किसी फ़ंक्शन का सबसे सरल परिवर्तन। विज्ञान में शुरू करें

घातांक प्रकार्य a के बराबर n संख्याओं के गुणनफल का एक सामान्यीकरण है:
आप (एन) = ए एन = ए ए ए ए,
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में x :
आप (एक्स) = एक्स.
यहाँ a एक निश्चित वास्तविक संख्या है, जिसे कहा जाता है घातीय फ़ंक्शन का आधार.
आधार a के साथ एक घातांकीय फलन को भी कहा जाता है आधार a . के घातीय.

सामान्यीकरण निम्नानुसार किया जाता है।
प्राकृतिक x = . के लिए 1, 2, 3,... , घातांक फ़ंक्शन x कारकों का गुणनफल है:
.
इसके अलावा, इसमें गुण (1.5-8) () हैं, जो संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हैं। पूर्णांकों के शून्य और ऋणात्मक मानों पर, घातांक फ़ंक्शन सूत्रों (1.9-10) द्वारा निर्धारित किया जाता है। परिमेय संख्याओं के भिन्नात्मक मानों x = m/n के लिए, यह सूत्र (1.11) द्वारा निर्धारित किया जाता है। वास्तविक के लिए, घातीय फ़ंक्शन को अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है:
,
जहाँ परिमेय संख्याओं का एक मनमाना क्रम है जो x : में परिवर्तित होता है।
इस परिभाषा के साथ, घातीय फ़ंक्शन सभी के लिए परिभाषित किया गया है, और गुणों (1.5-8), साथ ही प्राकृतिक x के लिए भी संतुष्ट है।

एक घातांकीय फलन की परिभाषा का एक कठोर गणितीय सूत्रीकरण और इसके गुणों का प्रमाण "घातांकीय फलन के गुणों की परिभाषा और प्रमाण" पृष्ठ पर दिया गया है।

घातीय फ़ंक्शन के गुण

घातांकीय फलन y = a x में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय () में निम्नलिखित गुण हैं:
(1.1) परिभाषित और निरंतर है, सभी के लिए;
(1.2) जब एक 1 कई अर्थ हैं;
(1.3) सख्ती से बढ़ता है, सख्ती से घटता है,
पर स्थिर है;
(1.4) पर ;
पर ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

अन्य उपयोगी सूत्र
.
एक भिन्न शक्ति आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन में कनवर्ट करने का सूत्र:

b = e के लिए, हमें घातांक के रूप में घातांक फलन का व्यंजक प्राप्त होता है:

निजी मूल्य

, , , , .

आंकड़ा घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिखाता है
आप (एक्स) = एक्स
चार मूल्यों के लिए डिग्री के आधार:ए= 2 , ए = 8 , ए = 1/2 और एक = 1/8 . यह देखा जा सकता है कि > . के लिए 1 घातीय कार्य नीरस रूप से बढ़ रहा है। डिग्री ए का आधार जितना बड़ा होगा, विकास उतना ही मजबूत होगा। पर 0 < a < 1 घातीय कार्य नीरस रूप से घट रहा है। घातांक जितना छोटा होगा, कमी उतनी ही मजबूत होगी।

चढ़ते क्रम में उतरते क्रम में

पर घातीय कार्य सख्ती से मोनोटोनिक है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। इसके मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

वाई = ए एक्स, ए > 1 वाई = एक्स, 0 < a < 1
कार्यक्षेत्र - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
एक लय एकरसता से बढ़ता है नीरस रूप से घटता है
शून्य, y= 0 नहीं नहीं
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0 वाई = 1 वाई = 1
+ ∞ 0
0 + ∞

उलटा काम करना

डिग्री a के आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन का व्युत्क्रम आधार a का लघुगणक है।

तो अगर
.
तो अगर
.

घातीय फ़ंक्शन का अंतर

एक घातांकीय फलन में अंतर करने के लिए, इसके आधार को संख्या e तक घटाया जाना चाहिए, अवकलजों की तालिका और एक जटिल फलन में अंतर करने का नियम लागू करना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है
और डेरिवेटिव की तालिका से सूत्र:
.

मान लीजिए कि एक घातांकीय कार्य दिया गया है:
.
हम इसे आधार ई में लाते हैं:

हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण का नियम लागू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक चर पेश करते हैं

फिर

डेरिवेटिव की तालिका से हमारे पास है (चर x को z से बदलें):
.
चूँकि एक अचर है, x के सापेक्ष z का अवकलज है
.
एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार:
.

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

एक घातीय फ़ंक्शन को अलग करने का एक उदाहरण

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
वाई = 35 x

फेसला

हम घातांक फलन के आधार को संख्या e के रूप में व्यक्त करते हैं।
3 = ई लॉग 3
फिर
.
हम एक चर पेश करते हैं
.
फिर

डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.
जहां तक ​​कि 5ln 3अचर है, तो x के सापेक्ष z का अवकलज है:
.
एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम के अनुसार, हमारे पास है:
.

जवाब

अभिन्न

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

सम्मिश्र संख्या फलन पर विचार करें जेड:
एफ (जेड) = एज़ू
जहाँ z = x + iy; मैं 2 = - 1 .
हम जटिल स्थिरांक a को मापांक r और तर्क के पदों में व्यक्त करते हैं:
ए = आर ई मैं
फिर


.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। सामान्य रूप में
φ = φ 0 + 2 पीएन,
जहां n एक पूर्णांक है। इसलिए, फ़ंक्शन f (जेड)अस्पष्ट भी है। अक्सर इसका मुख्य महत्व माना जाता है
.

श्रृंखला में विस्तार


.

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

परिकल्पना: यदि आप कार्यों के समीकरण के निर्माण के दौरान ग्राफ की गति का अध्ययन करते हैं, तो आप देखेंगे कि सभी ग्राफ सामान्य कानूनों का पालन करते हैं, इसलिए, आप कार्यों की परवाह किए बिना सामान्य कानून बना सकते हैं, जो न केवल ग्राफ के निर्माण की सुविधा प्रदान करेगा विभिन्न कार्यों के, लेकिन समस्याओं को हल करने में भी उनका उपयोग करते हैं।

उद्देश्य: कार्यों के रेखांकन की गति का अध्ययन करना:

1) साहित्य के अध्ययन का कार्य

2) विभिन्न कार्यों के ग्राफ बनाना सीखें

3) रैखिक फलनों के आलेखों को परिवर्तित करना सीखें

4) समस्याओं को हल करने में आलेखों के उपयोग पर विचार करें

अध्ययन का उद्देश्य: कार्यों के रेखांकन

शोध का विषय: कार्यों के रेखांकन के आंदोलन

प्रासंगिकता: फ़ंक्शन ग्राफ़ के निर्माण में, एक नियम के रूप में, बहुत समय लगता है और छात्र से ध्यान देने की आवश्यकता होती है, लेकिन फ़ंक्शन ग्राफ़ और बुनियादी कार्यों के ग्राफ़ को बदलने के नियमों को जानने के बाद, आप फ़ंक्शन ग्राफ़ को जल्दी और आसानी से बना सकते हैं, जो अनुमति देगा आप न केवल फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए कार्यों को पूरा करने के लिए, बल्कि संबंधित समस्याओं को भी हल करते हैं (अधिकतम (समय और बैठक बिंदु की न्यूनतम ऊंचाई) खोजने के लिए)

यह परियोजना स्कूल के सभी छात्रों के लिए उपयोगी है।

साहित्य की समीक्षा:

साहित्य विभिन्न कार्यों के ग्राफ के निर्माण के तरीकों के साथ-साथ इन कार्यों के ग्राफ के परिवर्तन के उदाहरणों पर चर्चा करता है। लगभग सभी मुख्य कार्यों के रेखांकन विभिन्न तकनीकी प्रक्रियाओं में उपयोग किए जाते हैं, जो प्रक्रिया के पाठ्यक्रम को अधिक स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना और परिणाम को प्रोग्राम करना संभव बनाता है।

स्थायी कार्य। यह फ़ंक्शन सूत्र y = b द्वारा दिया गया है, जहाँ b कोई संख्या है। एक स्थिर फलन का ग्राफ x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है और y-अक्ष पर बिंदु (0; b) से गुजरती है। फ़ंक्शन y \u003d 0 का ग्राफ भुज अक्ष है।

फ़ंक्शन के प्रकार 1प्रत्यक्ष आनुपातिकता। यह फ़ंक्शन सूत्र y \u003d kx द्वारा दिया गया है, जहां आनुपातिकता का गुणांक k 0. प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ मूल से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

रैखिक प्रकार्य। ऐसा फलन सूत्र y = kx + b द्वारा दिया जाता है, जहाँ k और b वास्तविक संख्याएँ हैं। एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है।

रैखिक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्रतिच्छेद कर सकते हैं या समानांतर हो सकते हैं।

तो, रैखिक कार्यों के रेखांकन की रेखाएं y \u003d k 1 x + b 1 और y \u003d k 2 x + b 2 प्रतिच्छेद करती हैं यदि k 1 k 2; यदि k 1 = k 2 , तो रेखाएँ समांतर होती हैं।

2उलटा आनुपातिकता एक फ़ंक्शन है जो सूत्र y \u003d k / x द्वारा दिया जाता है, जहां k 0. K को व्युत्क्रम आनुपातिकता गुणांक कहा जाता है। व्युत्क्रम आनुपातिकता ग्राफ एक अतिपरवलय है।

फ़ंक्शन y \u003d x 2 को एक परवलय नामक ग्राफ़ द्वारा दर्शाया जाता है: अंतराल पर [-~; 0] फलन घट रहा है, अन्तराल पर फलन बढ़ रहा है।

फ़ंक्शन y \u003d x 3 पूरी संख्या रेखा के साथ बढ़ता है और एक घन परवलय द्वारा रेखांकन किया जाता है।

प्राकृतिक घातांक के साथ शक्ति कार्य। यह फ़ंक्शन सूत्र y \u003d x n द्वारा दिया गया है, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है। प्राकृतिक घातांक वाले घात फलन के आलेख n पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि n = 1, तो आलेख एक सीधी रेखा (y = x) होगा, यदि n = 2, तो आलेख एक परवलय होगा, आदि।

एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन को सूत्र y \u003d x -n द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है। यह फलन सभी x 0 के लिए परिभाषित है। फलन का आलेख भी घातांक n पर निर्भर करता है।

सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन। यह फ़ंक्शन सूत्र y \u003d x r द्वारा दर्शाया गया है, जहां r एक सकारात्मक अपरिवर्तनीय अंश है। यह फलन भी न तो सम है और न ही विषम।

ग्राफ-लाइन जो समन्वय तल पर आश्रित और स्वतंत्र चर के संबंध को प्रदर्शित करती है। ग्राफ इन तत्वों को नेत्रहीन रूप से प्रदर्शित करने का कार्य करता है।

एक स्वतंत्र चर एक चर है जो कार्यों के दायरे में किसी भी मूल्य को ले सकता है (जहां दिया गया कार्य समझ में आता है (शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता))

फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए,

1) ODZ खोजें (स्वीकार्य मानों की श्रेणी)

2) स्वतंत्र चर के लिए कुछ मनमाना मान लें

3) आश्रित चर का मान ज्ञात कीजिए

4) एक निर्देशांक तल बनाएं, उस पर इन बिंदुओं को अंकित करें

5) यदि आवश्यक हो तो उनकी लाइनों को कनेक्ट करें, परिणामी ग्राफ की जांच करें। प्राथमिक कार्यों के ग्राफ का परिवर्तन।

ग्राफ रूपांतरण

अपने शुद्ध रूप में, बुनियादी प्राथमिक कार्य, दुर्भाग्य से, इतने सामान्य नहीं हैं। बहुत अधिक बार किसी को स्थिरांक और गुणांक जोड़कर बुनियादी प्राथमिक कार्यों से प्राप्त प्राथमिक कार्यों से निपटना पड़ता है। इस तरह के कार्यों के ग्राफ़ को संबंधित बुनियादी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ में ज्यामितीय परिवर्तनों को लागू करके (या एक नई समन्वय प्रणाली में स्विच करके) बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्विघात फ़ंक्शन सूत्र एक द्विघात परवलय सूत्र है, जो कोर्डिनेट अक्ष के सापेक्ष तीन बार संकुचित होता है, एब्सिस्सा अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित होता है, इस अक्ष की दिशा में 2/3 इकाइयों द्वारा स्थानांतरित किया जाता है और कोर्डिनेट की दिशा में स्थानांतरित किया जाता है। 2 इकाइयों द्वारा अक्ष।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके चरण दर चरण फ़ंक्शन ग्राफ़ के इन ज्यामितीय परिवर्तनों को समझते हैं।

फ़ंक्शन f (x) के ग्राफ के ज्यामितीय परिवर्तनों की सहायता से, फॉर्म फॉर्मूला के किसी भी फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाया जा सकता है, जहां सूत्र क्रमशः ओए और ऑक्स अक्षों के साथ संपीड़न या विस्तार गुणांक है, ऋणात्मक गुणांक सूत्र और सूत्र के सामने के संकेत निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष ग्राफ के एक सममित प्रदर्शन को इंगित करते हैं, ए और बी क्रमशः एब्सिस्सा और कोर्डिनेट अक्षों के सापेक्ष बदलाव को परिभाषित करते हैं।

इस प्रकार, फ़ंक्शन ग्राफ़ के तीन प्रकार के ज्यामितीय परिवर्तन होते हैं:

पहला प्रकार एब्सिस्सा और कोर्डिनेट कुल्हाड़ियों के साथ स्केलिंग (संपीड़न या विस्तार) है।

स्केलिंग की आवश्यकता एक के अलावा अन्य सूत्र गुणांक द्वारा इंगित की जाती है, यदि संख्या 1 से कम है, तो ग्राफ ओए के सापेक्ष संकुचित होता है और बैल के सापेक्ष फैला होता है, यदि संख्या 1 से अधिक है, तो हम कोटि अक्ष के साथ खिंचाव करते हैं और भुज अक्ष के अनुदिश सिकोड़ें।

दूसरा प्रकार समन्वय अक्षों के संबंध में एक सममित (दर्पण) प्रदर्शन है।

इस परिवर्तन की आवश्यकता सूत्र के गुणांकों के सामने ऋण चिह्नों द्वारा इंगित की जाती है (इस मामले में, हम बैल अक्ष के संबंध में ग्राफ को सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं) और सूत्र (इस मामले में, हम ग्राफ को सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं y अक्ष के संबंध में)। यदि कोई ऋण चिह्न नहीं हैं, तो यह चरण छोड़ दिया जाता है।

फंक्शन ग्राफ परिवर्तन

इस लेख में, मैं आपको फ़ंक्शन ग्राफ़ के रैखिक परिवर्तनों से परिचित कराऊंगा और दिखाऊंगा कि फ़ंक्शन ग्राफ़ प्राप्त करने के लिए फ़ंक्शन ग्राफ़ से इन परिवर्तनों का उपयोग कैसे करें।

किसी फ़ंक्शन का एक रैखिक परिवर्तन स्वयं फ़ंक्शन का एक परिवर्तन है और/या इसके तर्क के रूप में है , साथ ही तर्क और/या कार्यों के मॉड्यूल वाले परिवर्तन।

निम्नलिखित क्रियाएं रैखिक परिवर्तनों का उपयोग करके रेखांकन की साजिश रचने में सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती हैं:

  1. बेस फ़ंक्शन का अलगाव, वास्तव में, जिस ग्राफ को हम बदल रहे हैं।
  2. परिवर्तनों के क्रम की परिभाषाएँ।

औरयह इन बिंदुओं पर है कि हम और अधिक विस्तार से ध्यान देंगे।

आइए समारोह पर करीब से नज़र डालें

यह एक समारोह पर आधारित है। चलो उसे बुलाते हैं बुनियादी उपयोग.

एक समारोह की साजिश रचते समय हम आधार फ़ंक्शन के ग्राफ़ का रूपांतरण करते हैं।

अगर हम फ़ंक्शन को बदलना चाहते हैं उसी क्रम में जिसमें तर्क के एक निश्चित मूल्य के लिए इसका मूल्य पाया गया था, तब

आइए विचार करें कि किस प्रकार के रैखिक तर्क और कार्य परिवर्तन मौजूद हैं, और उन्हें कैसे निष्पादित किया जाए।

तर्क परिवर्तन।

1. एफ(एक्स) एफ(एक्स+बी)

1. हम एक फंक्शन का ग्राफ बनाते हैं

2. हम फलन के ग्राफ़ को OX अक्ष के अनुदिश |b| . द्वारा स्थानांतरित करते हैं इकाइयों

  • बायाँ अगर b>0
  • ठीक है अगर बी<0

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

1. हम फ़ंक्शन प्लॉट करते हैं

2. इसे 2 इकाइयों को दाईं ओर शिफ्ट करें:


2. एफ (एक्स) एफ (केएक्स)

1. हम एक फंक्शन का ग्राफ बनाते हैं

2. ग्राफ बिंदुओं के भुज को k से विभाजित करें, बिंदुओं के निर्देशांक अपरिवर्तित छोड़ दें।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें।

1. हम फ़ंक्शन प्लॉट करते हैं

2. ग्राफ बिंदुओं के सभी भुजों को 2 से विभाजित करें, निर्देशांक अपरिवर्तित छोड़ दें:


3. एफ(एक्स) एफ(-एक्स)

1. हम एक फंक्शन का ग्राफ बनाते हैं

2. हम इसे ओए अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें।

1. हम फ़ंक्शन प्लॉट करते हैं

2. हम इसे ओए अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं:


4. एफ(एक्स) एफ(|एक्स|)

1. हम फ़ंक्शन प्लॉट करते हैं

2. हम ओए अक्ष के बाईं ओर स्थित ग्राफ के हिस्से को मिटा देते हैं, ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित ग्राफ का हिस्सा हम इसे ओए अक्ष के बारे में सममित रूप से पूरा करते हैं:

फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:


आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

1. हम एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाते हैं (यह एक फ़ंक्शन ग्राफ़ है जिसे OX अक्ष के साथ 2 इकाइयों द्वारा बाईं ओर स्थानांतरित किया गया है):


2. ओए के बाईं ओर स्थित ग्राफ का भाग (x<0) стираем:

3. ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित ग्राफ का भाग (x>0) ओए अक्ष के संबंध में सममित रूप से पूरा होता है:


जरूरी! तर्क रूपांतरण के लिए दो मुख्य नियम।

1. सभी तर्क परिवर्तन OX अक्ष के साथ किए जाते हैं

2. तर्क के सभी परिवर्तन "इसके विपरीत" और "विपरीत क्रम में" किए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन में, तर्क परिवर्तनों का क्रम इस प्रकार है:

1. हम x से मॉड्यूल लेते हैं।

2. संख्या 2 को मॉड्यूल x में जोड़ें।

लेकिन हमने प्लॉटिंग को उल्टे क्रम में किया:

सबसे पहले, हमने परिवर्तन 2 किया। - ग्राफ को 2 इकाइयों से बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया (अर्थात, बिंदुओं के एब्सिसास को 2 से कम कर दिया गया, जैसे कि "इसके विपरीत")

फिर हमने रूपांतरण f(x) f(|x|) किया।

संक्षेप में, परिवर्तनों का क्रम इस प्रकार लिखा गया है:



अब बात करते हैं कार्य परिवर्तन . परिवर्तन किए जा रहे हैं

1. ओए अक्ष के साथ।

2. उसी क्रम में जिसमें क्रियाएं की जाती हैं।

ये परिवर्तन हैं:

1. एफ(एक्स)एफ(एक्स)+डी

2. इसे ओए अक्ष के अनुदिश |डी| . द्वारा खिसकाएं इकाइयों

  • ऊपर अगर डी>0
  • नीचे अगर D<0

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

1. हम फ़ंक्शन प्लॉट करते हैं

2. इसे ओए अक्ष के साथ 2 इकाई ऊपर ले जाएं:


2. एफ (एक्स) एएफ (एक्स)

1. हम फलन y=f(x) प्लॉट करते हैं

2. हम ग्राफ के सभी बिंदुओं के निर्देशांक को ए से गुणा करते हैं, हम भुजों को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

1. फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें

2. हम ग्राफ के सभी बिंदुओं के निर्देशांक 2 से गुणा करते हैं:


3.f(x)-f(x)

1. हम फलन y=f(x) प्लॉट करते हैं

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें।

1. हम एक फंक्शन ग्राफ बनाते हैं।

2. हम इसे OX अक्ष के परितः सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं।


4. एफ(एक्स)|एफ(एक्स)|

1. हम फलन y=f(x) प्लॉट करते हैं

2. OX अक्ष के ऊपर स्थित ग्राफ के भाग को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है, OX अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ के भाग को इस अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित किया जाता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

1. हम एक फंक्शन ग्राफ बनाते हैं। यह फ़ंक्शन के ग्राफ़ को ओए अक्ष के साथ 2 इकाई नीचे स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है:


2. अब OX अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ के भाग को इस अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित किया जाएगा:


और अंतिम परिवर्तन, जिसे कड़ाई से बोलते हुए, एक कार्य परिवर्तन नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि इस परिवर्तन का परिणाम अब एक कार्य नहीं है:

|y|=f(x)

1. हम फलन y=f(x) प्लॉट करते हैं

2. हम OX अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ के भाग को मिटा देते हैं, फिर हम OX अक्ष के ऊपर स्थित ग्राफ के भाग को इस अक्ष के बारे में सममित रूप से पूरा करते हैं।

आइए समीकरण का एक ग्राफ बनाएं

1. हम एक फंक्शन ग्राफ बनाते हैं:


2. हम OX अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ के भाग को मिटा देते हैं:


3. OX अक्ष के ऊपर स्थित ग्राफ का भाग इस अक्ष के परितः सममित रूप से पूर्ण होता है।

और अंत में, मेरा सुझाव है कि आप वीडियो पाठ देखें जिसमें मैं एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए चरण-दर-चरण एल्गोरिदम दिखाता हूं

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:


इनमें से किस फ़ंक्शन का उलटा होता है? ऐसे कार्यों के लिए व्युत्क्रम कार्य खोजें:

4.12. ए)

वाई = एक्स;

बी) वाई = 6 −3x;

डी) वाई =

ई) वाई \u003d 2 x 3 +5;

4.13. ए)

वाई = 4x - 5;

वाई \u003d 9 - 2 एक्स - एक्स 2;

वाई = साइन एक्स;

वाई = 1 + एलजी (एक्स + 2);

वाई = 2 एक्स 2 +1;

एक्स - 2

x . पर< 0

सी) वाई =

-x

एक्स 0 . के लिए

पता लगाएं कि इनमें से कौन से कार्य मोनोटोनिक हैं, जो सख्ती से मोनोटोनिक हैं, और जो बाध्य हैं:

4.14. ए)

एफ (एक्स) = सी, सी आर;

बी) एफ (एक्स) \u003d कॉस 2 एक्स;

सी) एफ (एक्स) \u003d आर्कटजी एक्स;

डी) एफ (एक्स) \u003d ई 2 एक्स;

ई) एफ (एक्स) \u003d -एक्स 2 + 2 एक्स;

ई) एफ (एक्स) =

2x+5

वाई = सीटीजी7 एक्स।

4.15. ए)

एफ(एक्स) = 3− एक्स

बी) एफ (एक्स) =

एफ (एक्स) =

एक्स + 3

एक्स+6

एक्स< 0,

3x+5

डी) एफ (एक्स) \u003d 3 एक्स 3 - एक्स;

-10 बजे

एफ (एक्स) =

ई) एफ (एक्स) =

एक्स 2 पर

एक्स 0;

एक्स+1

एफ (एक्स) = टीजी (सिनएक्स)।

4.2. प्राथमिक कार्य। फंक्शन ग्राफ परिवर्तन

याद रखें कि कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में फ़ंक्शन f (x) का ग्राफ निर्देशांक (x, f (x)) के साथ समतल में सभी बिंदुओं का समूह है।

अक्सर फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ कुछ पहले से ज्ञात फ़ंक्शन के ग्राफ़ के परिवर्तनों (शिफ्ट, स्ट्रेचिंग) का उपयोग करके बनाया जा सकता है।

विशेष रूप से, फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ से, फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त होता है:

1) y \u003d f (x) + a - एक इकाई द्वारा ओए अक्ष के साथ शिफ्ट (ऊपर यदि a > 0, और नीचे यदि a< 0 ;

2) y \u003d f (x - b) - ऑक्स अक्ष के साथ b इकाइयों द्वारा शिफ्ट करें (दाईं ओर, यदि b > 0,

और बाईं ओर यदि b< 0 ;

3) y \u003d kf (x) - ओए अक्ष के साथ k बार खींचकर;

4) y \u003d f (mx) - ऑक्स अक्ष के साथ m बार संपीड़न;

5) y \u003d - f (x) - अक्ष ऑक्स के बारे में सममित प्रतिबिंब;

6) y \u003d f (−x) - अक्ष ओए के बारे में सममित प्रतिबिंब;

7) y \u003d f (x), इस प्रकार है: ग्राफ का वह भाग स्थित नहीं है

ऑक्स अक्ष के नीचे, अपरिवर्तित रहता है, और ग्राफ़ का "निचला" भाग ऑक्स अक्ष के बारे में सममित रूप से परिलक्षित होता है;

8) y = f (x) इस प्रकार है: ग्राफ का दाहिना भाग (x 0 के लिए)

अपरिवर्तित रहता है, और "बाएं" के बजाय अक्ष ओए के बारे में "दाएं" का एक सममित प्रतिबिंब बनाया गया है।

मुख्य प्राथमिक कार्यों को कहा जाता है:

1) स्थिर फलन y = c;

2) शक्ति फलन y = x α , α R ;

3) घातीय कार्य y \u003d a x, a 0, a 1;

4) लघुगणकफ़ंक्शन y = लॉग a x , a > 0, a 1 ;

5) त्रिकोणमितीयफलन y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (जहाँ sec x = cos 1 x ), y = cosec x (जहाँ cosec x = sin 1 x);

6) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य y \u003d आर्कसिन x, y \u003d आर्ककोस x, y \u003d आर्कटिक x, y \u003d arcctg x।

प्राथमिक कार्यएक सीमित संख्या में अंकगणितीय संक्रियाओं (+, -, ) और रचनाओं (अर्थात जटिल फलनों का निर्माण f g ) की सहायता से बुनियादी प्राथमिक फलनों से प्राप्त फलन कहलाते हैं।

उदाहरण 4.6। एक फ़ंक्शन प्लॉट करें

1) वाई \u003d एक्स 2 + 6 एक्स + 7; 2) y = −2sin 4 x ।

समाधान: 1) पूर्ण वर्ग को हाइलाइट करके, फ़ंक्शन को y = (x +3) 2 - 2 के रूप में परिवर्तित किया जाता है, इसलिए इस फ़ंक्शन का ग्राफ फ़ंक्शन y = x 2 के ग्राफ से प्राप्त किया जा सकता है। यह पहले परवलय y \u003d x 2 तीन इकाइयों को बाईं ओर स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त है (हमें फ़ंक्शन y \u003d (x +3) 2) का ग्राफ़ मिलता है, और फिर दो इकाइयाँ नीचे (चित्र। 4.1);

मानक

sinusoid

वाई = पाप एक्स

अक्ष के साथ चार बार

बैल,

हमें फ़ंक्शन y \u003d sin 4 x (चित्र। 4.2) का ग्राफ मिलता है।

y=sin4x

वाई = पाप एक्स

परिणामी ग्राफ को ओए अक्ष के साथ दो बार खींचकर, हमें फ़ंक्शन y \u003d 2sin 4 x (चित्र। 4.3) का ग्राफ मिलता है। यह ऑक्स अक्ष के सापेक्ष अंतिम ग्राफ को दर्शाता है। परिणाम वांछित ग्राफ होगा (चित्र 4.3 देखें)।

y=2sin4x

y=-2sin4x

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

मुख्य प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ के आधार पर निम्नलिखित कार्यों के ग्राफ़ बनाएं:

4.16. ए) वाई \u003d एक्स 2 -6 एक्स +11;

4.17. क) y = −2sin(x −π ) ;

4.18. क) y = -4 x −1 ;

4.19. क) y = लघुगणक 2 (−x );

4.20. ए) वाई = एक्स +5;

4.21. ए) वाई \u003d टीजी एक्स;

4.22. ए) वाई = साइन एक्स;

4.23. ए) वाई = एक्स एक्स + + 4 2;

वाई = 3 - 2 एक्स - एक्स 2।

y = 2 cos 2 x ।

भौतिक प्रक्रियाओं के पाठ्यक्रम की स्थितियों के आधार पर, कुछ मात्राएँ स्थिर मान लेती हैं और स्थिर कहलाती हैं, अन्य कुछ शर्तों के तहत बदलती हैं और चर कहलाती हैं।

पर्यावरण के सावधानीपूर्वक अध्ययन से पता चलता है कि भौतिक मात्राएँ एक-दूसरे पर निर्भर हैं, अर्थात कुछ मात्राओं में परिवर्तन से दूसरों में परिवर्तन होता है।

गणितीय विश्लेषण विशिष्ट भौतिक अर्थ से अमूर्त, पारस्परिक रूप से बदलती मात्राओं के मात्रात्मक संबंधों का अध्ययन करता है। गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक फ़ंक्शन की अवधारणा है।

समुच्चय के तत्वों और समुच्चय के तत्वों पर विचार करें
(चित्र। 3.1)।

यदि समुच्चय के तत्वों के बीच कुछ पत्राचार स्थापित किया जाता है
और यथाविधि , तो हम ध्यान दें कि फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है
.

परिभाषा 3.1. अनुपालन , जो प्रत्येक तत्व के साथ जुड़ा हुआ है खाली सेट नहीं
कुछ अच्छी तरह से परिभाषित तत्व खाली सेट नहीं , को फ़ंक्शन या मैपिंग कहा जाता है
में .

प्रतीकात्मक रूप से प्रदर्शित करें
में इस प्रकार लिखा गया है:

.

साथ ही, कई
फलन का प्रांत कहलाता है और इसे निरूपित किया जाता है
.

बदले में, कई फलन का परिसर कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है
.

इसके अलावा, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सेट के तत्व
स्वतंत्र चर कहलाते हैं, समुच्चय के अवयव आश्रित चर कहलाते हैं।

फ़ंक्शन सेट करने के तरीके

फ़ंक्शन को निम्नलिखित मुख्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है: सारणीबद्ध, चित्रमय, विश्लेषणात्मक।

यदि, प्रायोगिक डेटा के आधार पर, तालिकाओं को संकलित किया जाता है जिसमें फ़ंक्शन के मान और तर्क के संबंधित मान होते हैं, तो फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की इस विधि को सारणीबद्ध कहा जाता है।

उसी समय, यदि प्रयोग के परिणाम के कुछ अध्ययन रजिस्ट्रार (ऑसिलोस्कोप, रिकॉर्डर, आदि) को आउटपुट होते हैं, तो यह ध्यान दिया जाता है कि फ़ंक्शन ग्राफिक रूप से सेट किया गया है।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का विश्लेषणात्मक तरीका सबसे आम है, अर्थात। एक विधि जिसमें एक सूत्र का उपयोग करके स्वतंत्र और आश्रित चर को जोड़ा जाता है। इस मामले में, फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है:

भिन्न, यद्यपि वे एक ही विश्लेषणात्मक संबंधों द्वारा दिए गए हैं।

यदि केवल फलन सूत्र दिया गया हो
, तो हम मानते हैं कि इस फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन चर के उन मानों के सेट के साथ मेल खाता है , जिसके लिए अभिव्यक्ति
अर्थ है। इस संबंध में, फ़ंक्शन के डोमेन को खोजने की समस्या एक विशेष भूमिका निभाती है।

काम 3.1. फ़ंक्शन का दायरा खोजें

फेसला

पहला पद वास्तविक मान लेता है
, और दूसरा पर। इस प्रकार, किसी दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को खोजने के लिए, असमानताओं की प्रणाली को हल करना आवश्यक है:

ऐसी प्रणाली के समाधान के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए, फ़ंक्शन का डोमेन खंड है
.

कार्यों के रेखांकन का सबसे सरल परिवर्तन

यदि हम मुख्य प्राथमिक कार्यों के ज्ञात ग्राफ़ का उपयोग करते हैं, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ के निर्माण को बहुत सरल बनाया जा सकता है। निम्नलिखित कार्यों को बुनियादी प्राथमिक कार्य कहा जाता है:

1) शक्ति समारोह
कहाँ पे
;

2) घातीय फलन
कहाँ पे
और
;

3) लॉगरिदमिक फ़ंक्शन
, कहाँ पे - एक के अलावा कोई भी सकारात्मक संख्या:
और
;

4) त्रिकोणमितीय फलन




;
.

5) उलटा त्रिकोणमितीय कार्य
;
;
;
.

प्राथमिक फलन वे फलन कहलाते हैं जो चार अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके बुनियादी प्राथमिक कार्यों से प्राप्त किए जाते हैं और सुपरपोजिशन को सीमित संख्या में लागू किया जाता है।

सरल ज्यामितीय परिवर्तन भी कार्यों की साजिश रचने की प्रक्रिया को सरल बनाते हैं। ये परिवर्तन निम्नलिखित कथनों पर आधारित हैं:

    फंक्शन का ग्राफ y=f(x+a) ग्राफ है y=f(x), शिफ्ट किया गया (a >0 के लिए बाईं ओर, a के लिए< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

    फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=f(x) +b में ग्राफ़ y=f(x) है, स्थानांतरित (यदि b>0 ऊपर, यदि b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

    फलन y = mf(x) (m0) का ग्राफ y = f(x) का ग्राफ है, जिसे (m>1 के लिए) m बार बढ़ाया गया है या संकुचित किया गया है (0 के लिए)

    फलन y = f(kx) का ग्राफ y = f(x), संपीडित (k > 1 के लिए) k बार या फैला हुआ ग्राफ है (0 के लिए)< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.

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