तो, मैट्रिसेस को ऑनलाइन हल करने के लिए सेवाएं:
मैट्रिक्स सेवा आपको मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन करने की अनुमति देती है।
यदि आपके पास अधिक जटिल परिवर्तन करने का कार्य है, तो इस सेवा का उपयोग एक निर्माता के रूप में किया जाना चाहिए।
उदाहरण. मैट्रिक्स डेटा एऔर बी, ढूंढना होगा सी = ए -1 * बी + बीटी ,
- आपको पहले खोजना चाहिए उलटा मैट्रिक्सए 1 = ए-1, उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए सेवा का उपयोग करना;
- इसके अलावा, मैट्रिक्स खोजने के बाद ए 1कर दो मैट्रिक्स गुणनए2 = ए 1 * बी, मैट्रिक्स गुणन के लिए सेवा का उपयोग करना;
- हो जाए मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशनए3 = बीटी (ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को खोजने के लिए सेवा);
- और अंतिम - आव्यूहों का योग ज्ञात करें साथ में = ए2 + ए3(मैट्रिसेस के योग की गणना के लिए सेवा) - और हमें सबसे विस्तृत समाधान के साथ एक उत्तर मिलता है!
मैट्रिक्स का उत्पाद
यह एक ऑनलाइन सेवा है दो कदम:
- पहला कारक मैट्रिक्स दर्ज करें ए
- दूसरा कारक मैट्रिक्स या कॉलम वेक्टर दर्ज करें बी
एक वेक्टर द्वारा एक मैट्रिक्स का गुणन
एक वेक्टर द्वारा मैट्रिक्स का गुणन सेवा का उपयोग करके पाया जा सकता है मैट्रिक्स गुणन
(पहला कारक दिया गया मैट्रिक्स होगा, दूसरा कारक दिए गए वेक्टर के तत्वों से युक्त कॉलम होगा)
यह एक ऑनलाइन सेवा है दो कदम:
- मैट्रिक्स दर्ज करें ए, जिसके लिए आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की आवश्यकता है
- व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए विस्तृत समाधान के साथ उत्तर प्राप्त करें
मैट्रिक्स निर्धारक
यह एक ऑनलाइन सेवा है एक कदम:
- मैट्रिक्स दर्ज करें ए, जिसके लिए आपको मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने की आवश्यकता है
मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन
यहां आप मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन एल्गोरिदम का अनुसरण कर सकते हैं और सीख सकते हैं कि ऐसी समस्याओं को स्वयं कैसे हल किया जाए।
यह एक ऑनलाइन सेवा है एक कदम:
- मैट्रिक्स दर्ज करें ए, जिसे स्थानांतरित करने की आवश्यकता है
मैट्रिक्स रैंक
यह एक ऑनलाइन सेवा है एक कदम:
- मैट्रिक्स दर्ज करें ए, जिसके लिए आपको रैंक ढूंढनी होगी
मैट्रिक्स eigenvalues और मैट्रिक्स eigenvectors
यह एक ऑनलाइन सेवा है एक कदम:
- मैट्रिक्स दर्ज करें ए, जिसके लिए आपको eigenvectors और eigenvalues (eigenvalues) खोजने की आवश्यकता है
मैट्रिक्स घातांक
यह एक ऑनलाइन सेवा है दो कदम:
- मैट्रिक्स दर्ज करें ए, जो सत्ता में उठाया जाएगा
- एक पूर्णांक दर्ज करें क्यू- डिग्री
निर्देश। एक ऑनलाइन समाधान के लिए, आपको समीकरण के प्रकार का चयन करना होगा और संबंधित मैट्रिक्स का आयाम निर्धारित करना होगा।
जहाँ A, B, C को आव्यूह दिए गए हैं, X वांछित आव्यूह है। फॉर्म (1), (2) और (3) के मैट्रिक्स समीकरण व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 के माध्यम से हल किए जाते हैं। यदि व्यंजक A X - B = C दिया गया है, तो पहले आव्यूहों C + B को जोड़ना और व्यंजक A X = D का हल खोजना आवश्यक है, जहाँ D = C + B ()। यदि व्यंजक A*X = B 2 दिया गया है, तो मैट्रिक्स B को पहले चुकता किया जाना चाहिए। मैट्रिसेस पर बुनियादी संचालन के साथ खुद को परिचित करने की भी सिफारिश की जाती है।उदाहरण 1। व्यायाम. मैट्रिक्स समीकरण का हल खोजें
फेसला. निरूपित करें:
तब मैट्रिक्स समीकरण इस रूप में लिखा जाएगा: A·X·B = C.
मैट्रिक्स A का सारणिक है detA=-1
चूंकि A एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स है, इसलिए एक उलटा मैट्रिक्स A -1 है। बाईं ओर के समीकरण के दोनों पक्षों को A -1 से गुणा करें: इस समीकरण के दोनों पक्षों को बाईं ओर A -1 से और दाईं ओर B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 से गुणा करें। चूंकि ए ए -1 = बी बी -1 = ई और ई एक्स = एक्स ई = एक्स, फिर एक्स = ए -1 सी बी -1
उलटा मैट्रिक्स ए -1: 
प्रतिलोम आव्यूह B-1 ज्ञात कीजिए।
मैट्रिक्स बी टी स्थानांतरित करें:
उलटा मैट्रिक्स बी -1: 
हम सूत्र द्वारा मैट्रिक्स एक्स की तलाश कर रहे हैं: एक्स = ए -1 सी बी -1 
जवाब:
उदाहरण # 2। व्यायाम।मैट्रिक्स समीकरण हल करें 
फेसला. निरूपित करें:
तब मैट्रिक्स समीकरण इस रूप में लिखा जाएगा: ए एक्स = बी।
मैट्रिक्स ए का निर्धारक है detA=0
चूँकि A एक अपक्षयी मैट्रिक्स है (सारणिक 0 है), इसलिए, समीकरण का कोई हल नहीं है।
उदाहरण #3। व्यायाम। मैट्रिक्स समीकरण का हल खोजें
फेसला. निरूपित करें:
तब मैट्रिक्स समीकरण इस रूप में लिखा जाएगा: X·A = B.
मैट्रिक्स A का सारणिक है detA=-60
चूंकि A एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स है, इसलिए एक उलटा मैट्रिक्स A -1 है। समीकरण के दोनों पक्षों के दाईं ओर A -1: X A A -1 = B A -1 से गुणा करें, जिससे हम पाते हैं कि X = B A -1
व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 खोजें।
ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए टी: 
उलटा मैट्रिक्स ए -1: 
हम सूत्र द्वारा मैट्रिक्स एक्स की तलाश कर रहे हैं: एक्स = बी ए -1 
उत्तर: > 
उलटा मैट्रिक्स- ऐसा आव्यूह ए −1 , जब से गुणा किया जाता है, तो मूल मैट्रिक्स एपरिणाम के रूप में देता है शिनाख्त सांचा इ:
वर्ग मैट्रिक्सउलटा है अगर और केवल अगर यह गैर-पतित है, यानी इसका सिद्धशून्य के बराबर नहीं है। गैर-वर्ग मैट्रिक्स के लिए और पतित मैट्रिसेसव्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है। हालाँकि, इस अवधारणा को सामान्य बनाना और परिचय देना संभव है स्यूडोइनवर्स मैट्रिसेस, कई गुणों में व्युत्क्रम के समान।
मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान
मैट्रिक्स समीकरण इस तरह दिख सकते हैं:
AX = B, XA = B, AXB = C,
जहाँ A, B, C को आव्यूह दिए गए हैं, X वांछित आव्यूह है।
मैट्रिक्स समीकरणों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा समीकरण को गुणा करके हल किया जाता है।
उदाहरण के लिए, एक समीकरण से मैट्रिक्स को खोजने के लिए, आपको इस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करना होगा।
इसलिए, समीकरण का हल खोजने के लिए, आपको उलटा मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे समीकरण के दाईं ओर मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।
अन्य समीकरणों को इसी तरह हल किया जाता है।
उदाहरण 2
समीकरण को हल करें AX = B यदि 
फेसला: चूंकि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम बराबर होता है (उदाहरण 1 देखें)
रैखिक रिक्त स्थान
रैखिक अंतरिक्ष परिभाषा
रहने दो वी- एक गैर-रिक्त सेट (हम इसके तत्वों को वैक्टर कहेंगे और निरूपित करेंगे ...), जिसमें नियम स्थापित हैं:
1) कोई भी दो तत्व तीसरे तत्व के अनुरूप हैं जिसे तत्वों का योग (आंतरिक संचालन) कहा जाता है;
2) प्रत्येक एक निश्चित तत्व (बाहरी ऑपरेशन) से मेल खाता है।
गुच्छा वीएक वास्तविक रैखिक (वेक्टर) स्थान कहा जाता है यदि निम्नलिखित स्वयंसिद्ध धारण करते हैं:
मैं। 
III. (शून्य तत्व, जैसे कि 
).
चतुर्थ। 
(तत्व के विपरीत तत्व), जैसे कि
वी 
आठवीं। एक जटिल रैखिक स्थान को समान रूप से परिभाषित किया गया है (बजाय आरमाना सी).
रैखिक स्थान का उप-स्थान
समुच्चय को रेखीय समष्टि का उपसमष्टि कहते हैं वी, अगर:
1) 
रैखिक अंतरिक्ष वेक्टर प्रणाली ली फार्म आधार में ली यदि सदिशों की इस प्रणाली को रैखिक रूप से स्वतंत्र, और से किसी सदिश का आदेश दिया जाता है ली प्रणाली के वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।
दूसरे शब्दों में, वैक्टर की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र आदेशित प्रणाली इ 1 , ..., इ एन का आधार बनता है ली यदि कोई वेक्टर एक्ससे ली फॉर्म में प्रस्तुत किया जा सकता है
एक्स= सी 1 इ 1 +सी 2 इ 2 + ... + सी एन · इ एन .
आधार को अलग तरह से परिभाषित किया जा सकता है।
कोई भी आदेशित रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली इ 1 , ..., इ एनवैक्टर एन-आयामी रैखिक स्थान ली एन इस स्थान का आधार बनता है।
जहां तक कि एन, अंतरिक्ष आयाम ली एन रैखिक रूप से स्वतंत्र अंतरिक्ष वैक्टर की अधिकतम संख्या है, तो वैक्टर की प्रणाली एक्स,इ 1 , ..., इ एनरैखिक रूप से निर्भर और इसलिए, वेक्टर एक्सवैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया गया इ 1 , ..., इ एन :
एक्स = एक्सएक · इ 1 + एक्स 2 इ 2 + ...+ एक्स एन · इ एन .
आधार के संदर्भ में एक वेक्टर का ऐसा अपघटन केवल.
प्रमेय 1. (रैखिक रूप से स्वतंत्र और सदिशों की जनक प्रणालियों में सदिशों की संख्या पर।) सदिशों की किसी भी रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली में सदिशों की संख्या उसी के सदिशों की किसी भी जनक प्रणाली में सदिशों की संख्या से अधिक नहीं होती है। वेक्टरस्थान।
प्रमाण। मान लीजिए कि सदिशों का एक स्वेच्छ रैखिकतः स्वतंत्र निकाय एक मनमाना जनन तंत्र है। आइए मान लें कि।
क्योंकि जनरेटिंग सिस्टम, तो यह वेक्टर सहित अंतरिक्ष के किसी भी वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है। आइए इसे इस प्रणाली में जोड़ें। हमें वैक्टर की एक रैखिक रूप से निर्भर और उत्पन्न करने वाली प्रणाली मिलती है: 
. फिर इस प्रणाली का एक वेक्टर है जो इस प्रणाली के पिछले वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है और, लेम्मा के आधार पर, इसे सिस्टम से हटाया जा सकता है, और वैक्टर की शेष प्रणाली अभी भी उत्पन्न होगी।
हम वैक्टर की शेष प्रणाली का नाम बदलते हैं: 
. क्योंकि यह प्रणाली उत्पन्न कर रही है, तो यह एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करती है और, इसे इस प्रणाली से जोड़कर, हम फिर से एक रैखिक रूप से निर्भर और उत्पन्न करने वाली प्रणाली प्राप्त करते हैं:।
फिर सब कुछ दोहराता है। इस प्रणाली में एक वेक्टर होता है, जो पिछले वाले के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, और यह एक वेक्टर नहीं हो सकता है, क्योंकि मूल प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है और वेक्टर को वेक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जाता है। तो यह केवल वैक्टर में से एक हो सकता है। इसे सिस्टम से हटाकर, हम रीनंबरिंग के बाद, सिस्टम प्राप्त करते हैं, जो कि जनरेटिंग सिस्टम होगा। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, चरणों के बाद हम वैक्टर की एक जनरेटिंग प्रणाली प्राप्त करते हैं: , कहाँ , क्योंकि हमारे अनुमान के अनुसार। इसका मतलब यह है कि यह प्रणाली, एक जनरेटर के रूप में, वेक्टर का भी प्रतिनिधित्व करती है, जो सिस्टम की रैखिक स्वतंत्रता की स्थिति का खंडन करती है।
प्रमेय 1 सिद्ध होता है।
प्रमेय 2. (एक आधार में सदिशों की संख्या पर।) किसी सदिश के किसी भी आधार पर स्थानवैक्टर की समान संख्या होती है।
प्रमाण। आज्ञा देना और दो मनमाना वेक्टर अंतरिक्ष आधार हो। कोई भी आधार वैक्टर की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र और उत्पादक प्रणाली है।
क्योंकि पहली प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और दूसरा प्रमेय 1 द्वारा उत्पन्न कर रहा है।
इसी तरह, दूसरी प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और पहली उत्पन्न कर रही है, फिर . यह यहाँ से इस प्रकार है कि, पी.टी.डी.
प्रमेय 2 सिद्ध होता है।
यह प्रमेयहमें निम्नलिखित परिभाषा पेश करने की अनुमति देता है।
परिभाषा। एक क्षेत्र K के ऊपर एक सदिश समष्टि V का आयाम इसके आधार पर सदिशों की संख्या है।
पद : या .
वेक्टर निर्देशांककेवल संभव के गुणांक हैं रैखिक संयोजन बुनियादी वैक्टरचयनित में समन्वय प्रणालीदिए गए वेक्टर के बराबर।
एक मैट्रिक्स एक गणितीय वस्तु है जिसे संख्याओं की एक आयताकार तालिका के रूप में लिखा जाता है और इसके और अन्य समान वस्तुओं के बीच बीजीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, आदि) की अनुमति देता है। मैट्रिसेस पर संचालन करने के नियम इस प्रकार बनाए गए हैं,
रैखिक समीकरणों के निकाय लिखने को सुविधाजनक बनाने के लिए। आमतौर पर, मैट्रिक्स को लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और इसे गोल कोष्ठक "(...)" द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है (यह भी पाया जाता है)
वर्ग कोष्ठक "[…]", दोहरी सीधी रेखाओं "||…||") के साथ हाइलाइट करना और मैट्रिक्स (मैट्रिक्स तत्व) बनाने वाली संख्याओं को मैट्रिक्स के समान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन छोटा। प्रत्येक मैट्रिक्स तत्व में 2 सबस्क्रिप्ट होते हैं (एक ij ) - पहला "i" का अर्थ है
पंक्ति संख्या जिसमें तत्व है, और दूसरा "j" स्तंभ संख्या है।
मैट्रिक्स संचालन
एक मैट्रिक्स ए को एक संख्या से गुणा करना
B जिसके अवयव आव्यूह A के प्रत्येक अवयव को इस संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होते हैं, अर्थात् आव्यूह B का प्रत्येक अवयव है
बी आईजे = λ ए आईजे
मैट्रिक्स जोड़ ए
मैट्रिक्स सी का तत्व है
सी आईजे = ए आईजे + बी आईजे
मैट्रिक्स घटाव ए
c ij= a ij- b ij
ए+Θ=ए
मैट्रिक्स गुणन(नोटेशन: एबी, शायद ही कभी गुणन चिह्न के साथ) - मैट्रिक्स सी की गणना करने के लिए एक ऑपरेशन होता है, जिसके तत्व पहले कारक की संबंधित पंक्ति और दूसरे के कॉलम में तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होते हैं।
सी ij= ∑ एक ikb kj
पहले गुणक में उतने ही कॉलम होने चाहिए जितने दूसरे में पंक्तियाँ हैं. यदि आव्यूह A का विमा B- है, तो उनके गुणनफल AB = C . का विमा
वहाँ है । मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है। इसे कम से कम इस तथ्य से देखा जा सकता है कि यदि आव्यूह वर्गाकार नहीं हैं, तो आप केवल एक को दूसरे से गुणा कर सकते हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं। के लिए
वर्ग मैट्रिक्स, गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर करता है।
केवल वर्गाकार आव्यूहों को घात तक बढ़ाया जा सकता है।
शिनाख्त सांचा
वर्ग मैट्रिक्स के लिए, है शिनाख्त सांचाई ऐसा कि कोई गुणन
उस पर मैट्रिक्स परिणाम को प्रभावित नहीं करता है, अर्थात्
ईए = एई = ए
पहचान मैट्रिक्स में केवल इकाइयाँ होती हैं
विकर्ण, अन्य तत्व शून्य के बराबर हैं
कुछ वर्ग आव्यूहों के लिए तथाकथितउलटा मैट्रिक्स.
व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 ऐसा है कि यदि आप इसके द्वारा मैट्रिक्स को गुणा करते हैं, तो आपको पहचान मैट्रिक्स मिलता है
एए - 1 = ई
उलटा मैट्रिक्स हमेशा मौजूद नहीं होता है। जिन आव्यूहों का व्युत्क्रम होता है उन्हें कहा जाता है
गैर-पतित, और जिसके लिए यह नहीं है - पतित। एक मैट्रिक्स nondegenerate है यदि इसकी सभी पंक्तियाँ (स्तंभ) वैक्टर के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या
(कॉलम) को मैट्रिक्स का रैंक कहा जाता है। मैट्रिक्स का निर्धारक (निर्धारक) एक मैट्रिक्स की पंक्तियों पर एक सामान्यीकृत तिरछा-सममित रैखिक कार्यात्मक है। आव्यूह
पतित है यदि और केवल यदि इसका सारणिक शून्य है।
मैट्रिक्स गुण
1. ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी
2.ए+बी=बी+ए
3. ए (बीसी) = (एबी) सी
4.ए(बी+सी)=एबी+एसी
5. (बी+ सी) ए= बीए+ सीए
9. सममित मैट्रिक्स A धनात्मक निश्चित है (A > 0) यदि इसके सभी मुख्य कोण अवयस्कों का मान A k > 0
10. सममित मैट्रिक्स A ऋणात्मक निश्चित है (A< 0), если матрица (−A )
सकारात्मक-निश्चित है, अर्थात, यदि किसी k के लिए kth कोटि का मुख्य अवयस्क A k का चिह्न (− 1)k है
रैखिक समीकरणों की प्रणाली
n अज्ञात के साथ m समीकरणों की एक प्रणाली
a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2
मैं x1 हूं + पूर्वाह्न x2 +… + पूर्वाह्न xn = बीएम
मैट्रिक्स रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है
और फिर पूरे सिस्टम को इस तरह लिखा जा सकता है: AX =B
मैट्रिक्स संचालन
मान लीजिए a ij आव्यूह A का अवयव है, और b ij आव्यूह B है।
एक मैट्रिक्स ए को एक संख्या से गुणा करना(नोटेशन: λA ) एक मैट्रिक्स का निर्माण करना है
B, जिसके अवयव आव्यूह A के प्रत्येक अवयव को इस संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होते हैं, अर्थात् आव्यूह B का प्रत्येक अवयव b ij = a ij है।
आइए मैट्रिक्स A write लिखें
मैट्रिक्स ए के पहले तत्व को 2 . से गुणा करें
मैट्रिक्स जोड़ ए+ बी एक मैट्रिक्स सी को खोजने का ऑपरेशन है, जिसके सभी तत्व मैट्रिक्स ए और बी के सभी संबंधित तत्वों के जोड़ो में बराबर हैं, अर्थात प्रत्येक
मैट्रिक्स सी का तत्व है
सी आईजे = ए आईजे + बी आईजे
+В आइए मैट्रिसेस और . लिखें
मैट्रिक्स के पहले तत्वों को जोड़ने का कार्य करें
मानों को पहले क्षैतिज रूप से और फिर लंबवत रूप से बढ़ाएं (आप इसके विपरीत भी कर सकते हैं)
मैट्रिक्स घटाव ए-बी को जोड़ के समान परिभाषित किया गया है, यह एक मैट्रिक्स सी को खोजने का संचालन है जिसके तत्व
c ij= a ij- b ij
जोड़ और घटाव की अनुमति केवल समान आकार के मैट्रिक्स के लिए है।
एक शून्य आव्यूह इस प्रकार है कि किसी अन्य आव्यूह A में इसके योग से A में परिवर्तन नहीं होता है, अर्थात्।
ए+Θ=ए
शून्य मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।
यह विषय छात्रों के बीच सबसे ज्यादा नफरत करने वाला है। इससे भी बदतर, शायद, केवल निर्धारक।
चाल यह है कि व्युत्क्रम तत्व की अवधारणा (और मैं अभी केवल मैट्रिसेस के बारे में बात नहीं कर रहा हूं) हमें गुणन के संचालन के लिए संदर्भित करता है। यहां तक कि स्कूल के पाठ्यक्रम में, गुणा को एक जटिल ऑपरेशन माना जाता है, और मैट्रिक्स गुणन आम तौर पर एक अलग विषय होता है, जिसके लिए मेरे पास एक पूरा पैराग्राफ और एक वीडियो पाठ समर्पित होता है।
आज हम मैट्रिक्स गणनाओं के विवरण में नहीं जाएंगे। बस याद रखें: मैट्रिक्स को कैसे निरूपित किया जाता है, उन्हें कैसे गुणा किया जाता है और इससे क्या होता है।
समीक्षा करें: मैट्रिक्स गुणन
सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। एक मैट्रिक्स $A$ आकार का $\left[m\times n \right]$ बिल्कुल $m$ पंक्तियों और $n$ कॉलम वाली संख्याओं की एक तालिका है:
\=\अंडरब्रेस(\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) ((ए)_(11)) और ((ए)_(12)) और ... और ((ए)_(1एन)) \\ (( a)_(21)) और ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((ए)_(एम1)) और ((ए)_(एम2)) और ... और ((ए)_(एमएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right])_(एन)\]
स्थानों में पंक्तियों और स्तंभों को गलती से भ्रमित न करने के लिए (मेरा विश्वास करो, परीक्षा में आप एक को ड्यूस के साथ भ्रमित कर सकते हैं - हम वहां कुछ पंक्तियों के बारे में क्या कह सकते हैं), बस चित्र पर एक नज़र डालें:
मैट्रिक्स कोशिकाओं के लिए अनुक्रमणिका का निर्धारण क्या हो रहा है? यदि हम मानक समन्वय प्रणाली $OXY$ को ऊपरी बाएं कोने में रखते हैं और अक्षों को निर्देशित करते हैं ताकि वे पूरे मैट्रिक्स को कवर कर सकें, तो इस मैट्रिक्स के प्रत्येक सेल को निर्देशांक $\left(x;y \right) के साथ विशिष्ट रूप से जोड़ा जा सकता है। $ - यह पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या होगी।
निर्देशांक तंत्र ठीक ऊपरी बाएँ कोने में क्यों रखा गया है? हां, क्योंकि वहीं से हम किसी भी ग्रंथ को पढ़ना शुरू करते हैं। याद रखना बहुत आसान है।
क्यों $x$ अक्ष नीचे की ओर इशारा कर रहा है और दाईं ओर नहीं? फिर से, सब कुछ सरल है: मानक समन्वय प्रणाली लें ($x$ अक्ष दाईं ओर जाता है, $y$ अक्ष ऊपर जाता है) और इसे घुमाएं ताकि यह मैट्रिक्स को घेर ले। यह 90 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाव है - हम इसका परिणाम चित्र में देखते हैं।
सामान्य तौर पर, हमने यह पता लगाया कि मैट्रिक्स तत्वों के सूचकांकों को कैसे निर्धारित किया जाए। अब चलो गुणा से निपटते हैं।
परिभाषा। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$, जब पहले कॉलम की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या से मेल खाती है, हैं सुसंगत कहा जाता है।
यह उस क्रम में है। कोई अस्पष्ट हो सकता है और कह सकता है कि मैट्रिक्स $A$ और $B$ एक क्रमबद्ध जोड़ी बनाते हैं $\left(A;B \right)$: यदि वे इस क्रम में सुसंगत हैं, तो यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि $B $ और $ ए $, वो। जोड़ी $\बाएं(बी;ए \दाएं)$ भी सुसंगत है।
केवल संगत मेट्रिसेस को गुणा किया जा सकता है।
परिभाषा। सुसंगत मैट्रिक्स का उत्पाद $A=\बाएं[m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ नया मैट्रिक्स है $C=\left[ m\times k \right ]$ , जिसके अवयव $((c)_(ij))$ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स $C=A\cdot B$ के तत्व $((c)_(ij))$ प्राप्त करने के लिए, आपको पहले मैट्रिक्स की $i$-row लेने की आवश्यकता है, $j$ -दूसरे मैट्रिक्स का कॉलम, और फिर इस पंक्ति और कॉलम से तत्वों को गुणा करें। परिणाम जोड़ें।
हाँ, यह एक कठोर परिभाषा है। इसके तुरंत बाद कई तथ्य सामने आते हैं:
- मैट्रिक्स गुणन, आम तौर पर बोल रहा है, गैर-कम्यूटेटिव है: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- हालांकि, गुणन साहचर्य है: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- और यहां तक कि वितरण: $\बाएं(ए+बी \दाएं)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- और फिर से वितरण: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$।
गुणन के वितरण को बाएँ और दाएँ गुणक-योग के लिए अलग-अलग वर्णित किया जाना था, क्योंकि गुणन संक्रिया की गैर-कम्यूटेटिविटी थी।
यदि, फिर भी, यह पता चलता है कि $A\cdot B=B\cdot A$, ऐसे आव्यूहों को क्रमपरिवर्तनीय कहा जाता है।
उन सभी आव्यूहों में, जिन्हें किसी चीज़ से गुणा किया जाता है, उनमें विशेष गुण होते हैं - वे जो, किसी भी आव्यूह $A$ से गुणा करने पर, फिर से $A$ देते हैं:
परिभाषा। एक मैट्रिक्स $E$ को पहचान कहा जाता है यदि $A\cdot E=A$ या $E\cdot A=A$। एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ के मामले में हम लिख सकते हैं:
पहचान मैट्रिक्स मैट्रिक्स समीकरणों को हल करने में लगातार अतिथि है। और सामान्य तौर पर, मैट्रिसेस की दुनिया में लगातार मेहमान। :)
और इस $E$ की वजह से, किसी के पास वह सारा खेल आया जो आगे लिखा जाएगा।
उलटा मैट्रिक्स क्या है
चूंकि मैट्रिक्स गुणन एक बहुत समय लेने वाला ऑपरेशन है (आपको पंक्तियों और स्तंभों का एक गुच्छा गुणा करना होगा), व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा भी सबसे तुच्छ नहीं है। और इसे कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।
मुख्य परिभाषा
खैर, सच्चाई जानने का समय आ गया है।
परिभाषा। मैट्रिक्स $B$ को मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि
उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ द्वारा दर्शाया गया है (डिग्री के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए!), इसलिए परिभाषा को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:
ऐसा लगता है कि सब कुछ बेहद सरल और स्पष्ट है। लेकिन ऐसी परिभाषा का विश्लेषण करते समय, कई प्रश्न तुरंत उठते हैं:
- क्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स हमेशा मौजूद होता है? और यदि हमेशा नहीं, तो कैसे निर्धारित करें: यह कब मौजूद है और कब नहीं?
- और किसने कहा कि ऐसा मैट्रिक्स बिल्कुल एक है? क्या होगा यदि कुछ मूल मैट्रिक्स $A$ के लिए व्युत्क्रमों की पूरी भीड़ हो?
- ये सभी "रिवर्स" कैसा दिखते हैं? और आप वास्तव में उन्हें कैसे गिनते हैं?
गणना एल्गोरिदम के लिए - हम इस बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे। लेकिन बाकी सवालों के जवाब हम अभी देंगे। आइए हम उन्हें अलग-अलग अभिकथन-लेम्मा के रूप में व्यवस्थित करें।
मूल गुण
आइए शुरू करें कि $((A)^(-1))$ होने के लिए मैट्रिक्स $A$ कैसा दिखना चाहिए। अब हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये दोनों मैट्रिक्स वर्गाकार और समान आकार के हों: $\बाएं[ n\times n \right]$।
लेम्मा 1. एक मैट्रिक्स $A$ और इसके व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ को देखते हुए। तब ये दोनों आव्यूह वर्गाकार हैं और इनका क्रम $n$ समान है।
प्रमाण। सब कुछ सरल है। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ चलो। चूंकि उत्पाद $A\cdot ((A)^(-1))=E$ परिभाषा के अनुसार मौजूद है, मैट्रिक्स $A$ और $((A)^(-1))$ उस क्रम में संगत हैं:
\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]\cdot \बाएं[ए\बार बी \दाएं]=\बाएं[एम\बार बी \दाएं] \\ और एन=ए \अंत( संरेखित करें)\]
यह मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म का प्रत्यक्ष परिणाम है: गुणांक $n$ और $a$ "पारगमन" हैं और समान होना चाहिए।
साथ ही, व्युत्क्रम गुणन को भी परिभाषित किया गया है: $((A)^(-1))\cdot A=E$, इसलिए मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ और $A$ हैं इस क्रम में भी सुसंगत:
\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[ए\बार बी \दाएं]\cdot \बाएं[एम\बार एन \दाएं]=\बाएं[ए\बार एन \दाएं] \\ और बी=एम \अंत( संरेखित करें)\]
इस प्रकार, व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$। हालांकि, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ की परिभाषा के अनुसार, इसलिए मैट्रिक्स के आयाम बिल्कुल समान हैं:
\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं[एम\बार एन \दाएं]=\बाएं[एन\बार एम \दाएं] \\ और एम=एन \अंत (संरेखित)\]
तो यह पता चला है कि सभी तीन मैट्रिक्स - $A$, $((A)^(-1))$ और $E$ - आकार में वर्गाकार हैं $\left[ n\times n \right]$। लेम्मा सिद्ध होता है।
अच्छा, यह पहले से ही अच्छा है। हम देखते हैं कि केवल वर्ग आव्यूह व्युत्क्रमणीय होते हैं। अब आइए सुनिश्चित करें कि उलटा मैट्रिक्स हमेशा समान होता है।
लेम्मा 2. एक मैट्रिक्स $A$ और इसके व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ को देखते हुए। तब यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स अद्वितीय है।
प्रमाण। आइए इसके विपरीत से शुरू करें: मैट्रिक्स $A$ में व्युत्क्रम के कम से कम दो उदाहरण हैं - $B$ और $C$। फिर, परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:
\[\शुरू (संरेखित करें) और ए\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \अंत (संरेखित करें)\]
लेम्मा 1 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार मैट्रिक्स $A$, $B$, $C$ और $E$ एक ही क्रम के वर्ग हैं: $\बाएं[ n\times n \right]$। इसलिए, उत्पाद परिभाषित किया गया है:
चूंकि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है (लेकिन कम्यूटेटिव नहीं!), हम लिख सकते हैं:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \अंत (संरेखित करें)\]
हमें एकमात्र संभव विकल्प मिला: व्युत्क्रम मैट्रिक्स की दो प्रतियां समान हैं। लेम्मा सिद्ध होता है।
उपरोक्त तर्क लगभग शब्दशः सभी वास्तविक संख्याओं $b\ne 0$ के लिए व्युत्क्रम तत्व की विशिष्टता के प्रमाण को दोहराता है। केवल महत्वपूर्ण जोड़ मैट्रिसेस के आयाम को ध्यान में रख रहा है।
हालाँकि, हम अभी भी इस बारे में कुछ नहीं जानते हैं कि क्या कोई वर्ग मैट्रिक्स उलटा है। यहां निर्धारक हमारी सहायता के लिए आता है - यह सभी वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक प्रमुख विशेषता है।
लेम्मा 3. एक मैट्रिक्स $A$ दिया गया। यदि मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ इसके विपरीत मौजूद है, तो मूल मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है:
\[\बाएं| ए \दाएं|\ne 0\]
प्रमाण। हम पहले से ही जानते हैं कि $A$ और $((A)^(-1))$ $\left[ n\times n \right]$ आकार के वर्ग मैट्रिक्स हैं। इसलिए, उनमें से प्रत्येक के लिए निर्धारक की गणना करना संभव है: $\बाएं| ए \दाएं|$ और $\बाएं| ((ए)^(-1)) \right|$। हालांकि, उत्पाद का निर्धारक निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है:
\[\बाएं| ए\सीडॉट बी \दाएं|=\बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| बी \दाएं|\दायां तीर \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\]
लेकिन $A\cdot ((A)^(-1))=E$ की परिभाषा के अनुसार, और $E$ का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है, इसलिए
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ और \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\बाएं| ई\दाएं|; \\ और \बाएं| एक \दाएं|\cdot \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|=1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]
दो संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है यदि इनमें से प्रत्येक संख्या शून्य से भिन्न हो:
\[\बाएं| ए \राइट|\ने 0;\क्वाड \बाएं| ((ए)^(-1)) \right|\ne 0.\]
तो यह पता चला है कि $\बाएं| ए \right|\ne 0$। लेम्मा सिद्ध होता है।
वास्तव में, यह आवश्यकता काफी तार्किक है। अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करेंगे - और यह पूरी तरह से स्पष्ट हो जाएगा कि, सिद्धांत रूप में, शून्य निर्धारक के साथ कोई उलटा मैट्रिक्स क्यों मौजूद नहीं हो सकता है।
लेकिन पहले, आइए एक "सहायक" परिभाषा तैयार करें:
परिभाषा। एक पतित मैट्रिक्स आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है $\बाएं[ n\times n \right]$ जिसका निर्धारक शून्य है।
इस प्रकार, हम यह दावा कर सकते हैं कि कोई भी उलटा मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है।
उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें
अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म पर विचार करेंगे। सामान्य तौर पर, दो आम तौर पर स्वीकृत एल्गोरिदम होते हैं, और हम आज दूसरे पर भी विचार करेंगे।
अब जिस पर विचार किया जाएगा, वह आकार $\बाएं[2\बार 2 \दाएं]$ और - आंशिक रूप से - आकार $\बाएं[3\गुना 3 \दाएं]$ आकार के मैट्रिक्स के लिए बहुत कुशल है। लेकिन $\left[4\times 4 \right]$ आकार से शुरू करना बेहतर है कि इसका उपयोग न करें। क्यों - अब आप सब कुछ समझ जाएंगे।
बीजीय जोड़
तैयार कर। अब दर्द होगा। नहीं, चिंता न करें: स्कर्ट में एक सुंदर नर्स, फीता के साथ स्टॉकिंग्स आपके पास नहीं आती हैं और आपको नितंब में इंजेक्शन नहीं देगी। सब कुछ बहुत अधिक नीरस है: बीजीय जोड़ और महामहिम "यूनियन मैट्रिक्स" आपके पास आ रहे हैं।
आइए मुख्य से शुरू करें। मान लें कि $A=\left[ n\times n \right]$ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसके तत्वों को $((a)_(ij))$ नाम दिया गया है। फिर, ऐसे प्रत्येक तत्व के लिए, कोई एक बीजीय पूरक परिभाषित कर सकता है:
परिभाषा। बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ तत्व $((a)_(ij))$ को $i$-th पंक्ति में और $j$-th कॉलम मैट्रिक्स $A=\बाएं [ n \times n \right]$ फॉर्म का एक निर्माण है
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
जहां $M_(ij)^(*)$ उसी $i$-th पंक्ति और $j$-th कॉलम को हटाकर मूल $A$ से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।
दोबारा। निर्देशांक के साथ मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक $\left(i;j \right)$ को $((A)_(ij))$ के रूप में दर्शाया जाता है और योजना के अनुसार गणना की जाती है:
- सबसे पहले, हम मूल मैट्रिक्स से $i$-row और $j$-th कॉलम को हटाते हैं। हमें एक नया वर्ग मैट्रिक्स मिलता है, और हम इसके सारणिक को $M_(ij)^(*)$ के रूप में निरूपित करते हैं।
- फिर हम इस सारणिक को $((\left(-1 \right))^(i+j))$ से गुणा करते हैं - पहले तो यह व्यंजक मनमोहक लग सकता है, लेकिन वास्तव में हम केवल $ के सामने चिह्न का पता लगाते हैं एम_ (आईजे) ^ (*) $।
- हम गिनते हैं - हमें एक विशिष्ट संख्या मिलती है। वे। बीजगणितीय जोड़ सिर्फ एक संख्या है, कुछ नया मैट्रिक्स नहीं है, और इसी तरह।
मैट्रिक्स $M_(ij)^(*)$ को ही तत्व $((a)_(ij))$ का पूरक नाबालिग कहा जाता है। और इस अर्थ में, एक बीजीय पूरक की उपरोक्त परिभाषा एक अधिक जटिल परिभाषा का एक विशेष मामला है - जिसे हमने निर्धारक के बारे में पाठ में माना था।
महत्वपूर्ण लेख। दरअसल, "वयस्क" गणित में, बीजीय योगों को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
- हम वर्ग मैट्रिक्स में $k$ पंक्तियाँ और $k$ कॉलम लेते हैं। उनके चौराहे पर, हमें आकार का एक मैट्रिक्स मिलता है $\left[ k\times k \right]$ - इसके निर्धारक को ऑर्डर $k$ का नाबालिग कहा जाता है और इसे $((M)_(k))$ द्वारा दर्शाया जाता है।
- फिर हम इन "चयनित" $k$ पंक्तियों और $k$ स्तंभों को पार करते हैं। फिर, हमें एक वर्ग मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को पूरक नाबालिग कहा जाता है और इसे $M_(k)^(*)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
- $M_(k)^(*)$ को $((\left(-1 \right))^(t))$ से गुणा करें, जहां $t$ है (अभी ध्यान दें!) सभी चयनित पंक्तियों की संख्या का योग और कॉलम। यह बीजगणितीय जोड़ होगा।
तीसरे चरण पर एक नज़र डालें: वास्तव में $2k$ की शर्तें हैं! एक और बात यह है कि $k=1$ के लिए हमें केवल 2 शब्द मिलते हैं - ये वही $i+j$ होंगे - तत्व $((a)_(ij))$ के "निर्देशांक", जिसके लिए हम हैं एक बीजीय पूरक की तलाश में।
इसलिए आज हम थोड़ी सरलीकृत परिभाषा का उपयोग करते हैं। लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह पर्याप्त से अधिक होगा। बहुत अधिक महत्वपूर्ण निम्नलिखित है:
परिभाषा। संघ मैट्रिक्स $S$ से वर्ग मैट्रिक्स $A=\बाएं[ n\times n \right]$ आकार का एक नया मैट्रिक्स है $\बाएं[ n\times n \right]$, जो $A$ से प्राप्त होता है $((a)_(ij))$ को बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ द्वारा प्रतिस्थापित करके:
\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) \\ ... और ... और ... और ... \\ ((ए)_(एन1)) और ((ए)_(एन2)) और ... और ((ए)_(एनएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \right]\]
इस परिभाषा को साकार करने के क्षण में जो पहला विचार उठता है, वह यह है कि "आपको कुल कितना गिनना है!" आराम करें: आपको गिनना है, लेकिन इतना नहीं। :)
खैर, यह सब तो बहुत अच्छा है, लेकिन यह क्यों जरूरी है? लेकिन क्यों।
मुख्य प्रमेय
चलो थोड़ा पीछे चलते हैं। याद रखें, लेम्मा 3 ने कहा है कि एक उलटा मैट्रिक्स $A$ हमेशा गैर-एकवचन होता है (अर्थात, इसका निर्धारक गैर-शून्य होता है: $\बाएं| ए \दाएं|\ne 0$)।
तो, विलोम भी सत्य है: यदि मैट्रिक्स $A$ पतित नहीं है, तो यह हमेशा उलटा होता है। और एक खोज योजना भी है $((A)^(-1))$। इसकी जांच - पड़ताल करें:
उलटा मैट्रिक्स प्रमेय। एक वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ दिया जाना चाहिए, और इसका निर्धारक गैर-शून्य है: $\बाएं| ए \right|\ne 0$। फिर उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ मौजूद है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
और अब - सभी समान, लेकिन सुपाठ्य लिखावट में। उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको चाहिए:
- सारणिक की गणना करें $\बाएं| A \right|$ और सुनिश्चित करें कि यह गैर-शून्य है।
- संघ मैट्रिक्स $S$ संकलित करें, अर्थात। 100500 बीजगणितीय योग $((A)_(ij))$ गिनें और उन्हें $((a)_(ij))$ के स्थान पर रखें।
- इस मैट्रिक्स $S$ को स्थानांतरित करें और फिर इसे किसी संख्या $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ से गुणा करें।
और बस! उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ पाया जाता है। आइए उदाहरण देखें:
\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 3 और 1 \\ 5 और 2 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]
फेसला। आइए प्रतिवर्तीता की जांच करें। आइए निर्धारक की गणना करें:
\[\बाएं| ए \दाएं|=\बाएं| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
सारणिक शून्य से भिन्न है। तो मैट्रिक्स उलटा है। आइए एक यूनियन मैट्रिक्स बनाएं:
आइए बीजीय योगों की गणना करें:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\दाएं|=2; \\ और ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| 5\दाएं|=-5; \\ और ((ए)_(21))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+1))\cdot \बाएं| 1 \दाएं|=-1; \\ और ((ए)_(22))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(2+2))\cdot \बाएं| 3\दाएं|=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]
ध्यान दें: निर्धारक |2|, |5|, |1| और |3| आकार के मैट्रिक्स के निर्धारक हैं $\left[ 1\times 1 \right]$, मॉड्यूल नहीं। वे। यदि निर्धारकों में ऋणात्मक संख्याएँ थीं, तो "ऋण" को हटाना आवश्यक नहीं है।
कुल मिलाकर, हमारा संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) 2 और -5 \\ -1 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ]) ^ (T)) = \ बाएँ [ \ start (सरणी)(*(35)(आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \right]\]
यही बात है। समस्या सुलझ गयी।
जवाब। $\बाएं [ \ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] $
काम। उलटा मैट्रिक्स खोजें:
\[\बाएं[ \begin(सरणी)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
फेसला। फिर से, हम निर्धारक पर विचार करते हैं:
\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \बाएं(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\बाएं (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\बाएं(2+1+0 \दाएं)-\बाएं(4+0+0 \दाएं)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
निर्धारक शून्य से भिन्न होता है - मैट्रिक्स उलटा होता है। लेकिन अब यह सबसे अधिक तीखा होगा: आपको 9 (नौ, धिक्कार है!) बीजगणितीय परिवर्धन के रूप में गिनना होगा। और उनमें से प्रत्येक में $\left[ 2\times 2 \right]$ क्वालीफायर होगा। उड़ गया:
\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((ए)_(12))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+2))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((ए)_(13))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(1+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((ए)_(33))=((\बाएं(-1 \दाएं))^(3+3))\cdot \बाएं| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]
संक्षेप में, संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:
इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स होगा:
\[((ए)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 और 1 और 2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (* (35) (r)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \ \ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\]
खैर वह सब है। यहाँ उत्तर है।
जवाब। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \\ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$
जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रत्येक उदाहरण के अंत में, हमने एक जाँच की। इस संबंध में एक महत्वपूर्ण नोट:
जाँच करने में आलस न करें। पाए गए व्युत्क्रम से मूल मैट्रिक्स को गुणा करें - आपको $E$ मिलना चाहिए।
आगे की गणना में त्रुटि की तलाश करने की तुलना में यह जांच करना बहुत आसान और तेज़ है, उदाहरण के लिए, जब आप मैट्रिक्स समीकरण को हल करते हैं।
वैकल्पिक तरीका
जैसा कि मैंने कहा, उलटा मैट्रिक्स प्रमेय आकार के लिए ठीक काम करता है $\left[2\times 2 \right]$ और $\left[3\times 3 \right]$ (बाद के मामले में, यह इतना "सुंदर" नहीं है अब और)। ”), लेकिन बड़े मैट्रिसेस के लिए उदासी शुरू होती है।
लेकिन चिंता न करें: एक वैकल्पिक एल्गोरिथम है जिसका उपयोग $\left[ 10\times 10 \right]$ मैट्रिक्स के लिए भी शांतिपूर्वक उलटा खोजने के लिए किया जा सकता है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, इस एल्गोरिथम पर विचार करने के लिए, हमें थोड़ी सैद्धांतिक पृष्ठभूमि की आवश्यकता है।
प्राथमिक परिवर्तन
मैट्रिक्स के विभिन्न परिवर्तनों में, कई विशेष हैं - उन्हें प्राथमिक कहा जाता है। ऐसे तीन परिवर्तन हैं:
- गुणन। आप $i$-वें पंक्ति (स्तंभ) ले सकते हैं और इसे किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा कर सकते हैं;
- योग। $i$-th पंक्ति (कॉलम) में किसी भी अन्य $j$-th पंक्ति (कॉलम) को किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा करें (बेशक, $k=0$ भी संभव है, लेकिन बात क्या है उसमें से? ?हालांकि कुछ भी नहीं बदलेगा)।
- क्रमपरिवर्तन। $i$-th और $j$-th पंक्तियां (कॉलम) लें और उन्हें स्वैप करें।
इन परिवर्तनों को प्राथमिक क्यों कहा जाता है (बड़े मैट्रिक्स के लिए वे इतने प्राथमिक नहीं दिखते) और उनमें से केवल तीन ही क्यों हैं - ये प्रश्न आज के पाठ के दायरे से बाहर हैं। इसलिए, हम विवरण में नहीं जाएंगे।
एक और बात महत्वपूर्ण है: हमें इन सभी विकृतियों को संबंधित मैट्रिक्स पर करना होगा। जी हां, आपने सही सुना। अब एक और परिभाषा होगी - आज के पाठ में अंतिम।
संलग्न मैट्रिक्स
निश्चित रूप से आपने विद्यालय में योग पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल किया है। ठीक है, वहाँ, एक पंक्ति से दूसरी घटाएँ, किसी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करें - बस।
तो: अब सब कुछ वैसा ही होगा, लेकिन पहले से ही "वयस्क तरीके से"। तैयार?
परिभाषा। मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ और समान आकार $n$ के पहचान मैट्रिक्स $E$ दिए जाने दें। फिर संबंधित मैट्रिक्स $\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \right]$ एक नया $\left[n\times 2n \right]$ मैट्रिक्स है जो इस तरह दिखता है:
\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \ दाएँ] = \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) ((a)_(11)) और ((a)_(12)) और ... और ((a)_(1n)) और 1 और 0 और ... और 0 \\ ((ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) और 0 और 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]
संक्षेप में, हम मैट्रिक्स $ ए $ लेते हैं, दाईं ओर हम इसे आवश्यक आकार के पहचान मैट्रिक्स $ ई $ को असाइन करते हैं, हम उन्हें सुंदरता के लिए लंबवत बार से अलग करते हैं - यहां आपके पास संलग्न है। :)
क्या चालबाजी है? और यहाँ क्या है:
प्रमेय। मैट्रिक्स $A$ को उलटा होने दें। आसन्न मैट्रिक्स पर विचार करें $\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \दाएं]$. यदि उपयोग कर रहे हैं प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनइसे फॉर्म में लाएं $\बाएं[ ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]$, यानी। मैट्रिक्स $E$ को $A$ से दाईं ओर प्राप्त करने के लिए पंक्तियों को गुणा, घटाना और पुनर्व्यवस्थित करके, फिर बाईं ओर प्राप्त मैट्रिक्स $B$ $A$ का व्युत्क्रम है:
\[\बाएं[ ए\बाएं| ई \ सही। \दाएं]\से \बाएं[ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]\दायां तीर बी=((ए)^(-1))\]
यह इतना आसान है! संक्षेप में, उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम इस तरह दिखता है:
- संबंधित मैट्रिक्स $\बाएं[ A\बाएं| . लिखें ई \ सही। \ दाएँ] $;
- प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरण तब तक करें जब तक कि $A$ के बजाय दाईं ओर $E$ दिखाई न दे;
- बेशक, बाईं ओर भी कुछ दिखाई देगा - एक निश्चित मैट्रिक्स $B$। यह उल्टा होगा;
- लाभ! :)
बेशक, करने से कहीं ज्यादा आसान कहा। तो आइए कुछ उदाहरणों को देखें: आकार के लिए $\बाएं[3\गुना 3 \दाएं]$ और $\बाएं[4\गुना 4 \दाएं]$।
काम। उलटा मैट्रिक्स खोजें:
\[\बाएं[ \शुरू(सरणी)(*(35)(आर)) 1 और 5 और 1 \\ 3 और 2 और 1 \\ 6 और -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\ ]
फेसला। हम संलग्न मैट्रिक्स की रचना करते हैं:
\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]
चूंकि मूल मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम लोगों से भरा है, इसलिए पहली पंक्ति को बाकी से घटाएं:
\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]
पहली पंक्ति को छोड़कर कोई और इकाइयाँ नहीं हैं। लेकिन हम इसे छूते नहीं हैं, अन्यथा नई हटाई गई इकाइयां तीसरे कॉलम में "गुणा" करना शुरू कर देंगी।
लेकिन हम दूसरी पंक्ति को पिछले एक से दो बार घटा सकते हैं - हमें निचले बाएं कोने में एक इकाई मिलती है:
\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ बाएँ [\begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 और 1 \\\अंत (सरणी) \दाएं] \\ \अंत (संरेखित करें)\]
अब हम अंतिम पंक्ति को पहली से और दूसरी से दो बार घटा सकते हैं - इस तरह हम पहले कॉलम को "शून्य" कर देंगे:
\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -1 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]
दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें और फिर इसे पहली से 6 गुना घटाएं और आखिरी में 1 बार जोड़ें:
\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ start (मैट्रिक्स) \ \\ \ बाएँ| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \ \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएं [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और 0 & 3 और -5 और 2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दायां] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -6 \\ \ updownarrow \\ +1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 0 और 1 और -18 और 32 और -13 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]
यह केवल लाइन 1 और 3 को स्वैप करने के लिए बनी हुई है:
\[\बाएं[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 और 32 और -13 \\\अंत (सरणी) \दाएं]\]
तैयार! दाईं ओर आवश्यक उलटा मैट्रिक्स है।
जवाब। $\बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 4 और -7 और 3 \\ 3 और -5 और 2 \\ -18 और 32 और -13 \\\ अंत (सरणी) \ सही ]$
काम। उलटा मैट्रिक्स खोजें:
\[\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 1 और 4 और 2 और 3 \\ 1 और -2 और 1 और -2 \\ 1 और -1 और 1 और 1 \\ 0 और -10 और -2 और -5 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]\]
फेसला। फिर से हम संलग्न एक की रचना करते हैं:
\[\बाएं[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \right]\]
चलो थोड़ा उधार लेते हैं, इस बात की चिंता करते हैं कि हमें अभी कितना गिनना है... और गिनना शुरू करें। आरंभ करने के लिए, हम पंक्ति 2 और 3 से पंक्ति 1 घटाकर पहले कॉलम को "शून्य" करते हैं:
\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 और 0 और 0 \\ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \शुरू (सरणी)(rrrr|rrrr) 1 & 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और -6 और -1 और -5 और -1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
हम 2-4 पंक्तियों में बहुत अधिक "माइनस" देखते हैं। सभी तीन पंक्तियों को -1 से गुणा करें, और फिर तीसरे कॉलम को बाकी से पंक्ति 3 घटाकर जला दें:
\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\ \अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू (मैट्रिक्स) \ \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \बाएं| \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 और 1 और -1 और 0 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 10 और 2 और 5 और 0 और 0 और 0 और -1 \\ \अंत (सरणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(मैट्रिक्स)\से \\ & \ से \बाएं [ \शुरू (सरणी)( rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी) \ सही] \\ \ अंत (संरेखण) \]
अब मूल मैट्रिक्स के अंतिम कॉलम को "तलना" करने का समय है: पंक्ति 4 को बाकी से घटाएं:
\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
अंतिम रोल: पंक्ति 1 और 3 से पंक्ति 2 घटाकर दूसरे कॉलम को "बर्न आउट" करें:
\[\begin(align) &\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत ( सरणी) \ दाएँ] \ शुरू (मैट्रिक्स) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [ \ start (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 0 और 0 और 0 और 33 और -6 और -26 और -17 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और -25 और 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
और फिर, बाईं ओर पहचान मैट्रिक्स, तो दाईं ओर उलटा। :)
जवाब। $\बाएं[ \शुरू (मैट्रिक्स) 33 और -6 और -26 और 17 \\ 6 और -1 और -5 और 3 \\ -25 और 5 और 20 और -13 \\ -2 और 0 और 2 और - 1 \\\अंत (मैट्रिक्स) \दाएं]$
