ओडीजेड. मान्य रेंज

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए सबसे कम उभयनिष्ठ भाजक का उपयोग किया जाता है।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आप दिए गए समीकरण को समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर एक परिमेय व्यंजक के साथ नहीं लिख सकते हैं (और क्रॉस गुणन विधि का उपयोग करें)। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आपको 3 या अधिक भिन्नों के साथ एक परिमेय समीकरण दिया जाता है (दो भिन्नों के मामले में, क्रॉस गुणन बेहतर होता है)।

  • भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (या कम से कम उभयनिष्ठ गुणज) ज्ञात कीजिए। NOZ सबसे छोटी संख्या है जो हर हर से समान रूप से विभाजित होती है।

    • कभी-कभी NOZ एक स्पष्ट संख्या होती है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण दिया गया है: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, तो यह स्पष्ट है कि संख्याओं 3, 2 और 6 का लघुत्तम समापवर्तक 6 होगा।
    • यदि NOD स्पष्ट नहीं है, तो सबसे बड़े हर के गुणज लिखिए और उनमें से एक ऐसा ज्ञात कीजिए जो अन्य हरों का गुणज भी हो। आप अक्सर दो हरों को एक साथ गुणा करके एनओडी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 दिया गया है, तो NOZ = 8*9 = 72.
    • यदि एक या अधिक हर में एक चर होता है, तो प्रक्रिया कुछ अधिक जटिल होती है (लेकिन असंभव नहीं)। इस मामले में, NOZ एक व्यंजक (एक चर युक्त) है जो प्रत्येक हर द्वारा विभाज्य है। उदाहरण के लिए, समीकरण 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) में, क्योंकि यह व्यंजक प्रत्येक हर से विभाज्य है: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1)।
  • प्रत्येक भिन्न के अंश और हर दोनों को प्रत्येक भिन्न के संगत हर द्वारा NOZ को विभाजित करने के परिणाम के बराबर संख्या से गुणा करें। चूँकि आप अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर रहे हैं, आप एक भिन्न को प्रभावी रूप से 1 से गुणा कर रहे हैं (उदाहरण के लिए, 2/2 = 1 या 3/3 = 1)।

    • तो हमारे उदाहरण में, 2x/6 प्राप्त करने के लिए x/3 को 2/2 से गुणा करें, और 3/6 प्राप्त करने के लिए 1/2 को 3/3 से गुणा करें (3x + 1/6 को गुणा करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि यह हर है 6)।
    • इसी तरह आगे बढ़ें जब चर हर में हो। हमारे दूसरे उदाहरण में NOZ = 3x(x-1), इसलिए 5/(x-1) गुना (3x)/(3x) 5(3x)/(3x)(x-1) है; 1/x गुणा 3(x-1)/3(x-1) प्राप्त करने के लिए 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) (x-1)/(x-1) से गुणा करें और आपको 2(x-1)/3x(x-1) मिलता है।
  • एक्स खोजें।अब जब आपने भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया है, तो आप हर से छुटकारा पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पक्ष को एक सामान्य हर से गुणा करें। फिर परिणामी समीकरण को हल करें, अर्थात "x" खोजें। ऐसा करने के लिए, चर को समीकरण के एक तरफ अलग करें।

    • हमारे उदाहरण में: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6। आप एक ही हर के साथ 2 भिन्न जोड़ सकते हैं, इसलिए समीकरण को इस प्रकार लिखें: (2x+3)/6=(3x+1)/6। समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें और हर से छुटकारा पाएं: 2x+3 = 3x +1। हल करें और x = 2 प्राप्त करें।
    • हमारे दूसरे उदाहरण में (हर में एक चर के साथ), समीकरण इस तरह दिखता है (एक सामान्य हर में कमी के बाद): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (एक्स -1) / 3 एक्स (एक्स -1)। समीकरण के दोनों पक्षों को NOZ से गुणा करके, आप हर से छुटकारा पाते हैं और प्राप्त करते हैं: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), या 15x = 3x - 3 + 2x -2, या 15x = x - 5 हल करें और प्राप्त करें: x = -5/14।
  • समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। प्राचीन काल से ही मनुष्य द्वारा समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है, और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। 5 वीं कक्षा में, गणित के छात्र काफी नए विषयों का अध्ययन करते हैं, जिनमें से एक भिन्नात्मक समीकरण होगा। कई लोगों के लिए, यह एक जटिल विषय है जिसे माता-पिता को अपने बच्चों को समझने में मदद करनी चाहिए, और यदि माता-पिता गणित भूल गए हैं, तो वे हमेशा ऑनलाइन प्रोग्राम का उपयोग कर सकते हैं जो समीकरणों को हल करते हैं। इसलिए, एक उदाहरण का उपयोग करके, आप भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म को जल्दी से समझ सकते हैं और अपने बच्चे की मदद कर सकते हैं।

    नीचे, स्पष्टता के लिए, हम निम्नलिखित रूप के एक साधारण भिन्नात्मक रैखिक समीकरण को हल करेंगे:

    \[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

    इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, NOZ को निर्धारित करना और समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करना आवश्यक है:

    \[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

    यह हमें एक सरल रेखीय समीकरण देगा, क्योंकि सामान्य हर और साथ ही प्रत्येक भिन्नात्मक पद का हर रद्द हो जाता है:

    आइए अज्ञात से बाईं ओर की शर्तों को स्थानांतरित करें:

    बाएँ और दाएँ भागों को -7 से विभाजित करते हैं:

    प्राप्त परिणाम से, एक पूर्णांक भाग को प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जो इस भिन्नात्मक समीकरण को हल करने का अंतिम परिणाम होगा:

    मैं अंशों के साथ समीकरण को ऑनलाइन कहाँ हल कर सकता हूँ?

    आप हमारी वेबसाइट https: // साइट पर समीकरण को हल कर सकते हैं। मुफ़्त ऑनलाइन सॉल्वर आपको किसी भी जटिलता के ऑनलाइन समीकरण को सेकंडों में हल करने की अनुमति देगा। आपको बस इतना करना है कि सॉल्वर में अपना डेटा डालें। आप वीडियो निर्देश भी देख सकते हैं और हमारी वेबसाइट पर समीकरण को हल करना सीख सकते हैं। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमारे Vkontakte समूह http://vk.com/pocketteacher में पूछ सकते हैं। हमारे समूह में शामिल हों, हम आपकी मदद करने के लिए हमेशा खुश हैं।

    अनुबंध

    छात्रों और स्कूली बच्चों द्वारा अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए साइट पर ऑनलाइन किसी भी प्रकार के समीकरणों का समाधान। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना। ऑनलाइन समीकरण। बीजगणितीय, पैरामीट्रिक, अनुवांशिक, कार्यात्मक, अंतर और अन्य प्रकार के समीकरण हैं। समीकरणों के कुछ वर्गों में विश्लेषणात्मक समाधान होते हैं, जो सुविधाजनक होते हैं कि वे न केवल रूट का सटीक मान देते हैं, बल्कि आपको हल में समाधान लिखने की अनुमति देते हैं एक सूत्र का रूप जिसमें पैरामीटर शामिल हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति न केवल जड़ों की गणना करने की अनुमति देती है, बल्कि मापदंडों के मूल्यों के आधार पर उनके अस्तित्व और उनकी संख्या का विश्लेषण करने की अनुमति देती है, जो अक्सर जड़ों के विशिष्ट मूल्यों की तुलना में व्यावहारिक उपयोग के लिए और भी अधिक महत्वपूर्ण होती है। समीकरणों का समाधान ऑनलाइन। समीकरण ऑनलाइन। समीकरण का समाधान तर्कों के ऐसे मूल्यों को खोजने का कार्य है जिनके लिए यह समानता प्राप्त की जाती है। तर्कों के संभावित मूल्यों पर अतिरिक्त शर्तें (पूर्णांक, वास्तविक, आदि) लगाई जा सकती हैं। समीकरणों का समाधान ऑनलाइन। समीकरण ऑनलाइन। आप तुरंत और परिणाम की उच्च सटीकता के साथ समीकरण को ऑनलाइन हल कर सकते हैं। एक समीकरण के मामले में दिए गए कार्यों के तर्क (कभी-कभी "चर" कहा जाता है) को "अज्ञात" कहा जाता है। अज्ञात के वे मान जिनके लिए यह समानता प्राप्त की जाती है, दिए गए समीकरण के हल या मूल कहलाते हैं। कहा जाता है कि जड़ें दिए गए समीकरण को संतुष्ट करती हैं। किसी समीकरण को ऑनलाइन हल करने का अर्थ है उसके सभी हलों (मूलों) का समुच्चय खोजना या यह सिद्ध करना कि कोई मूल नहीं है। समीकरणों का समाधान ऑनलाइन। समीकरण ऑनलाइन। समतुल्य या समतुल्य को समीकरण कहा जाता है, जिसके मूलों का समुच्चय मेल खाता है। समतुल्य को ऐसे समीकरण भी माना जाता है जिनकी जड़ें नहीं होती हैं। समीकरणों की तुल्यता में समरूपता का गुण होता है: यदि एक समीकरण दूसरे के बराबर है, तो दूसरा समीकरण पहले के बराबर है। समीकरणों की तुल्यता में ट्रांजिटिविटी का गुण होता है: यदि एक समीकरण दूसरे के बराबर है, और दूसरा तीसरे के बराबर है, तो पहला समीकरण तीसरे के बराबर है। समीकरणों की तुल्यता संपत्ति उनके साथ परिवर्तन करना संभव बनाती है, जिस पर उन्हें हल करने के तरीके आधारित होते हैं। समीकरणों का समाधान ऑनलाइन। समीकरण ऑनलाइन। साइट आपको समीकरण को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देगी। जिन समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान ज्ञात हैं उनमें बीजीय समीकरण शामिल हैं, जो चौथी डिग्री से अधिक नहीं हैं: एक रैखिक समीकरण, एक द्विघात समीकरण, एक घन समीकरण और चौथी डिग्री का समीकरण। उच्च डिग्री के बीजीय समीकरणों का आमतौर पर एक विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होता है, हालांकि उनमें से कुछ को निम्न डिग्री के समीकरणों में घटाया जा सकता है। वे समीकरण जिनमें ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन शामिल होते हैं, ट्रान्सेंडैंटल कहलाते हैं। उनमें से, विश्लेषणात्मक समाधान कुछ त्रिकोणमितीय समीकरणों के लिए जाने जाते हैं, क्योंकि त्रिकोणमितीय कार्यों के शून्य सर्वविदित हैं। सामान्य स्थिति में, जब एक विश्लेषणात्मक समाधान नहीं मिल पाता है, तो संख्यात्मक विधियों का उपयोग किया जाता है। संख्यात्मक तरीके सटीक समाधान नहीं देते हैं, लेकिन केवल उस अंतराल को कम करने की अनुमति देते हैं जिसमें मूल एक निश्चित पूर्व निर्धारित मूल्य पर होता है। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना.. ऑनलाइन समीकरण.. एक ऑनलाइन समीकरण के बजाय, हम प्रस्तुत करेंगे कि कैसे एक ही अभिव्यक्ति एक रैखिक निर्भरता बनाती है और न केवल एक सीधी स्पर्शरेखा के साथ, बल्कि ग्राफ के बहुत ही विभक्ति बिंदु पर भी। विषय के अध्ययन में यह विधि हर समय अपरिहार्य है। अक्सर ऐसा होता है कि अनंत संख्याओं और लेखन सदिशों के माध्यम से समीकरणों का समाधान अंतिम मान तक पहुंच जाता है। प्रारंभिक डेटा की जांच करना आवश्यक है और यह कार्य का सार है। अन्यथा, स्थानीय स्थिति को एक सूत्र में बदल दिया जाता है। किसी दिए गए फ़ंक्शन की सीधी रेखा उलटा, जिसे समीकरण कैलकुलेटर निष्पादन में बहुत देरी के बिना गणना करेगा, अंतरिक्ष के विशेषाधिकार द्वारा ऑफसेट किया जाएगा। यह वैज्ञानिक वातावरण में छात्र के प्रदर्शन के बारे में होगा। हालांकि, उपरोक्त सभी की तरह, यह हमें खोजने की प्रक्रिया में मदद करेगा, और जब आप समीकरण को पूरी तरह से हल कर लेंगे, तो परिणामी उत्तर को सीधी रेखा खंड के सिरों पर सहेजें। अंतरिक्ष में रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और इस बिंदु को रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित कहा जाता है। रेखा पर अंतराल को पहले दिए गए के रूप में चिह्नित किया गया है। गणित के अध्ययन पर सर्वोच्च पद प्रकाशित किया जाएगा। एक पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित सतह से एक तर्क मान निर्दिष्ट करना और एक समीकरण को ऑनलाइन हल करना किसी फ़ंक्शन के लिए उत्पादक कॉल के सिद्धांतों को इंगित करने में सक्षम होगा। मोबियस पट्टी, या जैसा कि इसे अनंत कहा जाता है, एक आकृति आठ की तरह दिखती है। यह एक तरफा सतह है, दो तरफा नहीं। सभी को ज्ञात सिद्धांत के अनुसार, हम रेखीय समीकरणों को मूल पदनाम के रूप में वस्तुनिष्ठ रूप से स्वीकार करेंगे क्योंकि वे अध्ययन के क्षेत्र में हैं। क्रमिक रूप से दिए गए तर्कों के केवल दो मान वेक्टर की दिशा को प्रकट करने में सक्षम हैं। यह मानने के लिए कि ऑनलाइन समीकरणों का एक अलग समाधान केवल हल करने से कहीं अधिक है, इसका मतलब आउटपुट पर अपरिवर्तनीय का पूर्ण संस्करण प्राप्त करना है। एक एकीकृत दृष्टिकोण के बिना, छात्रों के लिए इस सामग्री को सीखना मुश्किल है। पहले की तरह, प्रत्येक विशेष मामले के लिए, हमारा सुविधाजनक और स्मार्ट ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर कठिन समय में सभी की मदद करेगा, क्योंकि आपको केवल इनपुट पैरामीटर निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है और सिस्टम स्वयं उत्तर की गणना करेगा। इससे पहले कि हम डेटा दर्ज करना शुरू करें, हमें एक इनपुट टूल की आवश्यकता होती है, जो बिना किसी कठिनाई के किया जा सकता है। प्रत्येक प्रतिक्रिया स्कोर की संख्या एक द्विघात समीकरण होगी जो हमारे निष्कर्षों की ओर ले जाएगी, लेकिन ऐसा करना इतना आसान नहीं है, क्योंकि इसके विपरीत साबित करना आसान है। सिद्धांत, अपनी विशिष्टताओं के कारण, व्यावहारिक ज्ञान द्वारा समर्थित नहीं है। उत्तर प्रकाशित करने के चरण में अंश कैलकुलेटर देखना गणित में आसान काम नहीं है, क्योंकि सेट पर संख्या लिखने का विकल्प फ़ंक्शन की वृद्धि को बढ़ाता है। हालांकि, छात्रों के प्रशिक्षण के बारे में नहीं कहना गलत होगा, इसलिए हम प्रत्येक को उतना ही व्यक्त करेंगे जितना करना आवश्यक है। पहले पाया गया घन समीकरण सही रूप से परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित होगा, और इसमें संख्यात्मक मानों के साथ-साथ प्रतीकात्मक चर भी शामिल होंगे। प्रमेय को सीखने या याद रखने के बाद, हमारे छात्र केवल सर्वश्रेष्ठ पक्ष से ही खुद को दिखाएंगे, और हमें उनके लिए खुशी होगी। खेतों के चौराहों के सेट के विपरीत, हमारे ऑनलाइन समीकरणों को दो और तीन संख्यात्मक संयुक्त रेखाओं के गुणन के साथ गति के एक विमान द्वारा वर्णित किया जाता है। गणित में एक समुच्चय विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। छात्रों के अनुसार, सबसे अच्छा समाधान अंत तक पूर्ण लिखित अभिव्यक्ति है। जैसा कि वैज्ञानिक भाषा में कहा गया है, सांकेतिक अभिव्यक्तियों का अमूर्तन मामलों की स्थिति में शामिल नहीं है, लेकिन समीकरणों का समाधान सभी ज्ञात मामलों में एक स्पष्ट परिणाम देता है। शिक्षक सत्र की अवधि इस प्रस्ताव में आवश्यकताओं पर आधारित है। विश्लेषण ने कई क्षेत्रों में सभी कम्प्यूटेशनल तकनीकों की आवश्यकता को दिखाया, और यह बिल्कुल स्पष्ट है कि समीकरण कैलकुलेटर एक छात्र के प्रतिभाशाली हाथों में एक अनिवार्य उपकरण है। गणित के अध्ययन के लिए एक निष्ठावान दृष्टिकोण विभिन्न दिशाओं के विचारों के महत्व को निर्धारित करता है। आप प्रमुख प्रमेयों में से एक को नामित करना चाहते हैं और समीकरण को इस तरह से हल करना चाहते हैं, जिसके उत्तर के आधार पर इसके आवेदन की और आवश्यकता होगी। इस क्षेत्र में विश्लेषिकी गति प्राप्त कर रही है। आइए शुरुआत से शुरू करें और सूत्र प्राप्त करें। फ़ंक्शन की वृद्धि के स्तर से टूटने के बाद, विभक्ति बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा अनिवार्य रूप से इस तथ्य की ओर ले जाएगी कि समीकरण को ऑनलाइन हल करना फ़ंक्शन तर्क से समान ग्राफ़ के निर्माण में मुख्य पहलुओं में से एक होगा। शौकिया दृष्टिकोण को लागू करने का अधिकार है यदि यह शर्त छात्रों के निष्कर्षों का खंडन नहीं करती है। यह उप-कार्य है जो गणितीय स्थितियों के विश्लेषण को ऑब्जेक्ट परिभाषा के मौजूदा डोमेन में रैखिक समीकरणों के रूप में रखता है जिसे पृष्ठभूमि में लाया जाता है। ऑर्थोगोनैलिटी की दिशा में ऑफसेट करने से एक अकेला निरपेक्ष मूल्य का लाभ रद्द हो जाता है। मोडुलो, ऑनलाइन समीकरणों को हल करने से समान संख्या में समाधान मिलते हैं, यदि आप कोष्ठक को पहले धन चिह्न के साथ खोलते हैं, और फिर ऋण चिह्न के साथ। इस मामले में, दोगुने समाधान हैं, और परिणाम अधिक सटीक होगा। एक स्थिर और सही ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर शिक्षक द्वारा निर्धारित कार्य में इच्छित लक्ष्य को प्राप्त करने में सफलता है। महान वैज्ञानिकों के विचारों में महत्वपूर्ण अंतर के कारण आवश्यक विधि का चयन करना संभव प्रतीत होता है। परिणामी द्विघात समीकरण रेखाओं के वक्र, तथाकथित परवलय का वर्णन करता है, और चिन्ह वर्ग समन्वय प्रणाली में इसकी उत्तलता का निर्धारण करेगा। समीकरण से हम विएटा प्रमेय के अनुसार स्वयं विवेचक और मूल दोनों प्राप्त करते हैं। पहले चरण में व्यंजक को उचित या अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना और भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग करना आवश्यक है। इसके आधार पर, हमारी आगे की गणना के लिए एक योजना बनाई जाएगी। सैद्धांतिक दृष्टिकोण वाला गणित हर स्तर पर उपयोगी होता है। हम निश्चित रूप से परिणाम को एक घन समीकरण के रूप में प्रस्तुत करेंगे, क्योंकि विश्वविद्यालय में एक छात्र के लिए कार्य को सरल बनाने के लिए हम इस अभिव्यक्ति में इसकी जड़ों को छिपाएंगे। कोई भी तरीका अच्छा है अगर वे सतही विश्लेषण के लिए उपयुक्त हैं। अतिरिक्त अंकगणितीय संक्रियाओं से गणना त्रुटियाँ नहीं होंगी। दी गई सटीकता के साथ उत्तर निर्धारित करें। समीकरणों के हल का उपयोग करते हुए, आइए इसका सामना करते हैं - किसी दिए गए फ़ंक्शन का एक स्वतंत्र चर खोजना इतना आसान नहीं है, खासकर जब अनंत पर समानांतर रेखाओं का अध्ययन करना। अपवाद को देखते हुए, आवश्यकता बहुत स्पष्ट है। ध्रुवीयता अंतर स्पष्ट है। संस्थानों में अध्यापन के अनुभव से हमारे शिक्षक ने मुख्य पाठ सीखा, जिसमें समीकरणों का पूर्ण गणितीय अर्थ में ऑनलाइन अध्ययन किया गया। यहाँ यह सिद्धांत के अनुप्रयोग में उच्च प्रयासों और विशेष कौशल के बारे में था। हमारे निष्कर्षों के पक्ष में, किसी को चश्मे से नहीं देखना चाहिए। कुछ समय पहले तक, यह माना जाता था कि एक बंद सेट क्षेत्र में तेजी से बढ़ रहा है, और समीकरणों के समाधान की जांच की जरूरत है। पहले चरण में, हमने सभी संभावित विकल्पों पर विचार नहीं किया, लेकिन यह दृष्टिकोण पहले से कहीं अधिक उचित है। कोष्ठकों के साथ अतिरिक्त क्रियाएं कोर्डिनेट और एब्सिस्सा कुल्हाड़ियों के साथ कुछ प्रगति को सही ठहराती हैं, जिन्हें नग्न आंखों से अनदेखा नहीं किया जा सकता है। एक फ़ंक्शन के व्यापक आनुपातिक वृद्धि के अर्थ में एक विभक्ति बिंदु है। एक बार फिर, हम यह साबित करेंगे कि सदिश की एक या दूसरी अवरोही स्थिति के घटने के पूरे अंतराल पर आवश्यक शर्त कैसे लागू की जाएगी। एक सीमित स्थान में, हम अपनी स्क्रिप्ट के प्रारंभिक ब्लॉक से एक चर का चयन करेंगे। तीन वैक्टर के आधार पर बनाई गई प्रणाली बल के मुख्य क्षण की अनुपस्थिति के लिए जिम्मेदार है। हालाँकि, समीकरण कैलकुलेटर ने सतह के ऊपर और समानांतर रेखाओं के साथ, निर्मित समीकरण के सभी शब्दों को खोजने में मदद की और मदद की। आइए शुरुआती बिंदु के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें। इस प्रकार, हम खंड रेखाओं के साथ ऊपर जाना शुरू करेंगे, और स्पर्शरेखा अपनी पूरी लंबाई के साथ वृत्त का वर्णन करेगी, परिणामस्वरूप हमें एक वक्र मिलेगा, जिसे एक उलटा कहा जाता है। वैसे आइए इस वक्र के बारे में थोड़ा इतिहास की बात करते हैं। तथ्य यह है कि ऐतिहासिक रूप से गणित में शुद्ध अर्थों में स्वयं गणित की कोई अवधारणा नहीं थी जैसा कि आज है। पहले, सभी वैज्ञानिक एक सामान्य चीज़, यानी विज्ञान में लगे हुए थे। बाद में, कुछ सदियों बाद, जब वैज्ञानिक दुनिया बहुत बड़ी मात्रा में जानकारी से भरी हुई थी, तब भी मानवता ने कई विषयों को चुना। वे अभी भी अपरिवर्तित रहते हैं। और फिर भी, हर साल, दुनिया भर के वैज्ञानिक यह साबित करने की कोशिश करते हैं कि विज्ञान असीमित है, और आप एक समीकरण को हल नहीं कर सकते जब तक कि आपको प्राकृतिक विज्ञान का ज्ञान न हो। अंतत: इसे समाप्त करना संभव नहीं होगा। इसके बारे में सोचना उतना ही व्यर्थ है जितना कि बाहर की हवा को गर्म करना। आइए उस अंतराल को खोजें जिस पर तर्क, अपने सकारात्मक मूल्य के साथ, तेजी से बढ़ती दिशा में मूल्य के मापांक को निर्धारित करता है। प्रतिक्रिया कम से कम तीन समाधान खोजने में मदद करेगी, लेकिन उन्हें जांचना आवश्यक होगा। आइए इस तथ्य से शुरू करें कि हमें अपनी वेबसाइट की अनूठी सेवा का उपयोग करके समीकरण को ऑनलाइन हल करने की आवश्यकता है। आइए दिए गए समीकरण के दोनों हिस्सों को दर्ज करें, "सॉल्व" बटन दबाएं और कुछ ही सेकंड में सटीक उत्तर प्राप्त करें। विशेष मामलों में, हम गणित पर एक पुस्तक लेंगे और अपने उत्तर की दोबारा जांच करेंगे, अर्थात् हम केवल उत्तर को देखेंगे और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। वही परियोजना एक कृत्रिम निरर्थक समानांतर चतुर्भुज पर उड़ान भरेगी। इसके समानांतर पक्षों के साथ एक समांतर चतुर्भुज है, और यह प्राकृतिक रूप सूत्रों में खोखले स्थान के संचय की आरोही प्रक्रिया के स्थानिक संबंध के अध्ययन के लिए कई सिद्धांतों और दृष्टिकोणों की व्याख्या करता है। अस्पष्ट रैखिक समीकरण हमारे वर्तमान सामान्य समाधान पर वांछित चर की निर्भरता दिखाते हैं, और किसी भी तरह से अनुचित अंश को एक गैर-तुच्छ मामले में प्राप्त करना और कम करना आवश्यक है। हम सीधी रेखा पर दस बिंदुओं को चिह्नित करते हैं और प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक दी गई दिशा में और ऊपर की ओर उत्तलता के साथ एक वक्र खींचते हैं। बहुत कठिनाई के बिना, हमारा समीकरण कैलकुलेटर एक अभिव्यक्ति को इस तरह से प्रस्तुत करेगा कि नियमों की वैधता के लिए इसकी जांच रिकॉर्डिंग की शुरुआत में भी स्पष्ट होगी। पहली जगह में गणितज्ञों के लिए स्थिरता के विशेष प्रतिनिधित्व की प्रणाली, जब तक कि अन्यथा सूत्र द्वारा प्रदान नहीं किया जाता है। हम इसका उत्तर निकायों की एक प्लास्टिक प्रणाली की आइसोमॉर्फिक स्थिति पर एक रिपोर्ट की विस्तृत प्रस्तुति के साथ देंगे और समीकरणों का समाधान ऑनलाइन इस प्रणाली में प्रत्येक भौतिक बिंदु की गति का वर्णन करेगा। गहन अध्ययन के स्तर पर, अंतरिक्ष की कम से कम निचली परत के व्युत्क्रम के प्रश्न को विस्तार से स्पष्ट करना आवश्यक होगा। आरोही क्रम में समारोह की निरंतरता के खंड पर, हम एक उत्कृष्ट शोधकर्ता की सामान्य विधि को लागू करेंगे, वैसे, हमारे साथी देशवासी, और हम नीचे विमान के व्यवहार के बारे में बताएंगे। विश्लेषणात्मक रूप से दिए गए फ़ंक्शन की मजबूत विशेषताओं के कारण, हम प्राधिकरण की व्युत्पन्न सीमाओं के भीतर केवल अपने इच्छित उद्देश्य के लिए ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं। आगे तर्क करते हुए, हम समीकरण की एकरूपता पर अपनी समीक्षा को ही रोक देते हैं, अर्थात इसका दाहिना पक्ष शून्य के बराबर होता है। एक बार फिर, हम गणित में अपने निर्णय की शुद्धता की पुष्टि करेंगे। तुच्छ समाधान प्राप्त करने से बचने के लिए, हम सिस्टम की सशर्त स्थिरता की समस्या के लिए प्रारंभिक स्थितियों में कुछ समायोजन करेंगे। आइए एक द्विघात समीकरण की रचना करें, जिसके लिए हम सुप्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके दो प्रविष्टियाँ लिखते हैं और ऋणात्मक मूल ज्ञात करते हैं। यदि एक जड़ दूसरी और तीसरी जड़ों से पांच इकाइयों से अधिक है, तो मुख्य तर्क में परिवर्तन करके, हम उप-समस्या की प्रारंभिक स्थितियों को विकृत करते हैं। इसके मूल में, गणित में कुछ असामान्य हमेशा एक सकारात्मक संख्या के निकटतम सौवें हिस्से में वर्णित किया जा सकता है। सर्वर लोड के सर्वोत्तम क्षण में अंश कैलकुलेटर समान संसाधनों पर अपने समकक्षों से कई गुना बेहतर होता है। y-अक्ष के अनुदिश बढ़ रहे वेग सदिश की सतह पर, हम एक-दूसरे के विपरीत दिशाओं में मुड़ी हुई सात रेखाएँ खींचते हैं। असाइन किए गए फ़ंक्शन तर्क की अनुरूपता रिकवरी बैलेंस काउंटर की ओर ले जाती है। गणित में, इस घटना को एक घन समीकरण के माध्यम से काल्पनिक गुणांक के साथ-साथ घटती रेखाओं की द्विध्रुवीय प्रगति में दर्शाया जा सकता है। उनके कई अर्थ और प्रगति में तापमान अंतर के महत्वपूर्ण बिंदु एक जटिल भिन्नात्मक कार्य को फैक्टर करने की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं। यदि आपको समीकरण हल करने के लिए कहा जाता है, तो इसे इस मिनट करने में जल्दबाजी न करें, निश्चित रूप से पहले पूरी कार्य योजना का मूल्यांकन करें, और उसके बाद ही सही दृष्टिकोण अपनाएं। अवश्य लाभ होगा। काम में आसानी स्पष्ट है, और गणित में भी ऐसा ही है। समीकरण को ऑनलाइन हल करें। सभी ऑनलाइन समीकरण संख्याओं या मापदंडों के एक निश्चित प्रकार के रिकॉर्ड होते हैं और एक चर जिसे परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। इस बहुत ही चर की गणना करें, अर्थात्, मूल्यों के एक सेट के विशिष्ट मान या अंतराल खोजें, जिसके लिए पहचान संतुष्ट होगी। प्रारंभिक और अंतिम शर्तें सीधे निर्भर करती हैं। समीकरणों के सामान्य समाधान में, एक नियम के रूप में, कुछ चर और स्थिरांक शामिल होते हैं, जिन्हें सेट करके, हम किसी दिए गए समस्या कथन के समाधान के पूरे परिवार प्राप्त करेंगे। सामान्य तौर पर, यह एक स्थानिक घन की कार्यक्षमता को 100 सेंटीमीटर के बराबर बढ़ाने की दिशा में निवेश किए गए प्रयासों को सही ठहराता है। आप उत्तर की रचना के किसी भी स्तर पर प्रमेय या प्रमेयिका लागू कर सकते हैं। साइट धीरे-धीरे समीकरणों का एक कैलकुलेटर जारी करती है, यदि आवश्यक हो, तो उत्पादों के योग के किसी भी अंतराल पर सबसे छोटा मान दिखाएं। आधे मामलों में, एक खोखली गेंद के रूप में ऐसी गेंद एक मध्यवर्ती उत्तर को अधिक हद तक निर्धारित करने की आवश्यकताओं को पूरा नहीं करती है। कम से कम y-अक्ष पर वेक्टर प्रतिनिधित्व घटने की दिशा में, यह अनुपात निस्संदेह पिछली अभिव्यक्ति की तुलना में अधिक इष्टतम होगा। उस घंटे में जब रैखिक कार्यों पर एक पूर्ण बिंदु विश्लेषण किया जाता है, हम वास्तव में, हमारे सभी जटिल संख्याएं और द्विध्रुवीय विमान रिक्त स्थान एकत्र करेंगे। परिणामी व्यंजक में एक चर को प्रतिस्थापित करके, आप चरणों में समीकरण को हल करेंगे और उच्च सटीकता के साथ सबसे विस्तृत उत्तर देंगे। एक बार फिर, गणित में अपने कार्यों की जाँच करना एक छात्र की ओर से एक अच्छा रूप होगा। भिन्नों के अनुपात में अनुपात शून्य वेक्टर की गतिविधि के सभी महत्वपूर्ण क्षेत्रों में परिणाम की अखंडता को निर्धारित करता है। किए गए कार्यों के अंत में तुच्छता की पुष्टि की जाती है। सरल कार्य सेट के साथ, छात्रों को कम से कम समय में ऑनलाइन समीकरण हल करने में कठिनाई नहीं हो सकती है, लेकिन सभी प्रकार के नियमों के बारे में मत भूलना। उपसमुच्चय का समुच्चय अभिसारी अंकन के क्षेत्र में प्रतिच्छेद करता है। अलग-अलग मामलों में, उत्पाद ग़लती से फ़ैक्टराइज़ नहीं करता है। विश्वविद्यालयों और तकनीकी स्कूलों में छात्रों के लिए महत्वपूर्ण वर्गों के लिए गणितीय तकनीकों की मूल बातें पर हमारे पहले खंड में आपको समीकरण को ऑनलाइन हल करने में मदद मिलेगी। उदाहरणों का उत्तर देने से हमें कई दिनों तक इंतजार नहीं करना पड़ेगा, क्योंकि पिछली शताब्दी की शुरुआत में समाधानों की क्रमिक खोज के साथ वेक्टर विश्लेषण की सर्वोत्तम बातचीत की प्रक्रिया का पेटेंट कराया गया था। यह पता चला है कि आसपास की टीम के साथ जुड़ने के प्रयास व्यर्थ नहीं थे, स्पष्ट रूप से पहले स्थान पर कुछ और था। कई पीढ़ियों बाद, दुनिया भर के वैज्ञानिकों ने यह विश्वास दिलाया कि गणित विज्ञान की रानी है। चाहे वह बायां उत्तर हो या सही उत्तर, संपूर्ण शब्द वैसे भी तीन पंक्तियों में लिखे जाने चाहिए, क्योंकि हमारे मामले में हम स्पष्ट रूप से केवल मैट्रिक्स के गुणों के वेक्टर विश्लेषण के बारे में बात करेंगे। एक बंद प्रणाली के सभी भौतिक बिंदुओं के स्थान में गति के प्रक्षेपवक्र की गणना के सर्वोत्तम तरीकों के बारे में द्विघात समीकरणों के साथ-साथ गैर-रेखीय और रैखिक समीकरणों ने हमारी पुस्तक में एक विशेष स्थान लिया है। तीन क्रमिक सदिशों के अदिश गुणनफल का रैखिक विश्लेषण हमें इस विचार को जीवन में लाने में मदद करेगा। प्रत्येक सेटिंग के अंत में, प्रदर्शन किए जा रहे संख्यात्मक स्थान ओवरले के संदर्भ में अनुकूलित संख्यात्मक अपवादों को प्रस्तुत करके कार्य को आसान बना दिया जाता है। एक अन्य निर्णय एक वृत्त में त्रिभुज के मनमाने रूप में पाए गए उत्तर का विरोध नहीं करेगा। दो वैक्टर के बीच के कोण में आवश्यक मार्जिन प्रतिशत होता है, और समीकरणों को ऑनलाइन हल करने से अक्सर प्रारंभिक स्थितियों के विपरीत समीकरण के कुछ सामान्य मूल का पता चलता है। अपवाद फ़ंक्शन परिभाषा के क्षेत्र में सकारात्मक समाधान खोजने की संपूर्ण अपरिहार्य प्रक्रिया में उत्प्रेरक की भूमिका निभाता है। यदि यह नहीं कहा जाता है कि आप कंप्यूटर का उपयोग नहीं कर सकते हैं, तो ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर आपके कठिन कार्यों के लिए एकदम सही है। यह आपके सशर्त डेटा को सही प्रारूप में दर्ज करने के लिए पर्याप्त है और हमारा सर्वर कम से कम संभव समय में एक पूर्ण परिणामी प्रतिक्रिया जारी करेगा। एक घातीय कार्य एक रैखिक की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। यह चतुर पुस्तकालय साहित्य के तल्मूड द्वारा प्रमाणित है। सामान्य अर्थों में गणना करेंगे, जैसा कि तीन जटिल गुणांक वाले दिए गए द्विघात समीकरण करेंगे। अर्ध-तल के ऊपरी भाग में परवलय बिंदु के अक्षों के अनुदिश रेखीय समांतर गति को दर्शाता है। यहां यह शरीर के कार्य स्थान में संभावित अंतर का उल्लेख करने योग्य है। एक उप-इष्टतम परिणाम के बदले में, हमारा अंश कैलकुलेटर बैक एंड पर कार्यात्मक कार्यक्रमों की समीक्षा की गणितीय रेटिंग में पहले स्थान पर है। इस सेवा के उपयोग में आसानी को लाखों इंटरनेट उपयोगकर्ताओं द्वारा सराहा जाएगा। यदि आप इसका उपयोग करना नहीं जानते हैं, तो हमें आपकी सहायता करने में खुशी होगी। हम कई प्राथमिक स्कूली बच्चों के कार्यों से क्यूबिक समीकरण को भी हाइलाइट और हाइलाइट करना चाहते हैं, जब आपको इसकी जड़ों को जल्दी से खोजने और एक विमान पर एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने की आवश्यकता होती है। प्रजनन की उच्चतम डिग्री संस्थान में सबसे कठिन गणितीय समस्याओं में से एक है, और इसके अध्ययन के लिए पर्याप्त संख्या में घंटे आवंटित किए जाते हैं। सभी रैखिक समीकरणों की तरह, हमारे कई उद्देश्य नियमों का अपवाद नहीं है, विभिन्न दृष्टिकोणों से एक नज़र डालें, और यह प्रारंभिक शर्तों को निर्धारित करने के लिए सरल और पर्याप्त होगा। वृद्धि का अंतराल फ़ंक्शन के उत्तलता के अंतराल के साथ मेल खाता है। समीकरणों का समाधान ऑनलाइन। सिद्धांत का अध्ययन मुख्य अनुशासन के अध्ययन पर कई वर्गों से ऑनलाइन समीकरणों पर आधारित है। अनिश्चित समस्याओं में इस तरह के दृष्टिकोण के मामले में, पूर्व निर्धारित रूप में समीकरणों के समाधान को प्रस्तुत करना और न केवल निष्कर्ष निकालना, बल्कि इस तरह के सकारात्मक समाधान के परिणाम की भविष्यवाणी करना भी बहुत आसान है। सेवा हमें गणित की सर्वोत्तम परंपराओं में विषय क्षेत्र को सीखने में मदद करेगी, जैसा कि पूर्व में प्रथागत है। समय अंतराल के सर्वोत्तम क्षणों में, समान कार्यों को एक सामान्य गुणक से दस गुना गुणा किया जाता था। समीकरण कैलकुलेटर में कई चर के गुणन की बहुतायत के साथ, यह गुणवत्ता से गुणा करना शुरू कर देता है, न कि मात्रात्मक चर से, जैसे कि द्रव्यमान या शरीर के वजन के रूप में। भौतिक प्रणाली के असंतुलन के मामलों से बचने के लिए, गैर-पतित गणितीय मैट्रिक्स के तुच्छ अभिसरण पर त्रि-आयामी कनवर्टर की व्युत्पत्ति हमारे लिए काफी स्पष्ट है। कार्य को पूरा करें और दिए गए निर्देशांक में समीकरण को हल करें, क्योंकि आउटपुट पहले से अज्ञात है, साथ ही पोस्ट-स्पेस समय में शामिल सभी चर अज्ञात हैं। थोड़े समय के लिए, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर धकेलें और पहले से दोनों भागों के सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करें। संख्याओं के परिणामी कवर किए गए उपसमुच्चय के तहत, एक छोटी अवधि में एक पंक्ति में तैंतीस अंक विस्तृत तरीके से निकालें। जहाँ तक संभव हो हर छात्र के लिए सर्वोत्तम संभव तरीके से ऑनलाइन समीकरण को हल करना संभव है, आगे देखते हुए, एक महत्वपूर्ण, लेकिन महत्वपूर्ण बात कहते हैं, जिसके बिना हमारे लिए भविष्य में जीना आसान नहीं होगा। पिछली शताब्दी में, महान वैज्ञानिक ने गणित के सिद्धांत में कई नियमितताओं को देखा। व्यवहार में, यह घटनाओं की अपेक्षित छाप नहीं निकला। हालांकि, सिद्धांत रूप में, ऑनलाइन समीकरणों का यह बहुत ही समाधान छात्रों द्वारा कवर की गई सैद्धांतिक सामग्री के अध्ययन और व्यावहारिक समेकन के लिए एक समग्र दृष्टिकोण की समझ और धारणा को बेहतर बनाने में मदद करता है। अपने अध्ययन के समय में ऐसा करना बहुत आसान है।

    =

    हम बात करना जारी रखते हैं समीकरणों का हल. इस लेख में, हम पर ध्यान दिया जाएगा तर्कसंगत समीकरणऔर एक चर के साथ तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के सिद्धांत। सबसे पहले, आइए जानें कि किस प्रकार के समीकरणों को परिमेय कहा जाता है, पूर्णांक परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की परिभाषा दें, और उदाहरण दें। इसके बाद, हम तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम प्राप्त करेंगे, और निश्चित रूप से, सभी आवश्यक स्पष्टीकरणों के साथ विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे।

    पृष्ठ नेविगेशन।

    स्पष्ट परिभाषाओं के आधार पर, हम परिमेय समीकरणों के कई उदाहरण देते हैं। उदाहरण के लिए, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , सभी परिमेय समीकरण हैं।

    दिखाए गए उदाहरणों से, यह देखा जा सकता है कि तर्कसंगत समीकरण, साथ ही अन्य प्रकार के समीकरण, या तो एक चर के साथ, या दो, तीन, आदि के साथ हो सकते हैं। चर। निम्नलिखित अनुच्छेदों में हम एक चर में परिमेय समीकरणों को हल करने के बारे में बात करेंगे। दो चर वाले समीकरणों को हल करनाऔर उनकी बड़ी संख्या विशेष ध्यान देने योग्य है।

    परिमेय समीकरणों को अज्ञात चरों की संख्या से विभाजित करने के अलावा, उन्हें पूर्णांक और भिन्न में भी विभाजित किया जाता है। आइए हम संबंधित परिभाषाएं दें।

    परिभाषा।

    परिमेय समीकरण कहलाता है पूरा का पूरा, यदि इसके बाएँ और दाएँ दोनों भाग पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं।

    परिभाषा।

    यदि परिमेय समीकरण का कम से कम एक भाग भिन्नात्मक व्यंजक है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है आंशिक रूप से तर्कसंगत(या भिन्नात्मक परिमेय)।

    यह स्पष्ट है कि पूर्णांक समीकरणों में एक चर द्वारा विभाजन नहीं होता है; इसके विपरीत, भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों में आवश्यक रूप से एक चर (या हर में एक चर) द्वारा विभाजन होता है। तो 3 x+2=0 और (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5संपूर्ण परिमेय समीकरण हैं, उनके दोनों भाग पूर्णांक व्यंजक हैं। A और x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के उदाहरण हैं।

    इस अनुच्छेद को समाप्त करते हुए, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि इस क्षण तक ज्ञात रैखिक समीकरण और द्विघात समीकरण संपूर्ण परिमेय समीकरण हैं।

    पूर्णांक समीकरणों को हल करना

    संपूर्ण समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक उनके समतुल्य में कमी है बीजीय समीकरण. यह हमेशा समीकरण के निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तनों को निष्पादित करके किया जा सकता है:

    • सबसे पहले, मूल पूर्णांक समीकरण के दाईं ओर से व्यंजक को दाईं ओर शून्य प्राप्त करने के लिए विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है;
    • उसके बाद, समीकरण के बाईं ओर, परिणामी मानक रूप।

    परिणाम एक बीजीय समीकरण है जो मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है। तो सबसे सरल मामलों में, संपूर्ण समीकरणों का समाधान रैखिक या द्विघात समीकरणों के समाधान के लिए कम हो जाता है, और सामान्य स्थिति में - डिग्री n के बीजीय समीकरण के समाधान के लिए। स्पष्टता के लिए, आइए उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें।

    उदाहरण।

    पूरे समीकरण की जड़ें खोजें 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

    फेसला।

    आइए हम इस पूरे समीकरण के हल को एक समतुल्य बीजीय समीकरण के हल तक कम करें। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामस्वरूप हम समीकरण पर पहुंचते हैं 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. और, दूसरी बात, हम बाईं ओर बने व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में आवश्यक कार्य करके रूपांतरित करते हैं: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. इस प्रकार, मूल पूर्णांक समीकरण के हल को द्विघात समीकरण x 2 −5·x−6=0 के हल में घटा दिया जाता है।

    इसके विभेदक की गणना करें डी=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, यह धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, जिन्हें हम द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा पाते हैं:

    पूरी तरह से सुनिश्चित होने के लिए, आइए करते हैं समीकरण की मिली जड़ों की जाँच करना. सबसे पहले, हम रूट 6 की जांच करते हैं, इसे मूल पूर्णांक समीकरण में चर x के बजाय प्रतिस्थापित करते हैं: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, जो समान है, 63=63 । यह एक मान्य संख्यात्मक समीकरण है, इसलिए x=6 वास्तव में समीकरण का मूल है। अब हम मूल −1 की जांच करते हैं, हमारे पास 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, कहाँ से, 0=0 । x=−1 के लिए, मूल समीकरण भी एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल गया, इसलिए, x=−1 भी समीकरण का मूल है।

    जवाब:

    6 , −1 .

    यहां यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि शब्द "एक संपूर्ण समीकरण की शक्ति" एक बीजीय समीकरण के रूप में एक संपूर्ण समीकरण के प्रतिनिधित्व से जुड़ा है। हम इसी परिभाषा देते हैं:

    परिभाषा।

    पूरे समीकरण की डिग्रीबीजगणितीय समीकरण की घात को इसके समतुल्य कहते हैं।

    इस परिभाषा के अनुसार, पिछले उदाहरण के पूरे समीकरण में दूसरी डिग्री है।

    इस पर कोई एक के लिए नहीं बल्कि पूरे तर्कसंगत समीकरणों के हल के साथ समाप्त कर सकता है। जैसा कि ज्ञात है, दूसरे से अधिक डिग्री के बीजीय समीकरणों का समाधान महत्वपूर्ण कठिनाइयों से जुड़ा है, और चौथे से अधिक डिग्री के समीकरणों के लिए, जड़ों के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं हैं। इसलिए, तीसरे, चौथे और उच्च डिग्री के पूरे समीकरणों को हल करने के लिए, अक्सर अन्य समाधान विधियों का सहारा लेना पड़ता है।

    ऐसे मामलों में, कभी-कभी के आधार पर संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने का दृष्टिकोण गुणनखंडन विधि. उसी समय, निम्नलिखित एल्गोरिथ्म का पालन किया जाता है:

    • सबसे पहले वे समीकरण के दाईं ओर शून्य रखना चाहते हैं, इसके लिए वे पूरे समीकरण के दाईं ओर से व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं;
    • फिर, बाईं ओर परिणामी अभिव्यक्ति कई कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत की जाती है, जो आपको कई सरल समीकरणों के सेट पर जाने की अनुमति देती है।

    गुणनखंडन के माध्यम से पूरे समीकरण को हल करने के लिए उपरोक्त एल्गोरिथम के लिए एक उदाहरण का उपयोग करते हुए एक विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है।

    उदाहरण।

    पूरे समीकरण को हल करें (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) ।

    फेसला।

    सबसे पहले, हमेशा की तरह, हम समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर अभिव्यक्ति को स्थानांतरित करते हैं, संकेत को बदलना नहीं भूलते हैं, हम प्राप्त करते हैं (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 । यहां यह बिल्कुल स्पष्ट है कि परिणामी समीकरण के बाईं ओर को मानक रूप के बहुपद में बदलना उचित नहीं है, क्योंकि इससे फॉर्म की चौथी डिग्री का बीजीय समीकरण मिलेगा x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0जिसका समाधान कठिन है।

    दूसरी ओर, यह स्पष्ट है कि x 2 −10·x+13 परिणामी समीकरण के बाईं ओर पाया जा सकता है, जिससे यह एक उत्पाद के रूप में प्रदर्शित होता है। हमारे पास है (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. परिणामी समीकरण मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है, और बदले में, इसे दो द्विघात समीकरणों x 2 −10·x+13=0 और x 2 −2·x−1=0 के सेट से बदला जा सकता है। विवेचक के माध्यम से ज्ञात मूल सूत्रों का उपयोग करके उनकी जड़ें खोजना मुश्किल नहीं है, जड़ें समान हैं। वे मूल समीकरण के वांछित मूल हैं।

    जवाब:

    यह संपूर्ण परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए भी उपयोगी है। एक नया चर शुरू करने की विधि. कुछ मामलों में, यह किसी को उन समीकरणों को पास करने की अनुमति देता है जिनकी डिग्री मूल पूर्णांक समीकरण की डिग्री से कम है।

    उदाहरण।

    एक परिमेय समीकरण के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

    फेसला।

    इस पूरे तर्कसंगत समीकरण को बीजीय समीकरण में कम करना, इसे हल्के ढंग से रखना, बहुत अच्छा विचार नहीं है, क्योंकि इस मामले में हमें चौथे डिग्री समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी जिसमें तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं। इसलिए, आपको दूसरे समाधान की तलाश करनी होगी।

    यहां यह देखना आसान है कि आप एक नया चर y पेश कर सकते हैं और इसके साथ व्यंजक x 2 +3 x को बदल सकते हैं। ऐसा प्रतिस्थापन हमें संपूर्ण समीकरण (y+1) 2 +10=−2 (y−4) की ओर ले जाता है, जो व्यंजक −2 (y−4) को बाईं ओर स्थानांतरित करने और बाद में बने व्यंजक के रूपांतरण के बाद बनता है। वहाँ, समीकरण y 2 +4 y+3=0 को घटाता है। इस समीकरण y=−1 और y=−3 की जड़ों को खोजना आसान है, उदाहरण के लिए, वे विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय के आधार पर पाए जा सकते हैं।

    अब चलिए एक नए चर को शुरू करने की विधि के दूसरे भाग पर चलते हैं, जो कि एक रिवर्स प्रतिस्थापन बनाने के लिए है। रिवर्स प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें दो समीकरण x 2 +3 x=−1 और x 2 +3 x=−3 प्राप्त होते हैं, जिन्हें x 2 +3 x+1=0 और x 2 +3 x+3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। = 0। द्विघात समीकरण के मूल सूत्र के अनुसार हम पहले समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं। और दूसरे द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, क्योंकि इसका विभेदक ऋणात्मक है (D=3 2 −4 3=9−12=−3 )।

    जवाब:

    सामान्य तौर पर, जब हम उच्च डिग्री के पूरे समीकरणों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो हमें उन्हें हल करने के लिए एक गैर-मानक विधि या एक कृत्रिम तकनीक की तलाश के लिए हमेशा तैयार रहना चाहिए।

    भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल

    सबसे पहले, यह समझना उपयोगी होगा कि फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जहां p(x) और q(x) परिमेय पूर्णांक व्यंजक हैं। और फिर हम दिखाएंगे कि संकेतित रूप के समीकरणों के समाधान के लिए शेष भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों के समाधान को कैसे कम किया जाए।

    समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक निम्नलिखित कथन पर आधारित है: संख्यात्मक अंश u / v, जहां v एक गैर-शून्य संख्या है (अन्यथा हम सामना करेंगे, जो परिभाषित नहीं है), शून्य है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य है, तो है, यदि और केवल यदि u=0 । इस कथन के आधार पर, समीकरण का हल दो शर्तों p(x)=0 और q(x)≠0 की पूर्ति तक कम हो जाता है।

    यह निष्कर्ष निम्नलिखित के अनुरूप है: भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म. फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए

    • संपूर्ण परिमेय समीकरण को हल करें p(x)=0 ;
    • और जांचें कि क्या प्रत्येक पाए गए रूट के लिए शर्त q(x)≠0 संतुष्ट है, जबकि
      • यदि सत्य है, तो यह मूल मूल समीकरण का मूल है;
      • यदि नहीं, तो यह मूल बाह्य है, अर्थात यह मूल समीकरण का मूल नहीं है।

    आइए एक भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करते समय आवाज उठाई गई एल्गोरिदम का उपयोग करने के एक उदाहरण का विश्लेषण करें।

    उदाहरण।

    समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

    फेसला।

    यह रूप का एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण है, जहाँ p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 ।

    इस प्रकार के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम के अनुसार, हमें सबसे पहले समीकरण 3·x−2=0 को हल करना होगा। यह एक रैखिक समीकरण है जिसका मूल x=2/3 है।

    इस रूट की जांच करना बाकी है, यानी यह जांचना कि क्या यह 5·x 2 −2≠0 की शर्त को पूरा करता है। हम व्यंजक 5 x 2 −2 में x के स्थान पर संख्या 2/3 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है। शर्त पूरी हो जाती है, इसलिए x=2/3 मूल समीकरण का मूल है।

    जवाब:

    2/3 .

    एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का हल कुछ भिन्न स्थिति से प्राप्त किया जा सकता है। यह समीकरण मूल समीकरण के चर x पर संपूर्ण समीकरण p(x)=0 के तुल्य है। यानी आप इसे फॉलो कर सकते हैं भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म :

    • समीकरण को हल करें p(x)=0 ;
    • ODZ चर x खोजें;
    • स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र से संबंधित जड़ों को लें - वे मूल भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण की वांछित जड़ें हैं।

    उदाहरण के लिए, आइए इस एल्गोरिथम का उपयोग करके एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें।

    उदाहरण।

    प्रश्न हल करें।

    फेसला।

    सबसे पहले, हम द्विघात समीकरण x 2 −2·x−11=0 को हल करते हैं। इसकी जड़ों की गणना एक दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, हमारे पास है डी 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, और ।

    दूसरे, हम मूल समीकरण के लिए चर x का ODZ ज्ञात करते हैं। इसमें वे सभी संख्याएँ शामिल हैं जिनके लिए x 2 +3 x≠0 , जो वही x (x+3)≠0 है, जहाँ से x≠0 , x≠−3 है।

    यह जांचना बाकी है कि क्या पहले चरण में पाई गई जड़ें ODZ में शामिल हैं। बिल्कुल हाँ। इसलिए, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के दो मूल हैं।

    जवाब:

    ध्यान दें कि यदि ODZ आसानी से मिल जाता है तो यह दृष्टिकोण पहले वाले की तुलना में अधिक लाभदायक है, और यह विशेष रूप से फायदेमंद है यदि समीकरण p(x)=0 की जड़ें तर्कहीन हैं, उदाहरण के लिए, या तर्कसंगत, लेकिन एक बड़े के साथ अंश और/या हर, उदाहरण के लिए, 127/1101 और -31/59। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में, स्थिति q(x)≠0 की जाँच के लिए महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल प्रयासों की आवश्यकता होगी, और ODZ से बाहरी जड़ों को बाहर करना आसान है।

    अन्य मामलों में, समीकरण को हल करते समय, विशेष रूप से जब समीकरण p(x)=0 की जड़ें पूर्णांक होती हैं, तो उपरोक्त एल्गोरिदम में से पहले का उपयोग करना अधिक फायदेमंद होता है। यही है, यह सलाह दी जाती है कि पूरे समीकरण p(x)=0 की जड़ों को तुरंत ढूंढें, और फिर जांच करें कि क्या शर्त q(x)≠0 उनके लिए संतुष्ट है, और ओडीजेड नहीं ढूंढें, और फिर समीकरण को हल करें p(x)=0 इस ODZ पर। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में ओडीजेड खोजने की तुलना में आमतौर पर जांच करना आसान होता है।

    निर्धारित बारीकियों को स्पष्ट करने के लिए दो उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

    उदाहरण।

    समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

    फेसला।

    पहले हम पूरे समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, भिन्न के अंश का उपयोग करके संकलित किया गया। इस समीकरण का बायाँ भाग एक गुणनफल है, और दायाँ पक्ष शून्य है, इसलिए, गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करने की विधि के अनुसार, यह समीकरण चार समीकरणों के समुच्चय 2 x−1=0 , x−6= के बराबर है। 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 । इनमें से तीन समीकरण रैखिक हैं और एक द्विघात है, हम उन्हें हल कर सकते हैं। पहले समीकरण से हम x=1/2, दूसरे से - x=6, तीसरे से - x=7, x=−2, चौथे से - x=−1 पाते हैं।

    जड़ों के मिलने से, उन्हें यह देखने के लिए जांचना काफी आसान है कि क्या मूल समीकरण के बाईं ओर के अंश का हर गायब नहीं होता है, और ODZ को निर्धारित करना इतना आसान नहीं है, क्योंकि इसे हल करना होगा पांचवीं डिग्री का बीजगणितीय समीकरण। इसलिए, हम जड़ों की जाँच के पक्ष में ODZ खोजने से इनकार करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें व्यंजक में चर x के स्थान पर बदले में प्रतिस्थापित करते हैं x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त करें, और उनकी तुलना शून्य से करें: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
    6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
    7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
    (−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
    (−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 ।

    इस प्रकार, 1/2, 6 और -2 मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के वांछित मूल हैं, और 7 और -1 बाह्य मूल हैं।

    जवाब:

    1/2 , 6 , −2 .

    उदाहरण।

    भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

    फेसला।

    पहले हम समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं (5x2 −7x−1)(x−2)=0. यह समीकरण दो समीकरणों के समूह के बराबर है: वर्ग 5·x 2 −7·x−1=0 और रैखिक x−2=0 । द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र के अनुसार, हमें दो मूल मिलते हैं, और दूसरे समीकरण से हमें x=2 प्राप्त होता है।

    यह जाँचना कि क्या हर x के पाए गए मानों पर गायब नहीं होता है, बल्कि अप्रिय है। और मूल समीकरण में चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा निर्धारित करना काफी सरल है। इसलिए, हम ODZ के माध्यम से कार्य करेंगे।

    हमारे मामले में, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के चर x का ODZ सभी संख्याओं से बना होता है, सिवाय उन संख्याओं के जिनके लिए शर्त x 2 +5·x−14=0 संतुष्ट होती है। इस द्विघात समीकरण की जड़ें x=−7 और x=2 हैं, जिससे हम ODZ के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं: यह सभी x से बना है जैसे कि ।

    यह जांचना बाकी है कि क्या पाए गए मूल और x=2 स्वीकार्य मानों के क्षेत्र से संबंधित हैं। जड़ें - संबंधित हैं, इसलिए, वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और x=2 संबंधित नहीं है, इसलिए, यह एक बाहरी मूल है।

    जवाब:

    उन मामलों पर अलग से ध्यान देना भी उपयोगी होगा जहां रूप के एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण में अंश में एक संख्या होती है, अर्थात, जब p (x) को किसी संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। जिसमें

    • यदि यह संख्या शून्य से भिन्न है, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि भिन्न शून्य है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य है;
    • यदि यह संख्या शून्य है, तो समीकरण का मूल ODZ से कोई भी संख्या है।

    उदाहरण।

    फेसला।

    चूँकि समीकरण के बाईं ओर भिन्न के अंश में एक गैर-शून्य संख्या होती है, इसलिए किसी भी x के लिए इस भिन्न का मान शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

    जवाब:

    कोई जड़ नहीं।

    उदाहरण।

    प्रश्न हल करें।

    फेसला।

    इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के बाईं ओर भिन्न का अंश शून्य है, इसलिए किसी भी x के लिए इस भिन्न का मान शून्य है जिसके लिए यह समझ में आता है। दूसरे शब्दों में, इस समीकरण का हल इस चर के डीपीवी से x का कोई भी मान है।

    यह स्वीकार्य मूल्यों की इस सीमा को निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। इसमें ऐसे सभी मान x शामिल हैं जिनके लिए x 4 +5 x 3 0। समीकरण x 4 +5 x 3 \u003d 0 के समाधान 0 और −5 हैं, क्योंकि यह समीकरण समीकरण x 3 (x + 5) \u003d 0 के बराबर है, और यह, बदले में, संयोजन के बराबर है दो समीकरणों का x 3 \u003d 0 और x +5=0 , जहां से ये जड़ें दिखाई देती हैं। इसलिए, स्वीकार्य मानों की वांछित श्रेणी x=0 और x=−5 को छोड़कर कोई भी x है।

    इस प्रकार, एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के अपरिमित रूप से कई हल होते हैं, जो शून्य और ऋण पांच को छोड़कर कोई भी संख्या होती है।

    जवाब:

    अंत में, मनमानी भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के बारे में बात करने का समय आ गया है। उन्हें r(x)=s(x) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां r(x) और s(x) परिमेय व्यंजक हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। आगे देखते हुए, हम कहते हैं कि उनका समाधान पहले से परिचित रूप के समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गया है।

    यह ज्ञात है कि समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिन्ह के साथ एक पद का स्थानांतरण एक समतुल्य समीकरण की ओर जाता है, इसलिए समीकरण r(x)=s(x) समीकरण r(x)−s के बराबर है (एक्स) = 0।

    हम यह भी जानते हैं कि कोई भी समान रूप से इस व्यंजक के बराबर हो सकता है। इस प्रकार, हम हमेशा समीकरण r(x)−s(x)=0 के बाईं ओर परिमेय व्यंजक को रूप के एक समान समान परिमेय भिन्न में बदल सकते हैं।

    इसलिए हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण r(x)=s(x) से समीकरण पर जाते हैं, और इसका समाधान, जैसा कि हमने ऊपर पाया, समीकरण p(x)=0 को हल करने के लिए कम करता है।

    लेकिन यहां इस तथ्य को ध्यान में रखना आवश्यक है कि r(x)−s(x)=0 को , और फिर p(x)=0 के साथ बदलने पर, चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा का विस्तार हो सकता है .

    इसलिए, मूल समीकरण r(x)=s(x) और समीकरण p(x)=0 , जिस पर हम आए हैं, समतुल्य नहीं हो सकते हैं, और समीकरण p(x)=0 को हल करके, हम मूल प्राप्त कर सकते हैं वह मूल समीकरण r(x)=s(x) के बाह्य मूल होंगे। उत्तर में बाहरी जड़ों की पहचान करना और शामिल नहीं करना संभव है, या तो जांच करके, या यह जांच कर कि वे मूल समीकरण के ODZ से संबंधित हैं।

    हम इस जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं: भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म r(x)=s(x). भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए r(x)=s(x) , एक अवश्य

    • विपरीत चिह्न वाले व्यंजक को दाईं ओर से घुमाकर दाईं ओर शून्य प्राप्त करें।
    • समीकरण के बाईं ओर भिन्नों और बहुपदों के साथ क्रियाएँ करें, जिससे यह रूप के परिमेय अंश में परिवर्तित हो जाए।
    • समीकरण p(x)=0 को हल करें।
    • बाहरी जड़ों को पहचानें और बाहर करें, जो उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके या मूल समीकरण के ODZ से संबंधित होने की जांच करके किया जाता है।

    अधिक स्पष्टता के लिए, हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की पूरी श्रृंखला दिखाएंगे:
    .

    आइए सूचना के दिए गए ब्लॉक को स्पष्ट करने के लिए समाधान के विस्तृत विवरण के साथ कई उदाहरणों के समाधान देखें।

    उदाहरण।

    भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें।

    फेसला।

    हम अभी-अभी प्राप्त समाधान एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे। और पहले हम समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर की शर्तों को स्थानांतरित करते हैं, परिणामस्वरूप हम समीकरण को पास करते हैं।

    दूसरे चरण में, हमें परिणामी समीकरण के बाईं ओर भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक को भिन्न के रूप में बदलने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं और परिणामी व्यंजक को सरल बनाते हैं: . तो हम समीकरण पर आते हैं।

    अगले चरण में, हमें समीकरण −2·x−1=0 को हल करना होगा। x=−1/2 ज्ञात कीजिए।

    यह जांचना बाकी है कि पाया गया नंबर -1/2 मूल समीकरण का एक बाहरी मूल है या नहीं। ऐसा करने के लिए, आप मूल समीकरण के ODZ चर x की जांच कर सकते हैं या ढूंढ सकते हैं। आइए दोनों दृष्टिकोणों को प्रदर्शित करें।

    चलो एक चेक से शुरू करते हैं। हम मूल समीकरण में चर x के स्थान पर −1/2 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है, जो समान है, −1=−1। प्रतिस्थापन सही संख्यात्मक समानता देता है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

    अब हम दिखाएंगे कि ODZ के माध्यम से एल्गोरिथम का अंतिम चरण कैसे किया जाता है। मूल समीकरण के स्वीकार्य मानों की सीमा -1 और 0 को छोड़कर सभी संख्याओं का समूह है (जब x=−1 और x=0, भिन्नों के हर गायब हो जाते हैं)। पिछले चरण में पाया गया मूल x=−1/2 ODZ से संबंधित है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

    जवाब:

    −1/2 .

    आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

    उदाहरण।

    समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

    फेसला।

    हमें एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, आइए एल्गोरिथम के सभी चरणों को देखें।

    सबसे पहले, हम शब्द को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है।

    दूसरे, हम बाईं ओर बने व्यंजक को रूपांतरित करते हैं: . परिणामस्वरूप, हम समीकरण x=0 पर पहुंचते हैं।

    इसकी जड़ स्पष्ट है - यह शून्य है।

    चौथे चरण में, यह पता लगाना बाकी है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के लिए पाया गया मूल बाहरी नहीं है। जब इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो व्यंजक प्राप्त होता है। जाहिर है, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। जहाँ से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 एक बाह्य मूल है। इसलिए, मूल समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

    7, जो समीकरण की ओर जाता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाईं ओर के हर में व्यंजक दाईं ओर से बराबर होना चाहिए, अर्थात। अब हम त्रिक के दोनों भागों में से घटाते हैं: . सादृश्य से, कहाँ से, और आगे।

    जाँच से पता चलता है कि दोनों पाए गए मूल मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल हैं।

    जवाब:

    ग्रंथ सूची।

    • बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
    • मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच। - 11 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनमोज़िना, 2009. - 215 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।
    • बीजगणित:ग्रेड 9: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2009। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-021134-5।

    "आंशिक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान"

    पाठ मकसद:

    ट्यूटोरियल:

      भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की अवधारणा का गठन; भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना; भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म पर विचार करें, जिसमें यह शर्त भी शामिल है कि भिन्न शून्य के बराबर है; एल्गोरिथम के अनुसार भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल सिखाना; परीक्षण कार्य आयोजित करके विषय को आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना।

    विकसित होना:

      तार्किक रूप से सोचने के लिए अर्जित ज्ञान के साथ सही ढंग से काम करने की क्षमता का विकास; बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का विकास - विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण; पहल का विकास, निर्णय लेने की क्षमता, वहाँ रुकने की नहीं; महत्वपूर्ण सोच का विकास; अनुसंधान कौशल का विकास।

    पोषण:

      विषय में संज्ञानात्मक रुचि की शिक्षा; शैक्षिक समस्याओं को हल करने में स्वतंत्रता की शिक्षा; अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।

    पाठ प्रकार: पाठ - नई सामग्री की व्याख्या।

    कक्षाओं के दौरान

    1. संगठनात्मक क्षण।

    हैलो दोस्तों! ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखे हुए हैं, उन्हें ध्यान से देखें। क्या आप इन सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं? कौन से नहीं हैं और क्यों?

    वे समीकरण जिनमें बाएँ और दाएँ पक्ष भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं, भिन्नात्मक परिमेय समीकरण कहलाते हैं। आपको क्या लगता है कि आज हम पाठ में क्या अध्ययन करेंगे? पाठ का विषय तैयार करें। इसलिए, हम नोटबुक खोलते हैं और पाठ का विषय "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान" लिखते हैं।

    2. ज्ञान की प्राप्ति। ललाट सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य।

    और अब हम मुख्य सैद्धांतिक सामग्री को दोहराएंगे जो हमें एक नए विषय का अध्ययन करने की आवश्यकता है। कृपया निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:

    1. समीकरण क्या है? ( एक चर या चर के साथ समानता.)

    2. समीकरण #1 को क्या कहते हैं? ( रैखिक।) रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि। ( अज्ञात के साथ सब कुछ समीकरण के बाईं ओर, सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं। समान शर्तें लाओ। अज्ञात गुणक का पता लगाएं).

    3. समीकरण #3 क्या कहलाता है? ( वर्ग।) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ। ( विएटा प्रमेय और उसके परिणामों का उपयोग करते हुए, सूत्रों द्वारा पूर्ण वर्ग का चयन.)

    4. अनुपात क्या है? ( दो संबंधों की समानता।) अनुपात की मुख्य संपत्ति। ( यदि अनुपात सत्य है, तो इसके चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है.)

    5. समीकरणों को हल करने में किन गुणों का उपयोग किया जाता है? ( 1. यदि समीकरण में हम पद का चिन्ह बदलकर एक भाग से दूसरे भाग में स्थानान्तरित करते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर समीकरण प्राप्त होता है। 2. यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होगा जो दिए गए के बराबर है.)

    6. एक भिन्न शून्य के बराबर कब होती है? ( एक अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर गैर-शून्य होता है.)

    3. नई सामग्री की व्याख्या।

    नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 2 को हल करें।

    जवाब: 10.

    अनुपात के मूल गुण का उपयोग करके आप किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (पाँच नंबर)।

    (x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

    x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

    x2-6x-x2-5x = 6-8

    नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 4 को हल करें।

    जवाब: 1,5.

    आप समीकरण के दोनों पक्षों को हर से गुणा करके किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (संख्या 6)।

    डी=1>0, x1=3, x2=4.

    जवाब: 3;4.

    अब समीकरण #7 को किसी एक तरीके से हल करने का प्रयास करें।

    (x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)

    (x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0

    x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0

    x2-2x-5-x-5=0

    x(x-5)(x2-3x-10)=0

    x=0 x-5=0 x2-3x-10=0

    x1=0 x2=5 डी=49

    जवाब: 0;5;-2.

    जवाब: 5;-2.

    बताएं कि ऐसा क्यों हुआ? एक मामले में तीन और दूसरे में दो जड़ें क्यों हैं? इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल क्या हैं?

    अब तक, एक बाहरी जड़ की अवधारणा वाले छात्र नहीं मिले हैं, उनके लिए यह समझना वास्तव में बहुत मुश्किल है कि ऐसा क्यों हुआ। यदि कक्षा में कोई भी इस स्थिति की स्पष्ट व्याख्या नहीं कर सकता है, तो शिक्षक प्रमुख प्रश्न पूछता है।

      समीकरण संख्या 5,6,7 से समीकरण संख्या 2 और 4 में क्या अंतर है? ( संख्या के हर में समीकरण संख्या 2 और 4 में, संख्या 5-7 - एक चर के साथ व्यंजक।) समीकरण की जड़ क्या है? ( चर का वह मान जिस पर समीकरण सच्ची समानता बन जाता है।) कैसे पता करें कि संख्या समीकरण की जड़ है या नहीं? ( चेक करें.)

    एक परीक्षण करते समय, कुछ छात्र ध्यान देते हैं कि उन्हें शून्य से भाग देना है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि संख्या 0 और 5 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं। प्रश्न उठता है: क्या इस त्रुटि को समाप्त करने वाले भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कोई तरीका है? हाँ, यह विधि इस शर्त पर आधारित है कि भिन्न शून्य के बराबर है।

    x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

    यदि x=5, तो x(x-5)=0, तो 5 एक बाह्य मूल है।

    यदि x=-2, तो x(x-5)≠0.

    जवाब: -2.

    आइए इस तरह से भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करने का प्रयास करें। बच्चे स्वयं एल्गोरिथम तैयार करते हैं।

    भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

    1. सब कुछ बाईं ओर ले जाएं।

    2. भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।

    3. एक प्रणाली बनाएं: अंश शून्य के बराबर होता है, जब अंश शून्य के बराबर होता है, और हर शून्य के बराबर नहीं होता है।

    4. समीकरण को हल करें।

    5. बाहरी जड़ों को बाहर करने के लिए असमानता की जाँच करें।

    6. उत्तर लिखिए।

    चर्चा: यदि अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग किया जाता है और समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है तो समाधान कैसे तैयार किया जाए। (समाधान को पूरक करें: इसकी जड़ों से उन लोगों को बाहर करें जो आम भाजक को शून्य में बदल देते हैं)।

    4. नई सामग्री की प्राथमिक समझ।

    जोड़े में काम। छात्र समीकरण के प्रकार के आधार पर समीकरण को स्वयं हल करने का तरीका चुनते हैं। पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8", 2007 से कार्य: संख्या 000 (बी, सी, आई); संख्या 000 (ए, ई, जी)। शिक्षक कार्य के प्रदर्शन को नियंत्रित करता है, उत्पन्न होने वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, और खराब प्रदर्शन करने वाले छात्रों को सहायता प्रदान करता है। स्व-परीक्षण: बोर्ड पर उत्तर लिखे जाते हैं।

    बी) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 3.

    c) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 1.5.

    ए) उत्तर: -12.5।

    छ) उत्तर: 1; 1.5।

    5. गृहकार्य का विवरण।

    2. भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम सीखें।

    3. नोटबुक नंबर 000 (ए, डी, ई) में हल करें; संख्या 000 (जी, एच)।

    4. संख्या 000(ए) (वैकल्पिक) को हल करने का प्रयास करें।

    6. अध्ययन किए गए विषय पर नियंत्रण कार्य की पूर्ति।

    चादरों पर काम किया जाता है।

    नौकरी का उदाहरण:

    ए) कौन से समीकरण भिन्नात्मक परिमेय हैं?

    बी) एक अंश शून्य होता है जब अंश _______________ होता है और हर _______________ होता है।

    Q) क्या संख्या -3 समीकरण #6 का मूल है?

    डी) समीकरण संख्या 7 को हल करें।

    कार्य मूल्यांकन मानदंड:

      "5" दिया जाता है यदि छात्र ने 90% से अधिक कार्य सही ढंग से पूरा किया है। "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" उस छात्र को दिया जाता है जिसने 50% से कम कार्य पूरा किया है। ग्रेड 2 को जर्नल में नहीं डाला गया है, 3 वैकल्पिक है।

    7. प्रतिबिंब।

    स्वतंत्र कार्य के साथ पत्रक पर रखें:

      1 - यदि पाठ आपके लिए दिलचस्प और समझने योग्य था; 2 - दिलचस्प, लेकिन स्पष्ट नहीं; 3 - दिलचस्प नहीं, लेकिन समझने योग्य; 4 - दिलचस्प नहीं, स्पष्ट नहीं।

    8. पाठ को सारांशित करना।

    इसलिए, आज पाठ में हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हुए, इन समीकरणों को विभिन्न तरीकों से हल करना सीखा, शैक्षिक स्वतंत्र कार्य की मदद से अपने ज्ञान का परीक्षण किया। आप अगले पाठ में स्वतंत्र कार्य के परिणामों के बारे में जानेंगे, घर पर आपके पास प्राप्त ज्ञान को समेकित करने का अवसर होगा।

    आपकी राय में भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कौन सा तरीका आसान, अधिक सुलभ, अधिक तर्कसंगत है? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की विधि के बावजूद, क्या नहीं भूलना चाहिए? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की "चालाक" क्या है?

    आप सभी का धन्यवाद, सबक खत्म हो गया है।