त्रिकोणमितीय कार्यों सामयिकयानी एक निश्चित अवधि के बाद दोहराया जाता है। नतीजतन, इस अंतराल पर फ़ंक्शन का अध्ययन करना और खोजे गए गुणों को अन्य सभी अवधियों तक विस्तारित करना पर्याप्त है।

अनुदेश

1. यदि आपको एक आदिम व्यंजक दिया जाता है जिसमें केवल एक त्रिकोणमितीय फलन (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) होता है और फलन के अंदर के कोण को किसी संख्या से गुणा नहीं किया जाता है, और यह स्वयं किसी शक्ति - परिभाषा का प्रयोग करें। sin, cos, sec, cosec वाले भावों के लिए, साहसपूर्वक अवधि को 2P पर सेट करें, और यदि समीकरण में tg, ctg है, तो P. मान लें, फ़ंक्शन y \u003d 2 sinx + 5 के लिए, अवधि 2P होगी .

2. यदि किसी त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के नीचे के कोण x को किसी संख्या से गुणा किया जाए, तो इस फलन का आवर्त ज्ञात करने के लिए विशिष्ट आवर्त को इस संख्या से भाग दें। मान लीजिए कि आपको एक फलन y = sin 5x दिया गया है। एक ज्या के लिए विशिष्ट अवधि 2P है, इसे 5 से विभाजित करने पर, आपको 2P / 5 प्राप्त होता है - यह इस अभिव्यक्ति की वांछित अवधि है।

3. एक त्रिकोणमितीय फलन की अवधि ज्ञात करने के लिए, जो घात तक बढ़ा है, घात की समता का मूल्यांकन करें। एक समान डिग्री के लिए, नमूना अवधि को आधा कर दें। मान लीजिए, यदि आपको एक फ़ंक्शन y \u003d 3 cos ^ 2x दिया जाता है, तो सामान्य अवधि 2P 2 गुना कम हो जाएगी, इसलिए अवधि P के बराबर होगी। कृपया ध्यान दें कि फ़ंक्शन tg, ctg किसी भी हद तक आवधिक हैं। .

4. यदि आपको 2 त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल या भागफल वाला एक समीकरण दिया जाता है, तो पहले उन सभी का आवर्त अलग-अलग ज्ञात कीजिए। उसके बाद, वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जो दोनों आवर्तों की पूर्ण संख्या में फिट हो। मान लें कि फ़ंक्शन y=tgx*cos5x दिया गया है। स्पर्शरेखा के लिए, अवधि P है, कोसाइन 5x के लिए, अवधि 2P/5 है। इन दोनों अवधियों में फिट होने की न्यूनतम संख्या 2P है, इसलिए वांछित अवधि 2P है।

5. यदि आपको प्रस्तावित तरीके को करना मुश्किल लगता है या परिणाम पर संदेह है, तो परिभाषा के अनुसार करने का प्रयास करें। T को फलन का आवर्त मान लें, यह शून्य से बड़ा है। समीकरण में x के बजाय व्यंजक (x + T) रखें और परिणामी समानता को ऐसे हल करें जैसे कि T एक पैरामीटर या एक संख्या हो। नतीजतन, आप त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान पाएंगे और सबसे छोटी अवधि चुनने में सक्षम होंगे। मान लीजिए, सुविधा के परिणामस्वरूप, आपको पाप (टी / 2) \u003d 0 की पहचान मिलती है। T का न्यूनतम मान जिस पर इसे किया जाता है वह 2P है, और यह कार्य का परिणाम होगा।

एक आवधिक कार्य एक ऐसा कार्य है जो कुछ गैर-शून्य अवधि के बाद अपने मूल्यों को दोहराता है। किसी फ़ंक्शन की अवधि एक संख्या है जिसके फ़ंक्शन के तर्क के अलावा फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है।

आपको चाहिये होगा

• प्रारंभिक गणित का ज्ञान और सर्वेक्षण की शुरुआत।

अनुदेश

1. आइए हम संख्या के द्वारा फ़ंक्शन f(x) की अवधि को निरूपित करें। हमारा कार्य K के इस मान को खोजना है। ऐसा करने के लिए, कल्पना करें कि फ़ंक्शन f(x), एक आवधिक फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, f को बराबर करता है। (एक्स + के) = एफ (एक्स)।

2. हम अज्ञात K के लिए परिणामी समीकरण को हल करते हैं, जैसे कि x एक स्थिरांक है। K के मान के आधार पर, कई विकल्प होंगे।

3. यदि K>0, तो यह आपके कार्य की अवधि है। यदि K=0, तो फलन f(x) आवर्त नहीं है। यदि समीकरण का हल f(x+K)=f(x) मौजूद नहीं है किसी भी K के लिए जो शून्य के बराबर नहीं है, तो ऐसे फलन को आवर्त कहते हैं और इसका कोई आवर्त भी नहीं होता है।

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टिप्पणी!
सभी त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं, और 2 से अधिक घात वाले सभी बहुपद फलन अपरिवर्तिक होते हैं।

मददगार सलाह
एक फलन की अवधि जिसमें 2 आवर्त फलन होते हैं, इन फलनों की अवधियों का सबसे कम सामान्य गुणज होता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें अज्ञात तर्क के त्रिकोणमितीय फलन होते हैं (उदाहरण के लिए: 5sinx-3cosx =7)। उन्हें हल करने का तरीका जानने के लिए, आपको इसके लिए कुछ तरीकों को जानना होगा।

अनुदेश

1. इस तरह के समीकरणों के समाधान में 2 चरण होते हैं। सबसे पहले समीकरण का सबसे सरल रूप प्राप्त करने के लिए सुधार है। सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण निम्नलिखित कहलाते हैं: Sinx=a; cosx=a आदि

2. दूसरा प्राप्त सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है। इस तरह के समीकरणों को हल करने के बुनियादी तरीके हैं: बीजीय तरीके से हल करना। यह विधि स्कूल से, बीजगणित के पाठ्यक्रम से प्रसिद्ध है। इसे अन्यथा एक चर को बदलने और प्रतिस्थापित करने की विधि कहा जाता है। कमी सूत्रों को लागू करते हुए, हम बदलते हैं, एक प्रतिस्थापन करते हैं, जिसके बाद हम जड़ों को ढूंढते हैं।

3. कारकों में समीकरण का अपघटन। सबसे पहले, हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और कारकों में विघटित होते हैं।

4. समीकरण को सजातीय में लाना। सजातीय समीकरणों को समीकरण कहा जाता है यदि सभी सदस्य एक ही डिग्री के हों और साइन, एक ही कोण के कोज्या हों। इसे हल करने के लिए, आपको: पहले इसके सभी सदस्यों को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करना चाहिए; सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से हटा दें; कारकों और कोष्ठकों को शून्य के बराबर करना; समान कोष्ठक कम अंश का सजातीय समीकरण देते हैं, जिसे cos (या sin) से उच्च अंश में विभाजित किया जाना चाहिए; तन के लिए परिणामी बीजीय समीकरण को हल करें।

5. अगला तरीका आधे कोने में जाना है। कहते हैं, समीकरण हल करें: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. आइए आधे कोण पर चलते हैं: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (एक्स / 2) + 5 पाप? (x / 2) = 7sin? (एक्स / 2) + 7 कॉस? (x/2) , जिसके बाद हम सभी पदों को एक भाग (अन्यथा दाईं ओर) में घटाते हैं और समीकरण को हल करते हैं।

6. सहायक कोने में प्रवेश। जब हम पूर्णांक मान cos(a) या sin(a) को प्रतिस्थापित करते हैं। संकेत "ए" एक सहायक कोण है।

7. किसी उत्पाद को योग में पुन: स्वरूपित करने का एक तरीका। यहां आपको उपयुक्त सूत्रों को लागू करने की आवश्यकता है। मान लीजिए दिया गया है: 2 sin x sin 3x = cos 4x। हम इसे बाईं ओर को योग में परिवर्तित करके हल करते हैं, अर्थात: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p/2 + pk, एक्स = पी / 16 + पीके / 8।

8. अंतिम तरीका, जिसे मल्टीफ़ंक्शन प्रतिस्थापन कहा जाता है। हम व्यंजक को रूपांतरित करते हैं और एक प्रतिस्थापन करते हैं, मान लीजिए Cos(x/2)=u, जिसके बाद हम पैरामीटर u के साथ समीकरण को हल करते हैं। कुल प्राप्त करते समय, हम मूल्य को विपरीत में अनुवाद करते हैं।

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यदि हम एक वृत्त पर बिंदुओं पर विचार करते हैं, तो बिंदु x, x + 2π, x + 4π, आदि। एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। तो त्रिकोणमितीय कार्योंएक सीधी रेखा पर समय-समयउनका अर्थ दोहराएं। यदि काल प्रसिद्ध है कार्यों, इस अवधि पर एक समारोह बनाने और इसे दूसरों पर दोहराने की अनुमति है।

अनुदेश

1. अवधि एक संख्या T है जैसे कि f(x) = f(x+T)। आवर्त ज्ञात करने के लिए, x और x + T को तर्क के रूप में प्रतिस्थापित करते हुए, संगत समीकरण को हल करें। इस मामले में, कार्यों के लिए प्रसिद्ध अवधियों का उपयोग किया जाता है। ज्या और कोज्या फलनों के लिए, अवधि 2π है, और स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के लिए, यह है।

2. मान लीजिए फलन f(x) = sin^2(10x) दिया गया है। व्यंजक sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) पर विचार करें। डिग्री कम करने के लिए सूत्र का प्रयोग करें: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. फिर 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) या cos 20x = cos (20x+20T) प्राप्त करें। यह जानते हुए कि कोज्या का आवर्त 2π, 20T = 2π है। इसलिए, टी = /10। टी न्यूनतम सही अवधि है, और फ़ंक्शन को 2T के बाद, और 3T के बाद, और अक्ष के साथ दूसरी दिशा में दोहराया जाएगा: -T, -2T, आदि।

मददगार सलाह
किसी फ़ंक्शन की डिग्री कम करने के लिए सूत्रों का उपयोग करें। यदि आप कुछ कार्यों की अवधि से अधिक परिचित हैं, तो मौजूदा फ़ंक्शन को ज्ञात कार्यों तक कम करने का प्रयास करें।

सम और विषम के लिए एक फलन खोजने से फलन का ग्राफ बनाने और उसके व्यवहार की प्रकृति को समझने में मदद मिलती है। इस शोध के लिए, आपको "x" तर्क और "-x" तर्क के लिए लिखे गए फ़ंक्शन की तुलना करने की आवश्यकता है।

अनुदेश

1. वह फ़ंक्शन लिखें जिसे आप y=y(x) के रूप में एक्सप्लोर करना चाहते हैं।

2. फ़ंक्शन तर्क को "-x" से बदलें। इस तर्क को एक कार्यात्मक अभिव्यक्ति में बदलें।

3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

4. इस प्रकार, आपको "x" और "-x" तर्कों के लिए एक ही फ़ंक्शन लिखा गया है। इन दो प्रविष्टियों को देखें। यदि y(-x)=y(x), तो यह एक सम फलन है। यदि y(-x)=-y(x), तो यह एक विषम फलन है। यदि यह असंभव है फ़ंक्शन के बारे में कहें कि y (-x)=y(x) या y(-x)=-y(x), तो, समता की संपत्ति से, यह सार्वभौमिक रूप का एक कार्य है। यानी यह न तो सम है और न विषम।

5. अपने परिणाम लिखें। अब आप उनका उपयोग किसी फ़ंक्शन ग्राफ़ को प्लॉट करने में या किसी फ़ंक्शन के गुणों के लिए भविष्य की विश्लेषणात्मक खोज में कर सकते हैं।

6. उस स्थिति में सम और विषम कार्यों के बारे में बात करना भी संभव है जब फ़ंक्शन का ग्राफ़ अधिक बारीकी से परिभाषित होता है। मान लीजिए कि ग्राफ एक भौतिक प्रयोग का परिणाम था। यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है, तो y(x) एक सम फलन है। यदि फ़ंक्शन का ग्राफ़ x-अक्ष के बारे में सममित है, तब x(y) एक सम फलन है। x(y) y(x) का प्रतिलोम फलन है। यदि फलन का ग्राफ मूल बिन्दु (0,0) के सापेक्ष सममित है, तो y(x) एक विषम फलन है। प्रतिलोम फलन x(y) भी विषम होगा।

7. यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि सम और विषम फलनों की अवधारणा का फलन के क्षेत्र से सीधा संबंध है। यदि, मान लीजिए, x=5 के लिए एक सम या विषम फलन मौजूद नहीं है, तो यह x=-5 के लिए मौजूद नहीं है, जो कि सामान्य रूप के एक फलन के बारे में कहना असंभव है। सम और विषम की स्थापना करते समय, फ़ंक्शन के डोमेन पर ध्यान दें।

8. सम और विषम कार्यों की खोज फ़ंक्शन मानों के सेट को खोजने से संबंधित है। किसी सम फ़ंक्शन के मानों के सेट को खोजने के लिए, फ़ंक्शन का आधा, दाईं ओर या शून्य के बाईं ओर देखने के लिए पर्याप्त है। यदि x>0 के लिए एक सम फलन y(x) A से B तक मान लेता है, तो यह x के लिए समान मान लेगा<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 विषम फलन y(x) A से B तक मानों की श्रेणी लेता है, फिर x . के लिए<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"त्रिकोणमितीय" को एक बार ऐसे फ़ंक्शन कहा जाने लगा, जो इसके पक्षों की लंबाई पर एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों की निर्भरता से निर्धारित होते हैं। इन कार्यों में शामिल हैं, सबसे पहले, साइन और कोसाइन, दूसरा, सेकेंट और कोसेकेंट, जो इन कार्यों के विपरीत हैं, उनके स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट डेरिवेटिव, साथ ही साथ उलटा कार्य आर्क्साइन, आर्ककोसाइन इत्यादि। यह अधिक सकारात्मक है। ऐसे कार्यों के "समाधान" के बारे में नहीं, बल्कि उनकी "गणना" के बारे में, यानी संख्यात्मक मान खोजने के बारे में।

अनुदेश

1. यदि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क अज्ञात है, तो इन कार्यों की परिभाषाओं के आधार पर एक अप्रत्यक्ष विधि द्वारा इसके मूल्य की गणना करने की अनुमति है। ऐसा करने के लिए, आपको त्रिभुज के पक्षों की लंबाई जानने की जरूरत है, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन जिसमें से एक कोण के लिए आप गणना करना चाहते हैं। कहें, परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या इस कोण के विपरीत पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए इन दोनों भुजाओं की लंबाई जानना ही काफी है। इसी तरह की परिभाषा कहती है कि एक न्यून कोण की ज्या इस कोण से सटे पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। एक तीव्र कोण के स्पर्शरेखा की गणना विपरीत पैर की लंबाई को आसन्न एक की लंबाई से विभाजित करके की जा सकती है, और कोटेंजेंट को आसन्न पैर की लंबाई को विपरीत की लंबाई से विभाजित करने की आवश्यकता होती है। एक तीव्र कोण के छेदक की गणना करने के लिए, आपको आवश्यक कोण से सटे पैर की लंबाई के लिए कर्ण की लंबाई का अनुपात खोजने की आवश्यकता है, और कोसेकेंट को कर्ण की लंबाई और लंबाई के अनुपात से निर्धारित किया जाता है। विपरीत पैर की।

2. यदि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क किया जाता है, तो त्रिभुज के पक्षों की लंबाई जानने की आवश्यकता नहीं है - इसे मूल्यों की तालिका या त्रिकोणमितीय कार्यों के कैलकुलेटर का उपयोग करने की अनुमति है। ऐसा कैलकुलेटर विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम के मानक कार्यक्रमों में से एक है। इसे चलाने के लिए, आप विन + आर कुंजी संयोजन दबा सकते हैं, कैल्क कमांड दर्ज कर सकते हैं और ओके बटन पर क्लिक कर सकते हैं। प्रोग्राम इंटरफ़ेस में, "देखें" अनुभाग खोलें और "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" आइटम का चयन करें। बाद में, इसे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के तर्क को पेश करने की अनुमति है। फ़ंक्शन साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए, मान दर्ज करने के बजाय, संबंधित इंटरफ़ेस बटन (sin, cos, tg) पर क्लिक करें, और आर्क्साइन, आर्ककोसाइन और आर्कटैंगेंट के उनके पारस्परिक को खोजने के लिए, पहले से Inv चेकबॉक्स को चेक करें।

3. वैकल्पिक तरीके भी हैं। उनमें से एक है निगमा या Google खोज इंजन की साइट पर जाना और वांछित फ़ंक्शन और उसके तर्क (जैसे, पाप 0.47) को खोज क्वेरी के रूप में दर्ज करना है। इन सर्च इंजनों में बिल्ट-इन कैलकुलेटर होते हैं, इसलिए, ऐसा अनुरोध भेजने के बाद, आपको आपके द्वारा दर्ज किए गए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान प्राप्त होगा।

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टिप 7: त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य का पता कैसे लगाएं

त्रिकोणमितीय कार्य पहली बार अपने पक्षों की लंबाई पर एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों के परिमाण की निर्भरता की अमूर्त गणितीय गणना के लिए उपकरण के रूप में दिखाई दिए। अब वे मानव गतिविधि के वैज्ञानिक और तकनीकी दोनों क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। दिए गए तर्कों से त्रिकोणमितीय कार्यों की उपयोगितावादी गणना के लिए, इसे विभिन्न उपकरणों का उपयोग करने की अनुमति है - कुछ विशेष रूप से सुलभ लोगों का वर्णन नीचे किया गया है।

अनुदेश

1. ऑपरेटिंग सिस्टम के साथ डिफ़ॉल्ट रूप से स्थापित कैलकुलेटर प्रोग्राम का उपयोग करें। यह "सभी कार्यक्रम" खंड में स्थित "विशिष्ट" उपखंड से "उपयोगिताएँ" फ़ोल्डर में "कैलकुलेटर" आइटम का चयन करके खुलता है। इस अनुभाग को "प्रारंभ" बटन पर क्लिक करके ऑपरेटिंग सिस्टम के मुख्य मेनू को खोलकर पाया जा सकता है। यदि आप विंडोज 7 संस्करण का उपयोग कर रहे हैं, तो आप मुख्य मेनू के "प्रोग्राम और फाइलों का पता लगाएं" फ़ील्ड में "कैलकुलेटर" शब्द दर्ज कर सकते हैं, और फिर खोज परिणामों में उपयुक्त लिंक पर क्लिक कर सकते हैं।

2. उस कोण का मान दर्ज करें जिसके लिए आप त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना करना चाहते हैं, और फिर इस फ़ंक्शन के अनुरूप बटन पर क्लिक करें - sin, cos या tan। यदि आप व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों (आर्क्साइन, आर्ककोसाइन या आर्कटेंजेंट) के बारे में चिंतित हैं, तो पहले Inv लेबल वाले बटन पर क्लिक करें - यह कैलकुलेटर के नियंत्रण बटन को सौंपे गए कार्यों को उलट देता है।

3. ओएस के पुराने संस्करणों (जैसे, विंडोज एक्सपी) में, त्रिकोणमितीय कार्यों तक पहुंचने के लिए, आपको कैलकुलेटर मेनू में "व्यू" अनुभाग खोलना होगा और "इंजीनियरिंग" लाइन को प्राथमिकता देना होगा। इसके अलावा, प्रोग्राम के पुराने संस्करणों के इंटरफ़ेस में आमंत्रण बटन के बजाय, उसी शिलालेख के साथ एक चेकबॉक्स है।

4. यदि आपके पास इंटरनेट है तो आप कैलकुलेटर के बिना भी कर सकते हैं। वेब पर कई सेवाएं हैं जो अलग-अलग संगठित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कैलकुलेटर प्रदान करती हैं। एक विशेष रूप से आसान विकल्प निगमा सर्च इंजन में बनाया गया है। इसके मुख्य पृष्ठ पर जाने के बाद, प्रारंभिक रूप से वह मान दर्ज करें जो आपको खोज क्वेरी फ़ील्ड में उत्साहित करता है - कहते हैं, "30 डिग्री का चाप स्पर्शरेखा"। "डिस्कवर!" दबाने के बाद खोज इंजन गणना के परिणाम की गणना करेगा और दिखाएगा - 0.482347907101025।

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त्रिकोणमिति उन कार्यों को समझने के लिए गणित की एक शाखा है जो कर्ण पर न्यून कोणों के परिमाण पर एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की विभिन्न निर्भरता को व्यक्त करते हैं। इस तरह के कार्यों को त्रिकोणमितीय कहा जाता है, और उनके साथ काम करने की सुविधा के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों को व्युत्पन्न किया गया था। पहचान .

प्रदर्शन पहचानगणित में एक समानता को दर्शाता है जो इसमें शामिल कार्यों के तर्कों के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट है। त्रिकोणमितीय पहचान- ये त्रिकोणमितीय कार्यों की समानताएं हैं, त्रिकोणमितीय सूत्रों के साथ काम को सरल बनाने के लिए पुष्टि और स्वीकृत हैं। त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कर्ण पर तीव्र कोण के परिमाण पर एक समकोण त्रिभुज के पैरों में से एक की निर्भरता का एक प्राथमिक कार्य है। अधिक बार नहीं, छह बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किया जाता है: पाप (साइन), कॉस (कोसाइन), टीजी (स्पर्शरेखा), सीटीजी (कोटैंजेंट), सेक (सेकेंट) और कोसेक (कोसेकेंट)। इन कार्यों को प्रत्यक्ष कहा जाता है, व्युत्क्रम कार्य भी होते हैं, कहते हैं, साइन - आर्क्साइन, कोसाइन - आर्ककोसाइन, आदि। प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय कार्यों को ज्यामिति में प्रतिबिंब मिला, उसके बाद वे विज्ञान के अन्य क्षेत्रों में फैल गए: भौतिकी, रसायन विज्ञान, भूगोल, प्रकाशिकी , संभाव्यता सिद्धांत, साथ ही ध्वनिकी, संगीत सिद्धांत, ध्वन्यात्मकता, कंप्यूटर ग्राफिक्स और कई अन्य। अब इन कार्यों के बिना गणितीय गणना की कल्पना करना अधिक कठिन है, हालांकि सुदूर अतीत में उनका उपयोग केवल खगोल विज्ञान और वास्तुकला में किया जाता था। पहचानलंबे त्रिकोणमितीय सूत्रों के साथ काम को सरल बनाने और उन्हें सुपाच्य रूप में लाने के लिए उपयोग किया जाता है। छह बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान हैं, वे सीधे त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े हैं: टीजी? = पाप?/क्योंकि?; पाप^2? + क्योंकि^2? = 1; 1 + टीजी^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/टीजी^2? = 1/पाप^2?; पाप (? / 2 -?) \u003d क्योंकि?; cos (? / 2 -?) \u003d पाप?। ये पहचानएक समकोण त्रिभुज में भुजाओं और कोणों के अनुपात के गुणों से पुष्टि करना आसान है: sin ? = बीसी/एसी = बी/सी; क्योंकि? = एबी/एसी = ए/सी; टीजी? = बी/ए पहली पहचान टीजी? = पाप? / क्योंकि? त्रिभुज में भुजाओं के अनुपात और भुजा c (कर्ण) के अपवर्जन से जब पाप को cos से विभाजित किया जाता है। उसी तरह, पहचान ctg को परिभाषित किया गया है? = क्योंकि?/पाप?, क्योंकि सीटीजी? = 1/tg ?. पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, a^2 + b^2 = c^2। इस समानता को c^2 से विभाजित करें, हमें दूसरी पहचान मिलती है: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + क्योंकि^2 ? = 1.तीसरा और चौथा पहचानक्रमशः b^2 और a^2 से विभाजित करके प्राप्त होता है: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2? = 1/पाप^? या 1 + सीटीजी^2 ? \u003d 1 / पाप ^ 2?। पांचवां और छठा मुख्य पहचानएक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का योग निर्धारित करके सिद्ध किया जाता है, जो 90 ° या? / 2 के बराबर होता है। अधिक कठिन त्रिकोणमितीय पहचान: तर्क जोड़ने के लिए सूत्र, डबल और ट्रिपल कोण, डिग्री कम करना, कार्यों के योग या उत्पाद में सुधार, साथ ही त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र, अर्थात् आधे कोण के संदर्भ में मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के भाव tg: sin ?= (2 * टीजी? / 2) / (1 + टीजी^2?/2); क्योंकि? = (1 - टीजी^2?/2)/(1 = टीजी^2?/2);टीजी? = (2*tg ?/2)/(1 - tg^2 ?/2)।

न्यूनतम खोजने की आवश्यकता अर्थगणितीय कार्योंअर्थशास्त्र में लागू समस्याओं को हल करने में वास्तविक रुचि है। विशाल अर्थउद्यमशीलता गतिविधि के लिए घाटे को कम करना है।

अनुदेश

1. न्यूनतम खोजने के लिए अर्थ कार्यों, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि तर्क x0 के किस मान पर असमानता y(x0) संतुष्ट होगी? वाई (एक्स), जहां एक्स? x0. हमेशा की तरह, इस समस्या को एक निश्चित अंतराल पर या मूल्यों की प्रत्येक श्रेणी में हल किया जाता है कार्यों, अगर कोई सेट नहीं है। समाधान का एक पहलू निश्चित बिंदुओं का पता लगाना है।

2. स्थिर बिंदु कहलाता है अर्थतर्क है कि व्युत्पन्न कार्योंशून्य पर जाता है। फ़र्मेट के प्रमेय के अनुसार, यदि एक अवकलनीय फलन एक चरम अर्थकिसी बिंदु पर (इस मामले में, एक स्थानीय न्यूनतम), तो यह बिंदु स्थिर है।

3. न्यूनतम अर्थफ़ंक्शन अक्सर इस बिंदु पर बिल्कुल ठीक होता है, हालांकि, यह हमेशा निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि न्यूनतम क्या है कार्योंया वह एक असीम रूप से छोटा स्वीकार करता है अर्थ. फिर, हमेशा की तरह, वे उस सीमा को ढूंढते हैं जिस पर वह घटते समय गुरुत्वाकर्षण करता है।

4. न्यूनतम निर्धारित करने के लिए अर्थ कार्यों, चार चरणों से युक्त क्रियाओं का एक क्रम करना आवश्यक है: परिभाषा के क्षेत्र को खोजना कार्यों, निश्चित बिंदुओं का अधिग्रहण, मूल्यों का अवलोकन कार्योंइन बिंदुओं पर और अंतराल के सिरों पर, न्यूनतम का पता लगाना।

5. यह पता चला है कि बिंदु ए और बी पर सीमाओं के साथ अंतराल पर कुछ फ़ंक्शन y(x) दिया जाता है। इसकी परिभाषा का डोमेन खोजें और पता लगाएं कि अंतराल इसका सबसेट है या नहीं।

6. व्युत्पन्न की गणना करें कार्यों. परिणामी व्यंजक को शून्य के बराबर कीजिए और समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए। जांचें कि क्या ये स्थिर बिंदु अंतराल के भीतर आते हैं। यदि नहीं, तो अगले चरण में उन्हें ध्यान में नहीं रखा जाता है।

7. सीमाओं के प्रकार के लिए अंतराल देखें: खुला, बंद, यौगिक, या आयाम रहित। यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप न्यूनतम कैसे पाते हैं अर्थ. मान लें कि खंड [ए, बी] एक बंद अंतराल है। उन्हें फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें और मानों की गणना करें। स्थिर बिंदु के साथ भी ऐसा ही करें। सबसे छोटा योग चुनें।

8. खुले और असीमित अंतराल के साथ, स्थिति कुछ अधिक कठिन होती है। यहां हमें एकतरफा सीमाओं की तलाश करनी है, जो हमेशा एक स्पष्ट परिणाम नहीं देते हैं। मान लीजिए, एक बंद और एक छिद्रित सीमा [ए, बी] के साथ अंतराल के लिए, किसी को x = A पर एक फ़ंक्शन और x पर एक तरफा सीमा lim y मिलनी चाहिए? बी-0.

बुनियादी अवधारणाओं

आइए परिभाषाओं के साथ शुरू करें सम, विषम और आवधिक कार्य।

परिभाषा 2

एक सम फलन एक ऐसा फलन है जो स्वतंत्र चर के चिन्ह में परिवर्तन होने पर अपना मान नहीं बदलता है:

परिभाषा 3

एक फ़ंक्शन जो कुछ नियमित अंतराल पर अपने मूल्यों को दोहराता है:

टी समारोह की अवधि है।

सम और विषम त्रिकोणमितीय फलन

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें (चित्र 1):

चित्र 1।

यहाँ $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ और $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ $Ox$ अक्ष के सापेक्ष इकाई लंबाई सममित के सदिश हैं।

जाहिर है, इन वैक्टरों के निर्देशांक निम्नलिखित संबंधों से संबंधित हैं:

चूंकि साइन और कोसाइन के त्रिकोणमितीय कार्यों को एक इकाई त्रिकोणमितीय सर्कल का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, हम पाते हैं कि साइन फ़ंक्शन विषम होगा, और कोसाइन फ़ंक्शन एक सम फ़ंक्शन होगा, अर्थात:

त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें (चित्र 2)।

चित्र 2।

यहाँ $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ इकाई लंबाई का एक सदिश है।

आइए वेक्टर $\overrightarrow(OA)$ द्वारा एक पूर्ण मोड़ बनाते हैं। यानी, दिए गए वेक्टर को $2\pi $ रेडियंस से घुमाते हैं। उसके बाद, वेक्टर पूरी तरह से अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगा।

चूंकि साइन और कोसाइन के त्रिकोणमितीय कार्यों को इकाई त्रिकोणमितीय सर्कल का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, हम पाते हैं कि

अर्थात्, ज्या और कोज्या फलन सबसे छोटी अवधि $T=2\pi $ के साथ आवधिक फलन हैं।

अब स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के कार्यों पर विचार करें। चूँकि $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, तब

चूँकि $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, तब

सम, विषम और त्रिकोणमितीय फलनों की आवर्तता के उपयोग पर आने वाली समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1

निम्नलिखित कथनों को सिद्ध कीजिए :

ए) $tg(385)^0=tg(25)^0$

सी) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

ए) $tg(385)^0=tg(25)^0$

चूँकि स्पर्शरेखा एक आवर्त फलन है जिसकी न्यूनतम अवधि $(360)^0$ है, हमें प्राप्त होता है

बी) $(cos \ left(-13\pi \right)\ )=-1$

चूँकि कोज्या एक सम और आवर्त फलन है जिसकी न्यूनतम अवधि $2\pi $ है, हमें प्राप्त होता है

\[(cos \ left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- एक\]

सी) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

चूँकि साइन एक विषम और आवर्त फलन है जिसकी न्यूनतम अवधि $(360)^0$ है, हमें प्राप्त होता है

चर y की चर x पर निर्भरता, जिसमें x का प्रत्येक मान y के एकल मान से मेल खाता है, एक फलन कहलाता है। संकेतन y=f(x) है। प्रत्येक फ़ंक्शन में कई बुनियादी गुण होते हैं, जैसे कि एकरसता, समता, आवधिकता और अन्य।

समता और आवधिकता गुण

आइए हम मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के उदाहरण का उपयोग करते हुए समता और आवधिकता के गुणों पर अधिक विस्तार से विचार करें: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x)।

एक फलन y=f(x) कहा जाता है, भले ही वह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता हो:

2. फ़ंक्शन के दायरे से संबंधित बिंदु x पर फ़ंक्शन का मान बिंदु -x पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होना चाहिए। अर्थात्, किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्न समानता f (x) \u003d f (-x) सत्य होना चाहिए।

यदि आप किसी सम फलन का आलेख बनाते हैं, तो यह y-अक्ष के प्रति सममित होगा।

उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय फलन y=cos(x) सम है।

विषमता और आवधिकता के गुण

एक फ़ंक्शन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:

1. दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन बिंदु O के संबंध में सममित होना चाहिए। अर्थात, यदि कोई बिंदु a फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है, तो संबंधित बिंदु -a भी दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होना चाहिए।

2. किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्नलिखित समानता f (x) \u003d -f (x) संतुष्ट होनी चाहिए।

एक विषम फलन का ग्राफ बिंदु O - मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है।

उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय फलन y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) विषम हैं।

त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता

एक फ़ंक्शन y=f(x) को आवधिक कहा जाता है यदि कोई निश्चित संख्या T!=0 मौजूद है (इसे फ़ंक्शन की अवधि y=f(x) कहा जाता है), जैसे कि फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित x के किसी भी मान के लिए , संख्याएँ x+T और x-T भी फलन के प्रांत से संबंधित हैं और समानता f(x)=f(x+T)=f(x-T) संतुष्ट है।

यह समझा जाना चाहिए कि यदि T फलन का आवर्त है, तो संख्या k*T, जहाँ k कोई शून्येतर पूर्णांक नहीं है, फलन का आवर्त भी होगा। पूर्वगामी के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं कि किसी भी आवर्त फलन में अपरिमित रूप से कई आवर्त होते हैं। अक्सर, बातचीत समारोह की सबसे छोटी अवधि के बारे में होती है।

त्रिकोणमितीय फलन sin(x) और cos(x) आवर्ती हैं, जिनमें सबसे छोटा आवर्त 2*π के बराबर है।

उद्देश्य: "कार्यों की अवधि" विषय पर छात्रों के ज्ञान को सामान्य और व्यवस्थित करना; एक आवर्त फलन के गुणों को लागू करने, किसी फलन की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि खोजने, आवधिक कार्यों की साजिश रचने में कौशल बनाने के लिए; गणित के अध्ययन में रुचि को बढ़ावा देना; अवलोकन, सटीकता की खेती करें।

उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, टास्क कार्ड, स्लाइड, घड़ियां, आभूषण टेबल, लोक शिल्प तत्व

"गणित वह है जो लोग प्रकृति और खुद को नियंत्रित करने के लिए उपयोग करते हैं"
एक। Kolmogorov

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक चरण।

पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच करना। पाठ के विषय और उद्देश्यों की प्रस्तुति।

द्वितीय. गृहकार्य की जाँच करना।

हम नमूनों के अनुसार होमवर्क की जांच करते हैं, सबसे कठिन बिंदुओं पर चर्चा करते हैं।

III. ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण।

1. ओरल फ्रंटल वर्क।

सिद्धांत के प्रश्न।

1) फ़ंक्शन की अवधि की परिभाषा तैयार करें
2) फलनों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि क्या है y=sin(x), y=cos(x)
3))। कार्यों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि क्या है y=tg(x), y=ctg(x)
4) संबंधों की शुद्धता साबित करने के लिए सर्कल का प्रयोग करें:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

टीजी(एक्स+π एन)=टीजीएक्स, एन जेड
सीटीजी(एक्स+π एन)=सीटीजीएक्स, एन ∈ जेड

sin(x+2π n)=sinx, n Z
cos(x+2π n)=cosx, n Z

5) आवधिक कार्य कैसे प्लॉट करें?

मौखिक व्यायाम।

1) निम्नलिखित संबंधों को सिद्ध कीजिए:

ए) पाप(740º) = पाप(20º)
बी) cos(54º) = cos(-1026º)
सी) पाप (-1000º) = पाप (80º)

2. सिद्ध कीजिए कि 540º का कोण फलन y=cos(2x) के आवर्तों में से एक है।

3. सिद्ध कीजिए कि 360º का कोण फलन y=tg(x) के आवर्तों में से एक है।

4. इन व्यंजकों को रूपांतरित करें ताकि उनमें शामिल कोण निरपेक्ष मान में 90º से अधिक न हों।

ए) टीजी375º
बी) सीटीजी530º
सी) पाप1268º
डी) cos(-7363º)

5. आप PERIOD, PERIODICITY शब्दों से कहां मिले?

छात्रों के उत्तर: संगीत में एक अवधि एक निर्माण है जिसमें कमोबेश पूर्ण संगीतमय विचार कहा गया है। भूवैज्ञानिक काल एक युग का हिस्सा है और 35 से 90 मिलियन वर्ष की अवधि के साथ युगों में विभाजित है।

एक रेडियोधर्मी पदार्थ का आधा जीवन। आवधिक अंश। पत्रिकाएं मुद्रित प्रकाशन हैं जो कड़ाई से परिभाषित तिथियों पर दिखाई देते हैं। मेंडेलीव की आवधिक प्रणाली।

6. आंकड़े आवर्त फलनों के रेखांकन के कुछ हिस्सों को दिखाते हैं। समारोह की अवधि को परिभाषित करें। समारोह की अवधि निर्धारित करें।

जवाब: टी = 2; टी = 2; टी = 4; टी = 8।

7. आप अपने जीवन में कहां दोहराए जाने वाले तत्वों के निर्माण से मिले हैं?

छात्र उत्तर देते हैं: आभूषण के तत्व, लोक कला।

चतुर्थ। सामूहिक समस्या समाधान।

(स्लाइड पर समस्या का समाधान।)

आइए हम आवधिकता के लिए किसी फलन का अध्ययन करने के तरीकों में से एक पर विचार करें।

यह विधि यह साबित करने से जुड़ी कठिनाइयों को दूर करती है कि एक या दूसरी अवधि सबसे छोटी है, और साथ ही आवधिक कार्यों पर अंकगणितीय संचालन और एक जटिल कार्य की आवधिकता के बारे में प्रश्नों को छूने की आवश्यकता नहीं है। तर्क केवल एक आवर्त फलन की परिभाषा पर और निम्नलिखित तथ्य पर आधारित है: यदि T फलन का आवर्त है, तो nT(n? 0) इसका आवर्त है।

समस्या 1. फलन f(x)=1+3(x+q>5) की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि ज्ञात कीजिए।

हल: मान लेते हैं कि इस फलन का T-अवधि है। फिर f(x+T)=f(x) सभी x D(f) के लिए, अर्थात।

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(एक्स+टी+0.25)=(एक्स+0.25)

मान लीजिए x=-0.25 हमें मिलता है

(टी) = 0<=>टी = एन, एन ∈ जेड

हमने प्राप्त किया है कि माने गए फलन के सभी आवर्त (यदि वे मौजूद हैं) पूर्णांकों में से हैं। इन संख्याओं में से सबसे छोटी धनात्मक संख्या चुनें। ये है 1 . आइए देखें कि क्या यह वास्तव में एक अवधि है 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

चूंकि (T+1)=(T) किसी भी T के लिए, फिर f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), यानी। 1 - अवधि एफ। चूँकि 1 सभी धनात्मक पूर्णांकों में सबसे छोटा है, तो T=1.

कार्य 2. दिखाएँ कि फलन f(x)=cos 2 (x) आवर्त है और इसका मुख्य आवर्त ज्ञात कीजिए।

कार्य 3. फ़ंक्शन की मुख्य अवधि ज्ञात करें

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

फ़ंक्शन की टी-अवधि मान लें, फिर किसी के लिए एक्सअनुपात

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

अगर एक्स = 0 तो

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

यदि x=-T, तो

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 - sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

जोड़ने पर, हमें मिलता है:

10cos(0.75T)=10

2π एन, एन € Z

आइए सबसे छोटी सकारात्मक अवधि के लिए "संदिग्ध" सभी संख्याओं में से चुनें और जांचें कि क्या यह एफ के लिए अवधि है। यह अंक

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

अत: फलन f का मुख्य आवर्त है।

कार्य 4. जाँच करें कि क्या फलन f(x)=sin(x) आवर्त है

माना T फलन f का आवर्त है। फिर किसी x . के लिए

पाप|एक्स+टी|=पाप|एक्स|

यदि x=0, तो sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

मान लेना। कि कुछ n के लिए संख्या n एक आवर्त है

माना कार्य n>0। फिर पाप|π n+x|=sin|x|

इसका तात्पर्य है कि n एक ही समय में सम और विषम दोनों होना चाहिए, जो असंभव है। इसलिए, यह फ़ंक्शन आवधिक नहीं है।

कार्य 5. जांचें कि क्या कार्य आवधिक है

एफ (एक्स) =

माना T आवर्त f है, तब

, इसलिए sinT=0, T=π n, n € Z। आइए मान लें कि कुछ n के लिए संख्या π n वास्तव में दिए गए फ़ंक्शन की अवधि है। तब संख्या 2π n भी एक आवर्त होगा

चूँकि अंश समान हैं, इसलिए उनके हर भी हैं, इसलिए

अतः फलन f आवर्त नहीं है।

सामूहिक कार्य।

समूह 1 के लिए कार्य।

समूह 2 के लिए कार्य।

जाँच करें कि क्या फलन f आवर्त है और इसका मुख्य आवर्त ज्ञात कीजिए (यदि यह मौजूद है)।

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

समूह 3 के लिए कार्य।

काम के अंत में, समूह अपने समाधान प्रस्तुत करते हैं।

VI. पाठ को सारांशित करना।

प्रतिबिंब।

शिक्षक छात्रों को चित्र के साथ कार्ड देता है और पहली ड्राइंग के हिस्से पर पेंट करने की पेशकश करता है, जिस हद तक, जैसा कि उन्हें लगता है, उन्होंने आवधिकता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने के तरीकों में महारत हासिल की है, और दूसरी ड्राइंग के हिस्से में , पाठ में कार्य में उनके योगदान के अनुसार।

सातवीं। गृहकार्य

एक)। जांचें कि क्या फ़ंक्शन f आवधिक है और इसकी मुख्य अवधि ज्ञात करें (यदि यह मौजूद है)

बी)। f(x)=x 2 -2x+4

सी)। f(x)=2tg(3x+5)

2))। फलन y=f(x) की अवधि T=2 और f(x)=x 2 +2x x € [-2; 0]। व्यंजक -2f(-3)-4f(3,5) का मान ज्ञात कीजिए

साहित्य/

1. मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित और गहन अध्ययन के साथ विश्लेषण की शुरुआत।
2. गणित। परीक्षा की तैयारी। ईडी। लिसेंको एफ.एफ., कुलबुखोवा एस.यू.
3. शेरेमेतयेवा टी.जी. , तारासोवा ई.ए.बीजगणित और ग्रेड 10-11 के लिए प्रारंभिक विश्लेषण।