8-1))=((225)\ओवर (448))\लगभग 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\लगभग 0.7085.$
अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक मात्रा को कहा जाता है, जो समान परिस्थितियों में किए गए परीक्षणों के परिणामस्वरूप, ध्यान में नहीं रखे गए यादृच्छिक कारकों के आधार पर अलग-अलग, सामान्य रूप से, मान लेती है। यादृच्छिक चर के उदाहरण: एक पासे पर फेंके गए बिंदुओं की संख्या, एक बैच में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या, लक्ष्य से एक प्रक्षेप्य के प्रभाव बिंदु का विचलन, एक उपकरण का सक्रिय समय, आदि। असतत और निरंतर हैं यादृच्छिक चर। अलगएक यादृच्छिक चर को कहा जाता है, जिसके संभावित मान एक गणनीय सेट, परिमित या अनंत बनाते हैं (अर्थात, एक सेट जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है)।
निरंतरयादृच्छिक चर को कहा जाता है, जिसके संभावित मान संख्या रेखा के किसी परिमित या अनंत अंतराल को लगातार भरते हैं। सतत यादृच्छिक चर के मानों की संख्या सदैव अनंत होती है।
हम यादृच्छिक चर को लैटिन वर्णमाला के अंत से बड़े अक्षरों से निरूपित करेंगे: एक्स, वाई, . ; यादृच्छिक चर मान - छोटे अक्षरों में: एक्स, वाई,. . इस प्रकार, एक्सएक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के पूरे सेट को दर्शाता है, और एक्स -इसके कुछ विशेष अर्थ.
वितरण का नियमएक असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच किसी भी रूप में निर्दिष्ट एक पत्राचार है।
यादृच्छिक चर के संभावित मान बताइए एक्सहैं । परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर इनमें से एक मान लेगा, अर्थात। जोड़ीवार असंगत घटनाओं के पूरे समूह में से एक घटना घटित होगी।
आइए इन घटनाओं की संभावनाएं भी जानें:
यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक्सतालिका के रूप में लिखा जा सकता है जिसे कहा जाता है वितरण के निकटअसतत यादृच्छिक चर:
यादृच्छिक चर। असतत यादृच्छिक चर।
अपेक्षित मूल्य
दूसरा खंड चालू सिद्धांत संभावनासमर्पित यादृच्छिक चर , जो अदृश्य रूप से विषय पर वस्तुतः हर लेख में हमारे साथ था। और यह स्पष्ट रूप से बताने का समय आ गया है कि यह क्या है:
यादृच्छिक बुलाया आकार, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप लगेगा एक और केवल एकएक संख्यात्मक मान जो यादृच्छिक कारकों पर निर्भर करता है और पहले से अप्रत्याशित होता है।
यादृच्छिक चर आमतौर पर होते हैं निरूपितके माध्यम से * , और उनके अर्थ संबंधित छोटे अक्षरों में उपस्क्रिप्ट के साथ लिखे गए हैं, उदाहरण के लिए,।
* कभी-कभी ग्रीक अक्षरों का भी प्रयोग किया जाता है
हमें एक उदाहरण देखने को मिला संभाव्यता सिद्धांत पर पहला पाठ, जहां हमने वास्तव में निम्नलिखित यादृच्छिक चर पर विचार किया:
- पासा फेंकने के बाद दिखाई देने वाले अंकों की संख्या।
इस परीक्षण के परिणामस्वरूप, यह गिर जाएगा सिर्फ एकरेखा, वास्तव में कौन सी है, इसकी भविष्यवाणी नहीं की जा सकती (हम तरकीबों पर विचार नहीं करते); इस स्थिति में, यादृच्छिक चर निम्नलिखित मानों में से एक ले सकता है:
- 10 नवजात शिशुओं में लड़कों की संख्या।
यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह संख्या पहले से ज्ञात नहीं है, और जन्म लेने वाले अगले दस बच्चों में शामिल हो सकते हैं:
या लड़के - एक और केवल एकसूचीबद्ध विकल्पों में से.
और, आकार में बने रहने के लिए, थोड़ी शारीरिक शिक्षा:
- लंबी कूद दूरी (कुछ इकाइयों में).
यहां तक कि खेल का कोई मास्टर भी इसकी भविष्यवाणी नहीं कर सकता :)
हालाँकि, आपकी परिकल्पनाएँ?
जैसे ही वास्तविक संख्याओं का समुच्चयअसीम रूप से, फिर यादृच्छिक चर ले सकता है असीम रूप से अनेकएक निश्चित अंतराल से मान. और यह पिछले उदाहरणों से इसका मूलभूत अंतर है।
इस प्रकार, यादृच्छिक चर को 2 बड़े समूहों में विभाजित करने की सलाह दी जाती है:
1) पृथक् (रुक-रुक कर)यादृच्छिक चर - व्यक्तिगत, पृथक मान लेता है। इन मानों की संख्या निश्चित रूप सेया अनंत लेकिन गणनीय.
...क्या कोई अस्पष्ट शर्तें हैं? हम तत्काल दोहराते हैं बीजगणित की मूल बातें!
2) सतत यादृच्छिक चर - स्वीकार करता है सभीकिसी परिमित या अनंत अंतराल से संख्यात्मक मान।
टिप्पणी : संक्षिप्ताक्षर DSV और NSV शैक्षिक साहित्य में लोकप्रिय हैं
सबसे पहले, आइए असतत यादृच्छिक चर का विश्लेषण करें, फिर - निरंतर.
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
- यह पत्र-व्यवहारइस मात्रा के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच। प्रायः, कानून एक तालिका में लिखा जाता है:
यह शब्द अक्सर सामने आता है पंक्ति
वितरण, लेकिन कुछ स्थितियों में यह अस्पष्ट लगता है, और इसलिए मैं "कानून" पर कायम रहूंगा।
और अब बहुत महत्वपूर्ण बिंदु: यादृच्छिक चर के बाद से अनिवार्य रूप सेस्वीकार करेंगे मूल्यों में से एक, तो संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहऔर उनके घटित होने की संभावनाओं का योग एक के बराबर है:
या, यदि संक्षेप में लिखा गया हो:
इसलिए, उदाहरण के लिए, पासे पर लुढ़के अंकों के संभाव्यता वितरण के नियम का निम्नलिखित रूप है:
आप इस धारणा के तहत हो सकते हैं कि एक अलग यादृच्छिक चर केवल "अच्छे" पूर्णांक मान ही ले सकता है। आइए भ्रम दूर करें - वे कुछ भी हो सकते हैं:
कुछ गेम में निम्नलिखित विजयी वितरण नियम होता है:
...आपने शायद लंबे समय से ऐसे कार्यों का सपना देखा है 🙂 मैं आपको एक रहस्य बताता हूं - मैं भी। खासकर काम खत्म करने के बाद क्षेत्र सिद्धांत.
समाधान: चूंकि एक यादृच्छिक चर तीन मानों में से केवल एक मान ले सकता है, इसलिए संबंधित घटनाएं बनती हैं पूरा समूह, जिसका अर्थ है कि उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:
"पक्षपातपूर्ण" को उजागर करना:
- इस प्रकार, पारंपरिक इकाइयाँ जीतने की संभावना 0.4 है।
नियंत्रण: हमें यही सुनिश्चित करना था।
उत्तर:
यह असामान्य बात नहीं है जब आपको स्वयं वितरण कानून बनाने की आवश्यकता होती है। इसके लिए वे उपयोग करते हैं संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा, घटना संभावनाओं के लिए गुणन/जोड़ प्रमेयऔर अन्य चिप्स टेवेरा:
बॉक्स में 50 लॉटरी टिकट हैं, जिनमें से 12 जीत रहे हैं, और उनमें से 2 प्रत्येक 1000 रूबल जीतते हैं, और बाकी - 100 रूबल प्रत्येक। एक यादृच्छिक चर के वितरण के लिए एक कानून बनाएं - जीत का आकार, यदि एक टिकट बॉक्स से यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है।
समाधान: जैसा कि आपने देखा, एक यादृच्छिक चर के मान आमतौर पर रखे जाते हैं बढ़ते क्रम में. इसलिए, हम सबसे छोटी जीत, अर्थात् रूबल से शुरुआत करते हैं।
ऐसे कुल 50 टिकट हैं - 12 = 38, और के अनुसार शास्त्रीय परिभाषा:
- संभावना है कि बेतरतीब ढंग से निकाला गया टिकट हारा हुआ होगा।
अन्य मामलों में सब कुछ सरल है. रूबल जीतने की संभावना है:
और के लिए :
जांचें:- और यह ऐसे कार्यों का विशेष रूप से सुखद क्षण है!
उत्तर: जीत के वितरण का वांछित कानून:
निम्नलिखित कार्य आपको स्वयं हल करना है:
संभावना यह है कि निशानेबाज निशाने पर लगेगा। एक यादृच्छिक चर के लिए एक वितरण कानून बनाएं - 2 शॉट्स के बाद हिट की संख्या।
...मुझे पता था कि तुम उससे चूक गए :) चलो याद करते हैं गुणन और जोड़ प्रमेय. समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।
वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर का वर्णन करता है, लेकिन व्यवहार में इसमें से केवल कुछ को जानना उपयोगी (और कभी-कभी अधिक उपयोगी) हो सकता है संख्यात्मक विशेषताएँ .
एक असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा
सरल शब्दों में, यह है औसत अपेक्षित मूल्यजब परीक्षण कई बार दोहराया जाता है. यादृच्छिक चर को तदनुसार संभावनाओं के साथ मान लेने दें। तब इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा बराबर होती है उत्पादों का योगसंबंधित संभावनाओं के लिए इसके सभी मान:
या ढह गया:
आइए, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की गणना करें - एक पासे पर लुढ़के अंकों की संख्या:
प्राप्त परिणाम का संभाव्य अर्थ क्या है? यदि आप पासे को पर्याप्त बार घुमाते हैं, तो औसत मूल्यगिराए गए अंक 3.5 के करीब होंगे - और आप जितने अधिक परीक्षण करेंगे, उतने ही करीब होंगे। दरअसल, मैंने पहले ही पाठ में इस प्रभाव के बारे में विस्तार से बात की है सांख्यिकीय संभावना.
आइए अब हमारे काल्पनिक खेल को याद करें:
सवाल उठता है कि क्या यह गेम खेलना बिल्कुल भी लाभदायक है? ...किसकी कोई धारणा है? तो आप इसे "ऑफ़हैंड" नहीं कह सकते! लेकिन इस प्रश्न का उत्तर गणितीय अपेक्षा की गणना करके आसानी से दिया जा सकता है, अनिवार्य रूप से - भारित औसतजीतने की संभावना से:
इस प्रकार, इस खेल की गणितीय अपेक्षा हार.
अपने इंप्रेशन पर भरोसा न करें - संख्याओं पर भरोसा करें!
हां, यहां आप लगातार 10 या 20-30 बार भी जीत सकते हैं, लेकिन लंबे समय में, अपरिहार्य बर्बादी हमारा इंतजार कर रही है। और मैं आपको ऐसे गेम खेलने की सलाह नहीं दूंगा :) ठीक है, शायद केवल मजे के लिए.
उपरोक्त सभी से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणितीय अपेक्षा अब कोई यादृच्छिक मान नहीं है।
स्वतंत्र अनुसंधान के लिए रचनात्मक कार्य:
मिस्टर एक्स निम्नलिखित प्रणाली का उपयोग करके यूरोपीय रूलेट खेलते हैं: वह लगातार "रेड" पर 100 रूबल का दांव लगाते हैं। एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम बनाएं - इसकी जीत। जीत की गणितीय अपेक्षा की गणना करें और इसे निकटतम कोपेक तक पूर्णांकित करें। कितने औसतक्या खिलाड़ी प्रत्येक सौ दांव पर हार जाता है?
संदर्भ : यूरोपीय रूलेट में 18 लाल, 18 काले और 1 हरा सेक्टर ("शून्य") शामिल हैं। यदि "लाल" दिखाई देता है, तो खिलाड़ी को दांव का दोगुना भुगतान किया जाता है, अन्यथा यह कैसीनो की आय में चला जाता है
कई अन्य रूलेट प्रणालियाँ हैं जिनके लिए आप अपनी स्वयं की संभाव्यता तालिकाएँ बना सकते हैं। लेकिन यह वह स्थिति है जब हमें किसी वितरण कानून या तालिकाओं की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि यह निश्चित रूप से स्थापित किया गया है कि खिलाड़ी की गणितीय अपेक्षा बिल्कुल वैसी ही होगी। केवल एक चीज है जो सिस्टम दर सिस्टम बदलती रहती है फैलाव, जिसके बारे में हम पाठ के दूसरे भाग में सीखेंगे।
लेकिन सबसे पहले, कैलकुलेटर की कुंजियों पर अपनी उंगलियां फैलाना उपयोगी होगा:
एक यादृच्छिक चर को उसके संभाव्यता वितरण कानून द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है:
यदि यह ज्ञात हो तो खोजें। जाँच करें.
तो चलिए पढ़ाई की ओर बढ़ते हैं एक असतत यादृच्छिक चर का विचरण, और यदि संभव हो तो, अभी!!-ताकि विषय का सूत्र न छूटे।
समाधान और उत्तर:
उदाहरण 3. समाधान: शर्त के अनुसार - लक्ष्य को भेदने की संभावना। तब:
- चूक की संभावना.
आइए दो शॉट्स के लिए हिट वितरण का नियम बनाएं:
- एक भी हिट नहीं. द्वारा स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन का प्रमेय:
- एक हिट। द्वारा असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने और स्वतंत्र घटनाओं के गुणन के लिए प्रमेय:
- दो हिट. स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
जांचें: 0.09 + 0.42 + 0.49 = 1
उत्तर :
टिप्पणी : आप नोटेशन का उपयोग कर सकते हैं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।
उदाहरण 4. समाधान: खिलाड़ी 37 में से 18 मामलों में 100 रूबल जीतता है, और इसलिए उसकी जीत के वितरण का नियम इस प्रकार है:
आइए गणितीय अपेक्षा की गणना करें:
इस प्रकार, प्रत्येक सौ दांव के लिए, खिलाड़ी औसतन 2.7 रूबल हार जाता है।
उदाहरण 5. समाधान: गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार:
आइए भागों की अदला-बदली करें और सरलीकरण करें:
इस प्रकार:
की जाँच करें:
, जिसे जाँचने की आवश्यकता थी।
उत्तर :
(मुख्य पृष्ठ पर जाएँ)
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असतत यादृच्छिक चर
अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक चर को एक चर कहा जाता है, जो प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक कारणों के आधार पर, पहले से अज्ञात एक मान लेता है। यादृच्छिक चर को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ उनके प्रकार के अनुसार, यादृच्छिक चर हो सकते हैं अलगऔर निरंतर.
असतत यादृच्छिक चर- यह एक यादृच्छिक चर है जिसका मान गणनीय से अधिक नहीं हो सकता, अर्थात परिमित या गणनीय। गणनीयता से हमारा तात्पर्य यह है कि एक यादृच्छिक चर के मानों को क्रमांकित किया जा सकता है।
उदाहरण 1 . यहां असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण दिए गए हैं:
a) $n$ शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।
बी) सिक्का उछालते समय गिराए गए प्रतीकों की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।
ग) बोर्ड पर आने वाले जहाजों की संख्या (मूल्यों का एक गणनीय सेट)।
घ) पीबीएक्स पर आने वाली कॉलों की संख्या (मूल्यों का गणनीय सेट)।
1. असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम।
एक असतत यादृच्छिक चर $X$ संभावनाओं $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ के साथ मान $x_1,\dots ,\ x_n$ ले सकता है। इन मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच के पत्राचार को कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम. एक नियम के रूप में, यह पत्राचार एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, जिसकी पहली पंक्ति मानों को इंगित करती है $x_1,\dots ,\ x_n$, और दूसरी पंक्ति में संभावनाएं शामिल हैं $p_1,\dots ,\ p_n$ के अनुरूप ये मूल्य.
$\शुरू
\hline
X_i और x_1 और x_2 और \dots और x_n \\
\hline
p_i और p_1 और p_2 और \dots और p_n \\
\hline
\अंत$
उदाहरण 2 . मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ एक पासा उछालने पर प्राप्त अंकों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मान ले सकता है: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$। इन सभी मानों की संभावनाएँ $1/6$ के बराबर हैं। फिर यादृच्छिक चर $X$ के संभाव्यता वितरण का नियम:
$\शुरू
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\अंत$
टिप्पणी. चूँकि असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण के नियम में घटनाएँ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, तो संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए, अर्थात, $\योग
2. असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।
एक यादृच्छिक चर की अपेक्षाइसका "केंद्रीय" अर्थ निर्धारित करता है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना $x_1,\dots ,\ x_n$ मानों और इन मानों के अनुरूप संभावनाओं $p_1,\dots ,\ p_n$ के उत्पादों के योग के रूप में की जाती है, अर्थात : $M\left(X\right)=\sum ^n_
गणितीय अपेक्षा के गुण$M\बाएं(X\दाएं)$:
- $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों के बीच स्थित है।
- किसी स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है, अर्थात। $M\left(C\right)=C$.
- स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के चिह्न से निकाला जा सकता है: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
उदाहरण 3 . आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।
हम देख सकते हैं कि $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे ($1$) और सबसे बड़े ($6$) मानों के बीच स्थित है।
उदाहरण 4 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3X+5$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ मिलता है cdot 2 +5=$11.
उदाहरण 5 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=4$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $2X-9$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ मिलता है cdot 4 -9=-1$.
3. असतत यादृच्छिक चर का फैलाव।
समान गणितीय अपेक्षाओं वाले यादृच्छिक चर के संभावित मान उनके औसत मूल्यों के आसपास अलग-अलग तरीके से फैल सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो छात्र समूहों में संभाव्यता सिद्धांत में परीक्षा का औसत स्कोर 4 निकला, लेकिन एक समूह में सभी अच्छे छात्र निकले, और दूसरे समूह में केवल सी छात्र और उत्कृष्ट छात्र थे। इसलिए, एक यादृच्छिक चर की एक संख्यात्मक विशेषता की आवश्यकता है जो यादृच्छिक चर के मूल्यों के गणितीय अपेक्षा के आसपास प्रसार को दिखाएगी। यह विशेषता है फैलाव.
असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण$X$ इसके बराबर है:
अंग्रेजी साहित्य में $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ का प्रयोग किया जाता है। बहुत बार विचरण $D\left(X\right)$ की गणना सूत्र $D\left(X\right)=\sum^n_ का उपयोग करके की जाती है
फैलाव गुण$D\left(X\right)$:
- विचरण हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X\right)\ge 0$.
- स्थिरांक का प्रसरण शून्य है, अर्थात $D\left(C\right)=0$.
- स्थिरांक गुणनखंड को विचरण के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है, बशर्ते कि वह वर्गांकित हो, अर्थात। $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के बीच अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
उदाहरण 6 . आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ के विचरण की गणना करें।
उदाहरण 7 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $4X+1$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= पाते हैं 16D\ बाएँ(X\दाएँ)=16\cdot 2=32$.
उदाहरण 8 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=3$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3-2X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= पाते हैं 4D\ बाएँ(X\दाएँ)=4\cdot 3=12$.
4. असतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन।
वितरण श्रृंखला के रूप में एक असतत यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने की विधि एकमात्र नहीं है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि वितरण श्रृंखला का उपयोग करके एक निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है - वितरण फ़ंक्शन।
वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ को एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ कहा जाता है, जो यह संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेगा, अर्थात, $F\ बाएँ(x\right )=P\left(X 6$, फिर $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\ बाएँ(X=3 \दाएँ)+P\बाएँ(X=4\दाएँ)+P\बाएँ(X=5\दाएँ)+P\बाएँ(X=6\दाएँ)=1/6+1/6+ 1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.
वितरण फ़ंक्शन का ग्राफ़ $F\left(x\right)$:
वितरण के बुनियादी नियम
1. द्विपद वितरण नियम.
द्विपद वितरण कानून n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के बार-बार घटित होने की संभावना का वर्णन करता है, बशर्ते कि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की संभावना p स्थिर हो।
उदाहरण के लिए, एक घरेलू उपकरण स्टोर के बिक्री विभाग को औसतन 10 कॉलों में से टेलीविजन की खरीद के लिए एक ऑर्डर प्राप्त होता है। एम टेलीविजन की खरीद के लिए संभाव्यता वितरण का एक नियम बनाएं। संभाव्यता वितरण बहुभुज का निर्माण करें।
तालिका एम में - टीवी की खरीद के लिए कंपनी द्वारा प्राप्त ऑर्डर की संख्या। सी एन एम एन द्वारा एम टेलीविज़न के संयोजनों की संख्या है, पी घटना ए की घटना की संभावना है, यानी। टीवी ऑर्डर करने पर, क्यू घटना ए के घटित न होने की संभावना है, यानी। टीवी ऑर्डर न करने पर, P m,n, n में से m टीवी ऑर्डर करने की प्रायिकता है। चित्र 1 संभाव्यता वितरण बहुभुज को दर्शाता है।
2.ज्यामितीय वितरण.
यादृच्छिक चर के ज्यामितीय वितरण का निम्नलिखित रूप होता है:
P m परीक्षण संख्या m में घटना A के घटित होने की संभावना है।
p एक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता है।
क्यू = 1 - पी
उदाहरण। एक घरेलू उपकरण मरम्मत कंपनी को वाशिंग मशीन के लिए 10 अतिरिक्त इकाइयों का एक बैच प्राप्त हुआ। ऐसे समय होते हैं जब एक बैच में 1 दोषपूर्ण ब्लॉक निकलता है। दोषपूर्ण इकाई का पता चलने तक निरीक्षण किया जाता है। सत्यापित ब्लॉकों की संख्या के लिए वितरण कानून बनाना आवश्यक है। किसी ब्लॉक के ख़राब होने की प्रायिकता 0.1 है। संभाव्यता वितरण बहुभुज का निर्माण करें।
तालिका से पता चलता है कि जैसे-जैसे संख्या m बढ़ती है, दोषपूर्ण ब्लॉक का पता चलने की संभावना कम हो जाती है। अंतिम पंक्ति (एम = 10) दो संभावनाओं को जोड़ती है: 1 - कि दसवां ब्लॉक दोषपूर्ण निकला - 0.038742049, 2 - कि सभी चेक किए गए ब्लॉक काम कर रहे हैं - 0.34867844। चूंकि किसी ब्लॉक के दोषपूर्ण होने की संभावना अपेक्षाकृत कम है (पी = 0.1), अंतिम घटना पी एम (10 परीक्षण किए गए ब्लॉक) की संभावना अपेक्षाकृत अधिक है। अंक 2।
3. हाइपरजियोमेट्रिक वितरण।
किसी यादृच्छिक चर के हाइपरज्यामितीय वितरण का निम्नलिखित रूप होता है:
उदाहरण के लिए, 49 में से 7 अनुमानित संख्याओं के वितरण के लिए एक कानून बनाएं। इस उदाहरण में, कुल संख्याएं एन = 49 हैं, एन = 7 संख्याएं हटा दी गईं, एम - कुल संख्याएं जिनमें दी गई संपत्ति है, यानी। सही ढंग से अनुमानित संख्याओं में से, m निकाली गई संख्याओं में से सही ढंग से अनुमानित संख्याओं की संख्या है।
तालिका से पता चलता है कि एक संख्या m=1 का अनुमान लगाने की संभावना m=0 की तुलना में अधिक है। हालाँकि, फिर संभावना तेजी से कम होने लगती है। इस प्रकार, 4 संख्याओं का अनुमान लगाने की संभावना पहले से ही 0.005 से कम है, और 5 नगण्य है।
4.पॉइसन वितरण कानून.
एक यादृच्छिक चर
एनपी = स्थिरांक
n अनंत तक जाने वाले परीक्षणों की संख्या है
p किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है, जो शून्य की ओर प्रवृत्त होती है
m घटना A की घटनाओं की संख्या है
उदाहरण के लिए, टेलीविज़न बेचने वाली एक कंपनी को औसतन प्रतिदिन लगभग 100 कॉल प्राप्त होती हैं। टीवी ब्रांड ए ऑर्डर करने की संभावना 0.08 है; बी - 0.06 और सी - 0.04। ब्रांड ए, बी और सी के टेलीविजन की खरीद के लिए आदेशों के वितरण के लिए एक कानून बनाएं। एक संभाव्यता वितरण बहुभुज का निर्माण करें।
शर्त से हमारे पास: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)
(तालिका पूरी नहीं दी गई है)
यदि n अनंत की ओर प्रवृत्त होने के लिए पर्याप्त बड़ा है, और p का मान शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, जिससे कि उत्पाद np एक स्थिर संख्या की ओर प्रवृत्त होता है, तो यह कानून द्विपद वितरण कानून का एक अनुमान है। ग्राफ से पता चलता है कि प्रायिकता p जितनी अधिक होगी, वक्र m अक्ष के उतना ही करीब स्थित होगा, अर्थात। अधिक सपाट. (चित्र.4)
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि द्विपद, ज्यामितीय, हाइपरजियोमेट्रिक और पॉइसन वितरण एक असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण को व्यक्त करते हैं।
5.समान वितरण कानून.
यदि संभाव्यता घनत्व?(x) एक निश्चित अंतराल पर एक स्थिर मान है, तो वितरण कानून को एकसमान कहा जाता है। चित्र 5 संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन और समान वितरण कानून की संभाव्यता घनत्व के ग्राफ़ दिखाता है।
6.सामान्य वितरण नियम (गॉस का नियम)।
निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों में, सबसे आम सामान्य वितरण कानून है। एक यादृच्छिक चर को सामान्य वितरण कानून के अनुसार वितरित किया जाता है यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:
कहाँ
a एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है
? - मानक विचलन
एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता घनत्व ग्राफ जिसमें सामान्य वितरण कानून होता है, सीधी रेखा x=a के संबंध में सममित होता है, अर्थात x गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है। इस प्रकार, यदि x=a, तो वक्र का अधिकतम मान इसके बराबर है:
जब गणितीय अपेक्षा का मान बदलता है, तो वक्र ऑक्स अक्ष के अनुदिश स्थानांतरित हो जाएगा। ग्राफ़ (चित्र 6) दर्शाता है कि x=3 पर वक्र का अधिकतम मान है, क्योंकि गणितीय अपेक्षा 3 है। यदि गणितीय अपेक्षा भिन्न मान लेती है, उदाहरण के लिए a=6, तो वक्र का अधिकतम मान x=6 होगा। मानक विचलन के बारे में बोलते हुए, जैसा कि ग्राफ़ से देखा जा सकता है, मानक विचलन जितना बड़ा होगा, यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व का अधिकतम मूल्य उतना ही कम होगा।
एक फ़ंक्शन जो अंतराल (-?, x) पर एक यादृच्छिक चर के वितरण को व्यक्त करता है, और एक सामान्य वितरण कानून है, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके लाप्लास फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:
वे। एक यादृच्छिक चर (चित्र.7)
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पाठ: असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियमसंभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार कहा जाता है। इसे सारणीबद्ध, ग्राफ़िक और विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।
यादृच्छिक चर क्या है इस पाठ में चर्चा की गई है।
निर्दिष्ट करने की सारणीबद्ध विधि के साथ, तालिका की पहली पंक्ति में संभावित मान होते हैं, और दूसरी में उनकी संभावनाएँ होती हैं, अर्थात
इस मात्रा को वितरण श्रृंखला कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर.
X=x1, X=x2, X=xn एक पूर्ण समूह बनाते हैं, क्योंकि एक परीक्षण में यादृच्छिक चर एक और केवल एक संभावित मान लेगा। इसलिए, उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है, अर्थात, p1 + p2 + pn = 1 या
यदि X के मानों का समुच्चय अनंत है, तो 
उदाहरण 1. एक नकद लॉटरी में 100 टिकटें जारी की जाती हैं। 1000 रूबल की एक जीत और 100 रूबल की 10 जीतें निकाली जाती हैं। यादृच्छिक चर X का वितरण नियम ज्ञात करें - एक लॉटरी टिकट के मालिक के लिए संभावित जीत की लागत।
आवश्यक वितरण कानून का रूप है:
नियंत्रण; 0.01+0.1+0.89=1.
वितरण कानून को निर्दिष्ट करने की ग्राफिकल विधि में, निर्देशांक तल पर बिंदु (Xi:Pi) बनाए जाते हैं और फिर सीधे खंडों से जुड़े होते हैं। परिणामी टूटी हुई रेखा को कहा जाता है वितरण बहुभुज.उदाहरण 1 के लिए, वितरण बहुभुज चित्र 1 में दिखाया गया है।
वितरण कानून को विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट करते समय, एक सूत्र निर्दिष्ट किया जाता है जो एक यादृच्छिक चर की संभावनाओं को उसके संभावित मूल्यों से जोड़ता है।
असतत वितरण के उदाहरण
द्विपद वितरण
मान लीजिए कि n परीक्षण किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक घटना A एक स्थिर संभावना p के साथ घटित होती है, इसलिए, एक स्थिर संभावना के साथ घटित नहीं होती है क्यू = 1- पी. यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स-इन n परीक्षणों में घटना A की घटनाओं की संख्या। X के संभावित मान x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n हैं। इनकी संभावना संभव है
असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को Windows XP Word 2003 Excel 2003 कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को कोई भी संबंध कहा जाता है जो यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के बीच संबंध स्थापित करता है और […]
