एक समारोह का स्थानीय न्यूनतम। लेबल: स्थानीय चरम सीमा

$ई \ सबसेट \ mathbb (आर) ^ (एन) $। ऐसा कहा जाता है कि $f$ है स्थानीय अधिकतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ मौजूद है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए असमानता $f\left(x\right) \leqslant f \बाएं(x_(0)\right)$.

स्थानीय अधिकतम कहा जाता है कठोर , अगर पड़ोस $U$ को इस तरह से चुना जा सकता है कि सभी $x \in U$ के लिए $x_(0)$ से अलग हो तो $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

परिभाषा
$f$ एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक वास्तविक कार्य होने दें। ऐसा कहा जाता है कि $f$ है स्थानीय न्यूनतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ मौजूद है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए असमानता $f\left(x\right) \geqslant f \बाएं(x_(0)\दाएं)$.

एक स्थानीय न्यूनतम को सख्त कहा जाता है यदि पड़ोस $U$ को चुना जा सके ताकि सभी $x \in U$ के लिए $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ से अलग हो) (0)\दाएं)$.

एक स्थानीय चरम सीमा स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम की अवधारणाओं को जोड़ती है।

प्रमेय (एक भिन्न कार्य के चरम के लिए आवश्यक शर्त)
$f$ एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक वास्तविक कार्य होने दें। यदि बिंदु $x_(0) \in E$ पर फ़ंक्शन $f$ में इस बिंदु पर एक स्थानीय चरम सीमा भी है, तो $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ शून्य अंतर की समानता इस तथ्य के बराबर है कि सभी शून्य के बराबर हैं, अर्थात। $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

एक आयामी मामले में, यह . निरूपित $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, जहां $h$ एक मनमाना वेक्टर है। फ़ंक्शन $\phi$ को $t$ के पर्याप्त रूप से छोटे मॉड्यूल मानों के लिए परिभाषित किया गया है। इसके अलावा, के संबंध में, यह अलग-अलग है, और $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$।
मान लें कि $f$ का स्थानीय अधिकतम x $0$ है। इसलिए, फ़ंक्शन $\phi$ पर $t = 0$ का स्थानीय अधिकतम है और, Fermat के प्रमेय के अनुसार, $(\phi)' \left(0\right)=0$।
तो, हमें मिला कि $df \left(x_(0)\right) = 0$, यानी। फ़ंक्शन $f$ बिंदु पर $x_(0)$ किसी भी वेक्टर $h$ पर शून्य के बराबर है।

परिभाषा
जिन बिंदुओं पर अंतर शून्य के बराबर है, अर्थात। वे जिसमें सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं, स्थिर कहलाते हैं। महत्वपूर्ण बिंदुफ़ंक्शन $f$ वे बिंदु हैं जिन पर $f$ अवकलनीय नहीं है, या यह शून्य के बराबर है। यदि बिंदु स्थिर है, तो यह अभी तक इस बात का पालन नहीं करता है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का चरम है।

उदाहरण 1
चलो $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$। फिर $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, इसलिए $\बाएं(0,0\दाएं)$ एक स्थिर बिंदु है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का कोई चरम नहीं है। वास्तव में, $f \बाएं(0,0\दाएं) = 0$, लेकिन यह देखना आसान है कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में $\बाएं(0,0\दाएं)$ फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान लेता है।

उदाहरण 2
फ़ंक्शन $f \left(x,y\right) = x^(2) - y^(2)$ में एक स्थिर बिंदु के रूप में निर्देशांक की उत्पत्ति होती है, लेकिन यह स्पष्ट है कि इस बिंदु पर कोई चरम नहीं है।

प्रमेय (एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति)।
एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक फ़ंक्शन $f$ को लगातार दो बार अलग-अलग होने दें। मान लीजिए $x_(0) \in E$ एक स्थिर बिंदु है और $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ तब

यदि $Q_(x_(0))$ - , तो फ़ंक्शन $f$ बिंदु पर $x_(0)$ में एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि फॉर्म सकारात्मक-निश्चित है और अधिकतम यदि फॉर्म है नकारात्मक-निश्चित;
यदि द्विघात रूप $Q_(x_(0))$ अनिश्चित है, तो बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन $f$ का कोई चरम नहीं है।

आइए टेलर सूत्र के अनुसार विस्तार का उपयोग करें (12.7 पृष्ठ 292)। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि $x_(0)$ बिंदु पर पहला ऑर्डर आंशिक डेरिवेटिव शून्य के बराबर है, हमें $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) मिलता है )\दाएं) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ आंशिक x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ जहां $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, और $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$ के लिए, तो दायां पक्ष पर्याप्त रूप से छोटी लंबाई के किसी भी वेक्टर $h$ के लिए सकारात्मक है।
इस प्रकार, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि बिंदु के कुछ पड़ोस में $x_(0)$ असमानता $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ संतुष्ट है यदि केवल $ x \neq x_ (0)$ (हम $x=x_(0)+h$\right डालते हैं)। इसका मतलब है कि बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन का एक सख्त स्थानीय न्यूनतम है, और इस प्रकार हमारे प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।
अब मान लीजिए कि $Q_(x_(0))$ एक अनिश्चित रूप है। फिर वेक्टर हैं $h_(1)$, $h_(2)$ जैसे कि $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \बाएं(h_(2)\दाएं)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$। फिर हमें मिलता है $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ बाएँ [ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ पर्याप्त रूप से छोटे $t>0$ के लिए, दाईं ओर है सकारात्मक। इसका मतलब यह है कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में $x_(0)$ फ़ंक्शन $f$ मान लेता है $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ से अधिक।
इसी तरह, हम प्राप्त करते हैं कि बिंदु $x_(0)$ के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन $f$ $f \left(x_(0)\right)$ से कम मान लेता है। यह, पिछले एक के साथ, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $x_(0)$ पर एक चरम सीमा नहीं है।

आइए हम इस प्रमेय के एक विशेष मामले पर विचार करें $f \left(x,y\right)$ बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित दो चर के $f \left(x_(0),y_(0)\right) $ और पहले और दूसरे ऑर्डर के निरंतर आंशिक डेरिवेटिव। चलो $\बाएं(x_(0),y_(0)\right)$ एक स्थिर बिंदु बनें और $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \बाएं(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right )। $$ फिर पिछला प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है।

प्रमेय
चलो $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)^2$। फिर:

यदि $\Delta>0$, तो फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $\बाएं(x_(0),y_(0)\right)$ पर एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि $a_(11)> 0$ , और अधिकतम यदि $a_(11)<0$;
अगर $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

समस्या समाधान के उदाहरण

कई चर के एक समारोह के चरम को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

हम स्थिर बिंदु पाते हैं;
हम सभी स्थिर बिंदुओं पर दूसरे क्रम का अंतर पाते हैं
कई चर के एक फ़ंक्शन के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति का उपयोग करते हुए, हम प्रत्येक स्थिर बिंदु पर दूसरे क्रम के अंतर पर विचार करते हैं

फ़ंक्शन को चरम $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ तक जांचें।
फेसला
पहले क्रम का आंशिक व्युत्पन्न खोजें: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial) f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ सिस्टम को लिखें और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ दूसरे समीकरण से, हम $x=4 \cdot y^(2)$ व्यक्त करते हैं - पहले समीकरण में स्थानापन्न करें: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ दाएं )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) - 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) - y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ परिणामस्वरूप, 2 स्थिर अंक प्राप्त होते हैं:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \बाएं(0, 0\दाएं)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \बाएं(\frac(1)(2), 1\right)$
आइए हम पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जाँच करें:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) बिंदु के लिए $M_(1)= \बाएं(0,0\दाएं)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) बिंदु $M_(2)$ के लिए:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) - C_(2)^(2) = 108>0$, इसलिए बिंदु $M_(2)$ पर एक चरम सीमा है, और चूंकि $A_(2)>0 $, तो यह न्यूनतम है।
उत्तर: बिंदु $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ फंक्शन $f$ का न्यूनतम बिंदु है।
चरम $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ के लिए फलन की जांच करें।
फेसला
स्थिर बिंदु खोजें: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
सिस्टम लिखें और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ दायां तीर \ शुरू (केस) 2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(मामलों) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ एक स्थिर बिंदु है।
आइए पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जांच करें: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; बी=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
उत्तर: कोई एक्स्ट्रेमा नहीं हैं।

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4 का कार्य 1

1 .

अंकों की संख्या: 1

एक्स्ट्रेमा के लिए $f$ फ़ंक्शन की जांच करें: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

सही ढंग से

सही नहीं

4 का टास्क 2

2 .
अंकों की संख्या: 1
क्या फ़ंक्शन $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ है

कई चरों वाले फलन f(x) के लिए, बिंदु x एक सदिश है, f'(x) फलन f(x) के प्रथम अवकलज (ग्रेडिएंट) का सदिश है, f (x) एक सममित आव्यूह है दूसरे आंशिक अवकलजों का (हेस्से मैट्रिक्स - हेसियन) फलन f(x)।
कई चर के एक समारोह के लिए, इष्टतमता की स्थिति निम्नानुसार तैयार की जाती है।
स्थानीय इष्टतमता के लिए एक आवश्यक शर्त। मान लीजिए f(x) बिंदु x * R n पर अवकलनीय है। यदि x * एक स्थानीय चरम बिंदु है, तो f'(x *) = 0.
पहले की तरह, ऐसे बिंदु जो समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान हैं, स्थिर कहलाते हैं। स्थिर बिंदु x * की प्रकृति हेसियन मैट्रिक्स f′ (x) की साइन-निश्चितता से संबंधित है।
मैट्रिक्स ए की साइन-निश्चितता द्विघात रूप के संकेतों पर निर्भर करती है Q(α)=< α A, α >सभी शून्येतर α∈R n के लिए।
यहाँ और आगे के माध्यम से सदिशों x और y के अदिश गुणन को निरूपित किया जाता है। ए-प्राथमिकता,

एक मैट्रिक्स ए सकारात्मक (गैर-नकारात्मक) निश्चित है यदि Q(α)>0 (Q(α)≥0) सभी गैर-शून्य α∈R n के लिए; नकारात्मक (गैर-सकारात्मक) निश्चित अगर Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 कुछ शून्येतर α∈R n और Q(α) के लिए<0 для остальных ненулевых α∈R n .
स्थानीय इष्टतमता के लिए पर्याप्त स्थिति। मान लीजिए f(x) बिंदु x * R n , और f'(x *)=0 पर दो बार अवकलनीय है, अर्थात। एक्स * - स्थिर बिंदु। फिर, यदि मैट्रिक्स f (x *) धनात्मक (ऋणात्मक) निश्चित है, तो x * एक स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है; यदि मैट्रिक्स f′′(x *) अनिश्चित है, तो x * एक सैडल बिंदु है।
यदि मैट्रिक्स f′′(x *) गैर-ऋणात्मक (गैर-सकारात्मक) निश्चित है, तो स्थिर बिंदु x * की प्रकृति का निर्धारण करने के लिए, उच्च-क्रम डेरिवेटिव का अध्ययन आवश्यक है।
मैट्रिक्स की साइन-निश्चितता की जांच करने के लिए, एक नियम के रूप में, सिल्वेस्टर मानदंड का उपयोग किया जाता है। इस मानदंड के अनुसार, एक सममित मैट्रिक्स ए सकारात्मक निश्चित है यदि और केवल अगर उसके सभी कोणीय नाबालिग सकारात्मक हैं। इस मामले में, मैट्रिक्स ए का कोणीय नाबालिग मैट्रिक्स ए के तत्वों से निर्मित मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो समान (और पहली) संख्याओं के साथ पंक्तियों और स्तंभों के चौराहे पर खड़ा होता है। नकारात्मक निश्चितता के लिए सममित मैट्रिक्स ए की जांच करने के लिए, सकारात्मक निश्चितता के लिए मैट्रिक्स (-ए) की जांच करनी चाहिए।
तो, कई चर के एक समारोह के स्थानीय एक्स्ट्रेमा के बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार है।
1. f′(x) ज्ञात कीजिए।
2. सिस्टम हल हो गया है

नतीजतन, स्थिर बिंदु x i की गणना की जाती है।
3. f′′(x) खोजें, i=1 सेट करें।
4. f′′(x i) ज्ञात कीजिए
5. मैट्रिक्स f′′(x i) के कोणीय अवयस्कों की गणना की जाती है। यदि सभी कोणीय अवयस्क गैर-शून्य नहीं हैं, तो स्थिर बिंदु x i की प्रकृति का निर्धारण करने के लिए, उच्च-क्रम डेरिवेटिव का अध्ययन आवश्यक है। इस मामले में, आइटम 8 में संक्रमण किया जाता है।
अन्यथा, चरण 6 पर जाएँ।
6. कोणीय अवयस्क f′′(x i) के संकेतों का विश्लेषण किया जाता है। यदि f′′(x i) धनात्मक निश्चित है, तो x i एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। इस मामले में, आइटम 8 में संक्रमण किया जाता है।
अन्यथा, आइटम 7 पर जाएँ।
7. मैट्रिक्स -f′′(x i) के कोणीय अवयस्कों की गणना की जाती है और उनके संकेतों का विश्लेषण किया जाता है।
यदि -f′′(x i) - सकारात्मक निश्चित है, तो f′′(x i) ऋणात्मक निश्चित है और x i एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अन्यथा, f′′(x i) अनिश्चित है और x i एक सैडल बिंदु है।
8. सभी स्थिर बिन्दुओं i=N की प्रकृति के निर्धारण की शर्त की जाँच की जाती है।
यदि यह संतुष्ट है, तो गणना पूरी हो गई है।
यदि शर्त पूरी नहीं होती है, तो i=i+1 मान लिया जाता है और चरण 4 में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण 1। फलन f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 के स्थानीय एक्स्ट्रेमा के बिंदु निर्धारित करें

चूँकि सभी कोने वाले अवयस्क गैर-शून्य हैं, x 2 का वर्ण f′′(x) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
चूँकि आव्यूह f′′(x 2) धनात्मक निश्चित है, x 2 एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
उत्तर: फलन f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 का स्थानीय न्यूनतम बिंदु x = (5/3; 8/3) है।

यदि $Q_(x_(0))$ - , तो फ़ंक्शन $f$ बिंदु पर $x_(0)$ में एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि फॉर्म सकारात्मक-निश्चित है और अधिकतम यदि फॉर्म है नकारात्मक-निश्चित;
यदि द्विघात रूप $Q_(x_(0))$ अनिश्चित है, तो बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन $f$ का कोई चरम नहीं है।

प्रमेय
चलो $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)^2$। फिर:

यदि $\Delta>0$, तो फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $\बाएं(x_(0),y_(0)\right)$ पर एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि $a_(11)> 0$ , और अधिकतम यदि $a_(11)<0$;
अगर $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.