मैट्रिक्स की रैंक इसके लिए सबसे महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषता है। यह निश्चित रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए जब आप रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता की जांच करने के कार्य का सामना कर रहे हों। यही है, रैंक की अवधारणा का अर्थ मैट्रिक्स में सभी रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों और स्तंभों से है। मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने के लिए विभिन्न तरीके हैं। अक्सर, इसकी गणना मामूली विधि या किनारा विधि द्वारा की जाती है। गॉस विधि का कम प्रयोग किया जाता है। यह ऑनलाइन कैलकुलेटर उन सभी जटिल परिवर्तनों पर प्रकाश डालेगा जो ऑनलाइन मैट्रिक्स के रैंक की गणना करने के लिए आवश्यक हैं। इसका उपयोग करके, आप इस सूचक को निर्धारित करने के लिए विभिन्न विकल्पों के साथ खुद को परिचित कर सकते हैं।

मैट्रिक्स की रैंक ऑनलाइन खोजने के लिए, आपको कई सरल ऑपरेशन करने होंगे। सबसे पहले, पंक्तियों और स्तंभों की संख्या के अनुरूप, बाईं और नीचे "+" और "-" आइकन पर क्लिक करके मैट्रिक्स के आयाम निर्दिष्ट करें। इसके बाद, कैलकुलेटर के क्षेत्रों में तत्वों को दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें। तैयार परिणाम मॉनिटर पर तुरंत दिखाई देगा। कुछ ही सेकंड में, आप मैट्रिक्स के रैंक का मूल्य और इसकी गणना का विस्तृत विवरण देखेंगे।

ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करने के कई फायदे हैं: आप किसी कार्य के उदाहरण का उपयोग करके सिद्धांत को बेहतर ढंग से सीखते हैं, अपनी गणना की जांच करते हैं, मैट्रिक्स के रैंक की गणना करने के सभी तरीकों को ध्यान से समझते हैं।

इस विषय में, हमें मैट्रिक्स माइनर और बॉर्डरिंग माइनर जैसी अवधारणाओं की आवश्यकता होगी। "बीजगणितीय पूरक और नाबालिग। नाबालिगों के प्रकार और बीजीय पूरक" विषय में इन अवधारणाओं का विस्तृत विवरण है।

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसी) -1 और 2 \\ -3 और 0 \end(सरणी) \दाएं|=-1\cdot 0-2\cdot (-3)=6. $$

तो, एक दूसरे क्रम का नाबालिग है जो शून्य के बराबर नहीं है, जिसका अर्थ है कि $\rang A≥ 2$। आइए हम तीसरे क्रम के अवयस्कों पर विचार करें जो दिए गए दूसरे क्रम के अवयस्क के आसपास हैं। एक संलग्न नाबालिग की रचना कैसे करें? ऐसा करने के लिए, एक और पंक्ति और एक और कॉलम को पंक्तियों और स्तंभों के सेट में जोड़ा जाना चाहिए, जिसके चौराहे पर दूसरे क्रम के माइनर के तत्व निहित हैं। हमें याद है कि हमारे द्वारा लिखे गए दूसरे क्रम के माइनर के तत्व पंक्तियों नंबर 1, नंबर 2 और कॉलम नंबर 1, नंबर 2 के चौराहे पर स्थित हैं। आइए पंक्ति #3 को पंक्तियों में और कॉलम #3 को कॉलम में जोड़ें। हमें तीसरे क्रम का एक अवयस्क मिलेगा, जिसके तत्व (आकृति में नीले रंग में दिखाए गए हैं) पंक्ति संख्या 1, संख्या 2, संख्या 3 और स्तंभ संख्या 1, संख्या 2 के चौराहे पर स्थित हैं। , क्रम 3।

आइए इस विषय से सूत्र संख्या 2 का उपयोग करके इस नाबालिग का मूल्य ज्ञात करें:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) -1 और 2 और 1 \\ -3 और 0 और 5 \\ -5 और 4 और 7 \ अंत (सरणी) \ दायां | = 0। $$

सीमावर्ती नाबालिग शून्य है। यह क्या कहता है? इससे पता चलता है कि हमें सीमावर्ती नाबालिगों को ढूंढना जारी रखना होगा। या तो वे सभी शून्य के बराबर हैं (और फिर रैंक 2 के बराबर होगी), या उनमें से कम से कम एक ऐसा है जो शून्य से अलग है।

दूसरी सीमावर्ती नाबालिग के तत्व पंक्तियों नंबर 1, नंबर 2, नंबर 3 और कॉलम नंबर 1, नंबर 2, नंबर 4 के चौराहे पर स्थित हैं। ऊपर की आकृति में, इस नाबालिग के तत्वों को हरे रंग में दिखाया गया है। आइए दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के विषय से समान सूत्र संख्या 2 का उपयोग करके इस नाबालिग की गणना करें:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) -1 और 2 और 3 \\ -3 और 0 और 4 \\ -5 और 4 और 10 \ अंत (सरणी) \ दायां | = 0। $$

और यह सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर है। कोई अन्य सीमावर्ती नाबालिग नहीं हैं। इसलिए, सभी सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर हैं। अंतिम रचित गैर-शून्य नाबालिग का क्रम 2 है। निष्कर्ष: रैंक 2 है, अर्थात। $\रैंक ए=2$।

जवाब: $\रैंक ए=2$।

उदाहरण #2

एक मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array)(ccccc) 1 & 2 & 0 & 4 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -1 & -3\\ -2 & -4 की रैंक पाएं और 2 और 5 और 7\\ -1 और -2 और 2 और 9 और 11 \end(array) \right)$ फ्रिंजिंग माइनर विधि द्वारा।

फिर से, पिछले उदाहरण की तरह, हम एक दूसरे क्रम के नाबालिग को चुनकर समाधान शुरू करते हैं जो शून्य के बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, पंक्तियों नंबर 1, नंबर 2 और कॉलम नंबर 1, नंबर 2 के चौराहे पर, मामूली $\left|\begin(array)(cc) 1 & 2 \\ 3 & के अवयव हैं। 6 \end(array) \right|$, जो दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के विषय से सूत्र संख्या 1 का उपयोग करके गणना करना आसान है:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसी) 1 और 2 \\ 3 और 6 \अंत (सरणी) \दाएं|=1\cdot 6-2\cdot 3=0. $$

यह दूसरे क्रम का नाबालिग शून्य के बराबर है, यानी। चुनाव गलत है। आइए दूसरे क्रम के एक और नाबालिग को लें। उदाहरण के लिए, जिसके तत्व पंक्ति संख्या 1, संख्या 2 और स्तंभ संख्या 2, संख्या 3 के चौराहे पर स्थित हैं:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसी) 2 और 0 \\ 6 और -2 \अंत (सरणी) \दाएं|=-4। $$

तो, एक गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग मौजूद है, इसलिए $\rang A≥ 2$। आइए इस नाबालिग को $M_2$ के रूप में नामित करें और हम इसे तीसरे क्रम के नाबालिगों के साथ सीमाबद्ध करना शुरू कर देंगे। उदाहरण के लिए, आइए उन पंक्तियों और स्तंभों में पंक्ति #3 और स्तंभ #1 जोड़ते हैं जहां $M_2$ तत्व स्थित हैं। वे। आइए तीसरे क्रम के एक नाबालिग को खोजें, जिसके तत्व पंक्ति संख्या 1, संख्या 2, संख्या 3 और स्तंभ संख्या 1, संख्या 2, संख्या 3 के चौराहे पर हैं। इसके लिए हम दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के विषय से सूत्र संख्या 2 का उपयोग करते हैं। मैं विस्तृत गणना नहीं दूंगा, हम केवल उत्तर लिखेंगे:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) 1 और 2 और 0 \\ 3 और 6 और -2 \\ -2 और -4 और 2 \ अंत (सरणी) \ दायां | = 0। $$

तीसरे क्रम के नाबालिग पर विचार करें, जिसके तत्व पंक्ति संख्या 1, संख्या 2, संख्या 3 और स्तंभ संख्या 2, संख्या 3, संख्या 4 के चौराहे पर स्थित हैं। यह नाबालिग $M_2$ को भी घेरे हुए है:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) 2 और 0 और 4 \\ 6 और -2 और -1 \\ -4 और 2 और 5 \end(सरणी) \दाएं|=0 $$

और फिर से, $M_2$ के आसपास के तीसरे क्रम का नाबालिग शून्य के बराबर है। तो, हम तीसरे क्रम के दूसरे नाबालिग को पास करते हैं। आइए तीसरे क्रम के एक नाबालिग को लें, जिसके तत्व पंक्ति संख्या 1, संख्या 2, संख्या 3 और स्तंभ संख्या 2, संख्या 3, संख्या 5 के चौराहे पर स्थित हैं। यह नाबालिग $M_2$ को भी घेरे हुए है:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) 2 और 0 और 5 \\ 6 और -2 और -3 \\ -4 और 2 और 7 \ अंत (सरणी) \ दायां | = 4। $$

तो, तीसरे क्रम के नाबालिगों में $M_2$ की सीमा में, एक गैर-शून्य नाबालिग है, जिसका अर्थ है $\rang A≥ 3$। आइए इस गैर-शून्य नाबालिग को $M_3$ के रूप में निरूपित करें। $M_3$ माइनर के अवयव #1, #2, #3 और कॉलम #2, #3, #5 के चौराहे पर स्थित हैं। आइए हम $M_3$ नाबालिग को चौथे क्रम के नाबालिगों से घेर लें। शुरू करने के लिए, आइए चौथे क्रम के नाबालिग को लें, जिनमें से तत्व पंक्तियों नंबर 1, नंबर 2, नंबर 3, नंबर 4 और कॉलम नंबर 1, नंबर 2, नंबर 3 के चौराहे पर स्थित हैं। , पाँच नंबर। यह नाबालिग $M_3$ के आसपास है। यदि आप उदाहरण के लिए, पंक्ति या स्तंभ द्वारा विस्तार का उपयोग करते हैं, तो इसका मूल्य खोजना आसान है:

$$ \बाएं|\प्रारंभ (सरणी)(सीसीसीसी) 1 और 2 और 0 और 5\\ 3 और 6 और -2 और -3\\ -2 और -4 और 2 और 7\\ -1 और -2 और 2 और 11 \end(सरणी) \right|=0. $$

इसी प्रकार, चौथे क्रम के अवयस्क पर विचार करते हुए, जिसके तत्व पंक्ति संख्या 1, संख्या 2, संख्या 3, संख्या 4 और स्तंभ संख्या 2, संख्या 3, संख्या 4 के चौराहे पर स्थित हैं, नंबर 5, हमें मिलता है:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसीसी) 2 और 0 और 4 और 5\\ 6 और -2 और -1 और -3 \\ -4 और 2 और 5 और 7\\ -2 और 2 और 9 और 11 \end(सरणी) \दाएं|=0.$$

$M_3$ नाबालिग के लिए कोई अन्य सीमावर्ती नाबालिग नहीं है। $M_3$ के आसपास के सभी चौथे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं। अंतिम गैर-शून्य नाबालिग, यानी। $M_3$, तीसरे क्रम का था। निष्कर्ष: रैंक 3 है, यानी। $\रैंक ए=3$।

जवाब: $\रैंक ए=3$।

उदाहरण #3

एक मैट्रिक्स की रैंक खोजें $A=\left(\begin(array)(ccccc) -1 & 3 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -2 & 5 & 0 & -3\\ 1 & -5 & 3 और 7 और 6 \end(array) \right)$ सीमावर्ती नाबालिग विधि द्वारा।

फिर से, हम एक दूसरे क्रम के नाबालिग को चुनकर समाधान शुरू करते हैं जो शून्य के बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, पंक्तियों #1, #2 और कॉलम #1, #2 के चौराहे पर मामूली $\left|\begin(array)(cc) -1 & 3 \\ 0 & -2 \end के तत्व हैं (सरणी) \right| $, जिसे हम दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के विषय से सूत्र संख्या 1 का उपयोग करके गणना करते हैं:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसी) -1 और 3 \\ 0 और -2 \ अंत (सरणी) \ दायां | = 2। $$

यह नाबालिग (इसे $M_2$ दर्शाता है) शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए, हम इसे तीसरे क्रम के नाबालिगों के साथ सीमाबद्ध करेंगे। उदाहरण के लिए, आइए उन पंक्तियों और स्तंभों में पंक्ति #3 और स्तंभ #3 जोड़ें जहां $M_2$ तत्व स्थित हैं। वे। हम तीसरे क्रम का एक नाबालिग पाते हैं, जिसके तत्व पंक्तियों नंबर 1, नंबर 2, नंबर 3 और कॉलम नंबर 1, नंबर 2, नंबर 3 के चौराहे पर स्थित हैं। इसके लिए हम दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के विषय से सूत्र संख्या 2 का उपयोग करते हैं:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) -1 और 3 और 2 \\ 0 और -2 और 5 \\ 1 और -5 और 3 \ अंत (सरणी) \ दायां | = 0। $$

यह नाबालिग शून्य के बराबर है, इसलिए आपको दूसरे सीमावर्ती नाबालिग पर जाने की जरूरत है। या तो $M_2$ के आसपास के सभी तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, या उनमें से कम से कम एक अभी भी शून्य से अलग है।

तीसरे क्रम के नाबालिग पर विचार करें, जिसके तत्व पंक्ति संख्या 1, संख्या 2, संख्या 3 और स्तंभ संख्या 1, संख्या 2, संख्या 4 के चौराहे पर स्थित हैं। यह नाबालिग $M_2$ को भी घेरे हुए है:

$$ \बाएं|\शुरू(सरणी)(सीसीसी) -1 और 3 और 4 \\ 0 और -2 और 0 \\ 1 और -5 और 7 \ अंत (सरणी) \ दायां | = 22। $$

तो, तीसरे क्रम के नाबालिगों में, $M_2$ की सीमा में, कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है। हम अब चौथे क्रम के नाबालिग नहीं बना सकते, क्योंकि उन्हें 4 पंक्तियों की आवश्यकता होती है, और मैट्रिक्स $A$ में केवल 3 पंक्तियाँ होती हैं। इसलिए, चूंकि अंतिम गैर-शून्य नाबालिग तीसरे क्रम का था, रैंक 3 है, अर्थात। $\रैंक ए=3$।

जवाब: $\रैंक ए=3$।

मैट्रिक्स के रैंक की गणना करने के लिए, आप नाबालिगों की सीमा या गॉस विधि लागू कर सकते हैं। गॉस विधि या प्राथमिक परिवर्तनों की विधि पर विचार करें।

मैट्रिक्स का रैंक उसके नाबालिगों का अधिकतम क्रम है, जिसके बीच कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है।

पंक्तियों (स्तंभों) की एक प्रणाली की रैंक इस प्रणाली की रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों (स्तंभों) की अधिकतम संख्या है।

नाबालिगों को फ्रिंज करने की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. नाबालिग एमआदेश शून्य नहीं है।
2. अगर नाबालिगों के लिए फ्रिंजिंग नाबालिग एम (के+1)-थआदेश, रचना करना असंभव है (अर्थात मैट्रिक्स में शामिल है कलाइनें या ककॉलम), तो मैट्रिक्स की रैंक है क. यदि सीमावर्ती अवयस्क मौजूद हैं और सभी शून्य हैं, तो रैंक k है। यदि सीमावर्ती नाबालिगों में से कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो हम एक नया नाबालिग लिखने का प्रयास करते हैं कश्मीर+2आदि।

आइए एल्गोरिथ्म का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें। सबसे पहले, मैट्रिक्स के पहले क्रम (मैट्रिक्स तत्व) के नाबालिगों पर विचार करें ए. यदि वे सभी शून्य हैं, तो रैंकए = 0. यदि प्रथम-क्रम अवयस्क (मैट्रिक्स तत्व) हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं एम1 0, फिर रैंक रंगा ≥ 1.

एम1. यदि ऐसे अवयस्क हैं तो वे द्वितीय श्रेणी के अवयस्क होंगे। यदि सभी अवयस्क अवयस्क की सीमा बनाते हैं एम1शून्य के बराबर हैं, तो रैंकए = 1. यदि कम से कम एक सेकेंड ऑर्डर नाबालिग है जो शून्य के बराबर नहीं है एम 2 0, फिर रैंक रंगा 2.

जांचें कि क्या नाबालिग के लिए सीमावर्ती नाबालिग हैं एम2. यदि ऐसे अवयस्क हैं तो वे तृतीय श्रेणी के अवयस्क होंगे। यदि सभी अवयस्क अवयस्क की सीमा बनाते हैं एम2शून्य के बराबर हैं, तो रैंकए = 2. यदि तीसरे क्रम का कम से कम एक अवयस्क है जो शून्य के बराबर नहीं है एम3 0, फिर रैंक रंगा 3.

जांचें कि क्या नाबालिग के लिए सीमावर्ती नाबालिग हैं एम3. यदि ऐसे अवयस्क हैं तो वे चतुर्थ कोटि के अवयस्क होंगे। यदि सभी अवयस्क अवयस्क की सीमा बनाते हैं एम3शून्य के बराबर हैं, तो रैंकए = 3. यदि चौथे क्रम का कम से कम एक अवयस्क है जो शून्य के बराबर नहीं है एम4 0, फिर रैंक रंगा 4.

जाँच कर रहा है कि क्या नाबालिग के लिए सीमावर्ती नाबालिग है एम 4, आदि। यदि किसी स्तर पर सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर हैं या सीमावर्ती नाबालिग प्राप्त नहीं किया जा सकता है तो एल्गोरिथ्म बंद हो जाता है (मैट्रिक्स में कोई और पंक्तियाँ या स्तंभ नहीं हैं)। गैर-शून्य नाबालिग का क्रम जिसे हम लिख सकते हैं वह मैट्रिक्स का रैंक होगा।

उदाहरण

आइए इस विधि पर एक उदाहरण के साथ विचार करें। 4x5 मैट्रिक्स दिया गया है:

इस मैट्रिक्स में 4 से अधिक रैंक नहीं हो सकती है। साथ ही, इस मैट्रिक्स में गैर-शून्य तत्व (एक प्रथम-क्रम नाबालिग) है, जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स का रैंक 1 है।

चलो नाबालिग बनाते हैं 2गण। चलो कोने से शुरू करते हैं।

चूंकि सारणिक शून्य के बराबर है, इसलिए हम एक और नाबालिग की रचना करते हैं।

इस अवयस्क का सारणिक ज्ञात कीजिए।

निर्धारित अवयस्क है -2 . तो मैट्रिक्स की रैंक ≥ 2 .

यदि यह नाबालिग 0 के बराबर था, तो अन्य नाबालिगों को जोड़ा जाएगा। अंत तक, सभी नाबालिगों को 1 और 2 पंक्तियों में तैयार किया गया होगा। फिर लाइन 1 और 3 पर, लाइन 2 और 3 पर, लाइन 2 और 4 पर, जब तक कि वे एक नाबालिग को 0 के बराबर नहीं पाते, उदाहरण के लिए:

यदि सभी दूसरे क्रम के अवयस्क 0 हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक 1 होगी। समाधान रोका जा सकता है।

3गण।

नाबालिग जीरो नहीं निकला। मतलब मैट्रिक्स की रैंक ≥ 3 .

यदि यह नाबालिग शून्य होता, तो अन्य नाबालिगों की रचना करनी पड़ती। उदाहरण के लिए:

यदि सभी तीसरे क्रम के अवयस्क 0 हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक 2 होगी। समाधान रोका जा सकता है।

हम मैट्रिक्स के रैंक की खोज जारी रखते हैं। चलो नाबालिग बनाते हैं 4गण।

आइए इस अवयस्क का निर्धारक ज्ञात करें।

नाबालिग का निर्धारक बराबर निकला 0 . चलो एक और नाबालिग बनाते हैं।

आइए इस अवयस्क का निर्धारक ज्ञात करें।

नाबालिग निकला बराबर 0 .

एक नाबालिग बनाएँ 5 वींआदेश काम नहीं करेगा, इसके लिए इस मैट्रिक्स में कोई पंक्ति नहीं है। अंतिम गैर-शून्य नाबालिग था 3क्रम, इसलिए मैट्रिक्स की रैंक है 3 .

मैट्रिक्स का रैंक एक महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषता है। मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए आवश्यक सबसे विशिष्ट समस्या रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता की जांच कर रही है। इस लेख में, हम मैट्रिक्स के रैंक की अवधारणा देंगे और इसे खोजने के तरीकों पर विचार करेंगे। सामग्री के बेहतर आत्मसात के लिए, हम कई उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

मैट्रिक्स के रैंक का निर्धारण और आवश्यक अतिरिक्त अवधारणाएं।

मैट्रिक्स के रैंक की परिभाषा को व्यक्त करने से पहले, किसी को नाबालिग की अवधारणा की अच्छी समझ होनी चाहिए, और मैट्रिक्स के नाबालिगों को खोजने का अर्थ है निर्धारक की गणना करने की क्षमता। इसलिए हम अनुशंसा करते हैं, यदि आवश्यक हो, तो लेख के सिद्धांत को याद करने के लिए, मैट्रिक्स निर्धारक को खोजने के तरीके, सारणिक के गुण।

क्रम का एक आव्यूह A लीजिए। मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है जो m और n की छोटी से छोटी संख्या से अधिक न हो, अर्थात, .

परिभाषा।

माइनर के-वें क्रममैट्रिक्स ए ऑर्डर के वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो मैट्रिक्स ए के तत्वों से बना है, जो पूर्व-चयनित के पंक्तियों और के कॉलम में हैं, और मैट्रिक्स ए के तत्वों का स्थान संरक्षित है।

दूसरे शब्दों में, यदि हम मैट्रिक्स ए में (पी-के) पंक्तियों और (एन-के) कॉलम को हटाते हैं, और मैट्रिक्स तत्वों ए की व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए शेष तत्वों से एक मैट्रिक्स बनाते हैं, तो परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक है आव्यूह A के क्रम k का एक अवयस्क।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके मैट्रिक्स माइनर की परिभाषा देखें।

मैट्रिक्स पर विचार करें .

आइए हम इस मैट्रिक्स के कई प्रथम-क्रम नाबालिगों को लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम मैट्रिक्स ए की तीसरी पंक्ति और दूसरा कॉलम चुनते हैं, तो हमारी पसंद पहले क्रम के नाबालिग से मेल खाती है . दूसरे शब्दों में, इस नाबालिग को प्राप्त करने के लिए, हमने मैट्रिक्स ए से पहली और दूसरी पंक्तियों के साथ-साथ पहले, तीसरे और चौथे कॉलम को पार किया, और शेष तत्व से निर्धारक बनाया। यदि हम मैट्रिक्स ए की पहली पंक्ति और तीसरा कॉलम चुनते हैं, तो हमें एक नाबालिग मिलता है .

आइए हम पहले क्रम के अवयस्कों को प्राप्त करने की प्रक्रिया का वर्णन करें
और .

इस प्रकार, मैट्रिक्स के पहले क्रम के नाबालिग स्वयं मैट्रिक्स तत्व हैं।

आइए हम दूसरे क्रम के कई अवयस्कों को दिखाते हैं। दो पंक्तियों और दो स्तंभों का चयन करें। उदाहरण के लिए, पहली और दूसरी पंक्तियाँ और तीसरा और चौथा स्तंभ लें। इस विकल्प के साथ, हमारे पास दूसरे क्रम का नाबालिग है . मैट्रिक्स ए से तीसरी पंक्ति, पहले और दूसरे कॉलम को हटाकर भी यह नाबालिग बनाया जा सकता है।

आव्यूह A का एक अन्य द्वितीय कोटि का अवयस्क है।

आइए हम इन दूसरे क्रम के अवयस्कों के निर्माण का वर्णन करें
और .

मैट्रिक्स ए के तीसरे क्रम के नाबालिगों को इसी तरह पाया जा सकता है। चूँकि मैट्रिक्स A में केवल तीन पंक्तियाँ हैं, हम उन सभी का चयन करते हैं। यदि हम इन पंक्तियों के लिए पहले तीन स्तंभों का चयन करते हैं, तो हमें तीसरे क्रम का एक नाबालिग मिलता है

इसका निर्माण मैट्रिक्स ए के अंतिम कॉलम को हटाकर भी किया जा सकता है।

एक और तीसरे क्रम का नाबालिग है

मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को हटाकर प्राप्त किया गया।

यहाँ इन तीसरे क्रम के अवयस्कों के निर्माण को दर्शाने वाला एक चित्र है
और .

किसी दिए गए मैट्रिक्स A के लिए, तीसरे से ऊपर के क्रम का कोई अवयस्क नहीं है, क्योंकि .

क्रम के मैट्रिक्स A के कितने k-वें क्रम के अवयस्क मौजूद हैं?

आदेश k अवयस्कों की संख्या की गणना इस प्रकार की जा सकती है, जहां और - क्रमशः p से k और n से k तक के संयोजनों की संख्या।

एन पर ऑर्डर पी के मैट्रिक्स ए के ऑर्डर के के सभी नाबालिगों का निर्माण कैसे करें?

हमें मैट्रिक्स पंक्ति संख्याओं का एक सेट और स्तंभ संख्याओं का एक सेट चाहिए। सब कुछ रिकॉर्ड करना k . द्वारा p तत्वों का संयोजन(क्रम k के एक नाबालिग का निर्माण करते समय वे मैट्रिक्स A की चयनित पंक्तियों के अनुरूप होंगे)। पंक्ति संख्याओं के प्रत्येक संयोजन के लिए, हम क्रमिक रूप से n तत्वों के सभी संयोजनों को k स्तंभ संख्याओं द्वारा जोड़ते हैं। मैट्रिक्स ए की पंक्ति संख्याओं और कॉलम संख्याओं के संयोजन के ये सेट ऑर्डर के सभी नाबालिगों को लिखने में मदद करेंगे।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण।

मैट्रिक्स के सभी दूसरे क्रम के अवयस्क खोजें।

फेसला।

चूँकि मूल मैट्रिक्स का क्रम 3 बटा 3 है, तो कुल दूसरे क्रम के अवयस्क होंगे .

आइए मैट्रिक्स ए: 1, 2 की 3 से 2 पंक्ति संख्याओं के सभी संयोजनों को लिखें; 1, 3 और 2, 3. 3 बटा 2 कॉलम संख्याओं के सभी संयोजन 1, 2 हैं; 1, 3 और 2, 3.

मैट्रिक्स A की पहली और दूसरी पंक्तियाँ लें। इन पंक्तियों के लिए पहले और दूसरे कॉलम का चयन करते हुए, पहले और तीसरे कॉलम, दूसरे और तीसरे कॉलम, हम क्रमशः प्राप्त करते हैं, नाबालिग

पहली और तीसरी पंक्तियों के लिए, स्तंभों की समान पसंद के साथ, हमारे पास है

दूसरी और तीसरी पंक्तियों में पहले और दूसरे, पहले और तीसरे, दूसरे और तीसरे कॉलम को जोड़ना बाकी है:

तो, मैट्रिक्स ए के दूसरे क्रम के सभी नौ नाबालिग पाए जाते हैं।

अब हम मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

परिभाषा।

मैट्रिक्स रैंकगैर-शून्य मैट्रिक्स नाबालिग का उच्चतम क्रम है।

मैट्रिक्स ए की रैंक को रैंक (ए) के रूप में दर्शाया गया है। आप पदनाम Rg(A) या Rang(A) भी देख सकते हैं।

मैट्रिक्स के रैंक और मैट्रिक्स के नाबालिग की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि शून्य मैट्रिक्स का रैंक शून्य के बराबर है, और गैर-शून्य मैट्रिक्स का रैंक कम से कम एक है।

परिभाषा के अनुसार मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना।

तो, मैट्रिक्स की रैंक खोजने की पहली विधि है लघु गणना विधि. यह विधि मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने पर आधारित है।

आइए क्रम के मैट्रिक्स A की रैंक ज्ञात करें।

संक्षेप में वर्णन करें कलन विधिनाबालिगों की गणना की विधि द्वारा इस समस्या का समाधान।

यदि शून्य के अलावा कम से कम एक मैट्रिक्स तत्व है, तो मैट्रिक्स की रैंक कम से कम एक के बराबर है (चूंकि एक प्रथम-क्रम नाबालिग है जो शून्य के बराबर नहीं है)।

इसके बाद, हम दूसरे क्रम के अवयस्कों पर पुनरावृति करते हैं। यदि दूसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर है। यदि कम से कम एक गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग मौजूद है, तो हम तीसरे क्रम के नाबालिगों की गणना के लिए आगे बढ़ते हैं, और मैट्रिक्स की रैंक कम से कम दो के बराबर होती है।

इसी तरह, यदि सभी तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक दो है। यदि कम से कम एक गैर-शून्य तृतीय-क्रम नाबालिग है, तो मैट्रिक्स की रैंक कम से कम तीन है, और हम चौथे क्रम के नाबालिगों की गणना के लिए आगे बढ़ते हैं।

ध्यान दें कि मैट्रिक्स की रैंक p और n के सबसे छोटे से अधिक नहीं हो सकती है।

उदाहरण।

मैट्रिक्स की रैंक पाएं .

फेसला।

चूंकि मैट्रिक्स गैर-शून्य है, इसलिए इसकी रैंक एक से कम नहीं है।

दूसरे क्रम के नाबालिग शून्य से भिन्न है, इसलिए मैट्रिक्स A की रैंक कम से कम दो है। हम तीसरे क्रम के नाबालिगों की गणना के लिए पास करते हैं। उन सभी को चीज़ें।

सभी तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं। इसलिए, मैट्रिक्स की रैंक दो है।

जवाब:

रैंक (ए) = 2।

अवयस्कों को फ्रिंज करने की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना।

मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए अन्य तरीके हैं जो आपको कम कम्प्यूटेशनल काम के साथ परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देते हैं।

इन तरीकों में से एक है फ्रिंजिंग माइनर मेथड.

चलो निपटते हैं सीमावर्ती नाबालिग की धारणा.

ऐसा कहा जाता है कि मैट्रिक्स A के (k+1)वें क्रम का माइनर M ओके, मैट्रिक्स A के ऑर्डर k के माइनर M को बॉर्डर करता है, यदि माइनर M के अनुरूप मैट्रिक्स माइनर के अनुरूप मैट्रिक्स "शामिल है" एम ।

दूसरे शब्दों में, एक पंक्ति और एक कॉलम के तत्वों को हटाकर सीमावर्ती नाबालिग एम के अनुरूप मैट्रिक्स को सीमावर्ती नाबालिग एम ओके के अनुरूप मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें और दूसरे क्रम के नाबालिग को लें। आइए सभी सीमावर्ती नाबालिगों को लिखें:

अवयस्कों को सीमाबद्ध करने की विधि निम्नलिखित प्रमेय द्वारा उचित है (हम बिना प्रमाण के इसका निरूपण प्रस्तुत करते हैं)।

प्रमेय।

यदि क्रम p ब n के मैट्रिक्स A के k-वें कोटि के अवयस्क की सीमा पर सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स A के क्रम के सभी अवयस्क (k + 1) शून्य के बराबर हैं।

इस प्रकार, मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए, उन सभी नाबालिगों की गणना करना आवश्यक नहीं है जो पर्याप्त रूप से सीमाबद्ध हैं। क्रम के मैट्रिक्स ए के के-वें क्रम के नाबालिगों की संख्या सूत्र द्वारा पाई जाती है . ध्यान दें कि मैट्रिक्स ए के के-वें क्रम के नाबालिगों की तुलना में कोई और नाबालिग नहीं हैं (के + 1) - मैट्रिक्स ए के ऑर्डर नाबालिग हैं। इसलिए, ज्यादातर मामलों में, सभी नाबालिगों की गणना की तुलना में सीमावर्ती नाबालिगों की विधि का उपयोग करना अधिक लाभदायक है।

आइए हम अवयस्कों को फ्रिंज करने की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ें। संक्षेप में वर्णन करें कलन विधियह विधि।

यदि मैट्रिक्स ए गैर-शून्य है, तो हम मैट्रिक्स ए का कोई भी तत्व लेते हैं जो शून्य से अलग है, पहले क्रम के नाबालिग के रूप में। हम इसके सीमावर्ती नाबालिगों पर विचार करते हैं। यदि वे सभी शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर है। यदि कम से कम एक गैर-शून्य सीमावर्ती नाबालिग है (इसका क्रम दो के बराबर है), तो हम इसके सीमावर्ती नाबालिगों पर विचार करते हैं। यदि वे सभी शून्य हैं, तो रैंक (ए) = 2। यदि कम से कम एक सीमावर्ती नाबालिग गैर-शून्य है (इसका क्रम तीन के बराबर है), तो हम इसके सीमावर्ती नाबालिगों पर विचार करते हैं। आदि। नतीजतन, रैंक (ए) = के यदि मैट्रिक्स ए के (के + 1) वें क्रम के सभी सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर हैं, या रैंक (ए) = मिनट (पी, एन) यदि कोई गैर मौजूद है माइनर ऑफ ऑर्डर की सीमा पर शून्य नाबालिग (न्यूनतम (पी, एन) - 1)।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए सीमावर्ती नाबालिगों की विधि का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

मैट्रिक्स की रैंक पाएं सीमावर्ती नाबालिग विधि द्वारा।

फेसला।

चूँकि आव्यूह A का अवयव a 1 1 शून्येतर नहीं है, हम इसे प्रथम कोटि के अवयस्क के रूप में लेते हैं। आइए शून्य के अलावा सीमावर्ती नाबालिग की खोज शुरू करें:

एक गैर-शून्य सीमावर्ती दूसरे क्रम का नाबालिग पाया जाता है। आइए हम इसके सीमावर्ती नाबालिगों की गणना करें (उनके चीज़ें):

दूसरे क्रम के नाबालिग की सीमा के सभी नाबालिग शून्य के बराबर हैं, इसलिए मैट्रिक्स ए की रैंक दो के बराबर है।

जवाब:

रैंक (ए) = 2।

उदाहरण।

मैट्रिक्स की रैंक पाएं सीमावर्ती नाबालिगों की मदद से।

फेसला।

प्रथम कोटि के शून्येतर अवयस्क के रूप में, हम आव्यूह A का अवयव a 1 1 = 1 लेते हैं। फ्रिंजिंग इसे दूसरे क्रम का नाबालिग शून्य के बराबर नहीं है। यह नाबालिग तीसरे क्रम के नाबालिग से घिरा है
. चूंकि यह शून्य के बराबर नहीं है और इसके लिए कोई सीमावर्ती नाबालिग नहीं है, इसलिए मैट्रिक्स ए की रैंक तीन के बराबर है।

जवाब:

रैंक (ए) = 3।

मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके रैंक ढूँढना (गॉस विधि द्वारा)।

मैट्रिक्स की रैंक खोजने के लिए एक और तरीके पर विचार करें।

निम्नलिखित मैट्रिक्स परिवर्तनों को प्राथमिक कहा जाता है:

• मैट्रिक्स की पंक्तियों (या स्तंभों) का क्रमपरिवर्तन;
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक मनमाना संख्या k से गुणा करना जो शून्य से भिन्न हो;
• मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के अलावा, एक मनमाना संख्या k से गुणा किया जाता है।

मैट्रिक्स बी को मैट्रिक्स ए के बराबर कहा जाता है, यदि B को प्रारंभिक परिवर्तनों की एक सीमित संख्या की सहायता से A से प्राप्त किया जाता है। आव्यूहों की तुल्यता को "~" प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात इसे A ~ B लिखा जाता है।

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना कथन पर आधारित है: यदि मैट्रिक्स बी को प्रारंभिक परिवर्तनों की एक सीमित संख्या का उपयोग करके मैट्रिक्स ए से प्राप्त किया जाता है, तो रैंक (ए) = रैंक (बी) ।

इस कथन की वैधता मैट्रिक्स निर्धारक के गुणों से निम्नानुसार है:

• जब किसी मैट्रिक्स की पंक्तियों (या स्तंभों) को क्रमादेशित किया जाता है, तो इसका सारणिक परिवर्तन संकेत करता है। यदि यह शून्य के बराबर है, तो पंक्तियों (स्तंभों) को क्रमित करते समय, यह शून्य के बराबर रहता है।
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को शून्य से भिन्न एक मनमाना संख्या k से गुणा करते समय, परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है, जिसे k से गुणा किया जाता है। यदि मूल मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है, तो किसी भी पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्वों को संख्या k से गुणा करने के बाद, परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक भी शून्य के बराबर होगा।
• मैट्रिक्स की एक निश्चित पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को जोड़ने से मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संबंधित तत्व, कुछ संख्या k से गुणा किए जाते हैं, इसके निर्धारक को नहीं बदलते हैं।

प्राथमिक परिवर्तनों की विधि का सारमैट्रिक्स लाने के लिए है, जिसकी रैंक हमें प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके एक ट्रैपेज़ॉयड (एक विशेष मामले में, ऊपरी त्रिकोणीय एक में) खोजने की आवश्यकता है।

यह किस लिए है? इस प्रकार के आव्यूहों का पद खोजना बहुत आसान है। यह कम से कम एक गैर-शून्य तत्व वाली पंक्तियों की संख्या के बराबर है। और चूंकि प्रारंभिक परिवर्तनों के दौरान मैट्रिक्स का रैंक नहीं बदलता है, परिणामी मूल्य मूल मैट्रिक्स का रैंक होगा।

हम मैट्रिक्स के उदाहरण देते हैं, जिनमें से एक को परिवर्तनों के बाद प्राप्त किया जाना चाहिए। उनका रूप मैट्रिक्स के क्रम पर निर्भर करता है।

ये दृष्टांत ऐसे टेम्प्लेट हैं जिनसे हम मैट्रिक्स ए को बदल देंगे।

आइए वर्णन करें विधि एल्गोरिथ्म.

मान लीजिए कि हमें क्रम के एक गैर-शून्य मैट्रिक्स A की रैंक खोजने की आवश्यकता है (p, n के बराबर हो सकता है)।

इसलिए, । आइए मैट्रिक्स ए की पहली पंक्ति के सभी तत्वों को गुणा करें। इस मामले में, हम एक समकक्ष मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं, इसे ए (1) निरूपित करते हैं:

परिणामी मैट्रिक्स ए (1) की दूसरी पंक्ति के तत्वों में, हम पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करते हैं। तीसरी पंक्ति के तत्वों में, पहली पंक्ति के संगत तत्वों को गुणा करके जोड़ें। और इसी तरह पी-वें लाइन तक। हमें एक समतुल्य मैट्रिक्स मिलता है, इसे A (2) निरूपित करें:

यदि परिणामी मैट्रिक्स के सभी तत्व जो दूसरे से p-th तक की पंक्तियों में हैं, शून्य के बराबर हैं, तो इस मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर है, और, परिणामस्वरूप, मूल मैट्रिक्स की रैंक है एक के बराबर।

यदि दूसरी से पी-वें तक की पंक्तियों में कम से कम एक गैर-शून्य तत्व है, तो हम परिवर्तन करना जारी रखते हैं। इसके अलावा, हम बिल्कुल उसी तरह से कार्य करते हैं, लेकिन केवल मैट्रिक्स ए के भाग के साथ चित्र (2) में चिह्नित किया गया है

यदि , तो हम मैट्रिक्स A (2) की पंक्तियों और (या) स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि "नया" तत्व गैर-शून्य हो जाए।