एक आयताकार मैट्रिक्स पर विचार करें. यदि इस मैट्रिक्स में हम मनमाने ढंग से चयन करते हैं कलाइनें और ककॉलम, फिर चयनित पंक्तियों और स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर तत्व kवें क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स बनाते हैं। इस मैट्रिक्स के निर्धारक को कहा जाता है kवें क्रम का अवयस्कमैट्रिक्स ए। जाहिर है, मैट्रिक्स ए में 1 से लेकर सबसे छोटी संख्या एम और एन तक किसी भी क्रम के नाबालिग हैं। मैट्रिक्स ए के सभी गैर-शून्य नाबालिगों में से, कम से कम एक नाबालिग है जिसका क्रम सबसे बड़ा है। किसी दिए गए मैट्रिक्स के गैर-शून्य लघु आदेशों में से सबसे बड़े को कहा जाता है पद matrices. यदि मैट्रिक्स A की रैंक है आर, इसका मतलब है कि मैट्रिक्स ए में ऑर्डर का गैर-शून्य नाबालिग है आर, लेकिन क्रम का हर छोटा इससे बड़ा आर, शून्य के बराबर है. मैट्रिक्स A की रैंक को r(A) द्वारा दर्शाया गया है। जाहिर है, रिश्ता कायम है

अवयस्कों का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना

मैट्रिक्स की रैंक या तो बॉर्डरिंग माइनर्स की विधि से या प्राथमिक परिवर्तनों की विधि से पाई जाती है। पहली विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक की गणना करते समय, आपको निचले क्रम के नाबालिगों से उच्च क्रम के नाबालिगों की ओर बढ़ना चाहिए। यदि मैट्रिक्स A के kवें क्रम का एक लघु D, शून्य से भिन्न, पहले ही पाया जा चुका है, तो केवल लघु D की सीमा वाले (k+1) क्रम के लघुगणकों को गणना की आवश्यकता होती है, अर्थात। इसे नाबालिग के रूप में शामिल किया गया है। यदि वे सभी शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक है क.

उदाहरण 1।बॉर्डरिंग माइनर्स की विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

.

समाधान।हम प्रथम क्रम के अवयस्कों से शुरू करते हैं, अर्थात्। मैट्रिक्स ए के तत्वों में से, आइए, उदाहरण के लिए, एक लघु (तत्व) एम 1 = 1 चुनें, जो पहली पंक्ति और पहले कॉलम में स्थित है। दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ की सहायता से सीमाबद्ध करते हुए, हमें एक लघु M 2 = शून्य से भिन्न प्राप्त होता है। अब हम एम2 की सीमा से लगे तीसरे क्रम के माइनरों की ओर मुड़ते हैं। उनमें से केवल दो हैं (आप दूसरा या चौथा कॉलम जोड़ सकते हैं)। आइए उनकी गणना करें: = 0. इस प्रकार, तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर निकले। मैट्रिक्स A की रैंक दो है।

प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना

प्राथमिकनिम्नलिखित मैट्रिक्स परिवर्तनों को कहा जाता है:

1) किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) का क्रमपरिवर्तन,

2) एक पंक्ति (या स्तंभ) को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना,

3) एक पंक्ति (या स्तंभ) में दूसरी पंक्ति (या स्तंभ) जोड़ना, एक निश्चित संख्या से गुणा करना।

दो मैट्रिक्स कहलाते हैं समकक्ष, यदि उनमें से एक को प्राथमिक परिवर्तनों के एक सीमित सेट का उपयोग करके दूसरे से प्राप्त किया जाता है।

सामान्यतः समतुल्य आव्यूह समान नहीं होते, लेकिन उनकी रैंक बराबर होती है। यदि आव्यूह A और B समतुल्य हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: A~बी.

कैनन कामैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण की शुरुआत में एक पंक्ति में कई होते हैं (जिनकी संख्या शून्य हो सकती है), और अन्य सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए,

.

पंक्तियों और स्तंभों के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, किसी भी मैट्रिक्स को विहित में कम किया जा सकता है। एक विहित मैट्रिक्स की रैंक उसके मुख्य विकर्ण पर मौजूद मैट्रिक्स की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

और इसे विहित रूप में लाएँ।

समाधान।दूसरी पंक्ति से, पहली पंक्ति घटाएँ और इन पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें:

.

अब दूसरी और तीसरी पंक्ति से हम पहली पंक्ति को क्रमशः 2 और 5 से गुणा करके घटाते हैं:

;

तीसरी पंक्ति से पहली को घटाएँ; हमें एक मैट्रिक्स मिलता है

जो मैट्रिक्स ए के समतुल्य है, क्योंकि इसे प्रारंभिक परिवर्तनों के एक सीमित सेट का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, मैट्रिक्स बी की रैंक 2 है, और इसलिए r(A)=2 है। मैट्रिक्स बी को आसानी से कैनोनिकल में घटाया जा सकता है। पहले कॉलम को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके, बाद के सभी कॉलमों से घटाकर, हम पहली पंक्ति के सभी तत्वों को शून्य कर देते हैं, पहली को छोड़कर, और शेष पंक्तियों के तत्व नहीं बदलते हैं। फिर, दूसरे कॉलम को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके, बाद के सभी नंबरों से घटाकर, हम दूसरे को छोड़कर, दूसरी पंक्ति के सभी तत्वों को शून्य कर देते हैं, और विहित मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

.

पहले एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए वें क्रम में नाबालिग की अवधारणा पेश की गई थी
तत्व . आइए याद रखें कि यह आदेश के निर्धारक को दिया गया नाम है
, निर्धारक से प्राप्त किया गया
पार करके वें पंक्ति और वां स्तंभ.

आइए अब हम लघु की सामान्य अवधारणा का परिचय दें। आइए कुछ पर विचार करें जरूरी नहीं कि चौकोर होआव्यूह . आइए कुछ चुनें पंक्ति संख्याएँ
और स्तंभ संख्या
.

परिभाषा. मामूली आदेश मैट्रिक्स (चयनित पंक्तियों और स्तंभों के अनुरूप) को क्रम निर्धारक कहा जाता है , चयनित पंक्तियों और स्तंभों के चौराहे पर स्थित तत्वों द्वारा गठित, अर्थात। संख्या

.

प्रत्येक मैट्रिक्स में दिए गए क्रम के उतने ही माइनर होते हैं , आप लाइन नंबरों का चयन कितने तरीकों से कर सकते हैं
और कॉलम
.

परिभाषा. मैट्रिक्स में आकार
मामूली आदेश बुलाया बुनियादी, यदि यह शून्येतर है और सभी अवयस्क व्यवस्थित हैं
शून्य या लघु क्रम के बराबर
मैट्रिक्स पर कदापि नहीं।

यह स्पष्ट है कि एक मैट्रिक्स में कई अलग-अलग आधार माइनर हो सकते हैं, लेकिन सभी आधार माइनरों का क्रम समान होता है। वास्तव में, यदि सभी अवयस्क व्यवस्थित हैं
शून्य के बराबर हैं, तो क्रम के सभी लघु शून्य के बराबर हैं
, और, परिणामस्वरूप, सभी उच्च आदेश।

परिभाषा. मैट्रिक्स रैंकआधार अवयस्क के क्रम को, या दूसरे शब्दों में, सबसे बड़ा क्रम कहा जाता है जिसके लिए शून्य के अलावा अन्य अवयस्क मौजूद होते हैं। यदि किसी मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो परिभाषा के अनुसार, ऐसे मैट्रिक्स की रैंक शून्य मानी जाती है।

मैट्रिक्स रैंक हम प्रतीक द्वारा निरूपित करेंगे
. रैंक की परिभाषा से यह मैट्रिक्स के लिए निम्नानुसार है आकार
अनुपात सही है.

मैट्रिक्स की रैंक की गणना करने के दो तरीके

ए) अवयस्कों को सीमाबद्ध करने की विधि

मान लीजिए कि मैट्रिक्स में एक नाबालिग पाया गया है
-वाँ क्रम, शून्य से भिन्न। आइए केवल उन नाबालिगों पर विचार करें
-वाँ क्रम, जिसमें (किनारे) एक नाबालिग शामिल है
: यदि वे सभी शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक है . अन्यथा, सीमावर्ती अवयस्कों में एक गैर-शून्य अवयस्क है
-वें क्रम, और पूरी प्रक्रिया दोहराई जाती है।

उदाहरण 9 . मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें अवयस्कों को सीमांकित करने की विधि द्वारा।

आइए दूसरे क्रम का माइनर चुनें
. चयनित माइनर की सीमा पर केवल एक तृतीय-क्रम माइनर है
. चलिए इसका हिसाब लगाते हैं.

तो यह मामूली है
बुनियादी, और मैट्रिक्स की रैंक उसके क्रम के बराबर है, अर्थात।

यह स्पष्ट है कि आधार की खोज में इस तरह से नाबालिगों के माध्यम से पुनरावृत्ति करना बड़ी गणनाओं से जुड़ा कार्य है, यदि मैट्रिक्स के आयाम बहुत छोटे नहीं हैं। हालाँकि, मैट्रिक्स की रैंक खोजने का एक आसान तरीका है - प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करना।

बी) प्राथमिक परिवर्तन विधि

परिभाषा. प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तननिम्नलिखित परिवर्तनों को कहा जाता है:

किसी स्ट्रिंग को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

एक पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ना;

लाइनों की पुनर्व्यवस्था;

वही स्तंभ परिवर्तन।

परिवर्तन 1 और 2 को तत्व दर तत्व निष्पादित किया जाता है।

पहले और दूसरे प्रकार के परिवर्तनों को मिलाकर, हम किसी भी स्ट्रिंग में शेष स्ट्रिंग्स का एक रैखिक संयोजन जोड़ सकते हैं।

प्रमेय. प्राथमिक परिवर्तन मैट्रिक्स की रैंक को नहीं बदलते हैं।

(कोई सबूत नहीं)

मैट्रिक्स की रैंक की गणना के लिए एक व्यावहारिक विधि का विचार

क्या यह प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से यह मैट्रिक्स है उपस्थिति की ओर ले जाना

, (5)

जिसमें "विकर्ण" तत्व हैं
शून्य से भिन्न हैं, और "विकर्ण" के नीचे स्थित तत्व शून्य के बराबर हैं। आइए मैट्रिक्स को कॉल करने के लिए सहमत हों इस प्रकार का त्रिकोणीय (अन्यथा इसे विकर्ण, समलम्बाकार या सीढ़ी कहा जाता है)। मैट्रिक्स कमी के बाद त्रिकोणीय रूप में हम उसे तुरंत लिख सकते हैं
.

वास्तव में,
(चूंकि प्राथमिक परिवर्तनों से रैंक नहीं बदलती)। लेकिन मैट्रिक्स एक गैर-शून्य लघु आदेश है :

,

और आदेश का कोई भी मामूली
इसमें शून्य स्ट्रिंग है और इसलिए यह शून्य के बराबर है।

आइए अब हम व्यावहारिक सूत्र तैयार करें रैंक गणना नियममैट्रिक्स प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करना: मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय रूप में लाया जाना चाहिए . फिर मैट्रिक्स की रैंक परिणामी मैट्रिक्स में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होगी .

उदाहरण 10. मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा

समाधान।

आइए पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें (चूंकि दूसरी पंक्ति का पहला तत्व -1 है और इसके साथ परिवर्तन करना सुविधाजनक होगा)। परिणामस्वरूप, हमें इसके समतुल्य एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

चलो निरूपित करें -मैट्रिक्स की वह पंक्ति - . हमें मूल मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में छोटा करने की आवश्यकता है। हम पहली पंक्ति को अग्रणी पंक्ति मानेंगे; यह सभी परिवर्तनों में भाग लेगी, लेकिन स्वयं अपरिवर्तित रहेगी।

पहले चरण में, हम ऐसे परिवर्तन करेंगे जो हमें पहले तत्व को छोड़कर, पहले कॉलम में शून्य प्राप्त करने की अनुमति देंगे। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाकर 2 से गुणा करें
, पहली को तीसरी पंक्ति में जोड़ें
, और तीसरे से हम पहले को घटाते हैं, 3 से गुणा करते हैं
हमें एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है जिसकी रैंक इस मैट्रिक्स की रैंक से मेल खाती है। आइए इसे उसी अक्षर से निरूपित करें :

.

चूँकि हमें मैट्रिक्स को घटाकर (5) बनाना है, हम चौथी पंक्ति से दूसरी घटा देते हैं। इस मामले में हमारे पास है:

.

त्रिकोणीय रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है, और हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं
, अर्थात गैर-शून्य रेखाओं की संख्या। संक्षेप में समस्या का समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

प्रत्येक मैट्रिक्स में, दो रैंक जुड़े हो सकते हैं: एक पंक्ति रैंक (पंक्ति प्रणाली की रैंक) और एक कॉलम रैंक (स्तंभ प्रणाली की रैंक)।

प्रमेय

किसी मैट्रिक्स की पंक्ति रैंक उसके कॉलम रैंक के बराबर होती है।

मैट्रिक्स रैंक

परिभाषा

मैट्रिक्स रैंक$A$ इसकी पंक्ति या स्तंभ प्रणाली की रैंक है।

$\operatorname(rang) A$ द्वारा दर्शाया गया

व्यवहार में, मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित कथन का उपयोग किया जाता है: मैट्रिक्स की रैंक मैट्रिक्स को सोपानक रूप में कम करने के बाद गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।

मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) पर प्राथमिक परिवर्तन इसकी रैंक को नहीं बदलते हैं।

एक स्टेप मैट्रिक्स की रैंक उसकी गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण

व्यायाम।मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \\ (10) और (18) और (40) और (17) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $

समाधान।इसकी पंक्तियों में प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, हम मैट्रिक्स $A$ को सोपानक रूप में कम करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले तीसरी पंक्ति से दूसरे दो घटाएँ:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) और (2) और (4) और (3) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $$

दूसरी पंक्ति से हम चौथी पंक्ति को 4 से गुणा करके घटाते हैं; तीसरे से - दो चौथाई:

$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5) ) \\ (0) और (-12) और (-30) और (-3) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $$

हम पहले पांच को दूसरी पंक्ति में और तीसरे तीन को तीसरी पंक्ति में जोड़ते हैं:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) और (0) और (0) और (0) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $$

पहली और दूसरी पंक्तियाँ बदलें:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) और (0) और (0) और (0) \\ (1) और (7) और (17) और (3)\end(सरणी)\दाएं) $$

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) और (0) और (0) और (0) \\ (0) और (0) और (0) और (0)\end(सरणी)\दाएं) \राइटएरो \ऑपरेटरनाम(रंग) ए=2 $$

उत्तर।$ \ऑपरेटरनाम(रंग) ए=2 $

अवयस्कों को सीमाबद्ध करने की विधि

मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने की एक अन्य विधि इस प्रमेय पर आधारित है - लघु किनारा विधि. इस पद्धति का सार निचले क्रम से शुरू करके उच्चतर क्रम तक जाने वाले अवयस्कों को ढूंढना है। यदि $n$वें क्रम का लघुगणक शून्य के बराबर नहीं है, और $n+1$वें क्रम के सभी लघुगणक शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक $n$ के बराबर होगी।

उदाहरण

व्यायाम।मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ माइनर एजिंग विधि का उपयोग करके।

समाधान।न्यूनतम क्रम के अवयस्क पहले क्रम के अवयस्क हैं, जो मैट्रिक्स $A$ के तत्वों के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, लघु $ M_(1)=1 \neq 0 $ पर विचार करें। पहली पंक्ति और पहले कॉलम में स्थित है। हम इसे दूसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम की मदद से बॉर्डर करते हैं, हमें मामूली $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; आइए दूसरे क्रम के एक और माइनर पर विचार करें, इसके लिए हम माइनर $M_1$ को दूसरी पंक्ति और तीसरे कॉलम की मदद से बॉर्डर करते हैं, फिर हमारे पास माइनर $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , अर्थात मैट्रिक्स की रैंक है ​दो से कम नहीं. इसके बाद, हम तीसरे क्रम के नाबालिगों पर विचार करते हैं जो मामूली $ M_(2)^(2) $ की सीमा बनाते हैं। ऐसे दो नाबालिग हैं: तीसरी पंक्ति का दूसरे कॉलम के साथ या चौथे कॉलम के साथ संयोजन। आइए इन नाबालिगों की गणना करें।

मैट्रिक्स रैंक

परिभाषा 1

मैट्रिक्स की पंक्तियों/स्तंभों की एक प्रणाली को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि इनमें से कोई भी पंक्ति (इनमें से कोई भी स्तंभ) अन्य पंक्तियों/स्तंभों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त नहीं की जाती है।

एक निश्चित मैट्रिक्स की पंक्तियों/स्तंभों की प्रणाली की रैंक $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों/स्तंभों की सबसे बड़ी संख्या है।

स्तंभ प्रणाली की रैंक हमेशा पंक्ति प्रणाली की रैंक से मेल खाती है। इस रैंक को प्रश्न में मैट्रिक्स की रैंक कहा जाता है।

मैट्रिक्स की रैंक किसी दिए गए मैट्रिक्स के छोटे ऑर्डरों की अधिकतम है जिसके लिए निर्धारक गैर-शून्य है।

मैट्रिक्स की रैंक को इंगित करने के लिए निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग किया जाता है: $rangA$, $rgA$, $rankA$।

मैट्रिक्स की रैंक में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. शून्य मैट्रिक्स के लिए, मैट्रिक्स की रैंक शून्य है, बाकी के लिए, रैंक कुछ सकारात्मक संख्या है।
2. $m\times n$ क्रम के एक आयताकार मैट्रिक्स की रैंक मैट्रिक्स की पंक्तियों या स्तंभों की संख्या से कम से अधिक नहीं है, अर्थात। $0\le रैंक\le \min (m,n)$.
3. किसी क्रम के गैर-एकवचन वर्ग मैट्रिक्स के लिए, इस मैट्रिक्स की रैंक दिए गए मैट्रिक्स के क्रम से मेल खाती है।
4. किसी क्रम के वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक, जिसकी रैंक मैट्रिक्स के क्रम से कम है, शून्य के बराबर है।

मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

• निर्धारकों और अवयस्कों (किनारे विधि) का उपयोग करके सीमा;
• प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से.

किनारा विधि एल्गोरिथ्म में निम्नलिखित शामिल हैं:

1. ऐसे मामले में जब सभी प्रथम-क्रम अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो हमारे पास विचाराधीन मैट्रिक्स की रैंक शून्य के बराबर है।
2. उस स्थिति में जब पहले क्रम के नाबालिगों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, और सभी दूसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, मैट्रिक्स की रैंक 1 है।
3. ऐसे मामले में जहां दूसरे क्रम के नाबालिगों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, तीसरे क्रम के नाबालिगों की जांच की जाती है। परिणामस्वरूप, ऑर्डर $k$ का माइनर पाया जाता है और यह जांचा जाता है कि ऑर्डर $k+1$ का माइनर शून्य के बराबर है या नहीं। यदि $k+1$ क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक $k$ के बराबर है।

मैट्रिक्स की रैंक कैसे निर्धारित करें: उदाहरण

उदाहरण 1

समाधान:

ध्यान दें कि मूल मैट्रिक्स की रैंक 3 से अधिक नहीं हो सकती।

प्रथम क्रम के अवयस्कों में ऐसे अवयस्क हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं, उदाहरण के लिए, $M_(1) =\left|-2\right|=-2$. आइए दूसरे क्रम के अवयस्कों पर विचार करें।

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (-2) & (1) \\ (1) & (0) \end(array)\right|=-2\cdot 0-1 \cdot 1=0-1=-1\ne 0$

$M_(3) =\left|\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) ) और (3) \end(array)\right|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$

इसलिए, प्रश्न में मैट्रिक्स की रैंक 3 है।

उदाहरण 2

मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करें $A=\left(\begin(array)(ccccc) (1) & (2) & (3) & (0) & (1) \\ (0) & (1) & ( 2) और (3) और (4) \ (2) और (3) और (1) और (4) और (5) \ (0) और (0) और (0) और (0) और ( 0) \ अंत(सरणी)\दाएं)$।

समाधान:

ध्यान दें कि मूल मैट्रिक्स की रैंक 4 (4 पंक्तियाँ, 5 कॉलम) से अधिक नहीं हो सकती।

पहले क्रम के अवयस्कों में गैर-शून्य भी हैं, उदाहरण के लिए, $M_(1) =\left|1\right|=1$। आइए दूसरे क्रम के अवयस्कों पर विचार करें।

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (1) & (2) \\ (0) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

आइए हम दूसरे क्रम के माइनर की बॉर्डरिंग करें और तीसरे क्रम के माइनर को प्राप्त करें।

$M_(3) =\left|\begin(array)(ccc) (1) और (2) और (3) \\ (0) और (1) और (2) \\ (2) और (3) और (1) \end(array)\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\ cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

आइए हम तीसरे क्रम के माइनर का संपादन करें और चौथे ऑर्डर के माइनर को प्राप्त करें।

$M_(4) =\left|\begin(array)(cccc) (1) और (2) और (3) और (0) \\ (0) और (1) और (2) और (3) \ \ (2) और (3) और (1) और (4) \\ (0) और (0) और (0) और (0) \end(array)\right|=0$ (एक शून्य स्ट्रिंग शामिल है)

$M_(5) =\left|\begin(array)(cccc) (1) और (2) और (3) और (1) \\ (0) और (1) और (2) और (4) \ \ (2) और (3) और (1) और (5) \\ (0) और (0) और (0) और (0) \end(array)\right|=0$ (एक शून्य स्ट्रिंग शामिल है)

मैट्रिक्स के सभी चौथे क्रम के माइनर शून्य के बराबर हैं, इसलिए, प्रश्न में मैट्रिक्स की रैंक 3 है।

प्रारंभिक परिवर्तनों के माध्यम से मैट्रिक्स की रैंक का पता लगाना मैट्रिक्स को एक विकर्ण (चरण) रूप में कम करने के लिए कम किया जाता है। परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त मैट्रिक्स की रैंक गैर-शून्य विकर्ण तत्वों की संख्या के बराबर है।

उदाहरण 3

मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करें $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) और (2) और (3) \end(सरणी)\दाएं)$।

समाधान:

आइए मैट्रिक्स ए की पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) & ( 3) \end(array)\right)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-2) & (1) & (4) \\ (1) और (2) और (3) \end(सरणी)\दाएं)$

मैट्रिक्स बी की पहली पंक्ति को संख्या 2 से गुणा करें और इसे दूसरी पंक्ति में जोड़ें:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) और (0) और (3) \\ (-2) और (1) और (4) \\ (1) और (2) और (3) \end(array)\right)\sim \left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (1) और (2) और (3) \end(सरणी)\दाएं)$

आइए मैट्रिक्स C की पहली पंक्ति को संख्या -1 से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) और (0) और (3) \\ (0) और (1) और (10) \\ (1) और (2) और (3) \ अंत(सरणी)\दाएं)\सिम \बाएं(\शुरू(सरणी)(सीसीसी) (1) और (0) और (3) \\ (0) और (1) और (10) \\ (0) और (2) और (0) \end(सरणी)\दाएं)$

आइए मैट्रिक्स D की दूसरी पंक्ति को संख्या -2 से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) और (0) और (3) \\ (0) और (1) और (10) \\ (0) और (2) और (0) \ अंत(सरणी)\दाएं)\सिम \बाएं(\शुरू(सरणी)(सीसीसी) (1) और (0) और (3) \\ (0) और (1) और (10) \\ (0) और (0) और (-20) \end(सरणी)\दाएं)$

$\left(\begin(array)(ccc) (1) और (0) और (3) \\ (0) और (1) और (10) \\ (0) और (0) और (-20) \end(सरणी)\दाएं)$ - सोपानक मैट्रिक्स

गैर-शून्य विकर्ण तत्वों की संख्या 3 है, इसलिए $rang=3$।

परिभाषा। मैट्रिक्स रैंकवेक्टर के रूप में मानी जाने वाली रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या है।

मैट्रिक्स की रैंक पर प्रमेय 1. मैट्रिक्स रैंकमैट्रिक्स के गैर-शून्य लघु का अधिकतम क्रम कहा जाता है।

हमने पहले ही निर्धारकों के पाठ में लघु की अवधारणा पर चर्चा की है, लेकिन अब हम इसका सामान्यीकरण करेंगे। आइए मैट्रिक्स में पंक्तियों की एक निश्चित संख्या और स्तंभों की एक निश्चित संख्या लें, और यह "कितना" मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से कम होना चाहिए, और पंक्तियों और स्तंभों के लिए यह "कितना" होना चाहिए एक जैसी संख्या। फिर कितनी पंक्तियों और कितने स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर हमारे मूल मैट्रिक्स से कम क्रम का मैट्रिक्स होगा। निर्धारक एक मैट्रिक्स है और यदि उल्लिखित "कुछ" (पंक्तियों और स्तंभों की संख्या) को k द्वारा दर्शाया जाता है, तो यह kवें क्रम का एक छोटा होगा।

परिभाषा।नाबालिग ( आर+1)वाँ क्रम, जिसके अंतर्गत चुना हुआ अवयस्क निहित है आर-वें क्रम को किसी दिए गए अवयस्क के लिए बॉर्डरिंग कहा जाता है।

दो सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियाँ हैं मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना. यह नाबालिगों को सीमाबद्ध करने का तरीकाऔर प्राथमिक परिवर्तन की विधि(गॉस विधि).

बॉर्डरिंग माइनर्स विधि का उपयोग करते समय, निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

मैट्रिक्स की रैंक पर प्रमेय 2.यदि माइनर को मैट्रिक्स तत्वों से बनाया जा सकता है आरवां क्रम, शून्य के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स की रैंक बराबर है आर.

प्राथमिक परिवर्तन विधि का उपयोग करते समय, निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग किया जाता है:

यदि, प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से, एक समलम्बाकार मैट्रिक्स प्राप्त होता है जो मूल के बराबर है, तो इस मैट्रिक्स की रैंकपूर्णतः शून्य से युक्त रेखाओं के अलावा इसमें रेखाओं की संख्या क्या है?

अवयस्कों को बॉर्डर करने की विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना

एक संलग्न नाबालिग दिए गए नाबालिग के सापेक्ष उच्च क्रम का नाबालिग है यदि उच्च क्रम के इस नाबालिग में दिया गया नाबालिग शामिल है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स दिया गया है

चलिए एक नाबालिग को लेते हैं

सीमावर्ती नाबालिग होंगे:

मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदमअगला।

1. दूसरे क्रम के ऐसे अवयस्क खोजें जो शून्य के बराबर न हों। यदि दूसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर होगी ( आर =1 ).

2. यदि दूसरे क्रम का कम से कम एक लघु है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो हम तीसरे क्रम के सीमांत लघु की रचना करते हैं। यदि तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है ( आर =2 ).

3. यदि तीसरे क्रम के बॉर्डरिंग माइनर में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, तो हम बॉर्डरिंग माइनर की रचना करते हैं। यदि चौथे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है ( आर =2 ).

4. जब तक मैट्रिक्स आकार अनुमति देता है तब तक इसी तरह जारी रखें।

उदाहरण 1।मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

.

समाधान। दूसरे क्रम का लघु .

आइए इसकी सीमा तय करें। चार सीमावर्ती नाबालिग होंगे:

,

,

इस प्रकार, तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, इसलिए, इस मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है ( आर =2 ).

उदाहरण 2.मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

समाधान। इस मैट्रिक्स की रैंक 1 के बराबर है, क्योंकि इस मैट्रिक्स के सभी दूसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं (इसमें, जैसा कि निम्नलिखित दो उदाहरणों में सीमावर्ती नाबालिगों के मामलों में है, प्रिय छात्रों को सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है) स्वयं, शायद निर्धारकों की गणना के लिए नियमों का उपयोग करते हुए), और पहले क्रम के नाबालिगों के बीच, अर्थात्, मैट्रिक्स के तत्वों के बीच, गैर-शून्य वाले होते हैं।

उदाहरण 3.मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

समाधान। इस मैट्रिक्स का दूसरा ऑर्डर माइनर है, और इस मैट्रिक्स के सभी तीसरे ऑर्डर माइनर शून्य के बराबर हैं। अतः इस मैट्रिक्स की रैंक दो है।

उदाहरण 4.मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

समाधान। इस मैट्रिक्स की रैंक 3 है, क्योंकि इस मैट्रिक्स का एकमात्र तीसरे क्रम का माइनर 3 है।

प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि (गॉस विधि) का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना

पहले से ही उदाहरण 1 में यह स्पष्ट है कि बॉर्डरिंग माइनर्स की विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने के कार्य के लिए बड़ी संख्या में निर्धारकों की गणना की आवश्यकता होती है। हालाँकि, गणना की मात्रा को न्यूनतम करने का एक तरीका है। यह विधि प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों के उपयोग पर आधारित है और इसे गॉस विधि भी कहा जाता है।

निम्नलिखित परिचालनों को प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों के रूप में समझा जाता है:

1) मैट्रिक्स की किसी पंक्ति या स्तंभ को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

2) मैट्रिक्स की किसी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों में किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ के संगत तत्वों को जोड़कर, उसी संख्या से गुणा किया जाता है;

3) मैट्रिक्स की दो पंक्तियों या स्तंभों की अदला-बदली;

4) "शून्य" पंक्तियों को हटाना, यानी, जिनके सभी तत्व शून्य के बराबर हैं;

5) एक को छोड़कर सभी आनुपातिक रेखाओं को हटाना।

प्रमेय.प्रारंभिक परिवर्तन के दौरान, मैट्रिक्स की रैंक नहीं बदलती है। दूसरे शब्दों में, यदि हम मैट्रिक्स से प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हैं एमैट्रिक्स में गया बी, वह ।