इस सामग्री में, हम विश्लेषण करेंगे कि एक नए हर में भिन्नों को सही ढंग से कैसे लाया जाए, एक अतिरिक्त कारक क्या है और इसे कैसे खोजना है। उसके बाद, हम भिन्नों को नए हरों में कम करने के लिए बुनियादी नियम बनाते हैं और समस्याओं के उदाहरणों के साथ इसका वर्णन करते हैं।

भिन्न को भिन्न हर में कम करने की अवधारणा

एक भिन्न की मूल संपत्ति को याद करें। उनके अनुसार, साधारण भिन्न a b (जहाँ a और b कोई भी संख्या है) में भिन्न की अनंत संख्या होती है जो इसके बराबर होती है। इस तरह के अंश अंश और हर को समान संख्या m (प्राकृतिक) से गुणा करके प्राप्त किए जा सकते हैं। दूसरे शब्दों में, सभी साधारण भिन्नों को a m b m के रूप के अन्य भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह मूल मान को वांछित हर के साथ अंश में घटाना है।

आप भिन्न को भिन्न हर में उसके अंश और हर को किसी प्राकृत संख्या से गुणा करके ला सकते हैं। मुख्य शर्त यह है कि भिन्न के दोनों भागों के लिए गुणक समान होना चाहिए। परिणाम मूल के बराबर एक अंश है।

आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 1

भिन्न 11 25 को एक नए हर में बदलें।

फेसला

एक मनमाना प्राकृत संख्या 4 लें और मूल भिन्न के दोनों भागों को इससे गुणा करें। हम विचार करते हैं: 11 4 \u003d 44 और 25 4 \u003d 100। परिणाम 44,100 का एक अंश है।

सभी गणनाएँ इस रूप में लिखी जा सकती हैं: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100

यह पता चला है कि किसी भी अंश को विभिन्न हरों की एक बड़ी संख्या में घटाया जा सकता है। चार के बजाय, हम एक और प्राकृत संख्या ले सकते हैं और मूल अंश के बराबर एक और भिन्न प्राप्त कर सकते हैं।

लेकिन कोई भी संख्या नई भिन्न का हर नहीं बन सकती। इसलिए, a b के लिए हर में केवल b · m संख्याएँ हो सकती हैं जो b के गुणज हों। विभाजन की मूल अवधारणाओं को याद करें - गुणक और भाजक। यदि संख्या b का गुणज नहीं है, लेकिन यह एक नई भिन्न का भाजक नहीं हो सकती है। आइए समस्या को हल करने के उदाहरण के साथ अपने विचार की व्याख्या करें।

उदाहरण 2

गणना करें कि क्या अंश 5 9 को हर 54 और 21 में कम करना संभव है।

फेसला

54 नौ का गुणज है, जो नई भिन्न का हर है (अर्थात 54 को 9 से विभाजित किया जा सकता है)। इसलिए इस तरह की कटौती संभव है। और हम 21 को 9 से विभाजित नहीं कर सकते, इसलिए इस भिन्न के लिए ऐसी क्रिया नहीं की जा सकती।

एक अतिरिक्त गुणक की अवधारणा

आइए हम तैयार करें कि एक अतिरिक्त कारक क्या है।

परिभाषा 1

अतिरिक्त गुणकएक प्राकृत संख्या है जिससे भिन्न के दोनों भागों को गुणा करके एक नया हर बनाया जाता है।

वे। जब हम इस क्रिया को भिन्न पर करते हैं, तो हम इसके लिए एक अतिरिक्त गुणक लेते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 7 10 को घटाकर 21 30 के रूप में करने के लिए, हमें एक अतिरिक्त गुणनखंड 3 की आवश्यकता है। और आप गुणक 5 का उपयोग करके 3 8 में से 15 40 का अंश प्राप्त कर सकते हैं।

तदनुसार, यदि हम उस भाजक को जानते हैं जिससे भिन्न को घटाया जाना है, तो हम इसके लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड की गणना कर सकते हैं। आइए जानें इसे कैसे करें।

हमारे पास एक भिन्न a b है, जिसे कुछ हर c में घटाया जा सकता है; अतिरिक्त कारक m की गणना करें। हमें मूल भिन्न के हर को m से गुणा करना है। हम b · m प्राप्त करते हैं, और समस्या की स्थिति के अनुसार b · m = c। याद करें कि गुणा और भाग कैसे संबंधित हैं। यह संबंध हमें निम्नलिखित निष्कर्ष पर ले जाएगा: अतिरिक्त कारक c को b से विभाजित करने के भागफल से अधिक कुछ नहीं है, दूसरे शब्दों में, m = c: b।

इस प्रकार, एक अतिरिक्त कारक खोजने के लिए, हमें आवश्यक हर को मूल एक से विभाजित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण 3

वह अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा भिन्न 17 4 को हर 124 में लाया गया।

फेसला

ऊपर दिए गए नियम का उपयोग करते हुए, हम केवल 124 को मूल भिन्न के हर से विभाजित करते हैं, चार।

हम विचार करते हैं: 124: 4 \u003d 31।

इस प्रकार की गणना अक्सर आवश्यक होती है जब अंशों को एक सामान्य हर में कम किया जाता है।

एक निर्दिष्ट हर में भिन्नों को कम करने का नियम

आइए मूल नियम की परिभाषा पर चलते हैं, जिसके साथ आप निर्दिष्ट हर में भिन्न ला सकते हैं। इसलिए,

परिभाषा 2

निर्दिष्ट हर में एक अंश लाने के लिए, आपको चाहिए:

1. एक अतिरिक्त गुणक निर्धारित करें;
2. इससे मूल भिन्न के अंश और हर दोनों को गुणा करें।

इस नियम को व्यवहार में कैसे लागू करें? आइए समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।

उदाहरण 4

भिन्न 7 16 को हर 336 में घटाएं।

फेसला

आइए अतिरिक्त गुणक की गणना करके शुरू करें। विभाजित करें: 336: 16 = 21।

हम प्राप्त उत्तर को मूल अंश के दोनों भागों से गुणा करते हैं: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336। इसलिए हम मूल भिन्न को वांछित हर 336 में ले आए।

उत्तर: 7 16 = 147 336।

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मैं मूल रूप से "अंशों को जोड़ना और घटाना" पैराग्राफ में आम भाजक विधियों को शामिल करना चाहता था। लेकिन इतनी जानकारी थी, और इसका महत्व इतना महान है (आखिरकार, न केवल संख्यात्मक अंशों में सामान्य भाजक होते हैं), कि इस मुद्दे का अलग से अध्ययन करना बेहतर है।

तो मान लीजिए कि हमारे पास अलग-अलग हर के साथ दो भिन्न हैं। और हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि भाजक समान हो जाएं। एक अंश की मुख्य संपत्ति बचाव के लिए आती है, जो मुझे आपको याद दिलाती है, ऐसा लगता है:

एक भिन्न नहीं बदलता है यदि उसके अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है।

इस प्रकार, यदि आप सही कारक चुनते हैं, तो भिन्नों के हर बराबर होंगे - इस प्रक्रिया को एक सामान्य हर में कमी कहा जाता है। और वांछित संख्याएँ, हरों को "समतल" करना, अतिरिक्त गुणनखंड कहलाते हैं।

आपको एक सामान्य हर में भिन्न लाने की आवश्यकता क्यों है? यहाँ केवल कुछ कारण दिए गए हैं:

1. भिन्न हर के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। इस ऑपरेशन को करने का कोई दूसरा तरीका नहीं है;
2. अंश तुलना। कभी-कभी एक सामान्य भाजक में कमी इस कार्य को बहुत सरल कर देती है;
3. शेयरों और प्रतिशत पर समस्याओं का समाधान। प्रतिशत, वास्तव में, साधारण व्यंजक हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

संख्याओं को खोजने के कई तरीके हैं जो गुणा करने पर हर को बराबर बनाते हैं। हम उनमें से केवल तीन पर विचार करेंगे - बढ़ती जटिलता के क्रम में और, एक अर्थ में, दक्षता।

गुणन "क्रिस-क्रॉस"

सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय तरीका जो हर को बराबर करने की गारंटी है। हम "आगे" कार्य करेंगे: हम पहले अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे को पहले के हर से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर मूल हर के गुणनफल के बराबर हो जाएंगे। जरा देखो तो:

अतिरिक्त कारकों के रूप में, पड़ोसी भिन्नों के हरों पर विचार करें। हम पाते हैं:

हाँ, यह इतना आसान है। यदि आप अभी भिन्नों का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, तो इस पद्धति के साथ काम करना बेहतर है - इस तरह आप कई गलतियों के खिलाफ खुद का बीमा करेंगे और परिणाम प्राप्त करने की गारंटी होगी।

इस पद्धति का एकमात्र दोष यह है कि आपको बहुत कुछ गिनना पड़ता है, क्योंकि भाजक को "आगे" से गुणा किया जाता है, और परिणामस्वरूप, बहुत बड़ी संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं। यह विश्वसनीयता की कीमत है।

सामान्य भाजक विधि

यह तकनीक गणना को बहुत कम करने में मदद करती है, लेकिन, दुर्भाग्य से, इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। विधि इस प्रकार है:

1. "थ्रू" (यानी, "क्रिस-क्रॉस") जाने से पहले हर को देखें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे से विभाज्य है।
2. इस तरह के विभाजन से उत्पन्न संख्या एक छोटे भाजक वाले अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
3. उसी समय, बड़े हर वाले अंश को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - यह बचत है। इसी समय, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

ध्यान दें कि 84:21 = 4; 72:12 = 6. चूँकि दोनों ही स्थितियों में एक हर शेषफल के बिना दूसरे से विभाज्य है, हम उभयनिष्ठ गुणनखंडों की विधि का उपयोग करते हैं। हमारे पास है:

ध्यान दें कि दूसरे अंश को किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया गया था। वास्तव में, हमने गणना की मात्रा को आधा कर दिया है!

वैसे, मैंने इस उदाहरण में भिन्नों को एक कारण से लिया है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो क्रिस-क्रॉस पद्धति का उपयोग करके उन्हें गिनने का प्रयास करें। कटौती के बाद उत्तर वही होंगे, लेकिन काम और भी बहुत कुछ होगा।

यह सामान्य भाजक की विधि की ताकत है, लेकिन, फिर से, इसे केवल तभी लागू किया जा सकता है जब हर में से एक को शेष के बिना दूसरे से विभाजित किया जाता है। जो काफी कम ही होता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

जब हम भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो हम अनिवार्य रूप से एक ऐसी संख्या खोजने की कोशिश कर रहे हैं जो प्रत्येक हर से विभाज्य हो। फिर हम दोनों भिन्नों के हरों को इस संख्या में लाते हैं।

ऐसी बहुत सी संख्याएँ हैं, और उनमें से सबसे छोटी आवश्यक रूप से मूल भिन्नों के हरों के प्रत्यक्ष उत्पाद के बराबर नहीं होगी, जैसा कि "क्रॉसवाइज़" विधि में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, हर 8 और 12 के लिए, संख्या 24 काफी उपयुक्त है, क्योंकि 24: 8 = 3; 24:12 = 2. यह संख्या गुणनफल 8 12 = 96 से बहुत कम है।

वह छोटी से छोटी संख्या जो हर हर से विभाज्य हो, उनका लघुत्तम समापवर्तक (LCM) कहलाती है।

संकेतन: a और b का लघुत्तम समापवर्त्य LCM(a ; b ) द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एलसीएम (16; 24) = 48; एलसीएम (8; 12) = 24।

यदि आप ऐसी संख्या खोजने का प्रबंधन करते हैं, तो गणना की कुल राशि न्यूनतम होगी। उदाहरण की तरफ देखो:

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

ध्यान दें कि 234 = 117 2; 351 = 117 3. गुणनखंड 2 और 3 सहअभाज्य हैं (1 को छोड़कर कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है), और गुणनखंड 117 उभयनिष्ठ है। इसलिए एलसीएम (234; 351) = 117 2 3 = 702।

इसी तरह, 15 = 5 3; 20 = 5 4। गुणनखंड 3 और 4 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, और गुणनखंड 5 उभयनिष्ठ है। इसलिए एलसीएम(15; 20) = 5 3 4 = 60।

अब भिन्नों को सामान्य हर में लाते हैं:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंडन कितना उपयोगी साबित हुआ:

1. समान कारकों को खोजने के बाद, हम तुरंत कम से कम सामान्य गुणक पर पहुंच गए, जो आम तौर पर एक गैर-तुच्छ समस्या है;
2. परिणामी विस्तार से, आप यह पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक भिन्न के लिए कौन से कारक "अनुपलब्ध" हैं। उदाहरण के लिए, 234 3 \u003d 702, इसलिए, पहले अंश के लिए, अतिरिक्त कारक 3 है।

यह देखने के लिए कि कम से कम सामान्य एकाधिक विधि कितनी जीत देती है, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके समान उदाहरणों की गणना करने का प्रयास करें। बेशक, कैलकुलेटर के बिना। मुझे लगता है कि उसके बाद टिप्पणियां बेमानी होंगी।

ऐसा मत सोचो कि ऐसे जटिल अंश वास्तविक उदाहरणों में नहीं होंगे। वे हर समय मिलते हैं, और उपरोक्त कार्यों की सीमा नहीं है!

एकमात्र समस्या यह है कि इस एनओसी को कैसे खोजा जाए। कभी-कभी कुछ सेकंड में सब कुछ मिल जाता है, शाब्दिक रूप से "आंख से", लेकिन सामान्य तौर पर यह एक जटिल कम्प्यूटेशनल समस्या है जिसके लिए अलग से विचार करने की आवश्यकता होती है। यहां हम इस पर स्पर्श नहीं करेंगे।

भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में लाने के लिए, आपको: 1) इन भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात करना होगा, यह सबसे छोटा सामान्य हर होगा। 2) प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात कीजिए, जिसके लिए हम प्रत्येक भिन्न के हर द्वारा नए हर को विभाजित करते हैं। 3) प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

उदाहरण। निम्न भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में कम करें।

हम हरों का सबसे छोटा सार्व गुणज पाते हैं: LCM(5; 4) = 20, क्योंकि 20 सबसे छोटी संख्या है जो 5 और 4 दोनों से विभाज्य है। हम पहली भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड 4 (20) पाते हैं : 5 = 4)। दूसरी भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणक 5 (20 .) है : 4=5)। हम पहली भिन्न के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, और दूसरी भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 20 ).

इन भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर 8 है, क्योंकि 8, 4 और स्वयं से विभाज्य है। पहली भिन्न का कोई अतिरिक्त गुणक नहीं होगा (या हम कह सकते हैं कि यह एक के बराबर है), दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक 2 है (8 : 4=2)। हम दूसरी भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम उभयनिष्ठ हर में घटा दिया है ( 8 ).

ये अंश इरेड्यूसबल नहीं हैं।

हम पहली भिन्न को 4 से घटाते हैं, और हम दूसरी भिन्न को 2 से घटाते हैं। ( साधारण भिन्नों को घटाने के उदाहरण देखें: साइटमैप → 5.4.2। साधारण भिन्नों को घटाने के उदाहरण) एलसीएम खोजें(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. पहली भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक 5 (80 .) है : 16=5)। दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक 4 (80 .) है : 20=4)। हम पहली भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं, और दूसरी भिन्न के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया ( 80 ).

एनओसी(5 .) का सबसे छोटा आम भाजक खोजें ; 6 और 15) = एलसीएम(5 .) ; 6 और 15) = 30। पहली भिन्न का अतिरिक्त गुणक 6 (30 .) है : 5=6), दूसरी भिन्न का अतिरिक्त गुणक 5 (30 .) है : 6=5), तीसरे भिन्न का अतिरिक्त गुणक 2 (30 .) है : 15=2)। हम पहली भिन्न के अंश और हर को 6 से, दूसरे भिन्न के अंश और हर को 5 से, तीसरे भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 30 ).

1 1 का पेज 1

एक अंकगणितीय भिन्न का हर a / b वह संख्या b है, जो भिन्न को बनाने वाली इकाई के भिन्नों के आकार को दर्शाता है। एक बीजीय अंश A / B का हर एक बीजीय व्यंजक B है। भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के लिए, उन्हें सबसे छोटे सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए।

आपको चाहिये होगा

• बीजगणितीय भिन्नों के साथ कार्य करने के लिए जब कम से कम उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात हो, आपको बहुपदों को गुणन करने की विधियों को जानना होगा।

अनुदेश

दो अंकगणितीय भिन्नों n/m और s/t के अल्पतम उभयनिष्ठ हर में कमी पर विचार करें, जहां n, m, s, t पूर्णांक हैं। यह स्पष्ट है कि इन दो भिन्नों को m और t से विभाज्य किसी भी हर में घटाया जा सकता है। लेकिन वे सबसे कम आम भाजक को लाने की कोशिश करते हैं। यह दी गई भिन्नों के हर m और t के सबसे छोटे उभयनिष्ठ गुणज के बराबर है। संख्याओं का सबसे छोटा गुणज (LCM) वह सबसे छोटा होता है जो एक ही समय में सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य होता है। वे। हमारे मामले में, संख्या m और t का सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात करना आवश्यक है। एलसीएम (एम, टी) के रूप में चिह्नित। इसके अलावा, भिन्नों को संगत लोगों से गुणा किया जाता है: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t)।

आइए तीन भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें: 4/5, 7/8, 11/14। सबसे पहले, हम हर 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7 का विस्तार करते हैं। इसके बाद, हम एलसीएम (5, 8, 14) की गणना करते हैं। कम से कम एक विस्तार में शामिल सभी संख्याओं को गुणा करना। एलसीएम (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280। ध्यान दें कि यदि कारक कई संख्याओं के विस्तार में होता है (हर 8 और 14 के विस्तार में कारक 2), तो हम कारक लेते हैं एक बड़ी डिग्री (हमारे मामले में 2^3)।

तो, सामान्य प्राप्त होता है। यह 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20 के बराबर है। यहाँ हमें वे संख्याएँ मिलती हैं जिनसे संबंधित हर वाले भिन्नों को गुणा किया जाना चाहिए ताकि उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाया जा सके। हमें 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280 मिलता है।

बीजगणितीय अंशों के कम से कम सामान्य भाजक को कम करना अंकगणित के साथ सादृश्य द्वारा किया जाता है। स्पष्टता के लिए, एक उदाहरण पर समस्या पर विचार करें। दो भिन्न (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) और (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) दिए जाने दें। आइए दोनों हरों का गुणनखंड करें। ध्यान दें कि पहले भिन्न का हर एक पूर्ण वर्ग है: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2। के लिए