समतल गोले को हमेशा एक वृत्त में काटता है, जिसे समतल पर इस रूप में प्रक्षेपित किया जा सकता है अंडाकार,हलकोंया खंडसीधी रेखा (चित्र। 70)।

एक प्रक्षेपित विमान द्वारा एक गोले का खंड Ω  पी 2

खंड की परिधि को ललाट तल पर एक सीधी रेखा खंड में प्रक्षेपित किया जाता है साथ में 2 डी 2, लेकिन एक दीर्घवृत्त में अनुमानों के क्षैतिज तल पर, जिसका प्रमुख अक्ष खंड वृत्त के व्यास के बराबर है।

एक प्रमुख धुरी बनाने के लिए लेकिन 1 पर 1 (क्षैतिज प्रक्षेपण, खंड के मध्य का निर्धारण साथ में 2 डी 2, बिंदु के माध्यम से ( लेकिन 2 पर 2) एक समानांतर खींचा जाता है, इस समानांतर का एक क्षैतिज प्रक्षेपण पाया जाता है और अक्ष के बिंदु संचार लाइनों के साथ उस पर निर्धारित होते हैं लेकिन 1 और पर 1.

भूमध्य रेखा पर स्थित बिंदु 1 और 1, P 1 पर दृश्यता की सीमा हैं। मुख्य मध्याह्न रेखा पर स्थित बिंदु 2 और 2, P 3 पर दृश्यता की सीमा हैं।

व्याख्यान संख्या 6 एक्सोनोमेट्रिक अनुमान

1. सामान्य जानकारी। 2. विकृति के संकेतक। 3. एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों के प्रकार। 4. अक्षतंतुमिति में एक वृत्त की रचना।

1 सामान्य जानकारी

तकनीकी चित्र बनाते समय, वस्तुओं के अधिक दृश्य निरूपण करना अक्सर आवश्यक होता है। ऐसी छवियों के निर्माण के लिए, एक्सोनोमेट्रिक प्रोजेक्शन (एक्सोनोमेट्री) का उपयोग किया जाता है।

लेकिन एक्सोनोमेट्री - ग्रीक दो-शब्द शब्द आह इतनाएन – एक्सिसऔर मीटरियो –मैंने नापा.

एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण की विधि में यह तथ्य शामिल है कि वस्तु, समन्वय अक्षों के साथ, जिसे अंतरिक्ष में संदर्भित किया जाता है, समानांतर किरणों द्वारा एक विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है। इस तल को एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों का तल या चित्र तल कहा जाता है (चित्र 71)।

प्रक्षेपण की दिशा किसी भी समन्वय अक्ष के साथ मेल नहीं खाना चाहिए, तो छवि दृश्य है।

स्पष्टता के अलावा, एक्सोनोमेट्रिक अनुमान तीन समन्वय दिशाओं में किसी वस्तु के मापन की भी अनुमति देते हैं।

किसी वस्तु की छवि का निर्माण वस्तु की विशेषता वाले बिंदुओं के फ्रेम के अनुसार किया जाता है, समानांतर प्रक्षेपण के गुणों को ध्यान में रखते हुए: समानांतर रेखाएं एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों पर समानांतर रहती हैं, अनुमानों पर रेखाओं से संबंधित बिंदु एक्सोनोमेट्रिक से संबंधित होते हैं इन पंक्तियों का अनुमान। सभी माप केवल कुल्हाड़ियों के साथ या कुल्हाड़ियों के समानांतर किए जाते हैं। निर्देशांक के अनुसार विशेषता बिंदु बनाए जाते हैं।

के - एक्सोनोमेट्रिक (चित्र) विमान;

एस- प्रक्षेपण की दिशा।

2 विरूपण दर

एक्सोनोमेट्री में समन्वय विधि का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए, कुल्हाड़ियों के साथ विरूपण संकेतक पेश किए जाते हैं।

अंजीर पर। 72 स्थानिक समन्वय प्रणाली को दर्शाता है , एक खंडों इ निर्देशांक अक्षों और दिशा में उनके प्रक्षेपण पर एस किसी विमान को सेवा , जो एक एक्सोनोमेट्रिक प्रोजेक्शन प्लेन है। अनुमानों इ एक्स , इ पर , इ जेड खंड इ संबंधित एक्सोनोमेट्रिक अक्षों पर में सामान्य मामलाखंड के बराबर नहीं इ और बराबर नहीं हैं। सेगमेंट इ एक्स , इ पर , इ जेड एक्सोनोमेट्रिक अक्षों के साथ माप की इकाइयाँ हैं - एक्सोनोमेट्रिक इकाइयाँ (एक्सोनोमेट्रिक स्केल)।

हे एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों में कटौती की लंबाई और खंड की वास्तविक लंबाई के अनुपात को विरूपण सूचकांक (विरूपण कारक) कहा जाता है:

.

विरूपण गुणांक के मूल्य को जानने के बाद, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके, अपने प्राकृतिक निर्देशांक के अनुसार एक बिंदु की एक्सोनोमेट्रिक छवि बनाना संभव है:

एक्स 1 = के एक्स  एक्स; पर 1 = के पर  यू;

जेड 1 = के जेड  जेड .

विरूपण संकेतक संबंधों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं:

आयताकार परिप्रेक्ष्य में:

सेवा एक्स 2  सेवा पर 2  सेवा जेड 2 = 2,

तिरछे परिप्रेक्ष्य में:

सेवा एक्स 2  सेवा पर 2  सेवा जेड 2 = 2  साथटीजी 2 .

चौथा अध्याय

गोल पिंड

द्वितीय गेंद

एक समतल द्वारा गोले का भाग

125. परिभाषा. एक व्यास के चारों ओर अर्धवृत्त के घूमने से उत्पन्न पिंड को कहा जाता है गेंद, और इस मामले में एक अर्धवृत्त द्वारा गठित सतह को कहा जाता है गेंदया गोलाकारसतह। हम यह भी कह सकते हैं कि यह पृष्ठ एक ही बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ है (जिन्हें कहा जाता है) केंद्रगेंद)।

केंद्र को सतह पर किसी बिंदु से मिलाने वाले रेखाखंड को कहते हैं RADIUS, और सतह के दो बिंदुओं को जोड़ने और केंद्र से गुजरने वाले खंड को कहा जाता है व्यासगेंद। एक गेंद की सभी त्रिज्याएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं; प्रत्येक व्यास दो त्रिज्याओं के बराबर होता है।

एक ही त्रिज्या की दो गेंदें बराबर होती हैं, क्योंकि जब घोंसला बनाया जाता है, तो वे संयुक्त हो जाती हैं।

126. प्रमेय। समतल द्वारा गोले का कोई भी भाग एक वृत्त होता है।

1) पहले मान लीजिए कि (चित्र 137) कटिंग प्लेन AB गेंद के केंद्र O से होकर गुजरता है। प्रतिच्छेदन रेखा के सभी बिंदु गोलाकार सतह के हैं और इसलिए बिंदु O से समान रूप से दूर हैं, जो छेदक तल में स्थित है; इसलिए, खंड O पर केंद्रित एक वृत्त है।

2) आइए अब मान लें कि काटने वाला विमान CO केंद्र से नहीं गुजरता है। आइए केंद्र से उस पर periendicular OK ड्रॉप करें और चौराहे पर कुछ बिंदु M लें। इसे O और A से जोड़कर, हमें एक समकोण त्रिभुज IOC मिलता है, जिससे हम पाते हैं:

एमके \u003d OM 2 - ओके 2। (एक)

चूंकि चौराहे की रेखा पर बिंदु एम की स्थिति में परिवर्तन होने पर ओएम और ओके खंडों की लंबाई नहीं बदलती है, दूरी एमके किसी दिए गए खंड के लिए निरंतर मान है; इसका अर्थ है कि प्रतिच्छेदन रेखा एक वृत्त है, जिसका केंद्र बिंदु K है।

127. परिणाम।चलो आर और आरगेंद की त्रिज्या और सेक्शन सर्कल की त्रिज्या की लंबाई होगी, और
डी- केंद्र से सेकेंड प्लेन की दूरी, तो समानता (1) रूप लेगी:
आर=√R 2 - डी 2 .

इस सूत्र से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:

1) सबसे बड़ा खंड त्रिज्या d . पर प्राप्त किया जाता है= 0, यानी। जब काटने वाला विमान गेंद के केंद्र से होकर गुजरता है. इस मामले में आर=आर. इस स्थिति में प्राप्त वृत्त कहलाता है दीर्घ वृत्ताकार.

2) सबसे छोटा अनुभागीय त्रिज्या तब प्राप्त होता है जब डी= आर। इस मामले में आर= 0, यानी सेक्शन सर्कल एक बिंदु बन जाता है।

3) गेंद के केंद्र से समान दूरी की धाराएं बराबर होती हैं।

4) गेंद के केंद्र से असमान रूप से हटाए गए दो खंडों में से, जो केंद्र के करीब है, उसका दायरा बड़ा है।

128. प्रमेय। कोई भी विमान (आर, नरक। 138), गेंद के केंद्र से गुजरते हुए, इसकी सतह को दो सममित और समान भागों में विभाजित करता है।

आइए हम गोले की सतह पर कुछ बिंदु A लेते हैं; मान लीजिए कि AB बिंदु A से समतल P पर गिरा हुआ एक लम्ब है। हम AB को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह गेंद की सतह से बिंदु C पर प्रतिच्छेद न कर दे। BO को खींचने पर हमें दो समान समकोण त्रिभुज प्राप्त होते हैं।
एओबी और बीओसी (सामान्य पैर बीओ, और कर्ण बराबर हैं, जैसे गेंद की त्रिज्या); इसलिए, एबी = बीसी; इस प्रकार, गेंद की सतह के किसी भी बिंदु ए पर इस सतह के एक और बिंदु सी से मेल खाता है, जो बिंदु ए के साथ विमान पी के संबंध में सममित है। इसलिए, विमान पी गेंद की सतह को दो सममित भागों में विभाजित करता है।

ये भाग न केवल सममित हैं, बल्कि समान भी हैं, क्योंकि समतल P के साथ गेंद को काटकर, हम दो भागों में से एक को दूसरे में घोंसला बना सकते हैं और इन भागों को जोड़ सकते हैं।

129. प्रमेय। एक गोलाकार सतह के दो बिंदुओं के माध्यम से जो एक ही व्यास के सिरों पर नहीं होते हैं, एक बड़े वृत्त का एक वृत्त खींचना संभव है और केवल एक .

मान लीजिए कि O केंद्र वाली एक गोलाकार सतह (चित्र 139) पर कुछ दो बिंदु लिए गए हैं, उदाहरण के लिए, C और N, बिंदु O के साथ एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं। फिर बिंदु C, O से N तक एक विमान खींचा जा सकता है। . केंद्र O से गुजरने वाला यह विमान, गोलाकार सतह के साथ चौराहे पर, एक बड़े वृत्त की परिधि देगा।

बड़े वृत्त का एक और वृत्त उन्हीं दो बिंदुओं C और N से होकर नहीं खींचा जा सकता। वास्तव में, एक बड़े वृत्त की कोई भी परिधि, परिभाषा के अनुसार, गेंद के केंद्र से गुजरने वाले समतल में होनी चाहिए; नतीजतन, यदि सी और एन के माध्यम से एक बड़े सर्कल के एक और सर्कल को आकर्षित करना संभव था, तो यह पता चलेगा कि तीन बिंदुओं सी, एन और ओ के माध्यम से, जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं, दो अलग-अलग विमान खींचे जा सकते हैं , जो असंभव है।

130. प्रमेय। दो बड़े वृत्तों की परिधियाँ प्रतिच्छेद करने पर समद्विभाजित होती हैं।

केंद्र O (चित्र 139), दोनों बड़े वृत्तों के तलों पर होने के कारण, उस सीधी रेखा पर स्थित है जिसके साथ ये वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं; इसलिए यह सीधी रेखा दोनों वृत्तों का व्यास है और व्यास वृत्त को समद्विभाजित करता है।

कार्य में विषय पर पाठ के सारांश के लिए एक योजना है: "गेंद। एक विमान द्वारा एक गेंद का खंड" (सार बल्कि योजनाबद्ध है)। इस पाठ की अधिक संपूर्ण तस्वीर के लिए, मैं इसके साथ संलग्न प्रस्तुति, संदर्भ नोट्स, चिंतनशील मानचित्र, साथ ही साथ कंप्यूटर परीक्षण देखने की सलाह देता हूं। सार ओपन सोर्स सॉफ्टवेयर के लिए नए जीईएफ से मेल खाता है।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

प्रस्तुतियों के पूर्वावलोकन का उपयोग करने के लिए, एक Google खाता (खाता) बनाएं और साइन इन करें: https://accounts.google.com

स्लाइड कैप्शन:

हम इतिहास से ज्ञान, कविता से बुद्धि, गणित से अंतर्दृष्टि प्राप्त करते हैं। रोजर बेकन एक कठिन गणितीय समस्या को हल करना एक किले को लेने जैसा है। नाम याकोवलेविच विलेनकिन

ड्राइंग के अनुसार एक समस्या बनाएं और उसे हल करें। एस बी ओ ए 10 सेमी? ?

ड्राइंग के अनुसार एक समस्या बनाएं और उसे हल करें। शंकु के अक्षीय खंड के शीर्ष पर कोण 60 डिग्री है। शंकु का जनक है 10cm । शंकु का व्यास और उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए। एस बी ओ ए 10 सेमी

समस्या का समाधान: त्रिभुज A S B समबाहु है। एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं। हमारे मामले में, जेनरेट्रिक्स व्यास के बराबर है। तो व्यास 10 सेमी है। त्रिभुज ओ एस बी आयताकार है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: एस ओ \u003d √ एस बी 2 - ओबी 2 \u003d एस बी ओ ए

पाठ का विषय बॉल है। एक समतल द्वारा गोले का भाग

पाठ का उद्देश्य: एक गेंद, एक गोले और उनके तत्वों की अवधारणाओं की परिभाषा देना, यह पता लगाने के लिए कि एक विमान द्वारा गेंद के खंड में कौन सी आकृति है

उद्देश्य: गेंद और गोले से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं का अध्ययन करना; यह पता लगाने के लिए कि जब एक गेंद को एक समतल द्वारा काटा जाता है, तो कौन-सी आकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं, यह जानने के लिए कि एक समतल पर गेंद कैसे खींची जाती है; गणितीय भाषण की सटीकता और स्पष्टता विकसित करें, निष्कर्ष पर बहस करना सीखें;

"गोला और गेंद"

गेंद एक पिंड है जिसमें अंतरिक्ष के सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु (गेंद के केंद्र) से दिए गए (गेंद की त्रिज्या) से अधिक दूरी पर नहीं होते हैं। एक गोले की सीमा को गोलाकार सतह या गोला कहा जाता है। गोले के बिंदु गेंद के सभी बिंदु हैं जो केंद्र से त्रिज्या के बराबर दूरी पर हैं। /

t.O - गोले का केंद्र; R गोले की त्रिज्या है; AB - गोले का व्यास - गोले के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला और उसके केंद्र से गुजरने वाला एक खंड। ए, बी - गेंद के बिल्कुल विपरीत बिंदु। ए बी ओ आर

एक गेंद अपने व्यास के चारों ओर एक अक्ष के रूप में अर्धवृत्त के घूर्णन का एक पिंड है /

गोला - अपने व्यास के चारों ओर एक अक्ष के रूप में एक अर्धवृत्त के घूर्णन का एक पिंड /

आवेदन का दायरा /

गोलाकार ज्यामिति की आवश्यकता न केवल खगोलविदों, समुद्री जहाजों के नाविकों, विमानों, अंतरिक्ष यान को होती है, जो सितारों द्वारा उनके निर्देशांक निर्धारित करते हैं, बल्कि खानों, सबवे, सुरंगों के निर्माताओं के साथ-साथ पृथ्वी के बड़े क्षेत्रों के भूगर्भीय सर्वेक्षणों में भी आवश्यक होते हैं। सतह, जब इसकी गोलाकारता को ध्यान में रखना आवश्यक हो जाता है। /

आई चार्जर

एक विमान द्वारा एक गोले के खंड।

/ http://www.etudes.ru/en/sketches/

प्रमेय 1 समतल द्वारा किसी गोले का कोई भी भाग एक वृत्त होता है। इस सर्कल का केंद्र गेंद के केंद्र से काटने वाले विमान तक गिराए गए लंबवत का आधार है। OO "- लंबवत। O" - वृत्त का केंद्र - लंबवत का आधार।

गेंद के केंद्र से गुजरने वाले तल को व्यास तल कहा जाता है। एक व्यास तल वाली गेंद के क्रॉस सेक्शन को एक बड़ा वृत्त कहा जाता है, और एक गोले के क्रॉस सेक्शन को एक बड़ा वृत्त कहा जाता है। बॉल सेक्शन

समस्या का समाधान 29, पृ.337:

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraveniya-b/reshenie-zadach-po-teme-sfera-shar?seconds=0&chapter_id=219

गेंद के उभरने की कहानी। एक बार, घर पर अकेला रह गया, सुंदर पोलुक्रग ने एक छोटे से टिन-फ्रेम वाले दर्पण के सामने कपड़े पहनने और सहवास करने में लंबा समय बिताया और खुद को निहारना बंद नहीं कर सका। "लोगों ने यह प्रशंसा करने के लिए इसे अपने सिर में क्यों लिया कि मैं अच्छा था?" उसने कहा। लोग झूठ बोलते हैं, मैं बिल्कुल भी अच्छा नहीं हूं। लड़कियों ने यह घोषणा क्यों की कि खटंगा गांव में कोई बेहतर लड़का कभी नहीं रहा और न कभी होगा? अर्धवृत्त उसके बारे में कही गई हर बात को जानता और सुनता था, और एक सुंदर आदमी की तरह शालीन था। वह दिन भर शीशे के सामने खुद को निहार सकता था, हर तरफ से खुद को देख रहा था। और अचानक एक चमत्कार हुआ, जब शीशे के सामने अर्धवृत्त घूमा, तो उसने शीशे में अपना प्रतिबिम्ब गेंद के रूप में देखा।

उत्पत्ति के इतिहास से एक गोले को आमतौर पर एक गोले द्वारा सीमित पिंड कहा जाता है, अर्थात। गेंद और गोला अलग-अलग ज्यामितीय निकाय हैं। हालाँकि, बॉल और स्फेयर दोनों शब्द एक ही ग्रीक शब्द "sfire" - बॉल से आए हैं। उसी समय, शब्द "बॉल" व्यंजन sph के श में संक्रमण से बना था। तत्वों की पुस्तक XI में, यूक्लिड एक गोले को एक निश्चित व्यास के चारों ओर घूमते हुए अर्धवृत्त द्वारा वर्णित आकृति के रूप में परिभाषित करता है। प्राचीन काल में, क्षेत्र को उच्च सम्मान में रखा गया था। आकाश के खगोलीय प्रेक्षण हमेशा एक गोले की छवि को उद्घाटित करते हैं। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में इस क्षेत्र का हमेशा व्यापक रूप से उपयोग किया गया है।

उद्देश्य: गेंद और गोले से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं का अध्ययन करना; समस्या समाधान कौशल विकसित करना; यह पता लगाने के लिए कि जब एक गेंद को समतल से काटा जाता है, तो कौन-सी आकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं; गणितीय भाषण की सटीकता और स्पष्टता विकसित करें, निकाले गए निष्कर्षों पर बहस करना सीखें; एक विमान पर गेंद खींचना सीखें;

पाठ के लिए धन्यवाद

पूर्वावलोकन:

विषय पर पाठ का संदर्भ सारांश:

"गेंद। एक विमान द्वारा एक गेंद का खंड»

एक पिंड जिसमें अंतरिक्ष के सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से अधिक दूरी पर नहीं होते हैं, उन्हें दिए गए बिंदु से ________________________________ कहा जाता है।

इस बिंदु को गेंद का _____________________ कहा जाता है।

यह दूरी _____________ गेंद है।

गेंद की सीमा को _________________________________________________, या _________________ कहा जाता है।

गेंद के केंद्र को गोलाकार सतह पर एक बिंदु से जोड़ने वाला खंड _____________ है।

यह गोलाकार सतह के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला और गेंद के केंद्र से गुजरने वाला एक खंड है।

किसी भी व्यास के सिरों को गेंद के _________________________________________ बिंदु कहा जाता है।

गेंद क्रांति का पिंड है। यह एक अर्धवृत्त को उसके व्यास के चारों ओर अक्ष के रूप में घुमाकर प्राप्त किया जाता है।

एक गेंद ड्रा करें। उस पर इसके केंद्र को चिह्नित करें, त्रिज्या और व्यास को खींचे और चिह्नित करें, गेंद के व्यास के विपरीत बिंदुओं को नाम दें।

प्रमेय। समतल द्वारा गोले का कोई भी भाग एक वृत्त होता है। इस सर्कल का केंद्र गेंद के केंद्र से काटने वाले विमान तक गिराए गए लंबवत का आधार है।

व्यास तल, गेंद के _________ से गुजरने वाला तल है।

महान वृत्त गोले का अनुप्रस्थ काट है।

महान वृत्त __________ व्यास तल का अनुप्रस्थ काट है।

चिंतनशील कार्ड छात्र__________

1. निर्धारित शैक्षिक कार्यों के समाधान का मूल्यांकन करें

सीखने के मकसद	हल किया पूरी तरह से	हल किया आंशिक रूप से	हल नहीं किया गया
गेंद और गोले से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं को जानें
समस्याओं को हल करने और प्रमेयों को सिद्ध करने में अर्जित ज्ञान को लागू करना सीखें
"गेंद", "गोलाकार" की अवधारणाओं के इतिहास से परिचित हों
पता लगाएँ कि जब एक गोले को समतल द्वारा काटा जाता है तो कौन-सी आकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं
एक समूह में काम करने की क्षमता विकसित करना
तार्किक सोच विकसित करें
कौशल का निर्माण नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण।
हवाई जहाज़ पर गेंद खींचना सीखें
गणितीय भाषण की सटीकता और स्पष्टता विकसित करें, निकाले गए निष्कर्षों पर बहस करना सीखें

2. व्यक्तिगत वेतन वृद्धि का मूल्यांकन।

की योजना बनाई खोज करना	मुझे पता है		सीखने की योजना बनाई	तकनीकी जानकारी
गेंद और गोले की परिभाषा			समस्याओं को हल करने और प्रमेयों को सिद्ध करने में पहले प्राप्त ज्ञान को लागू करें
एक गोले और गेंद के तत्वों और उनकी परिभाषाओं को जानें			किए गए अनुमानों को सही ठहराएं
जब एक गोले को समतल द्वारा काटा जाता है तो कौन-सी आकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं?			गेंद और उसके तत्वों का चित्र बनाइए
"बॉल", "स्फीयर" शब्दों का इतिहास जानें।			तैयार चित्र के अनुसार कार्यों को संकलित करें

3. आत्मसम्मान।

ए) अपने आप को एक ग्रेड दें जो आपको लगता है कि आप पाठ में अपने काम के लायक हैं।

बी) व्यक्तिगत निष्कर्ष निकालें

पूर्वावलोकन:

समूह 1D में ज्यामिति में कक्षाओं का सारांश।

पाठ का विषय: "गेंद। एक विमान द्वारा एक गेंद का खंड"।

पाठ अवधि: 45 मिनटों।

पाठ्यपुस्तक: "ज्यामिति, ग्रेड 10-11", पोगोरेलोव ए.वी.

पाठ निम्नलिखित आधुनिक शैक्षिक प्रौद्योगिकियों के तत्वों का उपयोग करता है:

• समूह प्रौद्योगिकी
• स्वास्थ्य बचत प्रौद्योगिकियां
• सूचना कंप्यूटर प्रौद्योगिकी

ज्यामिति पढ़ाने का वैचारिक लक्ष्य: तार्किक और अमूर्त सोच, स्थानिक कल्पना और अनुसंधान क्षमताओं का विकास।

पाठ का उद्देश्य: एक गेंद और एक गोले और उनके तत्वों की अवधारणाओं का परिचय दें, पता लगाएँ कि कौन सी आकृति एक समतल द्वारा गेंद के खंड में स्थित है;

कार्य:

गेंद और गोले से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को जानें; गेंद और विमान की पारस्परिक व्यवस्था के प्रकार (विमान द्वारा गेंद का खंड);
- समस्या समाधान कौशल बनाने के लिए;

स्वतंत्र योजना और कार्य के संगठन, आत्मनिरीक्षण और अपनी गतिविधियों को सही करने की क्षमता विकसित करना;

विकास करना गणितीय भाषण की सटीकता और स्पष्टता

गणित में संज्ञानात्मक रुचि पैदा करना;
- सूचना संस्कृति और संचार की संस्कृति को शिक्षित करना;
- शिक्षित अवलोकन, स्वतंत्रता, सामूहिक रूप से काम करने की क्षमता।

सामग्री और उपचारात्मक उपकरण:कंप्यूटर, प्रोजेक्शन स्क्रीन, प्रोजेक्टर।

काम के रूप: समूह कार्य, स्वतंत्र कार्य।

पाठ प्रकार: सबक सीखना।

कक्षाओं के दौरान

I. पाठ शुरू करने की प्रेरणा - 1 मिनट:

अभिवादन।

हम इतिहास से ज्ञान लेते हैं,

कविता में - बुद्धि,

गणित में, अंतर्दृष्टि।
रोजर बेकन

गणित का कठिन प्रश्न हल करना

इसकी तुलना किसी किले पर कब्जा करने से की जा सकती है।

नाम याकोवलेविच विलेनकिन

मैं हैंडआउट पर ध्यान देता हूं और इसके साथ कैसे काम करता हूं(स्लाइड 1)

द्वितीय. छात्रों के ज्ञान की प्राप्ति - 7 मिनट:

ए) कंप्यूटर परीक्षण करना(9-10 लोग)

बी) छात्रों के कंप्यूटर परीक्षण में शामिल नहीं होने के कारण, तैयार ड्राइंग के अनुसार किसी समस्या को संकलित करना और हल करना(समूह के शेष)(स्लाइड 2-4)

ग) पाठ के लिए कार्य के परिणामों और प्रारंभिक अंकों का सारांश (परीक्षण और समस्या समाधान)

III. गतिविधि के लिए आत्मनिर्णय।

इस वर्ष हमने ज्यामिति के खंड का अध्ययन करना शुरू किया जिसे स्टीरियोमेट्री कहा जाता है। स्टीरियोमेट्री क्या अध्ययन करती है?

• मेज को देखो और नाम बताओ कि तुम कौन से शरीर देखते हो?
• प्रिज्म दिखाएं
• सिलेंडर दिखाओ; शंकु
• मेज पर छोड़े गए शरीर का नाम कौन जानता है?
• आपको क्या लगता है कि आज हमारे पाठ का विषय क्या है?
• हमारे पाठ का मुख्य लक्ष्य तैयार करने का प्रयास करें।(एक गेंद और एक गोले और उनके तत्वों की अवधारणाओं का परिचय दें, पता करें कि एक विमान द्वारा गेंद के खंड में कौन सी आकृति है)
• इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए हम स्वयं को कौन से कार्य निर्धारित करेंगे?

(स्लाइड 4-6 विषय, लक्ष्य, कार्य)

नई सामग्री सीखना - 10 मिनट:

ए) विषय तैयार किया गया है, लक्ष्य और उद्देश्य स्पष्ट हैं - नए ज्ञान के लिए आगे।

आइए याद करें कि वे स्कूल में सर्कल को क्या कहते थे?

सादृश्य द्वारा गेंद की परिभाषा देने का प्रयास कौन करेगा, यह देखते हुए कि यह अंतरिक्ष का एक शरीर है? वे गेंद की परिभाषा देते हैं, गेंद की त्रिज्या, गेंद का व्यास। (सादृश्य से, गोले के साथ काम चल रहा है; उसी समय, छात्र संदर्भ नोट भरते हैं)

हम एक विमान पर एक गेंद और उसके तत्वों को चित्रित करना सीखते हैं, इन तत्वों को एक चित्र में दिखाते हैं, पर्यावरण में गोलाकार वस्तुओं को ढूंढते हैंस्लाइड 7-9

आँखों से थकान और तनाव दूर करने के लिए फ़िज़मिनुत्का

बी) पाठ के लक्ष्यों में से एक है: यह पता लगाना कि जब एक गेंद को एक समतल द्वारा काटा जाता है तो कौन से आंकड़े प्राप्त किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आइए याद करें कि शंकु के कौन से वर्ग हो सकते हैं(इंटरनेट के माध्यम से गणितीय अध्ययन का प्रदर्शन)

सोचो, अपनी स्थानिक कल्पना को चालू करो और अनुमान लगाओ कि गेंद में कौन से खंड हो सकते हैं।

महान रूसी गणितज्ञ लोबचेव्स्की ने कहा: "गणित का कोई अधिकार नहीं है। सत्य का एकमात्र तर्क तर्क है।

एक समतल (.....) (10 मिनट) द्वारा गेंद के खंड पर एक प्रमेय तैयार करें और सिद्ध करें

प्रमाण के चरणों की पुनरावृत्ति।

सी) गेंद और क्षेत्र की अवधारणाओं का इतिहास (......)

चतुर्थ। अध्ययन की गई सामग्री का समेकन - 5min

समस्या का समाधान।

जोड़े में काम करें और इंटरनेट का उपयोग करके जांचें

वी पाठ का परिणाम। प्रतिबिंब।

समेकन के लिए प्रश्न:

• एक गेंद क्या है?
• गोलाकार सतह या गोला क्या है?
• एक गोले की त्रिज्या, व्यास, जीवा क्या है?
• कौन-से बिंदु पूर्णतः विपरीत कहलाते हैं?
• गोले के केंद्र से गोले की त्रिज्या से कम दूरी पर एक समतल द्वारा गोले का एक भाग क्या होता है?
• किस तल को गेंद का व्यास तल कहा जाता है?
• एक महान वृत्त, महान वृत्त क्या है?

एक चिंतनशील मानचित्र भरना, यह पता लगाना कि क्या पाठ के सभी उद्देश्यों को प्राप्त किया गया है।

VI. होमवर्क 1 मिनट:

आइटम 58, 59, नंबर 30, 31

होमवर्क निर्देश।

कीवर्ड:गेंद, गोला, गेंद का केंद्र, व्यास, स्पर्शरेखा तल, समरूपता का तल,

गेंदएक पिंड कहा जाता है, जिसमें किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए स्थान से अधिक दूरी पर स्थित अंतरिक्ष के सभी बिंदु शामिल होते हैं।

इस बिंदु को कहा जाता है केंद्र गेंद, और इस दूरी को कहा जाता है RADIUS गेंद। एक गोले की सीमा को गोलाकार सतह कहा जाता है या वृत्त। गेंद के केंद्र को गोलाकार सतह पर एक बिंदु से जोड़ने वाले किसी भी खंड को त्रिज्या कहा जाता है। एक गोलाकार सतह पर दो बिंदुओं को जोड़ने और गोले के केंद्र से गुजरने वाला रेखा खंड कहलाता है व्यास। किसी भी व्यास के सिरे कहलाते हैं बिल्कुल उल्टा गेंद अंक। एक बेलन और शंकु की तरह एक गेंद क्रांति का पिंड है। यह एक अर्धवृत्त को उसके व्यास के चारों ओर अक्ष के रूप में घुमाकर प्राप्त किया जाता है। समतल द्वारा गोले का कोई भी भाग एक वृत्त होता है। इस वृत्त का केंद्र केंद्र से काटने वाले तल पर गिराए गए लंबवत का आधार है। गोले के केंद्र से गुजरने वाले तल को कहते हैं व्यास विमान . व्यास तल द्वारा गेंद के अनुप्रस्थ काट को कहा जाता है दीर्घ वृत्ताकार , और गोले का खंड - महान चक्र गेंद का कोई भी व्यास तल उसका होता है समरूपता का तल . गेंद का केंद्र है समरूपता का केंद्र एक गोलाकार सतह पर एक बिंदु से गुजरने वाले और उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत तल को कहा जाता है स्पर्शरेखा विमान . इस बिंदु को स्पर्श बिंदु कहा जाता है। स्पर्शरेखा तल में गेंद के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है - संपर्क बिंदु। एक गोलाकार सतह के दिए गए बिंदु से इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा स्पर्शरेखा कहलाती है। गोलाकार सतह के किसी भी बिंदु के माध्यम से असीम रूप से कई स्पर्शरेखाएं होती हैं, और ये सभी गेंद के स्पर्शरेखा तल में स्थित होती हैं।

प्रमेय 20.3 . समतल द्वारा गोले का कोई भी भाग एक वृत्त होता है। इस वृत्त का केंद्र गेंद के केंद्र से छेदक पर गिराए गए लंब का आधार है विमान.

प्रमाण। चलो - काटने वाला विमान और ओ - गेंद का केंद्र (चित्र। 453)। आइए हम गेंद के केंद्र से समतल पर एक लंब गिराते हैं और इस लंब के आधार को O" से निरूपित करते हैं।

मान लीजिए कि X समतल से संबंधित गेंद का एक मनमाना बिंदु है। द्वारा प्रमेयपाइथागोरस 0X2 \u003d 00 "2 + O" X2। चूँकि OX गेंद की त्रिज्या R से अधिक नहीं है, इसलिए, अर्थात, समतल द्वारा गेंद के खंड का कोई भी बिंदु बिंदु O से अधिक दूरी पर स्थित नहीं है, इसलिए, यह केंद्र के साथ एक वृत्त से संबंधित है। ओ" और त्रिज्या।

इसके विपरीत, इस वृत्त का कोई भी बिंदु X गेंद का होता है। और इसका मतलब है कि खंड गेंदविमान बिंदु O पर केंद्रित एक वृत्त है। प्रमेय सिद्ध होता है।

गेंद के केंद्र से गुजरने वाले तल को व्यास तल कहा जाता है। व्यास तल द्वारा गेंद के खंड को बड़ा वृत्त (चित्र 454) कहा जाता है, और गोले के खंड को महान वृत्त कहा जाता है।

समस्या (30)। इसके लिए लंबवत एक विमान गोले की त्रिज्या के मध्य बिंदु के माध्यम से खींचा जाता है। प्राप्त भाग का क्षेत्रफल वृहत वृत्त के क्षेत्रफल से किस प्रकार संबंधित है?

फेसला . यदि गेंद की त्रिज्या R है (चित्र 455), तो खंड में वृत्त की त्रिज्या होगी

इस वृत्त के क्षेत्रफल का बड़े वृत्त के क्षेत्रफल से अनुपात है

प्रमेय।समतल द्वारा गोले का कोई भी भाग एक वृत्त होता है। इस सर्कल का केंद्र गेंद के केंद्र से काटने वाले विमान तक गिराए गए लंबवत का आधार है।

प्रमाण। मान लीजिए b कटिंग प्लेन है और O गेंद का केंद्र है (चित्र 453)। आइए गेंद के केंद्र से लंब को समतल b पर छोड़ते हैं और इस लंब के आधार को O" से निरूपित करते हैं।

मान लीजिए X समतल b से संबंधित गेंद का एक मनमाना बिंदु है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, 0X2 \u003d 00 "2 + O" X2। चूँकि OX गेंद की त्रिज्या R से अधिक नहीं है, अर्थात्, समतल b द्वारा गेंद के खंड का कोई भी बिंदु बिंदु O से अधिक दूरी पर स्थित नहीं है, इसलिए, यह केंद्र के साथ एक वृत्त के अंतर्गत आता है। ओ" और त्रिज्या।

इसके विपरीत, इस वृत्त का कोई भी बिंदु X गेंद का होता है। और इसका मतलब है कि विमान द्वारा गेंद का खंड बिंदु O पर केंद्रित एक वृत्त है। प्रमेय सिद्ध हो गया है।

गेंद के केंद्र से गुजरने वाले तल को व्यास तल कहा जाता है। व्यास तल द्वारा गेंद के खंड को बड़ा वृत्त (चित्र 454) कहा जाता है, और गोले के खंड को महान वृत्त कहा जाता है।

कार्य

कार्य 1 . समानांतर विमानों द्वारा त्रिज्या 10 सेमी के एक गोले के दो वर्गों में त्रिज्या 6 हेजहोग और 8 सेमी के बराबर होती है। छेदक विमानों के बीच की दूरी का पता लगाएं।

फेसला। गेंद के केंद्र के समानांतर विमानों में से प्रत्येक की दूरी पाएं:

इस पर निर्भर करते हुए कि गेंद का केंद्र तलों के बीच में है या नहीं, हमें समस्या के दो अलग-अलग उत्तर मिलते हैं:

कार्य 2. दो गेंदों के केंद्रों के बीच की दूरी d है; उनकी त्रिज्या R1 और R2। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जहाँ वे प्रतिच्छेद करते हैं।

फेसला। वांछित त्रिज्या त्रिभुज OMO1 (चित्र 5) की ऊंचाई के रूप में कार्य करती है। त्रिभुज OMO2 का क्षेत्रफल S तीन भुजाओं 001 = d, R1 R2 पर स्थित है और वांछित त्रिज्या r=2S/d है। गेंद के संबंध में एक सीधी रेखा तीन अनिवार्य रूप से अलग-अलग पदों पर भी कब्जा कर सकती है। अर्थात्, यह गेंद की सतह को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकता है, इसे प्रतिच्छेद नहीं कर सकता है, या इसके साथ एक सामान्य बिंदु हो सकता है। बाद के मामले में, इसे गेंद की स्पर्शरेखा कहा जाएगा

टास्क 3 इसके लिए लंबवत एक विमान गोले की त्रिज्या के मध्य बिंदु के माध्यम से खींचा जाता है। प्राप्त भाग का क्षेत्रफल वृहत वृत्त के क्षेत्रफल से किस प्रकार संबंधित है?