स्थानीय डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय। 0 और 1, तो उस की प्रायिकता P t p, कि घटना A पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या n के लिए n स्वतंत्र परीक्षणों में m बार घटित होगी, लगभग बराबर है

- गाऊसी समारोहऔर

अनुमानित सूत्र (2.7) जितना बड़ा और उतना ही सटीक होगा, जिसे . कहा जाता है स्थानीय Moivre-Laplace सूत्र द्वारा।अनुमानित संभावनाएं आर टीपीयूस्थानीय सूत्र (2.7) द्वारा दिए गए व्यवहार में सटीक के रूप में उपयोग किए जाते हैं प्रूदो या दो से अधिक दहाई के क्रम में, अर्थात्। मान लीजिये प्रू > 20.

सूत्र (2.7) के उपयोग से जुड़ी गणनाओं को सरल बनाने के लिए, फ़ंक्शन /(x) के मूल्यों की एक तालिका संकलित की गई है (तालिका I, परिशिष्ट में दी गई है)। इस तालिका का उपयोग करते समय, फ़ंक्शन f(x) (2.8) के स्पष्ट गुणों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

• 1. समारोह/(एक्स) सम है, अर्थात। /(-x) = /(x)।
• 2. समारोह/(एक्स) - सकारात्मक मूल्यों के लिए नीरस रूप से घट रहा हैएक्स, और कम सेएक्स -> सह / (एक्स) -» 0।
• (व्यवहार में, हम मान सकते हैं कि x > 4 /(x) « 0. के लिए भी।)

[> उदाहरण 2.5. किसी क्षेत्र में, प्रत्येक 100 परिवारों में से 80 के पास रेफ्रिजरेटर हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 400 परिवारों में से 300 के पास रेफ्रिजरेटर हैं।

फेसला।एक परिवार के पास रेफ्रिजरेटर होने की प्रायिकता है पी = 80/100 = 0.8। जैसा पी= 100 काफी बड़ा है (हालत प्रू= = 100 0.8(1-0.8) = 64 > 20 संतुष्ट), फिर हम स्थानीय Moivre-Laplace सूत्र लागू करते हैं।

सबसे पहले, हम सूत्र द्वारा परिभाषित करते हैं (2.9)

फिर सूत्र द्वारा (2.7)

(मूल्य /(2.50) परिशिष्ट की तालिका I से पाया गया था)। संभाव्यता का छोटा मूल्य /300,400 संदेह में नहीं होना चाहिए, क्योंकि घटना के अलावा

"400 में से 300 परिवारों के पास रेफ्रिजरेटर हैं" 400 और कार्यक्रम संभव हैं: "400 में से 0", "400 में से 1",..., "400 में से 400" अपनी संभावनाओं के साथ। साथ में, ये घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है। ?

मान लीजिए, उदाहरण 2.5 की शर्तों में, 300 से 360 परिवारों (समावेशी) में रेफ्रिजरेटर होने की प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है। इस मामले में, अतिरिक्त प्रमेय के अनुसार, वांछित घटना की संभावना

सिद्धांत रूप में, प्रत्येक पद की गणना स्थानीय Moivre-Laplace सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, लेकिन बड़ी संख्या में शब्द गणना को बहुत बोझिल बना देते हैं। ऐसे मामलों में, निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

Moivre का अभिन्न प्रमेय - लाप्लास। यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर और भिन्न है 0 और 1, तो की प्रायिकता, कि n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की संख्या m, a और b . के बीच स्थित है (सहित), पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या के लिए n लगभग बराबर है

- समारोह(या संभावनाओं का अभिन्न अंग) लैपलेस",

(प्रमेय का प्रमाण भाग 6.5 में दिया गया है।)

सूत्र (2.10) कहलाता है मोइवरे-लाप्लास अभिन्न सूत्र।अधिक पी,अधिक सटीक सूत्र। जब हालत प्रू >> 20 अभिन्न सूत्र (2.10), साथ ही स्थानीय एक, एक नियम के रूप में, अभ्यास के लिए संतोषजनक संभावनाओं की गणना में एक त्रुटि देता है।

फलन (dg) सारणीबद्ध है (परिशिष्टों की तालिका II देखें)। इस तालिका का उपयोग करने के लिए, आपको फ़ंक्शन (х) के गुणों को जानना होगा।

1. समारोहएफ (एक्स) अजीब,वे। एफ (-एक्स) = -एफ (एक्स)।

? क्या हम चर बदल देंगे? = -जी।फिर (के =

= -(12. चर 2 के लिए समाकलन की सीमा 0 और . होगी एक्स।पाना

चूँकि निश्चित समाकल का मान समाकलन चर के पदनाम पर निर्भर नहीं करता है। ?

2. फलन (х) नीरस रूप से बढ़ रहा है, और एक्स के लिए ->+सह एफ(.जी) -> 1 (व्यवहार में, हम मान सकते हैं कि पहले से ही एक्स > 4 (x)~ 1) ।

चूँकि परिवर्ती ऊपरी सीमा के संबंध में समाकलन का अवकलज ऊपरी सीमा के मान पर समाकलन के बराबर होता है, r.s.

, और हमेशा धनात्मक होता है, तो (х) नीरस रूप से बढ़ता है

पूरी संख्या रेखा के साथ।

हम चर का परिवर्तन करते हैं, तो एकीकरण की सीमा नहीं बदलती है और

(एक सम फलन के समाकल के बाद से

मान लीजिये (यूलर इंटीग्रल - पॉइसन),हम पाते हैं

?

ओ उदाहरण 2.6। उदाहरण 2.5 के डेटा का उपयोग करते हुए, इस संभावना की गणना करें कि 400 में से 300 से 360 (समावेशी) परिवारों में रेफ्रिजरेटर हैं।

फेसला।हम Moivre - Laplace का समाकलन प्रमेय लागू करते हैं (पीआर= 64> 20)। सबसे पहले, हम सूत्रों द्वारा परिभाषित करते हैं (2.12)

अब, सूत्र (2.10) के अनुसार, (.т) के गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

(परिशिष्ट की तालिका II के अनुसार?

Moivre - Laplace के अभिन्न प्रमेय के परिणाम पर विचार करें। परिणाम। यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर और भिन्न है 0 और I, तो स्वतंत्र परीक्षणों की पर्याप्त बड़ी संख्या n के लिए, संभावना है कि:

ए) घटना ए की घटनाओं की संख्या एम उत्पाद पीआर से अलग नहीं हैई > 0 (निरपेक्ष मूल्य में),वे।

बी) टी / एन घटना ए की आवृत्ति के भीतर निहित हैए से आर तक ( समेत- सम्मान से, अर्थात।

में) घटना A की बारंबारता इसकी प्रायिकता p से अधिक नहीं होती हैए > 0 (निरपेक्ष मूल्य में), अर्थात।

ए) असमानता |/?7-7?/?| दोहरी असमानता के बराबर है pr-e इसलिए, अभिन्न सूत्र द्वारा (2.10)

• बी) असमानता और असमानता के बराबर है और कम से ए = पाऔर बी= /?आर। सूत्रों में (2.10), (2.12) मात्राओं को बदलना एऔर बीप्राप्त व्यंजक, हम सिद्ध करने योग्य सूत्र (2.14) और (2.15) प्राप्त करते हैं।
• ग) असमानता एमजेएन-पी असमानता के बराबर है टी-पीआर सूत्र में बदलना (2.13) आर = एपी,हम सिद्ध करने के लिए सूत्र (2.16) प्राप्त करते हैं। ?

[> उदाहरण 2.7. उदाहरण 2.5 में दिए गए आँकड़ों का उपयोग करते हुए, इस प्रायिकता की गणना कीजिए कि 400 में से 280 से 360 परिवारों के पास रेफ्रिजरेटर हैं।

फेसला।संभावना की गणना करें 400 (280 टी पीआर \u003d 320. फिर सूत्र (2.13) के अनुसार

[> उदाहरण 2.8. आंकड़ों के मुताबिक औसतन 87 फीसदी नवजात शिशु 50 साल की उम्र तक जीते हैं।

• 1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 1000 नवजात शिशुओं में से 50 वर्ष की आयु तक जीवित रहने वालों का अनुपात (आवृत्ति) होगा: क) 0.9 से 0.95 के बीच होगा; बी) इस घटना की संभावना से 0.04 (लेकिन निरपेक्ष मूल्य में) से अधिक नहीं होगा।
• 2. 0.95 की विश्वसनीयता वाले कितने नवजात शिशुओं में 50 वर्ष की आयु तक जीवित रहने वालों का अनुपात 0.86 से 0.88 की सीमा के भीतर होगा?

फेसला। 1ए) प्रायिकता आरकि एक नवजात 50 वर्ष तक जीवित रहेगा 0.87 है। जैसा पी= 1000 बड़ा (हालत पीआरडी=1000 0.87 0.13 = 113.1 > 20 संतुष्ट), तो हम Moivre - Laplace के समाकलन प्रमेय के उपफल का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हम सूत्रों द्वारा परिभाषित करते हैं (2.15)

अब सूत्र के अनुसार (2.14)

1, बी) सूत्र द्वारा (2.16)

क्योंकि असमानता असमानता के बराबर है

प्राप्त परिणाम का अर्थ है कि यह व्यावहारिक रूप से निश्चित है कि 1000 में से नवजात शिशुओं की संख्या 0.83 से 0.91 तक 50 वर्ष तक जीवित रहेगी। ?

2. शर्त के अनुसार या

सूत्र के अनुसार (2.16) ए = 0.01 . पर

तालिका के अनुसार II अनुप्रयोग F(G) = 0.95 G = 1.96 पर, इसलिए,

कहाँ पे

वे। स्थिति (*) की गारंटी नवजात शिशुओं की संख्या में उल्लेखनीय वृद्धि के साथ दी जा सकती है पी = 4345. ?

• प्रमेय का प्रमाण खंड 6.5 में दिया गया है। मात्राओं का संभाव्य अर्थ पीआर, पीआरएस(पैराग्राफ 4.1 में स्थापित किया गया है (पृष्ठ 130 पर नोट देखें)।
• मान pf/n का संभाव्य अर्थ अनुच्छेद 4.1 में स्थापित किया गया है।

तरल की उत्तल सतह के नीचे का दबाव सीधे तरल की सपाट सतह के दबाव से अधिक होता है, और तरल की अवतल सतह के नीचे का दबाव समतल सतह के दबाव से कम होता है।

एक तरल की गोलाकार सतह के नीचे दबाव की गणना

यह पानी की एक पतली परत होती है, जिसकी दो बाउंडिंग सतहें होती हैं: आंतरिक और बाहरी। इन सतहों की वक्रता त्रिज्या को समान माना जा सकता है, क्योंकि फिल्म की मोटाई बुलबुले की त्रिज्या से हजारों गुना छोटी होती है। इस परत से पानी धीरे-धीरे निकल जाता है, परत पतली हो जाती है और अंत में टूट जाती है। तो बुलबुले बहुत लंबे समय तक पानी पर तैरते नहीं हैं: एक सेकंड के अंश से दस सेकंड तक। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जैसे-जैसे पानी की फिल्म पतली होती जाती है, बुलबुले का आकार व्यावहारिक रूप से नहीं बदलता है।

आइए हम ऐसे बुलबुले में अतिरिक्त दबाव की गणना करें। सादगी के लिए, एक क्षैतिज सतह पर स्थित त्रिज्या r के एकल-परत गोलार्ध पर विचार करें, हम यह भी मानेंगे कि बाहर कोई हवा नहीं है। गीला होने के कारण फिल्म छायांकित सतह पर टिकी रहती है (चित्र 2.3)। इस मामले में, सतह के साथ संपर्क की सीमा के साथ, एक सतह तनाव बल के बराबर होता है

द्रव के पृष्ठ तनाव का गुणांक कहाँ है,

फिल्म-सतह इंटरफेस की लंबाई के बराबर है।

यानी हमारे पास है:

.

फिल्म पर और इसके माध्यम से हवा पर अभिनय करने वाला यह बल सतह के लंबवत निर्देशित होता है (चित्र 2.3 देखें)। तो सतह पर हवा के दबाव और इसलिए बुलबुले के अंदर की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

जहाँ F पृष्ठ तनाव बल के बराबर है,

एस - सतह क्षेत्र:।

दबाव की गणना के सूत्र में बल F और क्षेत्र S के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

और अंत में।

हमारे उदाहरण में पानी की सतह पर एक हवाई बुलबुले के साथ, फिल्म डबल है और इसलिए, अतिरिक्त दबाव है।

चित्र 2.4 एकल-परत गोलाकार सतहों के उदाहरण दिखाता है जो एक तरल की सतह पर बन सकते हैं। द्रव के ऊपर एक गैस होती है जिस पर दाब होता है।

केशिका (लैटिन केशिका - बाल से), केशिका प्रभाव - एक भौतिक घटना जिसमें तरल पदार्थ की क्षमता में ट्यूबों में स्तर को बदलने की क्षमता होती है, मनमाने आकार के संकीर्ण चैनल, झरझरा शरीर। तरल का उदय तब होता है जब चैनलों को तरल पदार्थों से गीला कर दिया जाता है, उदाहरण के लिए, कांच की नलियों में पानी, रेत, मिट्टी, आदि। तरल में कमी उन ट्यूबों और चैनलों में होती है जो तरल द्वारा गीले नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए, पारा एक में ग्लास ट्यूब।

केशिका के आधार पर, जानवरों और पौधों की महत्वपूर्ण गतिविधि, रासायनिक तकनीकें, और रोजमर्रा की घटनाएं आधारित होती हैं (उदाहरण के लिए, मिट्टी के तेल में मिट्टी के तेल को बत्ती के साथ उठाना, एक तौलिया से हाथ पोंछना)। मृदा केशिकाता उस दर से निर्धारित होती है जिस पर मिट्टी में पानी उगता है और मिट्टी के कणों के बीच अंतराल के आकार पर निर्भर करता है।

लाप्लास सूत्र

एक पतली तरल फिल्म पर विचार करें जिसकी मोटाई की उपेक्षा की जा सकती है। अपनी मुक्त ऊर्जा को कम करने के प्रयास में, फिल्म विभिन्न पक्षों से दबाव का अंतर पैदा करती है। यह साबुन के बुलबुले के अस्तित्व की व्याख्या करता है: फिल्म को तब तक संकुचित किया जाता है जब तक कि बुलबुले के अंदर का दबाव फिल्म के अतिरिक्त दबाव के मूल्य से वायुमंडलीय दबाव से अधिक न हो जाए। सतह पर एक बिंदु पर अतिरिक्त दबाव उस बिंदु पर औसत वक्रता पर निर्भर करता है और लाप्लास सूत्र द्वारा दिया जाता है:

यहाँ R 1,2 एक बिंदु पर मुख्य वक्रता की त्रिज्याएँ हैं। उनके पास एक ही चिन्ह होता है यदि वक्रता के संबंधित केंद्र बिंदु पर स्पर्शरेखा तल के एक ही तरफ स्थित होते हैं, और यदि वे विपरीत दिशा में स्थित होते हैं तो उनका एक अलग चिन्ह होता है। उदाहरण के लिए, एक गोले के लिए, सतह के किसी भी बिंदु पर वक्रता केंद्र गोले के केंद्र के साथ मेल खाते हैं, इसलिए

त्रिज्या R वाले एक वृत्ताकार बेलन के पृष्ठ के मामले के लिए, हमारे पास है

यह ज्ञात है कि बर्तन की दीवारों के पास तरल की सतह घुमावदार होती है। बर्तन की दीवारों के पास घुमावदार तरल की मुक्त सतह को मेनिस्कस कहा जाता है।(चित्र। 145)।

एक पतली तरल फिल्म पर विचार करें जिसकी मोटाई की उपेक्षा की जा सकती है। अपनी मुक्त ऊर्जा को कम करने के प्रयास में, फिल्म विभिन्न पक्षों से दबाव का अंतर पैदा करती है। तरल बूंदों और साबुन के बुलबुले के अंदर सतह तनाव बलों की कार्रवाई के कारण, अतिरिक्त दबाव(फिल्म को तब तक संकुचित किया जाता है जब तक कि बुलबुले के अंदर का दबाव फिल्म के अतिरिक्त दबाव के मान से वायुमंडलीय दबाव से अधिक न हो जाए)।

चावल। 146.

किसी समतल समोच्च पर टिके हुए द्रव के पृष्ठ पर विचार कीजिए (चित्र 146, ए) यदि तरल की सतह समतल नहीं है, तो इसके सिकुड़ने की प्रवृत्ति से दबाव का आभास होगा, जो एक सपाट सतह वाले तरल द्वारा अनुभव किए जाने के अतिरिक्त होगा। उत्तल सतह के मामले में, यह अतिरिक्त दबाव धनात्मक होता है (चित्र 146, बी), अवतल सतह के मामले में - ऋणात्मक रूप से (चित्र 146, में) बाद के मामले में, सतह की परत, सिकुड़ने की कोशिश करते हुए, तरल को खींचती है।

अतिरिक्त दबाव का परिमाण, जाहिर है, सतह तनाव और सतह वक्रता के गुणांक में वृद्धि के साथ बढ़ना चाहिए।

चावल। 147.

आइए हम तरल की गोलाकार सतह के लिए अतिरिक्त दबाव की गणना करें। ऐसा करने के लिए, आइए मानसिक रूप से एक व्यास तल के साथ तरल की एक गोलाकार बूंद को दो गोलार्द्धों में काटें (चित्र 147)। पृष्ठ तनाव के कारण, दोनों गोलार्द्ध एक-दूसरे की ओर आकर्षित होते हैं, जिसके बराबर बल होता है:

.

यह बल दोनों गोलार्द्धों को सतह पर एक दूसरे से दबाता है और इसलिए अतिरिक्त दबाव का कारण बनता है:

एक गोलाकार सतह की वक्रता हर जगह समान होती है और यह गोले की त्रिज्या से निर्धारित होती है। जाहिर है, गोलाकार सतह की वक्रता जितनी छोटी होगी, उतनी ही अधिक होगी।

साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव दोगुना है, क्योंकि फिल्म में दो सतह हैं:

अतिरिक्त दबाव संकीर्ण ट्यूबों (केशिकाओं) में तरल स्तर में परिवर्तन का कारण बनता है, जिसके परिणामस्वरूप इसे कभी-कभी कहा जाता है केशिका दबाव.

एक मनमानी सतह की वक्रता आमतौर पर तथाकथित औसत वक्रता की विशेषता होती है, जो सतह पर विभिन्न बिंदुओं के लिए भिन्न हो सकती है।

मान गोले की वक्रता देता है। ज्यामिति में, यह साबित होता है कि पारस्परिक रूप से लंबवत सामान्य वर्गों के किसी भी जोड़े के लिए वक्रता के पारस्परिक त्रिज्या का आधा योग समान मूल्य है:

. (1)

यह मान किसी दिए गए बिंदु पर सतह की औसत वक्रता है। इस सूत्र में, त्रिज्याएँ बीजीय राशियाँ हैं। यदि किसी सामान्य खंड का वक्रता केंद्र किसी दी गई सतह से नीचे है, तो वक्रता की संगत त्रिज्या धनात्मक होती है; यदि वक्रता केंद्र सतह के ऊपर स्थित है, तो वक्रता की त्रिज्या ऋणात्मक होती है (चित्र 148)।

चावल। 148.

इस प्रकार, एक गैर-तलीय सतह की औसत वक्रता शून्य के बराबर हो सकती है। ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि वक्रता की त्रिज्या परिमाण में समान और संकेत में विपरीत हो।

उदाहरण के लिए, एक गोले के लिए, सतह पर किसी भी बिंदु पर वक्रता केंद्र गोले के केंद्र के साथ मेल खाते हैं, और इसलिए . त्रिज्या के एक गोलाकार सिलेंडर की सतह के मामले के लिए, हमारे पास है: , तथा ।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी भी आकार की सतह के लिए संबंध सत्य है:

व्यंजक (1) को सूत्र (2) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक मनमाना सतह के नीचे अतिरिक्त दबाव के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं, जिसे कहा जाता है लाप्लास सूत्र(चित्र 148):

. (3)

त्रिज्या और सूत्र (3) बीजगणितीय मात्राएँ हैं। यदि किसी सामान्य खंड का वक्रता केंद्र किसी दी गई सतह से नीचे है, तो वक्रता की संगत त्रिज्या धनात्मक होती है; यदि वक्रता केंद्र सतह से ऊपर है, तो वक्रता त्रिज्या ऋणात्मक है।

उदाहरण।यदि तरल में गैस का बुलबुला है, तो बुलबुले की सतह, सिकुड़ने की कोशिश कर रही है, गैस पर अतिरिक्त दबाव डालेगी . आइए हम पानी में एक बुलबुले की त्रिज्या ज्ञात करें जिस पर अतिरिक्त दबाव है 1 एटीएम. पानी के सतह तनाव का गुणांक बराबर . इसलिए, निम्न के लिए मान प्राप्त होता है: .

पर्याप्त रूप से बड़े के लिए, बर्नौली सूत्र बोझिल गणना देता है। इसलिए, ऐसे मामलों में, स्थानीय लाप्लास प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय(स्थानीय लाप्लास प्रमेय)। यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और 0 और 1 से भिन्न है, तो प्रायिकता
तथ्य यह है कि घटना ए n स्वतंत्र परीक्षणों में ठीक k बार दिखाई देगी, फ़ंक्शन के मूल्य के लगभग बराबर है:

,

.

ऐसी तालिकाएँ हैं जिनमें फ़ंक्शन के मान होते हैं
, x के धनात्मक मानों के लिए।

ध्यान दें कि फ़ंक्शन
यहाँ तक की।

इसलिए, n परीक्षणों में घटना A के ठीक k बार प्रकट होने की प्रायिकता लगभग बराबर है

, कहाँ पे
.

उदाहरण।प्रायोगिक क्षेत्र में 1500 बीज बोए गए। यदि एक बीज के अंकुरित होने की प्रायिकता 0.9 है, तो रोपाई से 1200 बीज उत्पन्न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला।

लाप्लास इंटीग्रल प्रमेय

प्रायिकता कि n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A कम से कम k1 बार घटित होगी और अधिक से अधिक k2 बार लाप्लास के समाकलन प्रमेय द्वारा परिकलित की जाती है।

प्रमेय(लाप्लास इंटीग्रल प्रमेय)। यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना a के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और 0 और 1 से भिन्न है, तो n परीक्षणों में घटना A के कम से कम k 1 बार और अधिकतम k 2 बार प्रकट होने की प्रायिकता लगभग मान के बराबर है एक निश्चित अभिन्न:

.

समारोह
लाप्लास समाकलन फलन कहलाता है, यह विषम है और इसका मान x के धनात्मक मानों के लिए तालिका में पाया जाता है।

उदाहरण।प्रयोगशाला में, 90% की अंकुरण दर वाले बीजों के एक बैच से, 600 बीज बोए गए, जो अंकुरित हुए, 520 से कम नहीं और 570 से अधिक नहीं।

फेसला।

पॉइज़न सूत्र

मान लीजिए n स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता स्थिर और p के बराबर होती है। जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, बर्नौली सूत्र का उपयोग करके n स्वतंत्र परीक्षणों में बिल्कुल k बार घटना A के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात की जा सकती है। पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, स्थानीय लाप्लास प्रमेय का उपयोग किया जाता है। हालांकि, यह सूत्र अनुपयुक्त है जब प्रत्येक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संभावना कम या 1 के करीब होती है। और जब p=0 या p=1, यह बिल्कुल भी लागू नहीं होता है। ऐसे मामलों में, पॉइसन प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय(पॉइसन का प्रमेय)। यदि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है और 0 या 1 के करीब है, और परीक्षणों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो n स्वतंत्र परीक्षण घटना A के ठीक k बार घटित होने की प्रायिकता निम्न द्वारा ज्ञात की जाती है सूत्र:

.

उदाहरण। 1,000 पन्नों की टंकण पांडुलिपि में 1,000 टाइपोग्राफ़िकल त्रुटियां हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गए पृष्ठ में कम से कम एक गलत छाप होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला।

प्रशनके लिए आत्म परीक्षण

किसी घटना की प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा तैयार करें।

प्रायिकताओं के योग और गुणन के प्रमेयों का निरूपण कीजिए।

घटनाओं के एक पूरे समूह को परिभाषित करें।

कुल प्रायिकता का सूत्र लिखिए।

बेयस सूत्र लिखिए।

बर्नौली सूत्र लिखिए।

पॉइसन का सूत्र लिखिए।

स्थानीय लाप्लास सूत्र लिखिए।

लैपलेस का समाकल सूत्र लिखिए।

विषय 13. यादृच्छिक चर और इसकी संख्यात्मक विशेषताएं

साहित्य: ,,,,,।

संभाव्यता सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाओं में से एक यादृच्छिक चर की अवधारणा है। तो यह एक वेरिएबल को कॉल करने के लिए प्रथागत है जो मामले के आधार पर अपने मूल्यों को लेता है। यादृच्छिक चर दो प्रकार के होते हैं: असतत और निरंतर। यादृच्छिक चर को आमतौर पर एक्स, वाई, जेड दर्शाया जाता है।

एक यादृच्छिक चर X को निरंतर (असतत) कहा जाता है यदि यह केवल एक परिमित या गणनीय संख्या में मान ले सकता है। एक असतत यादृच्छिक चर X परिभाषित किया जाता है यदि इसके सभी संभावित मान x 1, x 2, x 3,…x n दिए गए हैं (जिनकी संख्या या तो परिमित या अनंत हो सकती है) और संबंधित संभावनाएं p 1, p 2 , p 3,… पी एन।

असतत यादृच्छिक चर X का वितरण नियम आमतौर पर तालिका द्वारा दिया जाता है:

पहली पंक्ति में यादृच्छिक चर X के संभावित मान होते हैं, और दूसरी पंक्ति में इन मानों की संभावनाएँ होती हैं। प्रायिकताओं का योग जिसके साथ यादृच्छिक चर X अपने सभी मानों को ग्रहण करता है, एक के बराबर होता है, अर्थात्

पी 1 + पी 2 + पी 3 + ... + पी एन \u003d 1।

असतत यादृच्छिक चर X के वितरण नियम को आलेखीय रूप से दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, बिंदु M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) एक आयताकार में बनाए गए हैं। समन्वय प्रणाली और उन्हें सीधे खंडों से जोड़ते हैं। परिणामी आकृति को यादृच्छिक चर X का वितरण बहुभुज कहा जाता है।

उदाहरण।असतत मान X निम्नलिखित वितरण कानून द्वारा दिया गया है:

यह गणना करने के लिए आवश्यक है: ए) गणितीय अपेक्षा एम (एक्स), बी) भिन्नता डी (एक्स), सी) मानक विचलन ।

फेसला . ए) एम (एक्स) की गणितीय अपेक्षा, एक असतत यादृच्छिक चर एक्स यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन संभावित मूल्यों की संबंधित संभावनाओं के जोड़ीदार उत्पादों का योग है। यदि तालिका (1) का उपयोग करके एक असतत यादृच्छिक चर X दिया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा M(X) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

(Х)=х 1 р 1 +х 2 р 2 +х 3 р 3 +…+х n p n . (2)

गणितीय अपेक्षा M(X) को यादृच्छिक चर X का औसत मान भी कहा जाता है। (2) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(Х)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54।

बी) यदि एम (एक्स) एक यादृच्छिक चर एक्स की अपेक्षा है, तो अंतर एक्स-एम (एक्स) कहा जाता है विचलनऔसत मूल्य से यादृच्छिक चर X। यह अंतर एक यादृच्छिक चर के बिखरने की विशेषता है।

फैलावएक असतत यादृच्छिक चर X का (बिखरना) एक यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा (माध्य मान) की गणितीय अपेक्षा से गणितीय अपेक्षा (माध्य मान) है। इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

डी (एक्स) = एम 2। (3)

हम विचलन के वर्ग के सभी संभावित मूल्यों की गणना करते हैं।

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

प्रसरण D(X) की गणना करने के लिए, हम वर्ग विचलन का वितरण नियम बनाते हैं और फिर सूत्र (2) लागू करते हैं।

डी (एक्स) = 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विचरण की गणना के लिए अक्सर निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग किया जाता है: विचरण डी (एक्स) यादृच्छिक चर एक्स के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और इसकी गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है, अर्थात

डी (एक्स) -एम (एक्स 2) - 2। (4)

सूत्र (4) का उपयोग करके विचरण की गणना करने के लिए, हम यादृच्छिक चर X 2 के वितरण नियम की रचना करते हैं:

आइए अब गणितीय अपेक्षा M(X 2) ज्ञात करें।

(Х 2)= (48) 2 0.2+(53) 2 0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

(4) लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

डी(एक्स)=2931.2-(54) 2=2931.2-2916=15.2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें वही परिणाम मिला।

ग) विचरण का आयाम यादृच्छिक चर के आयाम के वर्ग के बराबर है। इसलिए, एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के अपने औसत मूल्य के आसपास फैलाव को चिह्नित करने के लिए, उस मान पर विचार करना अधिक सुविधाजनक है जो विचरण के वर्गमूल के अंकगणितीय मान के बराबर है, अर्थात
. इस मान को यादृच्छिक चर X का मानक विचलन कहा जाता है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार

σ=
. (5)

लागू करना (5), हमारे पास है: σ=
.

उदाहरण।यादृच्छिक चर X को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। गणितीय अपेक्षा М(Х)=5; विचरण डी (एक्स) = 0.64। इस संभावना का पता लगाएं कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक्स अंतराल (4; 7) में एक मान लेगा।

फेसलायह ज्ञात है कि यदि एक यादृच्छिक चर एक्स एक अंतर फ़ंक्शन f(x) द्वारा दिया जाता है, तो संभावना है कि एक्स अंतराल (α,β) से संबंधित मान लेता है, सूत्र द्वारा गणना की जाती है

. (1)

यदि मान X को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, तो अवकलन फलन

,

कहाँ पे ए=एम(एक्स) और σ=
. इस मामले में, हम (1) से प्राप्त करते हैं

. (2)

लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग करके फॉर्मूला (2) को रूपांतरित किया जा सकता है।

आइए एक प्रतिस्थापन करें। रहने दो
. फिर
या डीएक्स=σ∙ डीटी.

इसलिये
, जहाँ t 1 और t 2 चर t के लिए संगत सीमाएँ हैं।

से कम करने पर, हमारे पास

इनपुट प्रतिस्थापन से
उसका अनुसरण करता है
और
.

इस प्रकार,

(3)

समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास है: a=5; =
=0.8; α=4; β=7. इन आंकड़ों को (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

=एफ(2.5)-एफ(-1.25)=

\u003d एफ (2.5) + एफ (1.25) \u003d 0.4938 + 0.3944 \u003d 0.8882।

उदाहरण।यह माना जाता है कि मानक से निर्मित भागों की लंबाई का विचलन सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर है। मानक लंबाई (उम्मीद) a = 40 सेमी, मानक विचलन σ = 0.4 सेमी। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि मानक से लंबाई का विचलन निरपेक्ष मान में 0.6 सेमी से अधिक नहीं होगा।

फेसला.यदि X भाग की लंबाई है, तो समस्या की स्थिति के अनुसार, यह मान अंतराल (a-δ, a + δ) में होना चाहिए, जहां a=40 और δ=0.6.

सूत्र (3) α= a-δ और β= a+δ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

. (4)

उपलब्ध डेटा को (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, निर्मित भागों की लंबाई 39.4 से 40.6 सेमी के बीच होने की संभावना 0.8664 है।

उदाहरण।संयंत्र द्वारा निर्मित भागों का व्यास सामान्य नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर है। मानक व्यास लंबाई ए = 2.5सेमी, मानक विचलन =0.01। यदि 0.9973 की प्रायिकता वाली घटना को विश्वसनीय माना जाए, तो इस भाग के व्यास की लंबाई को व्यावहारिक रूप से किस सीमा के भीतर सुनिश्चित किया जा सकता है?

फेसला।समस्या की स्थिति से, हमारे पास है:

ए = 2.5; σ=0.01; .

सूत्र (4) को लागू करने पर, हम समानता प्राप्त करते हैं:

या
.

तालिका 2 के अनुसार, हम पाते हैं कि लैपलेस फ़ंक्शन का x=3 पर ऐसा मान है। इसलिये,
; जहां से = 0.03।

इस प्रकार, यह गारंटी दी जा सकती है कि व्यास की लंबाई 2.47 और 2.53 सेमी के बीच भिन्न होगी।

किसी समतल समोच्च पर स्थित द्रव की सतह पर विचार करें। यदि तरल की सतह समतल नहीं है, तो इसके सिकुड़ने की प्रवृत्ति से दबाव का आभास होगा, जो एक सपाट सतह वाले तरल द्वारा अनुभव किए जाने के अतिरिक्त होगा। उत्तल सतह के मामले में, यह अतिरिक्त दबाव सकारात्मक है, अवतल सतह के मामले में, यह नकारात्मक है। बाद के मामले में, सतह की परत, सिकुड़ने की कोशिश करते हुए, तरल को खींचती है। पाठ्यक्रम के शिक्षक के रूप में कार्य एचआर रिकॉर्ड प्रबंधन मास्को।

अतिरिक्त दबाव का परिमाण, जाहिर है, सतह तनाव गुणांक α और सतह वक्रता में वृद्धि के साथ बढ़ना चाहिए। आइए हम तरल की गोलाकार सतह के लिए अतिरिक्त दबाव की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम एक व्यास तल द्वारा एक गोलाकार तरल बूंद को दो गोलार्द्धों में काटते हैं (चित्र 5)।

एक गोलाकार तरल बूंद का क्रॉस सेक्शन।

पृष्ठ तनाव के कारण, दोनों गोलार्द्ध एक-दूसरे की ओर आकर्षित होते हैं, जिसके बराबर बल होता है:

यह बल दोनों गोलार्द्धों को सतह S=πR2 के साथ एक दूसरे से दबाता है और इसलिए अतिरिक्त दबाव का कारण बनता है:

∆p=F/S=(2πRα)/ πR2=2α/R (4)

गोलाकार सतह की वक्रता हर जगह समान होती है और यह गोले R की त्रिज्या से निर्धारित होती है। जाहिर है, R जितना छोटा होगा, गोलाकार सतह की वक्रता उतनी ही अधिक होगी। एक मनमानी सतह की वक्रता आमतौर पर तथाकथित औसत वक्रता की विशेषता होती है, जो सतह पर विभिन्न बिंदुओं के लिए भिन्न हो सकती है।

औसत वक्रता सामान्य वर्गों की वक्रता के माध्यम से निर्धारित की जाती है। किसी बिंदु पर एक सतह का सामान्य खंड इस सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा है जिसमें एक विमान विचाराधीन बिंदु पर सतह से सामान्य से गुजरता है। एक गोले के लिए, कोई भी सामान्य खंड त्रिज्या R का एक वृत्त होता है (R गोले की त्रिज्या है)। मान H=1/R गोले की वक्रता देता है। सामान्य तौर पर, एक ही बिंदु के माध्यम से खींचे गए विभिन्न वर्गों में अलग-अलग वक्रताएं होती हैं। ज्यामिति में, यह सिद्ध होता है कि वक्रता के व्युत्क्रम त्रिज्या का आधा योग

एच=0.5(1/आर1+1/आर2) (5)

पारस्परिक रूप से लंबवत सामान्य वर्गों की किसी भी जोड़ी के लिए समान मूल्य होता है। यह मान किसी दिए गए बिंदु पर सतह की औसत वक्रता है।

सूत्र (5) में त्रिज्या R1 और R2 बीजगणितीय मात्राएँ हैं। यदि एक सामान्य खंड का वक्रता केंद्र दी गई सतह से नीचे है, तो वक्रता की त्रिज्या सकारात्मक है, यदि वक्रता केंद्र सतह से ऊपर है, तो वक्रता की त्रिज्या ऋणात्मक है।

गोले के लिए R1=R2=R, इसलिए (5) H=1/R के अनुसार। 1/R को H से (4) में बदलने पर, हम पाते हैं कि

लैपलेस ने साबित किया कि सूत्र (6) किसी भी आकार की सतह के लिए मान्य है, अगर एच से हमारा मतलब इस बिंदु पर सतह की औसत वक्रता है, जिसके तहत अतिरिक्त दबाव निर्धारित किया जाता है। औसत वक्रता (6) के लिए व्यंजक (5) को प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक मनमानी सतह के तहत अतिरिक्त दबाव के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

∆p=α(1/R1+1/R2) (7)

इसे लाप्लास सूत्र कहते हैं।

अतिरिक्त दबाव (7) केशिका में तरल स्तर में परिवर्तन का कारण बनता है, जिसके परिणामस्वरूप इसे कभी-कभी केशिका दबाव कहा जाता है।

संपर्क कोण के अस्तित्व से पोत की दीवारों के पास तरल सतह की वक्रता होती है। एक केशिका में या दो दीवारों के बीच एक संकीर्ण अंतराल में, पूरी सतह घुमावदार होती है। यदि तरल दीवारों को गीला कर देता है, तो सतह का अवतल आकार होता है, यदि यह गीला नहीं होता है, तो यह उत्तल होता है (चित्र 4)। ऐसी घुमावदार तरल सतहों को मेनिससी कहा जाता है।

यदि केशिका को एक छोर से एक विस्तृत बर्तन में डाले गए तरल में डुबोया जाता है, तो केशिका में घुमावदार सतह के नीचे दबाव सूत्र द्वारा परिभाषित ∆p मान द्वारा चौड़े बर्तन में सपाट सतह के दबाव से भिन्न होगा। ) नतीजतन, जब केशिका गीली हो जाती है, तो इसमें तरल स्तर बर्तन की तुलना में अधिक होगा, और जब गीला नहीं होगा, तो यह कम होगा।