स्टीरियोमेट्रीमानव व्यावहारिक गतिविधि की प्रक्रिया में उत्पन्न होने वाले मुद्दों के अवलोकन और समाधान से विकसित। इसमें कोई संदेह नहीं है कि आदिम मनुष्य भी, खानाबदोश जीवन से एक स्थिर जीवन में परिवर्तित होकर, कृषि को अपनाने के बाद, कम से कम मोटे तौर पर अनुमान लगाने का प्रयास किया कि उसने रोटी के बड़े पैमाने पर फसल के आकार का अनुमान लगाया था। ढेर, झटके या ढेर में ढेर। यहां तक ​​​​कि सबसे प्राचीन आदिम इमारतों के निर्माता को किसी तरह उस सामग्री को ध्यान में रखना था जो उसके पास थी, और यह गणना करने में सक्षम था कि किसी विशेष इमारत के निर्माण के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता होगी। प्राचीन मिस्रियों और कसदियों के बीच पत्थर काटने के लिए कम से कम सबसे सरल ज्यामितीय निकायों के मीट्रिक गुणों से परिचित होना आवश्यक था: एक घन, एक समानांतर चतुर्भुज, एक प्रिज्म, एक सिलेंडर, आदि। समय में कृषि, नेविगेशन, अभिविन्यास की जरूरतों ने लोगों को खगोलीय अवलोकनों के लिए प्रेरित किया, और बाद में क्षेत्र और उसके हिस्सों के गुणों के अध्ययन के लिए, और इसके परिणामस्वरूप, अंतरिक्ष में विमानों और रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के नियम।

प्राचीन ग्रीस और उसके उपनिवेशों के आर्थिक और सांस्कृतिक उत्कर्ष के दौरान, ज्यामिति एक उच्च सैद्धांतिक विकास पर पहुंच गई। ग्रीस के उत्कृष्ट जियोमीटर में से, एनाक्सागोरस, डेमोक्रिटस, हिप्पोक्रेट्स (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) स्टीरियोमेट्री में रुचि रखते थे। हिप्पोक्रेट्स पुरातनता की प्रसिद्ध समस्या को हल करने वाले पहले लोगों में से हैं - घन को दोगुना करने की दिल्ली समस्या। प्लेटो के स्कूल में स्टीरियोमेट्री की समस्या काफी आगे बढ़ गई। प्लेटो, टीटेटस के स्कूल के प्रतिनिधियों में से एक ने ऑक्टाहेड्रोन और बीस-पक्षीय माना और पहली बार पांच नियमित पॉलीहेड्रा के कुछ गुणों का सिद्धांत दिया। प्लेटो के छात्र मेनेचमे ने सबसे पहले शंकु वर्गों का सिद्धांत दिया था। यूक्लिड की सबसे बड़ी खूबी यह है कि वह उस सामग्री को एकत्र, संसाधित और एक सुसंगत प्रणाली में लाया जो उसके पास आई थी। स्टीरियोमेट्री की उनकी "बिगिनिंग्स" की 13 पुस्तकों में से, XI-XIII पुस्तकें असाइन की गई हैं। यूक्लिड द्वारा एकत्रित स्टीरियोमेट्री के बारे में जानकारी को पुरातनता के महानतम गणितज्ञ आर्किमिडीज द्वारा पूरक, गहरा और विस्तारित किया गया था। उन्होंने तेरह अर्ध-नियमित ठोस दिए, जिनमें से प्रत्येक नियमित बहुभुज से घिरा हुआ है, लेकिन एक ही प्रकार का नहीं है, और क्रांति के ठोस पदार्थों की मात्रा की गणना की। आर्किमिडीज के काम के लिए धन्यवाद, स्टीरियोमेट्री अपने चरम बिंदु पर पहुंच गई, और प्रारंभिक ज्यामिति अपने आधुनिक अर्थों में आखिरकार स्थापित हो गई।

ग्रीस के पतन के बाद, विशेष रूप से गणित और स्टीरियोमेट्री के विकास में एक लंबा ठहराव है, जो एक हजार साल तक चला। केप्लर ने आधुनिक समय में स्टीरियोमेट्री के विकास के लिए बहुत कुछ किया है। अपने "न्यू स्टीरियोमेट्री" - "बैरल की स्टीरियोमेट्री" में - उन्होंने पहली बार ज्यामिति में एक अतिसूक्ष्म मात्रा का उपयोग किया। न्यूटन और लाइबनिज द्वारा इंटीग्रल कैलकुलस की खोज ने आखिरकार क्वाड्रेचर और क्यूबचर की समस्या को हल कर दिया।

सिलेंडर- एक शरीर जिसमें दो मंडल होते हैं जो एक ही विमान में नहीं होते हैं और समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं, और इन मंडलियों के संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड।

r बेलन की त्रिज्या है;
डी सिलेंडर का व्यास है;
l बेलन का जनक है;
h बेलन की ऊँचाई है।

टिप्पणी:एक लम्ब वृत्तीय बेलन में, जेनरेटर की लंबाई, ऊँचाई की लंबाई के बराबर होती है।

एक वृत्ताकार बेलन का आयतनसूत्र द्वारा गणना:

वी = आर 2 एच, कहाँ पे

π - निरंतर मूल्य (≈3.1415);
r बेलन के आधार की त्रिज्या है;
h बेलन की ऊँचाई है।

घनक्षेत्रएक नियमित बहुफलक है, जिसका प्रत्येक फलक एक वर्ग है। एक घन के सभी किनारे बराबर होते हैं।

एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 - घन;

ए, बी, सी, डी, ए 1, बी 1, सी 1, डी 1- घन कोने;

ए - घन के किनारे की लंबाई।

घन मात्रासूत्र द्वारा गणना:

वी क्यूब \u003d ए 3, जहां

a घन किनारे की लंबाई है।

चतुर्पाश्वीयएक नियमित बहुफलक है जिसके फलक चार त्रिभुज हैं।

एबीसीडी - टेट्राहेड्रोन;

ए, बी, सी, डी - टेट्राहेड्रोन कोने;

एडी, बीडी, सीडी, एबी, बीसी, एसी - टेट्राहेड्रोन के किनारे;

एबीडी, बीसीडी, एसीडी - एक चतुष्फलक के फलक।

चतुष्फलक का आयतनसूत्र द्वारा गणना:

एचतुष्फलक के किसी भी किनारे की लंबाई है।

दिशा-निर्देश

इस श्रेणी में कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको यह करना होगा:

ज्यामितीय निकायों की परिभाषा और उनके गुणों को जान सकेंगे;

ज्यामितीय आकृतियों, निर्देशांकों और सदिशों के साथ क्रिया करने में सक्षम हो;

ज्यामितीय मात्रा (लंबाई, कोण, क्षेत्र, आयतन) खोजने के लिए स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं को हल करने में सक्षम हो;

ज्यामितीय निकायों के क्षेत्रफल और आयतन की गणना के लिए सूत्रों को जानें।

टीहां नहीं। 8 सिलेंडर वॉल्यूम विकल्प 1।

1. एक बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई 3 सेमी और आधार व्यास 6 सेमी है। a) 27π सेमी 3; बी) 9π सेमी 3; ग) 36π सेमी 3; डी) 18π सेमी 3; ई) 54π सेमी 3.

2. बेलन का आयतन 27π है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए यदि इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का दोगुना है।

ए) 3; बी) निर्धारित नहीं किया जा सकता 6 पर; घ) 2; ई) 9.

3. बेलन के अक्षीय भाग का विकर्ण बेलन के आधार के तल से 60˚ का कोण बनाता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए यदि अक्षीय खंड का क्षेत्रफल 16√3 cm2 है।

ए) 16π ​​सेमी 3; बी) 16√3 सेमी 3; ग) 32π√3 सेमी 3; घ) 8π√3 सेमी 3; ई) 16π√3 सेमी3।

4. एक बेलन में 1 सेमी त्रिज्या का एक गोला खुदा हुआ है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

ए) 4π सेमी 3; बी) 2π सेमी 3; सी) 8π सेमी 3; घ) सेमी 3; डी) निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

5. बेलन का आयतन 120 है। यदि आधार की त्रिज्या इससे 3 गुना अधिक है, तो 0.01 की शुद्धता के साथ बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

क) 1.62; बी) 1.63; ग) 1.61; घ) 1.6; ई) 1.60।

6. सिलेंडर के अक्षीय खंड का क्षेत्रफल 21 सेमी 2 है, आधार का क्षेत्रफल 18π सेमी 2 है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

ए) 9π सेमी 3; बी) 31.5π√2 सेमी 3; ग) 21π सेमी 3; घ) 63π सेमी 3; ई) 31.5π√3 सेमी3।

7. सही कथन चुनें।

a) एक बेलन का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई का आधा गुणनफल होता है।

बी) सिलेंडर की मात्रा की गणना सूत्र वी = πS / 2 द्वारा की जाती है, जहां एस सिलेंडर के अक्षीय खंड का क्षेत्र है;

ग) एक समबाहु बेलन का आयतन V = 2πR 3 है, जहाँ R बेलन के आधार की त्रिज्या है;

डी) सिलेंडर की मात्रा की गणना सूत्र वी = एमएच / 2 द्वारा की जाती है, जहां एम सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्र है, और एच इसकी ऊंचाई है;

8. बेलन की धुरी के समानांतर एक खंड आधार की परिधि से 120˚ के चाप को काटता है। बेलन के आधार की त्रिज्या R है, खंड के विकर्ण और बेलन के अक्ष के बीच का कोण 30˚ है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए a) 3πR 2 ; बी) R 3 3; ग) 3πR 3 ; घ) R 3; ई) 3πR 3 √3।

9. बेलन के जनित्र से दो तल खींचे जाते हैं। उनके बीच का कोण 120˚ है। परिणामी वर्गों का क्षेत्रफल 1 है। बेलन के आधार की त्रिज्या 1 है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। ए) π√3/3; बी) 2π; ग) /2; घ) पाई; डी) निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

10. 2 मिमी व्यास वाले एक एल्यूमीनियम तार का द्रव्यमान 3.4 किग्रा है। यदि एल्युमीनियम का घनत्व 2.6 g/cm3 है, तो तार की निकटतम 1 सेमी तक की लंबाई ज्ञात कीजिए।

क) 41646; बी) 43590; ग) 41656; घ) 41635; ई) 41625।

टीहां नहीं। 8 सिलेंडर वॉल्यूम विकल्प 2।

1. एक बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई 6 सेमी और आधार व्यास 3 सेमी है। क) 13.5π सेमी 3; बी) 9π सेमी 3; सी) 27π सेमी 3; डी) 18π सेमी 3; ई) 54π सेमी 3.

2. बेलन का आयतन 32π है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए यदि इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का तीन गुना है।

ए) 3; बी) निर्धारित नहीं किया जा सकता 4 पर; घ) 8; डी 2.

3. बेलन के अक्षीय भाग का विकर्ण बेलन के आधार के तल से 60˚ का कोण बनाता है। यदि बेलन का आयतन 16 3 सेमी 2 है, तो अक्षीय भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ए) 16 सेमी 2; बी) 16√3 सेमी 2; ग) 32√3 सेमी 2; घ) 8√3 सेमी 2; ई) 16π√3 सेमी2।

4. बेलन के पास त्रिज्या 1 सेमी का एक गोला वर्णित है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

क) 4π√2 सेमी 3; बी) 0.5π√2 सेमी 3; ग) निर्धारित नहीं किया जा सकता घ) सेमी 3; ई) 2 सेमी 3.

5. बेलन का आयतन 120 है। यदि आधार की त्रिज्या इससे 3 गुना कम है, तो 0.01 की शुद्धता के साथ बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

क) 2.3; बी) 2.33; ग) 2.35; घ) 2.335; ई) 2.34।

6. सिलेंडर के अक्षीय खंड का क्षेत्रफल 30 सेमी 2 है, आधार का क्षेत्रफल 9π सेमी 2 है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

ए) 45π सेमी 3; बी) 22.5π सेमी 3; सी) 23π सेमी 3; घ) 9π सेमी 3; ई) 30π सेमी 3.

7. गलत कथन चुनें।

a) बेलन का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई का गुणनफल होता है।

बी) सिलेंडर के आयतन की गणना सूत्र V = 1/2πrS द्वारा की जाती है, जहाँ S सिलेंडर के अक्षीय खंड का क्षेत्र है, और r सिलेंडर की त्रिज्या है;

ग) एक समबाहु बेलन के आयतन की गणना सूत्र V = 1/4πh 3 द्वारा की जाती है, जहाँ h बेलन की ऊँचाई है;

d) सिलेंडर के आयतन की गणना सूत्र V = 1/2Mr द्वारा की जाती है, जहाँ M सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है, और r इसकी त्रिज्या है;

ई) एक समबाहु बेलन का आयतन सूत्र V = h 3 /2 द्वारा परिकलित किया जाता है, जहाँ h बेलन की ऊँचाई है।

8. बेलन की धुरी के समानांतर एक खंड आधार की परिधि से 120 0 के चाप को काटता है। इस खंड को बेलन की धुरी से a के बराबर दूरी से हटा दिया जाता है। खंड का विकर्ण 4a है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। ए) 8पीए 2; बी) 4पीए 3; सी) 2πए 3; घ) 16पा 3; ई) 8πए 3।

9. बेलन के जनित्र से दो तल खींचे जाते हैं। उनके बीच का कोण 120˚ है। परिणामी वर्गों का क्षेत्रफल 1 है। बेलन की ऊँचाई 1 है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। ए) /4; बी) /2; ग) ; घ) /3; डी) निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

10. 2 मिमी व्यास वाले एक एल्यूमीनियम तार का द्रव्यमान 3.4 मीटर है। यदि एल्यूमीनियम का घनत्व 2.6 ग्राम / सेमी 3 है, तो तार का द्रव्यमान 1 ग्राम की सटीकता के साथ ज्ञात करें।

क) 278; बी) 277; ग) 29; घ) 27; ई) 28.

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: सिलेंडर

स्थिति

एक बेलनाकार बर्तन में, तरल स्तर 20 सेमी तक पहुँच जाता है। तरल स्तर कितनी ऊँचाई पर होगा यदि इसे दूसरे बेलनाकार बर्तन में डाला जाए, जिसका व्यास पहले के व्यास का दोगुना है? अपना उत्तर सेंटीमीटर में व्यक्त करें।

समाधान दिखाएं

फेसला

मान लीजिए R पहले बर्तन के आधार की त्रिज्या है, तो 2 R दूसरे बर्तन के आधार की त्रिज्या है। शर्त के अनुसार, पहले और दूसरे बर्तन में तरल V का आयतन समान होता है। एच द्वारा निरूपित करें - वह स्तर जिस तक तरल दूसरे बर्तन में ऊपर उठा है। फिर

वी=\पीआई आर^2 \cdot 20,और वी=\pi (2R)^2H = 4\pi आर^2एच। यहां से \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20=4H एच = 5

जवाब

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: सिलेंडर

स्थिति

एक बेलनाकार बर्तन में 2000 सेमी 3 पानी डाला गया। तरल स्तर 15 सेमी निकला। भाग पूरी तरह से पानी में डूबा हुआ था। उसी समय, बर्तन में तरल स्तर 9 सेमी बढ़ गया। भाग का आयतन क्या है? अपना उत्तर cm3 में व्यक्त करें।

समाधान दिखाएं

फेसला

मान लीजिए कि R बेलन के आधार की त्रिज्या है, और h बर्तन में डाले गए पानी का स्तर है। तब डाले गए पानी का आयतन आधार त्रिज्या R और ऊँचाई h वाले बेलन के आयतन के बराबर होता है। वी पानी \u003d एस मुख्य। · h = \pi R^2\cdot h. शर्त के अनुसार, समानता 2000=\pi R^2\cdot15 पूरी होती है। यहां से, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3)।

मान लीजिए कि वस्तु को उसमें डुबोने के बाद बर्तन में पानी का स्तर H है। तब पानी और भाग का कुल आयतन आधार त्रिज्या R और ऊँचाई H वाले बेलन के आयतन के बराबर होता है। शर्त के अनुसार H=h+9=15+9=24. तो वी पानी + विवरण = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200.इसलिए, V भाग = V पानी + भाग - V पानी = 3200-2000=1200।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: सिलेंडर

स्थिति

एक बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए यदि उसके आधार की त्रिज्या 8 है और इसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 96\pi है।

समाधान दिखाएं

फेसला

एस=2\pi आरएच,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2016 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: सिलेंडर

स्थिति

500 घन मीटर एक बेलनाकार बर्तन में डाला गया। पानी देखें। पानी में पूरी तरह से डूबे हुए हिस्से की मात्रा निर्धारित करें, अगर विसर्जन के बाद, तरल स्तर 1.2 गुना बढ़ गया। अपना उत्तर घन में व्यक्त कीजिए। से। मी।

समाधान दिखाएं

फेसला

मान लीजिए V 1 बेलन में द्रव का प्रारंभिक आयतन दर्शाता है। भाग विसर्जित होने के बाद, तरल की मात्रा 1.2 गुना बढ़ गई, जिसका अर्थ है कि तरल की अंतिम मात्रा वी 2 = 1.2 वी 1 है। भाग का आयतन विसर्जन से पहले और बाद के आयतनों के बीच के अंतर के बराबर होता है, जिसका अर्थ है वी = वी_2-वी_1=1.2\cdot 500-500=100घनक्षेत्र से। मी।

जवाब

जब एक तरल अतिप्रवाह होता है, तो इसका प्रारंभिक आयतन नहीं बदलता है, अर्थात: V 1 \u003d V 2, जिसका अर्थ है कि समानता सत्य है: \pi\बाएं(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\right)^2h_2

शर्तों से मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, अभिव्यक्ति को सरल बनाएं और दूसरे बर्तन एच 2 के तरल की वांछित ऊंचाई पाएं:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7