थीम 3
	वितरण समारोह की अवधारणा
	गणितीय अपेक्षा और विचरण
	वर्दी (आयताकार) वितरण
	सामान्य (गाऊसी) वितरण
	वितरण
	टी- छात्र का वितरण
	एफ- वितरण
	दो यादृच्छिक स्वतंत्र चरों के योग का वितरण
	उदाहरण: दो स्वतंत्र के योग का वितरण समान रूप से वितरित मात्रा
	यादृच्छिक चर परिवर्तन
	उदाहरण: एक हार्मोनिक तरंग का वितरण यादृच्छिक चरण के साथ
	केंद्रीय सीमा प्रमेय
	एक यादृच्छिक चर के क्षण और उनके गुण
चक्र का उद्देश्य व्याख्यान:		सबसे महत्वपूर्ण वितरण कार्यों और उनके गुणों के बारे में प्रारंभिक जानकारी की रिपोर्ट करें

वितरण कार्य

रहने दो एक्स (के)कुछ यादृच्छिक चर है। फिर किसी निश्चित मान x के लिए एक यादृच्छिक घटना एक्स (के) एक्ससभी संभावित परिणामों के सेट के रूप में परिभाषित कऐसा है कि एक्स (के) एक्स. नमूना स्थान पर दिए गए मूल संभाव्यता माप के संदर्भ में, वितरण समारोहपी (एक्स)अंक के एक सेट को सौंपी गई संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है क एक्स (के) एक्स. ध्यान दें कि बिंदुओं का सेट कअसमानता को संतुष्ट करना एक्स (के) एक्स, असमानता को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के समूह का एक सबसेट है एक्स (के) . औपचारिक रूप से

जाहिर सी बात है

यदि यादृच्छिक चर के मानों की सीमा निरंतर है, जिसे नीचे माना जाता है, तो संभावित गहराई(एक आयामी) पी (एक्स)अंतर संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है

(4)

इसलिये,

(6)

असतत मामलों पर विचार करने में सक्षम होने के लिए, संभाव्यता घनत्व की संरचना में डेल्टा कार्यों की उपस्थिति को स्वीकार करना आवश्यक है।

अपेक्षित मूल्य

चलो यादृच्छिक चर एक्स (के)- से + तक की सीमा से मान लेता है। अर्थ(अन्यथा, अपेक्षित मूल्यया अपेक्षित मूल्य) एक्स (के)मूल्यों के उत्पादों के योग में सीमा तक संबंधित मार्ग का उपयोग करके गणना की जाती है एक्स (के)इन घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता पर:

(8)

कहाँ पे इ- सूचकांक द्वारा वर्ग कोष्ठक में व्यंजक की गणितीय अपेक्षा क. वास्तविक एकल-मूल्यवान निरंतर फ़ंक्शन की गणितीय अपेक्षा को इसी तरह परिभाषित किया गया है जी(एक्स)एक यादृच्छिक चर से एक्स (के)

(9)

कहाँ पे पी (एक्स)- एक यादृच्छिक चर की संभावना घनत्व एक्स (के)।विशेष रूप से, लेना जी (एक्स) = एक्स,हम पाते हैं माध्य वर्ग x(k) :

(10)

फैलावएक्स (के)अंतर के माध्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है एक्स (के)और इसका औसत मूल्य,

यानी इस मामले में जी (एक्स) = और

ए-प्राथमिकता, मानक विचलनअनियमित चर एक्स (के),लक्षित , विचरण के वर्गमूल का धनात्मक मान है। मानक विचलन को माध्य के समान इकाइयों में मापा जाता है।

सबसे महत्वपूर्ण वितरण कार्य

वर्दी (आयताकार) वितरण।

आइए मान लें कि प्रयोग में अंतराल से एक बिंदु का यादृच्छिक चयन होता है [ ए, बी] , इसके समापन बिंदुओं सहित। इस उदाहरण में, एक यादृच्छिक चर के मान के रूप में एक्स (के)आप चयनित बिंदु का अंकीय मान ले सकते हैं। संबंधित वितरण फ़ंक्शन का रूप है

इसलिए, प्रायिकता घनत्व सूत्र द्वारा दिया जाता है

इस उदाहरण में, सूत्रों (9) और (11) का उपयोग करके माध्य और प्रसरण की गणना देता है

सामान्य (गाऊसी) वितरण

, - अंकगणितीय माध्य, - RMS।

प्रायिकता P(z)=1- के संगत z का मान, अर्थात्।

ची - वर्ग वितरण

रहने दो - n स्वतंत्र यादृच्छिक चर, जिनमें से प्रत्येक का शून्य माध्य और इकाई विचरण के साथ एक सामान्य वितरण होता है।

स्वतंत्रता की n डिग्री के साथ ची-वर्ग यादृच्छिक चर।

संभावित गहराई ।

DF: 100 - प्रतिशत अंक - वितरण द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात।

माध्य और विचरण बराबर हैं

टी - छात्र वितरण

y, z स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं; y - है - वितरण, z - सामान्य रूप से शून्य माध्य और इकाई विचरण के साथ वितरित।

मूल्य - है टी- स्वतंत्रता की n डिग्री के साथ छात्र का वितरण

DF: 100 - प्रतिशत बिंदु t - वितरण इंगित किया गया है

माध्य और विचरण बराबर हैं

एफ - वितरण

स्वतंत्र यादृच्छिक चर; है - स्वतंत्रता की डिग्री के साथ वितरण; स्वतंत्रता की डिग्री के साथ वितरण। यादृच्छिक मूल्य:

,

एफ एक वितरित यादृच्छिक चर है जिसमें स्वतंत्रता की डिग्री है।

,

डीएफ: 100 - प्रतिशत अंक:

माध्य और विचरण बराबर हैं:

राशि का वितरण

दो यादृच्छिक चर

रहने दो एक्स (के)और वाई (के)एक संयुक्त संभाव्यता घनत्व वाले यादृच्छिक चर हैं पी (एक्स, वाई)।यादृच्छिक चरों के योग की प्रायिकता घनत्व ज्ञात कीजिए

एक निश्चित . पर एक्सअपने पास वाई = जेड-एक्स।इसलिए

एक निश्चित . पर जेडमूल्यों एक्सअंतराल को - से + तक चलाएं। इसलिए

(37)

जहां से यह देखा जा सकता है कि योग के वांछित घनत्व की गणना करने के लिए, मूल संयुक्त संभाव्यता घनत्व को जानना आवश्यक है। यदि एक एक्स (के)और वाई (के)स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं जिनका घनत्व और, क्रमशः, तब तथा

(38)

उदाहरण:दो स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग।

मान लें कि दो यादृच्छिक स्वतंत्र चरों के रूप का घनत्व है

अन्य मामलों में आइए उनके योग z= x+ y का प्रायिकता घनत्व p(z) ज्ञात करें।

संभावित गहराई के लिए यानी के लिए इसलिये, एक्ससे कम जेड. इसके अलावा, सूत्र द्वारा (38) के लिए शून्य के बराबर नहीं है, हम पाते हैं कि

चित्रण:

दो स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योग की संभाव्यता घनत्व।

यादृच्छिक रूपांतरण

मान

रहने दो एक्स (टी)- संभाव्यता घनत्व के साथ यादृच्छिक चर पी (एक्स),जाने दो जी (एक्स)का एक एकल-मूल्यवान वास्तविक निरंतर कार्य है एक्स. पहले मामले पर विचार करें जब उलटा कार्य एक्स (जी)का एकल-मूल्यवान निरंतर कार्य भी है जी।संभावित गहराई पी (जी),एक यादृच्छिक चर के अनुरूप जी (एक्स (के)) = जी (के),संभाव्यता घनत्व से निर्धारित किया जा सकता है पी (एक्स)अनियमित चर एक्स (के)और व्युत्पन्न डीजी/डीएक्सइस धारणा के तहत कि व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य से अलग है, अर्थात्:

(12)

इसलिए, सीमा में डीजी/डीएक्स#0

(13)

इस सूत्र का उपयोग करते हुए, चर के बजाय इसके दाईं ओर अनुसरण करता है एक्सउपयुक्त मान को प्रतिस्थापित करें जी.

अब उस मामले पर विचार करें जब उलटा कार्य एक्स (जी)यह सही है एन-मूल्यवान समारोह जी, कहाँ पे एनएक पूर्णांक है और सभी n मान समान रूप से संभावित हैं। फिर

(14)

उदाहरण:

हार्मोनिक फ़ंक्शन का वितरण।

निश्चित आयाम के साथ हार्मोनिक फ़ंक्शन एक्सऔर आवृत्ति एफएक यादृच्छिक चर होगा यदि इसका प्रारंभिक चरण कोण  =  (क)- यादृच्छिक मूल्य। विशेष रूप से, चलो टीस्थिर और समान टी हे, और हार्मोनिक यादृच्छिक चर को रूप दें

चलो दिखावा करते हैं कि  (क)एक समान संभावना घनत्व है पी( ) तरह

प्रायिकता घनत्व ज्ञात कीजिए पी (एक्स)अनियमित चर एक्स (के)।

इस उदाहरण में, प्रत्यक्ष कार्य एक्स( ) स्पष्ट रूप से, और उलटा कार्य  (एक्स)अस्पष्ट।

व्यवहार में, यादृच्छिक चरों के योग के लिए वितरण नियम खोजना अक्सर आवश्यक हो जाता है।

एक सिस्टम होने दो (एक्स बी एक्स 2)दो निरंतर एस. में। और उनकी राशि

आइए वितरण घनत्व ज्ञात करें c. में। यू। पिछले पैराग्राफ के सामान्य समाधान के अनुसार, हम उस विमान का क्षेत्र पाते हैं जहां x + x 2 (चित्र 9.4.1):

इस व्यंजक को y के सापेक्ष अवकलित करने पर हमें एक एपी प्राप्त होता है। अनियमित चर वाई \u003d एक्स + एक्स 2:

चूँकि फलन (x b x 2) = Xj + x 2 अपने तर्कों के संबंध में सममित है, तो

अगर साथ। में। एक्सऔर एक्स 2 स्वतंत्र हैं, तो सूत्र (9.4.2) और (9.4.3) रूप लेते हैं:

मामले में जब स्वतंत्र सी. में। एक्स एक्सऔर एक्स 2,वितरण कानूनों की संरचना के बारे में बात करें। उत्पाद संघटनदो वितरण कानून - इसका मतलब है कि दो स्वतंत्र सी के योग के लिए वितरण कानून खोजना। सी।, इन कानूनों के अनुसार वितरित। वितरण कानूनों की संरचना को निर्दिष्ट करने के लिए प्रतीकात्मक संकेतन का उपयोग किया जाता है

जो अनिवार्य रूप से सूत्रों (9.4.4) या (9.4.5) द्वारा निरूपित किया जाता है।

उदाहरण 1. दो तकनीकी उपकरणों (टीडी) का कार्य माना जाता है। सबसे पहले, TU 2 के संचालन में विफलता (विफलता) को शामिल करने के बाद TU काम करता है। अपटाइम टीयू टीयू टीयू 2 - एक्स एक्सऔर एक्स 2 - पैरामीटर ए, 1 और के साथ घातीय कानूनों के अनुसार स्वतंत्र और वितरित किए जाते हैं एक्स 2।इसलिए, समय यूटीयू से मिलकर टीयू का परेशानी मुक्त संचालन! और टीयू 2 सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा

एक पीआर खोजने की आवश्यकता है। अनियमित चर वाई,यानी, मापदंडों के साथ दो घातीय कानूनों की संरचना और एक्स 2।

फेसला। सूत्र (9.4.4) से हम प्राप्त करते हैं (y > 0)

यदि समान पैरामीटर (?c = .) के साथ दो घातांकीय कानूनों का संयोजन है एक्स 2 = Y), तो व्यंजक (9.4.8) में 0/0 प्रकार की अनिश्चितता प्राप्त होती है, जिसका विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है:

इस व्यंजक की व्यंजक (6.4.8) से तुलना करने पर, हम आश्वस्त हैं कि दो समान घातांकीय नियमों (?c = .) का संयोजन एक्स 2 = एक्स)दूसरे क्रम का एरलांग कानून (9.4.9) है। विभिन्न मापदंडों के साथ दो घातीय कानूनों की रचना करते समय एक्स एक्सऔर ए-2 मिलता है दूसरे क्रम का सामान्यीकृत एरलांग कानून (9.4.8). ?

समस्या 1. दो s के अंतर के वितरण का नियम। में। सिस्टम के साथ। में। (एक्स और एक्स 2)एक संयुक्त आरपी/(x x x 2) है। एक जनसंपर्क खोजें उनके मतभेद वाई = एक्स - एक्स 2।

फेसला। सिस्टम के लिए में। (एक्स बी - एक्स 2)आदि। होगा / (एक्स बी - एक्स 2),यानी हमने अंतर को योग से बदल दिया। इसलिए, ए.आर. यादृच्छिक चर U का रूप होगा (देखें (9.4.2), (9.4.3)):

यदि एक साथ। में। एक्स एक्स आईएक्स 2 स्वतंत्र, तो

उदाहरण 2. एक f.r खोजें। दो स्वतंत्र घातीय रूप से वितरित एस का अंतर। में। मापदंडों के साथ एक्स एक्सऔर एक्स 2।

फेसला। सूत्र (9.4.11) के अनुसार हम प्राप्त करते हैं

चावल। 9.4.2 चावल। 9.4.3

चित्र 9.4.2 एक पी दिखाता है। जी(वाई)। यदि हम दो स्वतंत्र घातीय रूप से वितरित s के अंतर पर विचार करें। में। एक ही सेटिंग के साथ (ए-आई= एक्स 2 = लेकिन,),तब जी(y) \u003d / 2 - पहले से ही परिचित

लाप्लास का नियम (चित्र 9.4.3)। ?

उदाहरण 3. दो स्वतंत्र c के योग के लिए वितरण नियम ज्ञात कीजिए। में। एक्सऔर एक्स 2,पॉइसन कानून के अनुसार मापदंडों के साथ वितरित एक एक्सऔर एक 2।

फेसला। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (एक्स एक्स + एक्स 2 = टी) (टी = 0, 1,

इसलिए, एस. में। वाई = एक्स एक्स + एक्स 2 पैरामीटर के साथ पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया गया ए एक्स 2) - ए एक्स + ए 2। ?

उदाहरण 4. दो स्वतंत्र c के योग के लिए वितरण नियम ज्ञात कीजिए। में। एक्स एक्सऔर एक्स 2,मापदंडों के साथ द्विपद कानूनों के अनुसार वितरित पी एक्स री पी 2 , पीक्रमश।

फेसला। के साथ कल्पना करें। में। एक्स एक्सजैसा:

कहाँ पे एक्स 1) -घटना सूचक लेकिनवू "वें अनुभव:

के साथ वितरण रेंज। में। एक्स,- का रूप है

हम एस के लिए एक समान प्रतिनिधित्व करेंगे। में। एक्स 2:जहां एक्स] 2) - घटना संकेतक लेकिन y" -वें अनुभव में:

इसलिये,

एक्स कहाँ है? 1)+(2) यदि घटना सूचक लेकिन:

इस प्रकार, हमने दिखाया है कि में। ससुर राशि (यू + एन 2)घटना संकेतक लेकिन, जहां से यह अनुसरण करता है कि s. में। ^ पैरामीटर के साथ द्विपद कानून के अनुसार वितरित ( एन एक्स + एन 2), पी।

ध्यान दें कि यदि संभावनाएं आरअलग-अलग श्रृंखला में प्रयोग अलग-अलग होते हैं, फिर दो स्वतंत्र एस जोड़ने के परिणामस्वरूप। सी।, द्विपद कानूनों के अनुसार वितरित, यह पता चला है सी। सी।, द्विपद कानून के अनुसार वितरित नहीं। ?

उदाहरण 3 और 4 को आसानी से शब्दों की मनमानी संख्या के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। मापदंडों के साथ पॉइसन के नियमों की रचना करते समय ए बी ए 2, ..., परपॉइसन का नियम फिर से पैरामीटर के साथ प्राप्त होता है ए (टी) \u003d ए एक्स + ए 2 + ... + और टी।

मापदंडों के साथ द्विपद कानूनों की रचना करते समय (एन आर); (मैं 2 , आर) , (एन टी, पी)फिर से हमें मापदंडों के साथ द्विपद कानून मिलता है ("("), आर),कहाँ पे एन (टी) \u003d यू + एन 2 + ... + आदि।

हमने पॉइसन के कानून और द्विपद कानून के महत्वपूर्ण गुणों को साबित कर दिया है: "स्थिरता संपत्ति"। वितरण कानून कहा जाता है टिकाऊ,यदि एक ही प्रकार के दो कानूनों की संरचना एक ही प्रकार के कानून में परिणत होती है (केवल इस कानून के पैरामीटर भिन्न होते हैं)। उपभाग 9.7 में हम दिखाएंगे कि सामान्य कानून में समान स्थिरता संपत्ति होती है।

संभाव्यता सिद्धांत का एक अत्यंत महत्वपूर्ण उद्देश्य स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग है। यह स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के वितरण का अध्ययन है जिसने संभाव्यता सिद्धांत के विश्लेषणात्मक तरीकों के विकास की नींव रखी।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का वितरण

इस खंड में, हम एक सामान्य सूत्र प्राप्त करेंगे जो हमें स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के वितरण फ़ंक्शन की गणना करने और कई उदाहरणों पर विचार करने की अनुमति देता है।

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का वितरण। कनवल्शन फॉर्मूला

वितरण कार्यों के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर

क्रमश:

फिर वितरण समारोह एफयादृच्छिक चर का योग

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है ( दृढ़ संकल्प सूत्र)

इसे सिद्ध करने के लिए हम फ़ुबिनी प्रमेय का प्रयोग करते हैं।

सूत्र का दूसरा भाग इसी प्रकार सिद्ध होता है।

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का वितरण घनत्व

यदि दोनों यादृच्छिक चर के वितरण में घनत्व है, तो इन यादृच्छिक चर के योग के घनत्व की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

यदि एक यादृच्छिक चर (या) के वितरण में घनत्व है, तो इन यादृच्छिक चर के योग के घनत्व की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

इन दावों को साबित करने के लिए, घनत्व की परिभाषा का उपयोग करना पर्याप्त है।

एकाधिक संकल्प

स्वतंत्र यादृच्छिक चर की एक सीमित संख्या के योग की गणना कनवल्शन फॉर्मूला के अनुक्रमिक अनुप्रयोग का उपयोग करके की जाती है। योग वितरण समारोह कएक वितरण फ़ंक्शन के साथ स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर एफ

बुलाया क-वितरण समारोह का गुना संकल्प एफऔर निरूपित

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के वितरण की गणना के उदाहरण

इस पैराग्राफ में, स्थितियों के उदाहरण दिए गए हैं, जब यादृच्छिक चर का योग होता है, वितरण का रूप संरक्षित होता है। प्रूफ इंटीग्रल्स के योग और गणना पर अभ्यास हैं।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग। सामान्य वितरण

स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग। द्विपद बंटन

स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग पॉसों वितरण

स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग। गामा वितरण

पॉइज़न प्रक्रिया

पैरामीटर के साथ घातीय वितरण वाले स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का एक क्रम

बिंदुओं का यादृच्छिक क्रम

गैर-ऋणात्मक अर्ध-अक्ष पर कहा जाता है पॉइसन (बिंदु) प्रक्रिया.

आइए अंकों की संख्या के वितरण की गणना करें

अंतराल में पॉइसन प्रक्रिया (0, टी)

समकक्ष, तो

लेकिन यादृच्छिक चर का वितरण

क्रम k का एक Erlang वितरण है, इसलिए

इस प्रकार, अंतराल (ओ, टी) में पॉइसन प्रक्रिया के बिंदुओं की संख्या का वितरण पैरामीटर के साथ एक पॉइसन वितरण है

पॉइसन प्रक्रिया का उपयोग यादृच्छिक घटनाओं की घटना के क्षणों को अनुकरण करने के लिए किया जाता है - रेडियोधर्मी क्षय की प्रक्रिया, टेलीफोन एक्सचेंज को कॉल प्राप्त होने के क्षण, सेवा प्रणाली में ग्राहकों की उपस्थिति के क्षण, उपकरण विफलता के क्षण।

आइए हम उपरोक्त सामान्य विधि का उपयोग एक समस्या को हल करने के लिए करें, अर्थात्, दो यादृच्छिक चर के योग के लिए वितरण कानून खोजने के लिए। वितरण घनत्व f(x,y) के साथ दो यादृच्छिक चर (X,Y) की एक प्रणाली है।

यादृच्छिक चर X और Y के योग पर विचार करें और मान Z के वितरण के नियम का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, हम xOy तल पर एक रेखा बनाते हैं, जिसका समीकरण (चित्र 6.3.1)। यह एक सीधी रेखा है जो अक्षों पर z के बराबर खंडों को काटती है। सीधा xy समतल को दो भागों में विभाजित करता है; दाईं ओर और ऊपर ; बाएँ और नीचे

इस मामले में क्षेत्र डी xOy विमान का निचला बायां हिस्सा है, जिसे अंजीर में छायांकित किया गया है। 6.3.1. सूत्र (6.3.2) के अनुसार हमारे पास है:

यह दो यादृच्छिक चरों के योग के वितरण घनत्व का सामान्य सूत्र है।

एक्स और वाई के संबंध में समस्या की समरूपता के कारणों के लिए, हम उसी सूत्र का दूसरा संस्करण लिख सकते हैं:

इन कानूनों की एक संरचना तैयार करना आवश्यक है, यानी मात्रा के वितरण कानून को खोजने के लिए:।

हम वितरण कानूनों की संरचना के लिए सामान्य सूत्र लागू करते हैं:

इन भावों को उस सूत्र में प्रतिस्थापित करना जिसका हम पहले ही सामना कर चुके हैं

और यह फैलाव केंद्र के साथ एक सामान्य कानून के अलावा और कुछ नहीं है

निम्नलिखित गुणात्मक तर्क की सहायता से उसी निष्कर्ष पर अधिक आसानी से पहुंचा जा सकता है।

कोष्ठकों को खोले बिना और समाकलन (6.3.3) में परिवर्तन किए बिना, हम तुरंत इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि घातांक x रूप के संबंध में एक वर्ग त्रिपद है।

जहां z का मान गुणांक A में बिल्कुल भी शामिल नहीं है, यह पहली डिग्री में गुणांक B में शामिल है, और गुणांक C वर्ग में शामिल है। इसे ध्यान में रखते हुए और सूत्र (6.3.4) को लागू करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि g(z) एक घातांकीय फलन है, जिसका घातांक z और वितरण घनत्व के संबंध में एक वर्ग त्रिपद है; इस तरह के सामान्य कानून से मेल खाती है। इस प्रकार, हम; हम विशुद्ध रूप से गुणात्मक निष्कर्ष पर आते हैं: z के वितरण का नियम सामान्य होना चाहिए। इस कानून के मापदंडों को खोजने के लिए - और - गणितीय अपेक्षाओं के योग के प्रमेय और प्रसरणों के योग के प्रमेय का उपयोग करें। गणितीय अपेक्षाओं के योग प्रमेय के अनुसार . प्रसरण जोड़ प्रमेय के अनुसार या जहां से सूत्र (6.3.7) इस प्रकार है।

मूल-माध्य-वर्ग विचलन से उनके समानुपाती संभावित विचलन तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं:
.

इस प्रकार, हम निम्नलिखित नियम पर आए हैं: जब सामान्य कानूनों की रचना की जाती है, तो एक सामान्य कानून फिर से प्राप्त होता है, और गणितीय अपेक्षाओं और भिन्नताओं (या संभावित विचलन को चुकता) का सारांश दिया जाता है।

सामान्य कानूनों के लिए संरचना नियम को स्वतंत्र यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है।

यदि n स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं: फैलाव केंद्रों और मानक विचलन के साथ सामान्य कानूनों के अधीन, तो मान भी मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अधीन है

यदि यादृच्छिक चरों (X, Y) की प्रणाली को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, लेकिन मात्राएँ X, Y निर्भर हैं, तो सामान्य सूत्र (6.3.1) के आधार पर, पहले की तरह, साबित करना आसान है। कि मात्रा का वितरण नियम भी एक सामान्य नियम है। बिखरने वाले केंद्र अभी भी बीजगणितीय रूप से जोड़ते हैं, लेकिन मानक विचलन के लिए नियम अधिक जटिल हो जाता है: , जहां, r X और Y मानों का सहसंबंध गुणांक है।

कई आश्रित यादृच्छिक चर जोड़ते समय कि उनकी समग्रता में सामान्य कानून का पालन होता है, योग का वितरण कानून भी मापदंडों के साथ सामान्य हो जाता है

मात्राओं का सहसंबंध गुणांक कहां है X i , X j , और योग राशियों के सभी अलग-अलग जोड़ीदार संयोजनों तक फैला हुआ है।

हमने सामान्य कानून की एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति देखी है: जब सामान्य कानूनों को जोड़ा जाता है, तो व्यक्ति फिर से एक सामान्य कानून प्राप्त करता है। यह तथाकथित "स्थिरता संपत्ति" है। एक वितरण कानून को स्थिर कहा जाता है, अगर इस प्रकार के दो कानूनों की रचना करके, एक ही प्रकार का कानून फिर से प्राप्त किया जाता है। हमने ऊपर दिखाया है कि सामान्य कानून स्थिर है। बहुत कम वितरण कानूनों में स्थिरता का गुण होता है। एकसमान घनत्व का नियम अस्थिर है: 0 से 1 के वर्गों में एकसमान घनत्व के दो नियमों की रचना करते समय, हमने सिम्पसन का नियम प्राप्त किया।

एक सामान्य कानून की स्थिरता व्यवहार में इसके व्यापक आवेदन के लिए आवश्यक शर्तों में से एक है। हालांकि, स्थिरता की संपत्ति, सामान्य के अलावा, कुछ अन्य वितरण कानूनों के पास भी है। सामान्य कानून की एक विशेषता यह है कि जब पर्याप्त संख्या में व्यावहारिक रूप से मनमाने वितरण कानूनों की रचना की जाती है, तो कुल कानून मनमाने ढंग से सामान्य के करीब हो जाता है, भले ही शर्तों के वितरण कानून कुछ भी हों। इसे उदाहरण के लिए, 0 से 1 तक के वर्गों में एकसमान घनत्व के तीन कानूनों की रचना द्वारा चित्रित किया जा सकता है। परिणामी वितरण कानून g(z) अंजीर में दिखाया गया है। 6.3.1. जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, फलन g(z) का आलेख सामान्य नियम के आलेख के समान है।

दो यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली होने दें एक्सऔर यू, जिसका संयुक्त वितरण ज्ञात है। कार्य एक यादृच्छिक चर के वितरण को खोजना है। SV . के उदाहरण के रूप में जेडआप दो उद्यमों से लाभ ला सकते हैं; दो अलग-अलग क्षेत्रों से एक निश्चित तरीके से मतदान करने वाले मतदाताओं की संख्या; दो पासों पर अंकों का योग।

1. दो डीएसवी का मामला।असतत सीवी जो भी मान लेते हैं (एक परिमित दशमलव अंश के रूप में, विभिन्न चरणों के साथ), स्थिति को लगभग हमेशा निम्न विशेष मामले में कम किया जा सकता है। मात्रा एक्सऔर यूकेवल पूर्णांक मान ले सकते हैं, अर्थात कहाँ पे . यदि प्रारंभ में वे दशमलव भिन्न थे, तो उन्हें 10 k से गुणा करके पूर्णांक बनाया जा सकता है। और उच्च और निम्न के बीच लापता मूल्यों को शून्य संभावनाएं दी जा सकती हैं। संयुक्त संभाव्यता वितरण ज्ञात होने दें। फिर, यदि हम मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों को नियमों के अनुसार संख्या देते हैं: , तो योग की संभावना है:

मैट्रिक्स के तत्वों को विकर्णों में से एक के साथ जोड़ा जाता है।

2. दो एनएसडब्ल्यू का मामला।बता दें कि संयुक्त वितरण घनत्व ज्ञात है। फिर योग का वितरण घनत्व:

यदि एक एक्सऔर यूस्वतंत्र, अर्थात् , तब

उदाहरण 1 एक्स, वाई- स्वतंत्र, समान रूप से वितरित एसडब्ल्यू:

आइए यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व ज्ञात करें।

जाहिर सी बात है ,

दप जेडअंतराल में मान ले सकते हैं ( सी+डी; ए+बी), लेकिन सभी के लिए नहीं एक्स. इस अंतराल के बाहर। निर्देशांक तल पर ( एक्स, जेड) मात्रा के संभावित मूल्यों की सीमा जेडभुजाओं वाला एक समांतर चतुर्भुज है एक्स=साथ; एक्स=ए; जेड = एक्स + डी; जेड = एक्स + बी. एकीकरण की सीमा के सूत्र में होगा सीऔर ए. हालांकि, इस तथ्य के कारण कि प्रतिस्थापन में वाई = जेड-एक्स, कुछ मूल्यों के लिए जेडसमारोह । उदाहरण के लिए, यदि सी , तो फिर जेड = एक्स + सीऔर कोई भी एक्सहोगा: । इसलिए, मूल्य में परिवर्तन के विभिन्न क्षेत्रों के लिए अभिन्न की गणना अलग से की जानी चाहिए जेड, जिनमें से प्रत्येक में एकीकरण की सीमाएँ भिन्न होंगी, लेकिन सबके लिए एक्सऔर जेड. हम इसे विशेष मामले के लिए करेंगे जब ए+डी< b+c . आइए हम मात्रा में परिवर्तन के तीन अलग-अलग क्षेत्रों पर विचार करें जेडऔर उनमें से प्रत्येक के लिए हम पाते हैं।

1) सी+डी ≤ जेड ≤ ए+डी. फिर

2) ए+डी ≤ जेड ≤ बी+सी. फिर

3) बी+सी जेड ≤ ए+बी. फिर

इस वितरण को सिम्पसन का नियम कहते हैं। आंकड़े 8, 9 SW वितरण घनत्व के रेखांकन दिखाते हैं साथ=0, डी=0.