एक बिंदु पर केंद्रित ए.
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

परिभाषा
साइनसएक त्रिकोणमितीय फलन है जो समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| कर्ण की लंबाई तक |AC|.

कोसाइन (cos α)एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न टांग की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| कर्ण की लंबाई तक |AC|.

स्वीकृत पदनाम

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ज्या फलन का ग्राफ, y = sin x

कोज्या फलन का ग्राफ, y = cos x

साइन और कोसाइन के गुण

दौरा

कार्य y= पाप xऔर y= क्योंकि xअवधि के साथ आवधिक 2 पाई.

समानता

साइन फ़ंक्शन विषम है। कोसाइन फ़ंक्शन सम है।

परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, एक्स्ट्रेमा, वृद्धि, कमी

फलन साइन और कोसाइन अपनी परिभाषा के क्षेत्र पर निरंतर हैं, अर्थात सभी x के लिए (निरंतरता का प्रमाण देखें)। उनके मुख्य गुण तालिका (n - पूर्णांक) में प्रस्तुत किए गए हैं।

	वाई = पाप x	वाई = क्योंकि x
दायरा और निरंतरता	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	-1 वाई 1	-1 वाई 1
आरोही
अवरोही
अधिकतम, y= 1
मिनिमा, वाई = - 1
शून्य, y= 0
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	वाई = 0	वाई = 1

मूल सूत्र

वर्ग ज्या और कोज्या का योग

योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन सूत्र

;
;

ज्या और कोज्या के गुणनफल के सूत्र

योग और अंतर सूत्र

कोज्या द्वारा ज्या का व्यंजक

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ज्या द्वारा कोज्या का व्यंजक

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स्पर्शरेखा के संदर्भ में अभिव्यक्ति

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के लिए, हमारे पास है:
; .

पर :
; .

ज्या और कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों को दर्शाती है।

जटिल चरों के माध्यम से व्यंजक

;

यूलर सूत्र

अतिपरवलयिक कार्यों के संदर्भ में व्यंजक

;
;

संजात

; . सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

nवें क्रम के व्युत्पन्न:
{ -∞ < x < +∞ }

सेकेंट, कोसेकेंट

उलटा कार्य

साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम कार्य क्रमशः आर्क्साइन और आर्ककोसाइन हैं।

आर्कसिन, आर्क्सिन

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

गणित की एक शाखा जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह है त्रिकोणमिति। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और गणना में संख्या pi का उपयोग करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान से परिचित होना कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न ऑपरेशन करना संभव हो जाता है जो किसी को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक तरफ का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इसे इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि कला के निर्माण में सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोग विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात करते थे। तब विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे गणित के इस खंड के दैनिक जीवन में उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया।

स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन आज समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद छात्रों द्वारा अर्जित ज्ञान का उपयोग भौतिकी और अमूर्त त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिसके साथ हाई स्कूल में काम शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां विभिन्न नियम लागू होते हैं, और त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह और किसी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सतह का अंकन "चाप के आकार का" होगा। त्रि-आयामी अंतरिक्ष।

ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं से इस प्रकार संलग्न करें कि यह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार प्राप्त कर लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, सौदों।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटते हैं ताकि आगे यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत पक्ष है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में लगभग साढ़े चार हजार साल पहले पता था।

शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की एक ठोस समझ के साथ, हम एक कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।

कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है।

याद रखें कि न तो ज्या और न ही कोज्या एक से बड़ा हो सकता है! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैर कितना लंबा है, यह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।

अंत में, किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात है। वही परिणाम कोज्या द्वारा ज्या का विभाजन देगा। देखो: सूत्र के अनुसार, हम पक्ष की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात मिलता है।

कोटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटी भुजा का विपरीत दिशा में अनुपात है। हम इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर समान परिणाम प्राप्त करते हैं।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में, कोई सूत्र के बिना नहीं कर सकता - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की जरूरत है, वह कहता है कि एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पायथागॉरियन प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, हालांकि, यह समय बचाता है यदि आपको कोण का मान जानने की आवश्यकता है, भुजा की नहीं।

कई छात्र दूसरे सूत्र को याद नहीं कर सकते हैं, जो स्कूल की समस्याओं को हल करते समय भी बहुत लोकप्रिय है: एक का योग और एक कोण के स्पर्शरेखा का वर्ग कोण के कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: यह जानकर कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट क्या हैं, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र, आप किसी भी समय स्वतंत्र रूप से कागज़ की शीट पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

द्विकोण सूत्र और तर्कों का योग

दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - एक अभ्यास के रूप में, अल्फा के कोण को बीटा के कोण के बराबर लेते हुए, उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें।

अंत में, ध्यान दें कि डबल कोण सूत्रों को साइन, कोसाइन, टेंगेंट अल्फा की डिग्री को कम करने के लिए परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रमेयों

मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्र, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।

साइन प्रमेय कहता है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने पर हमें वही संख्या प्राप्त होती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु हों।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्य करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके आसन्न कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा करके - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है।

असावधानी के कारण गलतियाँ

साइन, कोसाइन और टेंगेंट क्या हैं, यह जानते हुए भी, अनुपस्थिति या सरल गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक सामान्य अंशों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - जब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए, आप उत्तर को एक साधारण अंश के रूप में छोड़ सकते हैं। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि कार्य के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जो लेखक के विचार के अनुसार कम होनी चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय कार्यों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे हर कदम पर कार्यों में होते हैं। वही "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर लागू होता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।

तीसरा, साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर होती है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन पत्र

कई छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये अवधारणाएं हैं जिनके लिए आप दूर के सितारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये सिर्फ सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग हर जगह किया जाता है।

आखिरकार

तो आप ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा हैं। आप उनका उपयोग गणना में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य पर उबलता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन पक्षों की लंबाई और तीन कोणों का परिमाण। कार्यों में पूरा अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।

पैरों की ज्ञात लंबाई या कर्ण के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे खोजें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन पदों का अर्थ एक अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक भिन्न है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की एक प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहां आपको साधारण स्कूली गणित से मदद मिलेगी।

हम त्रिकोणमिति के अपने अध्ययन की शुरुआत एक समकोण त्रिभुज से करते हैं। आइए परिभाषित करें कि ज्या और कोज्या क्या हैं, साथ ही एक न्यून कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट क्या हैं। ये त्रिकोणमिति की मूल बातें हैं।

याद करें कि समकोण 90 डिग्री के बराबर कोण है। दूसरे शब्दों में, आधा खुला कोने।

तेज़ कोने- 90 डिग्री से कम।

अधिक कोण- 90 डिग्री से अधिक। ऐसे कोण के संबंध में, "कुंद" अपमान नहीं है, बल्कि गणितीय शब्द है :-)

आइए एक समकोण त्रिभुज बनाएं। एक समकोण को आमतौर पर दर्शाया जाता है। ध्यान दें कि कोने के विपरीत पक्ष को एक ही अक्षर से दर्शाया जाता है, केवल छोटा। अत: कोण A के सम्मुख स्थित भुजा को निरूपित किया जाता है।

कोण को संबंधित ग्रीक अक्षर से दर्शाया जाता है।

कर्णएक समकोण त्रिभुज समकोण के विपरीत भुजा है।

पैर- तेज कोनों के विपरीत पक्ष।

कोने के विपरीत पैर को कहा जाता है विलोम(कोण के सापेक्ष)। दूसरा पैर, जो कोने के एक तरफ होता है, कहलाता है सटा हुआ.

साइनससमकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:

कोज्यासमकोण त्रिभुज में न्यून कोण - कर्ण से सटे पैर का अनुपात:

स्पर्शरेखासमकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - विपरीत पैर का आसन्न से अनुपात:

एक और (समतुल्य) परिभाषा: एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा एक कोण की ज्या और उसकी कोज्या का अनुपात है:

कोटैंजेंटसमकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - आसन्न पैर का विपरीत (या, समतुल्य रूप से, कोसाइन से ज्या का अनुपात):

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के मूल अनुपातों पर ध्यान दें, जो नीचे दिए गए हैं। वे समस्याओं को हल करने में हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आइए उनमें से कुछ को साबित करें।

ठीक है, हमने परिभाषाएँ और लिखित सूत्र दिए हैं। लेकिन हमें साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की आवश्यकता क्यों है?

हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग होता है.

हम के बीच संबंध जानते हैं दलोंसही त्रिकोण। यह पाइथागोरस प्रमेय है:।

यह पता चला है कि त्रिभुज में दो कोणों को जानकर, आप तीसरा ढूंढ सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज में दो भुजाओं को जानकर, आप तीसरा ज्ञात कर सकते हैं। तो, कोणों के लिए - उनका अनुपात, पक्षों के लिए - उनका अपना। लेकिन क्या करें यदि एक समकोण त्रिभुज में एक कोण (एक समकोण को छोड़कर) और एक भुजा ज्ञात हो, लेकिन आपको अन्य भुजाएँ खोजने की आवश्यकता हो?

अतीत में लोगों ने इसका सामना किया, क्षेत्र के नक्शे और तारों वाले आकाश का निर्माण किया। आखिरकार, त्रिभुज के सभी पक्षों को सीधे मापना हमेशा संभव नहीं होता है।

साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा - इन्हें भी कहा जाता है कोण के त्रिकोणमितीय कार्य- के बीच अनुपात दें दलोंऔर कोनेत्रिकोण। कोण जानने के बाद, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग करके इसके सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को पा सकते हैं। और एक त्रिभुज के कोणों और उसकी एक भुजा की ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखाओं को जानकर, आप बाकी का पता लगा सकते हैं।

हम से "अच्छे" कोणों के लिए साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट मानों की एक तालिका भी तैयार करेंगे।

तालिका में दो लाल डैश पर ध्यान दें। कोणों के संगत मानों के लिए, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मौजूद नहीं होते हैं।

आइए बैंक ऑफ एफआईपीआई कार्यों से त्रिकोणमिति में कई समस्याओं का विश्लेषण करें।

1. एक त्रिभुज में कोण , . होता है। पाना ।

समस्या चार सेकंड में हल हो जाती है।

जहां तक ​​कि , ।

2. एक त्रिभुज में कोण , , , होता है। पाना ।

आइए पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ज्ञात करें।

समस्या सुलझ गयी।

अक्सर समस्याओं में कोण और या कोण वाले त्रिभुज होते हैं। उनके लिए मूल अनुपातों को दिल से याद करें!

कोण वाले त्रिभुज के लिए और कोण के विपरीत पैर के बराबर है कर्ण का आधा.

कोणों वाला एक त्रिभुज और समद्विबाहु है। इसमें कर्ण पैर से कई गुना बड़ा होता है।

हमने समकोण त्रिभुजों को हल करने की समस्याओं पर विचार किया - अर्थात अज्ञात भुजाओं या कोणों को खोजने के लिए। लेकिन वह सब नहीं है! गणित में परीक्षा के रूपों में, ऐसे कई कार्य हैं जहां त्रिभुज के बाहरी कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा या कोटेंजेंट दिखाई देते हैं। इसके बारे में अगले लेख में।

मैं आपको चीट शीट न लिखने के लिए मनाऊंगा। लिखना! त्रिकोणमिति पर चीट शीट सहित। बाद में मैं यह समझाने की योजना बना रहा हूं कि चीट शीट की आवश्यकता क्यों है और चीट शीट कैसे उपयोगी हैं। और यहाँ - कैसे नहीं सीखना है, लेकिन कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखना है। तो - चीट शीट के बिना त्रिकोणमिति! हम याद रखने के लिए संघों का उपयोग करते हैं।

1. जोड़ सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में जाते हैं": कोसाइन-कोसाइन, साइन-साइन। और एक और बात: कोसाइन "अपर्याप्त" हैं। वे "सब कुछ गलत है", इसलिए वे संकेतों को बदलते हैं: "-" से "+", और इसके विपरीत।

साइनस - "मिश्रण": साइन-कोसाइन, कोसाइन-साइन।

2. योग और अंतर सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में जाओ"। दो कोसाइन - "बन्स" जोड़ने के बाद, हमें कोसाइन की एक जोड़ी मिलती है - "कोलोबोक"। और घटाना, हमें निश्चित रूप से कोलोबोक नहीं मिलेगा। हमें कुछ साइन मिलते हैं। अभी भी माइनस आगे है।

साइनस - "मिश्रण" :

3. किसी उत्पाद को योग और अंतर में बदलने के सूत्र।

हमें कोसाइन का एक जोड़ा कब प्राप्त होता है? कोसाइन जोड़ते समय। इसलिए

हमें एक जोड़ी ज्या कब मिलती है? कोसाइन घटाते समय। यहां से:

"मिश्रण" साइन को जोड़ने और घटाने दोनों द्वारा प्राप्त किया जाता है। कौन सा अधिक मजेदार है: जोड़ना या घटाना? यह सही है, गुना। और सूत्र के लिए अतिरिक्त लें:

कोष्ठक में पहले और तीसरे सूत्र में - राशि। पदों के स्थानों की पुनर्व्यवस्था से, योग नहीं बदलता है। आदेश केवल दूसरे सूत्र के लिए महत्वपूर्ण है। लेकिन, भ्रमित न होने के लिए, याद रखने में आसानी के लिए, पहले कोष्ठक के तीनों सूत्रों में हम अंतर लेते हैं

और दूसरी बात, योग

आपकी जेब में पालने की चादरें मन की शांति देती हैं: यदि आप सूत्र भूल जाते हैं, तो आप इसे लिख सकते हैं। और वे आत्मविश्वास देते हैं: यदि आप चीट शीट का उपयोग करने में विफल रहते हैं, तो सूत्र आसानी से याद किए जा सकते हैं।