एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों के स्थान के लिए पैरामीटर। एक वर्ग त्रिपद की जड़ों का स्थान

मापदंडों के साथ द्विघात समीकरण

(कक्षा 9-11 में छात्रों के लिए कार्यप्रणाली विकास)

उच्चतम योग्यता श्रेणी के गणित शिक्षक,

यूवीआर के लिए उप निदेशक

मेगियन 2013

प्रस्तावना

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Vieta प्रमेय का अनुप्रयोग

पैरामीटर के साथ समस्याओं को हल करने और विशेष रूप से पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने वाला वैज्ञानिक कार्य है प्रोपेड्यूटिक्सछात्रों का शोध कार्य। गणित में USE (अक्सर C5), GIA (भाग 2 के कार्य) और प्रवेश परीक्षा में, मापदंडों के साथ मुख्य रूप से दो प्रकार के कार्य होते हैं। पहला: "पैरामीटर के प्रत्येक मान के लिए, किसी समीकरण या असमानता के सभी समाधान खोजें।" दूसरा: "पैरामीटर के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए किसी दिए गए समीकरण या असमानता के लिए कुछ शर्तें पूरी होती हैं।" तदनुसार, इन दो प्रकार की समस्याओं के उत्तर सार में भिन्न होते हैं। पहले प्रकार की समस्या के उत्तर में, पैरामीटर के सभी संभावित मान सूचीबद्ध हैं, और इनमें से प्रत्येक मान के लिए समीकरण के समाधान लिखे गए हैं। दूसरे प्रकार की समस्या के उत्तर में, सभी पैरामीटर मान इंगित किए जाते हैं जिसके तहत समस्या में निर्दिष्ट शर्तें पूरी होती हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, स्कूल में मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। इसलिए, मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करना हमेशा छात्रों के लिए बड़ी मुश्किलें पैदा करता है; यह उम्मीद करना मुश्किल है कि जिन छात्रों के प्रशिक्षण में "पैरामीट्रिक थेरेपी" शामिल नहीं थी, वे प्रतियोगी परीक्षा के कठिन माहौल में ऐसे कार्यों का सफलतापूर्वक सामना करने में सक्षम होंगे, इसलिए, छात्रों को "मापदंडों के साथ मुठभेड़" के लिए विशेष रूप से तैयारी करनी चाहिए। कई छात्र पैरामीटर को "नियमित" संख्या के रूप में देखते हैं। वास्तव में, कुछ समस्याओं में, पैरामीटर को एक स्थिर मान माना जा सकता है, लेकिन यह स्थिर मान अज्ञात मान लेता है। इसलिए, इस स्थिरांक के सभी संभावित मूल्यों के लिए समस्या पर विचार करना आवश्यक है। अन्य समस्याओं में, अज्ञात में से किसी एक को पैरामीटर के रूप में कृत्रिम रूप से घोषित करना सुविधाजनक हो सकता है।

मापदंडों के साथ कार्यों में नैदानिक और रोगनिरोधी मूल्य होते हैं - मापदंडों के साथ कार्यों की मदद से, आप स्कूली गणित के मुख्य वर्गों के ज्ञान, गणितीय और तार्किक सोच के स्तर, अनुसंधान गतिविधियों के प्रारंभिक कौशल और सबसे महत्वपूर्ण, होनहार की जांच कर सकते हैं। किसी दिए गए विश्वविद्यालय के गणित पाठ्यक्रम में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के अवसर।

विभिन्न विश्वविद्यालयों में गणित और प्रवेश परीक्षाओं में यूएसई विकल्पों के विश्लेषण से पता चलता है कि मापदंडों के साथ प्रस्तावित कार्यों में से अधिकांश एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों के स्थान से जुड़े हैं। स्कूली गणित के पाठ्यक्रम में मुख्य होने के नाते, द्विघात फलन मापदंडों के साथ समस्याओं का एक व्यापक वर्ग बनाता है, जो रूप और सामग्री में विविध होते हैं, लेकिन एक सामान्य विचार से एकजुट होते हैं - द्विघात फ़ंक्शन के गुण उनके समाधान का आधार होते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करते समय, तीन प्रकार के मॉडलों के साथ काम करने की सिफारिश की जाती है:

1. मौखिक मॉडल - कार्य का मौखिक विवरण;

2. ज्यामितीय मॉडल - द्विघात फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच;

3. विश्लेषणात्मक मॉडल - असमानताओं की एक प्रणाली, जो ज्यामितीय मॉडल का वर्णन करती है।

मैनुअल में एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों के स्थान पर प्रमेय शामिल हैं (दिए गए बिंदुओं के सापेक्ष द्विघात फ़ंक्शन की जड़ों के स्थान के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियां), मापदंडों के साथ द्विघात समीकरणों के समाधान के लिए विएटा के प्रमेय का अनुप्रयोग। विधिवत अनुशंसाओं के साथ 15 समस्याओं का विस्तृत समाधान दिया गया है। इस मैनुअल का उद्देश्य गणित के स्नातक और शिक्षक को गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य शैक्षणिक परीक्षा उत्तीर्ण करने और विश्वविद्यालय में प्रवेश परीक्षा के रूप में या पारंपरिक रूप में प्रवेश परीक्षा की तैयारी में मदद करना है।

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - लाइन के दाईं ओर स्थित है x = n (हालत xb>n) ;

3. परवलय रेखा x = n के साथ ऊपरी आधे तल में स्थित एक बिंदु पर a>0 के लिए और निचले आधे तल में स्थित एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" ऊंचाई = "240">। पीएनजी" चौड़ाई = "38" ऊंचाई = "31 src=">.png" चौड़ाई = "263" ऊंचाई = "264">। पीएनजी" चौड़ाई = "266" ऊंचाई = " 264">.png" चौड़ाई = "311" ऊंचाई = "264">। पीएनजी" चौड़ाई = "280" ऊंचाई = "264">। पीएनजी" चौड़ाई = "266" ऊंचाई = "264">। पीएनजी" चौड़ाई = "263" ऊंचाई = "264">। पीएनजी" चौड़ाई = "280" ऊंचाई = "264">। पीएनजी" चौड़ाई = "311" ऊंचाई = "264">। पीएनजी" चौड़ाई = "263" ऊंचाई = "264" >.png" चौड़ाई="266" ऊंचाई = "264">.png" चौड़ाई="290" ऊंचाई="264">.png" चौड़ाई="266" ऊंचाई="264">.png" चौड़ाई="290 "ऊंचाई="264">.png" चौड़ाई="266" ऊंचाई="264">.png" चौड़ाई="263"ऊंचाई="264">.png" चौड़ाई="266"ऊंचाई="264">। png" चौड़ाई = "153" ऊंचाई = "43 स्रोत = ">

प्रमेय 10.द्विघात समीकरण x2 + p1x + q1 = 0 और x2 + p2x + q2 = 0,

जिनके विभेदक ऋणात्मक नहीं हैं, उनके पास कम से कम एक उभयनिष्ठ मूल है यदि और केवल यदि (q2 - q1)2 = (p2 - p1) (p1q2 - q1p2)।

प्रमाण।

मान लीजिए f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, और संख्याएँ x1, x2 समीकरण f1(x) = 0 के मूल हैं। समीकरणों के क्रम में f1(x) ) = 0 और f2(x) = 0 में कम से कम एक उभयनिष्ठ मूल है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि f1(x)∙f2(x) = 0, अर्थात (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 हम अंतिम समानता को रूप में निरूपित करते हैं

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 - p1)x1 + q2 - q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 - p1)x2 + q2 - q1) = 0.

चूँकि x12 + p1x1 + q1 = 0 और x22 + p1x2 + q1 = 0, हम प्राप्त करते हैं

((p2 - p1)x1 + (q2 - q1)) ((p2 - p1)x2 + (q2 - q1)) = 0, अर्थात।

(p2 - p1)2x1x2 + (q2 - q1) (p2 - p1) (x1 + x2) + (q2 - q1)2 = 0।

विएटा प्रमेय द्वारा x1 +x2 = - p1 और x1x2 =q1; इस तरह,

(p2 - p1)2q1 - (q2 - q1)(p2 - p1)p1 + (q2 - q1)2 = 0, या

(q2 - q1)2 = (p2 - p1)((q2 - q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 - p1) (q2p1 - q1p1 - p2q1 + p1q1) =

(p2 - p1) (q2p1 - p2q1), जिसे सिद्ध किया जाना था।

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0

1) के दो वास्तविक धनात्मक मूल हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित शर्तें एक साथ पूरी होती हैं:

;

2) की दो वास्तविक नकारात्मक जड़ें हैं यदि और केवल तभी जब शर्तें एक साथ पूरी होती हैं:

;

3) अलग-अलग संकेतों की दो वास्तविक जड़ें हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित शर्तें एक साथ पूरी होती हैं:

;

4) एक ही चिन्ह के दो वास्तविक मूल हैं यदि

टिप्पणी 1. यदि गुणांक एक्स 2 में एक पैरामीटर है, यह गायब होने पर मामले का विश्लेषण करना आवश्यक है।

टिप्पणी 2. यदि द्विघात समीकरण का विवेचक एक पूर्ण वर्ग है, तो सबसे पहले इसकी जड़ों के लिए स्पष्ट व्यंजक खोजना अधिक सुविधाजनक होता है।

टिप्पणी 3. यदि एक समीकरण जिसमें कई अज्ञात हैं, उनमें से एक के संबंध में द्विघात है, तो समस्या को हल करने की कुंजी अक्सर इसके विवेचक का अध्ययन होता है।

हम एक वर्ग त्रिपद की जड़ों के स्थान से संबंधित समस्याओं का अध्ययन करने के लिए एक योजना प्रस्तुत करते हैंएफ(एक्स) = कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी:

1. मामले का अध्ययन a = o (यदि पहला गुणांक मापदंडों पर निर्भर करता है)।

2. मामले में विवेचक डी ढूँढना a≠0।

3. यदि किसी व्यंजक का पूर्ण वर्ग D है, तो मूल x1, x2 ज्ञात करना और समस्या की शर्तों को अधीनस्थ करना।

4..png" चौड़ाई = "13" ऊंचाई = "22 src="> 3. गणित में जीआईए और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की तैयारी के लिए समस्याओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1प्रश्न हल करें ( ए - 2)एक्स 2 – 2कुल्हाड़ी + 2ए – 3 = 0.

फेसला। दो स्थितियों पर विचार करें: a = 2 और a 2. पहले मामले में, मूल समीकरण का रूप लेता है - 4 एक्स+ 1 = 0..png" चौड़ाई = "255" ऊंचाई = "58 src=">

a \u003d 1 या a \u003d 6 के लिए, विवेचक शून्य है और द्विघात समीकरण का एक मूल है: , अर्थात, a \u003d 1 के लिए हमें मूल मिलता है , और a = 6 के लिए - मूल।

1 पर< ए < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">समीकरण की कोई जड़ नहीं है; a = 1 के लिए समीकरण का एक मूल है एक्स= -1; पर समीकरण की दो जड़ें हैं ; पर ए= 2 समीकरण का एक ही मूल है; पर ए= 6 समीकरण का एक ही मूल है।

उदाहरण 2पैरामीटर के किस मूल्य पर एसमीकरण ( ए - 2)एक्स 2 + (4 – 2ए)एक्स+ 3 = 0 का एक अद्वितीय मूल है?

फेसला . यदि एक ए= 2, तो समीकरण रैखिक हो जाता है∙ एक्स+ 3 = 0; जिसकी कोई जड़ नहीं है।

यदि एक ए≠ 2, तो समीकरण द्विघात है और शून्य विवेचक के साथ एक ही मूल है डी.

डी= 0 पर ए 1 = 2 और ए 2 = 5. अर्थ ए= 2 को बाहर रखा गया है, क्योंकि यह इस शर्त का खंडन करता है कि मूल समीकरण द्विघात है।

जवाब : ए = 5.

(ए - 1)एक्स 2 + (2ए + 3)एक्स + ए+ 2 = 0 के मूल एक ही चिन्ह के हैं?

फेसला। चूँकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, माना गया समीकरण द्विघात है, इसका अर्थ है कि ए≠ 1. जाहिर है, समस्या की स्थिति का तात्पर्य द्विघात समीकरण की जड़ों के अस्तित्व से भी है, जिसका अर्थ है कि विवेचक गैर-ऋणात्मक है

डी = (2ए + 3)2 – 4(ए - 1)(ए + 2) = 8ए + 17.

चूंकि, शर्त के अनुसार, जड़ें एक ही चिन्ह की होनी चाहिए, तो एक्स 1∙एक्स 2 > 0, यानी..png" चौड़ाई="149" ऊंचाई="21 src=">. शर्तों के अधीन डी 0 और ए 1 हमें https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src="> मिलता है।

उदाहरण 3 a के सभी मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 के दो धनात्मक मूल हैं।

फेसला। वियत प्रमेय से, इस समीकरण के दोनों मूल x1 और x2 के धनात्मक होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वर्ग त्रिपद x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) का विभेदक गैर- ऋणात्मक, और गुणनफल x1 x2 और योग x1 + x2 धनात्मक थे। हम पाते हैं कि सभी एक संतोषजनक प्रणाली

और केवल वे ही समस्या का समाधान हैं। यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है

जिसका समाधान, और इसलिए समस्या ही, अंतराल से सभी संख्याएं हैं

कार्य #3.

पैरामीटर के किन मूल्यों पर समीकरण की जड़ें (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

अंतराल (0;1) से संबंधित हैं?

फेसला।

K≠2 के लिए, वांछित पैरामीटर मानों को असमानताओं की प्रणाली को संतुष्ट करना चाहिए

कहाँ D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? एफ (1) \u003d के -5, एक्स इन \u003d के / (के -2)।

इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

k = 2 के लिए, दिए गए समीकरण का रूप -4x+1 = 0 है, इसका एकमात्र मूल है

x = , जो अंतराल (0;1) से संबंधित है।

टास्क #4.

खंड पर स्थित समीकरण x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 की दोनों जड़ें किस मान पर हैं?

वांछित मूल्यों को असमानताओं की प्रणाली को संतुष्ट करना चाहिए

जहाँ डी \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x इन \u003d a।

सिस्टम का एकमात्र समाधान मान है, a = 4।

4. स्वतंत्र कार्य (नियंत्रण - प्रशिक्षण)।

छात्र समूहों में काम करते हैं, एक ही विकल्प का प्रदर्शन करते हैं, क्योंकि सामग्री बहुत जटिल है और हर कोई इसे नहीं कर सकता।

नंबर 1। पैरामीटर के किन मूल्यों पर समीकरण x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 की दोनों जड़ें अंतराल (-2; 4) से संबंधित हैं?

नंबर 2. k के सभी मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण का एक मूल है

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 1 से कम है और दूसरा रूट 2 से बड़ा है।

क्रम 3। वर्ग त्रिपद x 2 + (a + 1) x - a 2 के मूलों के बीच a का कौन-सा मान है?

समय के अंत में, उत्तर प्रदर्शित होते हैं। स्वतंत्र कार्य की स्व-जांच की जाती है।

5. पाठ का सारांश। प्रस्ताव समाप्त करें।

"आज क्लास में..."

"मुझे याद..."

"नोट करना चाहेंगे ..."।

शिक्षक पाठ के पूरे पाठ्यक्रम और उसके मुख्य बिंदुओं का विश्लेषण करता है, पाठ में प्रत्येक छात्र की गतिविधियों का मूल्यांकन करता है।

6. गृहकार्य

(ग्रेड 9 में जीआईए की तैयारी के लिए कार्यों के संग्रह से, लेखक एल। वी। कुजनेत्सोवा)

समझौता ज्ञापन "माध्यमिक विद्यालय संख्या 15"

मिचुरिंस्क, तांबोव क्षेत्र

कक्षा 9 . में बीजगणित पाठ

"पैरामीटर के मूल्यों के आधार पर एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों का स्थान"

विकसित

पहली श्रेणी के गणित के शिक्षक

बोर्तनिकोवा एम.बी.

मिचुरिंस्क - विज्ञान शहर 2016 साल

सबक 2 घंटे के लिए है।

प्रिय मित्रों! कई भौतिक और ज्यामितीय कानूनों के अध्ययन से अक्सर मापदंडों के साथ समस्याओं का समाधान होता है। कुछ विश्वविद्यालयों में परीक्षा टिकटों में समीकरण, असमानता और उनके सिस्टम भी शामिल होते हैं, जो अक्सर बहुत जटिल होते हैं और हल करने के लिए एक गैर-मानक दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। स्कूल में, बीजगणित में स्कूल के पाठ्यक्रम के सबसे कठिन वर्गों में से एक को केवल कुछ वैकल्पिक या विषय पाठ्यक्रमों में ही माना जाता है।
मेरी राय में, कार्यात्मक-ग्राफ़िकल विधि एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने का एक सुविधाजनक और तेज़ तरीका है।

पाठ मकसद: 1. द्विघात समीकरणों के विचार का विस्तार करें 2. पैरामीटर के सभी मूल्यों को खोजना सीखें, जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण के समाधान दी गई शर्तों को पूरा करते हैं। 3. विषय में रुचि विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान:

1. पैरामीटर क्या है

फॉर्म की अभिव्यक्ति एएच 2 + बीएक्स + सीएक स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में के संबंध में एक वर्ग ट्रिनोमियल कहा जाता हैएक्स,कहाँ पे ए, बी,c को वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं, इसके अलावा,ए=/= 0. चर x के मान, जिस पर व्यंजक लुप्त हो जाता है, वर्ग त्रिपद के मूल कहलाते हैं। एक वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करने के लिए द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक हैएएच 2 + बीएक्स + सी =0.
आइए बुनियादी समीकरण याद रखें:कुल्हाड़ी + बी = 0;
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0।अपनी जड़ों की तलाश करते समय, चर के मानए, बी, सी,समीकरण में शामिल को निश्चित माना जाता है और दिया जाता है। चरों को स्वयं पैरामीटर कहा जाता है।

परिभाषा।एक पैरामीटर एक स्वतंत्र चर है, जिसका मान समस्या में एक निश्चित या मनमाना वास्तविक संख्या माना जाता है, या एक पूर्व निर्धारित सेट से संबंधित संख्या है।

2. मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के मुख्य प्रकार और तरीके

मापदंडों वाले कार्यों में, निम्नलिखित मुख्य प्रकार के कार्यों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

या तो पैरामीटर के किसी भी मान के लिए या पूर्व निर्धारित सेट से संबंधित पैरामीटर मानों के लिए हल किए जाने वाले समीकरण। उदाहरण के लिए। समीकरण हल करें:कुल्हाड़ी = 1 , (ए - 2) एक्स = ए 2 – 4.

वे समीकरण जिनके लिए आप पैरामीटर (पैरामीटर) के मान के आधार पर समाधानों की संख्या निर्धारित करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए।

एसमीकरण 4 एक्स 2 – 4 कुल्हाड़ी + 1 = 0एक ही जड़ है?

समीकरण जिसके लिए, पैरामीटर के वांछित मूल्यों के लिए, समाधान का सेट परिभाषा के क्षेत्र में दी गई शर्तों को पूरा करता है।

उदाहरण के लिए, वह पैरामीटर मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण की जड़ें (ए - 2) एक्स 2 – 2 कुल्हाड़ी + ए + 3 = 0 सकारात्मक।
पैरामीटर के साथ समस्याओं को हल करने के मुख्य तरीके: विश्लेषणात्मक और ग्राफिक।

विश्लेषणात्मक- यह तथाकथित प्रत्यक्ष समाधान की एक विधि है, जो बिना किसी पैरामीटर के समस्याओं में उत्तर खोजने के लिए मानक प्रक्रियाओं को दोहराती है। आइए ऐसे कार्य के एक उदाहरण पर विचार करें।

कार्य 1

पैरामीटर के किन मूल्यों पर एक समीकरणएक्स 2 – 2 कुल्हाड़ी + ए 2 – 1 = 0 के अंतराल (1; 5) से संबंधित दो अलग-अलग जड़ें हैं?

फेसला

एक्स 2 – 2 कुल्हाड़ी + ए 2 – 1 = 0.
समस्या की स्थिति के अनुसार, समीकरण के दो अलग-अलग मूल होने चाहिए, और यह केवल इस शर्त के तहत संभव है: D > 0.
हमारे पास है: डी = 4ए 2 – 2(ए 2 - 1) = 4। जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक a पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए, पैरामीटर a के किसी भी मान के लिए समीकरण के दो अलग-अलग मूल हैं। आइए समीकरण की जड़ें खोजें:एक्स 1 = ए + 1, एक्स 2 = ए – 1
समीकरण के मूल अंतराल (1; 5) से संबंधित होने चाहिए, अर्थात।
तो, 2 . पर< ए < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

उत्तर: 2< ए < 4.
विचाराधीन प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए ऐसा दृष्टिकोण संभव है और उन मामलों में तर्कसंगत है जहां द्विघात समीकरण का विवेचक "अच्छा" है, अर्थात। किसी भी संख्या या व्यंजक का सटीक वर्ग है, या समीकरण की जड़ें व्युत्क्रम वियत प्रमेय द्वारा पाई जा सकती हैं। तब, और मूल अपरिमेय व्यंजक नहीं हैं। अन्यथा, इस प्रकार की समस्याओं का समाधान तकनीकी दृष्टिकोण से काफी जटिल प्रक्रियाओं से जुड़ा है। और तर्कहीन असमानताओं के समाधान के लिए आपसे नए ज्ञान की आवश्यकता होगी।

ग्राफिक- यह एक ऐसी विधि है जिसमें निर्देशांक तल (x; y) या (x; a) में आलेखों का उपयोग किया जाता है। समाधान की इस पद्धति की दृश्यता और सुंदरता समस्या को हल करने का एक त्वरित तरीका खोजने में मदद करती है। आइए समस्या संख्या 1 को ग्राफिक रूप से हल करें।
जैसा कि आप जानते हैं, द्विघात समीकरण (वर्ग त्रिपद) के मूल संगत द्विघात फलन के शून्यक होते हैं: y =एक्स 2 – 2 ओह + ए 2 - 1. फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है, शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं (पहला गुणांक 1 के बराबर होता है)। समस्या की सभी आवश्यकताओं को पूरा करने वाला ज्यामितीय मॉडल इस तरह दिखता है।

अब यह आवश्यक शर्तों के साथ वांछित स्थिति में परवलय को "ठीक" करने के लिए बनी हुई है।

इसलिए, समस्या के ज्यामितीय मॉडल से विश्लेषणात्मक मॉडल में जाने पर, हम असमानताओं की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं।

उत्तर: 2< ए < 4.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, विचाराधीन प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए एक चित्रमय विधि उस स्थिति में संभव है जब जड़ें "खराब" हों, अर्थात। रेडिकल साइन के तहत एक पैरामीटर होता है (इस मामले में, समीकरण का विवेचक एक पूर्ण वर्ग नहीं है)।
दूसरे समाधान में, हमने समीकरण के गुणांकों और फलन के परिसर के साथ काम कियापर = एक्स 2 – 2 ओह + ए 2 – 1.
हल करने की इस विधि को केवल आलेखीय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि। यहां हमें असमानताओं की एक प्रणाली को हल करना है। बल्कि, यह विधि संयुक्त है: कार्यात्मक-चित्रमय। इन दो विधियों में से, उत्तरार्द्ध न केवल सुरुचिपूर्ण है, बल्कि सबसे महत्वपूर्ण भी है, क्योंकि यह सभी प्रकार के गणितीय मॉडल के बीच संबंध को दर्शाता है: समस्या का एक मौखिक विवरण, एक ज्यामितीय मॉडल - एक वर्ग ट्रिनोमियल का एक ग्राफ, ए विश्लेषणात्मक मॉडल - असमानताओं की एक प्रणाली द्वारा एक ज्यामितीय मॉडल का विवरण।
इसलिए, हमने एक समस्या पर विचार किया है जिसमें एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें पैरामीटर के वांछित मूल्यों के लिए परिभाषा के क्षेत्र में दी गई शर्तों को पूरा करती हैं।

और पैरामीटर के वांछित मूल्यों के लिए एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों से अन्य संभावित शर्तों को क्या संतुष्ट किया जा सकता है?

समस्या समाधान के उदाहरण

3. पैरामीटर के वांछित मूल्यों के आधार पर एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों के स्थान की जांच ए।

टास्क नंबर 2.

पैरामीटर के किन मूल्यों परए द्विघात समीकरण की जड़ें

एक्स 2 - 4x - (ए - 1) (ए - 5) \u003d 0 एक से अधिक है?

फेसला।

फ़ंक्शन पर विचार करें: y = x 2 - 4x - (ए -1) (ए - 5)

फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

आइए योजनाबद्ध रूप से एक परवलय (समस्या का एक ज्यामितीय मॉडल) को चित्रित करें।

अब हम निर्मित ज्यामितीय मॉडल से विश्लेषणात्मक मॉडल की ओर बढ़ते हैं, अर्थात। आइए हम इस ज्यामितीय मॉडल का वर्णन इसके लिए पर्याप्त परिस्थितियों की प्रणाली द्वारा करें।

x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु (या संपर्क बिंदु) हैं, इसलिए, D≥0, अर्थात। 16+4(ए-1)(ए-5)≥0।

हम देखते हैं कि परवलय का शीर्ष सीधी रेखा x=1 के सापेक्ष दाहिने आधे तल में स्थित है, अर्थात। इसका भुज 1 से बड़ा है, अर्थात। 2>1 (पैरामीटर के सभी मानों के लिए प्रदर्शन किया गया)।

ध्यान दें कि y(1)>0, अर्थात्। 1 - 4 - (ए - 1) (ए - 5)>0

नतीजतन, हम असमानताओं की एक प्रणाली पर पहुंचते हैं।

;

उत्तर: 2<а<4.

टास्क नंबर 3.

एक्स 2 + कुल्हाड़ी - 2 = 0 एक से बड़ा?

फेसला।

फ़ंक्शन पर विचार करें: y = -x 2 + आह - 2

फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। परवलय की शाखाएं नीचे की ओर इंगित करती हैं। आइए हम विचाराधीन समस्या के ज्यामितीय मॉडल को चित्रित करें।

यू(1)

आइए असमानताओं की एक प्रणाली बनाएं।

, कोई समाधान नहीं

जवाब। ऐसे कोई पैरामीटर मान नहीं हैं।

समस्या संख्या 2 और संख्या 3 की शर्तें, जिसमें एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें पैरामीटर के वांछित मूल्यों के लिए एक निश्चित संख्या से अधिक होती हैं, हम निम्नानुसार तैयार करते हैं।

सामान्य मामला # 1।

पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए वर्ग त्रिपद की जड़ें

एफ(एक्स) = कुल्हाड़ी 2 + in + c किसी संख्या k से बड़ा है, अर्थात। को<х 1 x 2 .

आइए हम इस समस्या के ज्यामितीय मॉडल को चित्रित करें और असमानताओं की संगत प्रणाली को लिखें।

तालिका 1. मॉडल - योजना।

टास्क नंबर 4.

पैरामीटर के किन मूल्यों पर द्विघात समीकरण की जड़ें हैं

एक्स 2 +(a+1)x–2a(a–1) = 0 एक से कम?

फेसला।

फ़ंक्शन पर विचार करें: y = x 2 + (ए + 1) एक्स-2ए (ए-1)

फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। समस्या की स्थिति के अनुसार, जड़ें 1 से कम हैं, इसलिए, परवलय x-अक्ष को काटता है (या x-अक्ष को सीधी रेखा x=1 के बाईं ओर स्पर्श करता है)।

आइए योजनाबद्ध रूप से एक परवलय (समस्या का एक ज्यामितीय मॉडल) को चित्रित करें।

वाई(1)

आइए ज्यामितीय मॉडल से विश्लेषणात्मक मॉडल पर चलते हैं।

चूँकि x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तो D≥0।

परवलय का शीर्ष सीधी रेखा x=1 के बाईं ओर स्थित है, अर्थात। इसका भुज x 0 <1.

ध्यान दें कि y(1)>0, अर्थात्। 1+(a+1)-2a(a-1)>0.

हम असमानताओं की एक प्रणाली पर पहुंचते हैं।

;

उत्तर: -0.5<а<2.

सामान्य मामला # 2।

पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए ट्रिनोमियल की दोनों जड़ेंएफ(एक्स) = कुल्हाड़ी 2 + in + c किसी संख्या k से छोटा होगा: x 1 x 2<к.

ज्यामितीय मॉडल और असमानताओं की संगत प्रणाली तालिका में प्रस्तुत की गई है। इस तथ्य को ध्यान में रखना आवश्यक है कि ऐसी समस्याएं हैं जहां वर्ग ट्रिनोमियल का पहला गुणांक पैरामीटर ए पर निर्भर करता है। और फिर परवलय की शाखाओं को पैरामीटर के मूल्यों के आधार पर ऊपर और नीचे दोनों ओर निर्देशित किया जा सकता है। सामान्य योजना बनाते समय हम इस तथ्य को ध्यान में रखेंगे।

तालिका संख्या 2.

च (के)

विश्लेषणात्मक मॉडल

(स्थितियों की प्रणाली)।

विश्लेषणात्मक मॉडल

(स्थितियों की प्रणाली)।

टास्क नंबर 5.

पैरामीटर के किन मूल्यों पर a 2 -2ax+a=0 अंतराल (0;3) से संबंधित है?

फेसला।

वर्ग त्रिपद y(x) = x . पर विचार करें 2 -2ax + ए।

ग्राफ एक परवलय है। परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

यह आंकड़ा विचाराधीन समस्या के ज्यामितीय मॉडल को दर्शाता है।

पर

वाई(0)

यू(3)

0 x 1 x 0 x 1 3 x

निर्मित ज्यामितीय मॉडल से, आइए विश्लेषणात्मक एक पर चलते हैं, अर्थात। हम इसे असमानताओं की एक प्रणाली द्वारा वर्णित करते हैं।

x-अक्ष (या संपर्क बिंदु) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, इसलिए, D≥0।

परवलय का शीर्ष x=0 और x=3 रेखाओं के बीच होता है, अर्थात। परवलय का भुज x 0 अंतराल (0;3) के अंतर्गत आता है।

ध्यान दें कि y(0)>0 और y(3)>0 भी।

हम सिस्टम में आते हैं।

;

उत्तर: ए

सामान्य मामला #3।

पैरामीटर के किन मानों के लिए वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें अंतराल से संबंधित हैं (क; एम), अर्थात। क<х 1 ≤х 2 < एम

तालिका संख्या 3. मॉडल - योजना।

एफ(एक्स)

एफ(क)

एफ(एम)

कएक्स 1 एक्स 0 एक्स 2 एमएक्स

एफ (एक्स)

0kx 1 एक्स 0 एक्स 2 एम

च (के)

च (एम)

समस्या का विश्लेषणात्मक मॉडल

टास्क #6।

पैरामीटर के किन मूल्यों पर द्विघात समीकरण x . का केवल छोटा मूल है 2 +2ax+a=0 अंतराल X . के अंतर्गत आता है (0;3).

फेसला।

2 -2ax + a

ग्राफ एक परवलय है। परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। चलो x 1 एक वर्ग त्रिपद की छोटी जड़। समस्या की स्थिति के अनुसार x 1 अंतराल (0;3) के अंतर्गत आता है। आइए हम समस्या का एक ज्यामितीय मॉडल दर्शाते हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

यू(एक्स)

यू(0)

0 एक्स 1 3 एक्स 0 एक्स 2 एक्स

यू(3)

आइए असमानताओं की व्यवस्था पर चलते हैं।

1) ध्यान दें कि y(0)>0 और y(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. इसलिए, इस स्थिति को असमानताओं की प्रणाली में लिखने की आवश्यकता नहीं है।

तो, हम असमानताओं की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

जवाब: ए >1,8.

सामान्य मामला #4।

पैरामीटर के किन मानों के लिए वर्ग ट्रिनोमियल की छोटी जड़ दिए गए अंतराल से संबंधित है (क; एम), अर्थात। क<х 1 < एम<х 2 .

तालिका संख्या 4 . मॉडल - योजना।

च (के)

केएक्स 1 0 एम एक्स 2

च (एम)

एफ (एक्स)

च (एम)

केएक्स 1 एम एक्स 2 एक्स

च (के)

विश्लेषणात्मक मॉडल

टास्क #7.

पैरामीटर के किन मूल्यों पर द्विघात समीकरण का केवल बड़ा मूल x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0 अंतराल [-1;0) से संबंधित है।

फेसला।

वर्ग त्रिपद पर विचार करें y(x)=x 2+4x-(ए+1)(ए+5)।

ग्राफ एक परवलय है। शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है।

आइए हम समस्या के ज्यामितीय मॉडल का वर्णन करें। चलो x 2 समीकरण का बड़ा मूल है। समस्या की स्थिति से, केवल बड़ी जड़ अंतराल के अंतर्गत आती है।

आप(एक्स)

आप(0)

एक्स 1 -1 x 2 0 x

आप(-1)

ध्यान दें कि y(0)>0 और y(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.

आइए असमानताओं की एक प्रणाली बनाएं और इसे हल करें।

जवाब:

सामान्य मामला #5।

पैरामीटर के किन मानों के लिए वर्ग त्रिपद का बड़ा मूल दिए गए अंतराल से संबंधित है (क; एम), अर्थात। एक्स 1< क<х 2 < एम.

तालिका संख्या 5. मॉडल - योजना।

एफ (एक्स)

च (एम)

0 x 1 केएक्स 2 एम एक्स

च (के)

एफ (एक्स)

च (के)

एक्स 1 0kx 2 एम

च (एम)

विश्लेषणात्मक मॉडल

जेड अदाचा नंबर 8.

पैरामीटर के किन मूल्यों पर खंड [-1; 3] पूरी तरह से द्विघात समीकरण x की जड़ों के बीच स्थित है 2 -(2a+1)x+a-11=0?

फेसला।

वर्ग त्रिपद पर विचार करें y(x)=x 2 - (2a + 1) x + a-11

ग्राफ एक परवलय है।

इस समस्या का ज्यामितीय मॉडल चित्र में दिखाया गया है।

यू(एक्स)

एक्स 1 -1 0 3 एक्स 2 एक्स

यू(-1)

यू(3)

इन शर्तों के तहत, डी> 0, क्योंकि परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

उत्तर: ए

सामान्य मामला #6।

पैरामीटर के किन मानों के लिए दिए गए अंतराल के बाहर वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें हैं (क; एम), अर्थात। एक्स 1< क < एम<х 2 .

एक्स 2 -(2a + 1) x + 4-a \u003d 0 संख्या 3 से संख्या के विपरीत दिशा में स्थित है?

फेसला।

वर्ग त्रिपद पर विचार करें y(x)=x 2 - (2ए + 1) एक्स + 4-ए।

ग्राफ एक परवलय है, शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है (पहला गुणांक 1 है)। आइए हम समस्या के ज्यामितीय मॉडल का वर्णन करें।

एक्स 1 3 एक्स 2 एक्स

यू(3)

आइए एक ज्यामितीय मॉडल से एक विश्लेषणात्मक मॉडल की ओर बढ़ते हैं।

हम देखते हैं कि y(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 स्वचालित रूप से।+in+c कुछ संख्या k से कम है: x 1 एक्स 2 <к

3. पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए a वर्ग त्रिपद कुल्हाड़ी की जड़ें 2 +in+c अंतराल (k, t) से . के हैं<х 1 x 2 <т

4. पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए a वर्ग त्रिनोमियल कुल्हाड़ी की केवल छोटी जड़ 2 +in+c दिए गए अंतराल (k, t), यानी k . से संबंधित है<х 1 <т<х 2

1. इस समस्या के ज्यामितीय मॉडल को चित्रित कीजिए।

2. उन स्थितियों की प्रणाली लिखिए जिनसे इस समस्या का समाधान कम हो जाता है

1. इस समस्या के ज्यामितीय मॉडल को चित्रित कीजिए।

2. उन स्थितियों की प्रणाली लिखिए जिनसे इस समस्या का समाधान कम हो जाता है

1. इस समस्या के ज्यामितीय मॉडल को चित्रित कीजिए।

2. उन स्थितियों की प्रणाली लिखिए जिनसे इस समस्या का समाधान कम हो जाता है

द्विघात समीकरण x . के मूल 2 -4x-(a-1)(a-5)=0, 1 से बड़ा।

उत्तर: 2<а<4

द्विघात समीकरण x . के मूल 2 +(a+1)x-2a(a-1)=0, 1 से कम।

जवाब:

-0,5<а<2

द्विघात समीकरण x . के मूल 2 -2ax+a=0, अंतराल (0;3) से संबंधित है।

उत्तर: 1≤a< 9 / 5

समीकरण x . का केवल छोटा मूल 2 -2ax+a=0, अंतराल (0;3) से संबंधित है।

उत्तर: 1≤a< 9 / 5
1. इस समस्या के ज्यामितीय मॉडल को चित्रित कीजिए।
2. उन स्थितियों की प्रणाली लिखिए जिनसे इस समस्या का समाधान कम हो जाता है

1. इस समस्या के ज्यामितीय मॉडल को चित्रित कीजिए।

2. उन स्थितियों की प्रणाली लिखिए जिनसे इस समस्या का समाधान कम हो जाता है

1. इस समस्या के ज्यामितीय मॉडल को चित्रित कीजिए।

2. उन स्थितियों की प्रणाली लिखिए जिनसे इस समस्या का समाधान कम हो जाता है

समीकरण x . का केवल सबसे बड़ा मूल 2 +4x-(a+1)(a+5)=0, अंतराल [-1;0) से संबंधित है।

उत्तर:(-5;-4]यू[-2;-1)

खंड [-1; 3] पूरी तरह से द्विघात समीकरण x . की जड़ों के बीच है 2 -(2a+1)x+a-11=0.

उत्तर 1<а<3

द्विघात समीकरण x . के मूल 2 -2 (ए + 1) एक्स + 4-ए \u003d 0, संख्या 3 के विपरीत पक्षों पर स्थित है।

जवाब( 10 / 7 ;∞)

सबक के लिए धन्यवाद दोस्तों!

पैरामीटर के किस मान पर समीकरण का एक मूल

1 से बड़ा और दूसरा 1 से कम?

समारोह पर विचार करें -

उद्देश्य:

किसी दिए गए बिंदु के सापेक्ष एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों के स्थान की सभी संभावित विशेषताओं का अध्ययन और एक द्विघात फ़ंक्शन और ग्राफिकल व्याख्याओं के गुणों के आधार पर दिए गए खंड के सापेक्ष।
एक पैरामीटर के साथ गैर-मानक समस्याओं को हल करने में अध्ययन किए गए गुणों का अनुप्रयोग।

कार्य:

एक वर्ग त्रिपद के मूलों की स्थिति का आलेखीय विधि से अध्ययन पर आधारित समस्याओं को हल करने की विभिन्न विधियों का अध्ययन करना।
एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों के स्थान की सभी संभावित विशेषताओं की पुष्टि करें, एक पैरामीटर के साथ गैर-मानक समस्याओं को हल करने के लिए सैद्धांतिक सिफारिशें विकसित करें।
कई तकनीकी और बौद्धिक गणितीय कौशल में महारत हासिल करें, समस्याओं को हल करने में उनका उपयोग करना सीखें।