कोर्सवर्क: यूलर गामा फ़ंक्शन के विशेष गुण। गामा विकिरण और उसके गुण

गामा किरणें बहुत उच्च आवृत्ति के विद्युत चुम्बकीय दोलन हैं, जो प्रकाश की गति से अंतरिक्ष में फैलती हैं। ये विकिरण नाभिक द्वारा अलग-अलग भागों के रूप में उत्सर्जित होते हैं, जिन्हें गामा क्वांटा या फोटॉन कहा जाता है।

गामा क्वांटा की ऊर्जा 0.05 से 5 MeV तक होती है। 1 MeV से कम ऊर्जा वाले गामा विकिरण को सशर्त रूप से नरम विकिरण कहा जाता है, और 1 MeV से अधिक की ऊर्जा के साथ - कठोर विकिरण।

गामा विकिरण एक स्वतंत्र प्रकार का विकिरण नहीं है। आमतौर पर गामा विकिरण बीटा क्षय के साथ होता है, कम अक्सर अल्फा क्षय। अल्फा या बीटा कणों को बाहर निकालने से, नाभिक अतिरिक्त ऊर्जा से मुक्त हो जाता है, लेकिन फिर भी उत्तेजित अवस्था में रह सकता है। उत्तेजित अवस्था से जमीनी अवस्था में संक्रमण गामा किरणों के उत्सर्जन के साथ होता है, जबकि नाभिक की संरचना नहीं बदलती है।

हवा में, गामा किरणें दसियों और सैकड़ों मीटर में मापी गई लंबी दूरी तक फैलती हैं।

गामा किरणों की भेदन शक्ति बीटा कणों की भेदन शक्ति से 50-100 गुना अधिक और अल्फा कणों की भेदन शक्ति से हजारों गुना अधिक होती है।

इसके माध्यम से गामा किरणों के पारित होने के दौरान माध्यम को आयनित करें: केवल माध्यमिक इलेक्ट्रॉनों के साथ जो पदार्थ के परमाणुओं के साथ गामा क्वांटा की बातचीत के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं। गामा क्वांटा की आयनीकरण क्षमता उनकी ऊर्जा से निर्धारित होती है। सामान्य तौर पर, एक गामा क्वांटम उतने ही जोड़े आयन देता है, जितने एक ही ऊर्जा के बीटा या अल्फा कण होते हैं। हालांकि, गामा किरणों के कम अवशोषण के कारण, वे जो आयन बनाते हैं, वे अधिक दूरी पर वितरित होते हैं। इसलिए, गामा किरणों की विशिष्ट आयनीकरण शक्ति बीटा कणों की विशिष्ट आयनीकरण शक्ति से सैकड़ों गुना कम होती है, अल्फा कणों की विशिष्ट आयनीकरण शक्ति से हजारों गुना कम होती है और प्रति 1 सेमी हवा में कई जोड़े आयनों की मात्रा होती है। पथ।

निष्कर्ष. अन्य प्रकार के रेडियोधर्मी विकिरणों की भेदन शक्ति की तुलना में गामा विकिरण में सबसे अधिक भेदन शक्ति होती है। इसी समय, गामा विकिरण में बहुत कम विशिष्ट आयनीकरण क्षमता होती है, जो गामा किरणों के पथ के प्रति 1 सेमी हवा में कई जोड़े आयनों की मात्रा होती है।

न्यूट्रॉन विकिरण और इसके मुख्य गुण

न्यूट्रॉन विकिरण एक कणिका विकिरण है जो नाभिक के विखंडन या संलयन की प्रक्रिया में होता है।

न्यूट्रॉन का एक मजबूत हानिकारक प्रभाव होता है, क्योंकि वे बिना विद्युत आवेश के, आसानी से परमाणुओं के नाभिक में प्रवेश कर जाते हैं जो जीवित ऊतक बनाते हैं और उनके द्वारा कब्जा कर लिया जाता है।

परमाणु विस्फोट में कुल न्यूट्रॉन की संख्या का 99% से अधिक 10 -14 सेकंड के भीतर जारी किया जाता है। इन न्यूट्रॉनों को प्रांप्ट कहा जाता है। शेष (लगभग 1%) न्यूट्रॉन बाद में उनके बीटा क्षय के दौरान कुछ विखंडन अंशों द्वारा उत्सर्जित होते हैं। इन न्यूट्रॉनों को विलंबित कहा जाता है।

न्यूट्रॉन की प्रसार गति 20,000 किमी / घंटा तक पहुँच जाती है। सभी न्यूट्रॉन को विस्फोट के बिंदु से उस स्थान तक की दूरी तय करने में लगने वाला समय जहां वे विनाश का खतरा पैदा करते हैं, विस्फोट के क्षण के लगभग एक सेकंड बाद होता है।

ऊर्जा के आधार पर, न्यूट्रॉन को निम्नानुसार वर्गीकृत किया जाता है:

धीमी न्यूट्रॉन 0-0.1 केवी;

मध्यवर्ती ऊर्जा न्यूट्रॉन 0.1-20 केवी;

फास्ट न्यूट्रॉन 20 केवी -10 मेव;

10 MeV से अधिक उच्च ऊर्जा वाले न्यूट्रॉन।

थर्मल न्यूट्रॉन - न्यूट्रॉन जो पर्यावरण के साथ थर्मल संतुलन में हैं (ऊर्जा 1 ईवी से अधिक नहीं है), धीमी न्यूट्रॉन के क्षेत्र में शामिल हैं।

पदार्थ के माध्यम से न्यूट्रॉन का मार्ग उनकी तीव्रता के कमजोर होने के साथ होता है। यह कमजोर होना पदार्थ के परमाणुओं के नाभिक के साथ न्यूट्रॉन की बातचीत के कारण होता है।

एक्स-रे विकिरण

एक्स-रे तब उत्पन्न होते हैं जब तीव्र इलेक्ट्रॉन ठोस लक्ष्यों पर बमबारी करते हैं। एक्स-रे ट्यूब कई इलेक्ट्रोड के साथ एक खाली गुब्बारा है (चित्र 1.2)। वर्तमान-गर्म कैथोड K, ऊष्मीय उत्सर्जन के कारण उत्सर्जित मुक्त इलेक्ट्रॉनों के स्रोत के रूप में कार्य करता है। बेलनाकार इलेक्ट्रोड Z को इलेक्ट्रॉन बीम पर ध्यान केंद्रित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

लक्ष्य एनोड ए है, जिसे एंटीकैथोड भी कहा जाता है। यह भारी धातुओं (W, C. Pt, आदि) से बना है। कैथोड और एंटीकैथोड के बीच उत्पन्न उच्च वोल्टेज द्वारा इलेक्ट्रॉनों को त्वरित किया जाता है। इलेक्ट्रानों की लगभग सारी ऊर्जा एंटीकैथोड पर ऊष्मा के रूप में निकलती है (ऊर्जा का केवल 1-3% ही विकिरण में परिवर्तित होता है)।

एक बार एंटीकैथोड के पदार्थ में, इलेक्ट्रॉनों को मजबूत मंदी का अनुभव होता है और विद्युत चुम्बकीय तरंगों का स्रोत बन जाता है।

पर्याप्त रूप से उच्च इलेक्ट्रॉन वेग पर, ब्रेम्सस्ट्रालंग (यानी, इलेक्ट्रॉन मंदी के कारण होने वाला विकिरण) के अलावा, विशेषता विकिरण भी उत्तेजित होता है (एंटीकैथोड परमाणुओं के आंतरिक इलेक्ट्रॉन गोले के उत्तेजना के कारण)।

एक्स-रे विकिरण की तीव्रता को फोटोग्राफिक क्रिया की डिग्री और विशेष रूप से हवा में गैसीय मीडिया में इसके द्वारा उत्पादित आयनीकरण द्वारा मापा जा सकता है। * विकिरण जितना तीव्र होता है, उतना ही अधिक आयनीकरण होता है। पदार्थ के साथ बातचीत के तंत्र के अनुसार, एक्स-रे y-विकिरण के समान हैं। एक्स-रे विकिरण की तरंग दैर्ध्य 10 -10 -10 -6 सेमी, गामा विकिरण -10-9 सेमी और नीचे है।

वर्तमान में, एक्स-रे का उपयोग नियंत्रण उपकरण के रूप में किया जाता है। एक्स-रे की मदद से, वे वेल्डिंग की गुणवत्ता, संबंधित उत्पादों की एकरूपता आदि को नियंत्रित करते हैं। चिकित्सा में, एक्स-रे का व्यापक रूप से निदान के लिए उपयोग किया जाता है, और कुछ मामलों में कैंसर कोशिकाओं को प्रभावित करने के साधन के रूप में।

व्याख्यान संख्या 11 (2 व्याख्यान हो सकते हैं)

GAMMA FUNCTION, G-फ़ंक्शन, एक ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन T(z) है जो फ़ैक्टोरियल z के मानों का प्रचार करता है! किसी भी जटिल z 0, -1, -2, .... G.-f के मामले में। अनंत उत्पाद का उपयोग करते हुए एल. यूलर [(एल यूलर), 1729, सीएच गोल्डबैक को पत्र] द्वारा पेश किया गया

जिसमें से एल। यूलर ने एक अभिन्न प्रतिनिधित्व प्राप्त किया (दूसरी तरह का एक यूलर इंटीग्रल)

Re z > 0 के लिए सत्य है। फलन x z-1 के पॉलीसेमी को वास्तविक ln x के साथ x z-1 = e (z-1)ln x के सूत्र द्वारा समाप्त किया जाता है। पदनाम (z) और नाम। जी.-एफ. ए.एम. लेजेन्ड्रे (ए.एम. लेजेन्ड्रे, 1814) द्वारा प्रस्तावित किए गए थे।

G.-f के लिए पूरे z-तल पर बेदखल बिंदुओं z = 0, -1, -2, ... के साथ। हैंकेल अभिन्न प्रतिनिधित्व मान्य है:

जहाँ s z-1 = e (z-1)ln s , और ln s लघुगणक की एक शाखा है, जिसके लिए 0

जी.-एफ के मूल संबंध और गुण।

1) यूलर कार्यात्मक समीकरण:

zГ(z) = (z + 1),

G(1) = 1, G(n + 1) = n!, यदि n > 0 एक पूर्णांक है, तो 0 की गणना करते समय! = (1) = 1.

2) यूलर का पूरक सूत्र:

Г(z)Г(1 - z) = /sin z.

विशेष रूप से,

यदि n > 0 एक पूर्णांक है, तो

वाई असली है।

3) गॉस गुणन सूत्र:

एम = 2 के लिए, यह लेजेंड्रे दोहरीकरण सूत्र है।

4) जब Re z > 0 या |Im z| > 0, स्पर्शोन्मुख स्टर्लिंग श्रृंखला में ln (z) का विस्तार:

जहाँ B 2n बर्नौली संख्याएँ हैं। समानता का क्या अर्थ है?

विशेष रूप से,

सोनिन का सूत्र अधिक सटीक है:

5) वास्तविक क्षेत्र में G(x) > 0 x > 0 के लिए और वर्गों -k - 1 में चिह्न (-1) k + 1 लेता है

""> " 2 0,

यानी, सभी शाखाएं |Г(x)| और ln |Г(х)| . दोनों उत्तल कार्य हैं। संपत्ति लघुगणक है। उत्तलता G.-f निर्धारित करती है। कार्यात्मक समीकरण के सभी समाधानों के बीच

जी(1 + एक्स) = एक्सजी(एक्स)

एक स्थिर कारक तक।

चावल। 2. फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d G (x)।

सकारात्मक एक्स एच.-एफ के लिए। x = 1.4616321... 0.885603 के बराबर... पर एक एकल न्यूनतम है। समारोह का स्थानीय मिनीमा |Г(х)| x → -∞ के रूप में वे शून्य की ओर प्रवृत्त एक अनुक्रम बनाते हैं।

चावल। 3. फलन का ग्राफ 1/Г(x)।

6) सम्मिश्र क्षेत्र में, Re z > 0 के लिए, G.-f. के रूप में तेजी से घटता है |Im z| → -∞

7) फलन 1/Г(z) (चित्र 3 देखें) अधिकतम प्रकार के पहले क्रम का एक संपूर्ण फलन है, और स्पर्शोन्मुख रूप से Г → के रूप में

लॉग М (आर) ~ आर लॉग आर,

इसे एक अनंत वीयरस्ट्रैस उत्पाद द्वारा दर्शाया जा सकता है:

जटिल विमान के किसी भी कॉम्पैक्ट सेट (यहां सी-यूलर स्थिरांक) पर बिल्कुल और समान रूप से अभिसरण। अभिन्न हैंकेल प्रतिनिधित्व मान्य है:

जहां सर्किट सी * अंजीर में दिखाया गया है। 4.

जी.-एफ की डिग्री के लिए अभिन्न प्रतिनिधित्व। जी एफ वोरोनी द्वारा प्राप्त किए गए थे।

अनुप्रयोगों में, तथाकथित बहुविवाह फलन जो ln (z) के kth अवकलज हैं। समारोह (ψ-गॉस समारोह)

मेरोमॉर्फिक है, बिंदुओं पर सरल ध्रुव हैं z = 0,-1,_-2, ... और कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है

(z + 1) - ψ(z) = 1/z।

प्रतिनिधित्व ψ(z) से |z| . के लिए

यह सूत्र बिंदु z = 1 के आसपास (z) की गणना के लिए उपयोगी है।

अन्य बहुविवाह कार्यों के लिए, देखें। अपूर्ण गामा फ़ंक्शन समानता द्वारा परिभाषित किया गया है

फलन (z), (z) अनुवांशिक फलन हैं जो परिमेय गुणांक (होल्डर प्रमेय) के साथ किसी भी रैखिक अंतर समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं।

जी.-एफ की विशेष भूमिका। गणित में। विश्लेषण इस तथ्य से निर्धारित होता है कि जी.-एफ की मदद से। बड़ी संख्या में निश्चित इंटीग्रल, अनंत उत्पाद और श्रृंखला के योग व्यक्त किए जाते हैं (उदाहरण के लिए, बीटा फ़ंक्शन देखें)। इसके अलावा, जी.-एफ. विश्लेषणात्मक में विशेष कार्यों के सिद्धांत में व्यापक अनुप्रयोग पाता है (हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन, जिसके लिए G.-f. सीमित मामला, बेलनाकार कार्य, आदि है)। संख्या सिद्धांत, आदि।

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एल पी कुप्त्सोव।

स्रोत:

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पाठ्यक्रम कार्य के लिए व्याख्यात्मक नोट 36 शीटों की मात्रा में बनाया गया है। इसमें चर के कुछ मूल्यों के लिए गामा फ़ंक्शन मानों की एक तालिका होती है और गामा फ़ंक्शन मानों की गणना के लिए और प्लॉटिंग के लिए प्रोग्राम टेक्स्ट के साथ-साथ 2 आंकड़े भी होते हैं।

टर्म पेपर लिखने के लिए 7 स्रोतों का इस्तेमाल किया गया था।

परिचय

कार्यों का एक विशेष वर्ग आवंटित करें, जो उचित या अनुचित अभिन्न के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य हो, जो न केवल औपचारिक चर पर निर्भर करता है, बल्कि पैरामीटर पर भी निर्भर करता है।

ऐसे कार्यों को पैरामीटर आश्रित समाकलन कहा जाता है। इनमें यूलर गामा और बीटा फ़ंक्शन शामिल हैं।

बीटा फ़ंक्शंस को पहली तरह के यूलर इंटीग्रल द्वारा दर्शाया गया है:

गामा फ़ंक्शन को दूसरे प्रकार के यूलर इंटीग्रल द्वारा दर्शाया जाता है:

गामा फ़ंक्शन सबसे सरल और सबसे महत्वपूर्ण विशेष कार्यों में से एक है, जिसके गुणों का ज्ञान कई अन्य विशेष कार्यों के अध्ययन के लिए आवश्यक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार, हाइपरजोमेट्रिक और अन्य।

इसकी शुरूआत के लिए धन्यवाद, इंटीग्रल की गणना में हमारी क्षमताओं का काफी विस्तार हुआ है। यहां तक कि उन मामलों में जहां अंतिम सूत्र में प्राथमिक के अलावा अन्य कार्य नहीं होते हैं, इसे प्राप्त करने से अक्सर फ़ंक्शन का उपयोग करना आसान हो जाता है, कम से कम मध्यवर्ती गणनाओं में।

यूलर इंटीग्रल्स अच्छी तरह से अध्ययन किए गए गैर-प्राथमिक कार्य हैं। समस्या को हल माना जाता है यदि इसे यूलर इंटीग्रल्स की गणना में घटा दिया जाए।

1. बीटा कार्य मैं यूलर

बीटा फ़ंक्शन पहली तरह के यूलर इंटीग्रल द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

=(1.1)

यह दो चर मापदंडों के एक समारोह का प्रतिनिधित्व करता है

और: समारोह बी. यदि ये पैरामीटर शर्तों को पूरा करते हैं और, तो इंटीग्रल (1.1) पैरामीटर के आधार पर एक अनुचित इंटीग्रल होगा, और इस इंटीग्रल के एकवचन बिंदु अंक होंगे और

इंटीग्रल (1.1) के लिए अभिसरण

.मान लें कि हमें प्राप्त होता है: = -

अर्थात। बहस

और सममित रूप से दर्ज करें। पहचान को ध्यान में रखते हुए

हमारे पास एकीकरण सूत्र द्वारा

हमें कहाँ मिलता है

पूर्णांक b = n के लिए, क्रमिक रूप से लागू करना (1.2)

पूर्णांक के लिए

= एम, = एन, हमारे पास है

लेकिन बी(1,1) = 1, तो:

हम डालते हैं (1.1)

समारोह के ग्राफ के बाद से

एक सीधी रेखा के संबंध में सममित, तब

और प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप

, हम पाते हैं

(1.1) में स्थापित करना

, जहां से, हमें मिलता है

समाकल को दो से 0 से 1 तक और 1 से तक विभाजित करना

और दूसरे समाकल में प्रतिस्थापन को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

2. गामा समारोह

2.1 परिभाषा

गणितीय कार्यों में एक विस्मयादिबोधक बिंदु का अर्थ आमतौर पर कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का भाज्य लेना होता है:

एन! = 1 2 3 ... एन।

फैक्टोरियल फ़ंक्शन को रिकर्सन रिलेशन के रूप में भी लिखा जा सकता है:

(एन+1)! = (एन+1) एन!।

इस संबंध को न केवल n के पूर्णांक मानों के लिए माना जा सकता है।

अंतर समीकरण पर विचार करें

सरल अंकन के बावजूद, इस समीकरण को प्राथमिक कार्यों में हल नहीं किया जा सकता है। इसके विलयन को गामा फलन कहते हैं। गामा फ़ंक्शन को एक श्रृंखला के रूप में या एक अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। गामा फलन के वैश्विक गुणों का अध्ययन करने के लिए, आमतौर पर अभिन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है।

2.2 अभिन्न प्रतिनिधित्व

आइए इस समीकरण को हल करने के लिए आगे बढ़ें। हम लैपलेस इंटीग्रल के रूप में एक समाधान की तलाश करेंगे:

इस स्थिति में, समीकरण (2.1) के दाहिने पक्ष को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

गैर-अभिन्न अवधि के लिए सीमाएं होने पर यह सूत्र मान्य है। हम छवि के व्यवहार को पहले से नहीं जानते हैं [(G)\tilde](p) p®±¥ के रूप में। मान लीजिए कि गामा फलन का प्रतिबिम्ब ऐसा है कि समाकल के बाहर का पद शून्य के बराबर है। समाधान मिलने के बाद, यह जांचना आवश्यक होगा कि क्या गैर-अभिन्न पद के बारे में धारणा सत्य है, अन्यथा हमें किसी अन्य तरीके से G(z) की तलाश करनी होगी।

सार

इस कोर्स वर्क का उद्देश्य यूलर गामा फंक्शन के विशेष गुणों का अध्ययन करना है। काम के दौरान, गामा फ़ंक्शन, इसके मुख्य गुणों का अध्ययन किया गया था, और एक गणना एल्गोरिथ्म को सटीकता की अलग-अलग डिग्री के साथ संकलित किया गया था। एल्गोरिथम एक उच्च-स्तरीय भाषा में लिखा गया था - सी। कार्यक्रम के परिणाम की तुलना तालिका से की जाती है। मूल्यों में कोई विसंगति नहीं पाई गई।

टर्म पेपर लिखने के लिए 7 स्रोतों का इस्तेमाल किया गया था।

परिचय

बीटा फ़ंक्शंस को पहली तरह के यूलर इंटीग्रल द्वारा दर्शाया गया है:

गामा फ़ंक्शन को दूसरे प्रकार के यूलर इंटीग्रल द्वारा दर्शाया जाता है:

1. बीटा कार्य मैं यूलर

बीटा फ़ंक्शन पहली तरह के यूलर इंटीग्रल द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

यह दो चर मापदंडों के एक समारोह का प्रतिनिधित्व करता है और: एक समारोह बी. यदि ये पैरामीटर शर्तों को पूरा करते हैं और, तो इंटीग्रल (1.1) पैरामीटर के आधार पर एक अनुचित इंटीग्रल होगा, और इस इंटीग्रल के एकवचन बिंदु अंक होंगे और

इंटीग्रल (1.1) पर अभिसरण होता है। मान लीजिए कि हमें मिलता है:

= - =

अर्थात। तर्क और सममित रूप से दर्ज करें। पहचान को ध्यान में रखते हुए

हमारे पास एकीकरण सूत्र द्वारा

हमें कहाँ मिलता है

पूर्णांक b = n के लिए, क्रमिक रूप से लागू करना (1.2)

पूर्णांकों के लिए = m, = n, हमारे पास है

लेकिन बी(1,1) = 1, तो:

हम (1.1) डालते हैं। चूंकि फ़ंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा के संबंध में सममित, तब

और प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं

(1.1) में मानते हुए, हम कहाँ से प्राप्त करते हैं

समाकल को 0 से 1 और 1 से के परिसर में दो से भाग देने पर और प्रतिस्थापन समाकल को दूसरे समाकल में लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

2. गामा समारोह

2.1 परिभाषा

एन! = 1 2 3 ... एन।

फैक्टोरियल फ़ंक्शन को रिकर्सन रिलेशन के रूप में भी लिखा जा सकता है:

(एन+1)! = (एन+1) एन!।

इस संबंध को न केवल n के पूर्णांक मानों के लिए माना जा सकता है।

अंतर समीकरण पर विचार करें

2.2 अभिन्न प्रतिनिधित्व

इस स्थिति में, समीकरण (2.1) के दाहिने पक्ष को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

समानता का बायाँ भाग (2.1) इस प्रकार लिखा गया है:

फिर गामा फ़ंक्शन की छवि के लिए समीकरण (2.1) का रूप है:

इस समीकरण को हल करना आसान है:

यह देखना आसान है कि पाया गया फ़ंक्शन [(Γ)\tilde](p) वास्तव में ऐसा है कि सूत्र (2.2) में गैर-अभिन्न शब्द शून्य के बराबर है।

गामा फ़ंक्शन की छवि जानने के बाद, प्रीइमेज के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करना आसान है:

यह एक गैर-विहित सूत्र है, इसे यूलर द्वारा प्राप्त रूप में लाने के लिए, एकीकरण चर को बदलना आवश्यक है: t = exp (-p), फिर अभिन्न रूप लेगा:

स्थिरांक C को इसलिए चुना जाता है ताकि z के पूर्णांक मानों के लिए गामा फलन भाज्य फलन के साथ मेल खाता हो: (n+1) = n!, फिर:

इसलिए C = 1. अंत में, हम गामा फलन के लिए यूलर सूत्र प्राप्त करते हैं:

यह फ़ंक्शन गणितीय ग्रंथों में बहुत आम है। विशेष कार्यों के साथ काम करते समय, शायद विस्मयादिबोधक बिंदु से भी अधिक बार।

आप जाँच सकते हैं कि सूत्र (2.3) द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन वास्तव में समीकरण (2.1) को संतुष्ट करता है, इस सूत्र के दाईं ओर अभिन्न को भागों द्वारा एकीकृत करके:

2.3 डोमेन और ध्रुव

घातांक क्स्प (2.3) पर समाकलन के समाकलन में ( -त्ज़) आर के लिए ( जेड)> 0 बीजीय फलन के बढ़ने की तुलना में बहुत तेजी से घटता है टी(जेड-1)। शून्य पर विलक्षणता समाकलनीय है, इसलिए (2.3) में अनुचित समाकलन R (z) > 0 के लिए पूर्णतः और समान रूप से अभिसरण करता है। इसके अलावा, पैरामीटर के संबंध में क्रमिक विभेदन द्वारा जेडयह सत्यापित करना आसान है कि G( जेड) आर के लिए एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है ( जेड) > 0. हालांकि, आर के लिए अभिन्न प्रतिनिधित्व (2.3) की अनुपयुक्तता ( जेड) 0 का मतलब यह नहीं है कि गामा फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित नहीं है - समीकरण का समाधान (2.1)।

आइए हम शून्य के पड़ोस में Г(z) के व्यवहार पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, आइए कल्पना करें:

पड़ोस में एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन कहां है जेड = 0. सूत्र (2.1) से यह निम्नानुसार है:

अर्थात्, (z) का प्रथम कोटि का ध्रुव z = 0 पर है।

इसे प्राप्त करना भी आसान है:

वह है, बिंदु के पड़ोस में, फ़ंक्शन Г( जेड) में पहले क्रम का पोल भी है।

इसी तरह, आप सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

इस सूत्र से यह पता चलता है कि बिंदु z = 0,-1,-2,... गामा फलन के सरल ध्रुव हैं और इस फलन का वास्तविक अक्ष पर कोई अन्य ध्रुव नहीं है। बिंदु z = -n, n = 0,1,2,... पर अवशेषों की गणना करना आसान है:

2.4 लूप इंटीग्रल के माध्यम से हैंकेल प्रतिनिधित्व

पता करें कि क्या गामा फ़ंक्शन में शून्य है। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

इस फलन के ध्रुव फलन (z) के शून्यक हैं।

I के लिए अंतर समीकरण ( जेडके लिए व्यंजक का उपयोग करके प्राप्त करना आसान है ( जेड):

इस समीकरण को समाकलन के रूप में हल करने के लिए व्यंजक उसी प्रकार प्राप्त किया जा सकता है जैसे गामा फलन के लिए समाकल व्यंजक प्राप्त किया गया था - लाप्लास रूपान्तरण के माध्यम से। नीचे गणनाएं हैं। न तो पैराग्राफ 1 के समान हैं। और  अभिन्न अंक होंगे ________________________________________________________________________________

चर को अलग करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

एकीकृत करने के बाद हम प्राप्त करते हैं:

लाप्लास प्रीइमेज को पास करना देता है:

परिणामी इंटीग्रल में, हम इंटीग्रेशन वेरिएबल में बदलाव करते हैं:

फिर

यहां यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि गैर-पूर्णांक मूल्यों के लिए एकीकृत जेडएक शाखा बिंदु है टी= 0. चर के सम्मिश्र तल पर टीआइए हम ऋणात्मक वास्तविक अर्ध-अक्ष के अनुदिश एक कट बनाते हैं। हम इस अर्ध-अक्ष के अनुदिश समाकल को इस खंड के ऊपरी भाग से 0 तक के समाकलन के योग के रूप में और खंड के निचले भाग के साथ 0 से समाकलन को निरूपित करते हैं। ताकि इंटीग्रल शाखा बिंदु से न गुजरे, हम इसके चारों ओर एक लूप की व्यवस्था करते हैं।

चित्र 1: अभिन्न हैंकेल प्रतिनिधित्व में लूप।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

अचर का मान ज्ञात करने के लिए, याद रखें कि दूसरी ओर I(1) = 1, :

अभिन्न प्रतिनिधित्व

लूप के संबंध में हैंकेल प्रतिनिधित्व कहा जाता है।

यह देखना आसान है कि फलन 1/Γ( जेड) के जटिल तल में कोई ध्रुव नहीं है, इसलिए गामा फलन का कोई शून्य नहीं है।

इस अभिन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग करके, कोई गामा कार्यों के उत्पाद के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकता है। ऐसा करने के लिए, इंटीग्रल में हम वेरिएबल में बदलाव करेंगे, फिर:

2.5 यूलर लिमिट फॉर्म

गामा फ़ंक्शन को एक अनंत उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह देखा जा सकता है यदि अभिन्न (2.3) में हम प्रतिनिधित्व करते हैं

तब गामा फलन का अभिन्न निरूपण है:

इस सूत्र में, हम सीमाओं को बदल सकते हैं - अनुचित समाकलन में समाकलन की सीमा और समाकलन के भीतर की सीमा। यहाँ परिणाम है:

आइए इस अभिन्न को भागों से लें:

यदि हम इस प्रक्रिया को n बार करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

सीमा को पार करते हुए, हम गामा फ़ंक्शन के लिए यूलर सीमा फॉर्म प्राप्त करते हैं:

2.6 उत्पाद के लिए सूत्र

नीचे हमें एक सूत्र की आवश्यकता है जिसमें दो गामा फलनों के गुणनफल को एक गामा फलन द्वारा निरूपित किया जाता है। हम गामा कार्यों के अभिन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग करके इस सूत्र को प्राप्त करते हैं।

हम दोहराए गए अभिन्न के रूप में पुनरावृत्त अभिन्न का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करके किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

अनुचित अभिन्न समान रूप से अभिसरण करता है। यह माना जा सकता है, उदाहरण के लिए, समन्वय अक्षों से घिरे त्रिभुज पर एक अभिन्न के रूप में और आर पर एक सीधी रेखा x + y = R। दोहरे अभिन्न में, हम चर का परिवर्तन करते हैं:

इस प्रतिस्थापन के जैकोबियन

एकीकरण सीमाएं: तुम 0 से में परिवर्तन, वी 0 से 1 में बदलते समय। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:

हम इस अभिन्न को फिर से दोहराए गए के रूप में फिर से लिखते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

जहां आर पी> 0, आर वी > 0.

2. गामा फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

अभिन्न

प्रत्येक के लिए अभिसरण करता है, क्योंकि , और अभिसरण पर अभिन्न।

उस क्षेत्र में जहाँ एक मनमाना धनात्मक संख्या है, यह समाकल एकसमान रूप से अभिसरण करता है, क्योंकि और हम Weirstrass परीक्षण लागू कर सकते हैं। संपूर्ण समाकल भी सभी मानों के लिए अभिसारी होता है चूंकि दायीं ओर का दूसरा पद एक अभिन्न है जो निश्चित रूप से किसी के लिए अभिसरण करता है। यह देखना आसान है कि अभिन्न किसी भी डोमेन पर अभिसरण करता है जहां मनमाना। सभी निर्दिष्ट मूल्यों के लिए और सभी के लिए मान्य है, और तब से अभिसरण करता है, तो वीयरस्ट्रैस मानदंड की शर्तें संतुष्ट होती हैं। इस प्रकार क्षेत्र में अभिन्न समान रूप से मिलती है।

इसका तात्पर्य गामा फलन की निरंतरता पर है। आइए हम इस फलन की अवकलनीयता सिद्ध करें। ध्यान दें कि फलन के लिए निरंतर है, और हम दिखाते हैं कि अभिन्न:

प्रत्येक खंड पर समान रूप से अभिसरण करता है, . आइए एक संख्या चुनें ताकि ; फिर के लिए। इसलिए, एक संख्या मौजूद है जैसे कि और के लिए। लेकिन फिर असमानता के लिए है

और चूंकि अभिन्न अभिसरण करता है, अभिन्न के संबंध में समान रूप से अभिसरण करता है। इसी तरह, क्योंकि ऐसी संख्या मौजूद है जो सभी असमानताओं के लिए है . ऐसे और सभी के साथ हमें मिलता है , जहां से, तुलना की कसौटी के आधार पर, यह इस प्रकार है कि अभिन्न के संबंध में समान रूप से अभिसरण करता है। अंत में, अभिन्न

जिसमें डोमेन में इंटीग्रैंड निरंतर है

जाहिर है, के संबंध में समान रूप से अभिसरण करता है। इस प्रकार, अभिन्न के लिए

समान रूप से अभिसरण करता है, और, परिणामस्वरूप, गामा फ़ंक्शन किसी भी और समानता के लिए असीम रूप से भिन्न होता है

समाकल के संबंध में, हम उसी तर्क को दोहरा सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

यह प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जाता है कि Γ-फ़ंक्शन असीम रूप से भिन्न है और इसका i-th व्युत्पन्न समानता को संतुष्ट करता है

आइए अब व्यवहार-कार्यों का अध्ययन करें और इसके ग्राफ का एक रेखाचित्र तैयार करें। (परिशिष्ट 1 देखें)

यह -फंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है कि सभी के लिए। इसलिए यह बढ़ता है। तब से, खंड पर भूमिका प्रमेय द्वारा, के लिए और के लिए व्युत्पन्न, यानी, नीरस रूप से घटता है और नीरस रूप से बढ़ता है। आगे, क्योंकि , तो फिर । के लिए, यह सूत्र से अनुसरण करता है कि के लिए।

समानता , के लिए मान्य, का उपयोग -फंक्शन को ऋणात्मक मान तक विस्तारित करते समय किया जा सकता है।

चलो उसके लिए . इस समानता का दाहिना पक्ष इसके लिए परिभाषित किया गया है (-1,0) . हम पाते हैं कि इस तरह से जारी रखा गया फ़ंक्शन (-1,0) नकारात्मक मान लेता है और साथ ही साथ फ़ंक्शन पर भी।

पर इस तरह से परिभाषित करने के बाद, हम इसे उसी सूत्र का उपयोग करके अंतराल (-2,-1) तक जारी रख सकते हैं। इस अंतराल पर, निरंतरता एक ऐसा कार्य होगा जो सकारात्मक मान लेता है और जैसे कि और के लिए। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम एक फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं जिसमें पूर्णांक बिंदुओं पर असंतुलन होता है (परिशिष्ट 1 देखें।)

फिर से ध्यान दें कि अभिन्न

केवल सकारात्मक मूल्यों के लिए -फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, नकारात्मक मूल्यों की निरंतरता हमारे द्वारा औपचारिक रूप से कमी सूत्र का उपयोग करके की जाती है .

4. कुछ समाकलनों की गणना।

स्टर्लिंग सूत्र

आइए गामा फ़ंक्शन को इंटीग्रल की गणना के लिए लागू करें:

जहाँ m > -1,n > -1. मान लें कि , हमारे पास है

और (2.8) के आधार पर हमारे पास है

अभिन्न में

जहाँ k > -1,n > 0, यह डालने के लिए पर्याप्त है

अभिन्न

जहां s> 0, श्रृंखला में विस्तार करें

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन कहाँ है

अपूर्ण गामा कार्यों पर विचार करें (प्राइम फ़ंक्शंस)

असमानता से बंधे

विस्तार करते हुए, एक पंक्ति में हमारे पास है

स्टर्लिंग सूत्र की व्युत्पत्ति की ओर मुड़ना, जो विशेष रूप से, n का अनुमानित मान देता है! n के बड़े मूल्यों के लिए, पहले सहायक फ़ंक्शन पर विचार करें

(4.2)

अंतराल पर निरंतर (-1,) से बदलने पर नीरस रूप से बढ़ जाता है और u = 0 पर 0 हो जाता है। चूंकि

और इसलिए व्युत्पन्न पूरे अंतराल में निरंतर और सकारात्मक है, स्थिति को संतुष्ट करता है

ऊपर से यह इस प्रकार है कि एक अंतराल पर परिभाषित एक उलटा कार्य है जो इस अंतराल में निरंतर और एकरस रूप से बढ़ रहा है,

v=0 पर 0 की ओर मुड़ना और शर्त को संतुष्ट करना

हम समानता से स्टर्लिंग सूत्र प्राप्त करते हैं

यह मानते हुए कि हमारे पास है

अंत में मानते हुए, हमें मिलता है

सीमा में यानी पर (4.3 देखें)

स्टर्लिंग का सूत्र कहाँ से आता है

जिसे फॉर्म में लिया जा सकता है

जहां पर

पर्याप्त रूप से बड़े मान के लिए

गणना लघुगणक का उपयोग करके की जाती है

यदि एक धनात्मक पूर्णांक है, तो (4.5) भी n . के बड़े मानों के लिए भाज्यों की गणना के लिए एक अनुमानित सूत्र में बदल जाता है

हम व्युत्पत्ति के बिना एक अधिक सटीक सूत्र देते हैं

जहां कोष्ठक में एक गैर-अभिसारी श्रृंखला है।

5. समाकलों की गणना के उदाहरण

गणना के लिए सूत्रों की आवश्यकता है:

जी()

इंटीग्रल की गणना करें

व्यावहारिक भाग

गामा फ़ंक्शन की गणना करने के लिए, इसके लघुगणक के अनुमान का उपयोग किया जाता है। अंतराल x>0 पर गामा फलन का अनुमान लगाने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है (जटिल z के लिए):

(z+1)=(z+g+0.5) z+0.5 क्स्प(-(z+g+0.5))

यह सूत्र स्टर्लिंग के सन्निकटन के समान है, लेकिन इसमें एक सुधार श्रृंखला है। g=5 और n=6 मानों के लिए, यह जाँच की जाती है कि त्रुटि ε 2*10 -10 से अधिक नहीं है। इसके अलावा, त्रुटि जटिल विमान के पूरे दाहिने आधे हिस्से पर इस मान से अधिक नहीं है: z> 0।

अंतराल x>0 पर (वास्तविक) गामा फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए, पुनरावर्ती सूत्र Г(z+1)=zГ(z) और उपरोक्त सन्निकटन Г(z+1) का उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, यह देखा जा सकता है कि गामा फ़ंक्शन के लॉगरिदम को गामा फ़ंक्शन की तुलना में अनुमानित करना अधिक सुविधाजनक है। सबसे पहले, इसके लिए केवल एक गणितीय फ़ंक्शन को कॉल करने की आवश्यकता होगी - लॉगरिदम, और दो नहीं - एक्सपोनेंट और डिग्री (बाद वाला अभी भी लॉगरिदम की कॉल का उपयोग करता है), और दूसरी बात, गामा फ़ंक्शन बड़े एक्स के लिए तेजी से बढ़ रहा है, और इसके लघुगणक द्वारा सन्निकटन अतिप्रवाह मुद्दों को हटा देता है।

Ln(Г(х) का अनुमान लगाने के लिए - गामा फ़ंक्शन का लघुगणक - सूत्र प्राप्त होता है:

log(G(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

लॉग (सी 0 (सी 1 +सी 2 /(x+1)+सी 3 /(x+2)+...+सी 7 /(x+8))/x)

गुणांक मान सी.के.- सारणीबद्ध डेटा (कार्यक्रम में देखें)।

घातांक लेकर गामा फलन स्वयं इसके लघुगणक से प्राप्त होता है।

निष्कर्ष

गामा फ़ंक्शन कुछ इंटीग्रल की गणना के लिए एक सुविधाजनक उपकरण है, विशेष रूप से उनमें से कई इंटीग्रल जो प्राथमिक कार्यों में प्रतिनिधित्व योग्य नहीं हैं।

इस वजह से, वे व्यापक रूप से गणित और इसके अनुप्रयोगों, यांत्रिकी, थर्मोडायनामिक्स और आधुनिक विज्ञान की अन्य शाखाओं में उपयोग किए जाते हैं।

ग्रन्थसूची

1. विशेष कार्य और उनके अनुप्रयोग:

लेबेदेव आई.आई., एम।, गोस्टेखटेरियोइज़्डैट, 1953

2. गणितीय विश्लेषण भाग 2:

इलिन ओ.ए., सदोवनिची वी.ए., सेंडोव बीएल.केएच।, एम।, "मॉस्को यूनिवर्सिटी", 1987

3. गणितीय विश्लेषण में समस्याओं का संग्रह:

डेमिडोविच बी.पी., एम।, नौका, 1966

4. इंटीग्रल और विशेष कार्यों की श्रृंखला:

प्रुडनिकोव ए.पी., ब्रायचकोव यू.ए., एम।, नौका, 1983

5. विशेष विशेषताएं:

कुज़नेत्सोव, एम।, "हाई स्कूल", 1965

6. स्पर्शोन्मुख और विशेष कार्य

एफ. ओल्वर, एम., नौका, 1990.

7. राक्षस चिड़ियाघर या विशेष सुविधाओं का परिचय

ओम किसेलेव,

ऐप्स

परिशिष्ट 1 - एक वास्तविक चर के गामा फलन का ग्राफ

परिशिष्ट 2 - गामा फलन का ग्राफ

तालिका - तर्क के कुछ मूल्यों के लिए गामा फ़ंक्शन मानों की एक तालिका।

परिशिष्ट 3 एक प्रोग्राम सूची है जो कुछ तर्क मानों के लिए गामा फ़ंक्शन मानों की एक तालिका तैयार करता है।

परिशिष्ट 4 - एक प्रोग्राम की सूची जो गामा फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाता है

सार................................................. ............................................3

परिचय ……………………………। .........................................................4

सैद्धांतिक भाग…………………………………………………….5

यूलर बीटा फंक्शन…………………………………………….5

गामा फंक्शन …………………………… ....................................आठ

2.1. परिभाषा ……………………………………………………8

2.2. अभिन्न प्रतिनिधित्व………………………………8

2.3. परिभाषा और ध्रुवों का क्षेत्र………………………..10

2.4. लूप इंटीग्रल के संदर्भ में हैंकेल प्रतिनिधित्व ………..10

2.5. यूलर लिमिट फॉर्म…………………………………12

2.6. उत्पाद के लिए सूत्र………………………………..13

गामा फ़ंक्शन का व्युत्पन्न …………………………… .....................पंद्रह

इंटीग्रल की गणना। स्टर्लिंग फॉर्मूला..................18

इंटीग्रल की गणना के उदाहरण …………………………… …………………23

व्यावहारिक भाग………………………………………….24

निष्कर्ष................................................. .......................................25

सन्दर्भ ……………………………………………………………26

आवेदन ……………………………………………………………..27

परिशिष्ट 1

एक वास्तविक चर के गामा फलन का ग्राफ

परिशिष्ट 2

गामा फंक्शन का ग्राफ

टेबल

एक्स	जी (एक्स)

परिशिष्ट 3

#शामिल करना

स्थिर डबल कॉफ़ = (

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

डबल गैमएलएन (डबल एक्स) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

एलजी=(x+0.5)*लॉग(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

डबल गामा (डबल एक्स) (

वापसी (एक्सपी (गैमएलएन (एक्स)));

अदालत<<"vvedite x";

प्रिंटफ ("\ n \ t \ t \ t | x | गामा (x) |");

प्रिंटफ ("\ n \ t \ t \ t_____________________________________________");

के लिए(i=1;i<=8;i++)

एक्स = एक्स [i] +0.5;

जी [i] = गामा (एक्स [i]);

प्रिंटफ ("\ n \ t \ t \ t |% f |% f |", x [i], g [i]);

प्रिंटफ ("\ n \ t \ t \ t_____________________________________________");

प्रिंटफ ("\ n डलिया वुहोदा इज़ प्रोग्राममु नज्माइट ल्ब्इय कलविशी");

परिशिष्ट 4

#शामिल करना

डबल गेम (डबल एक्स, डबल ईपीएस)

इंट आई, जे, एन, एनबी;

डबल dze=(1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

डबल a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

प्रिंटफ ("आपने गलत डेटा दर्ज किया, कृपया पुनः प्रयास करें \ n"); वापसी -1.0;

अगर (ए == 0) वापसी एफसी;

के लिए(i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

के लिए(एन=1;एन<=nb;n++)

के लिए (जे = 0; जे<5; j++)

सी=सी+बी/(जे+1.0);

एस=एस+सी-लॉग(1.0+ए/एन);

डबल dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, "");

वाईएन0 = गेटमैक्सी () -20;

रेखा (30, गेटमैक्सी () -10,30,30);

लाइन (20, गेटमैक्सी () -30, गेटमैक्स () -20, गेटमैक्सी () -30);

)जबकि (वाई>30);

) जबकि (X<700);

) जबकि (X<=620);

)जबकि (y>=30);

एक्स=30+150.0*0.1845;

For9i=1;i

डाई = गम (डीएक्स, 1e-3);

एक्स=30+(600/0*i)/एन;

अगर(Y<30) continue;

एक्स=30+150.0*308523;

लाइन (30,30,30,10);

रेखा (620,450,640,450);

रेखा (30,10,25,15);

रेखा (640,450,635,445);

रेखा (640,450,635,455);

रेखा(170,445,170,455);

रेखा (320,445,320,455);

रेखा(470,445,470,455);

रेखा (620,445,620,455);

रेखा (25,366,35,366);

रेखा (25,282,35,282);

रेखा (25,114,35,114);

रेखा (25,30,35,30);

आउटटेक्स्टी (20,465, "0");

आउटटेक्स्टी(165,465, "1";

आउटटेक्स्टी(315,465, "2";

आउटटेक्स्टी(465,465, "3";

आउटटेक्स्टी(615,465, "4";

आउटटेक्स्टी(630,465, "एक्स";

आउटटेक्स्टी(15,364, "1";

आउटटेक्स्टी(15,280, "2";

आउटटेक्स्टी(15,196, "3";

आउटटेक्स्टी(15,112, "4";

आउटटेक्स्टी(15,30, "5";

यह प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया गया है कि जी-विकिरण (§ 255 देखें) रेडियोधर्मिता का एक स्वतंत्र रूप नहीं है, बल्कि केवल ए- और बी-क्षय के साथ होता है और परमाणु प्रतिक्रियाओं के दौरान, चार्ज कणों के मंदी के दौरान, उनके क्षय आदि के दौरान भी उत्पन्न होता है। जी-स्पेक्ट्रम पंक्तिबद्ध है। जी-स्पेक्ट्रम जी-क्वांटा की संख्या का ऊर्जा वितरण है (बी-स्पेक्ट्रम की समान व्याख्या §258 में दी गई है)। जी-स्पेक्ट्रम की विसंगति का मौलिक महत्व है, क्योंकि यह परमाणु नाभिक की ऊर्जा अवस्थाओं की विसंगति का प्रमाण है।

अब यह दृढ़ता से स्थापित हो गया है कि जी-विकिरण बेटी (माता-पिता के बजाय) नाभिक द्वारा उत्सर्जित होता है। अपने गठन के समय बेटी नाभिक, उत्साहित होकर, लगभग 10 -13 - 10 -14 सेकंड के समय में जी-विकिरण के उत्सर्जन के साथ जमीनी अवस्था में चला जाता है, जो एक उत्तेजित परमाणु के जीवनकाल से बहुत छोटा होता है। (लगभग 10 -8 एस)। जमीनी अवस्था में लौटने पर, उत्तेजित नाभिक कई मध्यवर्ती अवस्थाओं से गुजर सकता है, इसलिए एक ही रेडियोधर्मी समस्थानिक के जी-विकिरण में जी-क्वांटा के कई समूह हो सकते हैं, जो उनकी ऊर्जा में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

जी-विकिरण के साथ लेकिनऔर कर्नेल का Z नहीं बदलता है, इसलिए इसे किसी भी विस्थापन नियम द्वारा वर्णित नहीं किया गया है। अधिकांश नाभिकों का जी-विकिरण इतनी कम तरंग दैर्ध्य का होता है कि इसके तरंग गुण बहुत कमजोर रूप से प्रकट होते हैं। यहां, कणिका गुण सामने आते हैं, इसलिए जी-विकिरण को कणों की एक धारा के रूप में माना जाता है - जी-क्वांटा। विभिन्न नाभिकों के रेडियोधर्मी क्षय के दौरान, g-क्वांटा की ऊर्जा 10 keV से 5 MeV तक होती है।

नाभिक, जो एक उत्तेजित अवस्था में है, न केवल जी-क्वांटम उत्सर्जित करके, बल्कि उत्तेजना ऊर्जा (जी-क्वांटम के पूर्व उत्सर्जन के बिना) को सीधे इलेक्ट्रॉनों में से एक में स्थानांतरित करके जमीनी अवस्था में जा सकता है। एक ही परमाणु। इस मामले में, तथाकथित रूपांतरण इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होता है। घटना को ही आंतरिक रूपांतरण कहा जाता है। आंतरिक रूपांतरण एक ऐसी प्रक्रिया है जो जी-विकिरण के साथ प्रतिस्पर्धा करती है।

रूपांतरण इलेक्ट्रॉन ऊर्जा के असतत मूल्यों के अनुरूप होते हैं, जो उस शेल से इलेक्ट्रॉन के कार्य कार्य पर निर्भर करता है जिससे इलेक्ट्रॉन निकलता है, और ऊर्जा E पर , उत्तेजित अवस्था से जमीनी अवस्था में संक्रमण के दौरान केन्द्रक द्वारा दिया जाता है। यदि सभी ऊर्जा E को y-क्वांटम के रूप में छोड़ा जाता है, तो विकिरण आवृत्ति v ज्ञात संबंध E=hv से निर्धारित होती है . यदि वे आंतरिक रूपांतरण के एल इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन करते हैं, तो उनकी ऊर्जा ई-ए के, ई-ए एल के बराबर होती है, ..., जहाँ A k, A L, ... K . से एक इलेक्ट्रॉन का कार्य फलन है - और एल-गोले। रूपांतरण इलेक्ट्रॉनों की मोनोएनेरगेटिक प्रकृति उन्हें बी-इलेक्ट्रॉनों से अलग करना संभव बनाती है, जिसका स्पेक्ट्रम निरंतर है (देखें § 258)। एक इलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाले परमाणु के आंतरिक कोश पर जो रिक्तता है, वह ऊपर के कोशों से इलेक्ट्रॉनों से भर जाएगी। इसलिए, आंतरिक रूपांतरण हमेशा विशिष्ट एक्स-रे उत्सर्जन के साथ होता है।

जी-क्वांटा, शून्य विश्राम द्रव्यमान वाला, एक माध्यम में धीमा नहीं हो सकता है, इसलिए, जब जी-विकिरण पदार्थ से होकर गुजरता है, तो वे या तो अवशोषित हो जाते हैं या इसके द्वारा बिखर जाते हैं। जी-क्वांटा विद्युत आवेश को वहन नहीं करता है और इस प्रकार कूलम्ब बलों के प्रभाव का अनुभव नहीं करता है। जब y-क्वांटा का एक बीम किसी पदार्थ से होकर गुजरता है, तो उनकी ऊर्जा नहीं बदलती है, लेकिन टकराव के परिणामस्वरूप तीव्रता कमजोर हो जाती है, जिसके परिवर्तन का वर्णन घातीय कानून x, m - अवशोषण गुणांक द्वारा किया जाता है)। चूँकि g-विकिरण सबसे अधिक भेदन करने वाला विकिरण है, इसलिए कई पदार्थों के लिए m बहुत छोटा मान है; m पदार्थ के गुणों और g-क्वांटा की ऊर्जा पर निर्भर करता है।

पदार्थ के माध्यम से गुजरने वाले जी-क्वांटा, पदार्थ के परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन खोल और उनके नाभिक के साथ बातचीत कर सकते हैं। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में, यह साबित होता है कि पदार्थ के माध्यम से जी-विकिरण के पारित होने के साथ मुख्य प्रक्रियाएं फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव, कॉम्पटन प्रभाव (कॉम्पटन स्कैटरिंग), और इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़े का गठन हैं।

फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव, या जी-रे का फोटोइलेक्ट्रिक अवशोषण, एक प्रक्रिया है जिसमें एक परमाणु जी-क्वांटम को अवशोषित करता है और एक इलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन करता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन परमाणु के आंतरिक गोले में से एक से बाहर खटखटाया जाता है, खाली स्थान ऊपर के गोले से इलेक्ट्रॉनों से भर जाता है, और फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव विशेषता एक्स-रे विकिरण के साथ होता है। फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव जी-क्वांटा (ई जी .) की कम ऊर्जा के क्षेत्र में प्रमुख अवशोषण तंत्र है< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

जैसे-जैसे जी-क्वांटा की ऊर्जा बढ़ती है (ई जी »0.5 मेव), फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव की संभावना बहुत कम होती है, और पदार्थ के साथ जी-क्वांटा की बातचीत के लिए मुख्य तंत्र कॉम्पटन स्कैटरिंग (§ 206 देखें) है।

जब Eg>1.02 MeV = 2m e c 2 (m e एक इलेक्ट्रॉन का शेष द्रव्यमान है), नाभिक के विद्युत क्षेत्रों में इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़े के निर्माण की प्रक्रिया संभव हो जाती है। इस प्रक्रिया की संभावना Z 2 के समानुपाती होती है और E g के साथ बढ़ती है। इसलिए, E g »10 MeV पर, किसी भी पदार्थ में g-विकिरण परस्पर क्रिया की मुख्य प्रक्रिया विद्युत-पॉज़िट्रॉन जोड़े का निर्माण है।

यदि जी-क्वांटम की ऊर्जा नाभिक (7-8 MeV) में न्यूक्लियंस की बाध्यकारी ऊर्जा से अधिक हो जाती है, तो जी-क्वांटम के अवशोषण के परिणामस्वरूप, एक परमाणु फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव देखा जा सकता है - इनमें से एक का उत्सर्जन नाभिक से नाभिक, सबसे अधिक बार एक न्यूट्रॉन।

जी-विकिरण की बड़ी मर्मज्ञ शक्ति का उपयोग गामा दोष का पता लगाने में किया जाता है - जी-विकिरण के विभिन्न अवशोषण के आधार पर एक दोष का पता लगाने की विधि जब यह अलग-अलग मीडिया में समान दूरी पर फैलती है। दोषों का स्थान और आकार (गुहा, दरारें, आदि) पारभासी उत्पाद के विभिन्न भागों से गुजरने वाले विकिरण की तीव्रता में अंतर से निर्धारित होता है।

किसी पदार्थ पर जी-विकिरण (साथ ही अन्य प्रकार के आयनकारी विकिरण) का प्रभाव आयनकारी विकिरण की एक खुराक की विशेषता है। अलग होना:

विकिरण की अवशोषित खुराक विकिरण ऊर्जा के अनुपात के बराबर विकिरणित पदार्थ के द्रव्यमान के बराबर एक भौतिक मात्रा है।

अवशोषित विकिरण खुराक की इकाई ग्रे (Gy) *: 1 Gy \u003d 1 J / kg - विकिरण खुराक है, जिस पर 1 J के किसी भी आयनकारी विकिरण की ऊर्जा को 1 किलोग्राम वजन वाले विकिरणित पदार्थ में स्थानांतरित किया जाता है।

विकिरण की एक्सपोज़र खुराक एक भौतिक मात्रा है जो एक ही चिन्ह के सभी आयनों के विद्युत आवेशों के योग के अनुपात के बराबर होती है, जो विकिरणित हवा में जारी इलेक्ट्रॉनों द्वारा बनाई जाती है (इलेक्ट्रॉनों की आयनीकरण क्षमता के पूर्ण उपयोग की स्थिति के तहत), इस हवा का द्रव्यमान।

विकिरण की एक्सपोजर खुराक की इकाई प्रति किलोग्राम (सी/किलोग्राम) लटकन है; डार्क यूनिट रेंटजेन (R) है: 1 R=2.58×10 -4 C/kg।

जैविक खुराक - एक मूल्य जो शरीर पर विकिरण के प्रभाव को निर्धारित करता है।

जैविक खुराक इकाई एक रेंटजेन (रेम) के जैविक समकक्ष है: 1 रेम किसी भी प्रकार के आयनकारी विकिरण की एक खुराक है जो 1 आर (1 रेम = 10) में एक्स-रे या जी विकिरण की खुराक के समान जैविक प्रभाव पैदा करता है। -2 जे / किग्रा)।

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

परिचय

परिचय

2. गामा फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

आइए गामा फ़ंक्शन को इंटीग्रल की गणना के लिए लागू करें:

निष्कर्ष

ग्रन्थसूची

1. विशेष कार्य और उनके अनुप्रयोग:

लेबेदेव आई.आई., एम।, गोस्टेखटेरियोइज़्डैट, 1953

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