आवेदन संख्या 3

संदर्भ आरेखों का उपयोग करके विषय के सामान्य विश्लेषण का पाठ

"तर्कहीन असमानताएं"

पाठ की शुरुआत से पहले, छात्रों को कुछ पंक्तियों में प्रशिक्षण के तीन स्तरों के अनुसार बैठाया जाता है। ध्यान दें कि विचाराधीन विषय पर कौशल छात्रों की तैयारी के लिए अनिवार्य आवश्यकताओं से संबंधित नहीं है, इसलिए, केवल अधिक तैयार छात्र (समूह 1 और 2) मेरे साथ इसका अध्ययन करते हैं।

पाठ का उद्देश्य। मध्यम और उच्च जटिलता की तर्कहीन असमानताओं को हल करने के तरीकों का विश्लेषण करें, समर्थन योजनाएं विकसित करें।

पाठ का चरण 1 - संगठनात्मक (1 मि.)

शिक्षक छात्रों को पाठ का विषय, उद्देश्य बताता है और हैंडआउट का उद्देश्य बताता है, जो डेस्क पर है।

पाठ का दूसरा चरण (5 मि.)

"तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय पर सबसे सरल समस्याओं को हल करने पर दोहराव के लिए मौखिक कार्य

शिक्षक छात्रों को बारी-बारी से सवालों के जवाब देने के लिए आमंत्रित करता है, प्रासंगिक सैद्धांतिक तथ्य के संदर्भ में उनके जवाब पर टिप्पणी करता है।

कक्षा 10-11 में प्रत्येक पाठ के लिए दोहराव की सिफारिश की जाती है। छात्रों को निम्नलिखित सामग्री के क्षेत्रीय नैदानिक ​​​​परीक्षणों के आधार पर संकलित मौखिक कार्य के कार्यों के साथ पत्रक दिए जाते हैं।

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

सरल कीजिए: 1) 12मी 4/3मी 8

2) 6एस 3/7 + 4 (एस 1/7) 3

3) (32x 2) 1/5 x 3/5

4) 2 4.6a 2 -1.6a

5) 2x 0.2 x -1.2

6) 4x 3/5 x 1/10

7) (25x4) 0.5

8) 2x 4/5 3x 1/5

9) (3x 2/5) 2 + 2x 4/5

10) 3x 1/2 x 3/2

गणना करें: 11) 4 3.2m 4 -1.2m , m = 1/4 . के साथ

12) 6 -5.6ए 6 3.6ए, एक \u003d 1/2 . के साथ

13) 5 27 2/3 - 16 1/4

14) 3 4.4 एस 3 -6.4 एस, सी \u003d 1/2 . के साथ

15) 3x 2/5 x 3/5, x = 2 . पर

पाठ का चरण 3 - एक नया विषय सीखना (20 मिनट), व्याख्यान

शिक्षक छात्रों के तीसरे समूह को कार्ड के साथ दोहराव पर काम करना शुरू करने के लिए आमंत्रित करता है - "सरल त्रिकोणमितीय समीकरण" विषय पर सलाहकार (चूंकि अध्ययन की जा रही सामग्री जटिलता के बढ़े हुए स्तर की है और अनिवार्य नहीं है)। तीसरे समूह के छात्र, एक नियम के रूप में, कमजोर गणितीय प्रशिक्षण वाले छात्र, शैक्षणिक रूप से उपेक्षित स्कूली बच्चे हैं। कार्य पूरा करने के बाद, समूह के भीतर कार्डों का आदान-प्रदान किया जाता है। अधिक तैयार छात्र एक नए विषय का विश्लेषण करना शुरू करते हैं।

तर्कहीन असमानताओं को हल करने के तरीकों का विश्लेषण करने से पहले, छात्रों को मुख्य सैद्धांतिक तथ्यों को याद दिलाने की जरूरत है, जिसके आधार पर समकक्ष संक्रमणों के लिए समर्थन योजनाएं बनाई जाएंगी। छात्रों की तैयारी के स्तर के आधार पर, ये या तो शिक्षक के प्रश्नों के मौखिक उत्तर हो सकते हैं, या शिक्षक और छात्रों का संयुक्त कार्य हो सकता है, लेकिन किसी भी मामले में, पाठ में निम्नलिखित को सुना जाना चाहिए।

परिभाषा 1. जिन असमानताओं के समाधान समान होते हैं, उन्हें समतुल्य कहा जाता है।

असमानताओं को हल करते समय, यह असमानता आमतौर पर एक समान में बदल जाती है।

उदाहरण के लिए, असमानता(एक्स - 3) / (एक्स 2 + 1) समकक्ष हैं, क्योंकि समाधान का एक ही सेट है:एक्स । असमानताओं 2x/(x - 1) > 1 और 2x > x - 1समकक्ष नहीं हैं, क्योंकि पहले के हल x 1 हैं, और दूसरे के हल संख्याएँ x> -1 हैं।

परिभाषा 2. असमानता का क्षेत्र x मानों का समुच्चय है जिसके लिए असमानता के दोनों पक्ष अर्थ रखते हैं।

प्रेरणा। असमानताएँ स्वयं अध्ययन के लिए रुचिकर हैं, क्योंकि यह उनकी मदद से है कि वास्तविकता को पहचानने के सबसे महत्वपूर्ण कार्य प्रतीकात्मक भाषा में लिखे गए हैं। असमानता अक्सर किसी भी वस्तु के अस्तित्व को साबित या अस्वीकृत करने, उनकी संख्या का अनुमान लगाने, वर्गीकृत करने के लिए एक महत्वपूर्ण सहायक उपकरण के रूप में कार्य करती है। इसलिए, किसी को असमानताओं से कम से कम अक्सर समीकरणों से निपटना पड़ता है।

परिभाषा। मूल चिह्न के नीचे एक चर वाली असमानता को अपरिमेय कहा जाता है।

उदाहरण 1. (5 - x)

असमानता की परिभाषा का दायरा क्या है?

समान असमानता उत्पन्न करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने की शर्त क्या है?

5 - एक्स 0

(5 - एक्स) 5 - एक्स -11

उदाहरण 2. 10 + x - x 2 ≥ 2 10 + x - x 2 0 10 + x - x 2 4

10 + एक्स - एक्स 2 ≥ 4

क्योंकि प्रणाली की दूसरी असमानता का प्रत्येक समाधान पहली असमानता का समाधान है।

उदाहरण 3 असमानताओं को हल करें

ए) 3x - 4

बी) √2x 2 + 5x - 3 ≤ 0 2x 2 + 5x - 3 = 0

आइए तीन विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करें, जिनसे यह स्पष्ट होगा कि कैसे, असमानताओं को हल करते समय, समान परिवर्तन करने के लिए, जब स्पष्ट परिवर्तन समतुल्य नहीं है।

उदाहरण 1. √1 - 4x

बेशक, एक वर्ग असमानता प्राप्त करने के लिए दोनों भागों को वर्गाकार करना वांछनीय होगा। इस मामले में, हम एक गैर-समतुल्य असमानता प्राप्त कर सकते हैं। यदि हम केवल उन x पर विचार करें जिनके लिए दोनों भाग ऋणात्मक नहीं हैं (बायां पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-ऋणात्मक है), तब भी वर्ग करना संभव होगा। लेकिन उन x का क्या करें जिनके लिए दाहिना हाथ ऋणात्मक है? और कुछ न करें, क्योंकि इनमें से कोई भी x असमानता का समाधान नहीं होगा: आखिरकार, असमानता के किसी भी समाधान के लिए, दायां पक्ष बाएं से बड़ा है, जो एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और इसलिए, स्वयं है नकारात्मक नहीं। तो, हमारी असमानता का परिणाम ऐसी व्यवस्था होगी

1 - 4x 2

एक्स + 11 0।

हालांकि, इस प्रणाली को मूल असमानता के बराबर नहीं होना चाहिए। परिणामी प्रणाली की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है, जबकि मूल असमानता केवल उन x के लिए परिभाषित की गई है जिनके लिए 1 - 4x 0. इसलिए यदि हम चाहते हैं कि हमारी प्रणाली असमानता के बराबर हो, तो हमें इस स्थिति को विशेषता देना चाहिए :

1 - 4x 2

एक्स + 11 0

1 - 4x 0

उत्तर: (- 6; ]

एक मजबूत छात्र को सामान्य तरीके से तर्क करने का प्रस्ताव है, यह पता चला है कि

f(x) f(x) 2

जी (एक्स) 0

एफ (एक्स) 0।

यदि मूल असमानता में 2 के स्थान पर का चिन्ह था।

उदाहरण 2. x > x - 2

यहां फिर से, हम उन x के लिए वर्ग कर सकते हैं जिनके लिए शर्त x - 2 0 संतुष्ट है। हालांकि, अब उन x को छोड़ना संभव नहीं है जिनके लिए दायां पक्ष नकारात्मक है: आखिरकार, इस मामले में दाएं तरफ स्पष्ट रूप से गैर-ऋणात्मक बाईं ओर से कम होगा, जिससे कि ऐसे सभी x असमानताओं के समाधान होंगे। हालाँकि, सभी नहीं, बल्कि वे जो असमानता की परिभाषा के दायरे में शामिल हैं, अर्थात्। जिसके लिए x 0.किन मामलों पर विचार किया जाना चाहिए?

स्थिति 1: यदि x - 2 0, तो हमारी असमानता का तात्पर्य प्रणाली से है

एक्स> (एक्स - 2) 2

एक्स - 2 0

2 मामला: यदि x - 2

एक्स 0

एक्स - 2

मामलों को पार्स करते समय, "सेट" नामक एक मिश्रित स्थिति उत्पन्न होती है। हम असमानता के बराबर दो प्रणालियों का एक सेट प्राप्त करते हैं

एक्स> (एक्स - 2) 2

एक्स - 2 0

एक्स 0

एक्स - 2

एक मजबूत छात्र को सामान्य तरीके से तर्क करने के लिए आमंत्रित किया जाता है, तो यह इस तरह से निकलेगा:

√f(x) > g(x) f(x) > (g(x)) 2

जी (एक्स) 0

एफ (एक्स) 0

जी (एक्स)

यदि मूल असमानता में > के स्थान पर चिन्ह था, तो इस प्रणाली की पहली असमानता के रूप में f(х) (g(х)) लेना आवश्यक था। 2 .

उदाहरण 3. x 2 - 1 > x + 5.

प्रशन:

बाएँ और दाएँ पक्षों पर भावों के क्या अर्थ हैं?

क्या इसे चौकोर किया जा सकता है?

असमानताओं की परिभाषा का क्षेत्र क्या है?

हमें x 2 - 1 > x + 5 . प्राप्त होता है

एक्स + 5 0

एक्स 2 - 1 0

कौन सी शर्त बेमानी है?

इस प्रकार, हम पाते हैं कि यह असमानता प्रणाली के बराबर है

एक्स 2 - 1 > एक्स + 5

एक्स + 5 0

एक मजबूत छात्र को सामान्य रूप में तर्क करने के लिए आमंत्रित किया जाता है, यह इस तरह से निकलेगा:

√f(x) > √g(x) f(x) > g(x)

जी (एक्स) 0।

इस बारे में सोचें कि यदि मूल असमानता में > के बजाय , या . का चिह्न हो तो क्या बदलेगा<.>

अपरिमेय असमानताओं को हल करने के लिए 3 योजनाएँ बोर्ड पर पोस्ट की जाती हैं, उनके निर्माण के सिद्धांत पर एक बार फिर चर्चा की जाती है।

चरण 4 - ज्ञान का समेकन (5 मि.)

दूसरे समूह के छात्रों को यह इंगित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है कि कौन सी प्रणाली या उनका संयोजन असमानता संख्या 167 (बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11 कोशिकाओं के बराबर है। एम, ज्ञान, 2005, एसएच ए अलीमोव)

इस समूह के दो सबसे अधिक तैयार छात्रों को बोर्ड पर असमानताओं को हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है: नंबर 1. √x 2 - 1 >1

नंबर 2. 25 - x 2

1 समूह के छात्रों को एक समान कार्य प्राप्त होता है, लेकिन उच्च स्तर की जटिलता संख्या 170 (बीजगणित और ग्रेड 10-11, एम, ज्ञानोदय, 2005, एसएच ए अलीमोव में विश्लेषण की शुरुआत)

इस समूह के सबसे अधिक तैयार छात्रों में से एक को बोर्ड पर असमानता को हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है: √4x - x 2

इस मामले में, सभी छात्रों को सार का उपयोग करने की अनुमति है।

इस समय, शिक्षक तीसरे समूह के छात्रों के साथ काम करता है: यदि आवश्यक हो, तो उनके सवालों के जवाब मदद करता है; और बोर्ड पर समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करता है।

समय के अंत में, प्रत्येक समूह को जांच के लिए उत्तर की एक शीट दी जाती है (आप मल्टीमीडिया सिस्टम का उपयोग करके स्क्रीन पर उत्तर दिखा सकते हैं)।

पाठ का चरण 5 - बोर्ड पर प्रस्तुत समस्याओं के समाधान की चर्चा (7 मि.)

ब्लैकबोर्ड पर कार्यों को पूरा करने वाले छात्र अपने निर्णयों पर टिप्पणी करते हैं, और शेष यदि आवश्यक हो तो समायोजन करते हैं और अपनी नोटबुक में नोट्स बनाते हैं।

पाठ का चरण 6 - पाठ का सारांश, गृहकार्य पर टिप्पणियाँ (2 मि.)

समूह के भीतर कार्डों का 3 समूह आदान-प्रदान।

2 समूह संख्या 168 (3, 4)

1 समूह संख्या 169 (5), संख्या 170 (6)

पाठ "तर्कहीन असमानताओं को हल करना",

ग्रेड 10,

लक्ष्य : छात्रों को तर्कहीन असमानताओं और उन्हें हल करने के तरीकों से परिचित कराना।

पाठ प्रकार : नई सामग्री सीखना।

उपकरण: पाठ्यपुस्तक "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। 10-11 ग्रेड", एसएच.ए. अलीमोव, बीजगणित पर संदर्भ सामग्री, इस विषय पर प्रस्तुति।

शिक्षण योजना:

पाठ चरण

मंच का उद्देश्य

समय

आयोजन का समय

पाठ के विषय का संदेश; पाठ का लक्ष्य निर्धारित करना; पाठ के चरणों का संदेश।

दो मिनट

मौखिक कार्य

एक अपरिमेय समीकरण की परिभाषा के प्रोपेड्यूटिक्स।

4 मिनट

नई सामग्री सीखना

तर्कहीन असमानताओं का परिचय दें और उन्हें कैसे हल करें

20 मिनट

समस्या को सुलझाना

तर्कहीन असमानताओं को हल करने की क्षमता बनाने के लिए

14 मिनट

पाठ सारांश

अपरिमेय असमानता की परिभाषा को दोहराएं और इसे कैसे हल करें।

3 मिनट

गृहकार्य

होमवर्क निर्देश।

दो मिनट

कक्षाओं के दौरान

आयोजन का समय।

मौखिक कार्य (स्लाइड 4.5)

किन समीकरणों को अपरिमेय कहा जाता है?

निम्नलिखित में से कौन से समीकरण अपरिमेय हैं?

डोमेन खोजें

स्पष्ट करें कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर इन समीकरणों का कोई हल क्यों नहीं है

एक प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक - एक शोधकर्ता जिसने सबसे पहले अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व को सिद्ध किया (स्लाइड 6)

जड़ का आधुनिक प्रतिबिम्ब सर्वप्रथम किसने प्रस्तुत किया (स्लाइड 7)

नई सामग्री सीखना।

संदर्भ सामग्री के साथ एक नोटबुक में, अपरिमेय असमानताओं की परिभाषा लिखें: (स्लाइड 8) मूल के चिह्न के नीचे अज्ञात को समाहित करने वाली असमानताओं को अपरिमेय कहा जाता है।

तर्कहीन असमानताएँ स्कूली गणित पाठ्यक्रम का एक कठिन खंड है। तर्कहीन असमानताओं का समाधान इस तथ्य से जटिल है कि यहां, एक नियम के रूप में, सत्यापन की संभावना को बाहर रखा गया है, इसलिए सभी परिवर्तनों को समान बनाने का प्रयास किया जाना चाहिए।

अपरिमेय असमानताओं को हल करते समय त्रुटियों से बचने के लिए, चर के केवल उन मूल्यों पर विचार करना चाहिए जिनके लिए असमानताओं में शामिल सभी कार्यों को परिभाषित किया गया है, अर्थात। संयुक्त राष्ट्र का पता लगाएं, और फिर पूरे संयुक्त राष्ट्र या उसके हिस्सों पर यथोचित रूप से एक समान परिवर्तन करें।

अपरिमेय असमानताओं को हल करने की मुख्य विधि असमानता को एक समान प्रणाली या तर्कसंगत असमानताओं की प्रणालियों के समूह में कम करना है। संदर्भ सामग्री वाली एक नोटबुक में, हम अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीकों के साथ सादृश्य द्वारा अपरिमेय असमानताओं को हल करने के लिए मुख्य तरीकों को लिखते हैं। (स्लाइड 9)

अपरिमेय असमानताओं को हल करते समय, नियम याद रखें: (स्लाइड 10)1। जब एक असमानता के दोनों हिस्सों को एक विषम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो हमेशा एक असमानता प्राप्त होती है जो दी गई असमानता के बराबर होती है; 2. यदि असमानता के दोनों भागों को एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो मूल असमानता के बराबर असमानता तभी प्राप्त होगी जब मूल असमानता के दोनों भाग गैर-ऋणात्मक हों।

उन अपरिमेय असमानताओं के समाधान पर विचार करें जिनमें दाईं ओर एक संख्या है। (स्लाइड 11)

आइए असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करें, लेकिन हम केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का वर्ग कर सकते हैं। तो आइए जानते हैं यूएन, यानी। x मानों का समुच्चय जिसके लिए असमानता के दोनों पक्ष समझ में आते हैं। असमानता के दाईं ओर x के सभी स्वीकार्य मानों के लिए परिभाषित किया गया है, और बाईं ओर के लिए

एक्स-40. यह असमानता असमानताओं की प्रणाली के बराबर है:

जवाब।

दायां पक्ष नकारात्मक है और बायां पक्ष x के सभी मानों के लिए गैर-ऋणात्मक है जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है। इसका अर्थ है कि x के सभी मानों के लिए बाईं ओर दाईं ओर से बड़ा है जो x . की स्थिति को संतुष्ट करता है3.

कोई भी असमानता, जिसमें रूट के नीचे एक फंक्शन शामिल होता है, कहलाता है तर्कहीन. ऐसी असमानताएँ दो प्रकार की होती हैं:

पहले मामले में, रूट फ़ंक्शन g (x) से छोटा है, दूसरे में - अधिक। अगर जी (एक्स) - लगातार, असमानता नाटकीय रूप से सरल करती है। कृपया ध्यान दें कि बाह्य रूप से ये असमानताएँ बहुत समान हैं, लेकिन उनकी समाधान योजनाएँ मौलिक रूप से भिन्न हैं।

आज हम सीखेंगे कि पहले प्रकार की अपरिमेय असमानताओं को कैसे हल किया जाए - वे सबसे सरल और सबसे अधिक समझने योग्य हैं। असमानता का संकेत सख्त या गैर-सख्त हो सकता है। निम्नलिखित कथन उनके लिए सत्य है:

प्रमेय। प्रपत्र की कोई भी अपरिमेय असमानता

असमानताओं की प्रणाली के बराबर:

कमजोर नहीं? आइए देखें कि ऐसी प्रणाली कहां से आती है:

1. एफ (एक्स) जी 2 (एक्स) - यहां सब कुछ स्पष्ट है। यह मूल असमानता चुकता है;
2. f(x) 0 मूल का ODZ है। मैं आपको याद दिला दूं: अंकगणितीय वर्गमूल केवल से मौजूद है गैर नकारात्मकसंख्याएं;
3. g(x) 0 मूल का परिसर है। असमानता को चुकता करके, हम विपक्ष को जलाते हैं। नतीजतन, अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। असमानता g (x) 0 उन्हें काट देती है।

कई छात्र सिस्टम की पहली असमानता पर "चक्र में जाते हैं": f (x) g 2 (x) - और अन्य दो को पूरी तरह से भूल जाते हैं। परिणाम पूर्वानुमेय है: गलत निर्णय, खोए हुए अंक।

चूँकि अपरिमेय असमानताएँ एक जटिल विषय हैं, आइए एक साथ 4 उदाहरणों का विश्लेषण करें। प्राथमिक से वास्तव में जटिल तक। सभी कार्य मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी की प्रवेश परीक्षा से लिए गए हैं। एम वी लोमोनोसोव।

समस्या समाधान के उदाहरण

काम। असमानता को हल करें:

हमारे पास एक क्लासिक है तर्कहीन असमानता: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 एक अचर है। हमारे पास है:

समाधान के अंत तक तीन असमानताओं में से केवल दो ही रह गईं। क्योंकि असमानता 2 0 हमेशा धारण करती है। आइए शेष असमानताओं को प्रतिच्छेद करें:

तो, x [−1,5; 0.5]। सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि असमानताएँ सख्त नहीं हैं.

काम। असमानता को हल करें:

हम प्रमेय लागू करते हैं:

हम पहली असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अंतर का वर्ग खोलेंगे। हमारे पास है:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
एक्स 2 - 10x< 0;
एक्स (एक्स - 10)< 0;
एक्स (0; 10)।

अब दूसरी असमानता को हल करते हैं। वहॉं भी वर्ग त्रिपद:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(एक्स - 8) (एक्स - 1) ≥ 0;
एक्स ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)