बहुतों को हल करते समय गणित की समस्याओं, विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य की ओर ले जाएगा, स्पष्ट रूप से परिभाषित है। इस तरह की समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएं, भिन्नात्मक समीकरण और समीकरण जो द्विघात समीकरणों को कम करते हैं। उल्लिखित कार्यों में से प्रत्येक के सफल समाधान का सिद्धांत इस प्रकार है: यह स्थापित करना आवश्यक है कि किस प्रकार का कार्य हल किया जा रहा है, क्रियाओं के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।

जाहिर है, किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितना सही है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितना सही है। बेशक, इस मामले में, समान परिवर्तन और गणना करने के लिए कौशल होना आवश्यक है।

एक अलग स्थिति होती है त्रिकोणमितीय समीकरण।इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाती हैं।

कभी-कभी समीकरण की उपस्थिति से इसके प्रकार का निर्धारण करना कठिन होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें प्रयास करना चाहिए:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;
2. समीकरण को "समान कार्यों" में लाएं;
3. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें, आदि।

विचार करना त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलन को ज्ञात घटकों के रूप में व्यक्त कीजिए।

चरण 2सूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:

कॉस एक्स = ए; x = ±arccos a + 2πn, n Z।

पाप एक्स = ए; x \u003d (-1) n चापएक + n, n Z में।

तन एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कटग ए + πn, एन Є जेड।

सीटीजी एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कसीटीजी ए + πn, एन Є जेड।

चरण 3एक अज्ञात चर खोजें।

उदाहरण।

2 cos(3x - /4) = -√2।

फेसला।

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x - /4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Z;

एक्स = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, एन Є जेड।

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलनों में से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजीय रूप में लाएं।

चरण 2परिणामी फलन को चर t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, t पर प्रतिबंध लागू करें)।

चरण 3परिणामी बीजीय समीकरण लिखिए और हल कीजिए।

चरण 4एक रिवर्स प्रतिस्थापन करें।

चरण 5सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

फेसला।

1) 2(1 - पाप 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) माना sin (x/2) = t, जहाँ |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

टी = 1 या ई = -3/2 शर्त को पूरा नहीं करता |t| 1.

4) पाप (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

एक्स = + 4πn, एन Є जेड।

उत्तर: x = + 4πn, n Z।

III. समीकरण क्रम कमी विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।बिजली कटौती सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को एक रैखिक के साथ बदलें:

पाप 2 x \u003d 1/2 (1 - क्योंकि 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)।

चरण 2 I और II विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos2x + cos2x = 5/4।

फेसला।

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4।

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

उत्तर: x = ±π/6 + n, n Z.

चतुर्थ। सजातीय समीकरण

समाधान योजना

स्टेप 1।इस समीकरण को रूप में लाओ

a) a sin x + b cos x = 0 (पहली डिग्री का समांगी समीकरण)

या देखने के लिए

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण 2समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें

ए) कॉस एक्स ≠ 0;

बी) cos 2 x 0;

और tg x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टीजी एक्स + बी = 0;

बी) ए टीजी 2 एक्स + बी आर्कटीजी एक्स + सी = 0।

चरण 3ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

फेसला।

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

पाप 2 x + 3पाप x cos x -4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) टीजी 2 एक्स + 3 टीजी एक्स - 4 = 0।

3) माना tg x = t, तब

टी 2 + 3टी - 4 = 0;

टी = 1 या टी = -4, तो

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4।

पहले समीकरण से x = /4 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -arctg 4 + k, k Z.

उत्तर: x = /4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।सभी प्रकार के त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक ऐसे समीकरण में लाएं जिसे I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।

चरण 2ज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

sinx + sin2x + sin3x = 0.

फेसला।

1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -1/2।

हमारे पास x = π/4 + πn/2, n Z; दूसरे समीकरण से x = ±(π - π/3) + 2πk, k Z।

नतीजतन, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

उत्तर: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता और कौशल बहुत हैं महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से काफी प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। इस तरह की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, जैसे कि त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करते समय प्राप्त किए गए कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण सामान्य रूप से गणित पढ़ाने और व्यक्तित्व विकास की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

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सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल।

किसी भी स्तर की जटिलता के त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान अंततः सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आता है। और इसमें त्रिकोणमितीय वृत्त फिर से सबसे अच्छा सहायक साबित होता है।

कोसाइन और साइन की परिभाषाओं को याद करें।

किसी कोण की कोज्या किसी दिए गए कोण द्वारा घूर्णन के संगत इकाई वृत्त पर एक बिंदु का भुज (अर्थात अक्ष के अनुदिश निर्देशांक) है।

किसी कोण की ज्या किसी दिए गए कोण द्वारा घूर्णन के संगत इकाई वृत्त पर किसी बिंदु की कोटि (अर्थात अक्ष के अनुदिश निर्देशांक) होती है।

त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ गति की सकारात्मक दिशा को वामावर्त गति माना जाता है। 0 डिग्री (या 0 रेडियन) का घूर्णन निर्देशांक (1; 0) वाले बिंदु से मेल खाता है

हम इन परिभाषाओं का उपयोग सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए करते हैं।

1. समीकरण हल करें

यह समीकरण रोटेशन के कोण के ऐसे सभी मूल्यों से संतुष्ट होता है, जो सर्कल के बिंदुओं के अनुरूप होते हैं, जिनकी कोटि बराबर होती है।

आइए y-अक्ष पर कोटि के साथ एक बिंदु चिह्नित करें:

x-अक्ष के समांतर एक क्षैतिज रेखा खींचिए जब तक कि वह वृत्त से प्रतिच्छेद न कर ले। हमें एक वृत्त पर स्थित और एक कोटि वाले दो बिंदु प्राप्त होंगे। ये बिंदु रेडियन के घूर्णन कोणों के अनुरूप हैं:

यदि हम, प्रति रेडियन घूर्णन कोण के संगत बिंदु को छोड़ कर, एक पूर्ण वृत्त के चारों ओर घूमते हैं, तो हम एक ऐसे बिंदु पर पहुंचेंगे जो प्रति रेडियन घूर्णन कोण के संगत और समान कोटि वाला होगा। अर्थात् यह घूर्णन कोण हमारे समीकरण को भी संतुष्ट करता है। हम जितने चाहें उतने "निष्क्रिय" मोड़ बना सकते हैं, उसी बिंदु पर लौट सकते हैं, और ये सभी कोण मान हमारे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। "निष्क्रिय" क्रांतियों की संख्या को अक्षर (या) द्वारा दर्शाया जाता है। चूंकि हम इन क्रांतियों को सकारात्मक और नकारात्मक दोनों दिशाओं में कर सकते हैं, (या) कोई भी पूर्णांक मान ले सकते हैं।

यही है, मूल समीकरण के समाधान की पहली श्रृंखला का रूप है:

, , - पूर्णांकों का समुच्चय (1)

इसी तरह, समाधान की दूसरी श्रृंखला का रूप है:

, कहाँ पे , । (2)

जैसा कि आपने अनुमान लगाया था, समाधानों की यह श्रृंखला वृत्त के उस बिंदु पर आधारित है जो घूर्णन कोण के अनुरूप है।

समाधानों की इन दो श्रृंखलाओं को एक प्रविष्टि में जोड़ा जा सकता है:

यदि हम इस प्रविष्टि (अर्थात सम) को लेते हैं, तो हमें समाधानों की पहली श्रृंखला प्राप्त होगी।

यदि हम इस प्रविष्टि (अर्थात विषम) को लेते हैं, तो हमें हलों की दूसरी श्रृंखला प्राप्त होगी।

2. अब समीकरण हल करते हैं

चूंकि कोण के माध्यम से मोड़कर प्राप्त इकाई सर्कल के बिंदु का भुज है, हम अक्ष पर एक बिंदु को भुज के साथ चिह्नित करते हैं:

अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा तब तक खींचे जब तक कि वह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर ले। हमें दो बिंदु मिलेंगे जो एक वृत्त पर पड़े हैं और एक भुज है। ये बिंदु रेडियन के घूर्णन कोणों के अनुरूप हैं। याद रखें कि दक्षिणावर्त घूमने पर, हमें घूर्णन का ऋणात्मक कोण प्राप्त होता है:

हम समाधानों की दो श्रृंखलाएँ लिखते हैं:

,

,

(हम मुख्य पूर्ण वृत्त से गुजरते हुए सही बिंदु पर पहुँचते हैं, अर्थात।

आइए इन दो श्रृंखलाओं को एक पोस्ट में संयोजित करें:

3. समीकरण हल करें

स्पर्शरेखा की रेखा ओए अक्ष के समानांतर इकाई सर्कल के निर्देशांक (1,0) के साथ बिंदु से गुजरती है

उस पर 1 के बराबर कोटि के साथ एक बिंदु चिह्नित करें (हम उस स्पर्शरेखा की तलाश कर रहे हैं जिसका कोण 1 है):

इस बिंदु को मूल बिंदु से एक सीधी रेखा से जोड़ें और इकाई वृत्त के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु और पर घूर्णन कोणों के संगत होते हैं:

चूँकि हमारे समीकरण को संतुष्ट करने वाले घूर्णन कोणों के संगत बिंदु रेडियन अलग-अलग होते हैं, इसलिए हम समाधान इस प्रकार लिख सकते हैं:

4. समीकरण हल करें

अक्ष के समांतर इकाई वृत्त के निर्देशांकों के साथ स्पर्शरेखा रेखा बिंदु से होकर गुजरती है।

हम कोटंगेंट की रेखा पर भुज -1 के साथ एक बिंदु को चिह्नित करते हैं:

इस बिंदु को सीधी रेखा के मूल से कनेक्ट करें और इसे तब तक जारी रखें जब तक कि यह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। यह रेखा वृत्त को रेडियन के घूर्णन कोणों के संगत बिंदुओं पर काटेगी:

चूँकि ये बिंदु एक दूसरे से के बराबर दूरी से अलग होते हैं, इसलिए हम इस समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिख सकते हैं:

दिए गए उदाहरणों में, सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को दर्शाते हुए, त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मानों का उपयोग किया गया था।

हालाँकि, यदि समीकरण के दाईं ओर एक गैर-तालिका मान है, तो हम समीकरण के सामान्य समाधान में मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

विशेष समाधान:

उस वृत्त पर अंक अंकित करें जिसका कोटि 0 है:

वृत्त पर एक बिंदु अंकित करें, जिसकी कोटि 1 के बराबर है:

वृत्त पर एक बिंदु अंकित करें, जिसकी कोटि -1 के बराबर है:

चूंकि यह शून्य के निकटतम मानों को इंगित करने के लिए प्रथागत है, इसलिए हम समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

वृत्त पर उन बिन्दुओं को चिन्हित करें जिनका भुज 0 है:

5.
आइए सर्कल पर एक बिंदु को चिह्नित करें, जिसका भुज 1 के बराबर है:

सर्कल पर एक बिंदु को चिह्नित करें, जिसका भुज -1 के बराबर है:

और कुछ और जटिल उदाहरण:

1.

ज्या एक है यदि तर्क है

हमारे साइन का तर्क है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं:

समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:

जवाब:

2.

कोज्या शून्य है यदि कोज्या तर्क है

हमारे कोसाइन का तर्क है, इसलिए हमें मिलता है:

हम व्यक्त करते हैं, इसके लिए हम पहले विपरीत चिन्ह के साथ दाईं ओर चलते हैं:

दाईं ओर को सरल बनाएं:

दोनों भागों को -2 से विभाजित करें:

ध्यान दें कि पद से पहले का चिन्ह नहीं बदलता है, क्योंकि k कोई भी पूर्णांक मान ले सकता है।

जवाब:

और अंत में, वीडियो ट्यूटोरियल देखें "एक त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके एक त्रिकोणमितीय समीकरण में जड़ों का चयन"

यह सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के बारे में बातचीत का समापन करता है। अगली बार हम बात करेंगे कि कैसे हल किया जाए।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की दो मुख्य विधियाँ।
4. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।
5. उदाहरण।

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या होते हैं?

दोस्तों, हम पहले ही आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट का अध्ययन कर चुके हैं। आइए अब सामान्य रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखें।

त्रिकोणमितीय समीकरण - वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत चर समाहित होता है।

हम सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के रूप को दोहराते हैं:

1) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण cos(x) = a का एक हल है:

एक्स = ± आर्ककोस (ए) + 2πk

2) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण sin(x) = a का एक हल है:

3) अगर |ए| > 1, तो समीकरण sin(x) = a और cos(x) = a का कोई हल नहीं है 4) समीकरण tg(x)=a का एक हल है: x=arctg(a)+ k

5) समीकरण ctg(x)=a का एक हल है: x=arcctg(a)+ πk

सभी सूत्रों के लिए, k एक पूर्णांक है

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का रूप है: Т(kx+m)=a, T- कोई भी त्रिकोणमितीय फलन।

उदाहरण।

समीकरण हल करें: a) sin(3x)= √3/2

फेसला:

ए) आइए 3x=t निरूपित करें, फिर हम अपने समीकरण को इस रूप में फिर से लिखेंगे:

इस समीकरण का हल होगा: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn।

मूल्यों की तालिका से हमें मिलता है: t=((-1)^n)×π/3+ πn।

आइए अपने चर पर वापस जाएं: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

फिर x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ n/3, जहां n एक पूर्णांक है। (-1)^n - n के घात से एक घटा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के अधिक उदाहरण।

समीकरणों को हल करें: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= 3

फेसला:

ए) इस बार हम सीधे समीकरण की जड़ों की गणना पर जाएंगे:

एक्स/5= ± आर्ककोस(1) + 2πk। तब x/5= k => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जहाँ k एक पूर्णांक है।

बी) हम फॉर्म में लिखते हैं: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। हम जानते हैं कि: arctg(√3)= /3

3x- π/3= /3+ k => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जहां k एक पूर्णांक है।

समीकरण हल करें: cos(4x)= 2/2. और खंड पर सभी जड़ों का पता लगाएं।

फेसला:

आइए हमारे समीकरण को सामान्य रूप में हल करें: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± /4 + 2πk;

एक्स = ± /16+ k/2;

अब देखते हैं कि हमारे सेगमेंट में क्या जड़ें जमाती हैं। k के लिए k=0, x= π/16 के लिए, हम दिए गए खंड में हैं।
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 के साथ, उन्होंने फिर से मारा।
k=2, x= π/16+ π=17π/16 के लिए, लेकिन यहां हमने हिट नहीं किया, जिसका अर्थ है कि हम बड़े k के लिए भी हिट नहीं करेंगे।

उत्तर: x= /16, x= 9π/16

दो मुख्य समाधान विधियां।

हमने सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों पर विचार किया है, लेकिन अधिक जटिल हैं। उन्हें हल करने के लिए, एक नए चर को पेश करने की विधि और गुणन विधि का उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देखें।

आइए समीकरण को हल करें:

फेसला:
अपने समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि का उपयोग करते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है: t=tg(x)।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: t 2 + 2t -1 = 0

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: t=-1 और t=1/3

फिर tg(x)=-1 और tg(x)=1/3, हमें सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिला, आइए इसके मूल ज्ञात करें।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + k.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + k.

समीकरण हल करने का एक उदाहरण

समीकरण हल करें: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

फेसला:

आइए पहचान का उपयोग करें: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

हमारा समीकरण बन जाता है: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल हैं: t=2 तथा t=-1/2

फिर cos(x)=2 और cos(x)=-1/2.

क्योंकि कोसाइन एक से अधिक मान नहीं ले सकता, तो cos(x)=2 का कोई मूल नहीं है।

cos(x)=-1/2 के लिए: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; एक्स = ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

परिभाषा: a sin(x)+b cos(x) के रूप का एक समीकरण पहली डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाता है।

फॉर्म के समीकरण

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

पहली डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे cos(x) से विभाजित करते हैं: शून्य के बराबर होने पर कोसाइन से विभाजित करना असंभव है, आइए सुनिश्चित करें कि ऐसा नहीं है:
चलो cos(x)=0, फिर asin(x)+0=0 => sin(x)=0, लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, हमें एक विरोधाभास मिला है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं शून्य से।

प्रश्न हल करें:
उदाहरण: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

फेसला:

सामान्य गुणनखंड निकालें: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

फिर हमें दो समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है:

cos(x)=0 और cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 के लिए x= π/2 + πk;

समीकरण पर विचार करें cos(x)+sin(x)=0 हमारे समीकरण को cos(x) से विभाजित करें:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

उत्तर: x= π/2 + πk और x= -π/4+πk

दूसरी डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?
दोस्तों इन नियमों का हमेशा पालन करें!

1. देखें कि गुणांक a किसके बराबर है, यदि a \u003d 0 तो हमारा समीकरण रूप लेगा cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), जिसके समाधान का एक उदाहरण पिछले पर है फिसल पट्टी

2. यदि a≠0, तो आपको समीकरण के दोनों भागों को वर्ग कोज्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, हम प्राप्त करते हैं:

हम चर t=tg(x) का परिवर्तन करते हैं, हमें समीकरण मिलता है:

उदाहरण हल करें #:3

प्रश्न हल करें:
फेसला:

समीकरण के दोनों पक्षों को कोज्या वर्ग से विभाजित करें:

हम चर t=tg(x) में परिवर्तन करते हैं: t 2 + 2 t - 3 = 0

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: t=-3 तथा t=1

तब: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + k=-arctg(3) + πk

टीजी(एक्स)=1 => एक्स= π/4+ k

उत्तर: x=-arctg(3) + k और x= π/4+ k

उदाहरण हल करें #:4

प्रश्न हल करें:

फेसला:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम ऐसे समीकरणों को हल कर सकते हैं: x= - /4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उत्तर: x= - /4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उदाहरण हल करें #:5

प्रश्न हल करें:

फेसला:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल होगा: t=-2 और t=1/2

तब हम प्राप्त करते हैं: tg(2x)=-2 और tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ k => x=-arctg(2)/2 + k/2

2x= आर्कटग(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

उत्तर: x=-arctg(2)/2 + πk/2 और x=arctg(1/2)/2+ k/2

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

1) समीकरण हल करें

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) समीकरण हल करें: sin(3x)= 3/2. और खंड [π/2; ].

3) समीकरण हल करें: सीटीजी 2 (एक्स) + 2 सीटीजी (एक्स) + 1 = 0

4) समीकरण को हल करें: 3 sin 2 (x) + 3sin (x) cos(x) = 0

5) समीकरण को हल करें: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) समीकरण को हल करें: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की अवधारणा।

• त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे एक या अधिक मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों में परिवर्तित करें। त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करना अंततः चार मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आता है।

मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल।

• मूल त्रिकोणमितीय समीकरण 4 प्रकार के होते हैं:
• पाप एक्स = ए; कॉस एक्स = ए
• तन एक्स = ए; सीटीजी एक्स = ए
• मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में यूनिट सर्कल पर अलग-अलग एक्स स्थितियों को देखने के साथ-साथ रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करना शामिल है।
• उदाहरण 1. पाप x = 0.866। रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करके, आपको उत्तर मिलता है: x = /3। यूनिट सर्कल एक और जवाब देता है: 2π/3। याद रखें: सभी त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक होते हैं, अर्थात उनके मान दोहराए जाते हैं। उदाहरण के लिए, sin x और cos x की आवर्तता 2πn है, और tg x और ctg x की आवर्तता πn है। तो उत्तर इस प्रकार लिखा गया है:
• x1 = /3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn।
• उदाहरण 2 cos x = -1/2. रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करके, आपको उत्तर मिलता है: x = 2π/3। यूनिट सर्कल एक और जवाब देता है: -2π/3।
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π।
• उदाहरण 3. टीजी (एक्स - /4) = 0।
• उत्तर: x \u003d / 4 + n।
• उदाहरण 4. सीटीजी 2x = 1.732।
• उत्तर: x \u003d / 12 + n।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में प्रयुक्त रूपांतरण।

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को बदलने के लिए, बीजीय परिवर्तन (फैक्टरिंग, सजातीय शब्दों की कमी, आदि) और त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग किया जाता है।
• उदाहरण 5. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, समीकरण sin x + sin 2x + sin 3x = 0 को समीकरण 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 में बदल दिया जाता है। इस प्रकार, निम्नलिखित मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हल करने की आवश्यकता है: cos x = 0; पाप (3x/2) = 0; कॉस(x/2) = 0.

• कार्यों के ज्ञात मूल्यों से कोण ढूँढना।

  • त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आपको यह सीखना होगा कि कार्यों के ज्ञात मूल्यों से कोण कैसे खोजें। यह एक रूपांतरण तालिका या कैलकुलेटर का उपयोग करके किया जा सकता है।
  • उदाहरण: कॉस x = 0.732। कैलकुलेटर उत्तर x = 42.95 डिग्री देगा। यूनिट सर्कल अतिरिक्त कोण देगा, जिसकी कोज्या भी 0.732 के बराबर है।

• यूनिट सर्कल पर घोल को अलग रख दें।

  • आप त्रिकोणमितीय समीकरण के हल को इकाई वृत्त पर रख सकते हैं। इकाई वृत्त पर त्रिकोणमितीय समीकरण के हल एक नियमित बहुभुज के शीर्ष होते हैं।
  • उदाहरण: इकाई वृत्त पर हल x = π/3 + πn/2 वर्ग के शीर्ष हैं।
  • उदाहरण: इकाई वृत्त पर हल x = π/4 + πn/3 एक सम षट्भुज के शीर्ष हैं।

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके।

  • यदि दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण में केवल एक त्रिकोणमितीय फलन है, तो इस समीकरण को मूल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करें। यदि इस समीकरण में दो या दो से अधिक त्रिकोणमितीय फलन शामिल हैं, तो ऐसे समीकरण को हल करने की 2 विधियाँ हैं (इसके परिवर्तन की संभावना के आधार पर)।
    • विधि 1
  • इस समीकरण को एक समीकरण में रूपांतरित करें: f(x)*g(x)*h(x) = 0, जहां f(x), g(x), h(x) मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं।
  • उदाहरण 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • फेसला। द्विकोण सूत्र का उपयोग करके sin 2x = 2*sin x*cos x, sin 2x को प्रतिस्थापित करें।
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. अब दो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos x = 0 और (sin x + 1) = 0.
  • उदाहरण 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • हल: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक समीकरण में रूपांतरित करें: cos 2x(2cos x + 1) = 0. अब दो मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0 और (2cos x + 1) = 0.
  • उदाहरण 8. पाप x - पाप 3x \u003d cos 2x। (0< x < 2π)
  • हल: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को इस रूप के समीकरण में रूपांतरित करें: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. अब दो मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0 और (2sin x + 1) = 0.
    • विधि 2
  • दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को केवल एक त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरण में बदलें। फिर इस त्रिकोणमितीय फलन को किसी अज्ञात से बदलें, उदाहरण के लिए, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, आदि)।
  • उदाहरण 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 .)< x < 2π).
  • फेसला। इस समीकरण में, (cos^2 x) को (1 - sin^2 x) से बदलें (पहचान के अनुसार)। रूपांतरित समीकरण इस तरह दिखता है:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x को t से बदलें। अब समीकरण इस तरह दिखता है: 5t^2 - 4t - 9 = 0. यह दो जड़ों वाला एक द्विघात समीकरण है: t1 = -1 और t2 = 9/5। दूसरा मूल t2 फ़ंक्शन की सीमा को संतुष्ट नहीं करता है (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • उदाहरण 10. टीजी एक्स + 2 टीजी^2 एक्स = सीटीजी एक्स + 2
  • फेसला। tg x को t से बदलें। मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. अब t ज्ञात करें और फिर t = tg x के लिए x ज्ञात करें।