\[(\बड़ा(\पाठ(केंद्रीय और अंकित कोण)))\]

परिभाषाएं

केंद्रीय कोण वह कोण होता है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र में स्थित होता है।

एक खुदा हुआ कोण वह कोण होता है जिसका शीर्ष वृत्त पर स्थित होता है।

किसी वृत्त के चाप का अंश माप उस पर टिके हुए केंद्रीय कोण का अंश माप होता है।

प्रमेय

एक खुदे हुए कोण का माप उस चाप के माप का आधा होता है जिसे वह इंटरसेप्ट करता है।

प्रमाण

हम सबूत को दो चरणों में पूरा करेंगे: सबसे पहले, हम उस मामले के लिए कथन की वैधता साबित करते हैं जब खुदा हुआ कोण के किसी एक पक्ष में व्यास होता है। मान लीजिए बिंदु \(B\) खुदा हुआ कोण \(ABC\) का शीर्ष है और \(BC\) वृत्त का व्यास है:

त्रिभुज \(AOB\) समद्विबाहु है, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) बाहरी है, तो \(\कोण एओसी = \कोण ओएबी + \कोण एबीओ = 2\कोण एबीसी\), कहाँ पे \(\angle ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

अब एक मनमाना खुदा कोण \(ABC\) पर विचार करें। खुदे हुए कोण के शीर्ष से वृत्त का व्यास \(BD\) खींचिए। दो मामले संभव हैं:

1) व्यास ने कोण को दो कोणों में काट दिया \(\angle ABD, \angle CBD\) (जिनमें से प्रत्येक के लिए प्रमेय सत्य है जैसा कि ऊपर सिद्ध किया गया है, इसलिए यह मूल कोण के लिए भी सही है, जो इन का योग है दो और इसलिए चाप के आधे योग के बराबर होता है जिस पर वे झुकते हैं, यानी उस चाप के आधे के बराबर जिस पर वह झुकता है)। चावल। एक।

2) व्यास ने कोण को दो कोणों में नहीं काटा, फिर हमारे पास दो और नए खुदे हुए कोण हैं \(\angle ABD, \angle CBD\) , जिनकी भुजा में व्यास है, इसलिए, प्रमेय उनके लिए सही है, तो यह मूल कोण के लिए भी सही है (जो इन दो कोणों के अंतर के बराबर है, जिसका अर्थ है कि यह उन चापों के आधे-अंतर के बराबर है जिन पर वे आराम करते हैं, यानी यह आधे चाप के बराबर है जिस पर यह आराम करता है)। चावल। 2.

परिणाम

1. एक ही चाप पर आधारित उत्कीर्ण कोण बराबर होते हैं।

2. अर्धवृत्त पर आधारित एक उत्कीर्ण कोण एक समकोण होता है।

3. एक खुदा हुआ कोण उसी चाप पर आधारित आधे केंद्रीय कोण के बराबर होता है।

\[(\बड़ा(\पाठ(वृत्त की स्पर्शरेखा)))\]

परिभाषाएं

एक रेखा और एक वृत्त की पारस्परिक व्यवस्था तीन प्रकार की होती है:

1) रेखा \(a\) वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है। ऐसी रेखा को छेदक कहते हैं। इस स्थिति में, वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा तक की दूरी \(d\) वृत्त की त्रिज्या \(R\) से कम होती है (चित्र 3)।

2) रेखा \(b\) वृत्त को एक बिंदु पर काटती है। ऐसी सीधी रेखा को स्पर्शरेखा कहा जाता है, और उनका उभयनिष्ठ बिंदु \(B\) स्पर्शरेखा बिंदु कहलाता है। इस मामले में \(d=R\) (चित्र 4)।

प्रमेय

1. वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है।

2. यदि रेखा वृत्त की त्रिज्या के अंत से होकर गुजरती है और इस त्रिज्या के लंबवत है, तो यह वृत्त की स्पर्श रेखा है।

परिणाम

एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के खंड बराबर होते हैं।

प्रमाण

बिंदु \(K\) से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ \(KA\) और \(KB\) खींचिए:

तो \(OA\perp KA, OB\perp KB\) त्रिज्या के रूप में। समकोण त्रिभुज \(\triangle KAO\) और \(\triangle KBO\) पैर और कर्ण में बराबर हैं, इसलिए \(KA=KB\) ।

परिणाम

वृत्त का केंद्र \(O\) एक ही बिंदु \(K\) से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित कोण \(AKB\) के द्विभाजक पर स्थित है।

\[(\बड़ा(\पाठ(कोणों से संबंधित प्रमेय))\]

सेकंडों के बीच के कोण के बारे में प्रमेय

एक ही बिंदु से खींचे गए दो छेदकों के बीच का कोण उनके द्वारा काटे गए बड़े और छोटे चापों के डिग्री मापों के आधे अंतर के बराबर होता है।

प्रमाण

मान लीजिए \(M\) एक ऐसा बिंदु है जहां से दो छेदक खींचे जाते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

आइए दिखाते हैं कि \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) त्रिभुज का बाहरी कोना है \(MAD\) , तो \(\कोण डीएबी = \कोण डीएमबी + \कोण एमडीए\), कहाँ पे \(\कोण डीएमबी = \कोण डीएबी - \कोण एमडीए\), लेकिन कोण \(\angle DAB\) और \(\angle MDA\) खुदे हुए हैं, तो \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), जिसे साबित करना था।

प्रतिच्छेदी जीवाओं के बीच कोण प्रमेय

दो प्रतिच्छेदी जीवाओं के बीच का कोण उनके द्वारा काटे गए चापों के अंश मापों के योग के आधे के बराबर होता है: \[\कोण सीएमडी=\dfrac12\बाएं(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

प्रमाण

\(\angle BMA = \angle CMD\) लंबवत के रूप में।

त्रिभुज से \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

लेकिन \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), जहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ मुस्कान\ओवर (सीडी)).\]

जीवा और स्पर्श रेखा के बीच के कोण पर प्रमेय

स्पर्शरेखा बिंदु से गुजरने वाली स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण, जीवा द्वारा घटाए गए चाप के आधे डिग्री माप के बराबर होता है।

प्रमाण

मान लीजिए कि रेखा \(a\) वृत्त को बिंदु \(A\) पर स्पर्श करती है, \(AB\) इस वृत्त की जीवा है, \(O\) इसका केंद्र है। मान लीजिए कि \(OB\) वाली रेखा \(a\) को \(M\) बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। आइए साबित करें कि \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

निरूपित करें \(\angle OAB = \alpha\) । चूँकि \(OA\) और \(OB\) त्रिज्या हैं, तो \(OA = OB\) और \(\कोण ओबीए = \कोण ओएबी = \alpha\). इस प्रकार, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

चूँकि \(OA\) स्पर्शरेखा बिंदु तक खींची गई त्रिज्या है, तो \(OA\perp a\) , यानी \(\angle OAM = 90^\circ\) , इसलिए, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

समान जीवाओं द्वारा अनुबंधित चापों पर प्रमेय

समान जीवाएं बराबर चाप, छोटे अर्धवृत्त अंतरित करती हैं।

और इसके विपरीत: समान चाप समान जीवाओं द्वारा संकुचित होते हैं।

प्रमाण

1) मान लीजिए \(AB=CD\) । आइए हम सिद्ध करें कि चाप के छोटे अर्धवृत्त।

तीन तरफ, इसलिए \(\angle AOB=\angle COD\) । लेकिन जबसे \(\angle AOB, \angle COD\) - चाप पर आधारित केंद्रीय कोण \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)क्रमशः, तब \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) अगर \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), तब \(\triangle AOB=\triangle COD\)दो पक्षों के साथ \(AO=BO=CO=DO\) और उनके बीच का कोण \(\angle AOB=\angle COD\) । इसलिए, \(AB=CD\) ।

प्रमेय

यदि कोई त्रिज्या किसी जीवा को समद्विभाजित करती है, तो वह उस पर लंबवत होती है।

विलोम भी सत्य है: यदि त्रिज्या जीवा के लंबवत है, तो प्रतिच्छेदन बिंदु इसे समद्विभाजित करता है।

प्रमाण

1) चलो \(AN=NB\) । आइए हम सिद्ध करें कि \(OQ\perp AB\) ।

\(\triangle AOB\) पर विचार करें: यह समद्विबाहु है, क्योंकि \(OA=OB\) - वृत्त त्रिज्या। क्योंकि \(ON\) आधार पर खींची गई माध्यिका है, तो यह ऊंचाई भी है, इसलिए \(ON\perp AB\) ।

2) चलो \(OQ\perp AB\) । आइए हम सिद्ध करें कि \(AN=NB\) ।

इसी तरह, \(\triangle AOB\) समद्विबाहु है, \(ON\) ऊंचाई है, इसलिए \(ON\) माध्यिका है। इसलिए, \(AN=NB\) ।

\[(\बड़ा (\पाठ(खंडों की लंबाई से संबंधित प्रमेय)))\]

जीवाओं के खंडों के गुणनफल पर प्रमेय

यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है।

प्रमाण

मान लें कि जीवाएं \(AB\) और \(CD\) बिंदु \(E\) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

त्रिभुजों \(ADE\) और \(CBE\) पर विचार करें। इन त्रिभुजों में, कोण \(1\) और \(2\) बराबर हैं, क्योंकि वे खुदे हुए हैं और एक ही चाप पर निर्भर हैं \(BD\) , और कोण \(3\) और \(4\) ऊर्ध्वाधर के समान हैं। त्रिभुज \(ADE\) और \(CBE\) समरूप हैं (पहले त्रिभुज समानता मानदंड के अनुसार)।

फिर \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), जहां से \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) ।

स्पर्शरेखा और छेदक प्रमेय

एक स्पर्शरेखा खंड का वर्ग छेदक और उसके बाहरी भाग के गुणनफल के बराबर होता है।

प्रमाण

स्पर्शरेखा को बिंदु \(M\) से गुजरने दें और बिंदु \(A\) पर वृत्त को स्पर्श करें। छेदक को बिंदु \(M\) से गुजरने दें और वृत्त को बिंदुओं \(B\) और \(C\) पर प्रतिच्छेद करें ताकि \(MB)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

त्रिभुजों पर विचार करें \(MBA\) और \(MCA\) : \(\angle M\) सामान्य है, \(\कोण बीसीए = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). एक स्पर्शरेखा और एक छेदक के बीच कोण प्रमेय के अनुसार, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). इस प्रकार, त्रिभुज \(MBA\) और \(MCA\) दो कोणों में समरूप हैं।

त्रिभुजों \(MBA\) और \(MCA\) की समानता से हमारे पास है: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), जो \(MB\cdot MC = MA^2\) के बराबर है।

परिणाम

बिंदु \(O\) और उसके बाहरी भाग से खींचे गए छेदक का गुणन बिंदु \(O\) से खींचे गए छेदक के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है।

सबसे अधिक बार, गणित में परीक्षा की तैयारी की प्रक्रिया मूल परिभाषाओं, सूत्रों और प्रमेयों की पुनरावृत्ति के साथ शुरू होती है, जिसमें "केंद्रीय और एक सर्कल कोण में अंकित" विषय शामिल है। एक नियम के रूप में, हाई स्कूल में प्लेनिमेट्री के इस खंड का अध्ययन किया जाता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कई छात्रों को "एक वृत्त का केंद्रीय कोण" विषय पर बुनियादी अवधारणाओं और प्रमेयों को दोहराने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म का पता लगाने के बाद, स्कूली बच्चे एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करने के परिणामों के आधार पर प्रतिस्पर्धी अंक प्राप्त करने में सक्षम होंगे।

प्रमाणन परीक्षा के लिए आसानी से और प्रभावी ढंग से कैसे तैयारी करें?

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यदि आवश्यक हो, तो पूर्ण किए गए कार्य को "पसंदीदा" अनुभाग में सहेजा जा सकता है ताकि बाद में उस पर वापस आ सकें और एक बार फिर इसके समाधान के सिद्धांत का विश्लेषण कर सकें।

सर्कल और सर्कल। सिलेंडर।

76. खुदा हुआ और कुछ अन्य कोण।

1. खुदा हुआ कोण।

एक कोण जिसका शीर्ष एक वृत्त पर होता है और जिसकी भुजाएँ जीवाएँ होती हैं, एक उत्कीर्ण कोण कहलाता है।

कोण ABC एक खुदा हुआ कोण है। यह अपनी भुजाओं के बीच संलग्न चाप AC पर टिकी हुई है (चित्र 330)।

प्रमेय। एक खुदा हुआ कोण उस आधे चाप से मापा जाता है जिसे वह इंटरसेप्ट करता है।

इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक उत्कीर्ण कोण में कई कोणीय डिग्री होते हैं, मिनट और सेकंड चाप डिग्री के रूप में होते हैं, मिनट और सेकंड चाप के आधे हिस्से में निहित होते हैं जिस पर वह रहता है।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए हमें तीन स्थितियों पर विचार करने की आवश्यकता है।

पहला मामला। वृत्त का केंद्र खुदा हुआ कोण के किनारे पर स्थित है (चित्र 331)।

रहने दो / ABC एक खुदा हुआ कोण है और वृत्त O का केंद्र BC पर स्थित है। यह साबित करना आवश्यक है कि इसे चाप एसी के आधे से मापा जाता है।

बिंदु A को वृत्त के केंद्र से कनेक्ट करें। समद्विबाहु प्राप्त करें /\ एओबी, जिसमें
AO = OB, एक ही वृत्त की त्रिज्या के रूप में। इसलिये, / ए = / पर। / AOC त्रिभुज AOB के बाहर है, इसलिए / एओसी = / ए+ / बी (§ 39, आइटम 2), और चूंकि कोण ए और बी बराबर हैं, तो / बी 1/2 . है / एओसी.

लेकिन / AOC को AC चाप द्वारा मापा जाता है, इसलिए, / B को AC चाप के आधे भाग से मापा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि AC में 60° 18" है, तो / B में 30°9" होता है।

दूसरा मामला। वृत्त का केंद्र खुदे हुए कोण की भुजाओं के बीच स्थित होता है (चित्र 332)।

रहने दो / ABD एक खुदा हुआ कोण है। वृत्त O का केंद्र इसकी भुजाओं के बीच स्थित है। यह साबित करना आवश्यक है कि / ABD को चाप AD के आधे भाग से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम BC का व्यास खींचते हैं। कोण ABD दो कोणों में विभाजित होता है: / 1 और / 2.

/ 1 को AC चाप के आधे से मापा जाता है, और / 2 को चाप सीडी के आधे से मापा जाता है, इसलिए संपूर्ण / ABD को 1/2 AC + 1/2 CD, यानी AD चाप के आधे से मापा जाता है।
उदाहरण के लिए, यदि AD में 124° है, तो / B में 62° है।

तीसरा मामला। वृत्त का केंद्र खुदा हुआ कोण के बाहर स्थित है (चित्र 333)।

रहने दो / एमएडी - खुदा हुआ कोण। वृत्त O का केंद्र कोने के बाहर है। यह साबित करना आवश्यक है कि / एमएडी को एमडी चाप के आधे से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम व्यास AB खींचते हैं। / एमएडी = / एमएवी- / डीएबी लेकिन / एमएवी को 1/2 एमवी द्वारा मापा जाता है, और / डीएबी को 1/2 डीबी द्वारा मापा जाता है। इसलिये, / एमएडी मापा जाता है
1/2 (एमबी - डीबी), यानी 1/2 एमडी।
उदाहरण के लिए, यदि एमडी में 48° 38"16" है, तो / एमएडी में 24° 19" 8" होता है।

परिणाम। एक। एक ही चाप पर आधारित सभी खुदे हुए कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, क्योंकि उन्हें एक ही चाप के आधे हिस्से से मापा जाता है (ड्राइंग 334, ए)।

2. व्यास पर आधारित एक उत्कीर्ण कोण एक समकोण होता है क्योंकि यह आधे वृत्त पर आधारित होता है। वृत्त के आधे भाग में 180 चाप अंश होते हैं, जिसका अर्थ है कि व्यास पर आधारित कोण में 90 कोणीय अंश होते हैं (चित्र 334, ख)।

2. स्पर्श रेखा और जीवा से बनने वाला कोण।

प्रमेय।एक स्पर्शरेखा और एक जीवा द्वारा निर्मित कोण को उसकी भुजाओं के बीच लगे चाप के आधे भाग से मापा जाता है।

रहने दो / CAB जीवा SA और स्पर्शरेखा AB से बना है (चित्र 335)। यह साबित करना आवश्यक है कि इसे आधे एसए द्वारा मापा जाता है। आइए बिंदु C से होकर एक रेखा CD खींचते हैं || एबी. खुदा / एसीडी को चाप एडी के आधे से मापा जाता है, लेकिन एडी = सीए, क्योंकि वे एक स्पर्शरेखा और इसके समानांतर एक जीवा के बीच संलग्न होते हैं। इसलिये, / डीसीए को सीए चाप के आधे से मापा जाता है। इसके बाद से / कैब = / डीसीए, तो इसे सीए चाप के आधे से भी मापा जाता है।

व्यायाम।

1. आरेखण 336 में, वृत्त पर स्पर्शरेखा वाले ब्लॉक ज्ञात कीजिए।

2. चित्र 337, a के अनुसार सिद्ध कीजिए कि कोण ADC को चापों AC और BK के योग के आधे से मापा जाता है।

3. चित्र 337, b के अनुसार, सिद्ध कीजिए कि कोण AMB को चाप AB और CE के अर्ध-अंतर से मापा जाता है।

4. वृत्त के अंदर स्थित बिंदु A से होकर एक आरेखण त्रिभुज की सहायता से एक जीवा खींचिए जिससे वह बिंदु A पर आधे में विभाजित हो जाए।

5. एक आरेखण त्रिभुज का प्रयोग करते हुए, चाप को 2, 4, 8... बराबर भागों में विभाजित करें।

6. दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाले एक वृत्त की त्रिज्या के साथ वर्णन करें। समस्या के कितने समाधान हैं?

7. दिए गए बिंदु से कितने वृत्त खींचे जा सकते हैं?

प्लानिमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो समतल आकृतियों के गुणों का अध्ययन करती है। इनमें न केवल प्रसिद्ध त्रिभुज, वर्ग, आयत, बल्कि सीधी रेखाएँ और कोण भी शामिल हैं। प्लानिमेट्री में, एक वृत्त में कोण जैसी अवधारणाएँ भी होती हैं: केंद्रीय और खुदा हुआ। लेकिन उनका क्या मतलब है?

केंद्रीय कोण क्या है?

यह समझने के लिए कि केंद्रीय कोण क्या है, आपको एक वृत्त को परिभाषित करने की आवश्यकता है। एक वृत्त किसी दिए गए बिंदु (वृत्त का केंद्र) से समदूरस्थ सभी बिंदुओं का एक संग्रह है।

इसे एक सर्कल से अलग करना बहुत जरूरी है। यह याद रखना चाहिए कि एक वृत्त एक बंद रेखा है, और एक वृत्त एक समतल का एक भाग है जो इससे घिरा है। एक वृत्त को बहुभुज या कोण के साथ अंकित किया जा सकता है।

एक केंद्रीय कोण एक ऐसा कोण होता है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र से मेल खाता है और जिसकी भुजाएँ वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती हैं। वह चाप जिसे एक कोण अपने प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा परिसीमित करता है, वह चाप कहलाता है जिस पर दिया गया कोण टिका होता है।

उदाहरण # 1 पर विचार करें।

चित्र में, कोण AOB केंद्रीय है, क्योंकि कोण का शीर्ष और वृत्त का केंद्र एक बिंदु O है। यह चाप AB पर टिकी हुई है, जिसमें बिंदु C नहीं है।

एक उत्कीर्ण कोण केंद्रीय कोण से कैसे भिन्न होता है?

हालांकि, केंद्रीय के अलावा, खुदा हुआ कोण भी हैं। उनका अंतर क्या है? केंद्रीय की तरह, एक वृत्त में अंकित कोण एक निश्चित चाप पर टिका होता है। लेकिन इसका शीर्ष वृत्त के केंद्र से मेल नहीं खाता, बल्कि उस पर स्थित होता है।

आइए निम्नलिखित उदाहरण लें।

कोण ACB बिंदु O पर केन्द्रित वृत्त में अंकित कोण कहलाता है। बिंदु C वृत्त का है, अर्थात उस पर स्थित है। कोण चाप AB पर टिका हुआ है।

ज्यामिति में कार्यों का सफलतापूर्वक सामना करने के लिए, उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों के बीच अंतर करने में सक्षम होना पर्याप्त नहीं है। एक नियम के रूप में, उन्हें हल करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि एक सर्कल में केंद्रीय कोण कैसे खोजना है, और डिग्री में इसके मूल्य की गणना करने में सक्षम होना चाहिए।

तो, केंद्रीय कोण उस चाप के डिग्री माप के बराबर है जिस पर वह टिकी हुई है।

चित्र में कोण AOB चाप AB पर आधारित है, जो 66° के बराबर है। अतः कोण AOB भी 66° के बराबर होता है।

इस प्रकार, समान चापों पर आधारित केंद्रीय कोण बराबर होते हैं।

आकृति में, चाप DC, चाप AB के बराबर है। अतः कोण AOB कोण DOC के बराबर है।

ऐसा लग सकता है कि वृत्त में खुदा हुआ कोण केंद्रीय कोण के बराबर है, जो एक ही चाप पर टिका होता है। हालाँकि, यह एक घोर गलती है। वास्तव में, यहाँ तक कि केवल आरेखण को देखने और इन कोणों की एक दूसरे से तुलना करने पर भी, आप देख सकते हैं कि उनके डिग्री मापों के अलग-अलग मान होंगे। तो वृत्त में अंकित कोण क्या है?

एक खुदा हुआ कोण का डिग्री माप उस चाप के आधे के बराबर होता है जिस पर वह टिका होता है, या केंद्रीय कोण का आधा होता है यदि वे एक ही चाप पर आराम करते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें। कोण ACB 66° के एक चाप पर आधारित है।

अत: कोण ACB = 66°: 2 = 33°

आइए इस प्रमेय के कुछ परिणामों पर विचार करें।

• उत्कीर्ण कोण, यदि वे एक ही चाप, जीवा या समान चाप पर आधारित हैं, बराबर हैं।
• यदि उत्कीर्ण कोण एक ही जीवा पर आधारित हों, लेकिन उनके शीर्ष इसके विपरीत पक्षों पर स्थित हों, तो ऐसे कोणों के डिग्री मापों का योग 180 ° होता है, क्योंकि इस मामले में दोनों कोण चापों पर आधारित होते हैं, जिसकी डिग्री माप कुल 360 ° है (संपूर्ण वृत्त) , 360°: 2 = 180°
• यदि अंकित कोण दिए गए वृत्त के व्यास पर आधारित है, तो इसकी डिग्री माप 90° है, क्योंकि व्यास 180°, 180°: 2 = 90° के बराबर चाप को अंतरित करता है
• यदि किसी वृत्त में केंद्रीय और खुदा हुआ कोण एक ही चाप या जीवा पर आधारित हों, तो खुदा हुआ कोण केंद्रीय कोण के आधे के बराबर होता है।

इस विषय पर कार्य कहाँ हो सकते हैं? उनके प्रकार और समाधान

चूँकि वृत्त और उसके गुण ज्यामिति के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक हैं, विशेष रूप से योजनामिति, वृत्त में उत्कीर्ण और केंद्रीय कोण एक ऐसा विषय है जिसका स्कूल के पाठ्यक्रम में व्यापक रूप से और अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है। उनकी संपत्तियों के लिए समर्पित कार्य मुख्य राज्य परीक्षा (ओजीई) और एकीकृत राज्य परीक्षा (यूएसई) में पाए जाते हैं। एक नियम के रूप में, इन समस्याओं को हल करने के लिए, आपको वृत्त पर कोणों को अंशों में खोजना चाहिए।

एक चाप पर आधारित कोण

इस प्रकार की समस्या शायद सबसे आसान में से एक है, क्योंकि इसे हल करने के लिए आपको केवल दो सरल गुणों को जानने की आवश्यकता है: यदि दोनों कोण खुदे हुए हैं और एक ही जीवा पर झुके हुए हैं, तो वे बराबर हैं, यदि उनमें से एक केंद्रीय है, तो संबंधित खुदा हुआ कोण उसका आधा है। हालांकि, उन्हें हल करते समय, किसी को बेहद सावधान रहना चाहिए: कभी-कभी इस संपत्ति को नोटिस करना मुश्किल होता है, और छात्र ऐसी सरल समस्याओं को हल करते समय एक ठहराव पर आ जाते हैं। एक उदाहरण पर विचार करें।

कार्य 1

बिंदु O पर केन्द्रित एक वृत्त दिया गया है। कोण AOB 54° है। कोण DIA की डिग्री माप ज्ञात कीजिए।

यह कार्य एक चरण में हल किया जाता है। इसका उत्तर जल्दी से खोजने के लिए आपको केवल एक चीज की आवश्यकता है, यह ध्यान देना है कि जिस चाप पर दोनों कोने टिके हैं वह एक सामान्य है। इसे देखकर आप पहले से ही परिचित संपत्ति को लागू कर सकते हैं। कोण ACB कोण AOB का आधा है। माध्यम,

1) एओबी = 54°: 2 = 27°।

उत्तर : 54°।

एक ही वृत्त के विभिन्न चापों पर आधारित कोण

कभी-कभी, समस्या की स्थितियों में, चाप का परिमाण जिस पर वांछित कोण आधारित होता है, सीधे निर्धारित नहीं होता है। इसकी गणना करने के लिए, आपको इन कोणों के परिमाण का विश्लेषण करना होगा और उनकी तुलना वृत्त के ज्ञात गुणों से करनी होगी।

टास्क 2

O पर केन्द्रित एक वृत्त में, कोण AOC 120° और कोण AOB 30° है। आप कोण खोजें।

आरंभ करने के लिए, यह कहने योग्य है कि समद्विबाहु त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके इस समस्या को हल करना संभव है, लेकिन इसके लिए अधिक गणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होगी। इसलिए, यहां हम एक वृत्त में केंद्रीय और उत्कीर्ण कोणों के गुणों का उपयोग करके समाधान का विश्लेषण करेंगे।

तो, कोण AOC चाप AC पर टिका हुआ है और केंद्रीय है, जिसका अर्थ है कि चाप AC, कोण AOC के बराबर है।

इसी प्रकार, कोण AOB चाप AB पर टिका होता है।

इसे और पूरे वृत्त (360°) की डिग्री माप को जानकर, कोई भी आसानी से चाप BC का परिमाण ज्ञात कर सकता है।

बीसी = 360° - एसी - एबी

ईसा पूर्व = 360° - 120° - 30° = 210°

कोण CAB का शीर्ष, बिंदु A, वृत्त पर स्थित है। इसलिए, कोण CAB खुदा हुआ है और चाप CB के आधे के बराबर है।

कैब कोण = 210°: 2 = 110°

उत्तर: 110°

चापों के अनुपात पर आधारित समस्याएं

कुछ समस्याओं में कोणों पर डेटा बिल्कुल भी नहीं होता है, इसलिए उन्हें केवल ज्ञात प्रमेयों और वृत्त के गुणों के आधार पर खोजने की आवश्यकता होती है।

कार्य 1

एक वृत्त में अंकित कोण ज्ञात कीजिए जो दिए गए वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा द्वारा समर्थित है।

यदि आप मानसिक रूप से खंड के सिरों को वृत्त के केंद्र से जोड़ने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो आपको एक त्रिभुज प्राप्त होता है। इसकी जाँच करने पर, आप देख सकते हैं कि ये रेखाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हैं। हम जानते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60° होते हैं। अत: त्रिभुज का शीर्ष वाला चाप AB 60° के बराबर है। यहाँ से हम चाप AB पाते हैं, जिस पर अभीष्ट कोण टिका है।

एबी = 360° - 60° = 300°

कोण ABC = 300°: 2 = 150°

उत्तर: 150°

टास्क 2

बिंदु O पर केन्द्रित एक वृत्त में, चाप 3:7 के रूप में संबंधित हैं। सबसे छोटा खुदा हुआ कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान के लिए, हम एक भाग को X के रूप में निरूपित करते हैं, फिर एक चाप 3X है, और दूसरा, क्रमशः 7X है। यह जानते हुए कि किसी वृत्त की डिग्री माप 360° है, हम एक समीकरण बनाएंगे।

3X + 7X = 360°

शर्त के अनुसार, आपको एक छोटा कोण खोजने की आवश्यकता है। जाहिर है, अगर कोण उस चाप के सीधे आनुपातिक है जिस पर वह टिकी हुई है, तो आवश्यक (छोटा) कोण 3X के बराबर चाप से मेल खाता है।

तो छोटा कोण है (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54°

उत्तर: 54°

बिंदु O पर केन्द्रित एक वृत्त में, कोण AOB 60° है, और छोटे चाप की लंबाई 50 है। बड़े चाप की लंबाई की गणना करें।

एक बड़े चाप की लंबाई की गणना करने के लिए, आपको एक अनुपात बनाने की आवश्यकता है - छोटा चाप बड़े चाप से कैसे संबंधित है। ऐसा करने के लिए, हम डिग्री में दोनों चापों के परिमाण की गणना करते हैं। छोटा चाप उस कोण के बराबर होता है जो उस पर टिका होता है। इसकी डिग्री माप 60° है। प्रमुख चाप वृत्त के डिग्री माप के बीच के अंतर के बराबर है (यह अन्य डेटा की परवाह किए बिना 360 ° के बराबर है) और लघु चाप।

दीर्घ चाप 360° - 60° = 300° है।

चूँकि 300°: 60° = 5, बड़ा चाप छोटे चाप का 5 गुना होता है।

बड़ा चाप = 50 * 5 = 250

तो, निश्चित रूप से, समान समस्याओं को हल करने के लिए अन्य दृष्टिकोण हैं, लेकिन वे सभी किसी न किसी तरह केंद्रीय और उत्कीर्ण कोण, त्रिकोण और मंडल के गुणों पर आधारित हैं। उन्हें सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको ड्राइंग का सावधानीपूर्वक अध्ययन करना चाहिए और समस्या के डेटा के साथ इसकी तुलना करनी चाहिए, साथ ही अपने सैद्धांतिक ज्ञान को व्यवहार में लाने में सक्षम होना चाहिए।

आज हम 6 अन्य प्रकार की समस्याओं को देखेंगे - इस बार एक वृत्त के साथ। कई छात्र उन्हें पसंद नहीं करते हैं और उन्हें मुश्किल पाते हैं। और यह पूरी तरह से व्यर्थ है, क्योंकि ऐसे कार्य हल हो जाते हैं प्राथमिकयदि आप कुछ प्रमेयों को जानते हैं। या वे बिल्कुल भी हिम्मत नहीं करते हैं, अगर वे नहीं जानते हैं।

मुख्य गुणों के बारे में बात करने से पहले, मैं आपको परिभाषा की याद दिला दूं:

एक खुदा हुआ कोण वह होता है जिसका शीर्ष वृत्त पर ही स्थित होता है, और भुजाएँ इस वृत्त पर एक जीवा काटती हैं।

एक केंद्रीय कोण वृत्त के केंद्र में एक शीर्ष वाला कोई भी कोण होता है। इसकी भुजाएँ भी इस वृत्त को काटती हैं और इस पर एक जीवा बनाती हैं।

तो, एक उत्कीर्ण और केंद्रीय कोण की अवधारणाएं एक वृत्त और उसके अंदर जीवाओं के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। अब मुख्य कथन के लिए:

प्रमेय। केंद्रीय कोण हमेशा एक ही चाप पर आधारित खुदा हुआ कोण का दोगुना होता है।

कथन की सरलता के बावजूद, समस्याओं का एक पूरा वर्ग है जो इसकी मदद से हल किया जाता है - और कुछ नहीं।

काम। वृत्त की त्रिज्या के बराबर जीवा पर आधारित एक न्यून उत्कीर्ण कोण ज्ञात कीजिए।

माना AB विचाराधीन जीवा है, O वृत्त का केंद्र है। अतिरिक्त रचना: OA और OB वृत्त त्रिज्याएँ हैं। हम पाते हैं:

त्रिभुज ABO पर विचार करें। इसमें AB = OA = OB - सभी भुजाएँ वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती हैं। अत: त्रिभुज ABO समबाहु है और इसके सभी कोण 60° हैं।

मान लीजिए M खुदा हुआ कोण का शीर्ष है। चूँकि कोण O और M एक ही चाप AB पर निर्भर करते हैं, इसलिए खुदा हुआ कोण M, केंद्रीय कोण O से 2 गुना कम है। हमारे पास है:

एम = ओ: 2 = 60: 2 = 30

काम। केंद्रीय कोण उसी वृत्ताकार चाप पर आधारित खुदा हुआ कोण से 36° बड़ा है। अंकित कोण ज्ञात कीजिए।

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

1. AB वृत्त की जीवा है;
2. बिंदु O वृत्त का केंद्र है, इसलिए कोण AOB केंद्रीय है;
3. बिंदु C खुदा हुआ कोण ACB का शीर्ष है।

चूँकि हम अंकित कोण ACB की तलाश कर रहे हैं, आइए इसे ACB = x निरूपित करें। तब केंद्रीय कोण AOB x + 36 होता है। दूसरी ओर, केंद्रीय कोण खुदा हुआ कोण का दोगुना होता है। हमारे पास है:

एओबी = 2 एसीबी;
एक्स + 36 = 2 एक्स;
एक्स = 36।

तो हमें उत्कीर्ण कोण AOB मिला - यह 36 ° के बराबर है।

एक वृत्त एक 360° का कोण होता है

उपशीर्षक पढ़ने के बाद, जानकार पाठक शायद अब कहेंगे: "फू!" दरअसल, किसी वृत्त की तुलना कोण से करना पूरी तरह से सही नहीं है। यह समझने के लिए कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं, क्लासिक त्रिकोणमितीय सर्कल पर एक नज़र डालें:

यह तस्वीर क्यों? और इस तथ्य के लिए कि एक पूर्ण घूर्णन 360 डिग्री का कोण है। और यदि आप इसे 20 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, तो उनमें से प्रत्येक का आकार 360: 20 = 18 डिग्री होगा। समस्या B8 को हल करने के लिए ठीक यही आवश्यक है।

बिंदु A, B और C एक वृत्त पर स्थित हैं और इसे तीन चापों में विभाजित करते हैं, जिनकी डिग्री माप 1: 3: 5 से संबंधित हैं। त्रिभुज ABC का सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए प्रत्येक चाप की डिग्री माप ज्ञात करें। माना कि उनमें से छोटा x के बराबर है। इस चाप को आकृति में AB अंकित किया गया है। तब शेष चाप - BC और AC - को AB के पदों में व्यक्त किया जा सकता है: चाप BC = 3x; एसी = 5x। ये चाप 360 डिग्री तक जोड़ते हैं:

एबी + बीसी + एसी = 360;
एक्स + 3x + 5x = 360;
9x=360;
एक्स = 40।

अब एक बड़े चाप AC पर विचार करें जिसमें बिंदु B नहीं है। यह चाप, संगत केंद्रीय कोण AOC की तरह, 5x = 5 40 = 200 डिग्री है।

कोण ABC त्रिभुज के सभी कोणों में सबसे बड़ा होता है। यह केंद्रीय कोण AOC के समान चाप पर आधारित एक खुदा हुआ कोण है। अतः कोण ABC, AOC से 2 गुना छोटा है। हमारे पास है:

एबीसी = एओसी: 2 = 200: 2 = 100

यह त्रिभुज ABC में सबसे बड़े कोण का अंश माप होगा।

एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त

बहुत से लोग इस प्रमेय को भूल जाते हैं। लेकिन व्यर्थ, क्योंकि इसके बिना कुछ B8 कार्यों को हल नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, वे हल हो गए हैं, लेकिन इतनी मात्रा में गणना के साथ कि आप उत्तर तक पहुंचने के बजाय सो जाएंगे।

प्रमेय। एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है।

इस प्रमेय से क्या निकलता है?

1. कर्ण का मध्यबिंदु त्रिभुज के सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। यह प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है;
2. कर्ण तक खींची गई माध्यिका मूल त्रिभुज को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करती है। समस्या B8 को हल करने के लिए ठीक यही आवश्यक है।

माध्यिका CD त्रिभुज ABC में खींची गई है। कोण C 90° और कोण B 60° है। कोण एसीडी खोजें।

चूँकि कोण C 90° है, त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है। यह पता चला है कि सीडी कर्ण के लिए खींची गई माध्यिका है। अतः त्रिभुज ADC और BDC समद्विबाहु हैं।

विशेष रूप से, त्रिभुज ADC पर विचार करें। इसमें एडी = सीडी। लेकिन एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं - "समस्या B8: त्रिभुज में खंड और कोण" देखें। अत: वांछित कोण ACD = A.

तो, यह पता लगाना बाकी है कि कोण A किसके बराबर है। ऐसा करने के लिए, हम फिर से मूल त्रिभुज ABC की ओर मुड़ते हैं। कोण A = x को निरूपित करें। चूँकि किसी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, इसलिए हमें प्राप्त होता है:

ए + बी + बीसीए = 180;
एक्स + 60 + 90 = 180;
एक्स = 30।

बेशक, आखिरी समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करना आसान है कि त्रिभुज BCD केवल समद्विबाहु नहीं है, बल्कि समबाहु है। तो कोण बीसीडी 60 डिग्री है। अतः कोण ACD 90 - 60 = 30 डिग्री है। जैसा कि आप देख सकते हैं, आप विभिन्न समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन उत्तर हमेशा समान होगा।