"फ़ंक्शंस के ग्राफ़ और उनके गुण" - y = ctg x. 4) सीमित कार्य। 3) विषम कार्य। (फ़ंक्शन का ग्राफ मूल के बारे में सममित है)। वाई = टीजीएक्स। 7) फंक्शन (?k; ? + ?k) फॉर्म के किसी भी अंतराल पर निरंतर होता है। फलन y = tg x रूप के किसी भी अंतराल पर सतत होता है। 4) रूप (?k; ? + ?k) के किसी भी अंतराल पर फलन घटता है। फ़ंक्शन y \u003d tg x के ग्राफ को स्पर्शरेखा कहा जाता है।

"फ़ंक्शन वाई एक्स का ग्राफ" - परबोला टेम्पलेट y \u003d x2। रेखांकन देखने के लिए क्लिक करें। उदाहरण 2. फ़ंक्शन y=x2 (माउस क्लिक) के ग्राफ़ के आधार पर आइए फ़ंक्शन y = x2 + 1 का एक ग्राफ़ बनाएं। उदाहरण 3. आइए साबित करें कि फ़ंक्शन y \u003d x2 + 6x + 8 का ग्राफ एक परवलय है, और एक ग्राफ बनाएं। फलन y=(x - m)2 का ग्राफ एक परवलय है जिसका एक शीर्ष बिंदु (m; 0) पर है।

"ग्राफिक्स का गणित" - आप ग्राफ़ कैसे बना सकते हैं? सबसे प्राकृतिक कार्यात्मक निर्भरता रेखांकन की मदद से परिलक्षित होती है। एक दिलचस्प अनुप्रयोग: चित्र, ... हम रेखांकन का अध्ययन क्यों करते हैं? प्राथमिक कार्यों के रेखांकन। आप रेखांकन के साथ क्या आकर्षित कर सकते हैं? हम अकादमिक विषयों में रेखांकन के उपयोग पर विचार करते हैं: गणित, भौतिकी, ...

"व्युत्पन्न के साथ रेखांकन" - सामान्यीकरण। फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच बनाएं। फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ़। अतिरिक्त कार्य। समारोह का अन्वेषण करें। घटते फलन के अंतरालों के नाम लिखिए। छात्रों का स्वतंत्र कार्य। ज्ञान का विस्तार करें। अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने का पाठ। अपने कौशल का मूल्यांकन करें। समारोह के अधिकतम अंक।

"मॉड्यूल के साथ चार्ट" - ऊपरी आधे तल में "निचला" भाग प्रदर्शित करें। एक वास्तविक संख्या का मापांक। फलन के गुण y = |x|. |x|. अंक। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए एल्गोरिथम। निर्माण एल्गोरिथ्म। फंक्शन y=lхl. गुण। स्वतंत्र काम। समारोह शून्य। अच्छी सलाह। दो-अपने आप समाधान।

"स्पर्शरेखा समीकरण" - स्पर्शरेखा समीकरण। सामान्य समीकरण। यदि, तो वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो रेखाओं की समांतरता और लंबवतता की शर्तें। फ़ंक्शन ग्राफ़ के बीच का कोण। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण। मान लीजिए कि फलन एक बिंदु पर अवकलनीय है। मान लीजिए कि रेखाएँ समीकरणों द्वारा दी गई हैं और।

विषय में कुल 25 प्रस्तुतियाँ हैं

अब हम इस प्रश्न पर विचार करेंगे कि बहु कोणों के त्रिकोणमितीय फलनों को कैसे आलेखित किया जाए x, कहाँ पे ω कुछ सकारात्मक संख्या है।

फ़ंक्शन प्लॉट करने के लिए वाई = पाप xआइए इस फलन की तुलना उस फलन से करें जिसका हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं वाई = पाप एक्स. आइए मान लें कि एक्स = एक्स 0 समारोह वाई = पाप एक्स 0 के बराबर मान लेता है। फिर

वाई 0 = पाप एक्स 0 .

आइए इस अनुपात को इस प्रकार बदलें:

इसलिए, समारोह वाई = पाप xपर एक्स = एक्स 0 / ω एक ही मान लेता है पर 0 , जो समारोह है वाई = पाप एक्सपर एक्स = एक्स 0 . और इसका मतलब है कि समारोह वाई = पाप xअपने मूल्यों को दोहराता है ω समारोह से अधिक बार वाई = पाप एक्स. तो फ़ंक्शन का ग्राफ वाई = पाप xफ़ंक्शन के ग्राफ़ को "संपीड़ित" करके प्राप्त किया गया वाई = पाप एक्समें ω एक्स-अक्ष के साथ बार।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का ग्राफ वाई \u003d पाप 2xसाइनसॉइड को "संपीड़ित" करके प्राप्त किया गया वाई = पाप एक्सएब्सिस्सा के साथ दो बार।

फंक्शन ग्राफ वाई \u003d पाप एक्स / 2 साइनसॉइड y \u003d पाप x दो बार (या "संपीड़ित" in .) को "खींचने" द्वारा प्राप्त किया गया 1 / 2 टाइम्स) एक्स-अक्ष के साथ।

समारोह के बाद से वाई = पाप xअपने मूल्यों को दोहराता है ω समारोह से अधिक बार
वाई = पाप एक्स, तो इसकी अवधि in ω समारोह की अवधि से कई गुना कम वाई = पाप एक्स. उदाहरण के लिए, समारोह की अवधि वाई \u003d पाप 2xबराबरी 2π / 2 = π , और समारोह की अवधि वाई \u003d पाप एक्स / 2 बराबरी π / एक्स / 2 = 4π .

फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करना दिलचस्प है वाई \u003d पाप कुल्हाड़ीएनीमेशन के उदाहरण पर, जिसे प्रोग्राम में बहुत आसानी से बनाया जा सकता है मेपल:

इसी तरह, कई कोणों के अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए ग्राफ़ का निर्माण किया जाता है। चित्र फ़ंक्शन का एक ग्राफ दिखाता है y = cos 2x, जो कोसाइन को "संपीड़ित" करके प्राप्त किया जाता है y = क्योंकि x x-अक्ष के अनुदिश दो बार।

फंक्शन ग्राफ y = क्योंकि x / 2 कोसाइन तरंग को "खींचने" द्वारा प्राप्त किया गया y = क्योंकि x x-अक्ष के अनुदिश दो बार।

चित्र में आप फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ देखते हैं वाई = टीजी 2x, स्पर्शरेखा को "संपीड़ित" करके प्राप्त किया गया वाई = टीजीएक्सएब्सिस्सा के साथ दो बार।

फंक्शन ग्राफ वाई = टीजी एक्स / 2 , स्पर्शरेखा को "खींचने" द्वारा प्राप्त किया गया वाई = टीजीएक्स x-अक्ष के अनुदिश दो बार।

और अंत में, कार्यक्रम द्वारा किया गया एनीमेशन मेपल:

अभ्यास

1. इन कार्यों के ग्राफ बनाएं और निर्देशांक अक्षों के साथ इन ग्राफों के चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक इंगित करें। इन कार्यों की अवधि निर्धारित करें।

एक)। वाई = पाप 4x / 3 जी)। वाई = टीजी 5x / 6 तथा)। वाई = कोस 2x / 3

बी)। वाई = कोस 5x / 3 इ)। वाई = सीटीजी 5x / 3 एच)। वाई = सीटीजी एक्स / 3

में)। वाई = टीजी 4x / 3 इ)। वाई = पाप 2x / 3

2. कार्य अवधि को परिभाषित करें वाई \u003d पाप (πx)तथा वाई = टीजी (/ 2).

3. एक फ़ंक्शन के दो उदाहरण दें जो सभी मानों को -1 से +1 (इन दो संख्याओं सहित) लेता है और समय-समय पर 10 की अवधि के साथ बदलता है।

4 *. कार्यों के दो उदाहरण दें जो 0 से 1 तक सभी मान लेते हैं (इन दो संख्याओं सहित) और समय-समय पर अवधि के साथ बदलते हैं / 2.

5. ऐसे कार्यों के दो उदाहरण दीजिए जो सभी वास्तविक मूल्यों को लेते हैं और अवधि 1 के साथ समय-समय पर बदलते हैं।

6 *. फ़ंक्शन के दो उदाहरण दें जो सभी नकारात्मक मान और शून्य लेते हैं, लेकिन सकारात्मक मान नहीं लेते हैं और समय-समय पर 5 की अवधि के साथ बदलते हैं।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "फ़ंक्शन y=cos(x)। फ़ंक्शन की परिभाषा और ग्राफ़"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. परिभाषा।
2. समारोह का ग्राफ।
3. फलन Y=cos(X) के गुण।
4. उदाहरण।

कोज्या फलन की परिभाषा y=cos(x)

दोस्तों, हम पहले ही Y=sin(X) फंक्शन से परिचित हो चुके हैं।

आइए भूत सूत्रों में से एक को याद करें: sin(X + /2) = cos(X)।

इस सूत्र के लिए धन्यवाद, हम यह दावा कर सकते हैं कि फ़ंक्शन sin(X + /2) और cos(X) समान हैं, और उनके फ़ंक्शन ग्राफ़ समान हैं।

sin(X + /2) फलन का ग्राफ sin(X) फलन के ग्राफ से /2 इकाइयों को बाईं ओर समानांतर स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है। यह फलन Y=cos(X) का आलेख होगा।

फलन Y=cos(X) के ग्राफ को साइनसॉइड भी कहा जाता है।

cos(x) फ़ंक्शन गुण

आइए हमारे फ़ंक्शन के गुण लिखें:
• परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
• समारोह सम है। आइए एक सम फलन की परिभाषा याद करें। y(-x)=y(x) समानता होने पर भी एक फलन कहा जाता है। जैसा कि हम भूत सूत्रों से याद करते हैं: cos(-x)=-cos(x), परिभाषा पूरी हो जाती है, तो कोसाइन एक सम फलन है।
• फलन Y=cos(X) अंतराल पर घटता है और अंतराल पर बढ़ता है [π; 2π]। हम इसे अपने फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर सत्यापित कर सकते हैं।
• फलन Y=cos(X) नीचे और ऊपर से घिरा है। यह संपत्ति इस तथ्य से आती है कि
  -1 क्योंकि (एक्स) ≤ 1
• फलन का सबसे छोटा मान -1 है (x = + 2πk के लिए)। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान 1 है (x = 2πk के लिए)।
• फलन Y=cos(X) एक सतत फलन है। आइए ग्राफ को देखें और सुनिश्चित करें कि हमारे फ़ंक्शन में कोई अंतराल नहीं है, जिसका अर्थ है निरंतरता।
• मानों की श्रेणी खंड है [- 1; एक]। यह भी ग्राफ से स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।
• फलन Y=cos(X) एक आवर्त फलन है। आइए फिर से ग्राफ़ को देखें और देखें कि फ़ंक्शन कुछ अंतरालों पर समान मान लेता है।

cos(x) फलन के उदाहरण

1. समीकरण को हल करें cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

हल: आइए फ़ंक्शन के 2 ग्राफ़ बनाएं: y=cos(x) और y=(x - 2π) 2 + 1 (आकृति देखें)।


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 एक परवलय है जिसे दाईं ओर 2π और ऊपर 1 से स्थानांतरित किया गया है। हमारे ग्राफ़ एक बिंदु A (2π; 1) पर प्रतिच्छेद करते हैं, यह उत्तर है: x \u003d 2π।

2. x 0 के लिए फलन Y=cos(X) और x 0 के लिए Y=sin(X) आलेखित करें

समाधान: आवश्यक ग्राफ़ बनाने के लिए, आइए फ़ंक्शन के दो ग्राफ़ को टुकड़े-टुकड़े करके प्लॉट करें। पहला टुकड़ा: y=cos(x) x 0 के लिए। दूसरा टुकड़ा: y=sin(x)
x 0 के लिए। आइए दोनों "टुकड़ों" को एक ग्राफ पर चित्रित करें।

3. खंड [π; पर फलन Y=cos(X) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए। 7π/4]

समाधान: आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और हमारे सेगमेंट [π; 7π/4]। ग्राफ से पता चलता है कि सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खंड के सिरों पर प्राप्त होते हैं: क्रमशः और 7π / 4 बिंदुओं पर।
उत्तर: cos(π) = -1 सबसे छोटा मान है, cos(7π/4) = सबसे बड़ा मान है।

4. फलन y=cos(π/3 - x) + 1 . को आलेखित कीजिए

हल: cos(-x)=cos(x), तब फलन y=cos(x) /3 इकाई के ग्राफ को दाईं ओर और 1 इकाई ऊपर ले जाकर वांछित ग्राफ प्राप्त किया जाएगा।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1) समीकरण हल करें: cos (x) \u003d x - / 2।
2) समीकरण को हल करें: cos(x)= - (x - ) 2 - 1।
3) फलन y=cos(π/4 + x) - 2 को आलेखित करें।
4) फलन y=cos(-2π/3 + x) + 1 आलेखित कीजिए।
5) खण्ड पर फलन y=cos(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।
6) अंतराल पर फलन y=cos(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए [- π/6; 5π/4]।