I. फूरियर रूपांतरण।

परिभाषा 1.समारोह

बुलाया फुरियर रूपांतरणकार्य।

यहाँ समाकल को मुख्य मूल्य के अर्थ में समझा जाता है

और माना जाता है कि मौजूद है।

यदि पर पूर्णतः समाकलनीय फलन है, तो, चूँकि के लिए, फूरियर ट्रांसफॉर्म (1) ऐसे किसी भी फ़ंक्शन के लिए समझ में आता है, और इंटीग्रल (1) पूरी लाइन ℝ के संबंध में बिल्कुल और समान रूप से परिवर्तित होता है।

परिभाषा 2. यदि एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है
, फिर संबद्ध अभिन्न

मुख्य अर्थ के अर्थ में समझा हुआ, कहलाता है समारोह का फूरियर अभिन्न .

उदाहरण 1फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

दिया गया फलन वास्तव में, पर पूर्णतः समाकलनीय है,

परिभाषा 3.इंटीग्रल के प्रमुख मूल्य के अर्थ में समझा

तदनुसार नामित कोसाइन-तथा साइन फूरियर रूपांतरण कार्य .

यह मानते हुए , , , हम आंशिक रूप से फूरियर श्रृंखला से पहले से परिचित संबंध प्राप्त करते हैं

जैसा कि संबंधों से देखा जा सकता है (3), (4),

सूत्र (5), (6) बताते हैं कि फूरियर रूपांतरण पूरी लाइन पर पूरी तरह से परिभाषित हैं यदि वे केवल तर्क के गैर-नकारात्मक मूल्यों के लिए जाने जाते हैं।

उदाहरण 2एक फ़ंक्शन का कोसाइन - और साइन - फूरियर रूपांतरण खोजें

जैसा कि उदाहरण 1 में दिखाया गया है, दिया गया फलन पर पूर्ण रूप से समाकलनीय है।

आइए इसके कोसाइन - फूरियर रूपांतरण को सूत्र (3) के अनुसार खोजें:

इसी तरह, फ़ंक्शन के साइन-फूरियर रूपांतरण को खोजना मुश्किल नहीं है एफ(एक्स) सूत्र द्वारा (4):

उदाहरण 1 और 2 का उपयोग करते हुए, प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित करना आसान है कि के लिए एफ(एक्स) संबंध (5) संतुष्ट है।

यदि फ़ंक्शन वास्तविक-मूल्यवान है, तो इस मामले में सूत्र (5), (6) का अर्थ है

चूंकि इस मामले में और आर पर वास्तविक कार्य हैं, जो उनकी परिभाषाओं (3), (4) से स्पष्ट है। हालांकि, इस शर्त के तहत समानता (7) फूरियर ट्रांसफॉर्म की परिभाषा (1) से भी सीधे प्राप्त किया जाता है, अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि संयुग्मन चिन्ह को इंटीग्रल साइन के तहत रखा जा सकता है। अंतिम अवलोकन हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि कोई भी कार्य समानता को संतुष्ट करता है

यह नोट करना भी उपयोगी है कि if एक वास्तविक और सम फलन है, अर्थात, , फिर

यदि एक वास्तविक और विषम फलन है, अर्थात्, , फिर

और अगर एक विशुद्ध रूप से काल्पनिक कार्य है, अर्थात। . , फिर

ध्यान दें कि यदि एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है, तो फूरियर इंटीग्रल को फॉर्म में भी लिखा जा सकता है

कहाँ पे

उदाहरण 3
(मानते हुए )

चूंकि हम डिरिचलेट इंटीग्रल का मूल्य जानते हैं

उदाहरण में माना गया कार्य पूरी तरह से एकीकृत नहीं है और इसके फूरियर रूपांतरण में असंतुलन है। तथ्य यह है कि पूरी तरह से एकीकृत कार्यों के फूरियर रूपांतरण में कोई असंतुलन नहीं है, निम्नलिखित द्वारा दिखाया गया है:

लेम्मा 1. यदि समारोह स्थानीय रूप से एकीकृत और पूरी तरह से एकीकृत करने योग्य , फिर

एक) इसका फूरियर रूपांतरण किसी भी मूल्य के लिए परिभाषित

बी)

याद रखें कि अगरएक खुले सेट पर परिभाषित एक वास्तविक या जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है, फिर समारोह बुलाया स्थानीय रूप से एकीकृत करने योग्य, यदि कोई दूरसंचार विभागएक पड़ोस है जिसमें समारोह अभिन्न है। विशेष रूप से, यदि , फ़ंक्शन की स्थानीय अभिन्नता की स्थिति स्पष्ट रूप से इस तथ्य के बराबर है कि किसी भी खंड के लिए।

उदाहरण 4फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं :

पैरामीटर के संबंध में अंतिम अभिन्न को अलग करना और फिर भागों द्वारा एकीकृत करना, हम पाते हैं कि

या

माध्यम, , जहां एक स्थिरांक है, जो यूलर-पॉइसन अभिन्न का उपयोग करके, हम संबंध से पाते हैं

तो, हमने पाया कि, और साथ ही दिखाया कि, और .

परिभाषा 4.उनका कहना है कि समारोह , बिंदु के एक छिद्रित पड़ोस में परिभाषित, बिंदु पर दीनी स्थितियों को संतुष्ट करता है यदि

ए) दोनों एकतरफा सीमाएं बिंदु पर मौजूद हैं

बी) दोनों अभिन्न

बिल्कुल सहमत।

अभिन्न का पूर्ण अभिसरण का अर्थ है कम से कम के कुछ मूल्य के लिए अभिन्न का पूर्ण अभिसरण।

फूरियर इंटीग्रल द्वारा किसी फ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व के लिए पर्याप्त शर्तें।

प्रमेय 1.अगर पूरी तरह से एकीकृत और स्थानीय रूप से टुकड़े-टुकड़े निरंतर कार्य बिंदु पर संतुष्ट दीनी की स्थिति, फिर इसका फूरियर इंटीग्रल इस बिंदु पर और मान में परिवर्तित हो जाता है

इस बिंदु पर फ़ंक्शन मानों की बाएँ और दाएँ सीमा के आधे योग के बराबर।

परिणाम 1.यदि समारोह निरंतर, हर बिंदु पर है परिमित एक तरफा व्युत्पन्न और बिल्कुल एकीकृत करने योग्य , तो ऐसा प्रतीत होता है इसके फूरियर इंटीग्रल के साथ

कहाँ पे एक समारोह का फूरियर रूपांतरण .

फूरियर इंटीग्रल द्वारा किसी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व इस प्रकार लिखा जा सकता है:

टिप्पणी।प्रमेय 1 और परिणाम 1 में तैयार किए गए कार्य की शर्तें पर्याप्त हैं, लेकिन इस तरह के प्रतिनिधित्व की संभावना के लिए आवश्यक नहीं हैं।

उदाहरण 5फूरियर इंटीग्रल के रूप में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें यदि

यह फलन पर विषम और सतत है, केवल बिन्दुओं को छोड़कर।

फ़ंक्शन की विषमता और वास्तविकता के कारण, हमारे पास है:

और समानता (5) और (10) से यह इस प्रकार है कि

फ़ंक्शन की निरंतरता के बिंदुओं पर हमारे पास है:

लेकिन फ़ंक्शन विषम है, इसलिए

चूंकि इंटीग्रल की गणना मूल मूल्य के अर्थ में की जाती है।

फलन सम है, इसलिए

यदि , । के लिए, समानता

मान लीजिए, यहाँ से हम पाते हैं

यदि हम के लिए अंतिम व्यंजक डालते हैं, तो

यहाँ मानते हुए, हम पाते हैं

यदि एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन वास्तविक रेखा के किसी भी खंड पर निरंतर निरंतर है, पूरी तरह से एकीकृत है और प्रत्येक बिंदु पर एकतरफा व्युत्पन्न है, तो फ़ंक्शन की निरंतरता के बिंदुओं पर इसे फूरियर इंटीग्रल के रूप में दर्शाया जाता है

और फ़ंक्शन के असंततता बिंदुओं पर, समानता के बाईं ओर (1) को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए

यदि प्रत्येक बिंदु पर एक निरंतर पूर्णतया समाकलनीय फलन में प्रत्येक बिंदु पर परिमित एकतरफा अवकलज है, तो उस स्थिति में जब यह फलन सम है, समानता

और मामले में जब एक विषम कार्य है, समानता

उदाहरण 5'। फूरियर इंटीग्रल के रूप में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें यदि:

चूँकि एक सतत सम फलन है, तो, सूत्रों (13.2), (13.2') का प्रयोग करते हुए, हमारे पास है

हम प्रतीक द्वारा उस अभिन्न को निरूपित करते हैं जिसे मूल मूल्य के अर्थ में समझा जाता है

परिणाम 2.किसी भी समारोह के लिए कोरोलरी 1 की शर्तों को पूरा करने वाले सभी परिवर्तन हैं , , , और समानताएं हैं

इन संबंधों को ध्यान में रखते हुए, परिवर्तन (14) को अक्सर कहा जाता है उलटा फूरियर रूपांतरणऔर इसके बजाय लिखें, और समानताएं (15) स्वयं कहलाती हैं फूरियर रूपांतरण उलटा सूत्र.

उदाहरण 6चलो और

ध्यान दें कि अगर , फिर किसी भी समारोह के लिए

चलिए अब एक फंक्शन लेते हैं। फिर

यदि हम एक ऐसा फलन लेते हैं जो फलन का विषम निरंतरता है , संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर, तब

प्रमेय 1 का प्रयोग करते हुए, हम पाते हैं कि

यहाँ सभी समाकलों को प्रमुख मूल्य के अर्थ में समझा जाता है,

वास्तविक और काल्पनिक भागों को अंतिम दो समाकलों में अलग करके, हम लाप्लास समाकलन पाते हैं

परिभाषा . समारोह

सामान्यीकृत फूरियर रूपांतरण कहा जाएगा।

परिभाषा . यदि फ़ंक्शन का सामान्यीकृत फूरियर रूपांतरण है, तो संबद्ध अभिन्न

हम फ़ंक्शन के सामान्यीकृत फूरियर इंटीग्रल को कॉल करेंगे।

हम सामान्यीकृत फूरियर रूपांतरण (16) पर विचार करेंगे।

सुविधा के लिए, हम निम्नलिखित संकेतन पेश करते हैं:

(वे। ).

पिछले संकेतन की तुलना में, यह केवल एक सामान्यीकरण है: इसलिए, विशेष रूप से, संबंध (15) हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि

या, छोटे अंकन में,

परिभाषा 5.ऑपरेटर को सामान्यीकृत फूरियर रूपांतरण कहा जाएगा, और ऑपरेटर को उलटा सामान्यीकृत फूरियर रूपांतरण कहा जाएगा।

लेम्मा 1 में, हमने देखा कि किसी फ़ंक्शन पर किसी भी पूर्ण रूप से एकीकृत फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण अनंत पर शून्य हो जाता है। अगले दो कथन बताते हैं कि, फूरियर गुणांक की तरह, फूरियर रूपांतरण तेजी से शून्य हो जाता है, जिस कार्य से इसे लिया जाता है (पहले कथन में); इसके साथ एक पारस्परिक तथ्य यह होगा कि जिस कार्य से फूरियर रूपांतरण लिया जाता है वह जितनी तेजी से शून्य हो जाता है, उतना ही आसान इसका फूरियर रूपांतरण (दूसरा कथन)।

कथन 1(किसी फ़ंक्शन की चिकनाई और उसके फूरियर रूपांतरण में कमी की दर के बीच संबंध पर)। यदि एक और सभी सुविधाएँ पर पूरी तरह से एकीकृत , फिर:

एक) किसी के लिए

बी)

वक्तव्य 2(किसी फ़ंक्शन के क्षय की दर और उसके फूरियर रूपांतरण की चिकनाई के बीच संबंध पर)। यदि एक स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य : ऐसा है कि समारोह बिल्कुल अभिन्नएक , फिर:

एक) एक समारोह का फूरियर रूपांतरण वर्ग के अंतर्गत आता है

बी) एक असमानता है

हम फूरियर रूपांतरण के मुख्य हार्डवेयर गुण प्रस्तुत करते हैं।

लेम्मा 2.कार्यों के लिए एक फूरियर रूपांतरण होने दें और (क्रमशः, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण), फिर, जो भी संख्याएं हैं और, एक फूरियर रूपांतरण (क्रमशः, उलटा फूरियर रूपांतरण) और फ़ंक्शन के लिए है , तथा

(क्रमश )।

इस गुण को फूरियर रूपांतरण की रैखिकता (क्रमशः, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण) कहा जाता है।

परिणाम। .

लेम्मा 3.फूरियर रूपांतरण, साथ ही प्रतिलोम परिवर्तन, संपूर्ण अक्ष पर निरंतर पूर्ण रूप से एकीकृत कार्यों के सेट पर एक-से-एक परिवर्तन है, जिसमें प्रत्येक बिंदु पर एक तरफा व्युत्पन्न होता है।

इसका मतलब है कि यदि और निर्दिष्ट प्रकार के दो कार्य हैं और यदि (क्रमशः, यदि ), फिर पूरी धुरी पर।

लेम्मा 1 के अभिकथन से, हम निम्नलिखित लेम्मा प्राप्त कर सकते हैं।

लेम्मा 4.अगर पूरी तरह से एकीकृत कार्यों का क्रम और एक पूरी तरह से एकीकृत कार्य ऐसे हैं कि

तब अनुक्रम पूरे अक्ष पर समान रूप से फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है।

आइए अब हम दो फलनों के कनवल्शन के फूरियर रूपांतरण का अध्ययन करें। सुविधा के लिए, हम एक अतिरिक्त कारक जोड़कर कनवल्शन की परिभाषा को संशोधित करते हैं

प्रमेय 2।कार्यों को वास्तविक अक्ष पर बाध्य, निरंतर, और पूरी तरह से एकीकृत होने दें, फिर

वे। दो कार्यों के कनवल्शन का फूरियर रूपांतरण इन कार्यों के फूरियर रूपांतरण के उत्पाद के बराबर है।

आइए नीचे दी गई समस्याओं को हल करने में उपयोगी सामान्यीकृत फूरियर रूपांतरण के गुणों का सारांश तालिका नंबर 1 संकलित करें।

तालिका एक

समारोह	सामान्यीकृत फूरियर रूपांतरण

गुण 1-4 और 6 का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 7किसी फ़ंक्शन के सामान्यीकृत फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

उदाहरण 4 ने दिखाया कि

मानो

संपत्ति 3 के अनुसार, हमारे पास है:

इसी तरह, आप सामान्यीकृत उलटा फूरियर रूपांतरण के लिए तालिका संख्या 2 संकलित कर सकते हैं:

तालिका संख्या 2

समारोह	सामान्यीकृत उलटा फूरियर रूपांतरण

पहले की तरह, गुण 1-4 और 6 का उपयोग करके हमें वह मिलता है

उदाहरण 8किसी फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

उदाहरण 6 . से इस प्रकार है

जब हम रखते है:

रूप में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करना

संपत्ति 6 ​​का उपयोग करें जब

निपटान और ग्राफिक कार्य के लिए कार्यों के विकल्प

1. साइन का पता लगाएं - एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण

2. साइन का पता लगाएं - एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण

3. कोसाइन खोजें - एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण

4. कोसाइन खोजें - एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण

5. साइन का पता लगाएं - एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण

6.कोसाइन खोजें - एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण

7. साइन का पता लगाएं - फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण

8. कोसाइन खोजें - एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण

9. कोसाइन खोजें - एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण

10. एक फ़ंक्शन का साइन - फूरियर रूपांतरण खोजें

11. एक फ़ंक्शन का साइन - फूरियर रूपांतरण खोजें

12. साइन - फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन खोजें

13. साइन - फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन खोजें

14. कोसाइन खोजें - कार्य परिवर्तन

15. कोसाइन खोजें - कार्य परिवर्तन

16. किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए यदि:

17. किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए यदि:

18. किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए यदि:

19. किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए यदि:

20. किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए यदि:

21. किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए यदि:

22. एक फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

सूत्र का उपयोग करना

24. किसी फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

सूत्र का उपयोग करना

26. एक फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

सूत्र का उपयोग करना

28. एक फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

सूत्र का उपयोग करना

30. एक फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

सूत्र का उपयोग करना

23. एक फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

सूत्र का उपयोग करना

25. एक फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

सूत्र का उपयोग करना

27. एक फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

सूत्र का उपयोग करना

29. किसी फलन का सामान्यीकृत प्रतिलोम फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए

सूत्र का उपयोग करना

31. किसी फ़ंक्शन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण का पता लगाएं

सूत्र का उपयोग करना

32. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

33. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

34. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

35. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

36. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

37. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

38. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

39. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

40. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

41. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

42. फूरियर इंटीग्रल के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करें

43. फ़ंक्शन को फूरियर इंटीग्रल के रूप में निरूपित करें, इसे एक विषम तरीके से अंतराल तक विस्तारित करें यदि:

44. फ़ंक्शन को फूरियर इंटीग्रल के रूप में प्रस्तुत करें, इसे अंतराल के लिए एक विषम तरीके से जारी रखें यदि।

गणितीय भौतिकी की समस्याओं का अध्ययन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण अभिन्न परिवर्तनों की विधि है। मान लें कि फलन f(x) को अंतराल (a, 6) पर परिमित या अनंत पर परिभाषित किया जाता है। फ़ंक्शन f (x) का अभिन्न परिवर्तन वह फ़ंक्शन है जहां K (x, w) किसी दिए गए परिवर्तन के लिए तय किया गया एक फ़ंक्शन है, जिसे ट्रांसफ़ॉर्मेशन कर्नेल कहा जाता है (यह माना जाता है कि इंटीग्रल (*) अपने उचित या अनुचित अर्थ में मौजूद है। ) §एक। फूरियर इंटीग्रल कोई भी फ़ंक्शन f(x), जो खंड पर [-f, I] फूरियर श्रृंखला में विस्तार की शर्तों को संतुष्ट करता है, इस खंड पर त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म फूरियर इंटीग्रल कॉम्प्लेक्स इंटीग्रल फॉर्म फूरियर ट्रांसफॉर्म कोसाइन और साइन ट्रांसफॉर्म आयाम और चरण स्पेक्ट्रा अनुप्रयोग गुण समीकरण (1) के दाईं ओर की श्रृंखला को एक अलग रूप में लिखा जा सकता है। यह अंत करने के लिए, हम इसमें सूत्र (2) गुणांक के मान a» और op, इंटीग्रल कोस ^ x और sin x (जो संभव है, क्योंकि एकीकरण चर m है) O) से परिचय कराते हैं और इसका उपयोग करते हैं अंतर की कोज्या के लिए सूत्र। हमारे पास होगा यदि फ़ंक्शन /(x) मूल रूप से अंतराल [-1,1] (उदाहरण के लिए, संपूर्ण अक्ष पर) से अधिक संख्यात्मक अक्ष के अंतराल पर परिभाषित किया गया था, तो विस्तार (3) मानों को पुन: उत्पन्न करेगा इस फलन का केवल अंतराल [-1, 1] पर और 21 की अवधि के साथ आवर्त फलन के रूप में संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर जारी रहता है (चित्र 1)। इसलिए, यदि फ़ंक्शन f(x) (सामान्यतया, गैर-आवधिक) को संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर परिभाषित किया गया है, तो सूत्र (3) में कोई व्यक्ति I + oo के रूप में सीमा तक जाने का प्रयास कर सकता है। इस मामले में, निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करने की आवश्यकता होना स्वाभाविक है: 1. f(x) ऑक्स\अक्ष 2 के किसी भी परिमित खंड पर फूरियर श्रृंखला में विस्तार की शर्तों को संतुष्ट करता है। फ़ंक्शन f(x) बिल्कुल है संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर एकीकृत करने योग्य। यदि शर्त 2 संतुष्ट है, तो समानता (3) के दाईं ओर पहला पद I -* + oo के रूप में शून्य हो जाता है। वास्तव में, आइए हम यह स्थापित करने का प्रयास करें कि (3) के दाईं ओर का योग I + oo के रूप में सीमा में क्या जाएगा। आइए मान लें कि फिर (3) के दाहिने हाथ का योग रूप ले लेगा इंटीग्रल के पूर्ण अभिसरण के कारण, बड़े के लिए यह योग एक अभिव्यक्ति से थोड़ा भिन्न होता है जो कि फ़ंक्शन के लिए इंटीग्रल योग जैसा दिखता है परिवर्तन के अंतराल (0, + oo) के लिए संकलित चर £। इसलिए, यह अपेक्षा करना स्वाभाविक है कि योग (5) के लिए अभिन्न С पर चला जाता है दूसरी ओर, निश्चित के लिए) यह सूत्र से अनुसरण करता है (3 ) कि हम समानता भी प्राप्त करते हैं सूत्र (7) की वैधता के लिए पर्याप्त शर्त निम्नलिखित प्रमेय द्वारा व्यक्त की जाती है। प्रमेय 1. यदि फलन f(x) संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर पूर्णतः समाकलनीय है और, इसके व्युत्पन्न के साथ, किसी भी खंड [a, 6] पर पहले प्रकार के असंततता बिंदुओं की एक सीमित संख्या है, तो वें प्रकार का फंक्शन /(x) का, (7) के दाईं ओर इंटीग्रल का मान फॉर्मूला (7) के बराबर होता है, फूरियर इंटीग्रल फॉर्मूला कहलाता है, और इसके दाईं ओर इंटीग्रल को फूरियर इंटीग्रल कहा जाता है। यदि हम अंतर की कोज्या के दिन के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, तो सूत्र (7) को इस प्रकार लिखा जा सकता है कि फ़ंक्शन a(t), b(t) संबंधित फूरियर गुणांक a और bn 2n-आवधिक के अनुरूप हैं। फ़ंक्शन, लेकिन बाद वाले को n के असतत मानों के लिए परिभाषित किया गया है, जबकि a(0> HO को G(-oo, +oo) के निरंतर मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है। फूरियर इंटीग्रल का जटिल रूप f(x) मानते हुए संपूर्ण x-अक्ष पर पूर्ण रूप से समाकलनीय होने के लिए, हम अभिन्न, स्पष्ट रूप से एक विषम फलन पर विचार करते हैं, लेकिन दूसरी ओर, समाकल चर का एक सम फलन होता है, ताकि फूरियर समाकल सूत्र इस प्रकार लिखा जा सके : आइए हम समानता को काल्पनिक इकाई i से गुणा करें और समानता (10) में जोड़ें। यह फूरियर इंटीग्रल का जटिल रूप है। यहां, टी पर बाहरी एकीकरण को कॉची प्रिंसिपल वैल्यू के अर्थ में समझा जाता है: § 2 फूरियर ट्रांसफॉर्म कोसाइन और साइन फूरियर ट्रांसफॉर्म चलो func f(x) x-अक्ष के किसी भी परिमित खंड पर टुकड़े-टुकड़े में चिकना है और संपूर्ण अक्ष पर पूर्णतया समाकलनीय है। परिभाषा। जिस फलन से, यूलर सूत्र के आधार पर, हमारे पास होगा, उसे फलन f(r) (वर्णक्रमीय फलन) का फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। यह एक कर्नेल के साथ अंतराल (-oo, + oo) पर फ़ंक्शन / (आर) का अभिन्न परिवर्तन है। फूरियर इंटीग्रल फॉर्मूला का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं यह तथाकथित उलटा फूरियर ट्रांसफॉर्म है, जो एफ से संक्रमण देता है (टी) से / (एक्स)। कभी-कभी प्रत्यक्ष फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार दिया जाता है: फिर व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण f(x) को भी निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: फूरियर रूपांतरण फूरियर इंटीग्रल कॉम्प्लेक्स फॉर्म ऑफ इंटीग्रल फूरियर ट्रांसफॉर्म कोसाइन और साइन परिवर्तन आयाम और चरण स्पेक्ट्रा अनुप्रयोग गुण फिर, बदले में, इस मामले में, कारक ^ की स्थिति काफी मनमानी है: यह या तो सूत्र (1") या सूत्र (2") दर्ज कर सकता है। उदाहरण 1. फलन का फूरियर रूपांतरण ज्ञात कीजिए -4 हमारे पास यह समानता समाकल चिह्न के अंतर्गत £ के संबंध में विभेदन की अनुमति देती है (विभेदन के बाद प्राप्त समाकलन समान रूप से तब होता है जब (किसी परिमित खंड से संबंधित हो): भागों द्वारा समाकलन, हमारे पास होगा हम कहाँ से प्राप्त करते हैं (सी एकीकरण का स्थिरांक है)। £ = 0 को (4) में सेट करने पर, हम = F(0) पाते हैं। (3) के गुण से हमें यह ज्ञात होता है कि विशेष रूप से, के लिए) हमें वह प्राप्त होता है आइए हम फलन 4 पर विचार करें। फलन F(t) के स्पेक्ट्रम के लिए, हम इसलिए प्राप्त करते हैं (चित्र 2)। संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर फलन f(x) की पूर्ण समाकलनीयता की शर्त बहुत सख्त है। इसमें शामिल नहीं है, उदाहरण के लिए, f(x) = e1 जैसे प्राथमिक कार्य, जिसके लिए फूरियर रूपांतरण (यहाँ माना गया शास्त्रीय रूप में) मौजूद नहीं है। केवल उन कार्यों में एक फूरियर रूपांतरण होता है जो |x| . के लिए पर्याप्त तेजी से शून्य हो जाता है -+ +oo (उदाहरण 1 और 2 में)। 2.1. कोसाइन और साइन फूरियर रूपांतरण कोसाइन सूत्र का उपयोग करते हुए, अंतर, हम फूरियर अभिन्न सूत्र को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखते हैं: मान लें कि f(x) एक सम फलन है। फिर, ताकि समानता (5) से हमारे पास विषम f(x) की स्थिति में, हम इसी तरह प्राप्त करते हैं यदि f(x) केवल (0, -foo) पर दिया जाता है, तो सूत्र (6) f(x) का विस्तार करता है पूरे ऑक्स अक्ष को एक समान तरीके से, और सूत्र (7) - विषम। (7) परिभाषा। फ़ंक्शन को फ़ंक्शन f(x) का कोसाइन फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। यह (6) से इस प्रकार है कि एक सम फलन f(x) के लिए इसका अर्थ है कि f(x), बदले में, Fc(t) के लिए एक कोज्या रूपांतर है। दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन / और Fc परस्पर कोसाइन परिवर्तन हैं। परिभाषा। फ़ंक्शन को फ़ंक्शन f(x) का साइन फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। (7) से हम प्राप्त करते हैं कि एक विषम फलन f(x) के लिए, अर्थात्, f और Fs परस्पर ज्या परिवर्तन हैं। उदाहरण 3 (समकोण पल्स)। मान लें कि f(t) एक सम फलन है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: (चित्र 3)। आइए प्राप्त परिणाम का उपयोग करके पूर्णांक की गणना करें सूत्र (9) के आधार पर, हमारे पास है Fig.3 0 0 बिंदु t = 0 पर, फ़ंक्शन f(t) निरंतर है और एक के बराबर है। इसलिए, (12") से हम 2.2 प्राप्त करते हैं। फूरियर इंटीग्रल का आयाम और चरण स्पेक्ट्रा मान लें कि फ़ंक्शन f(x) आवधिक 2m अवधि के साथ एक फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है। यह समानता उस रूप में लिखी जा सकती है जैसे हम अवधारणाओं पर आते हैं एक आवधिक समारोह के आयाम और चरण स्पेक्ट्रा के लिए (-oo, +oo) पर दिए गए एक गैर-आवधिक कार्य f(x) के लिए, कुछ शर्तों के तहत, फूरियर इंटीग्रल द्वारा इसका प्रतिनिधित्व करना संभव हो जाता है, जो फैलता है सभी आवृत्तियों पर यह फ़ंक्शन (निरंतर आवृत्ति स्पेक्ट्रम में विस्तार परिभाषा वर्णक्रमीय फ़ंक्शन, या फूरियर इंटीग्रल का वर्णक्रमीय घनत्व, एक अभिव्यक्ति है (फ़ंक्शन f के प्रत्यक्ष फूरियर रूपांतरण को आयाम स्पेक्ट्रम कहा जाता है, और फ़ंक्शन Ф ") = -argSfc) - फ़ंक्शन का चरण स्पेक्ट्रम / (")। आयाम स्पेक्ट्रम A(t) फ़ंक्शन /(x) में आवृत्ति t के योगदान के माप के रूप में कार्य करता है। उदाहरण 4. फलन का आयाम और प्रावस्था स्पेक्ट्रम ज्ञात कीजिए। 4 वर्णक्रमीय फलन ज्ञात कीजिए। यहाँ से इन फलनों के आलेख चित्र में दिखाए गए हैं। 4. 3. फूरियर रूपांतरण गुण 1. रैखिकता। यदि और G(0 क्रमशः f(x) और g(x) फलनों के फूरियर रूपांतरण हैं, तो किसी भी स्थिरांक a और p के लिए f(x) + p g(x) फलन का फूरियर रूपांतरण फलन होगा ए इंटीग्रल की रैखिकता संपत्ति का उपयोग करते हुए, हमारे पास है, इस प्रकार, फूरियर ट्रांसफॉर्म एक रैखिक ऑपरेटर है। इसे निरूपित करके हम लिखेंगे। यदि एफ (टी) एक फंक्शन एफ (एक्स) का फूरियर ट्रांसफॉर्म है जो पूरे वास्तविक पर पूरी तरह से एकीकृत है अक्ष, फिर F(t) सभी के लिए परिबद्ध है। मान लें कि फलन f(x) पूरे अक्ष पर पूर्णतः समाकलनीय है - फलन f (x) का फूरियर रूपांतरण। फिर 3 "flts J. मान लीजिए f (x) हो एक फ़ंक्शन, जिसकी सहिष्णुता फूरियर रूपांतरण है, एल गुणों की संख्या है। फ़ंक्शन fh (x) \u003d f (z-h) को फंडियम f(x) की शिफ्ट कहा जाता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म की परिभाषा का उपयोग करना , वह समस्या दिखाएं। मान लें कि एक फ़ंक्शन f(z) में एक फूरियर रूपांतरण है F(0> h एक वास्तविक संख्या है। दिखाएँ कि 3. फूरियर रूपांतरण और विभेदन ooeresis। मान लीजिए कि एक पूर्ण रूप से अभिन्न कार्य f (x) का व्युत्पन्न f है " (x), जो संपूर्ण अक्ष पर भी पूर्णतः समाकलनीय है ओह, तो /(n) शून्य हो जाता है |x| -» +ऊ। f "(x) को एक सुचारू कार्य मानते हुए, हम लिखते हैं भागों द्वारा एकीकरण, हमारे पास शब्द है जो अभिन्न गायब हो जाता है (चूंकि, और हम इस प्रकार प्राप्त करते हैं, फ़ंक्शन का विभेदन / (x) इसके फूरियर के गुणन से मेल खाता है छवि ^ पी /] कारक द्वारा यदि फ़ंक्शन f (x) में m समावेशी क्रम तक चिकनी बिल्कुल इंटेटेबल डेरिवेटिव हैं, और उनमें से सभी, फ़ंक्शन f (x) की तरह, शून्य हो जाते हैं, और फिर, भागों द्वारा एकीकृत करते हैं आवश्यक संख्या में, हम फूरियर रूपांतरण प्राप्त करते हैं, यह बहुत उपयोगी है क्योंकि यह एक मूल्य द्वारा गुणन के संचालन के साथ भेदभाव के संचालन को प्रतिस्थापित करता है और इस प्रकार कुछ प्रकार के अंतर समीकरणों को एकीकृत करने की समस्या को सरल बनाता है। चूंकि फूरियर एक बिल्कुल बदल देता है समाकलनीय फलन f^k\x) (संपत्ति 2) का एक परिबद्ध फलन है, संबंध (2) से हम निम्नलिखित अनुमान प्राप्त करते हैं: के साथ यह मूल्यांकन इस प्रकार है: जितना अधिक फलन f(x) में पूर्णतया समाकलनीय व्युत्पन्न होते हैं, उतनी ही तेजी से इसका फूरियर रूपांतरण शून्य पर जाता है। टिप्पणी। स्थिति काफी स्वाभाविक है, क्योंकि फूरियर इंटीग्रल्स का सामान्य सिद्धांत उन प्रक्रियाओं से संबंधित है, जो एक अर्थ या किसी अन्य में, शुरुआत और अंत हैं, लेकिन लगभग समान तीव्रता के साथ अनिश्चित काल तक जारी नहीं रहते हैं। 4. |z| . के लिए फलन f(x) की क्षय दर के बीच संबंध -» -फ ऊ और इसके फ़ोरम ट्रांसफ़ॉर्मेशन की चिकनाई। आइए मान लें कि न केवल /(x), बल्कि इसका उत्पाद xf(x) भी संपूर्ण x-अक्ष पर एक पूर्ण रूप से अभिन्न फलन है। फिर फूरियर ट्रांसफॉर्म) एक अलग कार्य होगा। दरअसल, इंटीग्रैंड के पैरामीटर £ के संबंध में औपचारिक भेदभाव एक इंटीग्रल की ओर जाता है जो पैरामीटर के संबंध में बिल्कुल और समान रूप से अभिसरण होता है। । यदि फलन f(x) के साथ फलन संपूर्ण ऑक्स अक्ष पर पूर्णतः समाकलनीय हैं, तो विभेदन की प्रक्रिया जारी रखी जा सकती है। हम प्राप्त करते हैं कि फ़ंक्शन में m समावेशी क्रम तक व्युत्पन्न है, और इस प्रकार, फ़ंक्शन f (x) जितनी तेज़ी से घटता है, फ़ंक्शन उतना ही आसान होता है। प्रमेय 2 (ड्रिल के बारे में)। आज्ञा देना कार्यों के फूरियर रूपांतरण हो /,(x), तथा f2(x), क्रमशः। तब दायीं ओर का दोहरा समाकलन पूर्ण रूप से अभिसरण करता है। एक्स डालते हैं। तब हमारे पास होगा या, एकीकरण के क्रम को बदलते हुए, फ़ंक्शन को फ़ंक्शन का कनवल्शन कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है फॉर्मूला (1) अब निम्नानुसार लिखा जा सकता है: यहाँ से यह स्पष्ट है कि कनवल्शन का फूरियर रूपांतरण फंक्शंस f \ फोल्डेबल फंक्शंस के फूरियर ट्रांसफॉर्म का उत्पाद, रिमार्क। दृढ़ संकल्प के निम्नलिखित गुणों को स्थापित करना आसान है: 1) रैखिकता: 2) कम्यूटेटिविटी: §4। फूरियर रूपांतरण के अनुप्रयोग 1. मान लीजिए कि P(t) क्रम m का एक रैखिक अवकलन संकारक है, जिसका गुणांक स्थिरांक है। फलन y(x) के व्युत्पन्नों के फूरियर रूपांतरण के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं " अवकल समीकरण पर विचार करें जहां P ऊपर पेश किया गया डिफरेंशियल ऑपरेटर है। मान लीजिए कि वांछित समाधान y(x) में फूरियर ट्रांसफॉर्म y (O. और फ़ंक्शन f(x) में ट्रांसफॉर्म है /(t) फूरियर ट्रांसफॉर्म को समीकरण (1) में लागू करने पर, हम अक्ष पर एक विभेदक बीजगणितीय समीकरण के बजाय कहां से प्राप्त करें ताकि औपचारिक रूप से जहां प्रतीक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है इस पद्धति की प्रयोज्यता की मुख्य सीमा निम्नलिखित तथ्य से जुड़ी है: स्थिरांक के साथ एक साधारण अंतर समीकरण का समाधान गुणांक में फॉर्म के कार्य होते हैं< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

जो पहले से ही काफी परेशान हैं। और मुझे लगता है कि वह क्षण आ गया है जब सिद्धांत के रणनीतिक भंडार से नया डिब्बाबंद भोजन निकालने का समय आ गया है। क्या किसी अन्य तरीके से फ़ंक्शन को श्रृंखला में विस्तारित करना संभव है? उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा खंड को ज्या और कोज्या के रूप में व्यक्त करना? यह अविश्वसनीय लगता है, लेकिन ऐसे प्रतीत होने वाले दूर के कार्य स्वयं को उधार देते हैं
"पुनर्मिलन"। सिद्धांत और व्यवहार में परिचित डिग्री के अलावा, एक फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित करने के अन्य तरीके भी हैं।

इस पाठ में, हम त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला से परिचित होंगे, इसके अभिसरण और योग के मुद्दे पर स्पर्श करेंगे, और निश्चित रूप से, हम फूरियर श्रृंखला में कार्यों के विस्तार के लिए कई उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे। मैं ईमानदारी से लेख को "डमीज के लिए फूरियर सीरीज" कहना चाहता था, लेकिन यह चालाक होगा, क्योंकि समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय विश्लेषण के अन्य वर्गों के ज्ञान और कुछ व्यावहारिक अनुभव की आवश्यकता होगी। इसलिए, प्रस्तावना अंतरिक्ष यात्रियों के प्रशिक्षण के समान होगी =)

सबसे पहले, पृष्ठ सामग्री का अध्ययन उत्कृष्ट आकार में किया जाना चाहिए। नींद, आराम और शांत। एक हम्सटर के टूटे हुए पंजे के बारे में मजबूत भावनाओं के बिना और एक्वैरियम मछली के जीवन की कठिनाइयों के बारे में जुनूनी विचार। फूरियर श्रृंखला समझ के दृष्टिकोण से मुश्किल नहीं है, हालांकि, व्यावहारिक कार्यों के लिए केवल ध्यान की बढ़ी हुई एकाग्रता की आवश्यकता होती है - आदर्श रूप से, बाहरी उत्तेजनाओं को पूरी तरह से छोड़ देना चाहिए। स्थिति इस तथ्य से बढ़ जाती है कि समाधान और उत्तर की जांच करने का कोई आसान तरीका नहीं है। इस प्रकार, यदि आपका स्वास्थ्य औसत से नीचे है, तो कुछ आसान करना बेहतर है। सत्य।

दूसरे, अंतरिक्ष में उड़ान भरने से पहले, अंतरिक्ष यान के उपकरण पैनल का अध्ययन करना आवश्यक है। आइए उन कार्यों के मूल्यों से शुरू करें जिन्हें मशीन पर क्लिक किया जाना चाहिए:

किसी भी प्राकृतिक मूल्य के लिए:

एक) । और वास्तव में, साइनसॉइड प्रत्येक "पी" के माध्यम से एक्स-अक्ष को "चमकता है":
. तर्क के नकारात्मक मूल्यों के मामले में, परिणाम, निश्चित रूप से, समान होगा: .

2))। लेकिन यह बात हर कोई नहीं जानता था। कोसाइन "पी एन" एक "चमकती रोशनी" के बराबर है:

एक नकारात्मक तर्क मामले को नहीं बदलता है: .

शायद काफी।

और तीसरा, प्रिय अंतरिक्ष यात्री वाहिनी, आपको सक्षम होने की आवश्यकता है ... एकीकृत.
विशेष रूप से, निश्चित एक अंतर चिह्न के तहत एक समारोह लाओ, भागों द्वारा एकीकृत करेंऔर के साथ अच्छी शर्तों पर रहें न्यूटन-लीबनिज सूत्र. आइए महत्वपूर्ण उड़ान-पूर्व अभ्यास शुरू करें। मैं दृढ़ता से इसे छोड़ने की अनुशंसा नहीं करता, ताकि बाद में आप शून्य गुरुत्वाकर्षण में समतल न हों:

उदाहरण 1

निश्चित समाकलों की गणना करें

जहां प्राकृतिक मूल्य लेता है।

समाधान: एकीकरण चर "x" पर किया जाता है और इस स्तर पर असतत चर "एन" को स्थिर माना जाता है। सभी अभिन्नों में फ़ंक्शन को अंतर के संकेत के तहत लाएं:

समाधान का एक छोटा संस्करण, जिसे शूट करना अच्छा होगा, इस तरह दिखता है:

करने के लिए इस्तेमाल किया जा रहा है:

शेष चार अंक अपने दम पर हैं। कार्य को ईमानदारी से करने का प्रयास करें और इंटीग्रल को संक्षेप में व्यवस्थित करें। पाठ के अंत में नमूना समाधान।

गुणवत्ता अभ्यास के बाद, हम स्पेससूट पहनते हैं
और शुरू करने के लिए तैयार हो रहा है!

अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में एक समारोह का विस्तार

आइए एक फ़ंक्शन पर विचार करें कि निर्धारितकम से कम अंतराल पर (और, शायद, बड़े अंतराल पर)। यदि यह फ़ंक्शन खंड पर एकीकृत है, तो इसे त्रिकोणमितीय में विस्तारित किया जा सकता है फोरियर श्रेणी:
, तथाकथित कहाँ हैं फूरियर गुणांक.

इस मामले में, संख्या कहा जाता है अपघटन अवधि, और संख्या है आधा जीवन अपघटन.

जाहिर है, सामान्य स्थिति में, फूरियर श्रृंखला में साइन और कोसाइन होते हैं:

दरअसल, आइए इसे विस्तार से लिखें:

श्रृंखला का शून्य पद आमतौर पर के रूप में लिखा जाता है।

फूरियर गुणांक की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

मैं अच्छी तरह से समझता हूं कि शुरुआती लोगों के लिए विषय का अध्ययन करने के लिए नए शब्द अभी भी अस्पष्ट हैं: अपघटन अवधि, आधा चक्र, फूरियर गुणांकऔर अन्य। घबराएं नहीं, यह स्पेसवॉक से पहले के उत्साह की तुलना नहीं है। आइए सब कुछ निकटतम उदाहरण में समझें, निष्पादित करने से पहले व्यावहारिक प्रश्न पूछने के लिए तार्किक है:

निम्नलिखित कार्यों में आपको क्या करने की आवश्यकता है?

फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें। इसके अतिरिक्त, अक्सर किसी फ़ंक्शन का एक ग्राफ़, एक श्रृंखला के योग का एक ग्राफ़, एक आंशिक योग, और परिष्कृत प्राध्यापकीय कल्पनाओं के मामले में, कुछ और करना आवश्यक होता है।

फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार कैसे करें?

अनिवार्य रूप से, आपको खोजने की जरूरत है फूरियर गुणांक, अर्थात्, तीन लिखें और गणना करें निश्चित समाकलन.

कृपया फूरियर श्रृंखला के सामान्य रूप और तीन कार्यशील सूत्रों को अपनी नोटबुक में कॉपी करें। मुझे बहुत खुशी है कि साइट पर आने वाले कुछ लोगों का अंतरिक्ष यात्री बनने का बचपन का सपना मेरी आंखों के सामने सच हो रहा है =)

उदाहरण 2

अंतराल पर फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें। एक ग्राफ, एक श्रृंखला के योग का एक ग्राफ और एक आंशिक योग बनाएँ।

समाधान: कार्य का पहला भाग फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करना है।

शुरुआत मानक है, इसे लिखना सुनिश्चित करें:

इस समस्या में, विस्तार अवधि, अर्ध-अवधि।

हम अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं:

उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं फूरियर गुणांक. अब हमें तीन की रचना और गणना करने की आवश्यकता है निश्चित समाकलन. सुविधा के लिए, मैं अंक दूंगा:

1) पहला अभिन्न सबसे सरल है, हालांकि, इसके लिए पहले से ही एक आंख और एक आंख की आवश्यकता होती है:

2) हम दूसरे सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह अभिन्न अच्छी तरह से जाना जाता है और वह इसे टुकड़ों में लेता है:

जब इस्तेमाल किया पाया किसी फ़ंक्शन को डिफरेंशियल साइन के तहत लाने की विधि.

विचाराधीन कार्य में, तुरंत उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है एक निश्चित अभिन्न में भागों द्वारा एकीकरण के लिए सूत्र :

तकनीकी नोट्स के एक जोड़े। सबसे पहले, सूत्र लागू करने के बाद संपूर्ण व्यंजक बड़े कोष्ठकों में संलग्न होना चाहिए, क्योंकि मूल समाकल के सामने एक नियतांक है। चलो इसे न खोएं! कोष्ठक किसी भी आगे के चरण में खोले जा सकते हैं, मैंने इसे अंतिम मोड़ पर किया था। पहले "टुकड़े" में हम प्रतिस्थापन में अत्यधिक सटीकता दिखाते हैं, जैसा कि आप देख सकते हैं, स्थिरांक व्यवसाय से बाहर है, और एकीकरण की सीमाएं उत्पाद में प्रतिस्थापित हो जाती हैं। यह क्रिया वर्गाकार कोष्ठकों से चिह्नित है। खैर, सूत्र के दूसरे "टुकड़ा" का अभिन्न अंग आपको प्रशिक्षण कार्य से अच्छी तरह से पता है ;-)

और सबसे महत्वपूर्ण - ध्यान की परम एकाग्रता!

3) हम तीसरे फूरियर गुणांक की तलाश कर रहे हैं:

पिछले अभिन्न का एक रिश्तेदार प्राप्त होता है, जो भी है भागों द्वारा एकीकृत:

यह उदाहरण थोड़ा अधिक जटिल है, मैं आगे के चरणों के बारे में चरण दर चरण टिप्पणी करूंगा:

(1) संपूर्ण अभिव्यक्ति बड़े कोष्ठकों में संलग्न है।. मैं बोर की तरह नहीं दिखना चाहता था, वे बहुत बार स्थिरांक खो देते हैं।

(2) इस मामले में, मैंने तुरंत उन बड़े कोष्ठकों का विस्तार किया। विशेष ध्यानहम पहले "टुकड़े" के लिए समर्पित हैं: लगातार किनारे पर धूम्रपान करता है और उत्पाद में एकीकरण (और) की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में भाग नहीं लेता है। रिकॉर्ड की अव्यवस्था को देखते हुए, इस क्रिया को वर्ग कोष्ठक में उजागर करना फिर से उचित है। दूसरे "टुकड़े" के साथ सब कुछ सरल है: यहां अंश बड़े कोष्ठक खोलने के बाद दिखाई दिया, और स्थिर - परिचित अभिन्न को एकीकृत करने के परिणामस्वरूप ;-)

(3) वर्ग कोष्ठक में, हम परिवर्तन करते हैं, और सही अभिन्न में, हम एकीकरण की सीमा को प्रतिस्थापित करते हैं।

(4) हम वर्ग कोष्ठक से "फ्लैशर" निकालते हैं: , जिसके बाद हम आंतरिक कोष्ठक खोलते हैं: ।

(5) हम कोष्ठक में 1 और 1 को रद्द करते हैं और अंतिम सरलीकरण करते हैं।

अंत में सभी तीन फूरियर गुणांक पाए गए:

उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें :

आधे में विभाजित करना न भूलें। अंतिम चरण में, स्थिरांक ("माइनस टू"), जो "एन" पर निर्भर नहीं करता है, को योग से निकाल दिया जाता है।

इस प्रकार, हमने अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त किया है:

आइए हम फूरियर श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न का अध्ययन करें। मैं विशेष रूप से सिद्धांत की व्याख्या करूंगा डिरिचलेट प्रमेय, शाब्दिक रूप से "उंगलियों पर", इसलिए यदि आपको सख्त फॉर्मूलेशन की आवश्यकता है, तो कृपया कैलकुस पर एक पाठ्यपुस्तक देखें (उदाहरण के लिए, बोहन का दूसरा खंड या फिचटेनहोल्ट्ज़ का तीसरा खंड, लेकिन इसमें यह अधिक कठिन है).

कार्य के दूसरे भाग में, एक ग्राफ, एक श्रृंखला योग ग्राफ और एक आंशिक योग ग्राफ बनाना आवश्यक है।

फ़ंक्शन का ग्राफ सामान्य है विमान पर सीधी रेखा, जो एक काली बिंदीदार रेखा से खींची गई है:

हम श्रृंखला के योग से निपटते हैं। जैसा कि आप जानते हैं, कार्यात्मक श्रृंखला कार्यों में परिवर्तित होती है। हमारे मामले में, निर्मित फूरियर श्रृंखला "x" के किसी भी मान के लिएलाल रंग में दिखाए गए फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है। यह फ़ंक्शन के अधीन है पहली तरह के ब्रेकबिंदुओं में, लेकिन उनमें भी परिभाषित (ड्राइंग में लाल बिंदु)

इस तरह: . यह देखना आसान है कि यह मूल फ़ंक्शन से स्पष्ट रूप से भिन्न है, यही वजह है कि अंकन में एक समान चिह्न के बजाय एक टिल्ड का उपयोग किया जाता है।

आइए हम एक एल्गोरिथम का अध्ययन करें जिसके द्वारा एक श्रृंखला के योग का निर्माण करना सुविधाजनक है।

केंद्रीय अंतराल पर, फूरियर श्रृंखला स्वयं फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है (केंद्रीय लाल खंड रैखिक फ़ंक्शन की काली बिंदीदार रेखा के साथ मेल खाता है)।

अब चलो त्रिकोणमितीय विस्तार की प्रकृति के बारे में थोड़ा बात करते हैं। फोरियर श्रेणी केवल आवधिक कार्य (स्थिर, साइन और कोसाइन) शामिल हैं, इसलिए श्रृंखला का योग एक आवधिक कार्य भी है.

हमारे विशेष उदाहरण में इसका क्या अर्थ है? और इसका मतलब है कि श्रृंखला का योग –अनिवार्य रूप से आवधिकऔर अंतराल के लाल खंड को बाएँ और दाएँ असीम रूप से दोहराया जाना चाहिए।

मुझे लगता है कि अब "अपघटन की अवधि" वाक्यांश का अर्थ अंततः स्पष्ट हो गया है। सीधे शब्दों में कहें तो हर बार स्थिति बार-बार खुद को दोहराती है।

व्यवहार में, यह आमतौर पर तीन अपघटन अवधियों को चित्रित करने के लिए पर्याप्त होता है, जैसा कि चित्र में किया गया है। खैर, और पड़ोसी अवधियों के "स्टंप" - यह स्पष्ट करने के लिए कि चार्ट जारी है।

विशेष रुचि के हैं पहली तरह के असंततता बिंदु. ऐसे बिंदुओं पर, फूरियर श्रृंखला अलग-अलग मूल्यों में परिवर्तित हो जाती है, जो कि "कूद" (ड्राइंग में लाल बिंदु) के बीच में स्थित हैं। इन बिंदुओं की कोटि कैसे ज्ञात करें? सबसे पहले, आइए "ऊपरी मंजिल" की कोटि खोजें: इसके लिए, हम केंद्रीय विस्तार अवधि के सबसे दाहिने बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं: । "निचली मंजिल" के कोटि की गणना करने के लिए, सबसे आसान तरीका उसी अवधि का सबसे बाईं ओर का मान लेना है: . माध्य मान का कोटि "ऊपर और नीचे" के योग का अंकगणितीय माध्य है: . अच्छी बात यह है कि ड्राइंग बनाते समय, आप तुरंत देखेंगे कि बीच की गणना सही है या गलत।

आइए हम श्रृंखला के आंशिक योग का निर्माण करें और साथ ही साथ "अभिसरण" शब्द के अर्थ को दोहराएं। मकसद के बारे में पाठ से जाना जाता है संख्या श्रृंखला का योग. आइए अपने धन का विस्तार से वर्णन करें:

आंशिक योग बनाने के लिए, आपको श्रृंखला के शून्य + दो और शब्द लिखने होंगे। वह है,

ड्राइंग में, फ़ंक्शन का ग्राफ़ हरे रंग में दिखाया गया है, और, जैसा कि आप देख सकते हैं, यह कुल योग के चारों ओर काफी कसकर लपेटता है। यदि हम श्रृंखला के पांच पदों के आंशिक योग पर विचार करते हैं, तो इस फ़ंक्शन का ग्राफ लाल रेखाओं को और भी सटीक रूप से अनुमानित करेगा, यदि सौ शब्द हैं, तो "हरा सर्प" वास्तव में लाल खंडों के साथ पूरी तरह से विलीन हो जाएगा, आदि। इस प्रकार, फूरियर श्रृंखला अपने योग में परिवर्तित हो जाती है।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कोई भी आंशिक योग है निरंतर कार्य, लेकिन श्रृंखला का कुल योग अभी भी बंद है।

व्यवहार में, आंशिक योग ग्राफ बनाना असामान्य नहीं है। यह कैसे करना है? हमारे मामले में, खंड पर फ़ंक्शन पर विचार करना आवश्यक है, खंड के सिरों पर और मध्यवर्ती बिंदुओं पर इसके मूल्यों की गणना करें (जितने अधिक बिंदुओं पर आप विचार करेंगे, ग्राफ़ उतना ही सटीक होगा)। फिर आपको इन बिंदुओं को ड्राइंग पर चिह्नित करना चाहिए और ध्यान से अवधि पर एक ग्राफ बनाना चाहिए, और फिर इसे आसन्न अंतराल में "दोहराना" चाहिए। और कैसे? आखिरकार, सन्निकटन भी एक आवधिक कार्य है ... ... इसका ग्राफ किसी तरह मुझे एक चिकित्सा उपकरण के प्रदर्शन पर एक समान हृदय ताल की याद दिलाता है।

बेशक, निर्माण करना बहुत सुविधाजनक नहीं है, क्योंकि आपको बेहद सावधान रहना होगा, कम से कम आधा मिलीमीटर की सटीकता बनाए रखना होगा। हालांकि, मैं उन पाठकों को खुश करूंगा जो ड्राइंग के साथ बाधाओं में हैं - एक "वास्तविक" कार्य में, ड्राइंग करना हमेशा आवश्यक नहीं होता है, कहीं न कहीं 50% मामलों में फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करने की आवश्यकता होती है और वह है यह।

ड्राइंग पूरा करने के बाद, हम कार्य पूरा करते हैं:

उत्तर:

कई कार्यों में, समारोह ग्रस्त है पहली तरह का टूटनाअपघटन अवधि पर अधिकार:

उदाहरण 3

फूरियर श्रृंखला में अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन का विस्तार करें। फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ और श्रृंखला का कुल योग बनाएं।

प्रस्तावित कार्य टुकड़े-टुकड़े में दिया गया है (और, ध्यान रहे, केवल खंड पर)और सहना पहली तरह का टूटनाबिंदु पर। क्या फूरियर गुणांक की गणना करना संभव है? कोई बात नहीं। फलन के बाएँ और दाएँ दोनों भाग अपने अंतराल पर समाकलनीय हैं, इसलिए तीनों सूत्रों में से प्रत्येक में समाकलों को दो समाकलों के योग के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। आइए देखें, उदाहरण के लिए, यह शून्य गुणांक के लिए कैसे किया जाता है:

दूसरा इंटीग्रल शून्य के बराबर निकला, जिससे काम कम हो गया, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है।

दो अन्य फूरियर गुणांक इसी तरह लिखे गए हैं।

श्रृंखला का योग कैसे प्रदर्शित करें? बाएं अंतराल पर हम एक सीधी रेखा खंड खींचते हैं, और अंतराल पर - एक सीधी रेखा खंड (अक्ष के खंड को बोल्ड-बोल्ड में हाइलाइट करें)। यही है, विस्तार अंतराल पर, श्रृंखला का योग तीन "खराब" बिंदुओं को छोड़कर, हर जगह फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है। फ़ंक्शन के असंततता बिंदु पर, फूरियर श्रृंखला एक पृथक मान में परिवर्तित हो जाती है, जो कि असंततता के "कूद" के ठीक बीच में स्थित है। इसे मौखिक रूप से देखना मुश्किल नहीं है: बाएं हाथ की सीमा: दाएं हाथ की सीमा: और, जाहिर है, मध्यबिंदु की कोटि 0.5 है।

योग की आवधिकता के कारण, चित्र को पड़ोसी अवधियों में "गुणा" किया जाना चाहिए, विशेष रूप से, अंतराल पर एक ही चीज़ को चित्रित करें और। इस मामले में, बिंदुओं पर, फूरियर श्रृंखला औसत मूल्यों में परिवर्तित हो जाती है।

दरअसल, यहां कुछ भी नया नहीं है।

इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें। पाठ के अंत में बढ़िया डिजाइन और ड्राइंग का एक अनुमानित नमूना।

एक फूरियर श्रृंखला में एक मनमाना अवधि पर एक समारोह का विस्तार

एक मनमानी विस्तार अवधि के लिए, जहां "एल" कोई सकारात्मक संख्या है, फूरियर श्रृंखला और फूरियर गुणांक के सूत्र थोड़ा अधिक जटिल साइन और कोसाइन तर्क में भिन्न होते हैं:

यदि , तो हमें उस अंतराल के सूत्र मिलते हैं जिससे हमने शुरुआत की थी।

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म और सिद्धांत पूरी तरह से संरक्षित हैं, लेकिन गणना की तकनीकी जटिलता बढ़ जाती है:

उदाहरण 4

फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें और योग को प्लॉट करें।

समाधान: वास्तव में, उदाहरण संख्या 3 के साथ . का एक एनालॉग पहली तरह का टूटनाबिंदु पर। इस समस्या में, विस्तार अवधि, अर्ध-अवधि। फ़ंक्शन को केवल आधे-अंतराल पर परिभाषित किया गया है, लेकिन यह चीजों को नहीं बदलता है - यह महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन के दोनों भाग अभिन्न हों।

आइए फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें:

चूंकि फ़ंक्शन मूल रूप से बंद है, प्रत्येक फूरियर गुणांक को स्पष्ट रूप से दो इंटीग्रल के योग के रूप में लिखा जाना चाहिए:

1) मैं जितना संभव हो उतना विस्तृत रूप से पहला अभिन्न अंग लिखूंगा:

2) ध्यान से चंद्रमा की सतह पर झाँकें:

दूसरा अभिन्न भागों में ले लो:

समाधान की निरंतरता को तारांकन के साथ खोलने के बाद आपको क्या ध्यान देना चाहिए?

सबसे पहले, हम पहले अभिन्न को नहीं खोते हैं , जहां हम तुरंत निष्पादित करते हैं अंतर के संकेत के तहत लाना. दूसरे, बड़े कोष्ठक से पहले अशुभ स्थिरांक को न भूलें और संकेतों से भ्रमित न होंसूत्र का उपयोग करते समय . बड़े कोष्ठक, आखिरकार, अगले चरण में तुरंत खोलना अधिक सुविधाजनक है।

बाकी तकनीक का मामला है, इंटीग्रल को हल करने में केवल अपर्याप्त अनुभव ही कठिनाइयों का कारण बन सकता है।

हाँ, यह व्यर्थ नहीं था कि फ्रांसीसी गणितज्ञ फूरियर के प्रख्यात सहयोगी क्रोधित थे - उन्होंने त्रिकोणमितीय श्रृंखला में कार्यों को विघटित करने की हिम्मत कैसे की?! =) वैसे, प्रश्न में कार्य के व्यावहारिक अर्थ में शायद सभी की दिलचस्पी है। फूरियर ने खुद गर्मी चालन के गणितीय मॉडल पर काम किया, और बाद में उनके नाम की श्रृंखला का उपयोग कई आवधिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाने लगा, जो बाहरी दुनिया में स्पष्ट रूप से अदृश्य हैं। अब, वैसे, मैंने खुद को यह सोचकर पकड़ लिया कि यह कोई संयोग नहीं था कि मैंने दूसरे उदाहरण के ग्राफ की तुलना आवधिक हृदय ताल से की। इच्छुक लोग व्यावहारिक अनुप्रयोग से परिचित हो सकते हैं फूरियर रूपांतरणतीसरे पक्ष के स्रोतों से। ... हालांकि यह बेहतर नहीं है - इसे पहले प्यार के रूप में याद किया जाएगा =)

3) बार-बार उल्लिखित कमजोर लिंक को देखते हुए, हम तीसरे गुणांक से निपटते हैं:

भागों द्वारा एकीकृत करना:

हम सूत्र में पाए गए फूरियर गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं , शून्य गुणांक को आधे में विभाजित करना न भूलें:

आइए श्रृंखला के योग की साजिश करें। आइए प्रक्रिया को संक्षेप में दोहराएं: अंतराल पर हम एक रेखा बनाते हैं, और अंतराल पर - एक रेखा। "एक्स" के शून्य मान के साथ, हम अंतराल के "कूद" के बीच में एक बिंदु डालते हैं और पड़ोसी अवधियों के लिए चार्ट को "प्रतिकृति" करते हैं:


अवधियों के "जंक्शन" पर, योग भी अंतराल के "कूद" के मध्य बिंदुओं के बराबर होगा।

तैयार। मैं आपको याद दिलाता हूं कि फ़ंक्शन को केवल आधे-अंतराल पर सशर्त रूप से परिभाषित किया गया है और जाहिर है, अंतराल पर श्रृंखला के योग के साथ मेल खाता है

उत्तर:

कभी-कभी विस्तार अवधि पर भी एक टुकड़ा दिया गया कार्य निरंतर होता है। सबसे सरल उदाहरण: . समाधान (बोहन खंड 2 देखें)पिछले दो उदाहरणों के समान है: के बावजूद कार्य निरंतरताबिंदु पर, प्रत्येक फूरियर गुणांक को दो समाकलनों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है।

ब्रेकअप इंटरवल में पहली तरह के असंततता बिंदुऔर / या ग्राफ़ के "जंक्शन" बिंदु अधिक हो सकते हैं (दो, तीन, और सामान्य तौर पर कोई भी अंतिमरकम)। यदि कोई फलन प्रत्येक भाग पर समाकलनीय है, तो वह फूरियर श्रृंखला में भी विस्तार योग्य है। लेकिन व्यावहारिक अनुभव से, मुझे ऐसा टिन याद नहीं है। फिर भी, केवल विचार किए जाने की तुलना में अधिक कठिन कार्य हैं, और लेख के अंत में सभी के लिए बढ़ी हुई जटिलता की फूरियर श्रृंखला के लिंक हैं।

इस बीच, आइए आराम करें, अपनी कुर्सियों पर वापस झुकें और सितारों के अंतहीन विस्तार पर विचार करें:

उदाहरण 5

अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें और श्रृंखला के योग को प्लॉट करें।

इस कार्य में, समारोह निरंतरअपघटन आधा अंतराल पर, जो समाधान को सरल करता है। सब कुछ उदाहरण संख्या 2 के समान है। अंतरिक्ष यान से कोई पलायन नहीं है - आपको तय करना होगा =) पाठ के अंत में एक अनुमानित डिजाइन नमूना, अनुसूची संलग्न है।

सम और विषम कार्यों का फूरियर श्रृंखला विस्तार

सम और विषम कार्यों के साथ, समस्या को हल करने की प्रक्रिया काफ़ी सरल हो जाती है। और यही कारण है। चलो "दो पीआई" की अवधि में फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार पर वापस आते हैं और मनमाना अवधि "दो एल्स" .

आइए मान लें कि हमारा कार्य सम है। श्रृंखला के सामान्य शब्द, जैसा कि आप देख सकते हैं, में कोसाइन और विषम ज्या भी शामिल हैं। और अगर हम एक ईवन फ़ंक्शन को विघटित करते हैं, तो हमें विषम साइन की आवश्यकता क्यों है ?! आइए अनावश्यक गुणांक को रीसेट करें: ।

इस तरह, एक सम फ़ंक्शन केवल कोसाइन में फूरियर श्रृंखला में फैलता है:

क्यों कि सम कार्यों के समाकलनएकीकरण के एक खंड पर शून्य के संबंध में सममित को दोगुना किया जा सकता है, फिर शेष फूरियर गुणांक भी सरल हो जाते हैं।

अवधि के लिए:

एक मनमाना अंतराल के लिए:

लगभग किसी भी पथरी पाठ्यपुस्तक में पाए जाने वाले पाठ्यपुस्तक के उदाहरणों में सम कार्यों का विस्तार शामिल है . इसके अलावा, वे मेरे व्यक्तिगत अभ्यास में बार-बार मिले हैं:

उदाहरण 6

एक समारोह दिया। आवश्यक:

1) अवधि के साथ फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें, जहां एक मनमाना सकारात्मक संख्या है;

2) अंतराल पर विस्तार लिखें, एक फ़ंक्शन बनाएं और श्रृंखला के कुल योग को ग्राफ़ करें।

समाधान: पहले पैराग्राफ में, समस्या को सामान्य तरीके से हल करने का प्रस्ताव है, और यह बहुत सुविधाजनक है! एक आवश्यकता होगी - बस अपने मूल्य को स्थानापन्न करें।

1) इस समस्या में, विस्तार अवधि, अर्ध-अवधि। आगे की कार्रवाइयों के दौरान, विशेष रूप से एकीकरण के दौरान, "एल" को एक स्थिरांक माना जाता है

फ़ंक्शन सम है, जिसका अर्थ है कि यह केवल कोसाइन में फूरियर श्रृंखला में फैलता है: .

फूरियर गुणांक सूत्रों द्वारा मांगे जाते हैं . उनके पूर्ण लाभ पर ध्यान दें। सबसे पहले, विस्तार के सकारात्मक खंड पर एकीकरण किया जाता है, जिसका अर्थ है कि हम सुरक्षित रूप से मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं , दो टुकड़ों में से केवल "x" पर विचार करते हुए। और, दूसरी बात, एकीकरण काफ़ी सरल है।

दो:

भागों द्वारा एकीकृत करना:

इस तरह:
, जबकि अचर , जो "en" पर निर्भर नहीं करता है, को योग से निकाल लिया जाता है।

उत्तर:

2) हम अंतराल पर विस्तार लिखते हैं, इसके लिए हम अर्ध-अवधि के वांछित मान को सामान्य सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: