गणित शिक्षक एमओयू

"मुल्तानोव्सना माध्यमिक विद्यालय"

मखानोवा समिगा गैलिमज़ानोव्नस

साथ। एम यू एल टी ए एन ओ वी ओ

फरवरी 2011

पाठ विषय:"संख्या ई। घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न"।

लक्ष्य:"घातांक", "प्राकृतिक लघुगणक" की अवधारणा का परिचय दें, घातीय फ़ंक्शन y \u003d e x, प्रतिपक्षी घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अवधारणा बनाएं।

शैक्षिक:

"घातीय कार्य" विषय पर ज्ञान को दोहराएं और गहरा करें। घातांकीय फलन के गुण";

किसी फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियमों को दोहराएं;

छात्रों को "घातांक" (संख्या ई) की अवधारणा से परिचित कराएं;

छात्रों को घातीय फ़ंक्शन y \u003d . के व्युत्पन्न के सूत्रों से परिचित कराने के लिए ए एक्स और वाई = ए केएक्स + बी ;

एंटीडेरिवेटिव एक्सपोनेंशियल फंक्शन के सूत्र का परिचय दें;

भेदभाव के नियमों और सूत्रों का उपयोग करके, एक घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के कौशल का निर्माण करना।

विकसित होना:

विभेदीकरण नियमों के अनुप्रयोग का विकास और सुधार करना

घातीय कार्य के लिए;

छात्रों को गणित के पाठों को पढ़ाने और तैयार करने में इलेक्ट्रॉनिक सूचना प्रौद्योगिकी लागू करने के लिए सिखाने के लिए।

छात्रों की ग्राफिक संस्कृति में सुधार करना;

शैक्षिक गतिविधियों का स्व-मूल्यांकन करने के लिए कौशल के विकास को बढ़ावा देना।

शैक्षिक:

सक्रिय गतिविधियों में सभी को शामिल करके गणित के पाठ के लिए छात्रों के लिए सकारात्मक प्रेरणा पैदा करना;

अपनी गतिविधियों और साथियों के काम का मूल्यांकन करने की आवश्यकता को शिक्षित करने के लिए;

टीम वर्क के मूल्यों को महसूस करने में मदद करने के लिए;

गणितीय भाषण की सटीकता, संस्कृति में छात्रों को शिक्षित करने के लिए।

सबक के लिए उपकरण:

कंप्यूटर क्लास (प्रदर्शन के लिए 8 लैपटॉप + 1 लैपटॉप), प्रोजेक्टर, प्रेजेंटेशन, हैंडआउट्स।

कक्षाओं के दौरान:

पाठ का संगठन, विषय की घोषणा और पाठ का उद्देश्य:

आज के पाठ में हम एक नए विषय "घातांकीय फलन का व्युत्पन्न" का अध्ययन कर रहे हैं। हमारा लक्ष्य: (स्लाइड 2.) "घातांक", "प्राकृतिक लघुगणक" की अवधारणा से परिचित होने के लिए, घातीय फ़ंक्शन के भेदभाव पर प्रमेय के साथ और घातीय फ़ंक्शन को अलग करना सीखें।

हमारे पाठ के पुरालेख के रूप में, मैंने बी. स्लटस्की के छंदों को चुना: (स्लाइड 3.)

…घातांक प्रकार्य

यह संयोग से नहीं था कि वह पैदा हुई थी

जीवन में व्यवस्थित रूप से एकीकृत

और प्रगति का आंदोलन चलाया।

बी स्लटस्की

मैं।बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण:

कक्षा के साथ मौखिक ललाट कार्य:

एक घातांकीय फलन की परिभाषा निरूपित करें (स्लाइड 5.)

ग्राफ के अनुसार घातांकीय फलन के मुख्य गुणों की सूची बनाइए।

(स्लाइड 6)

घातीय फ़ंक्शन के गुण:(स्लाइड 4)

फंक्शन स्कोप

घातीय फ़ंक्शन की सीमा

y-अक्ष के साथ फलन का आलेख बिंदु (0;1) पर प्रतिच्छेद करता है और x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है।

घातांक फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर सकारात्मक मान लेता है।

a . के लिए घातांकीय फलन के गुणों की सूची बनाइए 1.

0 . पर घातांकीय फलन के गुणों की सूची बनाइए .

किसी फ़ंक्शन के अवकलज को बिंदु x . पर परिभाषित करें 0 . (स्लाइड 7)

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ तैयार करें। (स्लाइड 8)

और अब हम कार्यों को विभेदित करने के नियमों को याद करते हैं:

2) खेल "जोड़े खोजें।" (स्लाइड 9.)

पहले कॉलम में सूत्रों के लिए, दूसरे कॉलम में सही उत्तर खोजें और तीसरे कॉलम में शब्द पढ़ें। मौखिक रूप से, कमेंट्री के साथ।

(यू+वी)"	क्योंकि x	इ
(यू वी)"	एन एक्स एन-1	पी
(यू/वी)"	-1/sin2x	लेकिन
(एक्सएन)"	पाप x	एच
सी"	यू "वी + यूवी"	सेवा
(घन)"	1 / क्योंकि 2 x	टी
(सिनएक्स)"	(यू "वी - यू वी") / वी 2	साथ में
(कॉसएक्स)"	0	हे
(टीजीएक्स)"	यू"+वी"	इ
(सीटीजीएक्स)"	सी यू"	एच

इ	यू"+वी"	(यू+वी)"
सेवा	यू "वी + यूवी"	(यू वी)"
साथ में	(यू "वी - यू वी") / वी 2	(यू/वी)"
पी	एन एक्स एन-1	(एक्सएन)"
हे	0	सी"
एच	सी यू"	(घन)"
इ	कॉस x	(सिनएक्स)"
एच	-पाप x	(कॉसएक्स)"
टी	1 / क्योंकि 2 x	(टीजीएक्स)"
लेकिन	-1/sin2x	(सीटीजीएक्स)"

तालिका के विरुद्ध अपना उत्तर जांचें :( स्लाइड 10)

द्वितीयएक नया विषय सीखना:

1) लैपटॉप के लिए ईएसएम संसाधनों का उपयोग कर अनुसंधान कार्य। जोड़ी कार्य।

बीजगणित और विश्लेषण ग्रेड 11 की शुरुआत के लिए इंटरनेट डिजिटल शैक्षिक संसाधन खोलें विषय: "घातीय फ़ंक्शन के डेरिवेटिव, संख्या ई और प्राकृतिक लघुगणक।" मॉड्यूल I1
मॉड्यूल के प्रत्येक तत्व को ध्यान से पढ़ें, मुख्य सूत्रों को अपनी नोटबुक में लिखें, उनके प्रमाण पढ़ें।

आत्म-नियंत्रण के लिए पूर्ण कार्य। "सांख्यिकी" (सी) में अपने काम का सारांश देखें।

मॉड्यूल कार्य योजना:

आधार ई के साथ एक घातीय कार्य - (घातांक का परिचय)

घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र। - (फ़ंक्शन y \u003d e x के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति)

आत्म-नियंत्रण के लिए एक कार्य। - (उत्तरों के विकल्प के साथ परीक्षण करें)

प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा ln. - (एलएन एक्स = लॉग ई एक्स)

घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र। - (घातांक सूत्र के व्युत्पन्न के सूत्र की व्युत्पत्ति)

आत्म-नियंत्रण के लिए एक कार्य। - (लघु उत्तर कार्य)

घातांक फलन का प्रतिअवकलन - (घातांकीय फलन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति)

आत्म-नियंत्रण के लिए कार्य - (उत्तरों के विकल्प के साथ परीक्षण)
2) सीएल 15-18अध्ययन की गई सामग्री के आधार पर ललाट सर्वेक्षण। सामग्री का प्राथमिक निर्धारण। घातांकीय फलन के व्युत्पन्न के लिए सूत्रों का अनुप्रयोग।

(इ एक्स )" = इ एक्स ;

(इ केएक्स + बी )" = कइ केएक्स + बी ;

(ए एक्स )" = ए एक्स ∙ एलएनए ;

(ए केएक्स + बी )" = केए केएक्स+बी ∙ एलएनए

एफ (ए एक्स ) =
छात्र ब्लैकबोर्ड पर स्वतंत्र रूप से काम करता है:

हल: f(x) = x 2 * 2 –x; डी (एफ) = आर; f "= 2x * 2 -x - x 2 * 2 -x ln2, D (f) \u003d R,

2x * 2 -x - x 2 * 2 -x ln2 = 0;

एक्स * 2 -एक्स (2 - एक्स * एलएन 2) = 0; - न्यूनतम + अधिकतम - एफ "(एक्स)

एक्स * 2 -एक्स = 0; 2 - एक्स * एलएन एक्स = 0 2 - एक्स> 0, एक्स = 0; 2 - x * ln2 = 0 0 2/ln2 f(x)

उत्तर: x अधिकतम = 2 / ln2; एक्स मिनट = 0
एक शिक्षण प्रकृति का स्वतंत्र कार्य:

लैपटॉप पर जोड़े में स्वतंत्र कार्य। इंटरएक्टिव मॉड्यूल P1 "घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। संख्या ई. प्राकृतिक लघुगणक। - 5 कार्यों का परीक्षण। जब आप मॉड्यूल खोलते हैं, तो प्रत्येक कंप्यूटर पर अलग-अलग कार्य दिखाई देते हैं।

V. पाठ सारांश: आपने पाठ में क्या नया सीखा?

पाठ के कौन से भाग आपके लिए सबसे दिलचस्प थे?

कक्षा में अपने काम से कौन संतुष्ट है?

VI. गृहकार्य: आइटम 41; नंबर 539 (ए, बी, डी); 540 (सी); 542 (ए, बी); 544 (बी)।

कंप्यूटर के साथ इंटरएक्टिव टेस्ट।घातीय फ़ंक्शन K1 के गुण।

प्रत्येक कंप्यूटर के डेस्कटॉप पर वर्ड मॉड्यूल खोलें। ग्यारह

"घातीय फ़ंक्शन K1 के गुण"। "प्ले मॉड्यूल" पर "माउस" पर क्लिक करें। आपको 5 टास्क का टेस्ट दिया जाएगा।

मॉड्यूल का पहला कार्य पूरा करें, सही उत्तर की संख्या पर माउस क्लिक करें या परीक्षण में उत्तर लिखें। "उत्तर" पर "माउस" पर क्लिक करें और दूसरे कार्य पर आगे बढ़ें।

यदि आपने कार्य को गलत तरीके से पूरा किया है, तो एक संकेत खोलें,

अपने समाधान में त्रुटि का पता लगाएं।

"सांख्यिकी" (सी) में अपने काम का सारांश देखें।

विषय: एक घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। संख्या .

उपदेशात्मक लक्ष्य: संख्या ई का एक विचार बनाने के लिए, फ़ंक्शन की भिन्नता को साबित करने के लिए किसी भी बिंदु पर , समारोह का भेदभाव . प्राकृतिक लघुगणक को परिभाषित कीजिए।

विकास लक्ष्य: व्यक्तिगत कंप्यूटर का उपयोग करके गणनाओं को जल्दी और सही ढंग से करने की क्षमता विकसित करना।

शैक्षिक लक्ष्य: नई जानकारी को सही ढंग से देखने और सक्रिय रूप से याद रखने की क्षमता का निर्माण जारी रखें, जो भविष्य के विशेषज्ञ का सबसे महत्वपूर्ण गुण है।

विजुअल एड्स: पोस्टर

हैंडआउट: व्यक्तिगत काम के लिए कार्य कार्ड। उपकरण: शिक्षक का कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन। छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि की प्रेरणा। संख्या ई और प्राकृतिक लघुगणक के महत्व पर बल देते हुए, गणित के पाठ्यक्रम के साथ-साथ सामान्य तकनीकी और विशेष विषयों में लॉगरिदम क्या महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, यह बताने के लिए।

कक्षाओं के दौरान।

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. नई सामग्री की व्याख्या।

1) घातांकीय फलन के रेखांकन।

3) संख्या .

4) संख्या गणना .

5) घातांकीय फलन के व्युत्पन्न का सूत्र।

6) प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करके गणना करनाएमएसएक्सेल.

7) एक्सपोनेंशियल फंक्शन का एंटीडेरिवेटिव।

8) 3नंबर मान .

III. उदाहरण हल करना।

चतुर्थ। सबक परिणाम।

वी. गृहकार्य।

व्याख्या। घातांक फलन के रेखांकन को चिकनी रेखाओं (अर्थात, बिना विराम के) के रूप में दर्शाया गया था, जिससे प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है। लेकिन एक भुज के साथ एक बिंदु पर एक समारोह के ग्राफ के स्पर्शरेखा का अस्तित्व x . में इसके अवकलनीय के बराबर है 0 . इसलिए, यह मान लेना स्वाभाविक है कि यह परिभाषा के क्षेत्र के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है। आइए फ़ंक्शन y \u003d a . के कई ग्राफ़ बनाएं एक्स वाई = 2 . के लिए एक्स , वाई = 3 एक्स , वाई = 2,3 एक्स (परिशिष्ट संख्या 1)

एक भुज के साथ एक बिंदु पर उन पर स्पर्शरेखा खींचे . रेखांकन के लिए स्थित स्पर्शरेखा भिन्न होते हैं। हम उनमें से प्रत्येक के झुकाव के कोणों को भुज अक्ष पर मापते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि इन स्पर्शरेखाओं के झुकाव के कोण लगभग 35 ° ... 51 °, अर्थात के बराबर हैं। में वृद्धि के साथ, बिंदु M (0; 1) पर ग्राफ का ढलान धीरे-धीरे . से बढ़ता हैटीजी35 सेटीजी51.

2 से बड़ी और 3 से छोटी एक संख्या ऐसी है कि घातांकीय फलन y=a एक्स बिंदु 0 पर 1 के बराबर व्युत्पन्न है। इस फ़ंक्शन का आधार आमतौर पर ई अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। संख्या ई अपरिमेय है, और इसलिए इसे अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है

ई 2.71828188284…

कंप्यूटर की सहायता से ई संख्या के 2 हजार से अधिक दशमलव स्थान मिले।पहली संख्या 2.718288182459045~2.7 है।

समारोह अक्सर एक प्रतिपादक के रूप में जाना जाता है। परिणामी संख्या उच्च गणित के साथ-साथ प्रसिद्ध संख्या 3.14 में बहुत बड़ी भूमिका निभाती है। घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र।

प्रमेय 1. कार्य .

प्रमाण। किसी फ़ंक्शन की वृद्धि ढूँढना

पर .

व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार , अर्थात। किसी के लिए .

साबित करो ख़ुद के दम पर।

उदाहरण।

मैं एक परिभाषा देता हूं: प्राकृतिक लघुगणक आधार लघुगणक है :

प्रमेय 2. घातांकीय फलन परिभाषा के क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, और .

उदाहरण। , . कार्यों के व्युत्पन्न खोजें।

प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करके गणना करनाएमएसएक्सेल.

उदाहरण। समारोह की खोज बढ़ाने के लिए (कमी) और चरम और इसके ग्राफ को प्लॉट करें।

जैसा किसी के लिए , तो चिन्ह चिन्ह के साथ मेल खाता है . इसलिये पर , - बढ़ती है

पर , - घटता है।

हम ग्राफ को प्लॉट करने के लिए प्रोग्राम का उपयोग करते हैं।एमएसएक्सेल.

घातीय फ़ंक्शन का प्रतिपक्षी।

प्रमेय 3. किसी फलन के लिए प्रतिअवकलन परआरएक समारोह है . प्रमाण:

उदाहरण:

ए) ,

बी) ,

में) , .

d) रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें , , , .

ई. का मान

प्राप्त संख्या गणित, भौतिकी, खगोल विज्ञान, जीव विज्ञान और अन्य विज्ञानों में एक बड़ी भूमिका निभाता है। यहाँ कुछ हैं:

यह गौरवशाली है

काफी मदद करता है

इसे आप और मुझे स्पष्ट करें

टॉल्स्टॉय के जन्म का वर्ष एल.एन. 2.71828

यूलर सूत्र।

लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) 18वीं शताब्दी के प्रसिद्ध गणितज्ञ। यूलर ने ढेर के चारों ओर रस्सी के चक्करों की संख्या पर घर्षण बल की निर्भरता स्थापित की।

, - वह बल जिसके विरुद्ध हमारा प्रयास निर्देशित है ; इ;

रस्सी और ढेर के बीच घर्षण का गुणांक, - घुमावदार कोण, यानी। रस्सी से घिरे चाप की लंबाई का उस चाप की त्रिज्या से अनुपात। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम खुद पर संदेह किए बिना, अक्सर उन लाभों का लाभ उठाते हैं जो यूलर सूत्र हमें इंगित करता है।

एक नोड क्या है? यह एक रोलर पर सुतली का घाव है। रस्सी के फेरों की संख्या जितनी अधिक होगी, घर्षण उतना ही अधिक होगा। बढ़ते हुए घर्षण का नियम ऐसा है कि, एक अंकगणितीय प्रगति में क्रांतियों की संख्या में वृद्धि से, एक ज्यामितीय प्रगति में घर्षण बढ़ता है।

अनजाने में, एक बटन पर सिलाई करते समय दर्जी उसी परिस्थिति का फायदा उठाता है। वह सिलाई द्वारा पकड़े गए पदार्थ के क्षेत्र के चारों ओर धागे को कई बार हवा देता है और फिर उसे तोड़ देता है, यदि केवल धागा मजबूत है, तो बटन बंद नहीं होगा। यहां पहले से परिचित नियम लागू होता है: अंकगणितीय प्रगति में धागे के क्रांतियों की संख्या में वृद्धि के साथ, ज्यामितीय प्रगति में सिलाई की ताकत बढ़ जाती है। यदि घर्षण नहीं होता, तो हम बटनों का उपयोग नहीं कर सकते थे: धागे अपने वजन के नीचे खुल जाते थे और बटन गिर जाते थे। , - लुडविग बोल्ट्जमैन (1844-1906), एक ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी जिन्होंने प्रकृति के मूल नियम की खोज की, जो सभी भौतिक प्रक्रियाओं की दिशा निर्धारित करता है जो सबसे संभावित राज्य के रूप में संतुलन की ओर प्रवृत्त होते हैं। -एंट्रॉपी, यानी। संतुलन तक पहुँचने वाली प्रणाली का माप, -सिस्टम की स्थिति की संभावना।

सबक परिणाम। होमवर्क: नंबर 538, नंबर 542

आवेदन संख्या 1

तालिका का पहला सूत्र प्राप्त करते समय, हम एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा से आगे बढ़ेंगे। चलो कहाँ ले एक्स- कोई भी वास्तविक संख्या, अर्थात्, एक्स- फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र से कोई भी संख्या। आइए हम फ़ंक्शन वृद्धि के अनुपात की सीमा को तर्क वृद्धि पर लिखें:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीमा के संकेत के तहत, एक अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जो शून्य से विभाजित शून्य की अनिश्चितता नहीं है, क्योंकि अंश में एक असीम मान नहीं होता है, लेकिन ठीक शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फ़ंक्शन की वृद्धि हमेशा शून्य होती है।

इस प्रकार, एक स्थिर कार्य का व्युत्पन्नपरिभाषा के पूरे क्षेत्र पर शून्य के बराबर है.

एक शक्ति समारोह का व्युत्पन्न।

पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र का रूप है , जहां घातांक पीकोई वास्तविक संख्या है।

आइए पहले प्राकृतिक घातांक के सूत्र को सिद्ध करें, अर्थात् पी = 1, 2, 3, ...

हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करेंगे। आइए हम तर्क की वृद्धि के लिए पावर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन के द्विपद सूत्र की ओर मुड़ते हैं:

इसलिये,

यह एक प्राकृतिक घातांक के लिए एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र को साबित करता है।

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

हम परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न सूत्र प्राप्त करते हैं:

अनिश्चितता में आ गया। इसका विस्तार करने के लिए, हम एक नया चर पेश करते हैं, और के लिए। फिर । पिछले संक्रमण में, हमने लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग किया था।

आइए मूल सीमा में प्रतिस्थापन करें:

यदि हम दूसरी अद्भुत सीमा को याद करते हैं, तो हम घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र पर आते हैं:

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

आइए हम सभी के लिए लघुगणकीय फलन के अवकलज का सूत्र सिद्ध करें एक्सदायरे से और सभी मान्य आधार मान एलघुगणक व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

जैसा कि आपने देखा, सबूत में, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके परिवर्तन किए गए थे। समानता दूसरी उल्लेखनीय सीमा के कारण मान्य है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव।

त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों के सूत्र व्युत्पन्न करने के लिए, हमें कुछ त्रिकोणमिति सूत्रों को याद करना होगा, साथ ही पहली उल्लेखनीय सीमा भी।

साइन फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है .

हम ज्या अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पहली उल्लेखनीय सीमा की ओर मुड़ना बाकी है:

तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाप xवहाँ है क्योंकि x.

कोसाइन व्युत्पन्न का सूत्र ठीक उसी तरह सिद्ध होता है।

इसलिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्योंकि xवहाँ है -पाप x.

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए डेरिवेटिव की तालिका के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति भेदभाव के सिद्ध नियमों (एक अंश के व्युत्पन्न) का उपयोग करके की जाएगी।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न।

विभेदीकरण के नियम और डेरिवेटिव की तालिका से घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र हमें हाइपरबोलिक साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं।

प्रतिलोम फलन का व्युत्पन्न।

ताकि प्रस्तुति में कोई भ्रम न हो, आइए निचले सूचकांक में फ़ंक्शन के तर्क को निरूपित करें जिसके द्वारा विभेदन किया जाता है, अर्थात यह फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ (एक्स)पर एक्स.

अब हम बनाते हैं प्रतिलोम फलन का अवकलज ज्ञात करने का नियम।

कार्यों को करने दें वाई = एफ (एक्स)और एक्स = जी (वाई)पारस्परिक रूप से उलटा, अंतराल पर और क्रमशः परिभाषित। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का एक परिमित गैर-शून्य व्युत्पन्न मौजूद है एफ (एक्स), तो बिंदु पर प्रतिलोम फलन का एक परिमित अवकलज मौजूद होता है जी (वाई), और . एक अन्य प्रविष्टि में .

इस नियम को किसी के लिए भी सुधारा जा सकता है एक्सअंतराल से, तो हम प्राप्त करते हैं .

आइए इन सूत्रों की वैधता की जाँच करें।

आइए प्राकृतिक लघुगणक के लिए व्युत्क्रम कार्य खोजें (यहाँ आपएक समारोह है, और एक्स- बहस)। के लिए इस समीकरण को हल करना एक्स, हमें मिलता है (यहाँ एक्सएक समारोह है, और आपउसका तर्क)। अर्थात, और परस्पर उलटा कार्य।

डेरिवेटिव की तालिका से, हम देखते हैं कि और .

आइए सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजने के सूत्र हमें समान परिणामों की ओर ले जाते हैं:

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "नंबर ई। फ़ंक्शन। ग्राफ। गुण"

अतिरिक्त सामग्री
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ग्रेड 11 . के लिए ऑनलाइन स्टोर "इंटीग्रल" में शिक्षण सहायक सामग्री और सिमुलेटर
ग्रेड 9-11 "त्रिकोणमिति" के लिए इंटरएक्टिव मैनुअल
ग्रेड 10-11 "लघुगणक" के लिए इंटरएक्टिव मैनुअल

दोस्तों आज हम एक विशेष अंक का अध्ययन करेंगे। यह "वयस्क" गणित में एक अलग स्थान रखता है और इसमें कई उल्लेखनीय गुण हैं, जिनमें से कुछ पर हम विचार करेंगे।

आइए घातीय कार्यों $y=a^x$ पर लौटते हैं, जहां $a>1$। हम अलग-अलग आधारों के लिए कई अलग-अलग फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट कर सकते हैं।
लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि:

• सभी कार्य बिंदु से गुजरते हैं (0;1),
• $x→-∞$ के लिए ग्राफ़ में क्षैतिज अनंतस्पर्शी $y=0$ है,
• सभी कार्य बढ़ रहे हैं और नीचे की ओर उत्तल हैं,
• और निरंतर भी हैं, जिसका अर्थ है कि वे अवकलनीय हैं।

यदि फलन हर जगह अवकलनीय हैं, तो हम हर बिंदु पर उनकी स्पर्श रेखाएँ बना सकते हैं। यदि सभी कार्य बिंदु (0;1) से गुजरते हैं, तो यह विशेष रुचि का है। आइए एक के बाद एक कई स्पर्श रेखाएँ बनाते हैं।

फ़ंक्शन $y=2^x$ पर विचार करें और इसके लिए एक स्पर्शरेखा बनाएं।
अपने आलेखों को ध्यानपूर्वक आलेखित करने से हम देख सकते हैं कि स्पर्श रेखा का ढाल 35° है।
अब आइए फ़ंक्शन $y=3^x$ को प्लॉट करें और साथ ही स्पर्शरेखा को भी प्लॉट करें:
इस बार स्पर्शरेखा का कोण लगभग 48° है। सामान्य तौर पर, यह ध्यान देने योग्य है: घातीय फ़ंक्शन का आधार जितना बड़ा होगा, झुकाव का कोण उतना ही अधिक होगा।
विशेष रूप से रुचि 45 डिग्री के झुकाव कोण के साथ स्पर्शरेखा है। बिंदु (0;1) पर किस घातीय फलन के ग्राफ पर ऐसी स्पर्श रेखा खींची जा सकती है?
घातांक फलन का आधार 2 से अधिक लेकिन 3 से कम होना चाहिए, क्योंकि आवश्यक स्पर्शरेखा कोण $y=2^x$ और $y=3^x$ कार्यों के बीच कहीं पहुंच जाता है। ऐसा नंबर मिला और वह काफी अनोखा निकला।

एक घातांकीय फलन, जिसमें बिंदु (0;1) से गुजरने वाली स्पर्शरेखा का झुकाव कोण 45° के बराबर होता है, को आमतौर पर दर्शाया जाता है: $y=e^x$।
हमारे फलन का आधार एक अपरिमेय संख्या है। गणितज्ञों ने इस संख्या का अनुमानित मान $e=2.7182818284590…$ निकाला है।
स्कूली गणित के पाठ्यक्रम में, दसवीं तक, यानी $e=2.7$ तक गोल करने की प्रथा है।
आइए फ़ंक्शन $y=e^x$ का एक ग्राफ बनाएं और इस ग्राफ के लिए एक स्पर्शरेखा बनाएं।
हमारे कार्य को घातांक कहते हैं।
फ़ंक्शन के गुण $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$।
2. न तो सम है और न ही विषम।
3. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है।
4. ऊपर से सीमित नहीं, नीचे से सीमित।
5. कोई अधिकतम मूल्य नहीं है, कोई न्यूनतम मूल्य नहीं है।
6. निरंतर।
7. $ई(एफ)=(0; +∞)$।
8. उत्तल नीचे।
उच्च गणित में, यह साबित होता है कि एक घातांकीय फलन हर जगह अवकलनीय होता है, और इसका व्युत्पन्न स्वयं फलन के बराबर होता है: $(e^x)"=e^x$।
हमारे फ़ंक्शन का व्यापक रूप से गणित की कई शाखाओं में उपयोग किया जाता है (गणितीय विश्लेषण में, संभाव्यता सिद्धांत में, प्रोग्रामिंग में), और कई वास्तविक वस्तुएं इस संख्या से जुड़ी होती हैं।

उदाहरण।
$x=2$ बिंदु पर फ़ंक्शन $y=e^x$ के ग्राफ के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।
फेसला।
स्पर्शरेखा समीकरण सूत्र द्वारा वर्णित है: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$।
आइए क्रमिक रूप से आवश्यक मान खोजें:
1. $f(a)=f(2)=e^2$।
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$।
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$।
उत्तर: $y=e^2*x-e^2$

उदाहरण।
$x=5$ बिंदु पर फ़ंक्शन $y=e^(3x-15)$ के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला।
आइए $y=f(kx+m)$ फॉर्म के एक फ़ंक्शन को अलग करने के नियम को याद करें।
$y"=k*f"(kx+m)$।
हमारे मामले में $f(kx+m)=e^(3x-15)$।
आइए व्युत्पन्न खोजें:
$y"=(e^(3x-15))"=3*e^(3x-15)$।
$y"(5)=3*e^(15-15)=3*e^0=3$।
उत्तर: 3.

उदाहरण।
एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन $y=x^3*e^x$ की जांच करें।
फेसला।
हमारे फ़ंक्शन का अवकलज ज्ञात कीजिए $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x+ x^ 3*e^x=x^2*e^x(x+3)$।
फ़ंक्शन में कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है, क्योंकि व्युत्पन्न किसी भी x के लिए मौजूद है।
व्युत्पन्न को 0 के बराबर करने पर, हमें दो मूल प्राप्त होते हैं: $x_1=0$ और $x_2=-3$।
आइए अपने बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित करें:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. $х=2$ बिंदु पर फ़ंक्शन $y=e^(2x)$ के ग्राफ के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।
2. फंक्शन $y=e^(4x-36)$ के व्युत्पन्न का मान $х=9$ पर ज्ञात कीजिए।
3. एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन $y=x^4*e^(2x)$ की जांच करें।

पाठ मकसद:एक संख्या का विचार बनाएं इ; किसी भी बिंदु पर किसी फलन की अवकलनीयता सिद्ध कीजिए एक्स;फलन के लिए अवकलनीयता प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें; उनके आवेदन के लिए उदाहरणों को हल करते समय कौशल और क्षमताओं के गठन की जाँच करना।

पाठ मकसद।

शैक्षिक: एक व्युत्पन्न की परिभाषा को दोहराएं, भेदभाव के नियम, प्राथमिक कार्यों का व्युत्पन्न, एक घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ और गुणों को याद रखें, एक घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की क्षमता बनाएं, एक परीक्षण कार्य का उपयोग करके ज्ञान को नियंत्रित करें और ए परीक्षण।

विकासशील: ध्यान के विकास को बढ़ावा देना, तार्किक सोच का विकास, गणितीय अंतर्ज्ञान, विश्लेषण करने की क्षमता, गैर-मानक स्थितियों में ज्ञान को लागू करना।

शैक्षिक: सूचना संस्कृति को शिक्षित करने के लिए, एक समूह में और व्यक्तिगत रूप से काम करने के कौशल को विकसित करने के लिए।

शिक्षण के तरीके: मौखिक, दृश्य, सक्रिय।

प्रशिक्षण के रूप: सामूहिक, व्यक्तिगत, समूह।

उपकरण : पाठ्यपुस्तक "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत" (कोलमोगोरोव द्वारा संपादित), समूह बी के सभी कार्य "बंद खंड" ए.एल. सेमेनोव, आई.वी. यशचेंको, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर।

सबक कदम:

1. पाठ के विषय, लक्ष्य, उद्देश्य की रिपोर्ट करना (2 मिनट)।
2. पहले अध्ययन किए गए (15 मिनट) की पुनरावृत्ति के माध्यम से नई सामग्री के अध्ययन की तैयारी।
3. नई सामग्री का परिचय (10 मि.)
4. नए ज्ञान की प्राथमिक समझ और समेकन (15 मिनट)।
5. होमवर्क (1 मिनट)।
6. संक्षेप (2 मिनट)।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

पाठ का विषय घोषित किया गया है: "घातीय कार्य का व्युत्पन्न। नंबर ई।", लक्ष्य, कार्य। स्लाइड 1. प्रस्तुति

2. बुनियादी ज्ञान का सक्रियण।

ऐसा करने के लिए, पाठ के पहले चरण में, हम प्रश्नों के उत्तर देंगे और पुनरावृत्ति के लिए कार्यों को हल करेंगे। स्लाइड 2.

ब्लैकबोर्ड पर, दो छात्र कार्ड पर काम करते हैं, B8 USE जैसे कार्यों को पूरा करते हैं।

पहले छात्र के लिए कार्य:

दूसरे छात्र के लिए कार्य:

शेष छात्र विकल्पों के अनुसार स्वतंत्र कार्य पूरा करते हैं:

विकल्प 1		विकल्प 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

जोड़े समाधानों का आदान-प्रदान करते हैं और स्लाइड 3 के उत्तरों का हवाला देते हुए एक-दूसरे के काम की जांच करते हैं।

ब्लैकबोर्ड पर काम करने वाले छात्रों के समाधान और उत्तरों पर विचार किया जाता है।

होमवर्क नंबर 1904 की जाँच करना। स्लाइड 4 दिखाएं।

3. पाठ के विषय को अद्यतन करना, समस्या की स्थिति पैदा करना।

शिक्षक घातीय फ़ंक्शन की परिभाषा देने और फ़ंक्शन y \u003d 2 x के गुणों को सूचीबद्ध करने के लिए कहता है। घातांकीय फलनों के ग्राफ़ को चिकनी रेखाओं के रूप में दिखाया जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है। लेकिन एब्सिस्सा x 0 वाले बिंदु पर ग्राफ के स्पर्शरेखा वाले फ़ंक्शन का अस्तित्व x 0 पर इसकी भिन्नता के बराबर है।

फ़ंक्शन y \u003d 2 x और y \u003d 3 x के ग्राफ़ के लिए, हम एब्सिसा 0 के साथ बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचते हैं। इन स्पर्शरेखाओं के झुकाव के कोण एब्सिस्सा अक्ष के लगभग 35 ° और 48 के बराबर हैं। °, क्रमशः। स्लाइड 5.

निष्कर्ष: यदि घातांक फ़ंक्शन का आधार एउदाहरण के लिए, 2 से बढ़ता है, उदाहरण के लिए, 10, फिर बिंदु x = 0 और x-अक्ष पर स्पर्शरेखा के बीच का कोण धीरे-धीरे 35 ° से बढ़कर 66.5 ° हो जाता है। यह मान लेना तर्कसंगत है कि कोई कारण है ए, जिसके लिए संगत कोण 45 . है

यह सिद्ध हो जाता है कि ऐसी कोई संख्या होती है जो 2 से बड़ी और 3 से छोटी होती है। इसे अक्षर द्वारा निरूपित करने की प्रथा है इ. गणित में, यह स्थापित किया जाता है कि संख्या इ- तर्कहीन, अर्थात्। एक अनंत दशमलव गैर-आवधिक अंश है।

ई = 2.7182818284590…

नोट (बहुत गंभीर नहीं)। स्लाइड 6.

अगली स्लाइड 7 में महान गणितज्ञों के चित्र हैं - जॉन नेपियर, लियोनार्ड यूलर और उनके बारे में एक संक्षिप्त नोट।

• फलन के गुणों पर विचार करें y=e x
• प्रमेय का प्रमाण 1. स्लाइड 8.
• प्रमेय का प्रमाण 2. स्लाइड 9.

4. आंखों के लिए गतिशील विराम या निर्वहन।

(शुरुआती स्थिति - बैठना, प्रत्येक व्यायाम 3-4 बार दोहराया जाता है):

1. पीछे की ओर झुकें, गहरी सांस लें, फिर आगे की ओर झुकें, सांस छोड़ें।

2. कुर्सी पर पीछे की ओर झुकें, अपनी पलकें बंद करें, अपनी पलकों को खोले बिना अपनी आँखें कसकर बंद करें।

3. शरीर के साथ हाथ, कंधों की वृत्ताकार गतियां आगे-पीछे।

5. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

5.1 अभ्यास संख्या 538, संख्या 540, संख्या 544 सी का समाधान।

5.2 ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का स्वतंत्र अनुप्रयोग। परीक्षण के रूप में सत्यापन कार्य। कार्य पूरा करने का समय - 5 मिनट।

मूल्यांकन के लिए मानदंड:

"5" - 3 अंक

"4" - 2 अंक

"3" - 1 अंक

6. पाठ में कार्य के परिणामों और परिणामों को सारांशित करना।

1. प्रतिबिंब।
2. ग्रेडिंग।
3. परीक्षण कार्यों को प्रस्तुत करना।

7. गृहकार्य: पृष्ठ 41 (1, 2); नंबर 539 (ए, बी, डी); 540 (सी, डी), 544 (ए, बी)।

"बंद खंड" संख्या 1950, 2142।