(ग्रीक λόγος से - "शब्द", "संबंध" और ἀριθμός - "संख्या") संख्या बीवजह से ए(लॉग α बी) को ऐसी संख्या कहा जाता है सी, और बी= एसी, वह है, लॉग α बी=सीऔर बी = एसीसमकक्ष हैं। लॉगरिदम समझ में आता है अगर a> 0, a 1, b> 0।

दूसरे शब्दों में लोगारित्मनंबर बीवजह से एएक घातांक के रूप में तैयार किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि परिकलन x= log α बी, समीकरण a x =b को हल करने के बराबर है।

उदाहरण के लिए:

लॉग 2 8 = 3 क्योंकि 8=2 3 .

हम ध्यान दें कि लघुगणक का संकेतित सूत्रीकरण तुरंत निर्धारित करना संभव बनाता है लघुगणक मानजब लघुगणक के चिन्ह के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित शक्ति होती है। वास्तव में, लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय विषय से निकटता से संबंधित है संख्या की डिग्री.

लघुगणक की गणना को संदर्भित किया जाता है लोगारित्म. लघुगणक एक लघुगणक लेने की गणितीय क्रिया है। लघुगणक लेते समय, कारकों के उत्पाद शब्दों के योग में बदल जाते हैं।

क्षमतालॉगरिदम के विपरीत गणितीय ऑपरेशन है। पोटेंशियेटिंग करते समय, दिए गए आधार को उस अभिव्यक्ति की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस मामले में, शब्दों का योग कारकों के उत्पाद में बदल जाता है।

अक्सर, आधार 2 (बाइनरी), ई यूलर संख्या ई 2.718 (प्राकृतिक लघुगणक) और 10 (दशमलव) के साथ वास्तविक लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

इस स्तर पर, यह विचार करने योग्य है लघुगणक के नमूनेलॉग 7 2 , एलएन √ 5, एलजी0.0001.

और प्रविष्टियाँ lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में एक ऋणात्मक संख्या लघुगणक के चिन्ह के नीचे रखी गई है, दूसरे में - एक ऋणात्मक संख्या आधार, और तीसरे में - और आधार में लघुगणक और इकाई के संकेत के तहत एक ऋणात्मक संख्या।

लघुगणक के निर्धारण के लिए शर्तें।

ए> 0, ए 1, बी> 0 शर्तों पर अलग से विचार करना उचित है। लघुगणक की परिभाषा।आइए विचार करें कि ये प्रतिबंध क्यों लिए गए हैं। यह हमें x = log α . के रूप की समानता में सहायता करेगा बी, जिसे मूल लघुगणकीय पहचान कहा जाता है, जो सीधे ऊपर दिए गए लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करता है।

शर्त लो ए≠1. चूँकि एक किसी भी घात के बराबर है, तो समानता x=log α बीकेवल तभी मौजूद हो सकता है जब ख = 1, लेकिन लॉग 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या होगी। इस अस्पष्टता को दूर करने के लिए, हम लेते हैं ए≠1.

आइए हम शर्त की आवश्यकता को साबित करें ए>0. पर ए = 0लघुगणक के निर्माण के अनुसार, केवल तभी मौजूद हो सकता है जब बी = 0. और फिर तदनुसार लॉग 0 0कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी शून्येतर घात शून्य होती है। इस अस्पष्टता को दूर करने के लिए शर्त ए≠0. और जब ए<0 हमें लघुगणक के तर्कसंगत और अपरिमेय मूल्यों के विश्लेषण को अस्वीकार करना होगा, क्योंकि तर्कसंगत और अपरिमेय घातांक वाले घातांक को केवल गैर-ऋणात्मक आधारों के लिए परिभाषित किया गया है। यही कारण है कि स्थिति ए>0.

और आखिरी शर्त ख>0असमानता से अनुसरण करता है ए>0, क्योंकि x=लॉग α बी, और एक सकारात्मक आधार के साथ डिग्री का मान एहमेशा सकारात्मक।

लघुगणक की विशेषताएं।

लघुगणकविशिष्ट द्वारा विशेषता विशेषताएँ, जिसके कारण श्रमसाध्य गणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए उनका व्यापक उपयोग हुआ। "लघुगणक की दुनिया में" संक्रमण में, गुणन एक बहुत आसान जोड़ में बदल जाता है, विभाजन घटाव में, और एक शक्ति में वृद्धि और एक जड़ को क्रमशः एक घातांक द्वारा गुणा और विभाजन में बदल दिया जाता है।

लघुगणक का निर्माण और उनके मूल्यों की एक तालिका (त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए) पहली बार 1614 में स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर द्वारा प्रकाशित की गई थी। अन्य वैज्ञानिकों द्वारा विस्तृत और विस्तृत लॉगरिदमिक तालिकाओं का व्यापक रूप से वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणनाओं में उपयोग किया गया था, और जब तक इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर का उपयोग शुरू नहीं हुआ तब तक प्रासंगिक बने रहे।

समाज के विकास के साथ-साथ उत्पादन की जटिलता, गणित का भी विकास हुआ। सरल से जटिल की ओर गति। जोड़ और घटाव की सामान्य लेखांकन पद्धति से, उनकी बार-बार पुनरावृत्ति के साथ, वे गुणा और भाग की अवधारणा पर आए। बार-बार होने वाले ऑपरेशन में कमी घातांक की अवधारणा बन गई। आधार पर संख्याओं की निर्भरता और घातांक की संख्या की पहली तालिकाएँ भारतीय गणितज्ञ वरसेना द्वारा 8वीं शताब्दी में संकलित की गई थीं। उनसे, आप लघुगणक की घटना के समय की गणना कर सकते हैं।

ऐतिहासिक रूपरेखा

16वीं शताब्दी में यूरोप के पुनरुद्धार ने यांत्रिकी के विकास को भी प्रेरित किया। टी गणना की एक बड़ी मात्रा की आवश्यकता हैबहु-अंकीय संख्याओं के गुणन और विभाजन से संबंधित। प्राचीन तालिकाओं ने बहुत अच्छी सेवा की। उन्होंने जटिल कार्यों को सरल लोगों के साथ बदलना संभव बना दिया - जोड़ और घटाव। एक बड़ा कदम आगे 1544 में प्रकाशित गणितज्ञ माइकल स्टीफेल का काम था, जिसमें उन्होंने कई गणितज्ञों के विचार को महसूस किया। इससे न केवल अभाज्य संख्याओं के रूप में अंशों के लिए, बल्कि मनमाने परिमेय संख्याओं के लिए भी तालिकाओं का उपयोग करना संभव हो गया।

1614 में, स्कॉट्समैन जॉन नेपियर ने इन विचारों को विकसित करते हुए, पहली बार "एक संख्या का लघुगणक" शब्द पेश किया। साइन और कोसाइन के लघुगणक, साथ ही स्पर्शरेखाओं की गणना के लिए नई जटिल तालिकाएँ संकलित की गईं। इसने खगोलविदों के काम को बहुत कम कर दिया।

नई तालिकाएँ दिखाई देने लगीं, जिनका वैज्ञानिकों द्वारा तीन शताब्दियों तक सफलतापूर्वक उपयोग किया गया। बीजगणित में नए ऑपरेशन को अपना तैयार रूप हासिल करने से पहले बहुत समय बीत गया। लघुगणक को परिभाषित किया गया और इसके गुणों का अध्ययन किया गया।

केवल 20वीं शताब्दी में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन के साथ, मानव जाति ने उन प्राचीन तालिकाओं को त्याग दिया जो 13वीं शताब्दी में सफलतापूर्वक संचालित हो रही थीं।

आज हम संख्या x को आधार बनाने के लिए b का लघुगणक कहते हैं, जो कि संख्या b प्राप्त करने के लिए a की घात है। यह एक सूत्र के रूप में लिखा गया है: x = log a(b)।

उदाहरण के लिए, लॉग 3(9) 2 के बराबर होगा। यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं तो यह स्पष्ट है। यदि हम 3 को 2 के घात तक बढ़ाते हैं, तो हमें 9 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, तैयार की गई परिभाषा केवल एक प्रतिबंध लगाती है, संख्याएँ a और b वास्तविक होनी चाहिए।

लघुगणक की किस्में

शास्त्रीय परिभाषा को वास्तविक लघुगणक कहा जाता है और यह वास्तव में समीकरण a x = b का समाधान है। विकल्प a = 1 सीमा रेखा है और इसमें कोई रुचि नहीं है। नोट: किसी भी घात के लिए 1 होता है।

लघुगणक का वास्तविक मूल्यकेवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आधार और तर्क 0 से अधिक हों, और आधार 1 के बराबर न हो।

गणित के क्षेत्र में विशेष स्थानलघुगणक खेलें, जिनका नाम उनके आधार के मान के आधार पर रखा जाएगा:

नियम और प्रतिबंध

लघुगणक का मूल गुण नियम है: किसी उत्पाद का लघुगणक लघुगणक योग के बराबर होता है। लॉग एबीपी = लॉग ए (बी) + लॉग ए (पी)।

इस कथन के एक प्रकार के रूप में, यह होगा: लॉग सी (बी / पी) \u003d लॉग सी (बी) - लॉग सी (पी), भागफल फ़ंक्शन फ़ंक्शन के अंतर के बराबर है।

पिछले दो नियमों से यह देखना आसान है कि: लॉग ए (बी पी) = पी * लॉग ए (बी)।

अन्य गुणों में शामिल हैं:

टिप्पणी। सामान्य गलती न करें - योग का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर नहीं होता है।

कई शताब्दियों के लिए, लघुगणक को खोजने का कार्य काफी समय लेने वाला कार्य था। गणितज्ञों ने बहुपद में विस्तार के लघुगणकीय सिद्धांत के प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग किया:

एलएन (1 + एक्स) = एक्स - (एक्स^2)/2 + (एक्स^3)/3 - (एक्स^4)/4 + ... + ((-1)^(एन + 1))* ((x^n)/n), जहां n 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, जो गणना की सटीकता को निर्धारित करता है।

अन्य आधारों के साथ लघुगणक की गणना एक आधार से दूसरे आधार में संक्रमण और उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति पर प्रमेय का उपयोग करके की गई थी।

चूंकि यह विधि बहुत श्रमसाध्य है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समयलागू करना मुश्किल था, उन्होंने लॉगरिदम की पूर्व-संकलित तालिकाओं का उपयोग किया, जिससे पूरे काम में तेजी आई।

कुछ मामलों में, लघुगणक के विशेष रूप से संकलित रेखांकन का उपयोग किया गया था, जो कम सटीकता देता था, लेकिन वांछित मूल्य की खोज में काफी तेजी लाता था। फ़ंक्शन का वक्र y = लॉग a(x), कई बिंदुओं पर निर्मित, किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्यों को खोजने के लिए सामान्य शासक का उपयोग करने की अनुमति देता है। लंबे समय तक, इंजीनियरों ने इन उद्देश्यों के लिए तथाकथित ग्राफ पेपर का इस्तेमाल किया।

17वीं शताब्दी में, पहली सहायक एनालॉग कंप्यूटिंग स्थितियां सामने आईं, जिन्होंने 19वीं शताब्दी तक एक पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया था। सबसे सफल उपकरण को स्लाइड नियम कहा जाता था। डिवाइस की सादगी के बावजूद, इसकी उपस्थिति ने सभी इंजीनियरिंग गणनाओं की प्रक्रिया को काफी तेज कर दिया है, और इसे कम करना मुश्किल है। वर्तमान में, बहुत कम लोग इस उपकरण से परिचित हैं।

कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन ने किसी भी अन्य उपकरण का उपयोग करना व्यर्थ बना दिया है।

समीकरण और असमानता

लघुगणक का उपयोग करके विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

• एक आधार से दूसरे में संक्रमण: लॉग ए (बी) = लॉग सी (बी) / लॉग सी (ए);
• पिछले संस्करण के परिणामस्वरूप: लॉग ए (बी) = 1 / लॉग बी (ए)।

असमानताओं को हल करने के लिए, यह जानना उपयोगी है:

• लघुगणक का मान तभी धनात्मक होगा जब आधार और तर्क दोनों एक से अधिक या कम हों; यदि कम से कम एक शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो लघुगणक का मान ऋणात्मक होगा।
• यदि लघुगणक फलन असमानता के दाएँ और बाएँ पक्षों पर लागू होता है, और लघुगणक का आधार एक से बड़ा होता है, तो असमानता चिह्न संरक्षित रहता है; अन्यथा, यह बदल जाता है।

कार्य उदाहरण

लघुगणक और उनके गुणों का उपयोग करने के लिए कई विकल्पों पर विचार करें। समीकरणों को हल करने के उदाहरण:

लघुगणक को डिग्री में रखने के विकल्प पर विचार करें:

• कार्य 3. 25^लॉग 5(3) की गणना करें। समाधान: समस्या की स्थितियों में, संकेतन निम्न (5^2)^log5(3) या 5^(2 * log 5(3)) के समान है। आइए इसे अलग तरह से लिखें: 5^लॉग 5(3*2), या किसी संख्या के वर्ग को फ़ंक्शन तर्क के रूप में फ़ंक्शन के वर्ग के रूप में ही लिखा जा सकता है (5^लॉग 5(3))^2। लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, यह व्यंजक 3^2 है। उत्तर: गणना के परिणामस्वरूप हमें 9 प्राप्त होते हैं।

प्रायोगिक उपयोग

विशुद्ध रूप से गणितीय उपकरण होने के नाते, यह वास्तविक जीवन से बहुत दूर लगता है कि वास्तविक दुनिया में वस्तुओं का वर्णन करने में लघुगणक ने अचानक बहुत महत्व प्राप्त कर लिया है। ऐसा विज्ञान खोजना मुश्किल है जहां इसका उपयोग नहीं किया जाता है। यह पूरी तरह से न केवल प्राकृतिक पर लागू होता है, बल्कि ज्ञान के मानविकी क्षेत्रों पर भी लागू होता है।

लॉगरिदमिक निर्भरता

यहाँ संख्यात्मक निर्भरता के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यांत्रिकी और भौतिकी

ऐतिहासिक रूप से, यांत्रिकी और भौतिकी हमेशा गणितीय अनुसंधान विधियों का उपयोग करके विकसित हुए हैं और साथ ही साथ गणित के विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया है, जिसमें लॉगरिदम भी शामिल है। भौतिकी के अधिकांश नियमों का सिद्धांत गणित की भाषा में लिखा जाता है। हम लघुगणक का उपयोग करते हुए भौतिक नियमों के विवरण के केवल दो उदाहरण देते हैं।

Tsiolkovsky सूत्र का उपयोग करके रॉकेट की गति के रूप में इतनी जटिल मात्रा की गणना करने की समस्या को हल करना संभव है, जिसने अंतरिक्ष अन्वेषण के सिद्धांत की नींव रखी:

वी = मैं * एलएन(एम1/एम2), जहां

• V वायुयान की अंतिम गति है।
• मैं इंजन का विशिष्ट आवेग है।
• एम 1 रॉकेट का प्रारंभिक द्रव्यमान है।
• एम 2 - अंतिम द्रव्यमान।

एक और महत्वपूर्ण उदाहरण- यह एक अन्य महान वैज्ञानिक मैक्स प्लैंक के सूत्र में उपयोग है, जो थर्मोडायनामिक्स में संतुलन की स्थिति का मूल्यांकन करने का कार्य करता है।

एस = के * एलएन (Ω), जहां

• S एक ऊष्मागतिकीय गुण है।
• k बोल्ट्जमान नियतांक है।
• Ω विभिन्न राज्यों का सांख्यिकीय भार है।

रसायन विज्ञान

लघुगणक के अनुपात वाले रसायन विज्ञान में सूत्रों का उपयोग कम स्पष्ट होगा। यहाँ सिर्फ दो उदाहरण हैं:

• नर्नस्ट समीकरण, पदार्थों की गतिविधि और संतुलन स्थिरांक के संबंध में माध्यम की रेडॉक्स क्षमता की स्थिति।
• ऑटोप्रोलिसिस इंडेक्स और समाधान की अम्लता जैसे स्थिरांक की गणना भी हमारे कार्य के बिना पूरी नहीं होती है।

मनोविज्ञान और जीव विज्ञान

और यह पूरी तरह से समझ से बाहर है कि मनोविज्ञान का इससे क्या लेना-देना है। यह पता चला है कि इस फ़ंक्शन द्वारा संवेदना की ताकत को उत्तेजना के तीव्रता मूल्य के कम तीव्रता मूल्य के विपरीत अनुपात के रूप में अच्छी तरह से वर्णित किया गया है।

उपरोक्त उदाहरणों के बाद, अब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि जीव विज्ञान में लघुगणक का विषय भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लॉगरिदमिक सर्पिल के अनुरूप जैविक रूपों के बारे में संपूर्ण खंड लिखे जा सकते हैं।

अन्य क्षेत्र

ऐसा लगता है कि इस कार्य के संबंध के बिना दुनिया का अस्तित्व असंभव है, और यह सभी कानूनों को नियंत्रित करता है। खासकर जब प्रकृति के नियम ज्यामितीय प्रगति से जुड़े हों। यह MatProfi वेबसाइट को संदर्भित करने योग्य है, और गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में ऐसे कई उदाहरण हैं:

सूची अंतहीन हो सकती है। इस समारोह के बुनियादी नियमों में महारत हासिल करने के बाद, आप अनंत ज्ञान की दुनिया में उतर सकते हैं।

आदिम स्तर के बीजगणित के तत्वों में से एक लघुगणक है। यह नाम ग्रीक भाषा से "संख्या" या "डिग्री" शब्द से आया है और इसका अर्थ है कि अंतिम संख्या खोजने के लिए आधार पर संख्या को बढ़ाने के लिए आवश्यक डिग्री।

लघुगणक के प्रकार

• लॉग ए बी संख्या बी का आधार ए (ए> 0, ए ≠ 1, बी> 0) का लॉगरिदम है;
• एलजी बी - दशमलव लघुगणक (लघुगणक आधार 10, ए = 10);
• एलएन बी - प्राकृतिक लॉगरिदम (लघुगणक आधार ई, ए = ई)।

लघुगणक कैसे हल करें?

आधार a से संख्या b का लघुगणक एक घातांक है, जिसके लिए आधार a को संख्या b तक बढ़ाना आवश्यक है। परिणाम इस तरह उच्चारित किया जाता है: "बी का लॉगरिदम टू बेस ए"। लॉगरिदमिक समस्याओं का समाधान यह है कि आपको दी गई डिग्री को निर्दिष्ट संख्याओं द्वारा संख्याओं द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है। लघुगणक को निर्धारित करने या हल करने के साथ-साथ संकेतन को बदलने के लिए कुछ बुनियादी नियम हैं। उनका उपयोग करके, लॉगरिदमिक समीकरण हल किए जाते हैं, व्युत्पन्न पाए जाते हैं, इंटीग्रल हल किए जाते हैं, और कई अन्य ऑपरेशन किए जाते हैं। मूल रूप से, लघुगणक का समाधान ही इसका सरलीकृत अंकन है। नीचे मुख्य सूत्र और गुण हैं:

किसी के लिए; ए > 0; a 1 और किसी भी x के लिए; वाई> 0।

• a log a b = b मूल लघुगणकीय पहचान है
• लॉग ए 1 = 0
• लॉग ए = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• लॉग a x/ y = लॉग a x – लॉग a y
• लॉग ए 1/x = -लॉग ए x
• लॉग a x p = p लॉग a x
• लॉग a k x = 1/k लॉग a x , k 0 . के लिए
• लॉग a x = लॉग a c x c
• लॉग ए एक्स \u003d लॉग बी एक्स / लॉग बी ए - एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र
• लॉग एक्स = 1/लॉग एक्स ए

लघुगणक कैसे हल करें - हल करने के लिए चरण दर चरण निर्देश

• सबसे पहले, आवश्यक समीकरण लिखिए।

कृपया ध्यान दें: यदि आधार लघुगणक 10 है, तो रिकॉर्ड छोटा हो जाता है, एक दशमलव लघुगणक प्राप्त होता है। यदि कोई प्राकृतिक संख्या ई है, तो हम एक प्राकृतिक लघुगणक को कम करते हुए लिखते हैं। इसका अर्थ है कि सभी लघुगणक का परिणाम वह शक्ति है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाया जाता है।

सीधे तौर पर, समाधान इस डिग्री की गणना में निहित है। किसी व्यंजक को लघुगणक के साथ हल करने से पहले, इसे नियम के अनुसार सरल बनाना चाहिए, अर्थात सूत्रों का उपयोग करना। आप लेख में थोड़ा पीछे जाकर मुख्य पहचान पा सकते हैं।

दो अलग-अलग संख्याओं के साथ लेकिन एक ही आधार के साथ लॉगरिदम जोड़ते और घटाते समय, क्रमशः बी और सी के उत्पाद या विभाजन के साथ एकल लॉगरिदम के साथ प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, आप संक्रमण सूत्र को दूसरे आधार पर लागू कर सकते हैं (ऊपर देखें)।

यदि आप लघुगणक को सरल बनाने के लिए व्यंजकों का उपयोग कर रहे हैं, तो कुछ सीमाएँ हैं जिनके बारे में पता होना चाहिए। और वह है: लघुगणक का आधार a केवल एक धनात्मक संख्या है, लेकिन एक के बराबर नहीं है। संख्या b, जैसे a, शून्य से बड़ी होनी चाहिए।

ऐसे मामले हैं जब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के बाद, आप संख्यात्मक रूप में लघुगणक की गणना करने में सक्षम नहीं होंगे। ऐसा होता है कि इस तरह की अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि कई डिग्री अपरिमेय संख्याएं हैं। इस शर्त के तहत, संख्या की शक्ति को लघुगणक के रूप में छोड़ दें।

किसी संख्या का लघुगणक एन वजह से ए घातांक कहा जाता है एक्स , जिसके लिए आपको उठाने की जरूरत है ए नंबर पाने के लिए एन

उसे उपलब्ध कराया
,
,

यह लघुगणक की परिभाषा से इस प्रकार है कि
, अर्थात।
- यह समानता मूल लघुगणकीय पहचान है।

आधार 10 के लघुगणक दशमलव लघुगणक कहलाते हैं। के बजाय
लिखना
.

आधार लघुगणक इ प्राकृतिक और निरूपित कहलाते हैं
.

लघुगणक के मूल गुण।

किसी भी आधार के लिए एकता का लघुगणक शून्य होता है

उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

3) भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है

कारक
आधार पर लघुगणक से संक्रमण का मापांक कहलाता है ए आधार पर लघुगणक के लिए बी .

गुण 2-5 का उपयोग करते हुए, एक जटिल व्यंजक के लघुगणक को लघुगणक पर सरल अंकगणितीय संक्रियाओं के परिणाम तक कम करना अक्सर संभव होता है।

उदाहरण के लिए,

लघुगणक के ऐसे परिवर्तनों को लघुगणक कहा जाता है। लघुगणक के पारस्परिक परिवर्तन को पोटेंशिएशन कहा जाता है।

अध्याय 2. उच्च गणित के तत्व।

1. सीमाएं

कार्य सीमा
एक परिमित संख्या A है यदि, प्रयास करते समय xx 0 प्रत्येक पूर्व निर्धारित के लिए
, एक संख्या है
कि जैसे ही
, तब
.

एक फ़ंक्शन जिसकी एक सीमा होती है, वह इससे एक असीम राशि से भिन्न होता है:
, जहां - b.m.w., यानी।
.

उदाहरण। समारोह पर विचार करें
.

प्रयास करते समय
, समारोह आप शून्य हो जाता है:

1.1. सीमा के बारे में बुनियादी प्रमेय।

स्थिर मान की सीमा इस स्थिर मान के बराबर होती है

.

कार्यों की एक सीमित संख्या के योग (अंतर) की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के योग (अंतर) के बराबर है।

सीमित संख्या में फलनों के गुणनफल की सीमा इन फलनों की सीमाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

दो फलनों के भागफल की सीमा इन फलनों की सीमा के भागफल के बराबर होती है यदि हर की सीमा शून्य के बराबर न हो।

उल्लेखनीय सीमाएं

,
, कहाँ पे

1.2. सीमा गणना उदाहरण

हालांकि, सभी सीमाओं की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। अधिक बार, सीमा की गणना प्रकार की अनिश्चितता के प्रकटीकरण के लिए कम हो जाती है: या ।

.

2. एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

चलो एक समारोह है
, खंड पर निरंतर
.

बहस कुछ बढ़ावा मिला
. फिर समारोह बढ़ाया जाएगा
.

तर्क मूल्य फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है
.

तर्क मूल्य
फ़ंक्शन के मान से मेल खाता है।

इसलिये, ।

आइए इस संबंध की सीमा ज्ञात करें
. यदि यह सीमा मौजूद है, तो इसे दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है।

किसी दिए गए फ़ंक्शन के 3 व्युत्पन्न की परिभाषा
तर्क से तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है, जब तर्क की वृद्धि मनमाने ढंग से शून्य हो जाती है।

फ़ंक्शन व्युत्पन्न
निम्नानुसार निरूपित किया जा सकता है:

; ; ; .

परिभाषा 4 किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव।

2.1. व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

किसी कठोर पिंड या भौतिक बिंदु की सीधी गति पर विचार करें।

चलो किसी समय गतिमान बिंदु
दूर था प्रारंभिक स्थिति से
.

कुछ समय के बाद
वह दूर चली गई
. रवैया =- एक भौतिक बिंदु की औसत गति
. आइए हम इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि
.

नतीजतन, समय के संबंध में पथ के व्युत्पन्न को खोजने के लिए भौतिक बिंदु के तात्कालिक वेग का निर्धारण कम हो जाता है।

2.2. व्युत्पन्न का ज्यामितीय मान

मान लीजिए कि हमारे पास ग्राफिक रूप से परिभाषित कुछ फ़ंक्शन है
.

चावल। 1. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

यदि एक
, फिर बिंदु
, वक्र के साथ आगे बढ़ेगा, बिंदु पर पहुंचेगा
.

इसलिये
, अर्थात। व्युत्पन्न का मान तर्क का मान दिया गया है संख्यात्मक रूप से अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा द्वारा बनाए गए कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होती है
.

2.3. बुनियादी भेदभाव सूत्रों की तालिका।

ऊर्जा समीकरण

घातांक प्रकार्य

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन

त्रिकोणमितीय फलन

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य

2.4. विभेदन नियम।

का व्युत्पन्न

कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न

दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

2.5. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

चलो समारोह
जैसे कि इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

और
, जहां चर एक मध्यवर्ती तर्क है, तो

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न x के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उदाहरण 1।

उदाहरण 2।

3. फ़ंक्शन अंतर।

उसे वही रहने दो
, कुछ अंतराल पर अवकलनीय
जाने दो पर इस फ़ंक्शन का एक व्युत्पन्न है

,

तो आप लिख सकते हैं

(1),

कहाँ पे - एक असीम मात्रा,

क्योंकि अत

समानता के सभी पदों को गुणा करना (1) द्वारा
अपने पास:

कहाँ
- बी.एम.वी. उच्च आदेश।

मूल्य
फ़ंक्शन का अंतर कहा जाता है
और निरूपित

.

3.1. अंतर का ज्यामितीय मूल्य।

चलो समारोह
.

रेखा चित्र नम्बर 2। अंतर का ज्यामितीय अर्थ।

.

जाहिर है, फ़ंक्शन का अंतर
दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के बराबर है।

3.2. विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव और अंतर।

अगर वहाँ
, तब
प्रथम व्युत्पन्न कहलाता है।

पहले अवकलज के अवकलज को द्वितीय कोटि का अवकलज कहा जाता है और इसे लिखा जाता है
.

फलन के nवें क्रम का व्युत्पन्न
(n-1) क्रम का व्युत्पन्न कहा जाता है और लिखा जाता है:

.

किसी फ़ंक्शन के अंतर के अंतर को दूसरा अंतर या दूसरे क्रम का अंतर कहा जाता है।

.

.

3.3 विभेदीकरण का उपयोग करके जैविक समस्याओं को हल करना।

कार्य 1। अध्ययनों से पता चला है कि सूक्ष्मजीवों के एक उपनिवेश का विकास कानून का पालन करता है
, कहाँ पे एन - सूक्ष्मजीवों की संख्या (हजारों में), टी - समय (दिन)।

ख) क्या इस अवधि के दौरान कॉलोनी की आबादी बढ़ेगी या घटेगी?

जवाब। कॉलोनी का आकार बढ़ेगा।

कार्य 2. रोगजनक बैक्टीरिया की सामग्री को नियंत्रित करने के लिए झील के पानी का समय-समय पर परीक्षण किया जाता है। द्वारा टी परीक्षण के कुछ दिनों बाद, बैक्टीरिया की सांद्रता अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है

.

झील में बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता कब आएगी और उसमें तैरना संभव होगा?

हल एक फलन अधिकतम या न्यूनतम तक पहुँच जाता है जब उसका अवकलज शून्य होता है।

,

आइए निर्धारित करें कि अधिकतम या न्यूनतम 6 दिनों में होगा। ऐसा करने के लिए, हम दूसरा व्युत्पन्न लेते हैं।

उत्तर: 6 दिनों के बाद बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता होगी।

लघुगणक की परिभाषा

संख्या b से आधार a तक का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको b प्राप्त करने के लिए a को ऊपर उठाने की आवश्यकता होती है।

संख्या ईगणित में, यह उस सीमा को निरूपित करने के लिए प्रथागत है जिस तक व्यंजक का झुकाव होता है

संख्या ईएक अपरिमेय संख्या- एक के साथ अतुलनीय संख्या, इसे पूर्ण रूप से या भिन्न के रूप में बिल्कुल व्यक्त नहीं किया जा सकता है विवेकीसंख्या।

पत्र इ- एक लैटिन शब्द का पहला अक्षर एक्सोनरे- फ्लॉन्ट करना, इसलिए गणित में नाम घातीय- घातांक प्रकार्य।

संख्या इगणित में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और सभी विज्ञानों में, एक तरह से या किसी अन्य गणितीय गणनाओं का उपयोग उनकी आवश्यकताओं के लिए किया जाता है।

लघुगणक। लघुगणक के गुण

परिभाषा: एक धनात्मक संख्या b का आधार लघुगणक वह घातांक c है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

मूल लघुगणकीय पहचान:

7) नए आधार पर संक्रमण का सूत्र:

lna = लॉग ई ए, ई 2.718…

"लघुगणक" विषय पर कार्य और परीक्षण। लघुगणक के गुण »

• लघुगणक - गणित में परीक्षा दोहराने के लिए महत्वपूर्ण विषय

इस विषय पर कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुण, मूल लघुगणकीय पहचान, दशमलव की परिभाषा और प्राकृतिक लघुगणक का ज्ञान होना चाहिए। इस विषय पर मुख्य प्रकार के कार्य लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों की गणना और रूपांतरण के लिए कार्य हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर उनके समाधान पर विचार करें।

फेसला:लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

फेसला:डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

1) (2 2) लघुगणक 2 5 =(2 लघुगणक 25) 2 =5 2 =25

लघुगणक, सूत्र और प्रमाण के गुण।

लघुगणक में कई विशिष्ट गुण होते हैं। इस लेख में, हम मुख्य का विश्लेषण करेंगे लघुगणक के गुण. यहां हम उनके सूत्र देते हैं, लघुगणक के गुणों को सूत्रों के रूप में लिखते हैं, उनके अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाते हैं, और लघुगणक के गुणों का प्रमाण भी देते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

लघुगणक, सूत्रों के मूल गुण

याद रखने और उपयोग करने में आसानी के लिए, हम प्रस्तुत करते हैं लघुगणक के मूल गुणसूत्रों की सूची के रूप में। अगले भाग में हम उनके सूत्र, प्रमाण, उपयोग के उदाहरण और आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे।

यूनिट लॉग प्रॉपर्टी: किसी भी a>0 , a≠1 के लिए 1=0 लॉग करें।

आधार के बराबर किसी संख्या का लघुगणक: a>0 , a≠1 के लिए a a=1 लॉग करें।

आधार अंश लघुगणक गुण: log a a p =p , जहाँ a>0 , a≠1 और p कोई वास्तविक संख्या है।

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
और n धनात्मक संख्याओं के गुणनफल के लघुगणक का गुण: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0 ।

निजी लघुगणक संपत्ति: , जहां a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ।

किसी संख्या की घात का लघुगणक: log a b p =p log a |b| , जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।

परिणाम: , जहां a>0 , a≠1 , n एक से बड़ी प्राकृत संख्या है, b>0 ।

परिणाम 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 ।

परिणाम 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p और q वास्तविक संख्याएं हैं, q≠0 , विशेष रूप से, b=a के लिए हमारे पास है .

संपत्तियों के विवरण और प्रमाण

हम लघुगणक के रिकॉर्ड किए गए गुणों के निर्माण और प्रमाण को पास करते हैं। लघुगणक के सभी गुण लघुगणक की परिभाषा और उससे आने वाली मूल लघुगणकीय पहचान के साथ-साथ डिग्री के गुणों के आधार पर सिद्ध होते हैं।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एकता के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी के लिए a>0 , a≠1 । प्रमाण सीधा है: चूंकि a 0 =1 किसी भी a के लिए जो उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो सिद्ध समानता लॉग a 1=0 तुरंत लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है।

आइए मानी गई संपत्ति के आवेदन के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0 , lg1=0 तथा ।

आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर किसी संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए = 1 a>0 , a≠1 के लिए। वास्तव में, चूंकि a 1 =a किसी भी a के लिए है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार a a=1 लॉग करें।

लघुगणक के इस गुण का उपयोग करने के उदाहरण हैं log 5 5=1 , log 5.6 5.6 और lne=1 ।

लघुगणक के आधार के बराबर किसी संख्या की घात का लघुगणक घातांक के बराबर होता है. लघुगणक की यह संपत्ति फॉर्म के सूत्र से मेल खाती है लॉग एपी = पी, जहां a>0 , a≠1 और p कोई वास्तविक संख्या है। यह गुण लघुगणक की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है। ध्यान दें कि यह आपको लॉगरिदम के मूल्य को तुरंत निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है, यदि आधार की डिग्री के रूप में लॉगरिदम के संकेत के तहत संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव है, तो हम लेख में लॉगरिदम की गणना में इसके बारे में अधिक बात करेंगे।

उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 2 7 =7 , लघुगणक 10 -4 = -4 और .

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर हैं: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 । आइए हम उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x + log a y =a log a x a log a y , और चूंकि मुख्य लघुगणकीय पहचान द्वारा a log a x =x और log a y =y , तो a log a x a log a y =x y । इस प्रकार, a log a x+log a y =x y , जहां से आवश्यक समानता लघुगणक की परिभाषा के अनुसार होती है।

आइए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3)=लॉग 5 2+लॉग 5 3 और .

गुणनफल लघुगणक गुण को धनात्मक संख्याओं x 1, x 2, …, x n की एक परिमित संख्या n के गुणनफल के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग a (x 1 x 2 ... x n)= लॉग a x 1 +लॉग a x 2 +...+लॉग a x n. इस समानता को गणितीय आगमन विधि द्वारा आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणकों के योग से बदला जा सकता है।

दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर हैं। भागफल लघुगणक की संपत्ति फॉर्म के सूत्र से मेल खाती है , जहाँ a>0 , a≠1 , x और y कुछ धनात्मक संख्याएँ हैं। इस सूत्र की वैधता उत्पाद के लघुगणक के सूत्र की तरह सिद्ध होती है: चूँकि , फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार .

लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

चलिए आगे बढ़ते हैं डिग्री के लघुगणक की संपत्ति. एक डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। हम डिग्री के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखते हैं: लॉग ए बी पी = पी लॉग ए |बी|, जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।

हम पहले इस गुण को धनात्मक b के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को a log a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी व्यंजक, power गुण के कारण, a p log a b के बराबर होता है। इसलिए हम समानता b p =a p log a b पर पहुंचते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p log a b ।

यह इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना शेष है। यहाँ हम ध्यान दें कि व्यंजक लॉग a b p ऋणात्मक b के लिए केवल सम घातांक p के लिए अर्थ रखता है (क्योंकि घात b p का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई अर्थ नहीं होगा), और इस स्थिति में b p =|b| पी । तब b p=|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , कहाँ से लॉग a b p =p log a |b| .

उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 ।

यह पिछली संपत्ति से इस प्रकार है जड़ से लघुगणक की संपत्ति: nth डिग्री के मूल का लघुगणक भिन्न 1/n के गुणनफल और मूल व्यंजक के लघुगणक के बराबर होता है, अर्थात, जहां a>0, a≠1, n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, बी> 0।

सबूत एक समानता पर आधारित है (एक भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा देखें), जो किसी भी सकारात्मक b के लिए मान्य है, और डिग्री के लघुगणक की संपत्ति: .

इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

चलिए अब साबित करते हैं लघुगणक के नए आधार में रूपांतरण सूत्रतरह . ऐसा करने के लिए, यह समानता लॉग c b=log a b log c a की वैधता को साबित करने के लिए पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को लॉग a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b के रूप में। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: log c a log a b = log a b log c a । इस प्रकार, समानता लॉग c b=log a b log c a सिद्ध होता है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार में संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है .

आइए लघुगणक के इस गुण को लागू करने के कुछ उदाहरण दिखाते हैं: और .

एक नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक पर स्विच करने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण का सूत्र कुछ मामलों में किसी दिए गए लघुगणक के मूल्य को खोजने की अनुमति देता है, जब अन्य आधारों के साथ कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

प्रपत्र के c=b के लिए लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण सूत्र का एक विशेष मामला अक्सर उपयोग किया जाता है। इससे पता चलता है कि log a b और log b a परस्पर प्रतिलोम संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, .

सूत्र का भी अक्सर उपयोग किया जाता है, जो लघुगणक मान ज्ञात करते समय सुविधाजनक होता है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि फॉर्म के लॉगरिदम के मूल्य की गणना कैसे की जाती है। हमारे पास है . सूत्र को सिद्ध करने के लिए, लघुगणक के नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: .

यह लघुगणक के तुलनात्मक गुणों को साबित करने के लिए बनी हुई है।

आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 2 और 0 1 log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों से, इन असमानताओं को फिर से लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निम्नानुसार है कि लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2, क्रमशः। फिर, समान आधार वाले घातों के गुणों से, समानताएं b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 को संतुष्ट किया जाना चाहिए, अर्थात a 1 a 2 । इस प्रकार, हम शर्त a 1 2 के अंतर्विरोध पर पहुंच गए हैं। यह सबूत पूरा करता है।

लघुगणक के मूल गुण

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लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: a x लॉग करें और a y लॉग करें। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र लघुगणक व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 6 4 + लघुगणक 6 9।

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, वह नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

• लॉग a x n = n लॉग a x ;
• 
• 

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ओडीजेड लॉगरिदम मनाया जाता है: ए> 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहाँ खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक a x दिया जाता है। फिर किसी भी संख्या c जैसे कि c > 0 और c ≠ 1 के लिए, समानता सत्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

विशेष रूप से, यदि हम c = x डालते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि आधार और लघुगणक के तर्क को आपस में बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

1. n = लॉग a a n

2. पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

   दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहते हैं।

   वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b संख्या a दे दे? यह सही है: यह वही संख्या a है। इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

   नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

   [आंकड़ा अनुशीर्षक]

   ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस आधार का वर्ग और लॉगरिदम का तर्क लें। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

   [आंकड़ा अनुशीर्षक]

   अगर किसी को पता नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा से एक वास्तविक कार्य था

   लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

   अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

   1. log a = 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: इस आधार से किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर है।
   2. log a 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार a कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है - लघुगणक शून्य है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

   वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें - और समस्याओं का समाधान करें।

   लघुगणक। लघुगणक के गुण (जोड़ और घटाव)।

   लघुगणक के गुणइसकी परिभाषा से अनुसरण करें। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एघातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

   इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना एक्स = एक बी लॉग इन करें, समीकरण को हल करने के बराबर है कुल्हाड़ी = ख।उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की घात के विषय से निकटता से संबंधित है।

   लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या के साथ, आप प्रदर्शन कर सकते हैं जोड़, घटाव संचालनऔर हर संभव तरीके से रूपांतरित करें। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहां लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

   लघुगणक का जोड़ और घटाव।

   समान आधार वाले दो लघुगणक लें: लॉग एक्सऔर आप लॉग इन करें. फिर इसे हटा दें जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

   जैसा कि हम देखते हैं, लघुगणक का योगउत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर लघुगणक- भागफल का लघुगणक। और यह सच है अगर संख्या ए, एक्सऔर परसकारात्मक और एक 1.

   यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इन सूत्रों में मुख्य पहलू समान आधार हैं। यदि आधार एक दूसरे से भिन्न हैं, तो ये नियम लागू नहीं होते हैं!

   समान आधार वाले लघुगणक को जोड़ने और घटाने के नियमों को न केवल बाएं से दाएं पढ़ा जाता है, बल्कि इसके विपरीत भी पढ़ा जाता है। नतीजतन, हमारे पास उत्पाद के लघुगणक और भागफल के लघुगणक के लिए प्रमेय हैं।

   उत्पाद का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ उनके लघुगणक के योग के बराबर होती हैं ; इस प्रमेय की व्याख्या करने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होते हैं, यदि संख्याएँ ए, एक्सऔर परसकारात्मक और एक 1, तब:

   भागफल का लघुगणकदो धनात्मक संख्याओं का योग लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि संख्या ए, एक्सऔर परसकारात्मक और एक 1, तब:

   हम उपरोक्त प्रमेयों को हल करने के लिए लागू करते हैं उदाहरण:

   अगर संख्या एक्सऔर परनकारात्मक हैं, तो उत्पाद लघुगणक सूत्रअर्थहीन हो जाता है। इसलिए, यह लिखना मना है:

   चूंकि व्यंजक लॉग 2 (-8) और लॉग 2 (-4) बिल्कुल भी परिभाषित नहीं हैं (लघुगणक कार्य पर= लॉग 2 एक्सकेवल तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित एक्स).

   उत्पाद प्रमेयन केवल दो के लिए, बल्कि असीमित संख्या में कारकों के लिए भी लागू होता है। इसका मतलब है कि हर प्राकृतिक के लिए कऔर कोई सकारात्मक संख्या एक्स 1 , एक्स 2 , . . . ,एक्स एनएक पहचान है:

   से भागफल लघुगणक प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सर्वविदित है कि लॉग ए 1= 0, इसलिए,

   तो एक समानता है:

   दो परस्पर पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही आधार पर केवल चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

   लघुगणक। लघुगणक के गुण

   लघुगणक। लघुगणक के गुण

   समानता पर विचार करें। आइए मूल्यों को जानते हैं और हम इसका मूल्य खोजना चाहते हैं।

   यही है, हम एक ऐसे घातांक की तलाश कर रहे हैं, जिसे प्राप्त करने के लिए आपको मुर्गा बनाना होगा।

   रहने दो चर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, फिर चरों पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए जाते हैं: o” title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″/ >

   यदि हम और के मूल्यों को जानते हैं, और हमें अज्ञात को खोजने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो इस उद्देश्य के लिए एक गणितीय ऑपरेशन पेश किया जाता है, जिसे कहा जाता है लोगारित्म.

   हम जो मूल्य लेते हैं उसे खोजने के लिए किसी संख्या का लघुगणकपर नींव :

   किसी संख्या का आधार से लघुगणक वह घातांक है जिसे प्राप्त करने के लिए आपको ऊपर उठाना होगा।

   अर्थात बुनियादी लघुगणकीय पहचान:

   ओ" शीर्षक = "ए> ओ" />, 1 शीर्षक = "ए 1" />, 0 शीर्षक = "बी> 0″ />

   अनिवार्य रूप से एक गणितीय संकेतन है लघुगणक परिभाषाएँ.

   गणितीय ऑपरेशन लॉगरिदम घातांक का विलोम है, इसलिए लघुगणक के गुणडिग्री के गुणों से निकटता से संबंधित हैं।

   हम मुख्य सूचीबद्ध करते हैं लघुगणक के गुण:

   (ओ" शीर्षक = "ए> ओ" />, 1 शीर्षक = "ए 1" />, 0 शीर्षक = "बी> 0″ />, 0,

   d>0″/>, 1″ शीर्षक="d1″/>

   4.

   5.

   गुणों का निम्नलिखित समूह आपको लघुगणक के संकेत के तहत अभिव्यक्ति के घातांक का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है, या लघुगणक के आधार पर लघुगणक के संकेत से पहले गुणांक के रूप में खड़ा होता है:

   6.

   7.

   8.

   9.

   सूत्रों का अगला समूह आपको दिए गए आधार वाले लघुगणक से मनमाने आधार वाले लघुगणक में जाने की अनुमति देता है, और इसे कहा जाता है एक नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र:

   10.

   12. (संपत्ति 11 से परिणाम)

   

   निम्नलिखित तीन गुण अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं, लेकिन उनका उपयोग अक्सर लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, या लॉगरिदम वाले अभिव्यक्तियों को सरल करते समय किया जाता है:

   13.

   14.

   15.

   विशेष स्थितियां:

   — दशमलव लघुगणक

   — प्राकृतिक

   लघुगणक युक्त अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय, एक सामान्य दृष्टिकोण लागू किया जाता है:

   1. हम दशमलव भिन्नों को साधारण अंशों के रूप में निरूपित करते हैं।

   2. हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित करते हैं।

   3. लघुगणक के आधार पर और लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में विघटित हो जाती हैं।

   4. हम सभी लघुगणक को एक ही आधार पर लाने का प्रयास करते हैं।

   5. लघुगणक के गुणों को लागू करें।

   आइए लघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाने के उदाहरण देखें।

   उदाहरण 1

   गणना करें:

   आइए सभी घातांक को सरल करें: हमारा कार्य उन्हें लघुगणक में लाना है, जिसका आधार घातांक के आधार के समान संख्या है।

   ==(संपत्ति 7)=(संपत्ति 6 ​​द्वारा) =

   मूल व्यंजक में हमें जो संकेतक प्राप्त हुए हैं, उन्हें प्रतिस्थापित कीजिए। हम पाते हैं:

   उत्तर: 5.25

   उदाहरण 2 गणना करें:

   

   हम सभी लघुगणक को आधार 6 पर लाते हैं (इस मामले में, अंश के हर से लघुगणक अंश में "माइग्रेट" करेंगे):

   आइए लॉगरिदम के चिन्ह के तहत संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें:

   गुण 4 और 6 लागू करें:

   हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं

   हम पाते हैं:

   उत्तर 1

   लोगारित्म . बुनियादी लघुगणकीय पहचान।

   लघुगणक के गुण। दशमलव लघुगणक। प्राकृतिक।

   लोगारित्म आधार में धनात्मक संख्या N (बी > 0, बी 1) घातांक x कहलाता है, जिससे आपको N प्राप्त करने के लिए b को ऊपर उठाना होगा .

   यह प्रविष्टि निम्नलिखित के बराबर है: बी एक्स = एन .

   उदाहरण: लॉग 3 81 = 4 क्योंकि 3 4 = 81;

   लॉग 1/3 27 = – 3 क्योंकि (1/3) - 3 = 3 3 = 27।

   लघुगणक की उपरोक्त परिभाषा को एक पहचान के रूप में लिखा जा सकता है:

   

   लघुगणक के मूल गुण।

   2) लॉग 1 = 0 क्योंकि बी 0 = 1 .

   3) उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है:

   4) भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है:

   5) डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है:

   इस संपत्ति का परिणाम निम्नलिखित है: लॉग रूट जड़ की शक्ति से विभाजित मूल संख्या के लघुगणक के बराबर होती है:

   

   6) यदि लघुगणक का आधार एक घात है, तो मान घातांक के व्युत्क्रम को तुकबंदी लॉग साइन से निकाला जा सकता है:

   

   अंतिम दो गुणों को एक में जोड़ा जा सकता है:

   

   7) संक्रमण मापांक का सूत्र (अर्थात लघुगणक के एक आधार से दूसरे आधार में संक्रमण):

   

   किसी विशेष मामले में, जब एन = एअपने पास:

   

   दशमलव लघुगणक बुलाया आधार लघुगणक 10. इसे lg से दर्शाया जाता है, अर्थात्। लॉग 10 एन= लॉग एन. संख्या 10, 100, 1000, के लघुगणक। p क्रमशः 1, 2, 3, ..., अर्थात् हैं। बहुत सारे सकारात्मक हैं

   इकाइयाँ, एक के बाद एक लघुगणक संख्या में कितने शून्य होते हैं। संख्या 0.1, 0.01, 0.001, के लघुगणक। p क्रमशः -1, -2, -3, ..., अर्थात् हैं। के रूप में कई ऋणात्मक हैं क्योंकि लघुगणक संख्या में एक से पहले शून्य हैं (शून्य पूर्णांक सहित)। शेष संख्याओं के लघुगणक में एक भिन्नात्मक भाग होता है जिसे कहा जाता है अपूर्णांश. लघुगणक का पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषता. व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, दशमलव लघुगणक सबसे सुविधाजनक हैं।

   प्राकृतिक बुलाया आधार लघुगणक इ. इसे ln से निरूपित किया जाता है, अर्थात्। लॉग इ एन= एलएन एन. संख्या इअपरिमेय है, इसका अनुमानित मान 2.718281828 है। यह वह सीमा है जिसकी ओर संख्या (1 + 1 / एन) एनअसीमित वृद्धि के साथ एन(से। मी। पहली अद्भुत सीमासंख्या अनुक्रम सीमा पृष्ठ पर)।
   यह अजीब लग सकता है, कार्यों के विश्लेषण से संबंधित विभिन्न कार्यों को करते समय प्राकृतिक लघुगणक बहुत सुविधाजनक साबित हुए। आधार लघुगणक की गणना इकिसी भी अन्य आधार की तुलना में बहुत तेज।

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