समाज के विकास के साथ-साथ उत्पादन की जटिलता, गणित का भी विकास हुआ। सरल से जटिल की ओर गति। जोड़ और घटाव की सामान्य लेखांकन पद्धति से, उनकी बार-बार पुनरावृत्ति के साथ, वे गुणा और भाग की अवधारणा पर आए। बार-बार होने वाले ऑपरेशन में कमी घातांक की अवधारणा बन गई। आधार पर संख्याओं की निर्भरता और घातांक की संख्या की पहली तालिकाएँ भारतीय गणितज्ञ वरसेना द्वारा 8वीं शताब्दी में संकलित की गई थीं। उनसे, आप लघुगणक की घटना के समय की गणना कर सकते हैं।

ऐतिहासिक रूपरेखा

16वीं शताब्दी में यूरोप के पुनरुद्धार ने यांत्रिकी के विकास को भी प्रेरित किया। टी गणना की एक बड़ी मात्रा की आवश्यकता हैबहु-अंकीय संख्याओं के गुणन और विभाजन से संबंधित। प्राचीन तालिकाओं ने बहुत अच्छी सेवा की। उन्होंने जटिल कार्यों को सरल लोगों के साथ बदलना संभव बना दिया - जोड़ और घटाव। एक बड़ा कदम आगे 1544 में प्रकाशित गणितज्ञ माइकल स्टीफेल का काम था, जिसमें उन्होंने कई गणितज्ञों के विचार को महसूस किया। इससे न केवल अभाज्य संख्याओं के रूप में अंशों के लिए, बल्कि मनमाने परिमेय संख्याओं के लिए भी तालिकाओं का उपयोग करना संभव हो गया।

1614 में, स्कॉट्समैन जॉन नेपियर ने इन विचारों को विकसित करते हुए, पहली बार "एक संख्या का लघुगणक" शब्द पेश किया। साइन और कोसाइन के लघुगणक, साथ ही स्पर्शरेखाओं की गणना के लिए नई जटिल तालिकाएँ संकलित की गईं। इसने खगोलविदों के काम को बहुत कम कर दिया।

नई तालिकाएँ दिखाई देने लगीं, जिनका वैज्ञानिकों द्वारा तीन शताब्दियों तक सफलतापूर्वक उपयोग किया गया। बीजगणित में नए ऑपरेशन को अपना तैयार रूप हासिल करने से पहले बहुत समय बीत गया। लघुगणक को परिभाषित किया गया और इसके गुणों का अध्ययन किया गया।

केवल 20वीं शताब्दी में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन के साथ, मानव जाति ने उन प्राचीन तालिकाओं को त्याग दिया जो 13वीं शताब्दी में सफलतापूर्वक काम कर रही थीं।

आज हम संख्या x को आधार बनाने के लिए b का लघुगणक कहते हैं, जो कि संख्या b प्राप्त करने के लिए a की घात है। यह एक सूत्र के रूप में लिखा गया है: x = log a(b)।

उदाहरण के लिए, लॉग 3(9) 2 के बराबर होगा। यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं तो यह स्पष्ट है। यदि हम 3 को 2 के घात तक बढ़ाते हैं, तो हमें 9 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, तैयार की गई परिभाषा केवल एक प्रतिबंध लगाती है, संख्याएँ a और b वास्तविक होनी चाहिए।

लघुगणक की किस्में

शास्त्रीय परिभाषा को वास्तविक लघुगणक कहा जाता है और यह वास्तव में समीकरण a x = b का समाधान है। विकल्प a = 1 सीमा रेखा है और इसमें कोई रुचि नहीं है। नोट: किसी भी घात के लिए 1 होता है।

लघुगणक का वास्तविक मूल्यकेवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आधार और तर्क 0 से अधिक हों, और आधार 1 के बराबर न हो।

गणित के क्षेत्र में विशेष स्थानलघुगणक खेलें, जिनका नाम उनके आधार के मान के आधार पर रखा जाएगा:

नियम और प्रतिबंध

लघुगणक का मूल गुण नियम है: किसी उत्पाद का लघुगणक लघुगणक योग के बराबर होता है। लॉग एबीपी = लॉग ए (बी) + लॉग ए (पी)।

इस कथन के एक प्रकार के रूप में, यह होगा: लॉग सी (बी / पी) \u003d लॉग सी (बी) - लॉग सी (पी), भागफल फ़ंक्शन फ़ंक्शन के अंतर के बराबर है।

पिछले दो नियमों से यह देखना आसान है कि: लॉग ए (बी पी) = पी * लॉग ए (बी)।

अन्य गुणों में शामिल हैं:

टिप्पणी। सामान्य गलती न करें - योग का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर नहीं होता है।

कई शताब्दियों के लिए, लघुगणक को खोजने का कार्य काफी समय लेने वाला कार्य था। गणितज्ञों ने बहुपद में विस्तार के लघुगणकीय सिद्धांत के प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग किया:

एलएन (1 + एक्स) = एक्स - (एक्स^2)/2 + (एक्स^3)/3 - (एक्स^4)/4 + ... + ((-1)^(एन + 1))* ((x^n)/n), जहां n 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है, जो गणना की सटीकता को निर्धारित करती है।

अन्य आधारों के साथ लघुगणक की गणना एक आधार से दूसरे आधार में संक्रमण और उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति पर प्रमेय का उपयोग करके की गई थी।

चूंकि यह विधि बहुत श्रमसाध्य है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समयलागू करना मुश्किल था, उन्होंने लॉगरिदम की पूर्व-संकलित तालिकाओं का उपयोग किया, जिससे पूरे काम में तेजी आई।

कुछ मामलों में, लघुगणक के विशेष रूप से संकलित रेखांकन का उपयोग किया गया था, जो कम सटीकता देता था, लेकिन वांछित मूल्य की खोज में काफी तेजी लाता था। फ़ंक्शन का वक्र y = लॉग a(x), कई बिंदुओं पर निर्मित, किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्यों को खोजने के लिए सामान्य शासक का उपयोग करने की अनुमति देता है। लंबे समय तक, इंजीनियरों ने इन उद्देश्यों के लिए तथाकथित ग्राफ पेपर का इस्तेमाल किया।

17वीं शताब्दी में, पहली सहायक एनालॉग कंप्यूटिंग स्थितियां सामने आईं, जिन्होंने 19वीं शताब्दी तक एक पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया था। सबसे सफल उपकरण को स्लाइड नियम कहा जाता था। डिवाइस की सादगी के बावजूद, इसकी उपस्थिति ने सभी इंजीनियरिंग गणनाओं की प्रक्रिया को काफी तेज कर दिया है, और इसे कम करना मुश्किल है। वर्तमान में, बहुत कम लोग इस उपकरण से परिचित हैं।

कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन ने किसी भी अन्य उपकरण का उपयोग करना व्यर्थ बना दिया है।

समीकरण और असमानता

लघुगणक का उपयोग करके विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

• एक आधार से दूसरे में संक्रमण: लॉग ए (बी) = लॉग सी (बी) / लॉग सी (ए);
• पिछले संस्करण के परिणामस्वरूप: लॉग ए (बी) = 1 / लॉग बी (ए)।

असमानताओं को हल करने के लिए, यह जानना उपयोगी है:

• लघुगणक का मान तभी धनात्मक होगा जब आधार और तर्क दोनों एक से अधिक या कम हों; यदि कम से कम एक शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो लघुगणक का मान ऋणात्मक होगा।
• यदि लघुगणक फलन असमानता के दाएँ और बाएँ पक्षों पर लागू होता है, और लघुगणक का आधार एक से बड़ा होता है, तो असमानता का चिह्न संरक्षित रहता है; अन्यथा, यह बदल जाता है।

कार्य उदाहरण

लघुगणक और उनके गुणों का उपयोग करने के लिए कई विकल्पों पर विचार करें। समीकरणों को हल करने के उदाहरण:

लघुगणक को डिग्री में रखने के विकल्प पर विचार करें:

• कार्य 3. 25^लॉग 5(3) की गणना करें। समाधान: समस्या की स्थितियों में, संकेतन निम्न (5^2)^log5(3) या 5^(2 * log 5(3)) के समान है। आइए इसे अलग तरीके से लिखें: 5^लॉग 5(3*2), या किसी संख्या के वर्ग को फ़ंक्शन तर्क के रूप में फ़ंक्शन के वर्ग के रूप में ही लिखा जा सकता है (5^लॉग 5(3))^2। लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, यह व्यंजक 3^2 है। उत्तर: गणना के परिणामस्वरूप हमें 9 प्राप्त होते हैं।

प्रायोगिक उपयोग

विशुद्ध रूप से गणितीय उपकरण होने के नाते, यह वास्तविक जीवन से बहुत दूर लगता है कि वास्तविक दुनिया में वस्तुओं का वर्णन करने में लघुगणक ने अचानक बहुत महत्व प्राप्त कर लिया है। ऐसा विज्ञान खोजना मुश्किल है जहां इसका उपयोग नहीं किया जाता है। यह पूरी तरह से न केवल प्राकृतिक पर लागू होता है, बल्कि ज्ञान के मानविकी क्षेत्रों पर भी लागू होता है।

लॉगरिदमिक निर्भरता

यहाँ संख्यात्मक निर्भरता के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यांत्रिकी और भौतिकी

ऐतिहासिक रूप से, यांत्रिकी और भौतिकी हमेशा गणितीय अनुसंधान विधियों का उपयोग करके विकसित हुए हैं और साथ ही साथ गणित के विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया है, जिसमें लॉगरिदम भी शामिल है। भौतिकी के अधिकांश नियमों का सिद्धांत गणित की भाषा में लिखा जाता है। हम लघुगणक का उपयोग करते हुए भौतिक नियमों के वर्णन के केवल दो उदाहरण देते हैं।

Tsiolkovsky सूत्र का उपयोग करके रॉकेट की गति के रूप में इतनी जटिल मात्रा की गणना करने की समस्या को हल करना संभव है, जिसने अंतरिक्ष अन्वेषण के सिद्धांत की नींव रखी:

वी = मैं * एलएन(एम1/एम2), जहां

• V वायुयान की अंतिम गति है।
• मैं इंजन का विशिष्ट आवेग है।
• एम 1 रॉकेट का प्रारंभिक द्रव्यमान है।
• एम 2 - अंतिम द्रव्यमान।

एक और महत्वपूर्ण उदाहरण- यह एक अन्य महान वैज्ञानिक मैक्स प्लैंक के सूत्र में उपयोग है, जो थर्मोडायनामिक्स में संतुलन की स्थिति का मूल्यांकन करने का कार्य करता है।

एस = के * एलएन (Ω), जहां

• S एक ऊष्मागतिकीय गुण है।
• k बोल्ट्जमान नियतांक है।
• Ω विभिन्न राज्यों का सांख्यिकीय भार है।

रसायन विज्ञान

लघुगणक के अनुपात वाले रसायन विज्ञान में सूत्रों का उपयोग कम स्पष्ट होगा। यहाँ सिर्फ दो उदाहरण हैं:

• नर्नस्ट समीकरण, पदार्थों की गतिविधि और संतुलन स्थिरांक के संबंध में माध्यम की रेडॉक्स क्षमता की स्थिति।
• ऑटोप्रोलिसिस इंडेक्स और समाधान की अम्लता जैसे स्थिरांक की गणना भी हमारे कार्य के बिना पूरी नहीं होती है।

मनोविज्ञान और जीव विज्ञान

और यह पूरी तरह से समझ से बाहर है कि मनोविज्ञान का इससे क्या लेना-देना है। यह पता चला है कि इस फ़ंक्शन द्वारा संवेदना की ताकत को उत्तेजना के तीव्रता मूल्य के कम तीव्रता मूल्य के विपरीत अनुपात के रूप में अच्छी तरह से वर्णित किया गया है।

उपरोक्त उदाहरणों के बाद, अब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि जीव विज्ञान में लघुगणक के विषय का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लॉगरिदमिक सर्पिल के अनुरूप जैविक रूपों के बारे में संपूर्ण खंड लिखे जा सकते हैं।

अन्य क्षेत्र

ऐसा लगता है कि इस कार्य के संबंध के बिना दुनिया का अस्तित्व असंभव है, और यह सभी कानूनों को नियंत्रित करता है। खासकर जब प्रकृति के नियम ज्यामितीय प्रगति से जुड़े हों। यह MatProfi वेबसाइट को संदर्भित करने योग्य है, और गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में ऐसे कई उदाहरण हैं:

सूची अंतहीन हो सकती है। इस समारोह के बुनियादी नियमों में महारत हासिल करने के बाद, आप अनंत ज्ञान की दुनिया में उतर सकते हैं।

शक्ति या लघुगणक निर्भरता?

सहसंबंध गुणांक की तुलना

19वीं सदी में वापस जर्मन दार्शनिक, वैज्ञानिक मनोविज्ञान के संस्थापकों में से एक जी.-टी. फेचनर ने शारीरिक उत्तेजना के परिमाण पर संवेदनाओं की निर्भरता का वर्णन करते हुए एक मनो-शारीरिक नियम प्रस्तुत किया। इस कानून, जिसे वेबर-फेचनर कानून कहा जाता है, ने इंद्रिय अंग पर काम करने वाली उत्तेजना की ऊर्जा और इस उत्तेजना के कारण होने वाली संवेदना के परिमाण के बीच एक लघुगणक संबंध माना। XX सदी में। अमेरिकन साइकोफिजिसिस्ट एस.एस. स्टीवंस ने फेचनर की कार्यप्रणाली की आलोचना की, जिसमें संवेदना के प्रत्यक्ष मूल्यांकन की संभावना नहीं थी। इस आलोचना का परिणाम एस.एस. स्टीवंस द्वारा कई कार्यप्रणाली प्रक्रियाओं का विकास था, जिन्हें कहा जाता था संवेदनाओं के प्रत्यक्ष मूल्यांकन के तरीके। प्रयोग में प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, न केवल सिद्धांत में, बल्कि व्यवहार में भी उत्तेजना के परिमाण और संवेदना के परिमाण के बीच संबंध का मूल्यांकन करना संभव हो गया। नतीजतन, स्टीवंस ने निष्कर्ष निकाला कि मनोवैज्ञानिक निर्भरता का वर्णन किया जाना चाहिए लेकिन लघुगणक, ए शक्ति समारोह।

आइए देखें कि कैसे स्टीवंस कार्यप्रणाली और सहसंबंध विश्लेषण की सबसे सरल प्रक्रियाएं लॉगरिदमिक और पावर लॉ साइकोफिजिकल के अनुपालन के लिए डेटा की तुलना करना संभव बनाती हैं।

ऐसा करने के लिए, हम एक साइकोफिजिकल प्रयोग (टी। एंगेन) में प्राप्त परिणामों का उपयोग करेंगे। इस प्रयोग में, डायथाइल फ़ेथलेट में पतला एमाइल एसीटेट (केला) की गंध सांद्रता का अनुमान लगाने के लिए मापांक मूल्य विधि का उपयोग किया गया था। 12 विषयों में से प्रत्येक ने दो बार सात अलग-अलग गंध सांद्रता का मूल्यांकन किया। मापांक के रूप में 12.5% ​​​​की एकाग्रता का उपयोग किया गया था। मापांक मान 10 के बराबर सेट किया गया था। 7.10 प्रत्येक उत्तेजना के लिए औसत पैमाने के मूल्यों को प्रस्तुत करता है।

हम इन परिणामों को स्कैटरप्लॉट के रूप में प्रस्तुत करते हैं (चित्र 7.7)। यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे गंधयुक्त पदार्थ की सांद्रता बढ़ती है, उसकी अनुभूति का व्यक्तिपरक मूल्यांकन बढ़ता जाता है। यह निर्भरता मोनोटोनिक है, लेकिन जाहिरा तौर पर गैर-रैखिक है। हालाँकि, इन दो डेटा श्रृंखलाओं के बीच सहसंबंध गुणांक की गणना करने से 0.984 का उच्च मान मिलता है। इस तरह का सहसंबंध गुणांक निर्भर चर (मानदंड) के 96.8% विचरण की व्याख्या करता है जो सीधे स्वतंत्र चर (भविष्यवक्ता) के मूल्य से जुड़ा होता है, हालांकि इसका कोई सैद्धांतिक आधार नहीं है।

तालिका 7.10

डायटाइल फ़ेथलेट (टी। एंगेन) में पतला एमाइल एसीटेट का व्यक्तिपरक गंध पैमाना )

चावल। 7.7.

लॉगरिदमिक वेबर-फेचनर कानून से पता चलता है कि एमिल एसीटेट एकाग्रता के लॉगरिदम और व्यक्तिपरक संवेदना स्कोर के बीच एक रैखिक संबंध देखा जाएगा।

अंजीर में प्रस्तुत आंकड़ों को देखते हुए, इस तरह की निर्भरता बहुत संभव है। 7.7. इसलिए, हम प्रयोग में प्रयुक्त सांद्रता को उनके प्राकृतिक लघुगणक में बदल देंगे और फिर से एक स्कैटरप्लॉट का निर्माण करेंगे। अंजीर पर। 7.8 गंध के व्यक्तिपरक मूल्यांकन की निर्भरता को दर्शाता है, अब एमिल एसीटेट की एकाग्रता के लघुगणक के मूल्य पर। लेकिन फिर, जैसा कि लगता है, हम एक रैखिक संबंध नहीं देखते हैं। इस बार, एक गंधयुक्त पदार्थ की सांद्रता के लघुगणक और उसकी गंध के व्यक्तिपरक मूल्यांकन के बीच सहसंबंध गुणांक, जो हमने प्रारंभिक डेटा के लिए नोट किया था, उससे भी कम निकला, हालांकि अभी भी काफी अधिक - 0.948 है। इस मामले में, केवल 89.8% परीक्षण विचरण सीधे भविष्यवक्ता विचरण से संबंधित है। इस प्रकार, हमारे डेटा के संबंध में वेबर-फेचनर कानून की भविष्यवाणियां बहुत आश्वस्त नहीं लगती हैं।

चावल। 7.8.

पावर-लॉ स्टीवंस साइकोफिजिकल लॉ उत्तेजना के लघुगणक और संवेदना के परिमाण के बीच एक रैखिक संबंध स्थापित करता है। चित्र 7.9 दर्शाता है कि यह भविष्यवाणी काफी सटीक है। स्कैटरप्लॉट के सभी बिंदु पूरी तरह से एक पंक्ति के साथ संरेखित होते हैं। इन डेटा श्रृंखलाओं के बीच सहसंबंध गुणांक 0.999 है। इसका मतलब यह है कि ऐसा प्रतिगमन मॉडल आश्रित चर के 99.8% विचरण का वर्णन करता है जो कि स्वतंत्र चर के विचरण से संबंधित हो सकता है।

चावल। 7.9.

इस प्रकार, अंजीर की एक दृश्य तुलना। 7.7-7.9, साथ ही गणना किए गए सहसंबंध गुणांक, स्टीवंस पावर कानून के पक्ष में स्पष्ट रूप से गवाही देते हैं। फिर भी, आइए अनुमान लगाने का प्रयास करें कि इन तीन सहसंबंध गुणांकों के बीच सांख्यिकीय अंतर कितना बड़ा है।

सबसे पहले, हम गैर-रैखिक फिशर ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके, हमारे द्वारा गणना किए गए सहसंबंध गुणांक का एक लघुगणकीय परिवर्तन करेंगे:

गणना को सरल बनाने के लिए, आप संबंधित फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल - फिशर। एक तर्क के रूप में, यह संबंधित सहसंबंध गुणांक का मान लेता है।

ऐसे परिवर्तनों के परिणाम हमें z के निम्नलिखित मान देते हैं":

• 1. एमिल एसीटेट सांद्रता और गंध मूल्यांकन के बीच संबंध के लिए, z" = 2.41।
• 2. सांद्रता के लघुगणक और गंध के आकलन के बीच संबंध के लिए, z" = 1.81।
• 3. सांद्रता के लघुगणक और व्यक्तिपरक अनुमानों के लघुगणक के बीच संबंध के लिए, z" = 3.89।

अब हम सामान्य जनसंख्या में इन सहसंबंध गुणांकों की जोड़ीवार समानता के बारे में तीन सांख्यिकीय परिकल्पनाओं को सामने रख सकते हैं। इन परिकल्पनाओं की सांख्यिकीय विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए, तीन आंकड़ों का निर्माण करना आवश्यक है z :

यहां पी और टी नमूना आकार से मेल खाते हैं। हमारे मामले में, दोनों मान सात के बराबर हैं, क्योंकि समान डेटा का उपयोग किया जाता है।

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि आँकड़े जेड एक गंध वाले पदार्थ की एकाग्रता के प्रारंभिक मूल्यों और गंध के व्यक्तिपरक मूल्यांकन के बीच सहसंबंध गुणांक की तुलना करने के मामले में, और उत्तेजना मूल्यों के लॉगरिदमिक परिवर्तन के परिणामों के बीच सहसंबंध गुणांक। और उनकी संवेदनाएं, दूसरी ओर, यह 0.85 के बराबर हो जाती है, जो वेबर-फेचनर कानून से मेल खाती है। सांख्यिकीय तालिकाओं का उपयोग करके इन आंकड़ों की विश्वसनीयता का आकलन किया जा सकता है (परिशिष्ट 1 देखें)। अनुमान से पता चलता है कि ऐसा मान शून्य से विश्वसनीय रूप से भिन्न नहीं है और इसलिए, इन सहसंबंध गुणांकों की समानता के बारे में सामने रखी गई शून्य परिकल्पना को बनाए रखना आवश्यक है।

सहसंबंध गुणांक की तुलना, जो दोनों चरों के लघुगणकीय परिवर्तन को मानता है - स्टीवंस का नियम, सहसंबंध गुणांक के साथ, जो केवल स्वतंत्र चर के लघुगणकीय परिवर्तन को मानता है - वेबर-फेचनर कानून और इस तरह के परिवर्तन का बिल्कुल भी मतलब नहीं है, क्रमशः 2.94 और 2.10 का z-सांख्यिकीय मान देता है। ये दोनों मान z आँकड़ों और सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित शून्य मान के बीच एक विश्वसनीय अंतर दर्शाते हैं। इसलिये,

सहसंबंध गुणांक की समानता के बारे में शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना आवश्यक है।

(ग्रीक λόγος से - "शब्द", "संबंध" और ἀριθμός - "संख्या") संख्या बीवजह से ए(लॉग α बी) को ऐसी संख्या कहा जाता है सी, और बी= एसी, वह है, लॉग α बी=सीऔर बी = एसीसमकक्ष हैं। लॉगरिदम समझ में आता है अगर a> 0, a 1, b> 0।

दूसरे शब्दों में लोगारित्मनंबर बीवजह से एएक घातांक के रूप में तैयार किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि परिकलन x= log α बी, समीकरण a x =b को हल करने के बराबर है।

उदाहरण के लिए:

लॉग 2 8 = 3 क्योंकि 8=2 3 .

हम ध्यान दें कि लघुगणक का संकेतित सूत्रीकरण तुरंत निर्धारित करना संभव बनाता है लघुगणक मानजब लघुगणक के चिन्ह के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित शक्ति होती है। वास्तव में, लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय विषय से निकटता से संबंधित है संख्या की डिग्री.

लघुगणक की गणना को संदर्भित किया जाता है लोगारित्म. लघुगणक एक लघुगणक लेने की गणितीय क्रिया है। लघुगणक लेते समय, कारकों के उत्पाद शब्दों के योग में बदल जाते हैं।

क्षमतालॉगरिदम के विपरीत गणितीय ऑपरेशन है। पोटेंशियेटिंग करते समय, दिए गए आधार को उस अभिव्यक्ति की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस मामले में, शब्दों का योग कारकों के उत्पाद में बदल जाता है।

अक्सर, आधार 2 (बाइनरी), ई यूलर संख्या ई 2.718 (प्राकृतिक लघुगणक) और 10 (दशमलव) के साथ वास्तविक लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

इस स्तर पर, यह विचार करने योग्य है लघुगणक के नमूनेलॉग 7 2 , एलएन √ 5, एलजी0.0001.

और प्रविष्टियाँ lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में एक ऋणात्मक संख्या लघुगणक के चिन्ह के नीचे रखी गई है, दूसरे में - एक ऋणात्मक संख्या आधार, और तीसरे में - और आधार में लघुगणक और इकाई के संकेत के तहत एक ऋणात्मक संख्या।

लघुगणक के निर्धारण के लिए शर्तें।

ए> 0, ए 1, बी> 0 शर्तों पर अलग से विचार करना उचित है। लघुगणक की परिभाषा।आइए विचार करें कि ये प्रतिबंध क्यों लिए गए हैं। इससे हमें x = log α . के रूप की समानता में सहायता मिलेगी बी, जिसे मूल लघुगणकीय पहचान कहा जाता है, जो सीधे ऊपर दिए गए लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करता है।

शर्त लो ए≠1. चूँकि एक किसी भी घात के बराबर है, तो समानता x=log α बीकेवल तभी मौजूद हो सकता है जब ख = 1, लेकिन log 1 1 कोई वास्तविक संख्या होगी। इस अस्पष्टता को दूर करने के लिए, हम लेते हैं ए≠1.

आइए हम शर्त की आवश्यकता को साबित करें ए>0. पर ए = 0लघुगणक के निर्माण के अनुसार, केवल तभी मौजूद हो सकता है जब बी = 0. और फिर तदनुसार लॉग 0 0कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी शून्येतर घात शून्य होती है। इस अस्पष्टता को दूर करने के लिए शर्त ए≠0. और जब ए<0 हमें लघुगणक के तर्कसंगत और अपरिमेय मूल्यों के विश्लेषण को अस्वीकार करना होगा, क्योंकि तर्कसंगत और अपरिमेय घातांक वाले घातांक को केवल गैर-ऋणात्मक आधारों के लिए परिभाषित किया गया है। यही कारण है कि स्थिति ए>0.

और आखिरी शर्त ख>0असमानता से अनुसरण करता है ए>0, क्योंकि x=लॉग α बी, और एक सकारात्मक आधार के साथ डिग्री का मान एहमेशा सकारात्मक।

लघुगणक की विशेषताएं।

लघुगणकविशिष्ट द्वारा विशेषता विशेषताएँ, जिसके कारण श्रमसाध्य गणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए उनका व्यापक उपयोग हुआ। "लघुगणक की दुनिया में" संक्रमण में, गुणन एक बहुत आसान जोड़ में बदल जाता है, विभाजन घटाव में, और एक शक्ति में वृद्धि और एक जड़ को क्रमशः एक घातांक द्वारा गुणा और विभाजन में बदल दिया जाता है।

लघुगणक का निर्माण और उनके मूल्यों की एक तालिका (त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए) पहली बार 1614 में स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर द्वारा प्रकाशित की गई थी। अन्य वैज्ञानिकों द्वारा विस्तृत और विस्तृत लघुगणक तालिकाएँ वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणनाओं में व्यापक रूप से उपयोग की जाती थीं, और तब तक प्रासंगिक बनी रहीं जब तक कि इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर का उपयोग शुरू नहीं हुआ।

लघुगणक निर्भरता- logaritminė priklausomybė statusas T sritis fizika atitikmenys: engl। लघुगणक निर्भरता वोक। लघुगणक अभंगिगकेइट, एफ रूस। लघुगणक निर्भरता, fpranc. निर्भरता लघुगणक, f ... फ़िज़िकोस टर्मिन, odynas

घातांक फलन के विपरीत फलन (घातांकीय फलन देखें)। एल. एफ. निरूपित y = lnx; (1) इसका मान y, तर्क x के मान के अनुरूप, संख्या x का प्राकृतिक लघुगणक कहलाता है। परिभाषा से...

एक विशेष तरीके से पेपर कट; आमतौर पर मुद्रित। इसका निर्माण इस प्रकार किया गया है (चित्र 1): एक आयताकार समन्वय प्रणाली के प्रत्येक अक्ष पर, संख्याओं के दशमलव लघुगणक (x-अक्ष पर) और ... महान सोवियत विश्वकोश

फ़ंक्शन घातीय फ़ंक्शन के विपरीत है। एल. एफ. इसका मान y दर्शाया गया है, जो तर्क x के मान के अनुरूप है, जिसे कहा जाता है। x का प्राकृतिक लघुगणक। परिभाषा के अनुसार, संबंध (1) समतुल्य है क्योंकि किसी वास्तविक y के लिए, तब L. f. ... ... गणितीय विश्वकोश

एक संख्या के द्विआधारी लघुगणक का ग्राफ ... विकिपीडिया

वेबर-फेचनर कानून- उत्तेजना की शारीरिक तीव्रता पर संवेदना ई की ताकत की लघुगणक निर्भरता पी: ई = के लॉग पी + सी, जहां के और सी इस संवेदी प्रणाली द्वारा निर्धारित कुछ स्थिरांक हैं। निर्भरता जर्मन मनोवैज्ञानिक और शरीर विज्ञानी जी. टी. फेचनर द्वारा ली गई थी ...

सनसनी तीव्रता- एक निश्चित उत्तेजना से जुड़ी संवेदना की व्यक्तिपरक गंभीरता की डिग्री। उत्तेजना की तीव्रता और उत्तेजना की शारीरिक तीव्रता के बीच का संबंध काफी जटिल है। इस संबंध का वर्णन करने के लिए विभिन्न मॉडलों का प्रस्ताव किया गया है: उदाहरण के लिए, में ... ... महान मनोवैज्ञानिक विश्वकोश

वेबर-फेचनर कानून- उत्तेजना (पी) की भौतिक तीव्रता पर संवेदना की ताकत (ई) की लघुगणक निर्भरता: ई \u003d k लॉग P + + c, जहां k और c इस संवेदी प्रणाली द्वारा निर्धारित कुछ स्थिरांक हैं। यह निर्भरता जर्मन मनोवैज्ञानिक और शरीर विज्ञानी जी. टी ... द्वारा ली गई थी। महान मनोवैज्ञानिक विश्वकोश

I. कार्य पी .; द्वितीय. वेबर और फेचनर के नियम; III. साइकोफिजिकल तरीके; चतुर्थ। प्रयोगात्मक परिणाम; वी. मनोभौतिक नियमों का अर्थ; VI. साहित्य। I. टास्क पी। विभिन्न संवेदनाओं की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि उनके पास है: 1) विभिन्न गुण, 2) ... ... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रोकहॉस और आई.ए. एफ्रोन

एक तरल या गैस का प्रवाह, इसकी मात्रा के एक अराजक, अनियमित आंदोलन और उनके गहन मिश्रण (टर्बुलेंस देखें) की विशेषता है, लेकिन सामान्य तौर पर एक चिकनी, नियमित चरित्र होता है। टी. टी. का गठन अस्थिरता से जुड़ा है ... ... प्रौद्योगिकी का विश्वकोश

बुनियादी मनोभौतिकीय कानून- बुनियादी मानसिक-भौतिक कानून - उत्तेजना के परिमाण पर संवेदना के परिमाण की निर्भरता का कार्य। एक एकल सूत्र O. p. z. नहीं, लेकिन इसके वेरिएंट हैं: लॉगरिदमिक (फेचनर), पावर (स्टीवंस), सामान्यीकृत (बेयर्ड, एकमैन, ज़ाब्रोडिन, आदि) ... ज्ञानमीमांसा और विज्ञान के दर्शनशास्त्र का विश्वकोश

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व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब आप हमसे संपर्क करते हैं तो आपसे किसी भी समय अपनी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आने वाली घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संदेश भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।