विज्ञान में सबसे सरल खोज मानव जीवन को मौलिक रूप से बदल सकती है। आविष्कार किया हुआ टीका लाखों लोगों को बचा सकता है, हथियारों का निर्माण, इसके विपरीत, इन लोगों की जान ले लेता है। हाल ही में (मानव विकास के पैमाने पर) हमने बिजली को "वश में" करना सीखा है - और अब हम बिजली का उपयोग करने वाले इन सभी सुविधाजनक उपकरणों के बिना जीवन की कल्पना नहीं कर सकते हैं। लेकिन ऐसी खोजें भी हैं जिन्हें बहुत कम लोग महत्व देते हैं, हालाँकि वे हमारे जीवन को भी बहुत प्रभावित करते हैं।

इन "अगोचर" खोजों में से एक भग्न है। आपने शायद यह आकर्षक शब्द सुना होगा, लेकिन क्या आप जानते हैं कि इसका क्या मतलब है और इस शब्द में कितनी दिलचस्प बातें छिपी हैं?

प्रत्येक व्यक्ति में स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, अपने आसपास की दुनिया के बारे में जानने की इच्छा होती है। और इस आकांक्षा में, एक व्यक्ति निर्णय में तर्क का पालन करने की कोशिश करता है। अपने आस-पास हो रही प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते हुए, वह जो हो रहा है उसका तर्क खोजने की कोशिश करता है और कुछ नियमितता का पता लगाता है। ग्रह पर सबसे बड़े दिमाग इस कार्य में व्यस्त हैं। मोटे तौर पर, वैज्ञानिक एक ऐसे पैटर्न की तलाश में हैं जहां यह नहीं होना चाहिए। फिर भी, अराजकता में भी, घटनाओं के बीच संबंध पाया जा सकता है। और यह संबंध एक भग्न है।

हमारी साढ़े चार साल की छोटी बेटी, अब उस अद्भुत उम्र में है जब प्रश्नों की संख्या "क्यों?" वयस्कों के पास जितने उत्तर देने के लिए समय है, उससे कई गुना अधिक। कुछ समय पहले, मेरी बेटी ने जमीन से उठी एक शाखा को देखा, अचानक देखा कि यह शाखा, गांठों और शाखाओं के साथ, अपने आप में एक पेड़ की तरह लग रही थी। और, ज़ाहिर है, सामान्य प्रश्न "क्यों?" का पालन किया, जिसके लिए माता-पिता को एक सरल स्पष्टीकरण की तलाश करनी पड़ी जिसे बच्चा समझ सके।

एक बच्चे द्वारा खोजे गए पूरे पेड़ के साथ एकल शाखा की समानता एक बहुत ही सटीक अवलोकन है, जो एक बार फिर प्रकृति में पुनरावर्ती आत्म-समानता के सिद्धांत की गवाही देता है। प्रकृति में बहुत से कार्बनिक और अकार्बनिक रूप समान रूप से बनते हैं। बादल, समुद्र के गोले, घोंघे का "घर", पेड़ों की छाल और ताज, संचार प्रणाली, और इसी तरह - इन सभी वस्तुओं के यादृच्छिक आकार को फ्रैक्टल एल्गोरिदम द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

बेनोइट मंडेलब्रॉट: फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक

"फ्रैक्टल" शब्द ही शानदार वैज्ञानिक बेनोइट बी मंडेलब्रॉट के लिए धन्यवाद प्रकट हुआ।

उन्होंने 1970 के दशक में लैटिन से फ्रैक्टस शब्द उधार लेते हुए खुद इस शब्द को गढ़ा, जहां इसका शाब्दिक अर्थ "टूटा हुआ" या "कुचल" होता है। यह क्या है? आज, "फ्रैक्टल" शब्द का प्रयोग अक्सर एक संरचना के ग्राफिक प्रतिनिधित्व के लिए किया जाता है जो बड़े पैमाने पर स्वयं के समान होता है।

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत के उद्भव के लिए गणितीय आधार बेनोइट मंडेलब्रॉट के जन्म से कई साल पहले रखा गया था, लेकिन यह केवल कंप्यूटिंग उपकरणों के आगमन के साथ ही विकसित हो सका। अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत में, बेनोइट ने आईबीएम अनुसंधान केंद्र में काम किया। उस समय केंद्र के कर्मचारी दूर-दूर तक डाटा ट्रांसमिशन पर काम कर रहे थे। अनुसंधान के दौरान, वैज्ञानिकों को शोर के हस्तक्षेप से होने वाले बड़े नुकसान की समस्या का सामना करना पड़ा। बेनोइट को एक कठिन और बहुत महत्वपूर्ण कार्य का सामना करना पड़ा - यह समझने के लिए कि सांख्यिकीय पद्धति के अप्रभावी होने पर इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में शोर के हस्तक्षेप की घटना का अनुमान कैसे लगाया जाए।

शोर माप के परिणामों को देखते हुए, मैंडलब्रॉट ने एक अजीब पैटर्न पर ध्यान आकर्षित किया - विभिन्न पैमाने पर शोर ग्राफ समान दिखते थे। एक समान पैटर्न देखा गया, चाहे वह एक दिन, एक सप्ताह या एक घंटे के लिए शोर की साजिश हो। यह ग्राफ के पैमाने को बदलने के लायक था, और तस्वीर को हर बार दोहराया गया था।

अपने जीवनकाल के दौरान, बेनोइट मंडेलब्रॉट ने बार-बार कहा कि वह सूत्रों से नहीं निपटते, बल्कि केवल चित्रों के साथ खेलते थे। इस आदमी ने बहुत लाक्षणिक रूप से सोचा, और किसी भी बीजीय समस्या का ज्यामिति के क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां, उसके अनुसार, सही उत्तर हमेशा स्पष्ट होता है।

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि यह इतनी समृद्ध स्थानिक कल्पना वाला व्यक्ति था जो फ्रैक्टल ज्यामिति का जनक बना। आखिरकार, फ्रैक्टल के सार की प्राप्ति ठीक तब होती है जब आप चित्र का अध्ययन करना शुरू करते हैं और अजीब भंवर पैटर्न के अर्थ के बारे में सोचते हैं।

भग्न पैटर्न में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन किसी भी पैमाने पर समानता होती है। इस तरह की छवि को उच्च स्तर के विवरण के साथ मैन्युअल रूप से बनाना पहले असंभव था, इसके लिए बड़ी मात्रा में गणना की आवश्यकता थी। उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे जोसेफ लुई फतो ने बेनोइट मैंडलब्रॉट की खोज से सत्तर साल पहले इस सेट का वर्णन किया था। यदि हम आत्म-समानता के सिद्धांतों के बारे में बात करते हैं, तो उनका उल्लेख लाइबनिज़ और जॉर्ज कैंटर के कार्यों में किया गया था।

फ्रैक्टल के पहले चित्रों में से एक मंडेलब्रॉट सेट की एक ग्राफिकल व्याख्या थी, जो गैस्टन मौरिस जूलिया के शोध से पैदा हुई थी।

गैस्टन जूलिया (हमेशा नकाबपोश - WWI की चोट)

इस फ्रांसीसी गणितज्ञ ने सोचा कि एक सेट कैसा दिखेगा यदि इसे फीडबैक लूप द्वारा पुनरावृत्त एक साधारण सूत्र से बनाया गया हो। यदि "उंगलियों पर" समझाया गया है, तो इसका मतलब है कि एक विशिष्ट संख्या के लिए हमें सूत्र का उपयोग करके एक नया मान मिलता है, जिसके बाद हम इसे फिर से सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा मान प्राप्त करते हैं। परिणाम संख्याओं का एक बड़ा क्रम है।

इस तरह के एक सेट की पूरी तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आपको बड़ी मात्रा में गणना करने की आवश्यकता है - सैकड़ों, हजारों, लाखों। इसे मैन्युअल रूप से करना असंभव था। लेकिन जब गणितज्ञों के पास शक्तिशाली कंप्यूटिंग उपकरण दिखाई दिए, तो वे उन सूत्रों और अभिव्यक्तियों पर नए सिरे से विचार करने में सक्षम थे जो लंबे समय से रुचिकर थे। मैंडलब्रॉट शास्त्रीय फ्रैक्टल की गणना के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। बड़ी संख्या में मानों वाले अनुक्रम को संसाधित करने के बाद, बेनोइट ने परिणामों को एक ग्राफ़ में स्थानांतरित कर दिया। यहाँ उसे क्या मिला है।

इसके बाद, यह छवि रंगीन हो गई (उदाहरण के लिए, रंग भरने के तरीकों में से एक पुनरावृत्तियों की संख्या है) और मनुष्य द्वारा बनाई गई अब तक की सबसे लोकप्रिय छवियों में से एक बन गई।

जैसा कि इफिसुस के हेराक्लिटस के लिए जिम्मेदार प्राचीन कहावत कहती है, "आप एक ही नदी में दो बार प्रवेश नहीं कर सकते।" यह भग्नों की ज्यामिति की व्याख्या करने के लिए सबसे उपयुक्त है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम भग्न छवि की कितनी विस्तृत जांच करते हैं, हम हमेशा एक समान पैटर्न देखेंगे।

जो लोग यह देखना चाहते हैं कि मंडेलब्रॉट स्पेस की एक छवि कैसी दिखेगी, जब कई बार आवर्धित की जाए तो एक एनिमेटेड GIF अपलोड करके ऐसा कर सकते हैं।

लॉरेन कारपेंटर: प्रकृति द्वारा बनाई गई कला

भग्न के सिद्धांत को जल्द ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूंकि यह स्व-समान छवियों के विज़ुअलाइज़ेशन से निकटता से संबंधित है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि असामान्य रूपों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम और सिद्धांतों को अपनाने वाले पहले कलाकार थे।

प्रसिद्ध पिक्सर स्टूडियो के भविष्य के सह-संस्थापक, लॉरेन सी. कारपेंटर ने 1967 में बोइंग कंप्यूटर सर्विसेज में काम करना शुरू किया, जो नए विमानों के विकास में लगे प्रसिद्ध निगम के डिवीजनों में से एक था।

1977 में, उन्होंने उड़ान मॉडल के प्रोटोटाइप के साथ प्रस्तुतियाँ बनाईं। लॉरेन डिजाइन किए जा रहे विमान की छवियों को विकसित करने के लिए जिम्मेदार थे। उन्हें विभिन्न कोणों से भविष्य के विमानों को दिखाते हुए नए मॉडलों की तस्वीरें बनानी थीं। कुछ बिंदु पर, पिक्सर एनिमेशन स्टूडियो के भविष्य के संस्थापक ने पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की एक छवि का उपयोग करने के लिए रचनात्मक विचार के साथ आया। आज, कोई भी स्कूली बच्चा इस तरह की समस्या को हल कर सकता है, लेकिन पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक के अंत में, कंप्यूटर ऐसी जटिल गणनाओं का सामना नहीं कर सके - कोई ग्राफिक संपादक नहीं थे, त्रि-आयामी ग्राफिक्स के लिए अनुप्रयोगों का उल्लेख नहीं करना था। 1978 में, लॉरेन ने गलती से बेनोइट मैंडेलब्रॉट की पुस्तक फ्रैक्टल्स: शेप, रैंडमनेस एंड डायमेंशन को एक स्टोर में देखा। इस पुस्तक में, उनका ध्यान इस तथ्य की ओर खींचा गया कि बेनोइट ने वास्तविक जीवन में भग्न रूपों के बहुत सारे उदाहरण दिए और साबित किया कि उन्हें गणितीय अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

इस सादृश्य को गणितज्ञ ने संयोग से नहीं चुना था। तथ्य यह है कि जैसे ही उन्होंने अपना शोध प्रकाशित किया, उन्हें आलोचनाओं की एक पूरी झड़ी लगानी पड़ी। मुख्य बात यह है कि उनके सहयोगियों ने उन्हें विकसित सिद्धांत की बेकारता के साथ फटकार लगाई थी। "हाँ," उन्होंने कहा, "ये खूबसूरत तस्वीरें हैं, लेकिन इससे ज्यादा कुछ नहीं। भग्न के सिद्धांत का कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है।" ऐसे लोग भी थे जो आम तौर पर मानते थे कि फ्रैक्टल पैटर्न केवल "शैतान मशीनों" के काम का उप-उत्पाद थे, जो सत्तर के दशक के उत्तरार्ध में बहुत जटिल और पूरी तरह से भरोसेमंद होने के लिए अस्पष्ट थे। मैंडलब्रॉट ने भग्न के सिद्धांत का एक स्पष्ट अनुप्रयोग खोजने की कोशिश की, लेकिन, कुल मिलाकर, उन्हें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं थी। अगले 25 वर्षों में बेनोइट मंडेलब्रॉट के अनुयायी इस तरह की "गणितीय जिज्ञासा" के लिए बहुत उपयोगी साबित हुए, और लॉरेन कारपेंटर फ्रैक्टल पद्धति को व्यवहार में लाने वाले पहले लोगों में से एक थे।

पुस्तक का अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने भग्न ज्यामिति के सिद्धांतों का गंभीरता से अध्ययन किया और इसे कंप्यूटर ग्राफिक्स में लागू करने का एक तरीका तलाशना शुरू किया। केवल तीन दिनों के काम में, लॉरेन अपने कंप्यूटर पर पर्वतीय प्रणाली की एक यथार्थवादी छवि की कल्पना करने में सक्षम थी। दूसरे शब्दों में, उन्होंने सूत्रों की मदद से एक पूरी तरह से पहचाने जाने योग्य पहाड़ी परिदृश्य को चित्रित किया।

लॉरेन अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए जिस सिद्धांत का प्रयोग करती थी, वह बहुत सरल था। इसमें एक बड़ी ज्यामितीय आकृति को छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल था, और ये बदले में, समान छोटे आंकड़ों में विभाजित किए गए थे।

बड़े त्रिभुजों का उपयोग करते हुए, बढ़ई ने उन्हें चार छोटे त्रिभुजों में तोड़ दिया और फिर इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराया जब तक कि उनके पास एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं था। इस प्रकार, वह छवियों के निर्माण के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करने वाले पहले कलाकार बनने में सफल रहे। जैसे ही इसे किए गए काम के बारे में पता चला, दुनिया भर के उत्साही लोगों ने इस विचार को उठाया और यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों को अनुकरण करने के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करना शुरू कर दिया।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करने वाले पहले 3D रेंडरिंग में से एक

कुछ ही वर्षों बाद, लॉरेन कारपेंटर अपनी उपलब्धियों को एक बहुत बड़ी परियोजना में लागू करने में सक्षम था। एनिमेटर ने उन्हें दो मिनट के डेमो, वॉल लिब्रे पर आधारित किया, जिसे 1980 में सिग्ग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने इसे देखने वाले सभी को चौंका दिया और लॉरेन को लुकासफिल्म का निमंत्रण मिला।

एनीमेशन को डिजिटल उपकरण निगम के VAX-11/780 कंप्यूटर पर पांच मेगाहर्ट्ज़ की घड़ी की गति से प्रदान किया गया था, और प्रत्येक फ्रेम को खींचने में लगभग आधे घंटे का समय लगा।

लुकासफिल्म लिमिटेड के लिए काम करते हुए, एनिमेटर ने स्टार ट्रेक गाथा में दूसरी विशेषता के लिए समान 3D परिदृश्य बनाए। खान के क्रोध में, बढ़ई भग्न सतह मॉडलिंग के समान सिद्धांत का उपयोग करके एक संपूर्ण ग्रह बनाने में सक्षम था।

वर्तमान में, 3D परिदृश्य बनाने के लिए सभी लोकप्रिय अनुप्रयोग प्राकृतिक वस्तुओं को उत्पन्न करने के समान सिद्धांत का उपयोग करते हैं। Terragen, Bryce, Vue और अन्य 3D संपादक एक फ्रैक्टल सतह और बनावट मॉडलिंग एल्गोरिथम पर भरोसा करते हैं।

फ्रैक्टल एंटेना: कम बेहतर है, लेकिन बेहतर है

पिछली आधी सदी में, जीवन तेजी से बदल गया है। हम में से अधिकांश लोग आधुनिक तकनीक में हुई प्रगति को हल्के में लेते हैं। वह सब कुछ जो जीवन को और अधिक आरामदायक बनाता है, आपको बहुत जल्दी इसकी आदत हो जाती है। शायद ही कोई सवाल पूछता है "यह कहाँ से आया?" और यह कैसे काम करता है?"। एक माइक्रोवेव ओवन नाश्ते को गर्म करता है - ठीक है, बढ़िया, एक स्मार्टफोन आपको दूसरे व्यक्ति से बात करने की अनुमति देता है - बढ़िया। यह हमारे लिए एक स्पष्ट संभावना की तरह लगता है।

लेकिन जीवन पूरी तरह से अलग हो सकता है यदि कोई व्यक्ति घटित होने वाली घटनाओं के लिए स्पष्टीकरण की तलाश नहीं करता है। उदाहरण के लिए, सेल फोन लें। पहले मॉडल पर वापस लेने योग्य एंटेना याद रखें? उन्होंने हस्तक्षेप किया, डिवाइस का आकार बढ़ाया, अंत में, अक्सर टूट गया। हम मानते हैं कि वे हमेशा के लिए गुमनामी में डूब गए हैं, और आंशिक रूप से इस वजह से ... भग्न।

भग्न चित्र उनके पैटर्न से मोहित करते हैं। वे निश्चित रूप से अंतरिक्ष वस्तुओं की छवियों से मिलते जुलते हैं - नीहारिकाएं, आकाशगंगा समूह, और इसी तरह। इसलिए, यह बिल्कुल स्वाभाविक है कि जब मंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल के अपने सिद्धांत को आवाज दी, तो उनके शोध ने खगोल विज्ञान का अध्ययन करने वालों में रुचि बढ़ाई। बुडापेस्ट में बेनोइट मंडेलब्रॉट के एक व्याख्यान में भाग लेने के बाद नाथन कोहेन नाम का एक ऐसा शौकिया, प्राप्त ज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग के विचार से प्रेरित था। सच है, उन्होंने इसे सहज रूप से किया, और मौके ने उनकी खोज में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। एक रेडियो शौकिया के रूप में, नाथन ने उच्चतम संभव संवेदनशीलता के साथ एक एंटीना बनाने की मांग की।

उस समय ज्ञात एंटीना के मापदंडों को सुधारने का एकमात्र तरीका इसके ज्यामितीय आयामों को बढ़ाना था। हालांकि, नाथन के डाउनटाउन बोस्टन अपार्टमेंट के मालिक ने बड़े छत वाले उपकरणों को स्थापित करने का कड़ा विरोध किया था। फिर नाथन ने एंटेना के विभिन्न रूपों के साथ प्रयोग करना शुरू किया, न्यूनतम आकार के साथ अधिकतम परिणाम प्राप्त करने की कोशिश की। भग्न रूपों के विचार के साथ, कोहेन, जैसा कि वे कहते हैं, बेतरतीब ढंग से तार से बाहर सबसे प्रसिद्ध फ्रैक्टल में से एक बना - "कोच स्नोफ्लेक"। स्वीडिश गणितज्ञ हेल्ज वॉन कोच 1904 में इस वक्र के साथ आए थे। यह खंड को तीन भागों में विभाजित करके और इस खंड के साथ मेल खाने वाले पक्ष के बिना एक समबाहु त्रिभुज के साथ मध्य खंड को बदलकर प्राप्त किया जाता है। परिभाषा को समझना थोड़ा मुश्किल है, लेकिन आंकड़ा स्पष्ट और सरल है।

"कोच वक्र" की अन्य किस्में भी हैं, लेकिन वक्र का अनुमानित आकार समान रहता है

जब नाथन ने एंटीना को रेडियो रिसीवर से जोड़ा, तो वह बहुत हैरान हुआ - संवेदनशीलता नाटकीय रूप से बढ़ गई। प्रयोगों की एक श्रृंखला के बाद, बोस्टन विश्वविद्यालय के भविष्य के प्रोफेसर ने महसूस किया कि फ्रैक्टल पैटर्न के अनुसार बनाए गए एंटीना में उच्च दक्षता होती है और शास्त्रीय समाधानों की तुलना में बहुत व्यापक आवृत्ति रेंज शामिल होती है। इसके अलावा, भग्न वक्र के रूप में एंटीना का आकार ज्यामितीय आयामों को काफी कम कर सकता है। नाथन कोहेन ने एक प्रमेय भी विकसित किया जो यह साबित करता है कि ब्रॉडबैंड एंटीना बनाने के लिए, यह एक स्व-समान फ्रैक्टल वक्र का आकार देने के लिए पर्याप्त है।

लेखक ने अपनी खोज का पेटेंट कराया और फ्रैक्टल एंटेना के विकास और डिजाइन के लिए एक फर्म की स्थापना की, फ्रैक्टल एंटीना सिस्टम्स, यह सही मानते हुए कि भविष्य में, उनकी खोज के लिए धन्यवाद, सेल फोन भारी एंटेना से छुटकारा पाने और अधिक कॉम्पैक्ट बनने में सक्षम होंगे।

मूल रूप से यही हुआ। सच है, आज तक, नाथन बड़े निगमों के साथ एक मुकदमे में है जो अवैध रूप से कॉम्पैक्ट संचार उपकरणों के उत्पादन के लिए उसकी खोज का उपयोग करते हैं। कुछ प्रसिद्ध मोबाइल डिवाइस निर्माता, जैसे मोटोरोला, पहले ही फ्रैक्टल एंटीना के आविष्कारक के साथ एक शांति समझौते पर पहुंच चुके हैं।

भग्न आयाम: मन नहीं समझता

बेनोइट ने यह प्रश्न प्रसिद्ध अमेरिकी वैज्ञानिक एडवर्ड कास्नर से लिया था।

बाद वाले, कई अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञों की तरह, बच्चों के साथ संवाद करने, उनसे प्रश्न पूछने और अप्रत्याशित उत्तर प्राप्त करने के बहुत शौकीन थे। कभी-कभी इसके आश्चर्यजनक परिणाम सामने आते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एडवर्ड कास्नर का नौ वर्षीय भतीजा अब प्रसिद्ध शब्द "गूगोल" लेकर आया, जो एक सौ शून्य वाली इकाई को दर्शाता है। लेकिन वापस भग्न के लिए। अमेरिकी गणितज्ञ ने यह पूछना पसंद किया कि अमेरिकी तटरेखा कितनी लंबी है। वार्ताकार की राय सुनने के बाद, एडवर्ड ने स्वयं सही उत्तर बोला। यदि आप मानचित्र पर टूटे हुए खंडों के साथ लंबाई को मापते हैं, तो परिणाम गलत होगा, क्योंकि समुद्र तट में बड़ी संख्या में अनियमितताएं हैं। और यदि आप यथासंभव सटीक माप करते हैं तो क्या होगा? आपको प्रत्येक असमानता की लंबाई को ध्यान में रखना होगा - आपको प्रत्येक केप, प्रत्येक खाड़ी, चट्टान, एक चट्टानी किनारे की लंबाई, उस पर एक पत्थर, रेत का एक कण, एक परमाणु, और इसी तरह मापने की आवश्यकता होगी। चूंकि अनियमितताओं की संख्या अनंत तक जाती है, समुद्र तट की मापी गई लंबाई प्रत्येक नई अनियमितता के साथ अनंत तक बढ़ जाएगी।

मापते समय माप जितना छोटा होगा, मापी गई लंबाई उतनी ही अधिक होगी

दिलचस्प बात यह है कि एडवर्ड के संकेतों का पालन करते हुए, बच्चे सही उत्तर कहने में वयस्कों की तुलना में बहुत तेज थे, जबकि बाद वाले को इस तरह के अविश्वसनीय उत्तर को स्वीकार करने में परेशानी हुई।

एक उदाहरण के रूप में इस समस्या का उपयोग करते हुए, मैंडलब्रॉट ने माप के लिए एक नए दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव दिया। चूंकि समुद्र तट एक फ्रैक्टल वक्र के करीब है, इसका मतलब है कि एक विशेषता पैरामीटर, तथाकथित फ्रैक्टल आयाम, उस पर लागू किया जा सकता है।

सामान्य आयाम क्या है यह किसी के लिए भी स्पष्ट है। यदि आयाम एक के बराबर है, तो हमें एक सीधी रेखा मिलती है, यदि दो - एक सपाट आकृति, तीन - आयतन। हालांकि, गणित में आयाम की ऐसी समझ फ्रैक्टल कर्व्स के साथ काम नहीं करती है, जहां इस पैरामीटर का एक भिन्नात्मक मान होता है। गणित में भग्न आयाम को सशर्त रूप से "खुरदरापन" माना जा सकता है। वक्र का खुरदरापन जितना अधिक होगा, उसका भग्न आयाम उतना ही अधिक होगा। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, एक वक्र, जिसका फ्रैक्टल आयाम अपने टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक होता है, की अनुमानित लंबाई होती है जो आयामों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

वर्तमान में, वैज्ञानिक भग्न सिद्धांत के अनुप्रयोग के लिए अधिक से अधिक क्षेत्रों की खोज कर रहे हैं। फ्रैक्टल्स की सहायता से, आप स्टॉक की कीमतों में उतार-चढ़ाव का विश्लेषण कर सकते हैं, सभी प्रकार की प्राकृतिक प्रक्रियाओं का पता लगा सकते हैं, जैसे प्रजातियों की संख्या में उतार-चढ़ाव, या प्रवाह की गतिशीलता का अनुकरण कर सकते हैं। डेटा संपीड़न के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए छवि संपीड़न के लिए। और वैसे, आपके कंप्यूटर स्क्रीन पर एक सुंदर फ्रैक्टल प्राप्त करने के लिए, आपके पास डॉक्टरेट की डिग्री होने की आवश्यकता नहीं है।

ब्राउज़र में फ्रैक्टल

शायद फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त करने के सबसे आसान तरीकों में से एक युवा प्रतिभाशाली प्रोग्रामर टोबी स्कैचमैन के ऑनलाइन वेक्टर संपादक का उपयोग करना है। इस सरल ग्राफिक्स संपादक का टूलकिट स्व-समानता के समान सिद्धांत पर आधारित है।

आपके निपटान में केवल दो सरल आकृतियाँ हैं - एक वर्ग और एक वृत्त। आप उन्हें कैनवास में जोड़ सकते हैं, स्केल (कुल्हाड़ियों में से किसी एक के साथ स्केल करने के लिए, Shift कुंजी दबाए रखें) और घुमाएं। बूलियन जोड़ संचालन के सिद्धांत पर ओवरलैपिंग, ये सरल तत्व नए, कम तुच्छ रूप बनाते हैं। इसके अलावा, इन नए रूपों को परियोजना में जोड़ा जा सकता है, और कार्यक्रम इन छवियों की पीढ़ी को अनिश्चित काल तक दोहराएगा। फ्रैक्टल पर काम करने के किसी भी स्तर पर, आप जटिल आकार के किसी भी घटक पर वापस लौट सकते हैं और उसकी स्थिति और ज्यामिति को संपादित कर सकते हैं। यह बहुत मजेदार है, खासकर जब आप समझते हैं कि केवल एक उपकरण जो आपको रचनात्मक होने की आवश्यकता है वह एक ब्राउज़र है। यदि आप इस पुनरावर्ती वेक्टर संपादक के साथ काम करने के सिद्धांत को नहीं समझते हैं, तो हम आपको परियोजना की आधिकारिक वेबसाइट पर वीडियो देखने की सलाह देते हैं, जो फ्रैक्टल बनाने की पूरी प्रक्रिया को विस्तार से दिखाता है।

XaoS: हर स्वाद के लिए भग्न

कई ग्राफिक संपादकों में फ्रैक्टल पैटर्न बनाने के लिए अंतर्निहित टूल होते हैं। हालांकि, ये उपकरण आमतौर पर द्वितीयक होते हैं और आपको उत्पन्न फ्रैक्टल पैटर्न को ठीक करने की अनुमति नहीं देते हैं। ऐसे मामलों में जहां गणितीय रूप से सटीक फ्रैक्टल बनाना आवश्यक है, XaoS क्रॉस-प्लेटफ़ॉर्म संपादक बचाव में आएगा। यह कार्यक्रम न केवल एक समान छवि बनाने के लिए संभव बनाता है, बल्कि इसके साथ विभिन्न जोड़तोड़ भी करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक समय में, आप फ्रैक्टल के पैमाने को बदलकर "चल" सकते हैं। फ्रैक्टल के साथ एनिमेटेड आंदोलन को XAF फ़ाइल के रूप में सहेजा जा सकता है और फिर प्रोग्राम में ही वापस चलाया जा सकता है।

XaoS मापदंडों का एक यादृच्छिक सेट लोड कर सकता है, साथ ही विभिन्न छवि पोस्ट-प्रोसेसिंग फिल्टर का उपयोग कर सकता है - एक धुंधला गति प्रभाव जोड़ें, भग्न बिंदुओं के बीच तेज संक्रमण को सुचारू करें, एक 3D छवि का अनुकरण करें, और इसी तरह।

फ्रैक्टल जूमर: कॉम्पैक्ट फ्रैक्टल जनरेटर

अन्य भग्न छवि जनरेटर की तुलना में, इसके कई फायदे हैं। सबसे पहले, यह आकार में काफी छोटा है और इसे स्थापना की आवश्यकता नहीं है। दूसरे, यह चित्र के रंग पैलेट को परिभाषित करने की क्षमता को लागू करता है। आप RGB, CMYK, HVS और HSL कलर मॉडल में शेड्स चुन सकते हैं।

रंग रंगों के यादृच्छिक चयन और चित्र में सभी रंगों को उलटने के कार्य के विकल्प का उपयोग करना भी बहुत सुविधाजनक है। रंग को समायोजित करने के लिए, रंगों के चक्रीय चयन का एक कार्य होता है - जब संबंधित मोड चालू होता है, तो प्रोग्राम छवि को एनिमेट करता है, उस पर चक्रीय रूप से रंग बदलता है।

फ्रैक्टल जूमर 85 विभिन्न फ्रैक्टल कार्यों की कल्पना कर सकता है, और कार्यक्रम मेनू में सूत्र स्पष्ट रूप से दिखाए जाते हैं। कार्यक्रम में पोस्ट-प्रोसेसिंग छवियों के लिए फिल्टर हैं, हालांकि थोड़ी मात्रा में। प्रत्येक असाइन किए गए फ़िल्टर को किसी भी समय रद्द किया जा सकता है।

⇡ मंडेलबुलब3डी: 3डी भग्न संपादक

जब "फ्रैक्टल" शब्द का उपयोग किया जाता है, तो इसका अर्थ अक्सर एक सपाट द्वि-आयामी छवि होता है। हालांकि, फ्रैक्टल ज्यामिति 2डी आयाम से आगे जाती है। प्रकृति में, फ्लैट फ्रैक्टल रूपों, जैसे, बिजली की ज्यामिति, और त्रि-आयामी त्रि-आयामी आंकड़े दोनों के उदाहरण मिल सकते हैं। फ्रैक्टल सतहें 3डी हो सकती हैं, और रोजमर्रा की जिंदगी में 3डी फ्रैक्टल का एक बहुत ही ग्राफिक चित्रण गोभी का सिर है। शायद रोमनेस्को में भग्न देखने का सबसे अच्छा तरीका फूलगोभी और ब्रोकोली का एक संकर है।

और इस भग्न को खाया जा सकता है

Mandelbulb3D प्रोग्राम समान आकार के साथ त्रि-आयामी ऑब्जेक्ट बना सकता है। फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करके एक 3डी सतह प्राप्त करने के लिए, इस एप्लिकेशन के लेखक, डैनियल व्हाइट और पॉल नाइलैंडर ने मैंडेलब्रॉट सेट को गोलाकार निर्देशांक में बदल दिया। उनके द्वारा बनाया गया Mandelbulb3D प्रोग्राम एक वास्तविक त्रि-आयामी संपादक है जो विभिन्न आकृतियों के फ्रैक्टल सतहों को मॉडल करता है। चूंकि हम अक्सर प्रकृति में फ्रैक्टल पैटर्न देखते हैं, कृत्रिम रूप से निर्मित फ्रैक्टल त्रि-आयामी वस्तु अविश्वसनीय रूप से यथार्थवादी और यहां तक ​​​​कि "जीवित" भी लगती है।

यह एक पौधे की तरह लग सकता है, यह एक अजीब जानवर, ग्रह या कुछ और जैसा हो सकता है। यह प्रभाव एक उन्नत प्रतिपादन एल्गोरिथ्म द्वारा बढ़ाया जाता है जो यथार्थवादी प्रतिबिंब प्राप्त करना, पारदर्शिता और छाया की गणना करना, क्षेत्र की गहराई के प्रभाव का अनुकरण करना, और इसी तरह संभव बनाता है। Mandelbulb3D में बड़ी मात्रा में सेटिंग्स और रेंडरिंग विकल्प हैं। आप प्रकाश स्रोतों के रंगों को नियंत्रित कर सकते हैं, मॉडल की गई वस्तु की पृष्ठभूमि और विवरण का स्तर चुन सकते हैं।

इंसेडिया फ्रैक्टल एडिटर डबल इमेज स्मूथिंग का समर्थन करता है, इसमें पचास अलग-अलग त्रि-आयामी फ्रैक्टल का पुस्तकालय होता है और मूल आकृतियों को संपादित करने के लिए एक अलग मॉड्यूल होता है।

एप्लिकेशन फ्रैक्टल स्क्रिप्टिंग का उपयोग करता है, जिसके साथ आप स्वतंत्र रूप से नए प्रकार के फ्रैक्टल संरचनाओं का वर्णन कर सकते हैं। इंसेडिया में बनावट और सामग्री संपादक हैं, और एक प्रतिपादन इंजन है जो आपको वॉल्यूमेट्रिक कोहरे प्रभाव और विभिन्न शेडर्स का उपयोग करने की अनुमति देता है। कार्यक्रम में लंबी अवधि के प्रतिपादन के दौरान बफर को बचाने का विकल्प है, एनीमेशन निर्माण समर्थित है।

Incendia आपको लोकप्रिय 3D ग्राफ़िक्स प्रारूपों - OBJ और STL में फ्रैक्टल मॉडल निर्यात करने की अनुमति देता है। इंसेडिया में एक छोटी जियोमेट्रिक उपयोगिता शामिल है - एक फ्रैक्टल सतह के निर्यात को त्रि-आयामी मॉडल में स्थापित करने के लिए एक विशेष उपकरण। इस उपयोगिता का उपयोग करके, आप एक 3D सतह का रिज़ॉल्यूशन निर्धारित कर सकते हैं, भग्न पुनरावृत्तियों की संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं। 3D संपादकों जैसे ब्लेंडर, 3ds मैक्स और अन्य के साथ काम करते समय निर्यात किए गए मॉडल का उपयोग 3D प्रोजेक्ट में किया जा सकता है।

हाल ही में, Incindia परियोजना पर काम कुछ हद तक धीमा हो गया है। फिलहाल, लेखक प्रायोजकों की तलाश में है जो उसे कार्यक्रम विकसित करने में मदद करेंगे।

यदि आपके पास इस कार्यक्रम में एक सुंदर त्रि-आयामी भग्न खींचने के लिए पर्याप्त कल्पना नहीं है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पैरामीटर लाइब्रेरी का उपयोग करें, जो INCENDIA_EX\parameters फ़ोल्डर में स्थित है। PAR फाइलों की मदद से, आप एनिमेटेड सहित सबसे असामान्य भग्न आकृतियों को जल्दी से ढूंढ सकते हैं।

कर्ण: भग्न कैसे गाते हैं

हम आमतौर पर उन परियोजनाओं के बारे में बात नहीं करते हैं जिन पर अभी काम किया जा रहा है, लेकिन इस मामले में हमें एक अपवाद बनाना होगा, यह एक बहुत ही असामान्य अनुप्रयोग है। ऑरल नामक एक परियोजना उसी व्यक्ति के साथ आई, जो इंसेडिया थी। सच है, इस बार कार्यक्रम फ्रैक्टल सेट की कल्पना नहीं करता है, लेकिन इसे आवाज देता है, इसे इलेक्ट्रॉनिक संगीत में बदल देता है। विचार बहुत दिलचस्प है, विशेष रूप से फ्रैक्टल के असामान्य गुणों को देखते हुए। ऑरल एक ऑडियो एडिटर है जो फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके धुन तैयार करता है, यानी वास्तव में, यह एक ऑडियो सिंथेसाइज़र-सीक्वेंसर है।

इस कार्यक्रम द्वारा दी गई ध्वनियों का क्रम असामान्य और...सुंदर है। यह आधुनिक लय लिखने के काम आ सकता है और, हमारी राय में, टेलीविजन और रेडियो कार्यक्रमों के परिचय के लिए साउंडट्रैक बनाने के साथ-साथ कंप्यूटर गेम के लिए पृष्ठभूमि संगीत के "लूप" के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। रामिरो ने अभी तक अपने कार्यक्रम का डेमो उपलब्ध नहीं कराया है, लेकिन वादा किया है कि जब वह करता है, तो ऑरल के साथ काम करने के लिए, उसे फ्रैक्टल्स के सिद्धांत को सीखने की आवश्यकता नहीं होगी - बस नोट्स का एक क्रम बनाने के लिए एल्गोरिथम के मापदंडों के साथ खेलें। . सुनें कि भग्न कैसे ध्वनि करते हैं, और।

भग्न: संगीत विराम

वास्तव में, फ्रैक्टल्स बिना सॉफ्टवेयर के भी संगीत लिखने में मदद कर सकते हैं। लेकिन यह केवल वही कर सकता है जो वास्तव में प्राकृतिक सद्भाव के विचार से प्रभावित है और साथ ही एक दुर्भाग्यपूर्ण "बेवकूफ" में नहीं बदल गया है। जोनाथन कूल्टन नाम के एक संगीतकार से प्रेरणा लेना समझ में आता है, जो अन्य बातों के अलावा, पॉपुलर साइंस पत्रिका के लिए रचनाएँ लिखते हैं। और अन्य कलाकारों के विपरीत, कोल्टन अपने सभी कार्यों को एक क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-गैर-वाणिज्यिक लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो (जब गैर-व्यावसायिक उद्देश्यों के लिए उपयोग किया जाता है) मुफ्त प्रतिलिपि, वितरण, दूसरों को काम के हस्तांतरण के साथ-साथ इसके संशोधन (निर्माण) के लिए प्रदान करता है। व्युत्पन्न कार्यों का) इसे अपनी आवश्यकताओं के अनुकूल बनाने के लिए।

जोनाथन कोल्टन, निश्चित रूप से, फ्रैक्टल के बारे में एक गीत है।

निष्कर्ष

हमारे आस-पास की हर चीज में हम अक्सर अराजकता देखते हैं, लेकिन वास्तव में यह कोई दुर्घटना नहीं है, बल्कि एक आदर्श रूप है, जो भग्न हमें समझने में मदद करता है। प्रकृति सर्वश्रेष्ठ वास्तुकार, आदर्श निर्माता और इंजीनियर है। इसे बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित किया गया है, और अगर कहीं हमें पैटर्न दिखाई नहीं देता है, तो इसका मतलब है कि हमें इसे एक अलग पैमाने पर देखने की जरूरत है। प्राकृतिक रूपों की कई तरह से नकल करने की कोशिश करते हुए लोग इसे बेहतर और बेहतर समझते हैं। इंजीनियर एक शेल के रूप में स्पीकर सिस्टम डिजाइन करते हैं, स्नोफ्लेक ज्यामिति के साथ एंटेना बनाते हैं, और इसी तरह। हमें यकीन है कि भग्न अभी भी बहुत सारे रहस्य रखते हैं, और उनमें से कई अभी तक मनुष्य द्वारा खोजे नहीं गए हैं।

हमारे हाथ में एक पेड़, समुद्र के किनारे, बादल या रक्त वाहिकाओं में क्या समानता है? पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि इन सभी वस्तुओं में कुछ भी सामान्य नहीं है। हालांकि, वास्तव में, संरचना की एक संपत्ति है जो सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में निहित है: वे स्व-समान हैं। शाखा से, साथ ही एक पेड़ के तने से, छोटी प्रक्रियाएं निकलती हैं, उनसे - यहां तक ​​​​कि छोटे वाले, आदि, यानी एक शाखा पूरे पेड़ के समान होती है। संचार प्रणाली को एक समान तरीके से व्यवस्थित किया जाता है: धमनियों से धमनियां निकलती हैं, और उनसे - सबसे छोटी केशिकाएं जिसके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। आइए समुद्री तट की उपग्रह छवियों को देखें: हम खाड़ी और प्रायद्वीप देखेंगे; आइए इसे देखें, लेकिन एक विहंगम दृष्टि से: हम बे और केप देखेंगे; अब कल्पना कीजिए कि हम समुद्र तट पर खड़े हैं और अपने पैरों को देख रहे हैं: हमेशा कंकड़ होंगे जो बाकी की तुलना में पानी में आगे निकल जाएंगे। यानी जूम इन करने पर समुद्र तट अपने आप जैसा ही रहता है। अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट मंडेलब्रॉट (हालांकि फ्रांस में उठाए गए) ने वस्तुओं की इस संपत्ति को फ्रैक्टलिटी कहा, और ऐसी वस्तुओं को स्वयं - फ्रैक्टल (लैटिन फ्रैक्टस से - टूटा हुआ)।

इस अवधारणा की कोई सख्त परिभाषा नहीं है। इसलिए, "फ्रैक्टल" शब्द गणितीय शब्द नहीं है। आमतौर पर, एक फ्रैक्टल एक ज्यामितीय आकृति होती है जो निम्नलिखित में से एक या अधिक गुणों को संतुष्ट करती है: इसकी किसी भी आवर्धन पर एक जटिल संरचना होती है (उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा के विपरीत, जिसका कोई भी भाग सबसे सरल ज्यामितीय आकृति - एक खंड है)। यह (लगभग) स्व-समान है। इसका एक भिन्नात्मक हॉसडॉर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है, जो टोपोलॉजिकल से बड़ा है। पुनरावर्ती प्रक्रियाओं के साथ बनाया जा सकता है।

ज्यामिति और बीजगणित

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर भग्न का अध्ययन व्यवस्थित की तुलना में अधिक प्रासंगिक था, क्योंकि पहले के गणितज्ञों ने मुख्य रूप से "अच्छी" वस्तुओं का अध्ययन किया था जिनका अध्ययन सामान्य तरीकों और सिद्धांतों का उपयोग करके किया जा सकता था। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रास ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी अवकलनीय नहीं है। हालांकि, इसका निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल था। इसलिए, 1904 में, स्वेड हेल्ज वॉन कोच एक निरंतर वक्र के साथ आया, जिसकी कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है, और इसे खींचना काफी सरल है। यह पता चला कि इसमें फ्रैक्टल के गुण हैं। इस वक्र के एक रूपांतर को कोच स्नोफ्लेक कहा जाता है।

आंकड़ों की आत्म-समानता के विचारों को फ्रांसीसी पॉल पियरे लेवी, बेनोइट मैंडलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक द्वारा उठाया गया था। 1938 में, उनका लेख "प्लेन एंड स्पैटियल कर्व्स एंड सर्फेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स सिमिलर टू द होल" प्रकाशित हुआ, जिसमें एक और फ्रैक्टल का वर्णन किया गया है - लेवी सी-वक्र। ऊपर सूचीबद्ध इन सभी भग्नों को सशर्त रूप से रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न के एक वर्ग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एक अन्य वर्ग गतिशील (बीजीय) भग्न है, जिसमें मैंडेलब्रॉट सेट शामिल है। इस दिशा में पहला शोध 20वीं शताब्दी की शुरुआत में शुरू हुआ और यह फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया और पियरे फतो के नामों से जुड़ा है। 1918 में, जटिल तर्कसंगत कार्यों के पुनरावृत्तियों के लिए समर्पित जूलिया के संस्मरण के लगभग दो सौ पृष्ठ प्रकाशित किए गए, जिसमें जूलिया सेट का वर्णन किया गया है - फ्रैक्टल का एक पूरा परिवार जो मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित है। इस काम को फ्रांसीसी अकादमी के पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन इसमें एक भी चित्रण नहीं था, इसलिए खोजी गई वस्तुओं की सुंदरता की सराहना करना असंभव था। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने जूलिया को उस समय के गणितज्ञों के बीच प्रसिद्ध कर दिया, इसे जल्दी से भुला दिया गया। फिर से, आधी सदी बाद कंप्यूटर के आगमन के साथ ही इस ओर ध्यान गया: यह वे थे जिन्होंने भग्न की दुनिया की समृद्धि और सुंदरता को दिखाया।

भग्न आयाम

जैसा कि आप जानते हैं, एक ज्यामितीय आकृति का आयाम (मापों की संख्या) इस आकृति पर स्थित एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए आवश्यक निर्देशांक की संख्या है।
उदाहरण के लिए, एक वक्र पर एक बिंदु की स्थिति एक निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है, एक सतह पर (जरूरी नहीं कि एक विमान हो) दो निर्देशांक द्वारा, तीन-आयामी अंतरिक्ष में तीन निर्देशांक द्वारा।
अधिक सामान्य गणितीय दृष्टिकोण से, आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: रैखिक आयामों में वृद्धि, कहते हैं, दो बार, एक-आयामी (एक टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से) वस्तुओं (खंड) के लिए आकार (लंबाई) में वृद्धि होती है ) दो के एक कारक से, दो-आयामी (वर्ग) के लिए रैखिक आयामों में समान वृद्धि से आकार (क्षेत्र) में 4 गुना वृद्धि होती है, त्रि-आयामी (घन) के लिए - 8 गुना। यही है, "वास्तविक" (तथाकथित हॉसडॉर्फ) आयाम की गणना किसी वस्तु के "आकार" में वृद्धि के लघुगणक के अनुपात के रूप में की जा सकती है, जो इसके रैखिक आकार में वृद्धि के लघुगणक के लिए है। यानी, एक खंड के लिए डी=लॉग (2)/लॉग (2)=1, एक विमान के लिए डी=लॉग (4)/लॉग (2)=2, वॉल्यूम डी=लॉग (8)/लॉग (2 के लिए) )=3.
आइए अब कोच वक्र के आयाम की गणना करें, जिसके निर्माण के लिए इकाई खंड को तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और मध्य अंतराल को इस खंड के बिना एक समबाहु त्रिभुज द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। न्यूनतम खंड के रैखिक आयामों में तीन गुना वृद्धि के साथ, लॉग (4) / लॉग (3) ~ 1.26 में कोच वक्र की लंबाई बढ़ जाती है। यानी कोच वक्र का आयाम भिन्नात्मक होता है!

विज्ञान और कला

1982 में मंडेलब्रॉट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" प्रकाशित हुई, जिसमें लेखक ने उस समय उपलब्ध फ्रैक्टल्स के बारे में लगभग सभी जानकारी एकत्र और व्यवस्थित की और इसे आसान और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया। मंडेलब्रॉट ने अपनी प्रस्तुति में मुख्य रूप से जटिल सूत्रों और गणितीय निर्माणों पर नहीं, बल्कि पाठकों के ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर जोर दिया। कंप्यूटर जनित दृष्टांतों और ऐतिहासिक कहानियों के लिए धन्यवाद, जिसके साथ लेखक ने मोनोग्राफ के वैज्ञानिक घटक को कुशलता से पतला किया, पुस्तक बेस्टसेलर बन गई, और फ्रैक्टल आम जनता के लिए जाने गए। गैर-गणितज्ञों के बीच उनकी सफलता काफी हद तक इस तथ्य के कारण है कि बहुत ही सरल निर्माण और सूत्रों की मदद से जो एक हाई स्कूल का छात्र भी समझ सकता है, अद्भुत जटिलता और सुंदरता की छवियां प्राप्त की जाती हैं। जब पर्सनल कंप्यूटर काफी शक्तिशाली हो गए, तो कला में भी एक पूरी प्रवृत्ति दिखाई दी - फ्रैक्टल पेंटिंग, और लगभग कोई भी कंप्यूटर मालिक इसे कर सकता था। अब इंटरनेट पर आप इस विषय के लिए समर्पित कई साइटें आसानी से पा सकते हैं।

कोच वक्र प्राप्त करने की योजना

युद्ध और शांति

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, भग्न गुणों वाली प्राकृतिक वस्तुओं में से एक समुद्र तट है। एक दिलचस्प कहानी इसके साथ जुड़ी हुई है, या यों कहें, इसकी लंबाई को मापने के प्रयास के साथ, जिसने मंडेलब्रॉट के वैज्ञानिक लेख का आधार बनाया, और उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में भी वर्णित है। हम बात कर रहे हैं एक ऐसे प्रयोग के बारे में जिसकी स्थापना लुईस रिचर्डसन ने की थी, जो एक बहुत ही प्रतिभाशाली और विलक्षण गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और मौसम विज्ञानी थे। उनके शोध का एक दिशा दो देशों के बीच सशस्त्र संघर्ष के कारणों और संभावना का गणितीय विवरण खोजने का प्रयास था। जिन मापदंडों को उन्होंने ध्यान में रखा, उनमें दो युद्धरत देशों के बीच आम सीमा की लंबाई थी। जब उन्होंने संख्यात्मक प्रयोगों के लिए डेटा एकत्र किया, तो उन्होंने पाया कि विभिन्न स्रोतों में स्पेन और पुर्तगाल की आम सीमा पर डेटा बहुत भिन्न होता है। इसने उन्हें निम्नलिखित खोज के लिए प्रेरित किया: देश की सीमाओं की लंबाई उस शासक पर निर्भर करती है जिसके साथ हम उन्हें मापते हैं। पैमाना जितना छोटा होगा, सीमा उतनी ही लंबी होगी। यह इस तथ्य के कारण है कि उच्च आवर्धन पर तट के अधिक से अधिक मोड़ को ध्यान में रखना संभव हो जाता है, जिन्हें पहले माप की खुरदरापन के कारण अनदेखा किया गया था। और अगर, प्रत्येक ज़ूम के साथ, लाइनों के पहले बेहिसाब मोड़ खोले जाते हैं, तो यह पता चलता है कि सीमाओं की लंबाई अनंत है! सच है, वास्तव में ऐसा नहीं होता है - हमारे माप की सटीकता की एक सीमित सीमा होती है। इस विरोधाभास को रिचर्डसन प्रभाव कहा जाता है।

रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न

सामान्य स्थिति में एक रचनात्मक भग्न के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है। सबसे पहले, हमें दो उपयुक्त ज्यामितीय आकृतियों की आवश्यकता है, आइए उन्हें आधार और खंड कहते हैं। पहले चरण में, भविष्य के भग्न का आधार दर्शाया गया है। फिर इसके कुछ हिस्सों को एक उपयुक्त पैमाने में लिए गए टुकड़े से बदल दिया जाता है - यह निर्माण का पहला पुनरावृत्ति है। फिर, परिणामी आकृति में, कुछ भाग फिर से एक टुकड़े के समान आंकड़े में बदल जाते हैं, और इसी तरह। यदि हम इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हैं, तो सीमा में हमें एक फ्रैक्टल मिलता है।

कोच वक्र के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रक्रिया पर विचार करें (पिछले पृष्ठ पर साइडबार देखें)। किसी भी वक्र को कोच वक्र के आधार के रूप में लिया जा सकता है (कोच हिमपात के लिए, यह एक त्रिभुज है)। लेकिन हम खुद को सबसे सरल मामले तक सीमित रखते हैं - एक खंड। टुकड़ा एक टूटी हुई रेखा है जो आकृति के शीर्ष पर दिखाई गई है। एल्गोरिथ्म के पहले पुनरावृत्ति के बाद, इस मामले में, मूल खंड खंड के साथ मेल खाएगा, फिर इसके प्रत्येक घटक खंड को खंड के समान एक टूटी हुई रेखा से बदल दिया जाएगा, और इसी तरह। यह आंकड़ा पहले चार दिखाता है इस प्रक्रिया के चरण।

गणित की भाषा: गतिशील (बीजीय) भग्न

इस प्रकार के भग्न गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों (इसलिए नाम) के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। ऐसी प्रणाली के व्यवहार को एक जटिल अरैखिक फलन (बहुपद) f (z) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। आइए हम जटिल तल पर कुछ प्रारंभिक बिंदु z0 लें (साइडबार देखें)। अब जटिल तल पर संख्याओं के ऐसे अनंत अनुक्रम पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक पिछले एक से प्राप्त होता है: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn)। प्रारंभिक बिंदु z0 के आधार पर, ऐसा अनुक्रम अलग तरह से व्यवहार कर सकता है: अनंतता के रूप में n -> ; किसी अंतिम बिंदु पर अभिसरण; चक्रीय रूप से कई निश्चित मान लें; अधिक जटिल विकल्प संभव हैं।

जटिल आंकड़े

एक सम्मिश्र संख्या एक संख्या है जिसमें दो भाग होते हैं - वास्तविक और काल्पनिक, अर्थात्, औपचारिक योग x + iy (यहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं)। मैं तथाकथित है। काल्पनिक इकाई, यानी एक संख्या जो समीकरण को संतुष्ट करती है मैं ^ 2 = -1। जटिल संख्याओं पर, बुनियादी गणितीय संक्रियाओं को परिभाषित किया जाता है - जोड़, गुणा, भाग, घटाव (केवल तुलना संक्रिया परिभाषित नहीं है)। जटिल संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए, अक्सर एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है - विमान पर (इसे जटिल कहा जाता है), वास्तविक भाग को एब्सिस्सा अक्ष के साथ और काल्पनिक भाग को निर्देशांक अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, जबकि जटिल संख्या एक बिंदु के अनुरूप होगी कार्तीय निर्देशांक x और y के साथ।

इस प्रकार, फ़ंक्शन f (z) के पुनरावृत्तियों के दौरान जटिल विमान के किसी भी बिंदु z का व्यवहार का अपना चरित्र होता है, और पूरे विमान को भागों में विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, इन भागों की सीमाओं पर स्थित बिंदुओं में निम्नलिखित गुण होते हैं: मनमाने ढंग से छोटे विस्थापन के लिए, उनके व्यवहार की प्रकृति नाटकीय रूप से बदलती है (ऐसे बिंदुओं को द्विभाजन बिंदु कहा जाता है)। तो, यह पता चला है कि एक विशिष्ट प्रकार के व्यवहार वाले बिंदुओं के सेट के साथ-साथ द्विभाजन बिंदुओं के सेट में अक्सर फ्रैक्टल गुण होते हैं। ये फंक्शन f(z) के लिए जूलिया सेट हैं।

ड्रैगन परिवार

आधार और टुकड़े को बदलकर, आप रचनात्मक फ्रैक्टल की एक आश्चर्यजनक विविधता प्राप्त कर सकते हैं।
इसके अलावा, समान संचालन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किया जा सकता है। वॉल्यूमेट्रिक फ्रैक्टल के उदाहरण "मेन्जर स्पंज", "सिएरपिंस्की पिरामिड" और अन्य हैं।
ड्रेगन के परिवार को रचनात्मक भग्न भी कहा जाता है। उन्हें कभी-कभी खोजकर्ताओं के नाम से "हेइवेई-हार्टर के ड्रेगन" के रूप में संदर्भित किया जाता है (वे अपने आकार में चीनी ड्रेगन के समान होते हैं)। इस वक्र को बनाने के कई तरीके हैं। उनमें से सबसे सरल और सबसे स्पष्ट यह है: आपको कागज की पर्याप्त लंबी पट्टी लेने की जरूरत है (कागज जितना पतला होगा, उतना अच्छा होगा), और इसे आधा में मोड़ें। फिर इसे फिर से उसी दिशा में आधा मोड़ें, जिस दिशा में पहली बार किया था। कई दोहराव के बाद (आमतौर पर पांच या छह सिलवटों के बाद पट्टी इतनी मोटी हो जाती है कि ध्यान से आगे झुकना संभव न हो), आपको पट्टी को वापस सीधा करने की जरूरत है, और सिलवटों पर 90˚ कोण बनाने का प्रयास करें। फिर प्रोफाइल में ड्रैगन का कर्व निकलेगा। बेशक, यह केवल एक सन्निकटन होगा, जैसे भग्न वस्तुओं को चित्रित करने के हमारे सभी प्रयास। कंप्यूटर आपको इस प्रक्रिया में कई और चरणों को चित्रित करने की अनुमति देता है, और परिणाम एक बहुत ही सुंदर आकृति है।

मंडेलब्रॉट सेट कुछ अलग तरीके से बनाया गया है। फलन fc (z) = z 2 +c पर विचार करें, जहां c एक सम्मिश्र संख्या है। आइए हम इस फ़ंक्शन के अनुक्रम को z0 = 0 के साथ बनाते हैं, पैरामीटर c के आधार पर, यह अनंत तक विचलन कर सकता है या बाध्य रह सकता है। इसके अलावा, c के सभी मान जिनके लिए यह क्रम बाध्य है, मैंडेलब्रॉट सेट का निर्माण करता है। मंडेलब्रॉट और अन्य गणितज्ञों ने इसका विस्तार से अध्ययन किया, जिन्होंने इस सेट के कई दिलचस्प गुणों की खोज की।

यह देखा जा सकता है कि जूलिया और मैंडलब्रॉट सेट की परिभाषा एक दूसरे के समान है। वास्तव में, ये दोनों सेट निकट से संबंधित हैं। अर्थात्, मैंडेलब्रॉट सेट जटिल पैरामीटर c के सभी मान हैं जिसके लिए जूलिया सेट fc (z) जुड़ा हुआ है (एक सेट को कनेक्टेड कहा जाता है यदि इसे कुछ अतिरिक्त शर्तों के साथ दो गैर-प्रतिच्छेदन भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है)।

भग्न और जीवन

आजकल, मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में फ्रैक्टल के सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अनुसंधान के लिए विशुद्ध रूप से वैज्ञानिक वस्तु और पहले से ही उल्लेखित फ्रैक्टल पेंटिंग के अलावा, ग्राफिक डेटा को संपीड़ित करने के लिए सूचना सिद्धांत में फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है (यहां, फ्रैक्टल की आत्म-समानता संपत्ति का मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है - आखिरकार, एक छोटे से टुकड़े को याद रखने के लिए) एक ड्राइंग और ट्रांसफॉर्मेशन जिसके साथ आप बाकी हिस्सों को प्राप्त कर सकते हैं, यह पूरी फाइल को स्टोर करने की तुलना में बहुत कम मेमोरी लेता है)। फ्रैक्टल को परिभाषित करने वाले फ़ार्मुलों में यादृच्छिक गड़बड़ी जोड़कर, कोई स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल प्राप्त कर सकता है जो बहुत ही वास्तविक रूप से कुछ वास्तविक वस्तुओं को व्यक्त करता है - राहत तत्व, जल निकायों की सतह, कुछ पौधे, जिन्हें प्राप्त करने के लिए भौतिकी, भूगोल और कंप्यूटर ग्राफिक्स में सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है। वास्तविक के साथ नकली वस्तुओं की अधिक समानता। रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स में, पिछले एक दशक में, उन्होंने ऐसे एंटेना का उत्पादन करना शुरू किया, जिनका आकार भग्न होता है। कम जगह लेते हुए, वे काफी उच्च गुणवत्ता वाले सिग्नल रिसेप्शन प्रदान करते हैं। अर्थशास्त्री मुद्रा में उतार-चढ़ाव वक्रों का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग करते हैं (इस संपत्ति की खोज मैंडेलब्रॉट ने 30 साल पहले की थी)। यह भग्न की दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का समापन करता है, इसकी सुंदरता और विविधता में अद्भुत है।

उच्च और व्यावसायिक शिक्षा मंत्रालय

इरकुत्स्क स्टेट एकेडमी ऑफ इकोनॉमी

सूचना प्रणाली विभाग

आर्थिक और गणितीय मॉडल और विधियों के अनुसार

भग्न सिद्धांत और उसके अनुप्रयोग

द्वारा तैयार: नेता:

पोगोडेवा ई.ए. टॉल्स्टिकोवा टी.वी.

चेतवेरिकोव एस.वी.

इरकुत्स्क 1997

सभी चित्र समान हैं और

फिर भी एक दूसरे पर नहीं

गोई पसंद नहीं है; उनके चयनकर्ता

मैं गुप्त कानून की ओर इशारा करूंगा

यूट, पवित्र पहेली को...

जे डब्ल्यू गोएथे।

संयंत्र कायापलट।

हम फ्रैक्टल्स के बारे में क्यों बात कर रहे हैं?

हमारी सदी के उत्तरार्ध में प्राकृतिक विज्ञान में थे
मूलभूत परिवर्तन जिन्होंने तथाकथित सिद्धांत को जन्म दिया
स्व-संगठन, या तालमेल। वह अचानक पैदा हुई थी, मानो उस दिन
वैज्ञानिक अनुसंधान की कई पंक्तियों को पार करना। निर्णायकों में से एक
प्रारंभिक आवेगों को रूसी वैज्ञानिकों द्वारा उसके साथ धोखा दिया गया था
अर्द्धशतक - साठ का दशक। पचास के दशक में वैज्ञानिक
विश्लेषणात्मक रसायनज्ञ बीपी बेलौसोव ने रेडॉक्स की खोज की
रासायनिक प्रतिक्रिया। खोज और आत्म-दोलनों और ऑटोवेव्स के दौरान
बेलौसोव प्रतिक्रियाएं

S. E. Shnolem, A. M. Zhabotinsky, V.I. क्रिंस्की, ए.एन. ज़ैकिन, जी.आर.
इवानित्सकी - शायद मौलिक का सबसे शानदार पृष्ठ
युद्ध के बाद की अवधि में रूसी विज्ञान। तेज और सफल शिक्षा
प्रतिक्रिया बेलौसोव - ज़ाबोटिंस्की ने विज्ञान में एक ट्रिगर के रूप में काम किया
हुक: उन्हें तुरंत याद आया कि इस तरह की प्रक्रियाओं को पहले जाना जाता था
आकाशगंगाओं के निर्माण से लेकर कई तरह की प्राकृतिक घटनाएं
बवंडर, चक्रवात और परावर्तक सतहों पर प्रकाश का खेल (इसलिए
कास्टिक कहा जाता है), - वास्तव में, स्व-संगठन की प्रक्रियाएं। वो हैं
बहुत अलग प्रकृति का हो सकता है: रासायनिक, यांत्रिक,
ऑप्टिकल, विद्युत, आदि इसके अलावा, यह पता चला कि
लंबे समय से तैयार है और पूरी तरह से विकसित गणितीय सिद्धांत
स्व-संगठन। इसका आधार ए. पोंकारे और ए.ए.
पिछली शताब्दी के अंत में ल्यपुनोव। निबंध "स्थिरता पर"
आंदोलन" 1892 में ल्यपुनोव द्वारा लिखा गया था।

स्व-संगठन का गणितीय सिद्धांत हमें एक नए तरीके से मजबूर करता है
हमारे आसपास की दुनिया को देखो। आइए बताते हैं कि यह किस तरह से अलग है
शास्त्रीय विश्वदृष्टि, क्योंकि हमें यह जानना होगा कि कब
भग्न वस्तुओं का अध्ययन।

"शास्त्रीय विशिष्ट रूप से नियतात्मक विश्वदृष्टि
एक सपाट, चिकनी सतह का प्रतीक हो सकता है जिस पर
गेंदें टकराती हैं, एक निश्चित मात्रा में गति प्राप्त करती हैं।
ऐसे प्रत्येक निकाय का भविष्य भाग्य विशिष्ट रूप से उसके द्वारा निर्धारित किया जाता है
समय के पिछले क्षण में "अतीत" (गति, आवेश) और
अन्य निकायों के साथ बातचीत। ऐसी प्रणाली की कोई अखंडता नहीं
के पास नहीं है।" (एल। बेलौसोव। एक जीवित आंधी के संदेशवाहक। \\ ज्ञान शक्ति है। N
2. 1996. - पी.32)। इस प्रकार शास्त्रीय विज्ञान का मानना ​​था कि भविष्य
ऐसी प्रणाली कठोर और स्पष्ट रूप से अपने अतीत से निर्धारित होती है और इसके अधीन होती है
अतीत का ज्ञान, असीमित रूप से अनुमानित।

आधुनिक गणित ने दिखाया है कि कुछ मामलों में यह नहीं है
इस तरह: उदाहरण के लिए, यदि गेंदें उत्तल दीवार से टकराती हैं, तो नगण्य
उनके प्रक्षेपवक्र में अंतर अनिश्चित काल तक बढ़ेगा, ताकि
सिस्टम का व्यवहार किसी बिंदु पर अप्रत्याशित हो जाता है।
इस प्रकार, स्पष्ट नियतत्ववाद की स्थिति को भी कम आंका गया था
अपेक्षाकृत सरल स्थितियों में।

स्व-संगठन के सिद्धांत पर आधारित एक विश्वदृष्टि,
घाटियों के साथ एक पहाड़ी देश की छवि का प्रतीक जिसके माध्यम से नदियाँ बहती हैं,
और वाटरशेड लकीरें। इस देश में शक्तिशाली प्रतिक्रिया है
- नकारात्मक और सकारात्मक दोनों। अगर शरीर लुढ़कता है
ढलान के साथ, तो एक सकारात्मक है
प्रतिक्रिया, अगर यह ऊपर चढ़ने की कोशिश करती है, तो नकारात्मक है।
नॉनलाइनियर (पर्याप्त रूप से मजबूत) फीडबैक एक अनिवार्य शर्त है
स्व-संगठन। वैचारिक अर्थों में अरैखिकता का अर्थ है
विकास के बहुभिन्नरूपी पथ, वैकल्पिक रास्तों के विकल्प की उपस्थिति
और विकास की एक निश्चित दर, साथ ही विकासवादी की अपरिवर्तनीयता
प्रक्रियाएं। उदाहरण के लिए, दो निकायों की बातचीत पर विचार करें: ए और बी। बी -
लोचदार पेड़ का तना, ए हमारे देश में एक पहाड़ी धारा है। प्रवाह झुकता है
पानी की गति की दिशा में ट्रंक, लेकिन एक निश्चित तक पहुंचने पर
एक लोचदार बल की कार्रवाई के तहत ट्रंक को झुकाना सीधा कर सकता है, पीछे हटाना
पानी के कण वापस। यही है, हम एक वैकल्पिक बातचीत देखते हैं
दो शरीर ए और बी। इसके अलावा, यह बातचीत इस तरह से होती है कि
कि ए-बी संबंध सकारात्मक है, और बी-ए संबंध नकारात्मक है। शर्त पूरी हो गई है
गैर-रैखिकता।

इसके अलावा, स्व-संगठन सिद्धांत में, हम अपने को मजबूर कर सकते हैं
पहाड़ी देश "जीने" के लिए, यानी समय के साथ बदलने के लिए। साथ ही, यह महत्वपूर्ण है
विभिन्न क्रम के चर का चयन करें। चर का ऐसा पदानुक्रम
स्व-संगठन के आदेश के लिए समय एक आवश्यक शर्त है।
इसे तोड़ो, "मिश्रित" समय - अराजकता आ जाएगी (उदाहरण के लिए, भूकंप,
जब भूवैज्ञानिक क्रम में बदलाव कुछ ही मिनटों में हो जाता है, और
चाहिए - कई सहस्राब्दियों के लिए)। हालाँकि, जैसा कि यह निकला, जीवित
सिस्टम अराजकता से इतना नहीं डरते: वे हर समय इसकी सीमा पर रहते हैं,
कभी-कभी इसमें गिर भी जाते हैं, लेकिन फिर भी वे जानते हैं कि कैसे, जब आवश्यक हो, इससे
चले जाओ। इस मामले में, सबसे महत्वपूर्ण सबसे धीमे हैं
समय चर (उन्हें पैरामीटर कहा जाता है)। यह पैरामीटर मान है
यह निर्धारित करें कि सिस्टम के पास टिकाऊ समाधानों का कौन सा सेट होगा और,
इस प्रकार, इसमें कौन से ढांचे को लागू किया जा सकता है। पर
उसी समय तेज

(गतिशील) चर वसूली योग्य की विशिष्ट पसंद के लिए जिम्मेदार हैं
संभावित लोगों के बीच स्थिर राज्य।

गैर-रैखिकता के सिद्धांत और किसी के विकास को चुनने के विकल्प
प्रक्रिया, प्रणाली का विकास भी भग्न के निर्माण में लागू किया जाता है।

जैसा कि हाल के दशकों में (सिद्धांत के विकास के कारण) स्पष्ट हो गया है
स्व-संगठन), विभिन्न वस्तुओं में आत्म-समानता होती है और
घटना उदाहरण के लिए, पेड़ की शाखाओं में आत्म-समानता देखी जा सकती है और
झाड़ियों, जब एक निषेचित युग्मनज, बर्फ के टुकड़े, क्रिस्टल को विभाजित करते हैं
बर्फ, आर्थिक प्रणालियों (कोंड्राटिव तरंगों) के विकास के साथ, संरचना
पर्वतीय प्रणालियाँ, बादलों की संरचना में। उपरोक्त सभी और अन्य
उनकी संरचना में उनके समान भग्न कहलाते हैं। है कि वे
स्व-समानता, या स्केल इनवेरिएंस के गुण हैं। और इस
इसका मतलब है कि उनकी संरचना के कुछ टुकड़े सख्ती से दोहराए जाते हैं
कुछ स्थानिक अंतराल। स्पष्ट है कि ये वस्तुएं
किसी भी प्रकृति का हो सकता है, और उनका स्वरूप और रूप अपरिवर्तित रहता है
पैमाने की परवाह किए बिना।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मॉडल के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है
मामला जब वास्तविक वस्तु को शास्त्रीय के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है
मॉडल। और इसका मतलब है कि हम गैर-रैखिक संबंधों के साथ काम कर रहे हैं और
डेटा की गैर-नियतात्मक प्रकृति। विश्वदृष्टि में अरैखिकता
भावना का अर्थ है विकास पथों की बहुभिन्नता, से एक विकल्प की उपलब्धता
वैकल्पिक रास्ते और विकास की एक निश्चित गति, साथ ही अपरिवर्तनीयता
विकासवादी प्रक्रियाएं। गणितीय अर्थ में गैर-रैखिकता का अर्थ है
एक निश्चित प्रकार के गणितीय समीकरण (नॉनलाइनियर डिफरेंशियल)
समीकरण) जिसमें एक या . से अधिक घातों में वांछित मात्राएँ हों
माध्यम के गुणों के आधार पर गुणांक। यानी जब हम आवेदन करते हैं
शास्त्रीय मॉडल (उदाहरण के लिए, प्रवृत्ति, प्रतिगमन, आदि), हम
हम कहते हैं कि वस्तु का भविष्य विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। और हम कर सकते हैं
वस्तु के अतीत को जानने के लिए इसकी भविष्यवाणी करें (इनपुट डेटा के लिए
मॉडलिंग)। और फ्रैक्टल का उपयोग तब किया जाता है जब किसी वस्तु में होता है
कई विकास विकल्प और सिस्टम की स्थिति निर्धारित की जाती है
इस समय वह जिस स्थिति में है। यानी हम
अराजक विकास का अनुकरण करने की कोशिश कर रहा है।

फ्रैक्टल का उपयोग हमें क्या देता है?

वे आपको जटिल प्रक्रियाओं और वस्तुओं को बहुत सरल बनाने की अनुमति देते हैं, जो कि बहुत है
मॉडलिंग के लिए महत्वपूर्ण आपको अस्थिर प्रणालियों का वर्णन करने की अनुमति देता है और
प्रक्रियाओं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, ऐसी वस्तुओं के भविष्य की भविष्यवाणी करना।

भग्न सिद्धांत

उपस्थिति की पृष्ठभूमि

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत की उम्र बहुत कम है। वह में दिखाई दी
गणित, कंप्यूटर विज्ञान, भाषा विज्ञान के चौराहे पर साठ के दशक के अंत में
और जीव विज्ञान। उस समय, कंप्यूटर तेजी से जीवन में प्रवेश कर रहे थे।
लोगों, वैज्ञानिकों ने उन्हें अपने शोध में लागू करना शुरू किया, की संख्या
कंप्यूटर उपयोगकर्ता। बड़े पैमाने पर उपयोग के लिए
कंप्यूटर, एक व्यक्ति और के बीच संचार की प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए आवश्यक हो गया
मशीन। यदि कंप्यूटर युग की शुरुआत में कुछ
प्रोग्रामर-उपयोगकर्ताओं ने निस्वार्थ भाव से मशीन में कमांड दर्ज की
कोड और प्राप्त परिणाम अंतहीन पेपर टेप के रूप में, फिर साथ
कंप्यूटर का उपयोग करने के लिए बड़े पैमाने पर और भरी हुई विधा उत्पन्न हुई
एक प्रोग्रामिंग भाषा का आविष्कार करने की आवश्यकता थी जो थी
मशीन के लिए समझ में आएगा, और साथ ही, सीखना आसान होगा और
आवेदन पत्र। यानी उपयोगकर्ता को केवल एक दर्ज करना होगा
कमांड, और कंप्यूटर इसे सरल में विघटित कर देगा, और निष्पादित करेगा
उनके पास पहले से ही होगा। कंप्यूटर विज्ञान के चौराहे पर अनुवादकों के लेखन की सुविधा के लिए
और भाषाविज्ञान, भग्न का एक सिद्धांत उत्पन्न हुआ, जो आपको सख्ती से सेट करने की अनुमति देता है
एल्गोरिथम भाषाओं के बीच संबंध। और डेनिश गणितज्ञ और
जीवविज्ञानी ए लिंडेनमेयर 1968 में एक ऐसा व्याकरण लेकर आए,
जिसे उन्होंने एल-सिस्टम कहा, जो, जैसा कि उनका मानना ​​​​था, विकास को भी मॉडल करता है
जीवित जीव, विशेष रूप से पौधों में झाड़ियों और शाखाओं का निर्माण।

यहां देखिए उनका मॉडल कैसा दिखता है। वर्णमाला सेट करें - मनमाना सेट
पात्र। एक आवंटित करें, प्रारंभिक शब्द, जिसे एक स्वयंसिद्ध कहा जाता है, - आप कर सकते हैं
विचार करें कि यह जीव की प्रारंभिक अवस्था से मेल खाती है - भ्रूण।
और फिर वे वर्णमाला के प्रत्येक वर्ण को एक निश्चित के साथ बदलने के नियमों का वर्णन करते हैं
प्रतीकों का एक समूह, अर्थात्, वे भ्रूण के विकास का नियम निर्धारित करते हैं। प्रचालन
नियम इस प्रकार हैं: हम अभिगृहीत के प्रत्येक प्रतीक को क्रम में पढ़ते हैं और प्रतिस्थापित करते हैं
यह प्रतिस्थापन नियम में निर्दिष्ट शब्द के लिए है।

इस प्रकार अभिगृहीत को एक बार पढ़ने पर हमें एक नई रेखा प्राप्त होती है
वर्ण, जिनके लिए हम फिर से वही प्रक्रिया लागू करते हैं। क्रमशः
एक तेजी से लंबी स्ट्रिंग दिखाई देती है - इनमें से प्रत्येक चरण हो सकता है
"जीव" के विकास में क्रमिक चरणों में से एक माना जाता है।
चरणों की संख्या को सीमित करके, निर्धारित करें कि विकास कब पूर्ण माना जाता है।

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत की उत्पत्ति

बेनोइट मंडेलब्रॉट को भग्न का जनक माना जा सकता है।
मैंडलब्रॉट शब्द "फ्रैक्टल" के आविष्कारक हैं। मैंडलब्रॉट
लिखा: "मैं लैटिन के आधार पर" फ्रैक्टल "शब्द के साथ आया था
विशेषण "फ्रैक्टस", जिसका अर्थ है अनियमित, पुनरावर्ती,
खंडित। भग्न की पहली परिभाषा भी बी मंडेलब्रॉट द्वारा दी गई थी:

भग्न एक स्व-समान संरचना है जिसका प्रतिबिंब किस पर निर्भर नहीं करता है
पैमाना। यह एक पुनरावर्ती मॉडल है, जिसका प्रत्येक भाग अपने आप में दोहराता है
समग्र रूप से संपूर्ण मॉडल का विकास विकास।

आज तक, कई अलग-अलग गणितीय मॉडल हैं
भग्न। उनमें से प्रत्येक की विशिष्ट विशेषता यह है कि
वे कुछ पुनरावर्ती फलन पर आधारित हैं, उदाहरण के लिए: xi=f(xi-1)।
कंप्यूटर के उपयोग के साथ, शोधकर्ताओं के पास प्राप्त करने का अवसर है
भग्न की ग्राफिक छवियां। सबसे सरल मॉडल को बड़े की आवश्यकता नहीं होती है
गणना और उन्हें सीधे कंप्यूटर विज्ञान के पाठ में लागू किया जा सकता है, जबकि
अन्य मॉडल कंप्यूटर शक्ति पर इतनी मांग कर रहे हैं कि वे
सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके कार्यान्वयन किया जाता है। संयोग से, अमेरिका में
राष्ट्रीय अनुप्रयोग केंद्र द्वारा फ्रैक्टल मॉडल का अध्ययन किया जाता है
सुपर कंप्यूटर (एनसीएसए) के लिए। इस काम में, हम केवल दिखाना चाहते हैं
कई फ्रैक्टल मॉडल जिन्हें हम प्राप्त करने में कामयाब रहे।

मंडेलब्रॉट मॉडल।

बेनोइट मंडेलब्रॉट ने एक फ्रैक्टल मॉडल प्रस्तावित किया, जो पहले ही बन चुका है
क्लासिक और अक्सर यह दिखाने के लिए प्रयोग किया जाता है कि कितना विशिष्ट
भग्न का ही उदाहरण, और भग्न की सुंदरता को प्रदर्शित करने के लिए,
जो शोधकर्ताओं, कलाकारों को भी आकर्षित करता है
इच्छुक लोग।

मॉडल का गणितीय विवरण इस प्रकार है: में जटिल तल पर
रिकर्सिव फ़ंक्शन के साथ प्रत्येक बिंदु के लिए कुछ अंतराल की गणना की जाती है
जेड = जेड 2 + सी। ऐसा लगता है, इस समारोह के बारे में इतना खास क्या है? लेकिन N . के बाद
बिंदुओं के निर्देशांक की गणना के लिए इस प्रक्रिया की पुनरावृत्ति, पर
जटिल विमान, आश्चर्यजनक रूप से सुंदर आकृति दिखाई देती है, कुछ
नाशपाती जैसा।

मैंडलब्रॉट मॉडल में, परिवर्तन कारक प्रारंभिक बिंदु है
c, और पैरामीटर z, निर्भर है। इसलिए, एक भग्न का निर्माण करने के लिए
मैंडलब्रॉट एक नियम है: z का प्रारंभिक मान शून्य है (z=0)!
यह प्रतिबंध इसलिए पेश किया गया है ताकि फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न हो
z आरंभिक बिंदु पर शून्य के बराबर था। और इसका मतलब है कि शुरुआत में
बिंदु, फ़ंक्शन का न्यूनतम है, और अब से यह केवल होगा
बड़े मूल्य।

हम यह नोट करना चाहते हैं कि यदि फ्रैक्टल रिकर्सिव फॉर्मूला का एक अलग है
देखें, तो आपको शुरुआती बिंदु का दूसरा मान चुनना चाहिए
पैरामीटर Z. उदाहरण के लिए, यदि सूत्र z=z2+z+c जैसा दिखता है, तो प्रारंभिक
बिंदु होगा:

2*z+1=0 ???z= -1/2.

इस काम में, हमारे पास फ्रैक्टल की छवियों को लाने का अवसर है,
जो एनसीएसए में बनाए गए थे। हमें के माध्यम से छवि फ़ाइलें प्राप्त हुईं
इंटरनेट नेटवर्क।

Fig.1 मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल

आप मंडेलब्रॉट फ्रैक्टल के गणितीय मॉडल को पहले से ही जानते हैं। अब हम
आइए दिखाते हैं कि इसे ग्राफिक रूप से कैसे लागू किया जाता है। मॉडल प्रारंभिक बिंदु
शून्य के बराबर। ग्राफिक रूप से, यह नाशपाती के शरीर के केंद्र से मेल खाती है। N . के माध्यम से
कदम नाशपाती के पूरे शरीर को भर देंगे और उस स्थान पर जहां यह समाप्त हुआ था
अंतिम पुनरावृत्ति, भग्न का "सिर" बनना शुरू हो जाता है।
भग्न का "सिर" शरीर से ठीक चार गुना छोटा होगा, क्योंकि
भग्न का गणितीय सूत्र एक वर्ग है
बहुपद फिर से, एन पुनरावृत्तियों के बाद, "शरीर" बनना शुरू हो जाता है
"गुर्दा" ("शरीर" के दाएं और बाएं)। आदि। अधिक दिया गया
पुनरावृत्तियों की संख्या N, भग्न की छवि जितनी विस्तृत होगी,
जितनी अधिक विभिन्न प्रक्रियाएं होंगी। योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व
मंडेलब्रॉट फ्रैक्टल के विकास चरणों को चित्र 2 में दिखाया गया है:

Fig.2 मंडेलब्रॉट फ्रैक्टल के गठन की योजना

आंकड़े 1 और 2 से पता चलता है कि "शरीर" पर प्रत्येक बाद का गठन
बिल्कुल अपनी संरचना में शरीर को ही दोहराता है। यह विशिष्ट है
विशेषता है कि यह मॉडल एक भग्न है।

निम्नलिखित आंकड़े बताते हैं कि बिंदु की स्थिति कैसे बदलेगी,
बिंदु के विभिन्न प्रारंभिक पदों के लिए पैरामीटर z के अनुरूप
सी।

ए) "बॉडी" में शुरुआती बिंदु बी) शुरुआती बिंदु
सिर में बिंदी

सी) "गुर्दे" में प्रारंभिक बिंदु डी) प्रारंभिक बिंदु
दूसरे स्तर का "गुर्दा"

ई) तीसरे स्तर के "गुर्दे" में प्रारंभिक बिंदु

अंक ए - ई से यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि कैसे प्रत्येक चरण के साथ अधिक से अधिक
फ्रैक्टल की संरचना अधिक जटिल हो जाती है और पैरामीटर z एक तेजी से जटिल हो जाता है
प्रक्षेपवक्र।

मंडेलब्रॉट मॉडल पर सीमाएं: इस बात के प्रमाण हैं कि in
मैंडलब्रॉट मॉडल |z|

जूलिया मॉडल (जूलिया सेट)

जूलिया फ्रैक्टल मॉडल में मॉडल के समान समीकरण होता है
मैंडलब्रॉट: Z=Z2+c, केवल यहाँ चर पैरामीटर है
सी नहीं, लेकिन जेड।

तदनुसार, अब से भग्न की पूरी संरचना बदल जाती है
प्रारंभिक स्थिति किसी भी प्रतिबंध के अधीन नहीं है। बीच में
मंडेलब्रॉट और जूलिया के मॉडल, ऐसा अंतर है: यदि मॉडल
मैंडलब्रॉट स्थिर है (चूंकि प्रारंभिक z हमेशा होता है
शून्य), तो जूलिया मॉडल एक गतिशील भग्न मॉडल है। पर
चावल। 4 जूलिया फ्रैक्टल का चित्रमय प्रतिनिधित्व दिखाता है।

चावल। 4 मॉडल जूलिया

जैसा कि फ्रैक्टल ड्राइंग से देखा जा सकता है, यह केंद्रीय के संबंध में सममित है
डॉट्स आकार, जबकि मंडेलब्रॉट फ्रैक्टल का एक आकार है जो सममित है
धुरी के बारे में।

सीरपिंस्की कालीन

सिएरपिंस्की कालीन को एक और भग्न मॉडल माना जाता है। यह निर्माणाधीन है
इस प्रकार: एक वर्ग लिया जाता है, जिसे नौ वर्गों में विभाजित किया जाता है,
केंद्रीय वर्ग को काटें। फिर शेष आठ में से प्रत्येक के साथ
वर्गों, एक समान प्रक्रिया की जाती है। और इसी तरह एड इनफिनिटम। पर
नतीजतन, एक पूरे वर्ग के बजाय, हमें एक अजीबोगरीब कालीन मिलता है
सममित पैटर्न। यह मॉडल सबसे पहले गणितज्ञ द्वारा प्रस्तावित किया गया था
सीरपिंस्की, जिनके नाम पर इसका नाम पड़ा। कालीन उदाहरण
सिएरपिंस्की को अंजीर में देखा जा सकता है। 4डी.

Fig.4 सिएरपिंस्की कालीन का निर्माण

4. कोच वक्र

20वीं सदी की शुरुआत में, गणितज्ञ ऐसे वक्रों की तलाश में थे जो कहीं और नहीं पाए जा सकते।
बिंदुओं में स्पर्शरेखा नहीं होती है। इसका मतलब यह हुआ कि वक्र ने अचानक अपना बदल दिया
दिशा, और, इसके अलावा, अत्यधिक उच्च गति पर (व्युत्पन्न .)
अनंत के बराबर है)। इन वक्रों की खोज केवल द्वारा नहीं की गई थी
गणितज्ञों की निष्क्रिय रुचि। सच तो यह है कि बीसवीं सदी की शुरुआत में बहुत
क्वांटम यांत्रिकी तेजी से विकसित हुई। शोधकर्ता एम. ब्राउन
पानी में निलंबित कणों की गति के प्रक्षेपवक्र को स्केच किया और इसे समझाया
घटना इस प्रकार है: एक तरल के बेतरतीब ढंग से गतिमान परमाणु टकराते हैं
निलंबित कण और इस तरह उन्हें गति में सेट करते हैं। ऐसे के बाद
ब्राउनियन गति की व्याख्या करते हुए, वैज्ञानिकों को इस तरह की खोज के कार्य का सामना करना पड़ा
वक्र जो गति का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है
ब्राउनियन कण। इसके लिए, वक्र को निम्नलिखित के अनुरूप होना था
गुण: किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं है। गणितज्ञ कोच्चि
एक ऐसा वक्र प्रस्तावित किया। हम स्पष्टीकरण में नहीं जाएंगे
इसके निर्माण के लिए नियम, लेकिन बस इसकी छवि दें, जिससे सभी
स्पष्ट हो जाता है (चित्र 5)।

Fig.5 कोच वक्र के निर्माण के चरण

कोच वक्र फ्रैक्टल का एक और उदाहरण है, क्योंकि इसके प्रत्येक
भाग संपूर्ण वक्र का छोटा प्रतिबिम्ब है।

6. विभिन्न भग्नों की ग्राफिक छवियां

इस अनुच्छेद में, हमने विभिन्न . की ग्राफिक छवियों को रखने का निर्णय लिया है
भग्न जो हमें इंटरनेट से प्राप्त हुए। दुर्भाग्य से हम नहीं हैं
इन भग्नों का गणितीय विवरण खोजने में सक्षम थे, लेकिन
उनकी खूबसूरती को समझने के लिए सिर्फ रेखाचित्र ही काफी हैं।

चावल। भग्न के चित्रमय प्रतिनिधित्व के 6 उदाहरण

द्वितीय खंड

अर्थव्यवस्था में फ्रैक्टल्स के सिद्धांत का अनुप्रयोग

वित्तीय बाजारों का तकनीकी विश्लेषण

दुनिया के विकसित देशों में वित्तीय बाजार सौ से अधिक समय से मौजूद है
वर्षों। सदियों से, लोगों ने प्रतिभूतियों को खरीदा और बेचा है।
प्रतिभूतियों के साथ इस प्रकार के लेन-देन से बाजार सहभागियों को आय प्राप्त हुई
क्योंकि स्टॉक और बॉन्ड की कीमतों में हर समय उतार-चढ़ाव होता रहता है,
लगातार बदल रहे थे। सदियों से, लोगों ने प्रतिभूतियां खरीदी हैं
एक ही कीमत और जब वे अधिक महंगे हो गए तो बेच दिया। लेकिन कभी कभी
खरीदार की उम्मीदें पूरी नहीं हुईं और खरीदे गए कागजात की कीमतें शुरू हो गईं
गिर गया, इस प्रकार, उसे न केवल आय प्राप्त हुई, बल्कि कष्ट भी हुआ
नुकसान। बहुत देर तक किसी ने नहीं सोचा कि ऐसा क्यों होता है:
कीमत बढ़ती है और फिर गिरती है। लोगों ने केवल कार्रवाई का परिणाम देखा और नहीं देखा
उस कारण तंत्र के बारे में सोचा जो इसे उत्पन्न करता है।

यह एक अमेरिकी फाइनेंसर तक हुआ, जिनमें से एक
जाने-माने अखबार "फाइनेंशियल टाइम्स" के प्रकाशक, चार्ल्स डॉव ने नहीं
कई लेख प्रकाशित किए जिनमें उन्होंने अपने विचार व्यक्त किए
वित्तीय बाजार के कामकाज। डॉव ने देखा कि स्टॉक की कीमतें
चक्रीय उतार-चढ़ाव के अधीन: विकास की लंबी अवधि के बाद,
एक लंबी गिरावट, फिर एक और वृद्धि और गिरावट। इस प्रकार,
चार्ल्स डॉव ने पहली बार देखा कि भविष्य की भविष्यवाणी करना संभव है
शेयर की कीमत का व्यवहार, अगर इसकी दिशा कुछ के लिए जानी जाती है
पिछली अवधि।

Fig.1 Ch.Dow के अनुसार मूल्य व्यवहार

इसके बाद, Ch. डॉव द्वारा की गई खोजों के आधार पर, एक संपूर्ण
वित्तीय बाजार के तकनीकी विश्लेषण का सिद्धांत, जो प्राप्त हुआ
डॉव थ्योरी कहा जाता है। यह सिद्धांत नब्बे के दशक का है
उन्नीसवीं सदी, जब सी. डॉव ने अपने लेख प्रकाशित किए।

बाजारों का तकनीकी विश्लेषण भविष्य की भविष्यवाणी करने का एक तरीका है
मूल्य प्रवृत्ति का व्यवहार, उसके व्यवहार के इतिहास के ज्ञान के आधार पर।
पूर्वानुमान के लिए तकनीकी विश्लेषण गणितीय उपयोग करता है
प्रवृत्तियों के गुण, प्रतिभूतियों का आर्थिक प्रदर्शन नहीं।

बीसवीं सदी के मध्य में, जब पूरी वैज्ञानिक दुनिया की दिलचस्पी केवल में थी
कि फ्रैक्टल्स का उभरता हुआ सिद्धांत, एक अन्य प्रसिद्ध अमेरिकी
फाइनेंसर राल्फ इलियट ने स्टॉक की कीमतों के व्यवहार के अपने सिद्धांत का प्रस्ताव रखा,
जो फ्रैक्टल थ्योरी के प्रयोग पर आधारित था।

इलियट इस तथ्य से आगे बढ़े कि भग्नों की ज्यामिति मौजूद नहीं है।
केवल जीवित प्रकृति में, बल्कि सामाजिक प्रक्रियाओं में भी। जनता के लिए
उन्होंने प्रक्रियाओं को स्टॉक एक्सचेंज में शेयरों में व्यापार के लिए जिम्मेदार ठहराया।

इलियट वेव थ्योरी

इलियट वेव थ्योरी सबसे पुराने तकनीकी सिद्धांतों में से एक है।
विश्लेषण। इसकी स्थापना के बाद से, किसी भी उपयोगकर्ता ने इसमें योगदान नहीं दिया है
कोई उल्लेखनीय परिवर्तन। इसके विपरीत, सभी प्रयासों को निर्देशित किया गया था
कि इलियट द्वारा तैयार किए गए सिद्धांत अधिक प्रचलित थे और
और स्पष्टता से। परिणाम स्पष्ट है। इलियट के सिद्धांत की सहायता से,
अमेरिकी डाउ जोंस सूचकांक में उतार-चढ़ाव के लिए सर्वोत्तम पूर्वानुमान।

सिद्धांत का आधार तथाकथित तरंग आरेख है। लहर है
स्पष्ट मूल्य आंदोलन। द्रव्यमान के विकास के नियमों का पालन करना
मनोवैज्ञानिक व्यवहार, सभी मूल्य आंदोलनों को पांच तरंगों में विभाजित किया गया है
एक मजबूत प्रवृत्ति की दिशा, और विपरीत दिशा में तीन तरंगें
दिशा। उदाहरण के लिए, एक प्रमुख प्रवृत्ति के मामले में, हम पांच देखेंगे
लहरें जब कीमत बढ़ती है और तीन - जब चलती (सुधार) नीचे होती है।

पांच-लहर प्रवृत्ति को इंगित करने के लिए, संख्याओं का उपयोग किया जाता है और इसके लिए
विपरीत तीन-लहर - अक्षर। पांच तरंग आंदोलनों में से प्रत्येक
आवेग कहा जाता है, और तीन में से प्रत्येक जीता - सुधारात्मक। इसलिए
प्रत्येक तरंग 1,3,5, A और C आवेग है, और 2,4, और B -
सुधारात्मक

चावल। 7 इलियट वेव चार्ट

इलियट ज्यामिति के संचालन को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने वाले पहले व्यक्तियों में से एक थे
प्रकृति में भग्न, इस मामले में - मूल्य चार्ट में। वह
सुझाव दिया है कि प्रत्येक में बस दिखाए गए आवेग और
सुधारात्मक तरंगें भी इलियट तरंग चार्ट है।
बदले में, उन तरंगों को भी घटकों में विघटित किया जा सकता है, और इसलिए
आगे। इस प्रकार इलियट ने अपघटन के लिए भग्न के सिद्धांत को लागू किया
छोटे और अधिक समझने योग्य भागों में रुझान। इन भागों का अधिक ज्ञान
सबसे बड़े तरंग की तुलना में छोटा पैमाना महत्वपूर्ण है क्योंकि
कि व्यापारी (वित्तीय बाजार सहभागियों), किस भाग में जानते हैं
वे जिस चार्ट में हैं, आत्मविश्वास से प्रतिभूतियों को बेच सकते हैं जब
एक सुधारात्मक लहर शुरू होती है और शुरू होने पर उन्हें खरीदना चाहिए
आवेग लहर।

Fig.8 इलियट आरेख की भग्न संरचना

फाइबोनैचि संख्याएं और तरंगों की विशेषताएं

राल्फ इलियट पहली बार एक संख्या अनुक्रम का उपयोग करने के विचार के साथ आए थे
तकनीकी विश्लेषण के ढांचे के भीतर पूर्वानुमान लगाने के लिए फाइबोनैचि। साथ में
फाइबोनैचि संख्याओं और गुणांकों का उपयोग करके, आप लंबाई का अनुमान लगा सकते हैं
प्रत्येक लहर और उसके पूरा होने का समय। समय के मुद्दे को छुए बिना,
आइए लंबाई निर्धारित करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले नियमों की ओर मुड़ें
इलियट लहरें। लंबाई से, इस मामले में, हमारा मतलब है
कीमतों में वृद्धि या गिरावट।

आवेग तरंगें।

वेव 3 में आमतौर पर तरंग 1 की लंबाई 1.618 होती है, कम बार - बराबर
उसकी।

दो आवेग तरंगें अक्सर लंबाई में बराबर होती हैं, आमतौर पर तरंगें 5
और 1. यह आमतौर पर तब होता है जब तरंग दैर्ध्य 3 1.618 . से कम हो
तरंग दैर्ध्य 1.

अक्सर एक अनुपात होता है जिसमें तरंग दैर्ध्य 5 0.382 . के बराबर होता है
या 0.618 तरंग 1 की शुरुआत से अंत तक कीमत द्वारा तय की गई दूरी
लहरें 3.

सुधार

सुधारात्मक तरंगों की लंबाई एक निश्चित गुणांक बनाती है
पिछले आवेग तरंग की लंबाई से फाइबोनैचि। के अनुसार
प्रत्यावर्तन नियम के अनुसार, तरंगें 2 और 4 प्रतिशत में वैकल्पिक होनी चाहिए
अनुपात। सबसे आम उदाहरण निम्नलिखित है:
वेव 2 वेव 1 का 61.8% था, जबकि वेव 4 हो सकता है
केवल 38.2% या 50% तरंग 3.

निष्कर्ष

हमारे काम में, मानव ज्ञान के सभी क्षेत्रों को नहीं दिया जाता है,
जहां फ्रैक्टल के सिद्धांत ने अपना आवेदन पाया। हम बस इतना ही कहना चाहते हैं
सिद्धांत के उद्भव के बाद से एक तिहाई सदी से अधिक नहीं बीता है, लेकिन इसके लिए
कई शोधकर्ताओं के लिए टाइम फ्रैक्टल अचानक तेज रोशनी बन गए हैं
उन रातों में जो अब तक अज्ञात तथ्यों और प्रतिमानों को प्रकाशित करती हैं
विशिष्ट डेटा क्षेत्र। फ्रैक्टल्स के सिद्धांत का प्रयोग करके समझाने लगे
आकाशगंगाओं का विकास और कोशिका का विकास, पहाड़ों का उदय और गठन
बादल, स्टॉक एक्सचेंज पर कीमतों की आवाजाही और समाज और परिवार का विकास। शायद
शायद पहले तो भग्नों के लिए यह जुनून और भी था
तूफानी और भग्न के सिद्धांत का उपयोग करके सब कुछ समझाने का प्रयास किया गया
अनुचित। लेकिन, निस्संदेह, इस सिद्धांत का अधिकार है
अस्तित्व, और हमें खेद है कि हाल ही में इसे किसी तरह भुला दिया गया है
और चुने हुए के बहुत बने रहे। इस काम को तैयार करने में, हम
व्यवहार में थ्योरी के अनुप्रयोगों को खोजना बहुत दिलचस्प है। क्योंकि
बहुत बार ऐसा महसूस होता है कि सैद्धांतिक ज्ञान में है
वास्तविक जीवन से दूर।

अपने काम के अंत में, हम उत्साही शब्द लाना चाहते हैं
भग्न सिद्धांत के गॉडफादर, बेनोइट मैंडेलब्रॉट: "प्रकृति की ज्यामिति
भग्न! आजकल यह उतना ही बोल्ड और बेतुका लगता है
जी गैलीलियो का प्रसिद्ध विस्मयादिबोधक: "लेकिन फिर भी यह घूमता है!" XVI में
सदी।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

शीपक आई.ए. भग्न, ग्राफ्टल, झाड़ियाँ… // रसायन और जीवन। 1996 6

अराजकता की समझ // रसायन विज्ञान और जीवन। 1992 8

एर्लिच ए। कमोडिटी और शेयर बाजारों का तकनीकी विश्लेषण, एम: इंफ्रा-एम, 1996

इंटरनेट से सामग्री।

फाइबोनैचि अनुक्रम - 1202 में प्रस्तावित अनुक्रम
मध्ययुगीन गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा। प्रजातियों को संदर्भित करता है
वापसी क्रम। a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
फाइबोनैचि गुणांक - दो पड़ोसी पदों को विभाजित करने का भागफल
फाइबोनैचि अनुक्रम: K1=ai/ai-1=1.618,

K2=ai-1/ai=0.618. ये गुणांक तथाकथित हैं
"सुनहरा अनुभाग"।

शेयर की कीमत

स्टॉक मूल्य चार्ट

अक्सर, विज्ञान में की गई शानदार खोजें हमारे जीवन को मौलिक रूप से बदल सकती हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक टीके का आविष्कार कई लोगों को बचा सकता है, और एक नए हथियार का निर्माण हत्या की ओर ले जाता है। सचमुच कल (इतिहास के पैमाने पर) एक व्यक्ति ने बिजली को "वश में" कर लिया, और आज वह इसके बिना अपने जीवन की कल्पना नहीं कर सकता। हालाँकि, ऐसी खोजें भी हैं, जैसा कि वे कहते हैं, छाया में रहती हैं, और इस तथ्य के बावजूद कि उनका हमारे जीवन पर भी कुछ प्रभाव पड़ता है। इन खोजों में से एक फ्रैक्टल थी। अधिकांश लोगों ने ऐसी अवधारणा के बारे में सुना भी नहीं है और न ही इसका अर्थ समझा पाएंगे। इस लेख में हम इस प्रश्न से निपटने की कोशिश करेंगे कि भग्न क्या है, विज्ञान और प्रकृति के दृष्टिकोण से इस शब्द के अर्थ पर विचार करें।

अराजकता में आदेश

यह समझने के लिए कि भग्न क्या है, किसी को गणित की स्थिति से डीब्रीफिंग शुरू करनी चाहिए, हालांकि, इसमें जाने से पहले, हम थोड़ा दर्शन करते हैं। प्रत्येक व्यक्ति में एक स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, जिसकी बदौलत वह अपने आसपास की दुनिया को सीखता है। अक्सर, ज्ञान की अपनी इच्छा में, वह अपने निर्णयों में तर्क के साथ काम करने की कोशिश करता है। इसलिए, आसपास होने वाली प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते हुए, वह संबंधों की गणना करने और कुछ पैटर्न प्राप्त करने का प्रयास करता है। ग्रह पर सबसे बड़े दिमाग इन समस्याओं को हल करने में लगे हुए हैं। मोटे तौर पर, हमारे वैज्ञानिक ऐसे पैटर्न की तलाश कर रहे हैं जहां वे नहीं हैं, और नहीं होने चाहिए। फिर भी, अराजकता में भी कुछ घटनाओं के बीच एक संबंध होता है। यह कनेक्शन फ्रैक्टल है। एक उदाहरण के रूप में, सड़क पर पड़ी एक टूटी हुई शाखा पर विचार करें। अगर हम इसे गौर से देखें तो पाएंगे कि यह अपनी सभी शाखाओं और गांठों के साथ अपने आप में एक पेड़ जैसा दिखता है। एक पूरे के साथ एक अलग हिस्से की यह समानता पुनरावर्ती आत्म-समानता के तथाकथित सिद्धांत की गवाही देती है। प्रकृति में भग्न हर समय पाए जा सकते हैं, क्योंकि एक ही तरह से कई अकार्बनिक और कार्बनिक रूप बनते हैं। ये बादल, और समुद्र के गोले, और घोंघे के गोले, और पेड़ के मुकुट, और यहां तक ​​​​कि संचार प्रणाली भी हैं। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी यादृच्छिक आकृतियों को फ्रैक्टल एल्गोरिथम द्वारा आसानी से वर्णित किया जाता है। यहां हम विचार करते हैं कि सटीक विज्ञान के दृष्टिकोण से फ्रैक्टल क्या है।

कुछ सूखे तथ्य

शब्द "फ्रैक्टल" का लैटिन से "आंशिक", "विभाजित", "खंडित" के रूप में अनुवाद किया गया है, और इस शब्द की सामग्री के लिए, ऐसा कोई शब्द नहीं है। आमतौर पर इसे एक स्व-समान सेट के रूप में माना जाता है, पूरे का एक हिस्सा, जिसे सूक्ष्म स्तर पर इसकी संरचना द्वारा दोहराया जाता है। यह शब्द बीसवीं सदी के सत्तर के दशक में बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा गढ़ा गया था, जिसे पिता के रूप में पहचाना जाता है। आज, फ्रैक्टल की अवधारणा का अर्थ एक निश्चित संरचना का ग्राफिक प्रतिनिधित्व है, जिसे बड़ा करने पर, स्वयं के समान होगा। हालाँकि, इस सिद्धांत के निर्माण का गणितीय आधार स्वयं मैंडलब्रॉट के जन्म से पहले ही रखा गया था, लेकिन यह तब तक विकसित नहीं हो सका जब तक कि इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर सामने नहीं आए।

ऐतिहासिक संदर्भ, या यह सब कैसे शुरू हुआ

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, भग्नों की प्रकृति का अध्ययन प्रासंगिक था। यह इस तथ्य के कारण है कि गणितज्ञ उन वस्तुओं का अध्ययन करना पसंद करते हैं जिनकी जांच सामान्य सिद्धांतों और विधियों के आधार पर की जा सकती है। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ के. वीयरस्ट्रास ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी अवकलनीय नहीं है। हालांकि, यह निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल निकला। इसके बाद स्वेड हेल्ज वॉन कोच आए, जिन्होंने 1904 में एक निरंतर वक्र का निर्माण किया, जिसमें कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है। इसे खींचना काफी आसान है, और, जैसा कि यह निकला, यह भग्न गुणों की विशेषता है। इस वक्र के रूपों में से एक का नाम इसके लेखक के नाम पर रखा गया था - "कोच का हिमपात"। इसके अलावा, आंकड़ों की आत्म-समानता का विचार बी। मैंडेलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक, फ्रांसीसी पॉल लेवी द्वारा विकसित किया गया था। 1938 में उन्होंने "प्लेन एंड स्पैटियल कर्व्स एंड सर्फेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स लाइक ए होल" पेपर प्रकाशित किया। इसमें उन्होंने एक नई प्रजाति का वर्णन किया - लेवी सी-वक्र। उपरोक्त सभी आंकड़े सशर्त रूप से इस प्रकार के ज्यामितीय फ्रैक्टल को संदर्भित करते हैं।

गतिशील या बीजीय भग्न

मैंडलब्रॉट सेट इसी वर्ग का है। फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फतोउ और गैस्टन जूलिया इस दिशा में पहले शोधकर्ता बने। 1918 में जूलिया ने तर्कसंगत जटिल कार्यों के पुनरावृत्तियों के अध्ययन के आधार पर एक पेपर प्रकाशित किया। यहां उन्होंने फ्रैक्टल्स के एक परिवार का वर्णन किया है जो मैंडलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित हैं। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने लेखक को गणितज्ञों के बीच गौरवान्वित किया, इसे जल्दी से भुला दिया गया। और केवल आधी सदी के बाद, कंप्यूटर के लिए धन्यवाद, जूलिया के काम को दूसरा जीवन मिला। कंप्यूटर ने प्रत्येक व्यक्ति को फ्रैक्टल की दुनिया की सुंदरता और समृद्धि को दृश्यमान बनाना संभव बना दिया है जिसे गणितज्ञ कार्यों के माध्यम से प्रदर्शित करके "देख" सकते हैं। मैंडलब्रॉट ने गणना करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे (ऐसे वॉल्यूम को मैन्युअल रूप से करना असंभव है) जिससे इन आंकड़ों की एक छवि बनाना संभव हो गया।

स्थानिक कल्पना वाला आदमी

मैंडलब्रॉट ने आईबीएम रिसर्च सेंटर में अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत की। लंबी दूरी पर डेटा ट्रांसमिशन की संभावनाओं का अध्ययन करते हुए, वैज्ञानिकों को बड़े नुकसान के तथ्य का सामना करना पड़ा जो शोर हस्तक्षेप के कारण उत्पन्न हुए थे। बेनोइट इस समस्या को हल करने के तरीकों की तलाश में था। माप के परिणामों को देखते हुए, उन्होंने एक अजीब पैटर्न की ओर ध्यान आकर्षित किया, अर्थात्: शोर के रेखांकन अलग-अलग समय के पैमानों पर समान दिखते थे।

एक समान तस्वीर एक दिन की अवधि के लिए, और सात दिनों के लिए, या एक घंटे के लिए देखी गई थी। बेनोइट मंडेलब्रॉट ने खुद अक्सर दोहराया कि वह सूत्रों के साथ काम नहीं करता है, लेकिन चित्रों के साथ खेलता है। यह वैज्ञानिक कल्पनाशील सोच से प्रतिष्ठित थे, उन्होंने किसी भी बीजीय समस्या का एक ज्यामितीय क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां सही उत्तर स्पष्ट है। तो यह आश्चर्य की बात नहीं है, अमीरों द्वारा प्रतिष्ठित और फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक बने। आखिरकार, इस आंकड़े के बारे में जागरूकता तभी आ सकती है जब आप रेखाचित्रों का अध्ययन करें और पैटर्न बनाने वाले इन अजीबोगरीब ज़ुल्फ़ों के अर्थ के बारे में सोचें। फ्रैक्टल ड्रॉइंग में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन वे किसी भी पैमाने पर समान होते हैं।

जूलिया - मंडेलब्रोट

इस आंकड़े के पहले चित्रों में से एक सेट की ग्राफिक व्याख्या थी, जो गैस्टन जूलिया के काम के लिए पैदा हुआ था और मंडेलब्रॉट द्वारा अंतिम रूप दिया गया था। गैस्टन यह कल्पना करने की कोशिश कर रहा था कि एक सेट कैसा दिखता है जब इसे एक साधारण सूत्र से बनाया जाता है जिसे फीडबैक लूप द्वारा पुनरावृत्त किया जाता है। आइए समझाने की कोशिश करते हैं कि मानव भाषा में क्या कहा गया है, इसलिए बोलने के लिए, उंगलियों पर। एक विशिष्ट संख्यात्मक मान के लिए, सूत्र का उपयोग करके, हम एक नया मान पाते हैं। हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और निम्नलिखित पाते हैं। परिणाम एक बड़ा है। इस तरह के एक सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन को बड़ी संख्या में करने की आवश्यकता है: सैकड़ों, हजारों, लाखों। बेनोइट ने यही किया। उन्होंने अनुक्रम को संसाधित किया और परिणामों को चित्रमय रूप में स्थानांतरित कर दिया। इसके बाद, उन्होंने परिणामी आकृति को रंग दिया (प्रत्येक रंग एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों से मेल खाता है)। इस ग्राफिक छवि को मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल कहा जाता है।

एल बढ़ई: प्रकृति द्वारा बनाई गई कला

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत को जल्दी ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूंकि यह स्व-समान छवियों के विज़ुअलाइज़ेशन से बहुत निकटता से संबंधित है, इसलिए इन असामान्य रूपों के निर्माण के लिए सिद्धांतों और एल्गोरिदम को अपनाने वाले पहले कलाकार थे। इनमें से पहला पिक्सर स्टूडियो लॉरेन कारपेंटर के भावी संस्थापक थे। विमान के प्रोटोटाइप की प्रस्तुति पर काम करते हुए, वह एक पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की छवि का उपयोग करने के विचार के साथ आया था। आज, लगभग हर कंप्यूटर उपयोगकर्ता इस तरह के कार्य का सामना कर सकता है, और पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक में, कंप्यूटर ऐसी प्रक्रियाओं को करने में सक्षम नहीं थे, क्योंकि उस समय तीन-आयामी ग्राफिक्स के लिए कोई ग्राफिक संपादक और एप्लिकेशन नहीं थे। लॉरेन मेंडलब्रॉट के फ्रैक्टल्स: शेप, रैंडमनेस और डायमेंशन में आए। इसमें बेनोइस ने कई उदाहरण दिए, यह दिखाते हुए कि प्रकृति में फ्रैक्टल हैं (फिवा), उन्होंने उनके विभिन्न रूपों का वर्णन किया और साबित किया कि उन्हें गणितीय अभिव्यक्तियों द्वारा आसानी से वर्णित किया जाता है। गणितज्ञ ने इस सादृश्य को उस सिद्धांत की उपयोगिता के लिए एक तर्क के रूप में उद्धृत किया जिसे वह अपने सहयोगियों की आलोचना की झड़ी के जवाब में विकसित कर रहा था। उन्होंने तर्क दिया कि फ्रैक्टल बिना किसी मूल्य की एक सुंदर तस्वीर है, इलेक्ट्रॉनिक मशीनों का उप-उत्पाद है। बढ़ई ने व्यवहार में इस पद्धति को आजमाने का फैसला किया। पुस्तक का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल ज्योमेट्री को लागू करने का तरीका खोजना शुरू किया। अपने कंप्यूटर पर पहाड़ के परिदृश्य की पूरी तरह से यथार्थवादी छवि प्रस्तुत करने में उन्हें केवल तीन दिन लगे। और आज इस सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैसा कि यह निकला, भग्न बनाने में अधिक समय और प्रयास नहीं लगता है।

बढ़ई का निर्णय

लॉरेन द्वारा इस्तेमाल किया गया सिद्धांत सरल निकला। इसमें बड़े तत्वों को छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल है, और समान छोटे तत्वों में, और इसी तरह। बढ़ई ने बड़े त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, उन्हें 4 छोटे त्रिकोणों में कुचल दिया, और इसी तरह, जब तक कि उसे एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं मिला। इस प्रकार, वह आवश्यक छवि बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिदम लागू करने वाले पहले कलाकार बन गए। आज, इस सिद्धांत का उपयोग विभिन्न यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों का अनुकरण करने के लिए किया जाता है।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम पर आधारित पहला 3डी विज़ुअलाइज़ेशन

कुछ साल बाद, लॉरेन ने अपने काम को एक बड़े पैमाने पर प्रोजेक्ट में लागू किया - एक एनिमेटेड वीडियो वॉल लिबरे, जो 1980 में सिग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने कई लोगों को चौंका दिया, और इसके निर्माता को लुकासफिल्म में काम करने के लिए आमंत्रित किया गया। यहां एनिमेटर खुद को पूरी तरह से महसूस करने में सक्षम था, उसने फीचर फिल्म "स्टार ट्रेक" के लिए त्रि-आयामी परिदृश्य (संपूर्ण ग्रह) बनाया। कोई भी आधुनिक कार्यक्रम ("फ्रैक्टल्स") या त्रि-आयामी ग्राफिक्स (टेरेजेन, वीयू, ब्राइस) बनाने के लिए आवेदन बनावट और सतहों के मॉडलिंग के लिए एक ही एल्गोरिदम का उपयोग करता है।

टॉम बेडार्ड

एक पूर्व लेजर भौतिक विज्ञानी और अब डिजिटल कलाकार और कलाकार, बेडार्ड ने अत्यधिक पेचीदा ज्यामितीय आकृतियों की एक श्रृंखला बनाई, जिसे उन्होंने फैबरेज के फ्रैक्टल कहा। बाह्य रूप से, वे एक रूसी जौहरी के सजावटी अंडे से मिलते जुलते हैं, उनके पास एक ही शानदार जटिल पैटर्न है। बेडर्ड ने मॉडल के अपने डिजिटल रेंडरिंग बनाने के लिए एक टेम्पलेट विधि का उपयोग किया। परिणामी उत्पाद उनकी सुंदरता में प्रहार कर रहे हैं। हालांकि कई लोग हाथ से बने उत्पाद की तुलना कंप्यूटर प्रोग्राम से करने से इनकार करते हैं, लेकिन यह स्वीकार किया जाना चाहिए कि परिणामी रूप असामान्य रूप से सुंदर हैं। हाइलाइट यह है कि कोई भी वेबजीएल सॉफ्टवेयर लाइब्रेरी का उपयोग करके इस तरह के फ्रैक्टल का निर्माण कर सकता है। यह आपको वास्तविक समय में विभिन्न भग्न संरचनाओं का पता लगाने की अनुमति देता है।

प्रकृति में भग्न

कम ही लोग ध्यान देते हैं, लेकिन ये आश्चर्यजनक आंकड़े हर जगह हैं। प्रकृति स्व-समान आकृतियों से बनी है, हम इसे नोटिस नहीं करते हैं। हमारी त्वचा या पेड़ के पत्ते पर एक आवर्धक कांच के माध्यम से देखने के लिए पर्याप्त है, और हम फ्रैक्टल देखेंगे। या, उदाहरण के लिए, एक अनानास या यहां तक ​​\u200b\u200bकि एक मोर की पूंछ लें - उनमें समान आंकड़े होते हैं। और रोमनस्क्यू ब्रोकोली किस्म आम तौर पर अपनी उपस्थिति में हड़ताली है, क्योंकि इसे वास्तव में प्रकृति का चमत्कार कहा जा सकता है।

संगीत विराम

यह पता चला है कि फ्रैक्टल न केवल ज्यामितीय आकार हैं, वे ध्वनि भी हो सकते हैं। तो, संगीतकार जोनाथन कोल्टन फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके संगीत लिखते हैं। वह प्राकृतिक सद्भाव के अनुरूप होने का दावा करता है। संगीतकार अपने सभी कार्यों को क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-गैर-वाणिज्यिक लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो अन्य व्यक्तियों द्वारा मुफ्त वितरण, प्रतिलिपि, कार्यों के हस्तांतरण का प्रावधान करता है।

फ्रैक्टल संकेतक

इस तकनीक को एक बहुत ही अप्रत्याशित अनुप्रयोग मिला है। इसके आधार पर, स्टॉक एक्सचेंज बाजार का विश्लेषण करने के लिए एक उपकरण बनाया गया था, और परिणामस्वरूप, इसका उपयोग विदेशी मुद्रा बाजार में किया जाने लगा। अब फ्रैक्टल इंडिकेटर सभी ट्रेडिंग प्लेटफॉर्म पर पाया जाता है और इसका उपयोग ट्रेडिंग तकनीक में किया जाता है जिसे प्राइस ब्रेकआउट कहा जाता है। बिल विलियम्स ने इस तकनीक को विकसित किया। जैसा कि लेखक अपने आविष्कार पर टिप्पणी करता है, यह एल्गोरिथ्म कई "मोमबत्तियों" का एक संयोजन है, जिसमें केंद्रीय एक अधिकतम या, इसके विपरीत, न्यूनतम चरम बिंदु को दर्शाता है।

आखिरकार

तो हमने विचार किया है कि फ्रैक्टल क्या है। यह पता चला है कि हमारे आस-पास की अराजकता में वास्तव में आदर्श रूप हैं। प्रकृति सर्वश्रेष्ठ वास्तुकार, आदर्श निर्माता और इंजीनियर है। यह बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित है, और यदि हमें कोई पैटर्न नहीं मिल रहा है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह अस्तित्व में नहीं है। शायद आपको एक अलग पैमाने पर देखने की जरूरत है। हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि भग्न अभी भी बहुत सारे रहस्य रखते हैं जिन्हें हम अभी तक नहीं खोज पाए हैं।

सभी को नमस्कार! मेरा नाम है, रिबेनेक वेलेरिया,उल्यानोवस्क और आज मैं अपने कई वैज्ञानिक लेख एलसीआई वेबसाइट पर पोस्ट करूंगा।

इस ब्लॉग में मेरा पहला वैज्ञानिक लेख समर्पित होगा भग्न. मैं तुरंत कहूंगा कि मेरे लेख लगभग सभी दर्शकों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। वे। मुझे आशा है कि वे स्कूली बच्चों और छात्रों दोनों के लिए रुचिकर होंगे।

हाल ही में मैंने गणितीय दुनिया की ऐसी दिलचस्प वस्तुओं के बारे में सीखा जैसे फ्रैक्टल। लेकिन वे न केवल गणित में मौजूद हैं। वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। भग्न प्राकृतिक हैं। भग्न क्या हैं, भग्न के प्रकार, इन वस्तुओं के उदाहरणों और उनके अनुप्रयोग के बारे में, मैं इस लेख में बताऊंगा। आरंभ करने के लिए, मैं आपको संक्षेप में बताऊंगा कि भग्न क्या है।

भग्न(अक्षांश। फ्रैक्टस - कुचला हुआ, टूटा हुआ, टूटा हुआ) एक जटिल ज्यामितीय आकृति है जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है, अर्थात यह कई भागों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक संपूर्ण आकृति के समान होता है। व्यापक अर्थों में, फ्रैक्टल को यूक्लिडियन स्पेस में बिंदुओं के सेट के रूप में समझा जाता है, जिसमें एक भिन्नात्मक मीट्रिक आयाम (मिन्कोव्स्की या हॉसडॉर्फ के अर्थ में), या टोपोलॉजिकल के अलावा एक मीट्रिक आयाम होता है। उदाहरण के लिए, मैं चार अलग-अलग फ्रैक्टल की तस्वीर डालूंगा।

मैं आपको भग्नों के इतिहास के बारे में थोड़ा बताता हूँ। फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामर्स के दैनिक जीवन में मजबूती से स्थापित हो गई हैं। "फ्रैक्टल" शब्द को बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में पेश किया गया था, जिसका अध्ययन उन्होंने अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं के संदर्भ में किया था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर मैंडलब्रॉट की किताब द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर के 1977 में प्रकाशन से जुड़ा है। उनके कार्यों ने अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया, जिन्होंने 1875-1925 की अवधि में उसी क्षेत्र में काम किया (पोंकारे, फतो, जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ)। लेकिन केवल हमारे समय में उनके काम को एक प्रणाली में जोड़ना संभव था।

भग्न के कई उदाहरण हैं, क्योंकि जैसा कि मैंने कहा, वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। मेरी राय में, हमारा पूरा ब्रह्मांड भी एक विशाल भग्न है। आखिरकार, इसमें सब कुछ, परमाणु की संरचना से लेकर ब्रह्मांड की संरचना तक, बिल्कुल एक दूसरे को दोहराता है। लेकिन, निश्चित रूप से, विभिन्न क्षेत्रों से फ्रैक्टल के अधिक विशिष्ट उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, भग्न जटिल गतिकी में मौजूद होते हैं। वहाँ वे स्वाभाविक रूप से अरेखीय के अध्ययन में प्रकट होते हैं गतिशील प्रणाली. सबसे अधिक अध्ययन किया गया मामला तब है जब गतिशील प्रणाली को पुनरावृत्तियों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है बहुपदया होलोमोर्फिक चर के एक परिसर का कार्यसतह पर। इस प्रकार के कुछ सबसे प्रसिद्ध भग्न जूलिया सेट, मैंडलब्रॉट सेट और न्यूटन बेसिन हैं। नीचे, क्रम में, चित्र उपरोक्त प्रत्येक फ्रैक्टल को दिखाते हैं।

फ्रैक्टल का एक अन्य उदाहरण फ्रैक्टल वक्र हैं। फ्रैक्टल कर्व्स के उदाहरण का उपयोग करके यह समझाना सबसे अच्छा है कि फ्रैक्टल कैसे बनाया जाए। ऐसा ही एक वक्र तथाकथित कोच स्नोफ्लेक है। समतल पर भग्न वक्र प्राप्त करने की एक सरल प्रक्रिया है। हम एक सीमित संख्या में लिंक के साथ एक मनमानी टूटी हुई रेखा को परिभाषित करते हैं, जिसे जनरेटर कहा जाता है। अगला, हम इसमें प्रत्येक खंड को एक जनरेटर (अधिक सटीक रूप से, एक जनरेटर के समान एक टूटी हुई रेखा) से बदलते हैं। परिणामी टूटी हुई रेखा में, हम फिर से प्रत्येक खंड को एक जनरेटर से बदल देते हैं। अनंत तक जारी रखते हुए, सीमा में हमें एक फ्रैक्टल वक्र मिलता है। नीचे दिखाया गया एक कोच स्नोफ्लेक (या वक्र) है।

बहुत सारे फ्रैक्टल वक्र भी हैं। उनमें से सबसे प्रसिद्ध पहले से ही उल्लेखित कोच स्नोफ्लेक, साथ ही लेवी वक्र, मिंकोव्स्की वक्र, टूटा हुआ ड्रैगन, पियानो वक्र और पाइथागोरस पेड़ हैं। इन भग्नों और उनके इतिहास की एक छवि, मुझे लगता है, यदि आप चाहें, तो आप आसानी से विकिपीडिया पर पा सकते हैं।

तीसरा उदाहरण या प्रकार के फ्रैक्टल स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल हैं। इस तरह के फ्रैक्टल्स में एक विमान और अंतरिक्ष में ब्राउनियन गति का प्रक्षेपवक्र, श्राम-लोवेनर इवोल्यूशन, विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक फ्रैक्टल, यानी एक पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त फ्रैक्टल शामिल हैं, जिसमें प्रत्येक चरण में एक यादृच्छिक पैरामीटर पेश किया जाता है।

विशुद्ध रूप से गणितीय भग्न भी हैं। ये हैं, उदाहरण के लिए, कैंटर सेट, मेन्जर स्पंज, सिएरपिंस्की त्रिकोण, और अन्य।

लेकिन शायद सबसे दिलचस्प भग्न प्राकृतिक हैं। प्राकृतिक भग्न प्रकृति में ऐसी वस्तुएं हैं जिनमें भग्न गुण होते हैं। और पहले से ही एक बड़ी सूची है। मैं सब कुछ सूचीबद्ध नहीं करूंगा, क्योंकि, शायद, मैं उन सभी को सूचीबद्ध नहीं कर सकता, लेकिन मैं कुछ के बारे में बताऊंगा। उदाहरण के लिए, जीवित प्रकृति में, ऐसे भग्न में हमारा संचार तंत्र और फेफड़े शामिल होते हैं। और पेड़ों के मुकुट और पत्ते भी। इसके अलावा यहां आप स्टारफिश, समुद्री अर्चिन, मूंगा, समुद्री गोले, कुछ पौधे, जैसे गोभी या ब्रोकोली शामिल कर सकते हैं। नीचे, वन्यजीवों से ऐसे कई प्राकृतिक भग्न स्पष्ट रूप से दिखाए गए हैं।

यदि हम निर्जीव प्रकृति पर विचार करें, तो जीवित प्रकृति से कहीं अधिक रोचक उदाहरण हैं। बिजली, बर्फ के टुकड़े, बादल, सभी को ज्ञात, ठंढे दिनों में खिड़कियों पर पैटर्न, क्रिस्टल, पर्वत श्रृंखलाएँ - ये सभी निर्जीव प्रकृति से प्राकृतिक भग्न के उदाहरण हैं।

हमने भग्नों के उदाहरणों और प्रकारों पर विचार किया है। भग्न के उपयोग के लिए, उनका उपयोग ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब गैर-रेखीय प्रक्रियाओं को मॉडलिंग करते हैं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखना प्रक्रियाएं, लपटें, बादल, आदि। फ्रैक्टल्स का उपयोग झरझरा सामग्री मॉडलिंग करते समय किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी के मॉडल और आंतरिक अंगों (रक्त वाहिकाओं की प्रणाली) की प्रणालियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। कोच वक्र के निर्माण के बाद, समुद्र तट की लंबाई की गणना में इसका उपयोग करने का प्रस्ताव रखा गया था। इसके अलावा, रेडियो इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, दूरसंचार और यहां तक ​​कि अर्थशास्त्र में भी फ्रैक्टल का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। और, ज़ाहिर है, समकालीन कला और वास्तुकला में फ्रैक्टल दृष्टि का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। यहां फ्रैक्टल पेंटिंग का एक उदाहरण दिया गया है:

और इसलिए, इस पर मैं एक फ्रैक्टल जैसी असामान्य गणितीय घटना के बारे में अपनी कहानी को पूरा करने के बारे में सोचता हूं। आज हमने भग्न क्या है, यह कैसे प्रकट हुआ, भग्न के प्रकार और उदाहरणों के बारे में सीखा। और मैंने उनके आवेदन के बारे में भी बात की और कुछ भग्नों को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। मुझे आशा है कि आपने अद्भुत और मोहक भग्न वस्तुओं की दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का आनंद लिया।