पाठ का विषय: "डायहेड्रल कोण"।

पाठ का उद्देश्य: एक डायहेड्रल कोण और उसके रैखिक कोण की अवधारणा का परिचय।

कार्य:

शैक्षिक: इन अवधारणाओं के अनुप्रयोग के लिए कार्यों पर विचार करने के लिए, विमानों के बीच के कोण को खोजने का एक रचनात्मक कौशल बनाने के लिए;

विकसित होना: छात्रों की रचनात्मक सोच का विकास, छात्रों का व्यक्तिगत आत्म-विकास, छात्रों के भाषण का विकास;

शैक्षिक: मानसिक कार्य, संचार संस्कृति, चिंतनशील संस्कृति की संस्कृति की शिक्षा।

पाठ प्रकार: नया ज्ञान सीखने का एक पाठ

शिक्षण विधियों: व्याख्यात्मक और दृष्टांत

उपकरण: कंप्यूटर, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड।

साहित्य:

ज्यामिति। ग्रेड 10-11: पाठ्यपुस्तक। 10-11 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान: बुनियादी और प्रोफाइल। स्तर / [एल। एस। अतानासियन, वी। एफ। बुटुज़ोव, एस। बी। कदोमत्सेव और अन्य] - 18 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2009। - 255 पी।

शिक्षण योजना:

संगठनात्मक क्षण (2 मिनट)

ज्ञान अपडेट करना (5 मिनट)

नई सामग्री सीखना (12 मिनट)

अध्ययन सामग्री का समेकन (21 मिनट)

होमवर्क (2 मिनट)

संक्षेप (3 मिनट)

कक्षाओं के दौरान:

1. संगठनात्मक क्षण।

कक्षा के शिक्षक द्वारा अभिवादन, पाठ के लिए कक्ष तैयार करना, अनुपस्थितियों की जाँच करना शामिल है।

2. बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति।

शिक्षक: पिछले पाठ में आपने एक स्वतंत्र रचना लिखी थी। सामान्य तौर पर, काम अच्छी तरह से लिखा गया था। अब थोड़ा दोहराते हैं। समतल पर कोण को क्या कहते हैं?

विद्यार्थी: समतल में एक कोण एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति है।

शिक्षक: अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच के कोण को क्या कहते हैं?

विद्यार्थी: अंतरिक्ष में दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण इन रेखाओं की किरणों द्वारा उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर शीर्ष के साथ बनने वाले कोणों में सबसे छोटा होता है।

विद्यार्थी: प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण डेटा के समानांतर क्रमशः प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण है।

शिक्षक: रेखा और समतल के बीच के कोण को क्या कहते हैं?

विद्यार्थी: रेखा और समतल के बीच का कोणएक सीधी रेखा और इस तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच के किसी कोण को कहते हैं।

3. नई सामग्री का अध्ययन।

शिक्षक: स्टीरियोमेट्री में, ऐसे कोणों के साथ, एक अन्य प्रकार के कोणों को माना जाता है - डायहेड्रल कोण। आपने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया था कि आज के पाठ का विषय क्या है, इसलिए अपनी नोटबुक खोलें, आज की तारीख और पाठ का विषय लिखें।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना:

10.12.14.

डायहेड्रल कोण।

शिक्षक : डायहेड्रल कोण की अवधारणा को पेश करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि किसी दिए गए विमान में खींची गई कोई भी सीधी रेखा इस विमान को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।(चित्र 1ए)

शिक्षक : आइए कल्पना करें कि हमने समतल को एक सीधी रेखा में मोड़ा है ताकि सीमा वाले दो अर्ध-तल अब एक ही तल में न पड़े हों (चित्र 1, ख)। परिणामी आंकड़ा डायहेड्रल कोण है। एक डायहेड्रल कोण एक सीधी रेखा और दो अर्ध-तलों द्वारा एक सामान्य सीमा के साथ बनाई गई एक आकृति है जो एक ही विमान से संबंधित नहीं है। एक विकर्ण कोण बनाने वाले अर्ध-तलों को इसके फलक कहा जाता है। एक डायहेड्रल कोण के दो फलक होते हैं, इसलिए नाम - डायहेड्रल कोण। सीधी रेखा - अर्ध-तलों की उभयनिष्ठ सीमा - को द्वितल कोण का किनारा कहा जाता है। अपनी नोटबुक में परिभाषा लिखें।

एक डायहेड्रल कोण एक सीधी रेखा और दो अर्ध-तलों द्वारा एक सामान्य सीमा के साथ बनाई गई एक आकृति है जो एक ही विमान से संबंधित नहीं है।

शिक्षक : रोजमर्रा की जिंदगी में, हम अक्सर ऐसी वस्तुओं का सामना करते हैं जिनका आकार एक डायहेड्रल कोण का होता है। उदाहरण दो।

विद्यार्थी : आधा खुला फ़ोल्डर।

विद्यार्थी : फर्श के साथ कमरे की दीवार।

विद्यार्थी : इमारतों की विशाल छतें।

शिक्षक : सही। और ऐसे कई उदाहरण हैं।

शिक्षक : जैसा कि आप जानते हैं, समतल पर कोणों को अंशों में मापा जाता है। आपके पास शायद एक प्रश्न है, लेकिन डायहेड्रल कोणों को कैसे मापा जाता है? यह निम्न प्रकार से किया जाता है।हम डायहेड्रल कोण के किनारे पर कुछ बिंदु चिह्नित करते हैं, और इस बिंदु से प्रत्येक चेहरे में हम किनारे पर लंबवत किरण खींचते हैं। इन किरणों से बनने वाले कोण को डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण कहा जाता है। अपनी नोटबुक में एक चित्र बनाएं।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना।

हे ∈ ए, एओ ⊥ ए, वीओ ⊥ ए, एसएबीडी- डायहेड्रल कोण,∠ एओबीडायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है।

शिक्षक : एक विकर्ण कोण के सभी रैखिक कोण बराबर होते हैं। अपने आप को कुछ इस तरह बनाओ।

शिक्षक : आइए इसे साबित करें। दो रैखिक कोणों पर विचार करें AOB तथापीक्यूआर. किरणें OA औरक्यूपीएक ही चेहरे पर झूठ बोलते हैं और लंबवत होते हैंओक्यू, जिसका अर्थ है कि वे संरेखित हैं। इसी प्रकार किरणें OB तथाक्यूआरसह-निर्देशित। माध्यम,∠ एओबी= ∠ पीक्यूआर(कोडरेक्शनल पक्षों वाले कोणों की तरह)।

शिक्षक : खैर, अब हमारे प्रश्न का उत्तर यह है कि विकर्ण कोण को कैसे मापा जाता है।एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप इसके रैखिक कोण का डिग्री माप है। पृष्ठ 48 पर पाठ्यपुस्तक से एक न्यून, दाएँ, और अधिक विकर्ण कोण के चित्र फिर से बनाएँ।

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

शिक्षक : कार्यों के लिए चित्र बनाएं।

№ 1 . दिया गया:एबीसी, AC = BC, AB समतल में स्थित हैα, सीडी ⊥ α, सी∉ ए। डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करेंसीएबीडी.

विद्यार्थी : फेसला:से। मी ⊥ अब, डीसी ⊥ एबी.∠ अध्यक्ष एवं प्रबंध निदेशक - इच्छित।

№ 2. दिया गया:एबीसी, ∠ सी= 90°, BC समतल हैα, एओ⊥ α, ए∈ α.

डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करेंएवीएसओ।

विद्यार्थी : फेसला:अब ⊥ ईसा पूर्व, जेएससी⊥ सूर्य का अर्थ है ओएस⊥ सूरज।∠ एसीओ - इच्छित।

№ 3 . दिया गया:एबीसी, ∠ सी \u003d 90 डिग्री, एबी विमान में स्थित हैα, सीडी⊥ α, सी∉ ए। निर्माणरैखिक डायहेड्रल कोणडीएबीसी.

विद्यार्थी : फेसला: सी.के. ⊥ अब, डीसी ⊥ एबी,डीके ⊥ एबी का अर्थ है∠ डीकेसी - इच्छित।

№ 4 . दिया गया:डीएबीसी- चतुष्फलक,करना⊥ एबीसीद्विफलकीय कोण के रैखिक कोण की रचना कीजिएऐ बी सी डी.

विद्यार्थी : फेसला:डीएम ⊥ रवि,करना ⊥ BC का अर्थ है OM⊥ रवि;∠ ओएमडी - इच्छित।

5. संक्षेप।

शिक्षक: आज के पाठ में आपने क्या नया सीखा?

छात्र : द्विफलक कोण क्या कहलाता है, रैखिक कोण, द्विफलक कोण को कैसे मापा जाता है।

शिक्षक : आपने क्या दोहराया?

छात्र : समतल पर कोण क्या कहलाता है; रेखाओं के बीच का कोण।

6. गृहकार्य।

बोर्ड पर और डायरियों में लिखना: मद 22, संख्या 167, संख्या 170।

एक डायहेड्रल कोण की अवधारणा

डायहेड्रल कोण की अवधारणा को पेश करने के लिए, पहले हम स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्धों में से एक को याद करते हैं।

किसी भी विमान को इस विमान में पड़ी लाइन $a$ के दो आधे विमानों में विभाजित किया जा सकता है। इस मामले में, एक ही अर्ध-तल में स्थित बिंदु सीधी रेखा $a$ के एक ही तरफ होते हैं, और विभिन्न अर्ध-तलों में स्थित बिंदु सीधी रेखा $a$ (चित्र 1) के विपरीत पक्षों पर होते हैं। )

चित्र 1।

डायहेड्रल कोण के निर्माण का सिद्धांत इस स्वयंसिद्ध पर आधारित है।

परिभाषा 1

आकृति कहलाती है द्विफलक कोणयदि इसमें एक रेखा और इस रेखा के दो अर्ध-तल हैं जो एक ही तल से संबंधित नहीं हैं।

इस मामले में, विकर्ण कोण के आधे तल को कहा जाता है चेहरे के, और अर्ध-तलों को अलग करने वाली सीधी रेखा - द्विध्रुवीय किनारा(चित्र .1)।

चित्रा 2. डायहेड्रल कोण

एक डायहेड्रल कोण की डिग्री माप

परिभाषा 2

हम किनारे पर एक मनमाना बिंदु $A$ चुनते हैं। अलग-अलग अर्ध-तलों में पड़ी दो रेखाओं के बीच के कोण, किनारे के लंबवत और बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करने वाले कोण को कहा जाता है रैखिक कोण डायहेड्रल कोण(चित्र 3)।

चित्र तीन

जाहिर है, प्रत्येक डायहेड्रल कोण में अनंत संख्या में रैखिक कोण होते हैं।

प्रमेय 1

एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

प्रमाण।

दो रैखिक कोणों $AOB$ और $A_1(OB)_1$ पर विचार करें (चित्र 4)।

चित्र 4

चूँकि किरणें $OA$ और $(OA)_1$ एक ही अर्ध-तल $\alpha $ में स्थित हैं और एक सीधी रेखा के लंबवत हैं, वे सह-दिशा में हैं। चूँकि किरणें $OB$ और $(OB)_1$ एक ही अर्ध-तल $\beta $ में स्थित हैं और एक सीधी रेखा के लंबवत हैं, वे सह-दिशा में हैं। इसलिये

\[\कोण एओबी=\कोण ए_1(ओबी)_1\]

रैखिक कोणों की पसंद की मनमानी के कारण। एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिभाषा 3

एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप एक डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का डिग्री माप है।

कार्य उदाहरण

उदाहरण 1

आइए हमें दो गैर-लंबवत विमान $\alpha $ और $\beta $ दिए जाते हैं जो $m$ रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु $A$ विमान $\beta $ के अंतर्गत आता है। $AB$ रेखा $m$ का लंबवत है। $AC$ विमान $\alpha $ के लंबवत है (बिंदु $C$ $\alpha $ से संबंधित है)। सिद्ध कीजिए कि कोण $ABC$ विकर्ण कोण का एक रैखिक कोण है।

प्रमाण।

आइए समस्या की स्थिति के अनुसार एक चित्र बनाएं (चित्र 5)।

चित्र 5

इसे सिद्ध करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रमेय को याद करते हैं:

प्रमेय 2:एक झुकी हुई रेखा के आधार से गुजरने वाली एक सीधी रेखा, उसके लंबवत, उसके प्रक्षेपण के लंबवत होती है।

चूंकि $AC$ $\alpha $ विमान के लिए लंबवत है, तो बिंदु $C$ $\alpha $ विमान पर बिंदु $A$ का प्रक्षेपण है। इसलिए $BC$ परोक्ष $AB$ का प्रक्षेपण है। प्रमेय 2 के अनुसार, $BC$ एक द्विफलकीय कोण के एक किनारे पर लंबवत है।

फिर, कोण $ABC$ एक डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण को परिभाषित करने के लिए सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है।

उदाहरण 2

डायहेड्रल कोण $30^\circ$ है। एक फलक पर बिंदु $A$ है, जो दूसरे फलक से $4$ सेमी की दूरी पर है। बिंदु $A$ से विकर्ण कोण के किनारे तक की दूरी ज्ञात करें।

फेसला।

आइए चित्र 5 को देखें।

अनुमान के अनुसार, हमारे पास $AC=4\ cm$ है।

एक डायहेड्रल कोण के डिग्री माप की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास कोण $ABC$ $30^\circ$ के बराबर है।

त्रिभुज $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है। न्यून कोण की ज्या की परिभाषा के अनुसार

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

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स्लाइड कैप्शन:

डबल एंगल गणित शिक्षक जीओयू माध्यमिक विद्यालय 10 एरेमेन्को एम.ए.

पाठ के मुख्य उद्देश्य: एक डायहेड्रल कोण और उसके रैखिक कोण की अवधारणा का परिचय दें इन अवधारणाओं के अनुप्रयोग के लिए कार्यों पर विचार करें

परिभाषा: एक डायहेड्रल कोण एक सामान्य सीमा रेखा के साथ दो अर्ध-तलों द्वारा बनाई गई आकृति है।

एक द्विफलकीय कोण का मान उसके रैखिक कोण का मान होता है। AF CD BF ⊥ CD AFB विकर्ण कोण ACD B . का रैखिक कोण है

आइए हम सिद्ध करें कि एक विकर्ण कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। दो रैखिक कोणों AOB और A 1 OB 1 पर विचार करें। किरणें OA और OA 1 एक ही फलक पर स्थित हैं और OO 1 के लंबवत हैं, इसलिए वे सह-निर्देशित हैं। किरणें OB और OB 1 भी सह-निर्देशित हैं। इसलिए, AOB = A 1 OB 1 (सहदिशा पक्षों वाले कोणों के रूप में)।

डायहेड्रल कोणों के उदाहरण:

परिभाषा: दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण इन तलों द्वारा बनाए गए द्विफलकीय कोणों में सबसे छोटा होता है।

कार्य 1: घन A ... D 1 में समतल ABC और CDD 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर: 90o.

कार्य 2: घन A ... D 1 में समतल ABC और CDA 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर: 45o.

कार्य 3: घन A ... D 1 में समतल ABC और BDD 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर: 90o.

कार्य 4: घन A ... D 1 में समतल ACC 1 और BDD 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर: 90o.

टास्क 5: क्यूब ए ... डी 1 में बीसी 1 डी और बीए 1 डी विमानों के बीच का कोण खोजें। हल: मान लीजिए O B D का मध्यबिंदु है। A 1 OC 1 द्विफलकीय कोण A 1 B D C 1 का रैखिक कोण है।

समस्या 6: चतुष्फलक DABC में सभी किनारे समान हैं, बिंदु M, किनारे AC का मध्यबिंदु है। सिद्ध कीजिए कि DMB द्विफलकीय कोण BACD का एक रैखिक कोण है।

हल: त्रिभुज एबीसी और एडीसी नियमित हैं, इसलिए बीएम एसी और डीएम ⊥ एसी और इसलिए डीएमबी डायहेड्रल कोण डीएसीबी का एक रैखिक कोण है।

टास्क 7: त्रिभुज ABC के शीर्ष B से, जिसकी भुजा AC तल α में स्थित है, इस तल पर एक लंब BB 1 खींचा गया है। बिंदु B से रेखा AC और तल तक की दूरी ज्ञात कीजिए αif AB=2, BAC=150 0 और द्विफलकीय कोण BACB 1 45 0 है।

हल: ABC अधिक कोण A वाला एक अधिक त्रिभुज है, इसलिए ऊँचाई BK का आधार भुजा AC के विस्तार पर स्थित है। VC बिंदु B से AC की दूरी है। BB 1 - बिंदु B से समतल α . की दूरी

2) चूंकि AS VK, तब AS⊥KV 1 (प्रमेय द्वारा तीन लंबवत प्रमेय के विपरीत)। इसलिए, VKV 1 डायहेड्रल कोण BACB 1 और VKV 1 =45 0 का रैखिक कोण है। 3) VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK=1. वीकेवी 1: वीवी 1 \u003d वीके पाप 45 0, वीवी 1 \u003d

ज्यामिति में, आंकड़ों का अध्ययन करने के लिए दो महत्वपूर्ण विशेषताओं का उपयोग किया जाता है: पक्षों की लंबाई और उनके बीच के कोण। स्थानिक आंकड़ों के मामले में, इन विशेषताओं में डायहेड्रल कोण जोड़े जाते हैं। आइए विचार करें कि यह क्या है, और पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके इन कोणों को निर्धारित करने की विधि का भी वर्णन करें।

डायहेड्रल कोण की अवधारणा

हर कोई जानता है कि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ अपने प्रतिच्छेदन बिंदु पर शीर्ष के साथ एक कोण बनाती हैं। इस कोण को एक प्रोट्रैक्टर से मापा जा सकता है, या आप इसकी गणना करने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग कर सकते हैं। दो समकोणों से बने कोण को रेखीय कोण कहते हैं।

अब कल्पना करें कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो विमान हैं जो एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं। उन्हें चित्र में दिखाया गया है।

एक डायहेड्रल कोण दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच का कोण है। रैखिक की तरह, इसे डिग्री या रेडियन में मापा जाता है। यदि सीधी रेखा के किसी भी बिंदु पर जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं, इन विमानों में पड़े दो लंबवत को पुनर्स्थापित करें, तो उनके बीच का कोण वांछित डायहेड्रल होगा। इस कोण को निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका विमानों के सामान्य समीकरणों का उपयोग करना है।

विमानों का समीकरण और उनके बीच के कोण का सूत्र

अंतरिक्ष में किसी भी तल का सामान्य शब्दों में समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है:

ए × एक्स + बी × वाई + सी × जेड + डी = 0।

यहाँ x, y, z समतल से संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक हैं, गुणांक A, B, C, D कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं। डायहेड्रल कोणों की गणना के लिए इस समानता की सुविधा यह है कि इसमें स्पष्ट रूप से विमान के दिशा वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। हम इसे n¯ से निरूपित करेंगे। फिर:

वेक्टर n¯ विमान के लंबवत है। दो तलों के बीच का कोण उनके n 1 और n 2 के बीच के कोण के बराबर होता है। गणित से ज्ञात होता है कि दो सदिशों द्वारा निर्मित कोण उनके अदिश गुणनफल से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। यह आपको दो तलों के बीच द्विफलकीय कोण की गणना के लिए एक सूत्र लिखने की अनुमति देता है:

= आर्ककोस (|(n 1 × n 2 ¯)| / (|n 1 | × |n 2 ¯|))।

यदि हम सदिशों के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो सूत्र स्पष्ट रूप से लिखा जाएगा:

φ = आर्ककोस (|ए 1 × ए 2 + बी 1 × बी 2 + सी 1 × सी 2 | / (√(ए 1 2 + बी 1 2 + सी 1 2) × √(ए 2 2 + बी 2 2 + सी 2 2)))।

अंश में मोडुलो चिह्न का उपयोग केवल एक न्यून कोण को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, क्योंकि एक डायहेड्रल कोण हमेशा 90 o से कम या उसके बराबर होता है।

पिरामिड और उसके कोने

पिरामिड एक आकृति है जो एक n-gon और n त्रिभुजों द्वारा बनाई जाती है। यहाँ n एक पूर्णांक है जो उस बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर है जो पिरामिड का आधार है। यह स्थानिक आकृति एक पॉलीहेड्रॉन या पॉलीहेड्रॉन है, क्योंकि इसमें फ्लैट चेहरे (पक्ष) होते हैं।

पिरामिड पॉलीहेड्रा दो प्रकार के हो सकते हैं:

• आधार और पक्ष (त्रिकोण) के बीच;
• दोनों पक्षों के बीच।

यदि पिरामिड को सही माना जाता है, तो उसके लिए नामित कोणों को निर्धारित करना मुश्किल नहीं है। ऐसा करने के लिए, तीन ज्ञात बिंदुओं के निर्देशांक के अनुसार, विमानों का एक समीकरण तैयार किया जाना चाहिए, और फिर कोण के लिए उपरोक्त पैराग्राफ में दिए गए सूत्र का उपयोग करें।

नीचे हम एक उदाहरण देते हैं जिसमें हम दिखाते हैं कि एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण कैसे खोजें।

चतुर्भुज और उसके आधार पर कोण

मान लीजिए हमें एक वर्गाकार आधार वाला एक नियमित पिरामिड दिया गया है। वर्ग की भुजा की लंबाई a है, आकृति की ऊंचाई h है। पिरामिड के आधार और उसकी भुजा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम निर्देशांक प्रणाली के मूल को वर्ग के केंद्र में रखते हैं। तब आकृति में दिखाए गए बिंदुओं A, B, C, D के निर्देशांक बराबर होंगे:

ए = (ए/2; -ए/2; 0);

बी = (ए/2; ए/2; 0);

सी = (-ए/2; ए/2; 0);

एसीबी और एडीबी विमानों पर विचार करें। जाहिर है, एसीबी विमान के लिए दिशा वेक्टर n 1 के बराबर होगा:

एडीबी विमान की दिशा वेक्टर n 2 निर्धारित करने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: दो मनमानी वैक्टर खोजें, उदाहरण के लिए, एडी¯ और एबी¯, फिर उनके क्रॉस उत्पाद की गणना करें। इसका परिणाम निर्देशांक n 2 देगा। हमारे पास है:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

एबी¯ = बी - ए = (ए/2; ए/2; 0) - (ए/2; -ए/2; 0) = (0; ए; 0);

एन 2 ¯ = = [(-ए/2; ए/2; एच) × (0; ए; 0)] = (-ए × एच; 0; -ए 2/2)।

चूँकि किसी संख्या से सदिश का गुणा और भाग उसकी दिशा नहीं बदलता है, हम परिणामी n 2 को रूपांतरित करते हैं, इसके निर्देशांकों को -a से विभाजित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

हमने आधार तलों ACB और पार्श्व भुजा ADB के लिए दिशा सदिश n 1 और n 2 परिभाषित किए हैं। कोण के लिए सूत्र का उपयोग करना बाकी है:

φ = आर्ककोस (|(n 1 × n 2 ¯)| / (|n 1 | × |n 2 |)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4))।

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें और इसे इस तरह फिर से लिखें:

φ \u003d आर्ककोस (ए / (ए 2 + 4 × एच 2))।

हमने एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए आधार पर डायहेड्रल कोण का सूत्र प्राप्त किया है। आकृति की ऊंचाई और उसकी भुजा की लंबाई जानने के बाद, आप कोण की गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, चेप्स के पिरामिड के लिए, जिसके आधार का किनारा 230.4 मीटर है, और प्रारंभिक ऊंचाई 146.5 मीटर थी, कोण φ 51.8 o के बराबर होगा।

आप ज्यामितीय विधि का उपयोग करके एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड के लिए डायहेड्रल कोण भी निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, ऊंचाई h, आधार की आधी लंबाई a / 2 और समद्विबाहु त्रिभुज के एपोथेम द्वारा गठित समकोण त्रिभुज पर विचार करना पर्याप्त है।

पाठ की व्याख्या:

प्लानिमेट्री में, मुख्य वस्तुएं रेखाएं, खंड, किरणें और बिंदु हैं। एक बिंदु से निकलने वाली किरणें उनकी एक ज्यामितीय आकृति बनाती हैं - एक कोण।

हम जानते हैं कि एक रैखिक कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

स्टीरियोमेट्री में, वस्तुओं में एक विमान जोड़ा जाता है। एक सीधी रेखा a और दो अर्ध-तलों द्वारा एक सामान्य सीमा a द्वारा बनाई गई आकृति जो ज्यामिति में एक ही तल से संबंधित नहीं है, एक डायहेड्रल कोण कहलाती है। हाफ प्लेन एक डायहेड्रल एंगल के फलक होते हैं। सीधी रेखा ए डायहेड्रल कोण का किनारा है।

एक डायहेड्रल कोण, एक रैखिक कोण की तरह, नाम दिया जा सकता है, मापा जा सकता है, बनाया जा सकता है। इस पाठ में हम यही जानने जा रहे हैं।

ABCD चतुष्फलकीय मॉडल पर द्विफलकीय कोण ज्ञात कीजिए।

किनारे AB के साथ एक विकर्ण कोण को CABD कहा जाता है, जहाँ C और D बिंदु कोण के विभिन्न फलकों से संबंधित होते हैं और किनारे AB को बीच में कहा जाता है

हमारे चारों ओर बहुत सारी वस्तुएं हैं जिनमें तत्व एक डायहेड्रल कोण के रूप में हैं।

कई शहरों में पार्कों में सुलह के लिए विशेष बेंच लगाई गई हैं। बेंच को केंद्र की ओर अभिसरण करते हुए दो झुकाव वाले विमानों के रूप में बनाया गया है।

घरों के निर्माण में, तथाकथित गैबल छत का अक्सर उपयोग किया जाता है। इस घर की छत को 90 डिग्री के डायहेड्रल एंगल के रूप में बनाया गया है।

डायहेड्रल कोण को डिग्री या रेडियन में भी मापा जाता है, लेकिन इसे कैसे मापें।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि घरों की छतें छत पर पड़ी हैं। और राफ्टर्स का टोकरा एक दिए गए कोण पर छत के दो ढलान बनाता है।

आइए छवि को ड्राइंग में स्थानांतरित करें। ड्राइंग में, एक डायहेड्रल कोण खोजने के लिए, बिंदु बी को इसके किनारे पर चिह्नित किया जाता है। इस बिंदु से, दो बीम बीए और बीसी कोण के किनारे पर लंबवत खींचे जाते हैं। इन किरणों से बनने वाले कोण ABC को विकर्ण कोण का रैखिक कोण कहा जाता है।

एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप उसके रैखिक कोण के डिग्री माप के बराबर होता है।

आइए कोण AOB को मापें।

दिए गए डायहेड्रल कोण का डिग्री माप साठ डिग्री है।

डायहेड्रल कोण के लिए रैखिक कोण अनंत संख्या में खींचे जा सकते हैं, यह जानना महत्वपूर्ण है कि वे सभी बराबर हैं।

दो रैखिक कोणों AOB और A1O1B1 पर विचार करें। किरणें OA और O1A1 एक ही फलक पर स्थित हैं और सीधी रेखा OO1 के लंबवत हैं, इसलिए वे सह-निर्देशित हैं। किरणें OB और O1B1 भी सह-निर्देशित हैं। इसलिए, कोण AOB, कोण A1O1B1 के बराबर है, जो सह-दिशा वाले कोण हैं।

तो एक डायहेड्रल कोण एक रैखिक कोण की विशेषता है, और रैखिक कोण न्यून, अधिक और समकोण हैं। डायहेड्रल कोणों के मॉडल पर विचार करें।

अधिक कोण वह होता है जिसका रैखिक कोण 90 और 180 डिग्री के बीच होता है।

एक समकोण यदि इसका रैखिक कोण 90 डिग्री है।

एक न्यून कोण, यदि इसका रैखिक कोण 0 और 90 डिग्री के बीच हो।

आइए हम एक रैखिक कोण के महत्वपूर्ण गुणों में से एक को सिद्ध करें।

एक रैखिक कोण का तल द्विफलक कोण के किनारे के लंबवत होता है।

मान लीजिए कोण AOB दिए गए द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है। रचना द्वारा, किरणें AO और OB सीधी रेखा a पर लंबवत हैं।

प्रमेय के अनुसार समतल AOB दो प्रतिच्छेदी रेखाओं AO और OB से होकर गुजरता है: एक समतल दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर गुजरता है और इसके अलावा, केवल एक।

रेखा a इस तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि, रेखा और तल के लंबवतता के चिह्न से, रेखा a समतल AOB के लंबवत है।

समस्याओं को हल करने के लिए, किसी दिए गए डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। चतुष्फलक ABCD के लिए किनारे AB के साथ द्विफलकीय कोण के रैखिक कोण की रचना कीजिए।

हम एक डायहेड्रल कोण के बारे में बात कर रहे हैं, जो बनता है, सबसे पहले, किनारे एबी से, एक पहलू एबीडी, दूसरा पहलू एबीसी।

यहाँ निर्माण का एक तरीका है।

आइए बिंदु D से समतल ABC पर एक लंब खींचते हैं, बिंदु M को लंब के आधार के रूप में चिह्नित करते हैं। याद रखें कि टेट्राहेड्रोन में लंबवत का आधार टेट्राहेड्रोन के आधार में खुदे हुए सर्कल के केंद्र के साथ मेल खाता है।

बिंदु D से किनारे AB पर एक ढलान बनाएं, बिंदु N को ढलान के आधार के रूप में चिह्नित करें।

त्रिभुज DMN में, खंड NM समतल ABC पर तिरछी DN का प्रक्षेपण होगा। तीन लंबवत प्रमेय के अनुसार, किनारा AB प्रक्षेपण NM के लंबवत होगा।

इसका मतलब है कि डीएनएम कोण के किनारे किनारे एबी के लंबवत हैं, जिसका अर्थ है कि निर्मित कोण डीएनएम वांछित रैखिक कोण है।

विकर्ण कोण की गणना की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

समद्विबाहु त्रिभुज ABC और नियमित त्रिभुज ADB एक ही तल में नहीं हैं। खंड CD समतल ADB के लंबवत है। यदि AC=CB=2cm, AB=4cm है ​​तो द्विफलकीय कोण DABC ज्ञात कीजिए।

विकर्ण कोण DABC इसके रैखिक कोण के बराबर होता है। आइए इस कोने का निर्माण करें।

आइए किनारे AB पर एक तिरछा SM लंबवत बनाएं, क्योंकि त्रिभुज ACB समद्विबाहु है, तो बिंदु M किनारे AB के मध्य बिंदु के साथ मेल खाएगा।

रेखा CD समतल ADB के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह इस तल में पड़ी रेखा DM के लंबवत है। और खंड एमडी विमान एडीबी पर तिरछा एसएम का प्रक्षेपण है।

रेखा AB निर्माण द्वारा तिरछी CM के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि तीन लंबवत प्रमेय द्वारा यह प्रक्षेपण MD के लंबवत है।

तो, दो लंबवत सीएम और डीएम किनारे एबी पर पाए जाते हैं। अतः वे एक द्विफलकीय कोण DABC का एक रैखिक कोण MD बनाते हैं। और हमें इसे समकोण त्रिभुज DM से खोजना शेष है।

चूँकि खंड SM माध्यिका है और समद्विबाहु त्रिभुज ASV की ऊँचाई है, तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, SM का पाद 4 सेमी है।

एक समकोण त्रिभुज DMB से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लेग DM तीन के दो मूल के बराबर होता है।

एक समकोण त्रिभुज से एक कोण का कोज्या आसन्न पैर एमडी के कर्ण सीएम के अनुपात के बराबर है और तीन बटा दो के तीन मूल के बराबर है. तो कोण सीएमडी 30 डिग्री है।