आपतन कोण की ज्या और अपवर्तन कोण की ज्या के अनुपात के अलावा और कुछ नहीं है

अपवर्तक सूचकांक पदार्थ के गुणों और विकिरण की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है, कुछ पदार्थों के लिए अपवर्तक सूचकांक काफी दृढ़ता से बदलता है जब विद्युत चुम्बकीय तरंगों की आवृत्ति कम आवृत्तियों से ऑप्टिकल और आगे में बदल जाती है, और कुछ में और भी तेजी से बदल सकती है। आवृत्ति पैमाने के क्षेत्र। डिफ़ॉल्ट आमतौर पर ऑप्टिकल रेंज या संदर्भ द्वारा निर्धारित सीमा होती है।

n, ceteris paribus का मान आमतौर पर एकता से कम होता है जब किरण सघन माध्यम से कम सघन माध्यम में जाती है, और एकता से अधिक जब किरण कम सघन माध्यम से सघन माध्यम में जाती है (उदाहरण के लिए, एक से गैस या निर्वात से तरल या ठोस में)। इस नियम के अपवाद हैं, और इसलिए यह एक माध्यम को वैकल्पिक रूप से दूसरे की तुलना में अधिक या कम घना कहने के लिए प्रथागत है (किसी माध्यम की अस्पष्टता के माप के रूप में ऑप्टिकल घनत्व के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)।

तालिका कुछ मीडिया के लिए कुछ अपवर्तक सूचकांक मान दिखाती है:

उच्च अपवर्तनांक वाले माध्यम को प्रकाशिक रूप से सघन कहा जाता है। वायु के सापेक्ष विभिन्न माध्यमों का अपवर्तनांक सामान्यतः मापा जाता है। वायु का निरपेक्ष अपवर्तनांक है। इस प्रकार, किसी भी माध्यम का निरपेक्ष अपवर्तनांक सूत्र द्वारा वायु के सापेक्ष उसके अपवर्तनांक से संबंधित होता है:

अपवर्तनांक प्रकाश की तरंगदैर्घ्य अर्थात उसके रंग पर निर्भर करता है। अलग-अलग रंग अलग-अलग अपवर्तक सूचकांकों के अनुरूप होते हैं। यह परिघटना, जिसे परिक्षेपण कहते हैं, प्रकाशिकी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

डिजिटल संसाधन का उपयोग बुनियादी और माध्यमिक विद्यालय (मूल स्तर) के कार्यक्रम के ढांचे के भीतर शिक्षण के लिए किया जा सकता है।

मॉडल "लॉ ऑफ लाइट अपवर्तन" विषय पर एक एनिमेटेड चित्रण है। जल-वायु प्रणाली पर विचार किया जाता है। घटना का क्रम, परावर्तित और अपवर्तित किरणें खींची जाती हैं।

संक्षिप्त सिद्धांत

प्रकाश के अपवर्तन का नियम तरंग भौतिकी में एक स्पष्टीकरण पाता है। तरंग अवधारणाओं के अनुसार, अपवर्तन एक माध्यम से दूसरे माध्यम में संक्रमण के दौरान तरंग प्रसार की गति में परिवर्तन का परिणाम है। अपवर्तनांक का भौतिक अर्थ पहले माध्यम में तरंग प्रसार गति का अनुपात 1 और दूसरे माध्यम में उनके प्रसार की गति υ2 है:

मॉडल के साथ काम करना

स्टार्ट/स्टॉप बटन आपको प्रयोग शुरू करने या रोकने की अनुमति देता है, रीसेट बटन आपको एक नया प्रयोग शुरू करने की अनुमति देता है।

इस मॉडल का उपयोग "प्रकाश अपवर्तन का नियम" विषय पर नई सामग्री के अध्ययन के पाठों में एक उदाहरण के रूप में किया जा सकता है। एक उदाहरण के रूप में इस मॉडल का उपयोग करते हुए, छात्र वैकल्पिक रूप से कम घने माध्यम से वैकल्पिक रूप से अधिक घने में जाने पर बीम के पथ पर विचार कर सकते हैं।

मॉडल का उपयोग करके पाठ योजना का उदाहरण

थीम "प्रकाश का अपवर्तन"

पाठ का उद्देश्य: प्रकाश के अपवर्तन की घटना पर विचार करना, एक माध्यम से दूसरे माध्यम में संक्रमण के दौरान किरण का मार्ग।

संख्या पी / पी पाठ चरण समय, मिनट तकनीक और तरीके 1 आयोजन का समय 2 2 "एक सपाट दर्पण में एक छवि का निर्माण" विषय पर गृहकार्य की जाँच करना 10 स्वतंत्र काम 3 "प्रकाश का अपवर्तन" विषय पर नई सामग्री की व्याख्या 20 प्रकाश अपवर्तन मॉडल के नियम का उपयोग करके एक नई सामग्री की व्याख्या करना 4 "प्रकाश के अपवर्तन का नियम" विषय पर गुणात्मक समस्याओं का समाधान 10 बोर्ड पर समस्या का समाधान 5 होमवर्क स्पष्टीकरण 3

तालिका एक।

प्रश्नों और कार्यों के उदाहरण

• प्रकाश निर्वात से कांच तक जाता है, जबकि आपतन कोण α है, अपवर्तन कोण β है। यदि निर्वात में प्रकाश की चाल c है तो कांच में प्रकाश की चाल क्या है?
• हवा के सापेक्ष पानी, कांच और हीरे के अपवर्तनांक क्रमशः 1.33, 1.5, 2.42 हैं। इनमें से किस पदार्थ में कुल परावर्तन के सीमित कोण का न्यूनतम मान होता है?
• एक गोताखोर नीचे से ऊपर की ओर पानी की सतह से 1 मीटर की ऊंचाई पर लटके दीपक की जांच करता है। पानी के भीतर दीपक की स्पष्ट ऊंचाई क्या है?

कई मामलों में, फॉर्म (सी) की श्रृंखला के गुणांक की जांच करके या यह स्थापित किया जा सकता है कि ये श्रृंखलाएं अभिसरण करती हैं (शायद व्यक्तिगत बिंदुओं को छोड़कर) और उनके योग के लिए फूरियर श्रृंखला हैं (उदाहरण के लिए, पिछले n ° देखें) ), लेकिन इन सभी मामलों में सवाल स्वाभाविक रूप से उठता है

इन श्रृंखलाओं के योग कैसे प्राप्त करें या, अधिक सटीक रूप से, उन्हें प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में अंतिम रूप में कैसे व्यक्त किया जाए, यदि वे इस तरह के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। यहां तक ​​​​कि यूलर (और लैग्रेंज) ने भी त्रिकोणमितीय श्रृंखला को अंतिम रूप में समेटने के लिए एक जटिल चर के विश्लेषणात्मक कार्यों का सफलतापूर्वक उपयोग किया। यूलर विधि के पीछे का विचार इस प्रकार है।

आइए मान लें कि, गुणांक के एक निश्चित सेट के लिए, श्रृंखला (सी) और केवल व्यक्तिगत बिंदुओं को छोड़कर, अंतराल में हर जगह कार्यों में परिवर्तित हो जाती है। अब एक जटिल चर की शक्तियों में व्यवस्थित समान गुणांक वाली एक शक्ति श्रृंखला पर विचार करें

इकाई वृत्त की परिधि पर, अर्थात पर , यह श्रृंखला अलग-अलग बिंदुओं को छोड़कर, धारणा द्वारा परिवर्तित होती है:

इस मामले में, शक्ति श्रृंखला की प्रसिद्ध संपत्ति के अनुसार, श्रृंखला (5) निश्चित रूप से परिवर्तित होती है, अर्थात, यूनिट सर्कल के अंदर, एक जटिल चर के एक निश्चित कार्य को परिभाषित करती है। हमारे लिए ज्ञात का उपयोग करना [देखें। अध्याय XII का 5] एक जटिल चर के प्राथमिक कार्यों के विस्तार के लिए, अक्सर उनके लिए कार्य को कम करना संभव होता है। तब हमारे पास है:

और हाबिल प्रमेय द्वारा, जैसे ही श्रृंखला (6) अभिसरण करती है, इसका योग एक सीमा के रूप में प्राप्त होता है

आमतौर पर यह सीमा इसके बराबर होती है जिससे हमें अंतिम रूप में फ़ंक्शन की गणना करने की अनुमति मिलती है

आइए, उदाहरण के लिए, श्रृंखला

पिछले पैराग्राफ में साबित हुए बयानों से यह निष्कर्ष निकलता है कि ये दोनों श्रृंखलाएं अभिसरण करती हैं (पहला वाला, अंक 0 और को छोड़कर)

वे परिभाषित कार्यों के लिए फूरियर श्रृंखला के रूप में कार्य करते हैं लेकिन ये कार्य क्या हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम एक श्रृंखला बनाते हैं

लघुगणक श्रृंखला के साथ समानता से, इसका योग आसानी से स्थापित हो जाता है:

फलस्वरूप,

अब एक आसान गणना देता है:

तो इस अभिव्यक्ति का मापांक है , और तर्क है .

और इस प्रकार अंत में

ये परिणाम हमारे लिए परिचित हैं और एक बार "जटिल" विचारों की सहायता से प्राप्त किए गए थे; लेकिन पहले मामले में, हमने फ़ंक्शन से शुरू किया और दूसरे में - विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन से। यहां, पहली बार, श्रृंखला ने खुद को एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य किया। पाठक को इस तरह के और उदाहरण अगले भाग में मिलेंगे।

हम एक बार फिर जोर देते हैं कि अभिसरण और श्रृंखला (सी) के बारे में सुनिश्चित होना चाहिए और सीमित समानता (7) का उपयोग करके उनकी रकम निर्धारित करने का अधिकार होना चाहिए। इस समानता के दायीं ओर एक सीमा का अस्तित्व हमें अभी तक यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है कि उल्लिखित श्रृंखला अभिसरण करती है। इसे एक उदाहरण के साथ दिखाने के लिए, श्रृंखला पर विचार करें

आइए हम दिखाते हैं कि तथाकथित त्रिकोणमितीय श्रृंखला का उपयोग करके लगभग किसी भी आवधिक कार्य को एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसके सदस्य सरल हार्मोनिक्स हैं।

परिभाषा। एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला प्रपत्र की एक कार्यात्मक श्रृंखला है

वास्तविक संख्याएं कहां हैं एक 0 , एक , बी नहींश्रेणी के गुणांक कहलाते हैं।

श्रृंखला का मुक्त पद बाद में प्राप्त सूत्रों की एकरूपता के लिए रूप में लिखा जाता है।

दो प्रश्नों को संबोधित करने की आवश्यकता है:

1) किन परिस्थितियों में कार्य करता है एफ (एक्स)अवधि 2π के साथ एक श्रृंखला (5.2.1) में विस्तारित किया जा सकता है?

2) बाधाओं की गणना कैसे करें एक 0 ,… एक , बी नहीं ?

चलिए दूसरे प्रश्न से शुरू करते हैं। चलो समारोह एफ (एक्स)अंतराल पर निरंतर है और इसकी अवधि है टी = 2π. हम निम्नलिखित में उन सूत्रों को प्रस्तुत करते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होगी।

किसी भी पूर्णांक के लिए, क्योंकि फलन सम है।

किसी भी पूरे के लिए।

(एमतथा एनपूर्ण संख्याएं)

पर ( एमतथा एनपूर्णांक) प्रत्येक इंटीग्रल (III, IV, V) को इंटीग्रल (I) या (II) के योग में बदल दिया जाता है। यदि , तो सूत्र (IV) में हम प्राप्त करते हैं:

समानता (V) इसी प्रकार सिद्ध होती है।

आइए अब मान लें कि फ़ंक्शन ऐसा निकला कि इसके लिए एक अभिसरण फूरियर श्रृंखला में विस्तार पाया गया, यानी,

(ध्यान दें कि योग सूचकांक के ऊपर है एन).

यदि श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसके योग को निरूपित करें एस (एक्स)।

टर्मवाइज इंटीग्रेशन (श्रृंखला के अभिसरण की धारणा के कारण वैध) से लेकर देता है

चूँकि पहले वाले को छोड़कर सभी पद शून्य के बराबर हैं (संबंध I, II)। यहाँ से हम पाते हैं

(5.2.2) को ( से गुणा करना) एम=1,2,…) और से की सीमा के भीतर पद के अनुसार समाकलन करने पर, हम गुणांक पाते हैं एक.

समानता के दाईं ओर, एक को छोड़कर सभी पद शून्य के बराबर हैं एम = एन(संबंध IV, V), इसलिए हम प्राप्त करते हैं

(5.2.2) को ( से गुणा करना) एम\u003d 1,2, ...) और से की सीमा के भीतर शब्द से शब्द को एकीकृत करते हुए, हम इसी तरह गुणांक पाते हैं बी नहीं

मान - सूत्रों द्वारा निर्धारित (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) को फूरियर गुणांक कहा जाता है, और त्रिकोणमितीय श्रृंखला (5.2.2) किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए फूरियर श्रृंखला है। एफ (एक्स)।

तो, हमें फ़ंक्शन का अपघटन मिला एफ (एक्स)एक फूरियर श्रृंखला में

आइए पहले प्रश्न पर लौटते हैं और पता लगाते हैं कि फ़ंक्शन में कौन से गुण होने चाहिए एफ (एक्स), ताकि निर्मित फूरियर श्रृंखला अभिसारी हो, और श्रृंखला का योग बिल्कुल बराबर होगा एफ (एक्स).

परिभाषा। फलन f(x) को टुकड़ावार सतत कहा जाता है, अगर यह निरंतर है या पहले प्रकार के असंततता बिंदुओं की एक सीमित संख्या है।

परिभाषा। फंक्शन एफ (एक्स), खंड पर दिया गया कहा जाता है टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक, यदि खंड को बिंदुओं द्वारा एक सीमित संख्या में अंतराल में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में फ़ंक्शन नीरस रूप से बदलता है (बढ़ता या घटता है)।

हम कार्यों पर विचार करेंगे एफ (एक्स), एक अवधि होना टी = 2π. ऐसे कार्यों को कहा जाता है 2π- आवधिक।

आइए हम एक फूरियर श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार के लिए पर्याप्त स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला एक प्रमेय तैयार करें।

डिरिचलेट का प्रमेय(बिना सबूत के स्वीकार करें) . यदि एक 2π-आवधिक कार्य एफ (एक्स)एक खंड पर टुकड़े-टुकड़े निरंतर और टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक होते हैं, फिर फ़ंक्शन के अनुरूप फूरियर श्रृंखला इस खंड में परिवर्तित होती है और:

1. किसी फलन की निरंतरता के बिंदुओं पर, श्रृंखला का योग फलन के साथ ही मेल खाता है एस (एक्स) = एफ (एक्स);

2. हर बिंदु पर एक्स 0समारोह विराम एफ (एक्स)श्रृंखला का योग है,

वे। बिंदु के बाएँ और दाएँ फ़ंक्शन की सीमाओं का अंकगणितीय माध्य एक्स 0 ;

3. बिंदुओं पर (खंड के सिरों पर) फूरियर श्रृंखला का योग है,

वे। खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के सीमा मानों का अंकगणितीय माध्य, जब तर्क अंतराल के अंदर से इन बिंदुओं पर जाता है।

नोट: यदि समारोह एफ (एक्स) 2π की अवधि के साथ पूरे अंतराल में निरंतर और अलग-अलग होता है और अंतराल के सिरों पर इसके मान बराबर होते हैं, यानी, आवधिकता के कारण, यह फ़ंक्शन पूरे वास्तविक अक्ष पर निरंतर होता है और किसी के लिए भी एक्सइसकी फूरियर श्रृंखला का योग समान है एफ (एक्स).

इस प्रकार, यदि कोई फलन अंतराल पर समाकलनीय है एफ (एक्स)डिरिचलेट प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है, फिर अंतराल पर समानता होती है (फूरियर श्रृंखला में विस्तार):

गुणांकों की गणना सूत्र (5.2.3) - (5.2.5) द्वारा की जाती है।

डिरिचलेट की शर्तें गणित और उसके अनुप्रयोगों में होने वाले अधिकांश कार्यों से संतुष्ट हैं।

फूरियर श्रृंखला, जैसे पावर श्रृंखला, फ़ंक्शन मानों की अनुमानित गणना के लिए उपयोग की जाती है। यदि फ़ंक्शन का विस्तार एफ (एक्स)एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला में होता है, तो आप हमेशा अनुमानित समानता का उपयोग कर सकते हैं, इस फ़ंक्शन को कई हार्मोनिक्स के योग के साथ बदल सकते हैं, यानी। आंशिक योग (2 एन+1) फूरियर श्रृंखला की अवधि।

विद्युत इंजीनियरिंग में त्रिकोणमितीय श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उनकी मदद से वे गणितीय भौतिकी की कई समस्याओं को हल करते हैं।

अंतराल (-π; ) पर दिए गए 2π की अवधि के साथ फूरियर श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का विस्तार करें।

समाधान। फूरियर श्रृंखला के गुणांक खोजें:

हमें फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार मिला

निरंतरता के बिंदुओं पर, फूरियर श्रृंखला का योग फलन के मान के बराबर होता है एफ (एक्स) = एस (एक्स), बिंदु पर एक्स = 0 एस (एक्स) = 1/2, बिंदुओं पर एक्स=π,2π,… एस(एक्स)=1/2।

नेवियर समाधान केवल समोच्च के साथ टिका हुआ प्लेटों की गणना के लिए उपयुक्त है। अधिक सामान्य है लेवी का समाधान. यह आपको दो समानांतर पक्षों पर टिकी हुई प्लेट की गणना करने की अनुमति देता है, अन्य दो पक्षों में से प्रत्येक पर मनमानी सीमा की स्थिति के साथ।

अंजीर में दिखाए गए आयताकार प्लेट में। 5.11, (ए), टिका हुआ किनारा अक्ष के समानांतर है आप. इन किनारों पर सीमा की स्थिति का रूप है

चावल। 5.11

यह स्पष्ट है कि अनंत त्रिकोणमितीय श्रृंखला का प्रत्येक पद

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; विक्षेपण फ़ंक्शन का दूसरा आंशिक व्युत्पन्न

(5.45)

पर एक्स = 0 और एक्स = एकशून्य भी हैं क्योंकि उनमें https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46) शामिल हैं

(5.46) को (5.18) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है

परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को 0 से तक समाकलित करके गुणा करना एकऔर यह याद रखना

,

हम फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं यमनिरंतर गुणांक के साथ ऐसा रैखिक अंतर समीकरण

. (5.48)

यदि, संकेतन को छोटा करने के लिए, निरूपित करें

समीकरण (5.48) रूप लेता है

. (5.50)

अमानवीय समीकरण (5.50) का सामान्य समाधान, जैसा कि अंतर समीकरणों के पाठ्यक्रम से जाना जाता है, का रूप है

यम(आप) = जेएम (आप)+ एफएम(आप), (5.51)

कहाँ पे जेएम (आप) अमानवीय समीकरण (5.50) का एक विशेष समाधान है; इसका रूप समीकरण के दाईं ओर (5.50) पर निर्भर करता है, अर्थात, वास्तव में, भार के प्रकार पर क्यू (एक्स, आप);

एफएम(आप)= एम शूएकएमवाई + बीएमडब्ल्यूएकएमवाई+वाई(सेमी शूएकएमवाई + डीएमसीएचएकएमआप), (5.52)

सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान

चार मनमाना स्थिरांक पूर्वाह्न,परएम ,सीएमतथा डी एमप्लेट पर लागू अक्ष के समानांतर, प्लेट के किनारों को ठीक करने के लिए चार स्थितियों से निर्धारित किया जाना चाहिए लगातार क्यू (एक्स, आप) = क्यूसमीकरण का दायाँ पक्ष (5.50) रूप लेता है

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)

चूँकि समीकरण का दायाँ पक्ष (5.55) स्थिर है, इसका बायाँ पक्ष भी स्थिर है; तो सभी डेरिवेटिव जेएम (आप) शून्य हैं, और

, (5.56)

, (5.57)

जहां संकेत दिया गया है:।

एक प्लेट पर विचार करें नोचा हुआअक्ष के समानांतर किनारों के साथ एक्स(चित्र 5.11, (सी))।

किनारों पर सीमा की स्थिति आप = ± बी/2

. (5.59)

अक्ष के परितः प्लेट के विक्षेपण की सममिति के कारण हेएक्स, सामान्य समाधान (5.52) में केवल सम फलन वाले पदों को ही रखा जाना चाहिए। क्योंकि शू एकएमआपएक विषम कार्य है, और ch एकएम आप- सम और, अक्ष की स्वीकृत स्थिति के साथ ओह, आपश्री एकएमआप- तक में परचौधरी एकएम आपविषम है, तो विचाराधीन मामले में सामान्य समाकल (5.51) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

. (5.60)

चूँकि in (5.44) तर्क के मान पर निर्भर नहीं करता है आप, सीमा शर्तों की दूसरी जोड़ी (5.58), (5.59) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यम = 0, (5.61)

यू¢ एम = = 0. (5.62)

यू¢ एम = एकएमबी.एम.श्री एकएमवाई + सेमीश्री एकएमवाई + वाई सेमीएकएमचौधरी एकएमवाई =

एकएमबी.एम.श्री एकएमवाई + सेमी(श्री एकएमवाई+वाईएकएमचौधरी एकएमआप)

से (5.60) - (5.63) यह इस प्रकार है

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)

समीकरण (5.64) को , और समीकरण (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66) से गुणा करना

(5.66) को समीकरण (5.64) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त कर सकते हैं बी.एम.

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)

इस फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के साथ यूएम. , विक्षेपण फलन के निर्धारण के लिए सूत्र (5.44) रूप लेता है

(5.69)

श्रृंखला (5.69) शीघ्रता से अभिसरण करती है। उदाहरण के लिए, इसके केंद्र में एक वर्गाकार प्लेट के लिए, अर्थात at एक्स =एक/2, आप = 0

(5.70)

श्रृंखला के केवल एक पद (5.70) में रखते हुए, अर्थात, लेना , हम 2.47% से कम द्वारा अधिक अनुमानित विक्षेपण मान प्राप्त करते हैं। ध्यान में रखते हुए कि पी 5 = 306.02, फ़ाइंड वेरिएशन" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> V..रिट्ज की वेरिएशनल विधि लैग्रेंज के वेरिएशनल सिद्धांत पर आधारित है जो सेक्शन 2 में तैयार की गई है।

आइए हम इस विधि को प्लेट झुकने की समस्या पर लागू होने पर विचार करें। एक पंक्ति के रूप में प्लेट की घुमावदार सतह की कल्पना करें

, (5.71)

कहाँ पे फाई(एक्स, आप) निरंतर समन्वय कार्य, जिनमें से प्रत्येक को गतिज सीमा शर्तों को पूरा करना चाहिए; सीआईलैग्रेंज समीकरण से निर्धारित अज्ञात पैरामीटर हैं। यह समीकरण

(5.72)

की एक प्रणाली की ओर जाता है एनमापदंडों के संबंध में बीजीय समीकरण सीआई.

सामान्य स्थिति में, प्लेट की विरूपण ऊर्जा में झुकने वाले U और झिल्ली U . होते हैं एमपार्ट्स

, (5.73)

, (5.74)

कहाँ पे मह.,एमआप. ,एमxy- झुकने वाली ताकतें; एनएक्स।, न्यूयॉर्क. , Nxy- झिल्ली बल। अनुप्रस्थ बलों के अनुरूप ऊर्जा का हिस्सा छोटा होता है और इसे उपेक्षित किया जा सकता है।

यदि एक तुम, वीतथा वूवास्तविक विस्थापन के घटक हैं, पिक्सल. , पीयूतथा pzसतह भार तीव्रता के घटक हैं, आरमैं- केंद्रित बल, डी मैंसंबंधित रैखिक विस्थापन, एमजे- केंद्रित क्षण क्यूजे- इसके अनुरूप घूर्णन कोण (चित्र 5.12), तब बाह्य बलों की स्थितिज ऊर्जा को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

यदि प्लेट के किनारे गति की अनुमति देते हैं, तो किनारे बल देते हैं वीएन. , एम.एन.. , एमएनटीई(चित्र 5.12, (ए)) बाहरी बलों की क्षमता में वृद्धि

चावल। 5.12

यहां एनतथा टी- सामान्य और स्पर्शरेखा से किनारे के तत्व डी एस.

कार्तीय निर्देशांक में, बलों और वक्रताओं के लिए ज्ञात व्यंजकों को ध्यान में रखते हुए

, (5.78)

आकार की एक आयताकार प्लेट की कुल स्थितिज ऊर्जा E एक ´ बी, केवल लंबवत भार की कार्रवाई के तहत pz

(5.79)

एक उदाहरण के रूप में, एक आयताकार प्लेट पर विचार करें जिसका पहलू अनुपात 2 . है एक 2 बी(चित्र। 5.13)।

प्लेट को समोच्च के साथ जकड़ा जाता है और एक समान भार के साथ लोड किया जाता है

pz = क्यू = कास्ट. इस स्थिति में, ऊर्जा E के लिए व्यंजक (5.79) सरल है

. (5.80)

के लिए स्वीकार करें वू(एक्स, वाई) पंक्ति

जो समोच्च स्थितियों को संतुष्ट करता है

चावल। 5.13

केवल श्रृंखला के पहले सदस्य को ही रखें

.

फिर (5.80) के अनुसार

.

ऊर्जा E को कम से कम (5..gif" चौड़ाई = "273 ऊंचाई = 57" ऊंचाई = "57">।

.

एक वर्गाकार प्लेट आकार 2 . के केंद्र का विक्षेपण एक 2 एक

,

जो सटीक समाधान 0.0202 . से 2.5% अधिक है क्यूए 4/डी. ध्यान दें कि प्लेट के चारों ओर से केंद्र का विक्षेपण 3.22 गुना अधिक होता है।

यह उदाहरण विधि के लाभों को दिखाता है: सादगी और एक अच्छा परिणाम प्राप्त करने की संभावना। प्लेट में अलग-अलग रूपरेखा, चर मोटाई हो सकती है। इस पद्धति में कठिनाइयाँ, जैसा कि, वास्तव में, अन्य ऊर्जा विधियों में, उपयुक्त समन्वय कार्यों का चयन करते समय उत्पन्न होती हैं।

5.8. ऑर्थोगोनलाइज़ेशन विधि

ऑर्थोगोनलाइज़ेशन विधि द्वारा प्रस्तावित और ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस की निम्नलिखित संपत्ति पर आधारित है: जेमैं. , जेजे

. (5.82)

अंतराल पर ओर्थोगोनल कार्यों का एक उदाहरण ( – पी, पी) त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में काम कर सकता है क्योंकि एनएक्सऔर पाप एनएक्सजिसके लिए

यदि कार्यों में से एक, उदाहरण के लिए फ़ंक्शन जेमैं (एक्स) समान रूप से शून्य के बराबर है, तो एक मनमाना कार्य के लिए शर्त (5.82) संतुष्ट है जेजे (एक्स).

प्लेट झुकने की समस्या को हल करने के लिए, समीकरण है

ऐसी कल्पना की जा सकती है

, (5.83)

कहाँ पे एफप्लेट के समोच्च से घिरा क्षेत्र है; जेआईजेयूनिर्दिष्ट कार्य हैं ताकि वे समस्या की गतिज और बल सीमा शर्तों को पूरा कर सकें।

आइए हम प्लेट झुकने वाले समीकरण (5.18) के अनुमानित समाधान को एक श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करते हैं

. (5.84)

यदि समाधान (5.84) सटीक थे, तो समीकरण (5.83) समन्वय कार्यों की किसी भी प्रणाली के लिए समान रूप से धारण करेगा जेआईजेयू. , क्योंकि इस मामले में डी c2c2 डब्ल्यूएन – क्यू = 0. हम चाहते हैं कि समीकरण डी c2c2 डब्ल्यूएन – क्यूकार्यों के परिवार के लिए ऑर्थोगोनल था जेआईजेयू, और हम इस आवश्यकता का उपयोग गुणांक निर्धारित करने के लिए करते हैं सिजो. . (5.84) को (5.83) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

. (5.85)

कुछ परिवर्तन करने के बाद, हम निर्धारित करने के लिए बीजीय समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं: सीआईजेयू

, (5.86)

तथा एचआईजेयू = एचजी.

बुब्नोव-गैलरकिन विधि को निम्नलिखित व्याख्या दी जा सकती है। समारोह डी c2c2 डब्ल्यूएन – क्यू = 0 अनिवार्य रूप से एक संतुलन समीकरण है और ऊर्ध्वाधर अक्ष की दिशा में प्लेट के एक छोटे से तत्व पर अभिनय करने वाले बाहरी और आंतरिक बलों का प्रक्षेपण है जेड. विक्षेपण समारोह डब्ल्यूएनएक ही धुरी की दिशा में एक आंदोलन है, और कार्य जेआईजेयूसंभावित आंदोलनों के रूप में माना जा सकता है। इसलिए, समीकरण (5.83) संभावित विस्थापन पर सभी बाहरी और आंतरिक बलों के कार्य के शून्य के बराबर लगभग व्यक्त करता है जेआईजेयू. . इस प्रकार, बुब्नोव-गैलेरकिन विधि अनिवार्य रूप से परिवर्तनशील है।

एक उदाहरण के रूप में, एक आयताकार प्लेट पर विचार करें जो समोच्च के साथ जकड़ी हुई है और समान रूप से वितरित भार से भरी हुई है। प्लेट के आयाम और निर्देशांक अक्षों का स्थान चित्र के समान ही है। 5.6.

सीमा की स्थिति

पर एक्स = 0, एक्स= ए: वू = 0, ,

पर आप = 0, आप = बी: वू = 0, .

हम एक श्रृंखला (5.84) के रूप में विक्षेपण फलन के लिए एक सन्निकट व्यंजक चुनते हैं जहाँ फलन जेआईजेयू

सीमा की शर्तों को पूरा करता है; सिजोवांछित गुणांक हैं। श्रृंखला के एक सदस्य तक सीमित

हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

एकीकरण के बाद

हम गुणांक की गणना कहाँ कर सकते हैं से 11

,

जो पूरी तरह से गुणांक से मेल खाती है से 11. विधि द्वारा प्राप्त किया गया

वी. रिट्ज -.

पहले सन्निकटन के रूप में, विक्षेपण कार्य इस प्रकार है

.

वर्गाकार प्लेट के केंद्र में अधिकतम विक्षेपण एक ´ एक

.

5.9. परिमित अंतर विधि का अनुप्रयोग

आइए हम जटिल समोच्च स्थितियों के साथ आयताकार प्लेटों के लिए परिमित अंतर विधि के अनुप्रयोग पर विचार करें। अंतर ऑपरेटर प्लेट की घुमावदार सतह (5.18) के अंतर समीकरण का एक एनालॉग है, एक वर्ग ग्रिड के लिए, डी के लिए एक्स = डी आप = डी फॉर्म लेता है (3.54)

20 वाई के, जे + 8 (वाई के, जे+ 1 + वाई के, जे– 1 + वाई के– 1, जे + वाई के+ 1, जे) + 2 (वाई के– 1, जे– 1 + वाई के– 1, जे+ 1 +

चावल। 5.14

प्लेट के लोडिंग और विकृतियों की समरूपता के तीन अक्षों की उपस्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम खुद को इसके आठवें पर विचार करने के लिए प्रतिबंधित कर सकते हैं और केवल नोड्स 1 ... 10 (चित्र। 5.14, (बी) पर विक्षेपण के मूल्यों को निर्धारित कर सकते हैं। ) अंजीर पर। 5.14, (बी) ग्रिड और नोड नंबरिंग दिखाता है (डी = ए/4).

चूँकि प्लेट के किनारों को पिन किया जाता है, तो परिमित अंतरों में समोच्च स्थितियों (5.25), (5.26) को लिखकर