उदाहरण 1
संदर्भ: किसी फ़ंक्शन को नोट करने के निम्नलिखित तरीके समान हैं: कुछ कार्यों में, फ़ंक्शन को "खिलाड़ी" के रूप में नामित करना सुविधाजनक हो सकता है, और कुछ में "एक्स से एफई" के रूप में।
पहले हम व्युत्पन्न पाते हैं:
उदाहरण 2
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें
, , पूर्ण कार्य अध्ययनऔर आदि।
उदाहरण 3
बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें। आइए पहले व्युत्पन्न खोजें: 
खैर, यह पूरी तरह से अलग मामला है। बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें:
इस घटना में कि आप यह नहीं समझते हैं कि व्युत्पन्न कैसे पाया गया, विषय के पहले दो पाठों पर वापस जाएँ। यदि चाप स्पर्शरेखा और उसके अर्थों के साथ कठिनाइयाँ (गलतफहमी) हैं, आवश्यक रूप से अध्ययन पद्धति सामग्री प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण- बहुत अंतिम पैराग्राफ। क्योंकि छात्र आयु के लिए अभी भी पर्याप्त चापाकल हैं।
उदाहरण 4
बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण
पिछले पैराग्राफ को समेकित करने के लिए, स्पर्शरेखा को खोजने की समस्या पर विचार करें फ़ंक्शन ग्राफिक्सइस समय। यह कार्य हमें स्कूल में मिला, और यह उच्च गणित के पाठ्यक्रम में भी पाया जाता है।
एक "प्रदर्शन" प्राथमिक उदाहरण पर विचार करें।
भुज के साथ बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें। मैं तुरंत समस्या का एक तैयार चित्रमय समाधान दूंगा (व्यवहार में, यह ज्यादातर मामलों में आवश्यक नहीं है):
स्पर्शरेखा की एक कठोर परिभाषा किसके द्वारा दी गई है किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा, लेकिन अभी के लिए हम इस मुद्दे के तकनीकी हिस्से में महारत हासिल करेंगे। निश्चित रूप से लगभग हर कोई सहज रूप से समझता है कि स्पर्शरेखा क्या है। यदि आप "उंगलियों पर" की व्याख्या करते हैं, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है सीधा, जो फ़ंक्शन के ग्राफ से संबंधित है केवलबिंदु। इस मामले में, सीधी रेखा के सभी आस-पास के बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ के जितना संभव हो उतना करीब स्थित हैं।
जैसा कि हमारे मामले में लागू होता है: पर , स्पर्शरेखा (मानक संकेतन) एक बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ को स्पर्श करता है।
और हमारा काम एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।
एक बिंदु पर एक समारोह का व्युत्पन्न
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को कैसे खोजें? इस कार्य के दो स्पष्ट बिंदु शब्दांकन से अनुसरण करते हैं:
1) व्युत्पन्न खोजना आवश्यक है।
2) किसी दिए गए बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करना आवश्यक है।
उदाहरण 1
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें
सहायता: किसी फ़ंक्शन को नोट करने के निम्नलिखित तरीके समान हैं:
कुछ कार्यों में, फ़ंक्शन को "खिलाड़ी" के रूप में नामित करना सुविधाजनक हो सकता है, और कुछ में "एक्स से एफई" के रूप में।
पहले हम व्युत्पन्न पाते हैं:
मुझे आशा है कि कई लोग पहले से ही इस तरह के डेरिवेटिव को मौखिक रूप से खोजने के लिए अनुकूलित कर चुके हैं।
दूसरे चरण में, हम बिंदु पर अवकलज के मान की गणना करते हैं:
एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक छोटा वार्म-अप उदाहरण:
उदाहरण 2
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें
पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।
एक बिंदु पर व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता निम्नलिखित कार्यों में उत्पन्न होती है: किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा का निर्माण (अगला पैराग्राफ), एक चरम के लिए एक समारोह का अध्ययन , ग्राफ के विभक्ति के लिए फलन का अध्ययन , पूर्ण कार्य अध्ययन और आदि।
लेकिन विचाराधीन कार्य नियंत्रण पत्रों में और अपने आप में पाया जाता है। और, एक नियम के रूप में, ऐसे मामलों में, फ़ंक्शन काफी जटिल है। इस संबंध में, दो और उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण 3
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें 
बिंदु पर।
आइए पहले व्युत्पन्न खोजें: 
व्युत्पन्न, सिद्धांत रूप में, पाया जाता है, और आवश्यक मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। लेकिन मैं वास्तव में कुछ भी नहीं करना चाहता। व्यंजक बहुत लंबा है, और "x" का मान भिन्नात्मक है। इसलिए, हम जितना संभव हो सके अपने व्युत्पन्न को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। इस मामले में, आइए अंतिम तीन शब्दों को एक सामान्य हर में कम करने का प्रयास करें: 
बिंदु पर।
यह स्वयं का उदाहरण है।
हो बिंदु पर फलन F(x) के अवकलज का मान कैसे ज्ञात करें? इसे सामान्य रूप से कैसे हल करें?
यदि सूत्र दिया गया है, तो व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए और X के स्थान पर X-शून्य को प्रतिस्थापित कीजिए। गिनती करना
यदि हम बी -8 यूएसई, ग्राफ के बारे में बात कर रहे हैं, तो आपको कोण (तीव्र या अधिक) के स्पर्शरेखा को खोजने की जरूरत है, जो एक्स अक्ष के लिए एक स्पर्शरेखा बनाता है (एक सही त्रिकोण के मानसिक निर्माण का उपयोग करके और स्पर्शरेखा का निर्धारण कोना)
तैमूर आदिलखोदज़ेव
सबसे पहले, आपको संकेत पर निर्णय लेने की आवश्यकता है। यदि बिंदु x0 निर्देशांक तल के निचले भाग में है, तो उत्तर में चिन्ह ऋणात्मक होगा, और यदि यह अधिक है, तो +।
दूसरे, आपको यह जानने की जरूरत है कि आयताकार आयत में स्पर्शरेखा क्या है। और यह विपरीत पक्ष (पैर) से आसन्न पक्ष (पैर भी) का अनुपात है। पेंटिंग पर आमतौर पर कुछ काले निशान होते हैं। इन चिह्नों से आप एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं और स्पर्शरेखा पाते हैं।
बिंदु x0 पर फलन f x के अवकलज का मान कैसे ज्ञात करें?
कोई खास सवाल नहीं है - 3 साल पहलेसामान्य स्थिति में, किसी बिंदु पर किसी चर के संबंध में किसी फलन के अवकलज का मान ज्ञात करने के लिए, इस चर के संबंध में दिए गए फलन में अंतर करना आवश्यक है। आपके मामले में, चर X द्वारा। परिणामी व्यंजक में, X के बजाय, x का मान उस बिंदु पर रखें, जिसके लिए आपको अवकलज का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, अर्थात। आपके मामले में, शून्य X को प्रतिस्थापित करें और परिणामी व्यंजक की गणना करें।
खैर, इस मुद्दे को समझने की आपकी इच्छा, मेरी राय में, निस्संदेह + योग्य है, जिसे मैंने स्पष्ट विवेक के साथ रखा है।
व्युत्पन्न खोजने की समस्या का ऐसा सूत्रीकरण अक्सर व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ पर सामग्री को ठीक करने के लिए किया जाता है। एक निश्चित फ़ंक्शन का एक ग्राफ प्रस्तावित है, पूरी तरह से मनमाना और एक समीकरण द्वारा नहीं दिया गया है, और इसे निर्दिष्ट बिंदु X0 पर व्युत्पन्न (स्वयं व्युत्पन्न नहीं!) का मान खोजना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, दिए गए फ़ंक्शन के लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण किया जाता है और निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदु पाए जाते हैं। तब इस स्पर्शरेखा का समीकरण y=kx+b के रूप में तैयार किया जाता है।
इस समीकरण में, गुणांक k और व्युत्पन्न का मान होगा। यह केवल गुणांक b का मान ज्ञात करने के लिए रहता है। ऐसा करने के लिए, हम x \u003d o पर y का मान पाते हैं, इसे 3 के बराबर होने दें - यह गुणांक b का मान है। हम X0 और Y0 के मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और k - इस बिंदु पर व्युत्पन्न का हमारा मान पाते हैं।
समस्या B9 में, एक फलन या अवकलज का एक आलेख दिया गया है, जिससे निम्नलिखित में से किसी एक मात्रा का निर्धारण करना आवश्यक है:
- किसी बिंदु x 0 पर अवकलज का मान,
- उच्च या निम्न अंक (चरम बिंदु),
- बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल (एकरसता के अंतराल)।
इस समस्या में प्रस्तुत कार्य और व्युत्पन्न हमेशा निरंतर होते हैं, जो समाधान को बहुत सरल करते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि कार्य गणितीय विश्लेषण के अनुभाग से संबंधित है, यह सबसे कमजोर छात्रों की शक्ति के भीतर भी है, क्योंकि यहां किसी गहन सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता नहीं है।
व्युत्पन्न, चरम बिंदुओं और एकरसता अंतराल के मूल्य को खोजने के लिए, सरल और सार्वभौमिक एल्गोरिदम हैं - उन सभी पर नीचे चर्चा की जाएगी।
मूर्खतापूर्ण गलतियाँ न करने के लिए समस्या B9 की स्थिति को ध्यान से पढ़ें: कभी-कभी काफी मात्रा में ग्रंथ सामने आते हैं, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण शर्तें हैं जो समाधान के पाठ्यक्रम को प्रभावित करती हैं।
व्युत्पन्न के मूल्य की गणना। दो बिंदु विधि
यदि समस्या को किसी बिंदु x 0 पर इस ग्राफ के स्पर्शरेखा f(x) फ़ंक्शन का ग्राफ दिया जाता है, और इस बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य को खोजने की आवश्यकता होती है, तो निम्न एल्गोरिदम लागू होता है:
- स्पर्शरेखा ग्राफ़ पर दो "पर्याप्त" बिंदु खोजें: उनके निर्देशांक पूर्णांक होने चाहिए। आइए इन बिंदुओं को A (x 1 ; y 1) और B (x 2 ; y 2) के रूप में निरूपित करें। निर्देशांक को सही ढंग से लिखें - यह समाधान का मुख्य बिंदु है, और यहां कोई भी गलती गलत उत्तर की ओर ले जाती है।
- निर्देशांकों को जानने के बाद, तर्क Δx = x 2 - x 1 की वृद्धि की गणना करना और y = y 2 - y 1 फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करना आसान है।
- अंत में, हम अवकलज D = y/Δx का मान पाते हैं। दूसरे शब्दों में, आपको तर्क वृद्धि से फ़ंक्शन वृद्धि को विभाजित करने की आवश्यकता है - और यह उत्तर होगा।
एक बार फिर, हम ध्यान दें: बिंदु ए और बी को स्पर्शरेखा पर सटीक रूप से खोजा जाना चाहिए, न कि फ़ंक्शन f (x) के ग्राफ़ पर, जैसा कि अक्सर होता है। स्पर्शरेखा में आवश्यक रूप से कम से कम दो ऐसे बिंदु होंगे, अन्यथा समस्या गलत तरीके से तैयार की गई है।
अंक A (−3; 2) और B (−1; 6) पर विचार करें और वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.
आइए अवकलज का मान ज्ञात करें: D = y/Δx = 4/2 = 2।
एक कार्य। यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है और बिंदु पर स्पर्शरेखा x 0 के साथ स्पर्श करता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
अंक ए (0; 3) और बी (3; 0) पर विचार करें, वेतन वृद्धि खोजें:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3।
अब हम अवकलज का मान ज्ञात करते हैं: D = y/Δx = −3/3 = −1।
एक कार्य। यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है और बिंदु पर स्पर्शरेखा x 0 के साथ स्पर्श करता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
अंक ए (0; 2) और बी (5; 2) पर विचार करें और वेतन वृद्धि खोजें:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; y = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
यह व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना बाकी है: D = y/Δx = 0/5 = 0।
पिछले उदाहरण से, हम नियम बना सकते हैं: यदि स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है, तो स्पर्शरेखा के बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। इस मामले में, आपको कुछ भी गणना करने की आवश्यकता नहीं है - बस ग्राफ़ को देखें।
उच्च और निम्न अंक की गणना
कभी-कभी समस्या B9 में किसी फ़ंक्शन के ग्राफ के बजाय, एक व्युत्पन्न ग्राफ दिया जाता है और फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम बिंदु को खोजने की आवश्यकता होती है। इस परिदृश्य में, दो-बिंदु विधि बेकार है, लेकिन एक और भी सरल एल्गोरिथम है। सबसे पहले, आइए शब्दावली को परिभाषित करें:
- बिंदु x 0 को फलन f(x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि निम्नलिखित असमानता इस बिंदु के कुछ पड़ोस में होती है: f(x 0) f(x)।
- बिंदु x 0 को फलन f(x) का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि निम्न असमानता इस बिंदु के कुछ पड़ोस में होती है: f(x 0) f(x)।
व्युत्पन्न के ग्राफ पर अधिकतम और न्यूनतम अंक खोजने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करना पर्याप्त है:
- सभी अनावश्यक जानकारी को हटाते हुए, व्युत्पन्न का ग्राफ फिर से बनाएं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अतिरिक्त डेटा केवल निर्णय में हस्तक्षेप करता है। इसलिए, हम निर्देशांक अक्ष पर व्युत्पन्न के शून्य को चिह्नित करते हैं - और यही वह है।
- शून्य के बीच के अंतराल पर अवकलज के चिह्न ज्ञात कीजिए। यदि किसी बिंदु x 0 के लिए यह ज्ञात है कि f'(x 0) 0, तो केवल दो विकल्प संभव हैं: f'(x 0) 0 या f'(x 0) 0. व्युत्पन्न का चिन्ह है मूल ड्राइंग से निर्धारित करना आसान है: यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के ऊपर स्थित है, तो f'(x) 0. इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के नीचे स्थित है, तो f'(x) 0.
- हम फिर से व्युत्पन्न के शून्य और संकेतों की जांच करते हैं। जहां साइन माइनस से प्लस में बदलता है, वहां एक न्यूनतम बिंदु होता है। इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, तो यह अधिकतम बिंदु है। गिनती हमेशा बाएं से दाएं की जाती है।
यह योजना केवल निरंतर कार्यों के लिए काम करती है - समस्या B9 में कोई अन्य नहीं है।
एक कार्य। यह आंकड़ा अंतराल [−5; 5]। इस खंड पर फलन f(x) का न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।
आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं - हम केवल सीमाओं को छोड़ देंगे [−5; 5] और व्युत्पन्न x = −3 और x = 2.5 के शून्यक। संकेतों पर भी ध्यान दें:
जाहिर है, बिंदु x = −3 पर, व्युत्पन्न का चिह्न ऋण से प्लस में बदल जाता है। यह न्यूनतम बिंदु है।
एक कार्य। यह आंकड़ा अंतराल [−3; 7]। इस खंड पर फलन f(x) का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए।
आइए केवल सीमाओं [−3; को छोड़कर, ग्राफ़ को फिर से बनाएं; 7] और व्युत्पन्न x = −1.7 और x = 5 के शून्यक। परिणामी ग्राफ पर अवकलज के चिह्नों पर ध्यान दें। हमारे पास है:
जाहिर है, बिंदु x = 5 पर, व्युत्पन्न का संकेत प्लस से माइनस में बदल जाता है - यह अधिकतम बिंदु है।
एक कार्य। यह आंकड़ा अंतराल [−6; पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है; चार]। फ़ंक्शन f(x) के उन अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो अंतराल [−4] से संबंधित हैं; 3]।
यह समस्या की स्थितियों का अनुसरण करता है कि यह खंड [−4; 3]। इसलिए, हम एक नया ग्राफ बनाते हैं, जिस पर हम केवल सीमाएं [−4; 3] और इसके अंदर व्युत्पन्न के शून्य। अर्थात्, बिंदु x = −3.5 और x = 2। हम प्राप्त करते हैं:
इस ग्राफ पर, केवल एक अधिकतम बिंदु x = 2 है। यह इसमें है कि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है।
गैर-पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं के बारे में एक छोटा नोट। उदाहरण के लिए, पिछली समस्या में, बिंदु x = −3.5 पर विचार किया गया था, लेकिन उसी सफलता के साथ हम x = −3.4 ले सकते हैं। यदि समस्या को सही ढंग से तैयार किया गया है, तो ऐसे परिवर्तन उत्तर को प्रभावित नहीं करना चाहिए, क्योंकि "निवास के निश्चित स्थान के बिना" बिंदु समस्या को हल करने में सीधे शामिल नहीं हैं। बेशक, पूर्णांक बिंदुओं के साथ ऐसी चाल काम नहीं करेगी।
किसी फलन के बढ़ने और घटने का अंतराल ज्ञात करना
ऐसी समस्या में, अधिकतम और न्यूनतम के बिंदुओं की तरह, उन क्षेत्रों को खोजने का प्रस्ताव है जिनमें व्युत्पन्न के ग्राफ से फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता या घटता है। सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि आरोही और अवरोही क्या हैं:
- एक फलन f(x) को एक खंड पर बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए कथन सत्य है: x 1 x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2)। दूसरे शब्दों में, तर्क का मान जितना बड़ा होगा, फ़ंक्शन का मान उतना ही बड़ा होगा।
- एक फलन f(x) को एक खंड पर घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए कथन सत्य है: x 1 x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2)। वे। तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।
हम बढ़ने और घटने के लिए पर्याप्त शर्तें तैयार करते हैं:
- एक सतत फलन f(x) के लिए खंड पर वृद्धि करने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न सकारात्मक हो, अर्थात। एफ'(एक्स) 0.
- एक सतत फलन f(x) खंड पर घटने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक हो, अर्थात। एफ'(एक्स) 0.
हम बिना सबूत के इन दावों को स्वीकार करते हैं। इस प्रकार, हम वृद्धि और कमी के अंतराल को खोजने के लिए एक योजना प्राप्त करते हैं, जो कई मायनों में चरम बिंदुओं की गणना के लिए एल्गोरिथ्म के समान है:
- सभी अनावश्यक जानकारी निकालें। व्युत्पन्न के मूल ग्राफ पर, हम मुख्य रूप से फ़ंक्शन के शून्य में रुचि रखते हैं, इसलिए हम केवल उन्हें छोड़ देते हैं।
- व्युत्पत्ति के चिह्नों को शून्य के बीच के अंतराल पर चिह्नित करें। जहाँ f'(x) 0, फलन बढ़ता है, और जहाँ f'(x) 0, यह घटता है। यदि समस्या में चर x पर प्रतिबंध हैं, तो हम उन्हें नए चार्ट पर अतिरिक्त रूप से चिह्नित करते हैं।
- अब जब हम फ़ंक्शन के व्यवहार और बाधा को जानते हैं, तो समस्या में आवश्यक मान की गणना करना बाकी है।
एक कार्य। यह आंकड़ा अंतराल [−3; 7.5]। घटते फलन f(x) के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में इन अंतरालों में शामिल पूर्णांकों का योग लिखिए।
हमेशा की तरह, हम ग्राफ को फिर से खींचते हैं और सीमाओं को चिह्नित करते हैं [−3; 7.5], साथ ही व्युत्पन्न x = -1.5 और x = 5.3 के शून्य। फिर हम व्युत्पन्न के संकेतों को चिह्नित करते हैं। हमारे पास है:
चूंकि व्युत्पन्न अंतराल (- 1.5) पर ऋणात्मक है, यह घटते फलन का अंतराल है। यह उन सभी पूर्णांकों का योग है जो इस अंतराल के अंदर हैं:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
एक कार्य। चित्र खंड [−10;] पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है चार]। बढ़ते फलन f(x) के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में उनमें से सबसे बड़े की लंबाई लिखिए।
आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं। हम केवल सीमाएं छोड़ते हैं [−10; 4] और व्युत्पन्न के शून्य, जो इस बार चार निकले: x = −8, x = −6, x = −3 और x = 2. व्युत्पन्न के संकेतों पर ध्यान दें और निम्नलिखित चित्र प्राप्त करें:
हम बढ़ते फलन के अंतरालों में रुचि रखते हैं, अर्थात्। जहां f'(x) 0. ग्राफ पर ऐसे दो अंतराल हैं: (−8; −6) और (−3; 2)। आइए उनकी लंबाई की गणना करें:
एल 1 = -6 - (−8) = 2;
एल 2 = 2 - (-33) = 5।
चूँकि सबसे बड़े अंतराल की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है, इसलिए हम प्रत्युत्तर में मान l 2 = 5 लिखते हैं।
