सबसे महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक, जिसका अनुप्रयोग रसायन विज्ञान, भौतिकी और यहां तक ​​कि जीव विज्ञान जैसे विषयों में देखा जा सकता है, वह है गणित। इस विज्ञान का अध्ययन आपको कुछ मानसिक गुणों को विकसित करने, ध्यान केंद्रित करने की क्षमता में सुधार करने की अनुमति देता है। "गणित" पाठ्यक्रम में विशेष ध्यान देने योग्य विषयों में से एक अंशों का जोड़ और घटाव है। कई छात्रों को पढ़ाई में परेशानी होती है। शायद हमारा लेख इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।

भिन्नों को कैसे घटाएं जिनके हर समान हैं

भिन्न वही संख्याएँ हैं जिनके साथ आप विभिन्न क्रियाएँ कर सकते हैं। पूर्णांकों से उनका अंतर हर की उपस्थिति में होता है। इसीलिए भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, आपको उनकी कुछ विशेषताओं और नियमों का अध्ययन करने की आवश्यकता होती है। सबसे सरल मामला साधारण अंशों का घटाव है, जिनमें से हर को एक ही संख्या के रूप में दर्शाया जाता है। यदि आप एक सरल नियम जानते हैं तो यह क्रिया करना कठिन नहीं होगा:

• एक से दूसरी भिन्न को घटाने के लिए घटी हुई भिन्न के अंश से घटाई जाने वाली भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक है। हम इस संख्या को अंतर के अंश में लिखते हैं, और हर को वही छोड़ते हैं: k / m - b / m = (k-b) / m।

भिन्नों को घटाने के उदाहरण जिनके हर समान हैं

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

घटाए गए अंश "7" के अंश से घटाए गए अंश "3" के अंश को घटाएं, हमें "4" मिलता है। हम इस संख्या को उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में वही संख्या डालते हैं जो पहले और दूसरे अंश के हर में थी - "19"।

नीचे दिया गया चित्र ऐसे ही कुछ और उदाहरण दिखाता है।

एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें जहां समान हर वाले भिन्नों को घटाया जाता है:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

घटाए गए अंश "29" के अंश से, बाद के सभी अंशों के अंशों को घटाकर - "3", "8", "2", "7"। नतीजतन, हमें परिणाम "9" मिलता है, जिसे हम उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में हम वह संख्या लिखते हैं जो इन सभी अंशों के हर में है - "47"।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

साधारण भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी सिद्धांत के अनुसार किया जाता है।

• समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको अंशों को जोड़ना होगा। परिणामी संख्या योग का अंश है, और हर वही रहता है: k/m + b/m = (k + b)/m।

आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसा दिखता है:

1/4 + 2/4 = 3/4.

भिन्न के पहले पद के अंश में - "1" - हम भिन्न के दूसरे पद का अंश - "2" जोड़ते हैं। परिणाम - "3" - राशि के अंश में लिखा जाता है, और भाजक को वही छोड़ दिया जाता है जो भिन्नों में मौजूद था - "4"।

भिन्न हर के साथ भिन्न और उनका घटाव

हम पहले ही भिन्नों वाली क्रिया पर विचार कर चुके हैं जिनका हर समान है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सरल नियमों को जानना, ऐसे उदाहरणों को हल करना काफी आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको भिन्नों के साथ एक क्रिया करने की ज़रूरत है जिसमें अलग-अलग हर हैं? हाई स्कूल के कई छात्र ऐसे उदाहरणों से भ्रमित हैं। लेकिन यहां भी, यदि आप समाधान के सिद्धांत को जानते हैं, तो उदाहरण अब आपके लिए कठिन नहीं होंगे। यहां एक नियम भी है, जिसके बिना ऐसे अंशों का समाधान असंभव है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, उन्हें एक ही सबसे छोटे हर में घटाया जाना चाहिए।



यह कैसे करना है, इसके बारे में हम अधिक विस्तार से बात करेंगे।

भिन्न गुण

एक ही हर में कई भिन्नों को कम करने के लिए, आपको समाधान में भिन्न की मुख्य संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है: अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा करने के बाद, आपको दिए गए के बराबर भिन्न मिलता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न 2/3 में "6", "9", "12", आदि जैसे हर हो सकते हैं, अर्थात यह किसी भी संख्या की तरह दिख सकता है जो "3" का गुणज है। जब हम अंश और हर को "2" से गुणा करते हैं, तो हमें 4/6 का अंश मिलता है। जब हम मूल भिन्न के अंश और हर को "3" से गुणा करते हैं, तो हमें 6/9 मिलता है, और यदि हम "4" संख्या के साथ समान क्रिया करते हैं, तो हमें 8/12 मिलता है। एक समीकरण में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

एक ही हर में कई भिन्न कैसे लाएँ?

विचार करें कि एक ही हर में कई अंशों को कैसे कम किया जाए। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए भिन्नों को लें। पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी संख्या उन सभी के लिए हर बन सकती है। इसे आसान बनाने के लिए, आइए उपलब्ध हरों को कारकों में विघटित करें।

भिन्न 1/2 और भिन्न 2/3 के हर का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है। 7/9 के हर के दो गुणनखंड हैं 7/9 = 7/(3 x 3), भिन्न का हर 5/6 = 5/(2 x 3)। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि इन चारों भिन्नों के लिए कौन से गुणनखंड सबसे छोटे होंगे। चूंकि पहले अंश में हर में "2" संख्या होती है, इसका मतलब है कि यह सभी हर में मौजूद होना चाहिए, अंश 7/9 में दो त्रिगुण हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें भी हर में मौजूद होना चाहिए। उपरोक्त को देखते हुए, हम निर्धारित करते हैं कि हर में तीन कारक होते हैं: 3, 2, 3 और 3 x 2 x 3 = 18 के बराबर होता है।



पहले भिन्न पर विचार करें - 1/2। इसके हर में "2" है, लेकिन एक भी "3" नहीं है, लेकिन दो होने चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम हर को दो ट्रिपल से गुणा करते हैं, लेकिन, एक अंश की संपत्ति के अनुसार, हमें अंश को दो ट्रिपल से गुणा करना होगा:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18।

इसी तरह, हम शेष भिन्नों के साथ क्रिया करते हैं।

• 2/3 - हर में एक तीन और एक दो गायब हैं:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18।
• 7/9 या 7/(3 x 3) - हर में दो गायब हैं:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18।
• 5/6 या 5/(2 x 3) - हर में एक ट्रिपल गायब है:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18।

सब एक साथ ऐसा दिखता है:



भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाना और जोड़ना है

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अलग-अलग हर के साथ अंशों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें एक ही हर में घटाया जाना चाहिए, और फिर उसी हर के साथ अंशों को घटाने के नियमों का उपयोग करना चाहिए, जिनका पहले ही वर्णन किया जा चुका है।

एक उदाहरण के साथ इस पर विचार करें: 4/18 - 3/15।

18 और 15 के गुणज ज्ञात करना:

• संख्या 18 में 3 x 2 x 3 होते हैं।
• संख्या 15 में 5 x 3 होते हैं।
• सार्व गुणक में निम्नलिखित गुणनखंड 5 x 3 x 3 x 2 = 90 होंगे।

हर के मिलने के बाद, एक कारक की गणना करना आवश्यक है जो प्रत्येक भिन्न के लिए अलग होगा, अर्थात वह संख्या जिससे न केवल हर को, बल्कि अंश को भी गुणा करना आवश्यक होगा। ऐसा करने के लिए, हम उस संख्या को विभाजित करते हैं जो हमें मिली (सामान्य गुणक) भिन्न के हर से होती है जिसके लिए अतिरिक्त कारकों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।

• 90 को 15 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "6" 3/15 के लिए गुणक होगी।
• 90 को 18 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "5" 4/18 के लिए गुणक होगी।

हमारे समाधान में अगला कदम प्रत्येक भिन्न को हर "90" में लाना है।

हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि यह कैसे किया जाता है। आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसे लिखा जाता है:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45।

यदि भिन्न छोटी संख्या के साथ है, तो आप सामान्य हर का निर्धारण कर सकते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।



इसी तरह उत्पादित और अलग-अलग हर वाले।

घटाव और पूर्णांक भाग होना

भिन्नों का घटाव और उनका योग, हम पहले ही विस्तार से विश्लेषण कर चुके हैं। लेकिन अगर अंश में पूर्णांक भाग है तो घटाना कैसे करें? फिर से, आइए कुछ नियमों का उपयोग करें:

• उन सभी भिन्नों को परिवर्तित करें जिनका पूर्णांक भाग अनुचित है। सरल शब्दों में, पूरे भाग को हटा दें। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग की संख्या को भिन्न के हर से गुणा किया जाता है, परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है। इन क्रियाओं के बाद प्राप्त होने वाली संख्या एक अनुचित भिन्न का अंश होती है। भाजक अपरिवर्तित रहता है।
• यदि भिन्नों के अलग-अलग हर हैं, तो उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए।
• एक ही हर के साथ जोड़ या घटाव करें।
• अनुचित अंश प्राप्त करते समय, पूरे भाग का चयन करें।



एक और तरीका है जिसके द्वारा आप पूर्णांक भागों के साथ भिन्न जोड़ और घटा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, क्रियाओं को अलग-अलग पूर्णांक भागों के साथ, और अलग-अलग अंशों के साथ किया जाता है, और परिणाम एक साथ दर्ज किए जाते हैं।



उपरोक्त उदाहरण में भिन्न हैं जिनका हर समान है। उस स्थिति में जब हर अलग-अलग होते हैं, उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए, और फिर उदाहरण में दिखाए गए चरणों का पालन करें।

एक पूर्ण संख्या से भिन्नों को घटाना

भिन्नों के साथ क्रियाओं की एक अन्य किस्म वह स्थिति है जब अंश को से घटाया जाना चाहिए पहली नज़र में, ऐसा उदाहरण हल करना मुश्किल लगता है। हालाँकि, यहाँ सब कुछ काफी सरल है। इसे हल करने के लिए, एक पूर्णांक को भिन्न में बदलना आवश्यक है, और ऐसे हर के साथ, जो घटाए जाने वाले भिन्न में हो। अगला, हम समान हर के साथ घटाव के समान घटाव करते हैं। उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9।

इस लेख (ग्रेड 6) में दिए गए भिन्नों का घटाव अधिक जटिल उदाहरणों को हल करने का आधार है, जिन पर बाद की कक्षाओं में विचार किया जाएगा। इस विषय का ज्ञान बाद में कार्यों, डेरिवेटिव आदि को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। इसलिए, ऊपर चर्चा की गई भिन्नों के साथ क्रियाओं को समझना और समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

अंश और हर का पता लगाएं।एक भिन्न में दो संख्याएँ होती हैं: रेखा के ऊपर की संख्या को अंश कहा जाता है, और रेखा के नीचे की संख्या को हर कहा जाता है। भाजक उन भागों की कुल संख्या को इंगित करता है जिनमें एक पूर्ण टूटा हुआ है, और अंश ऐसे भागों की मानी गई संख्या है।

• उदाहरण के लिए, भिन्न ½ में अंश 1 है और हर 2 है।

भाजक ज्ञात कीजिए।यदि दो या दो से अधिक भिन्नों में एक समान हर होता है, तो ऐसे भिन्नों की रेखा के नीचे समान संख्या होती है, अर्थात इस स्थिति में, कुछ पूर्ण को समान भागों में विभाजित किया जाता है। एक सामान्य हर के साथ भिन्नों को जोड़ना बहुत आसान है, क्योंकि कुल भिन्न का हर वही होगा जो भिन्न को जोड़ा जा रहा है। उदाहरण के लिए:

• भिन्न 3/5 और 2/5 में एक उभयनिष्ठ हर 5 है।
• भिन्न 3/8, 5/8, 17/8 में एक सार्व भाजक 8 है।

अंकगणित ज्ञात कीजिए।एक सामान्य हर के साथ अंशों को जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और परिणाम को जोड़े गए अंशों के हर के ऊपर लिखें।

• भिन्न 3/5 और 2/5 के अंश 3 और 2 हैं।
• भिन्न 3/8, 5/8, 17/8 के अंश 3, 5, 17 हैं।

अंकगणित जोड़ें।प्रश्न 3/5 + 2/5 में अंश 3 + 2 = 5 जोड़ें। समस्या 3/8 + 5/8 + 17/8 में अंश 3 + 5 + 17 = 25 जोड़ें।

कुल लिखिए।याद रखें कि एक सामान्य भाजक के साथ भिन्न जोड़ते समय, यह अपरिवर्तित रहता है - केवल अंश जोड़े जाते हैं।

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

यदि आवश्यक हो तो भिन्न को परिवर्तित करें।कभी-कभी एक अंश को एक सामान्य या दशमलव अंश के बजाय एक पूर्ण संख्या के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/5 आसानी से 1 में परिवर्तित हो जाता है, क्योंकि कोई भी भिन्न जिसका अंश हर के बराबर होता है, 1 होता है। एक पाई को तीन भागों में काटने की कल्पना करें। यदि आप तीनों भागों को खा लेंगे, तो आप पूरी (एक) पाई खाएंगे।

• किसी भी सामान्य अंश को दशमलव में बदला जा सकता है; ऐसा करने के लिए, अंश को हर से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/8 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 5 8 = 0.625।

यदि संभव हो तो भिन्न को सरल कीजिए।सरलीकृत भिन्न वह भिन्न होती है जिसके अंश और हर में एक उभयनिष्ठ भाजक नहीं होता है।

• उदाहरण के लिए, भिन्न 3/6 पर विचार करें। यहाँ, अंश और हर दोनों का एक उभयनिष्ठ भाजक 3 के बराबर है, अर्थात अंश और हर 3 से पूरी तरह से विभाज्य हैं। इसलिए, भिन्न 3/6 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 3 3/6 ÷ 3 = आधा

यदि आवश्यक हो, तो अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न (मिश्रित संख्या) में बदलें।एक अनुचित भिन्न के लिए, अंश हर से बड़ा होता है, उदाहरण के लिए, 25/8 (उचित भिन्न के लिए, अंश हर से छोटा होता है)। एक अनुचित अंश को मिश्रित भिन्न में बदला जा सकता है, जिसमें एक पूर्णांक भाग (अर्थात, एक पूर्ण संख्या) और एक भिन्नात्मक भाग (अर्थात, एक उचित अंश) होता है। एक अनुचित भिन्न जैसे 25/8 को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

• अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करें; अपूर्ण भागफल (पूरा उत्तर) लिखिए। हमारे उदाहरण में: 25 ÷ 8 = 3 जमा कुछ शेष। इस मामले में, संपूर्ण उत्तर मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग होता है।
• बाकी का पता लगाएं। हमारे उदाहरण में: 8 x 3 = 24; मूल अंश से परिणाम घटाएं: 25 - 24 \u003d 1, यानी शेष 1 है। इस मामले में, शेष मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग का अंश है।
• मिश्रित भिन्न लिखिए। हर नहीं बदलता है (अर्थात, यह अनुचित भिन्न के हर के बराबर है), इसलिए 25/8 = 3 1/8।

आप भिन्नों के साथ विभिन्न क्रियाएं कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ना। भिन्नों के योग को कई प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। भिन्नों के जोड़ के प्रत्येक प्रकार के अपने नियम और क्रियाओं के एल्गोरिथम होते हैं। आइए प्रत्येक प्रकार के जोड़ पर करीब से नज़र डालें।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना।

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि एक सामान्य हर के साथ भिन्नों को कैसे जोड़ा जाए।

हाइकर्स बिंदु A से बिंदु E तक बढ़ते गए। पहले दिन, वे बिंदु A से B तक चले, या पूरे रास्ते \(\frac(1)(5)\) चले। दूसरे दिन वे पूरे रास्ते बिंदु B से D या \(\frac(2)(5)\) तक गए। उन्होंने यात्रा की शुरुआत से बिंदु D तक कितनी दूर की यात्रा की?

बिंदु A से बिंदु D तक की दूरी ज्ञात करने के लिए, भिन्न \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\) जोड़ें।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना यह है कि आपको इन भिन्नों के अंशों को जोड़ने की आवश्यकता है, और हर समान रहेगा।

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

शाब्दिक रूप में, समान हर वाले भिन्नों का योग इस तरह दिखेगा:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

उत्तर: पर्यटकों ने पूरे रास्ते \(\frac(3)(5)\) की यात्रा की।

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना।

एक उदाहरण पर विचार करें:

दो भिन्न \(\frac(3)(4)\) और \(\frac(2)(7)\) जोड़ें।

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको पहले खोजना होगा, और फिर समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए नियम का उपयोग करें।

हर 4 और 7 के लिए, सामान्य हर 28 है। पहला अंश \(\frac(3)(4)\) 7 से गुणा किया जाना चाहिए। दूसरा अंश \(\frac(2)(7)\) होना चाहिए 4 से गुणा किया गया।

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ टाइम्स \color(लाल) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

शाब्दिक रूप में, हमें निम्नलिखित सूत्र मिलता है:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

मिश्रित संख्याओं या मिश्रित भिन्नों का जोड़।

जोड़ योग के नियम के अनुसार होता है।

मिश्रित भिन्नों के लिए, पूर्णांक भागों को पूर्णांक भागों में और भिन्नात्मक भागों को भिन्नात्मक भागों में जोड़ें।

यदि मिश्रित संख्याओं के भिन्नात्मक भागों में समान भाजक हों, तो अंशों को जोड़ें, और हर समान रहता है।

मिश्रित संख्याएँ \(3\frac(6)(11)\) और \(1\frac(3)(11)\) जोड़ें।

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(लाल) (3) + \color(नीला) (\frac(6)(11))) + ( \color(लाल) (1) + \color(नीला) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( नीला) (\frac(6)(11)) + \color(नीला) (\frac(3)(11))) = \color(लाल)(4) + (\color(नीला) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(लाल)(4) + \color(नीला) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(नीला) (\frac (9)(11))\)

यदि मिश्रित संख्याओं के भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, तो हम एक सामान्य भाजक पाते हैं।

आइए मिश्रित संख्याएँ \(7\frac(1)(8)\) और \(2\frac(1)(6)\) जोड़ें।

हर अलग है, इसलिए आपको एक सामान्य हर खोजने की जरूरत है, यह 24 के बराबर है। पहले अंश \(7\frac(1)(8)\) को 3 के एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें, और दूसरा अंश \( 2\frac(1)(6)\) 4 को

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24) ) = 9\frac(7)(24)\)

संबंधित सवाल:
अंशों को कैसे जोड़ें?
उत्तर: पहले आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि व्यंजक किस प्रकार से संबंधित है: भिन्नों में एक ही हर, भिन्न हर या मिश्रित भिन्न होते हैं। अभिव्यक्ति के प्रकार के आधार पर, हम समाधान एल्गोरिथम के लिए आगे बढ़ते हैं।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे हल करें?
उत्तर: आपको एक उभयनिष्ठ हर खोजने की जरूरत है, और फिर उसी हर के साथ भिन्न जोड़ने के नियम का पालन करें।

मिश्रित भिन्नों को कैसे हल करें?
उत्तर: पूर्णांक भागों को पूर्णांक भागों में और भिन्नात्मक भागों को भिन्नात्मक भागों में जोड़ें।

उदाहरण 1:
क्या दो का योग एक उचित भिन्न में परिणत हो सकता है? गलत अंश? उदाहरण दो।

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

भिन्न \(\frac(5)(7)\) एक उचित भिन्न है, यह दो उचित भिन्नों \(\frac(2)(7)\) और \(\frac(3) के योग का परिणाम है। (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

भिन्न \(\frac(58)(45)\) एक अनुचित भिन्न है, यह उचित भिन्नों के योग का परिणाम है \(\frac(2)(5)\) और \(\frac(8) (9)\).

उत्तर: दोनों प्रश्नों का उत्तर हां है।

उदाहरण #2:
भिन्न जोड़ें: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\)।

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

बी) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

उदाहरण #3:
मिश्रित भिन्न को एक प्राकृत संख्या और एक उचित भिन्न के योग के रूप में लिखें: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

बी) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

उदाहरण #4:
योग की गणना करें: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) ग) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

ख) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(तेरह) \)

सी) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

कार्य 1:
रात के खाने में उन्होंने केक का \(\frac(8)(11)\) खाया, और शाम को रात के खाने में उन्होंने \(\frac(3)(11)\) खाया। क्या आपको लगता है कि केक पूरी तरह से खाया गया था या नहीं?

फेसला:
भिन्न का हर 11 है, यह दर्शाता है कि केक को कितने भागों में बांटा गया था। दोपहर के भोजन में, हमने 11 में से 8 केक खाए। रात के खाने में, हमने 11 में से 3 केक खाए। आइए 8 + 3 = 11 जोड़ें, हमने 11 में से केक के टुकड़े खाए, यानी पूरा केक।

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

उत्तर: उन्होंने पूरा केक खा लिया।

आज हम अंशों के बारे में बात करने जा रहे हैं।. यह शब्द कितने छात्रों को डराता है, लेकिन व्यर्थ ... भिन्नों के साथ काम करना वास्तव में इतना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात नियमों को समझना है। हम आज क्या करने वाले हैं।

दुर्भाग्य से, यह विषय कई छात्रों के लिए एक कमजोर कड़ी है, हालांकि यह गणित के अध्ययन में सबसे बुनियादी में से एक है।

तो, चलिए इसका पता लगाते हैं। आइए शुरू करें कि इसके लिए आम तौर पर क्या आवश्यक है।

हमारे जीवन में ऐसी परिस्थितियाँ आती हैं जब किसी वस्तु को एक निश्चित संख्या में भागों में विभाजित करना आवश्यक होता है (जीवन में - कट, आरी, टूटना, आदि)। आइए पिज्जा को एक उदाहरण के रूप में लें:

मान लें कि आपने और आपके परिवार ने पिज़्ज़ा ऑर्डर किया है (या स्पेक - जैसा आप चाहते हैं)। आपके परिवार में चार लोग हैं ... आपको साझा करना होगा)) और सबसे अधिक संभावना है कि आप पिज्जा को बराबर टुकड़ों में बांटने की कोशिश करेंगे ताकि किसी को ठेस न पहुंचे। परिणामस्वरूप, आपके परिवार के प्रत्येक सदस्य को पिज्जा का एक टुकड़ा (साथ ही परिवार के बाकी सदस्यों) को मिलेगा। और इस मामले में, भिन्न की अवधारणा हमारी मदद करेगी। अंश का अंश आपके द्वारा प्राप्त पिज्जा के हिस्से को इंगित करेगा, और हर भागों की कुल संख्या (बराबर भागों) को इंगित करेगा।

आप पिज़्ज़ा को 6 बराबर भागों में, और 7, और 12 भागों में काट सकते हैं।

और अब कुछ सिद्धांत:

• किसी भी भिन्न में एक अंश (अंश चिह्न के ऊपर लिखी गई संख्या) और एक हर (अंश चिह्न के नीचे लिखी संख्या) होता है;
• भाजक दिखाता है कि वस्तु को कितने भागों में विभाजित किया गया है, और अंश यह दर्शाता है कि इनमें से कितने भाग किसी उद्देश्य के लिए लिए गए हैं।
• अंश दिखाता है रवैयावस्तु के भागों की कुल संख्या के भागों को लिया।

मेरा सुझाव है कि आप विषय के अध्ययन (पुनरावृत्ति) के दौरान प्रस्तावित अभ्यास (सिम्युलेटर) करें। यह ज्ञान को समेकित करने और व्यवहार में इसे लागू करने का कौशल हासिल करने में मदद करेगा। सिमुलेटर के साथ ठीक उसी क्रम में काम करने की अनुशंसा की जाती है जिस क्रम में उन्हें इस आलेख में दिया गया है।

अपने जीवन में भिन्नों के प्रयोग से हमने इसका पता लगा लिया। अब आइए भिन्नों के प्रकारों को देखें। साधारण भिन्न सही और गलत होते हैं...

बस कराहना और हांफना नहीं)) यह अभी भी आसान है।

• सहीभिन्न वह भिन्न है जिसका अंश हर से कम है;
• गलतभिन्न वह भिन्न होती है जिसका अंश हर से बड़ा होता है।

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, भिन्नों (अब हम समान हर वाले भिन्नों के बारे में बात कर रहे हैं) की तुलना की जा सकती है। इसके लिए उनके अंशों की तुलना करना आवश्यक है(भाजक समान हैं...)

क्या आपने देखा है कि यदि अंश और हर समान हैं, तो हमें एक पूरी वस्तु मिलती है?))

इसलिए, वे कहते हैं कि यदि अंश और हर बराबर हैं, तो भिन्न एक के बराबर है।

और एक और महत्वपूर्ण बिंदु: मुझे आशा है कि आपने ध्यान दिया होगा))) भिन्नात्मक बार आइकन का अर्थ है "विभाजित" क्रिया। और फिर यह बिल्कुल स्पष्ट हो जाता है कि यदि संख्या को स्वयं से विभाजित किया जाए, तो परिणाम एक होगा। लेकिन यहां मैं खुद से आगे निकल रहा हूं और इसी तरह हम भिन्नों को कम करने पर एक लेख में इस बारे में बात करेंगे ...

आइए अब समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर विचार करें। नियम बहुत सरल है: समान हर के साथ अंशों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना (घटाना) चाहिए, और हर को वही छोड़ देना चाहिए।

और अंत में, आइए एक प्रश्नोत्तरी के साथ अपने ज्ञान का परीक्षण करें। यह परीक्षा तभी पास की जा सकती है जब आप सभी कार्यों को सही ढंग से पूरा करते हैं। केवल इस मामले में हम कह सकते हैं कि विषय में महारत हासिल है। आप अनंत बार परीक्षा दे सकते हैं। और भले ही आपने पहली बार 100% परीक्षा उत्तीर्ण की हो, कुछ दिनों में इस पृष्ठ पर जाएँ और अपने ज्ञान की फिर से जाँच करें। यह केवल आपके ज्ञान को मजबूत करेगा और ऐसे अंशों के साथ काम करने का कौशल विकसित करेगा।

पी.एस.लेकिन यह सभी भिन्नों के बारे में नहीं है, क्योंकि वे न केवल साधारण हैं, बल्कि दशमलव भी हैं। और एक मिश्रित संख्या में भी होता है (एक संख्या जिसमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग दोनों होता है) ... लेकिन उस पर और अधिक निम्नलिखित लेखों में। याद मत करिएं।

एलीशेवा टी.वी. द्वारा किया गया एक अध्ययन। 1, समीचीनता को इंगित करता है, जब समान भाजक के साथ साधारण अंशों के जोड़ और घटाव की क्रियाओं का अध्ययन करते हुए, छात्रों को पहले से ज्ञात जोड़ और घटाव के साथ सादृश्य का उपयोग करने के लिए

एलीशेवा टी। वी। एक सहायक स्कूल के छात्रों द्वारा साधारण अंशों के साथ अंकगणितीय संचालन का अध्ययन // दोषविज्ञान।-1992.- № 4.- साथ। 25-27.

मूल्यों को मापने के परिणामस्वरूप प्राप्त मूल्य, और निगमन विधि द्वारा कार्यों के असाइनमेंट को पूरा करने के लिए, अर्थात् "सामान्य से लगातार तक।"

सबसे पहले, संख्याओं के जोड़ और घटाव को मान, लंबाई के उपायों के नामों के साथ दोहराया जाता है। उदाहरण के लिए, 8 पी। 20 के। ± 4 पी। 15 के.

मौखिक जोड़ और घटाव करते समय, आपको जोड़ना होगा

3 मीटर 45 सेमी ± 2 मीटर 24 सेमी - पहले मीटर जोड़ें (घटाना) और फिर सेंटीमीटर।

; भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय, विचार करें आमहो रहा है:इन क्रियाओं को मिश्रित भिन्नों के साथ करना (हर समान हैं): 3-?- ± 1-g। इस मामले में, यह आवश्यक है: "पूर्ण संख्याओं को जोड़ें (घटाना), फिर अंश, और हर समान रहता है।" यह सामान्य नियम भिन्नों के जोड़ और घटाव के सभी मामलों पर लागू होता है। विशेष मामले धीरे-धीरे पेश किए जाते हैं: एक भिन्न 1y + -= = . के साथ मिश्रित संख्या का जोड़ \-= \, बाद

(1 1\ ^ "

पूर्णांक के साथ मिश्रित संख्या \-= + 4 = 5y। उसके बाद, घटाव के अधिक कठिन मामलों पर विचार किया जाता है: 1) मिश्रित संख्या से भिन्न: 4d~n=4d-; 2) मिश्रित पूर्णांक से: 4d-2=2-d-।

घटाव के इन अपेक्षाकृत सरल मामलों में महारत हासिल करने के बाद, छात्र अधिक कठिन मामलों से परिचित हो जाते हैं जब कमी की आवश्यकता होती है: एक पूरी इकाई से या कई इकाइयों से घटाव, उदाहरण के लिए:

\ ओओओ2, एल ओ<-)Э ओह पी~

1 ~बी-~बी~बी-~5" 6 ~~5~ 2 ख~"5- 2 "5-

पहले मामले में, इकाई को एक अंश के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, जिसका हर सबट्रेंड के हर के बराबर हो। दूसरे मामले में, हम एक पूर्णांक से एक इकाई लेते हैं और इसे एक सबट्रेंड हर के साथ एक अनुचित अंश के रूप में भी लिखते हैं, हमें कम संख्या में मिश्रित संख्या मिलती है। घटाव सामान्य नियम के अनुसार किया जाता है।

अंत में, घटाव का सबसे कठिन मामला माना जाता है: मिश्रित संख्या से, और भिन्नात्मक भाग का अंश इससे कम होता है

सबट्रेंड में अंश: 5^- ^. इस मामले में, मिन्यूएंड को बदलना होगा ताकि सामान्य नियम लागू किया जा सके, यानी, मिन्यूएंड में, पूरे में से एक इकाई लें और विभाजित करें

पांचवें में, हमें 1 \u003d -g मिलता है, और सम -g, हमें -g, लगभग . मिलता है<-|>

इस तरह दिखेगा: 4^~ ^, तोइसका समाधान पहले से ही लागू किया जा सकता है

सामान्य नियम।

भिन्नों के जोड़ और घटाव को पढ़ाने की निगमन पद्धति का उपयोग छात्रों की सामान्यीकरण, तुलना, अंतर करने की क्षमता के विकास में योगदान देगा, भिन्न के साथ संचालन के बारे में ज्ञान की सामान्य प्रणाली में गणना के व्यक्तिगत मामलों को शामिल करेगा।

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों और मिश्रित संख्याओं का जोड़ और घटाव *।

क) बड़ा हर NOZ है:

ओ?+|, एच; 2) 1|+", 4-श" 3> 4+4 4-4

b) बड़ा हर NOZ नहीं है:

एन 3 4 7 2. 9 डी.3, 7, 3 2. 04 ^ 2 .. 1 जी 3 9 2 1) बी-+7 "8-9" 2) %+8" 1 5-5" 3)%+%" 5 टी- 2 3"

भिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ना और घटाना मानसिक रूप से मंद स्कूली बच्चों के लिए महत्वपूर्ण कठिनाइयाँ प्रस्तुत करता है, क्योंकि क्रियाओं को करने से पहले, भिन्नों को सबसे छोटे हर में लाना आवश्यक होता है, जिसके संबंध में छात्रों का ध्यान एक अतिरिक्त ऑपरेशन (अभिव्यक्ति) पर जाता है। लंबा हो गया है - एक समान चिह्न लगाकर, कई बार अभिव्यक्ति को फिर से लिखना आवश्यक है)। इसके लिए छात्रों को फोकस करने की जरूरत है। और बौद्धिक विकलांग छात्रों के ध्यान की विशेषता है, जैसा कि आप जानते हैं, विचलितता, अनुपस्थित-दिमाग। यह अक्सर पूर्णांकों, एक समान चिह्न और यहां तक ​​कि एक घटक के नुकसान की ओर ले जाता है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, सबसे पहले छात्रों को मौखिक रूप से बोलने के लिए अभिव्यक्ति का रिकॉर्ड देना संभव है, अर्थात्, यह कहना कि कौन से ऑपरेशन किए जाने चाहिए और किस क्रम में: 1) भिन्नों को सबसे छोटे हर में कम करें; 2) एक क्रिया करें; 3) यदि आवश्यक हो, तो प्रतिक्रिया में परिवर्तन करें।

मिश्रित संख्या के साथ एक अंश जोड़ते समय, छात्रों को योग के मूल्य और प्रत्येक पद पर ध्यान देना चाहिए, इसकी तुलना पूर्णांकों के योग के गुण से करनी चाहिए।

मिलते समय भी ऐसा ही करना चाहिए। साथपूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याओं के बीच अंतर के गुणों की व्यापकता पर बल देते हुए भिन्नों का घटाव।

ऐसा करने के लिए, पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याओं का योग और अंतर ज्ञात करने के लिए उदाहरणों के युग्मों को हल करना और उनकी तुलना करना उचित है: 310

4.3. 3 , -1 5 + 5" 1 से +5 TO

निष्कर्ष:योग प्रत्येक पद से बड़ा है, अंतर घटाए गए पद से कम या उसके बराबर है।

भिन्नों का जोड़ और घटाव उन व्यावहारिक कार्यों और अभ्यासों से जुड़ा होना चाहिए जो मौखिक रूप से किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए:

"ब्लाउज की सजावट के लिए उन्होंने -^ मी सफेद और -^ मी नीले रंग की चोटी काट दी।

ब्लाउज को ट्रिम करने में कितनी चोटी चली गई?

बी- - लगभग -3

"2 मीटर लंबे स्लेट से, एक टुकड़ा काट दिया गया था -% मी और

दूसरा 4" मीटर लंबा है। शेष रेल की लंबाई क्या है?"

ध्यान दें कि इन समस्याओं में मात्राओं के मापन से प्राप्त संख्याएँ दी गई हैं। यह आपको छात्रों की स्मृति में रोजमर्रा की जिंदगी में सबसे आम अनुपात तय करने की अनुमति देता है: के-एम 50 सेमी है, - ^ मीटर 25 सेमी है, -? मी 20 सेमी है, -^ एच 15 मिनट है, आदि।

इस अवधि के दौरान, छात्रों को भिन्नात्मक और पूर्णांक संख्याओं के जोड़ और घटाव के अज्ञात घटकों की खोज की तुलना करते हुए, जोड़ और घटाव के अज्ञात घटकों को खोजने के लिए उदाहरणों को हल करना चाहिए।

छात्रों को यह सुनिश्चित करना चाहिए कि पूर्णांकों पर अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम भिन्नात्मक संख्याओं पर संक्रियाओं पर भी लागू होता है। साथ ही पूर्णांक के साथ क्रियाओं के अध्ययन में, छात्रों को प्राप्त होता है

कानूनों के साथ केवल एक व्यावहारिक परिचित - उनका उपयोग

3 गणनाओं को सुव्यवस्थित करने के लिए। उदाहरण के लिए, एक उदाहरण हल करें -^+2

शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करके अधिक सुविधाजनक है, अर्थात, जोड़ के कम्यूटेटिव कानून का उपयोग करना।

क्रियाओं के क्रम के प्रारंभिक विचार के साथ उदाहरणों को हल करने से त्वरित बुद्धि, सरलता विकसित होती है, रूढ़ियों को रोकता है और यह बहुत सुधारात्मक मूल्य का है।

अंशों का गुणन और विभाजन*

आठवीं प्रकार के स्कूल में, केवल एक पूर्णांक द्वारा भिन्न और मिश्रित संख्याओं का गुणा और भाग माना जाता है। इनका अध्ययन

क्रियाओं, साथ ही जोड़ और घटाव का अध्ययन, समानांतर में देता है।

प्रस्तुति की सुविधा के लिए, हम पहले एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने और फिर भिन्न को एक पूर्णांक से विभाजित करने की तकनीक पर विचार करेंगे।

विद्यार्थियों को एक भिन्न के एक पूर्णांक से गुणा करने से पहले, पूर्णांकों के गुणन की समीक्षा करना आवश्यक है।

किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने पर विचार करते समय, यह आवश्यक है | हम विभिन्न मामलों का एक निश्चित क्रम देख सकते हैं] जो उनकी कठिनाई की डिग्री से निर्धारित होता है।

एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करना।

एक मिश्रित संख्या को एक पूर्णांक से गुणा करना। गुणन की व्याख्या के लिए प्रारंभिक कार्य

एक पूर्णांक के लिए पूर्णांकों को गुणा करने के लिए कार्य हैं | गुणन की क्रिया का बाद में जोड़ की क्रिया द्वारा प्रतिस्थापन, उदाहरण के लिए: गुणन 7-3=21 को जोड़ 7+7+7=21| गुणन की क्रिया को बदलें (पहला कारक एक अंश है, दूसरा कारक एक पूर्णांक है) जटिल की क्रिया द्वारा ”d-x3 = d- + d-4-d-=-d। उसी समय, उत्पाद के अंश, हर और पहले कारक पर ध्यान आकर्षित किया जाता है। प्रश्नों की सहायता से: “क्या गुणन के दौरान भिन्न का हर बदल गया? गुरु| भिन्न के अंश का क्या हुआ? - छात्र इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि अंश में 3 गुना वृद्धि हुई है, लेकिन भाजक नहीं बदला है .. किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने का नियम प्राप्त करने के लिए, केवल एक उदाहरण पर विचार करना पर्याप्त नहीं है, आपको एक पर विचार करने की आवश्यकता है कुछ और उदाहरण:

2

2,2,2 2+2+2 =++ 7 = ~7~

3 6

- ~- 7 ;

3 2 6 3~

इन उदाहरणों में दिए गए उत्तरों की सत्यता की पुष्टि आंकड़ों को प्रदर्शित करके की जानी चाहिए।

विचार किए गए उदाहरणों में, छात्रों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित किया जाना चाहिए कि अंश में समान पदों (तीन दो) के योग को उत्पाद (2 3) से बदला जा सकता है। यह उन्हें निराश करेगा

मैं » 2 ओ 2 3 6

अधिक संक्षिप्त अंकन के लिए: y 3 \u003d - ^ - \u003d y, और इसलिए भी k

नियम व्युत्पत्ति। इसके अलावा, एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने पर, एक उत्पाद प्राप्त होता है जो पहले कारक से बड़ा होता है। किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने के नियम में महारत हासिल करने के बाद, छात्रों को यह दिखाना आवश्यक है कि अंश को पूर्णांक से गुणा करने से पहले 312

इस प्रकार, इन संख्याओं की हर के साथ तुलना करना आवश्यक है और, यदि उनके पास एक सामान्य भाजक है, तो इससे विभाजित करें और उसके बाद ही उत्पादन-गुणा करें। संख्याओं की प्रारंभिक कमी की यह विधि,

अंश और हर में लिखा, गणना की सुविधा देता है, उदाहरण के लिए: -r-10=-?-=-r-=8. हम एक सामान्य भाजक द्वारा अंश और हर की प्रारंभिक कमी के साथ एक ही क्रिया करते हैं:

I बौद्धिक अल्प विकास वाले बच्चे विरले ही इसका सहारा लेते हैं | गणना के तर्कसंगत तरीके, एक नियम के रूप में, केवल उन तरीकों का उपयोग करना जो रूढ़िबद्ध हो गए हैं। इसलिए, शिक्षक को कभी-कभी केवल यह मांग करने की आवश्यकता होती है कि छात्र अभिनय के तर्कसंगत तरीकों का उपयोग करें।

किसी मिश्रित संख्या के किसी पूर्णांक से गुणन की व्याख्या करने से पहले, 15 p के रूप के मानों को मापकर प्राप्त संख्याओं के गुणन को दोहराना आवश्यक है। 32 के.-3। सबसे पहले, आपको इस उदाहरण को हल करते समय एक विस्तृत रिकॉर्ड देना चाहिए: 1 पी। = 100 के.

15 पी. \u003d 100 k.-15 \u003d 1500 k. 1500 k. + 32 k. \u003d 1532 k।

हालांकि, यह दिखाना तुरंत आवश्यक है कि कुछ उदाहरणों को दिमाग में हल करना आसान है, अलग-अलग रूबल और कोप्पेक की संख्या को गुणा करना।

मिश्रित संख्या को पूर्णांक से गुणा करते समय, इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित किया जाता है कि मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश के रूप में व्यक्त (लिखित) किया जाना चाहिए, और फिर एक अंश को पूर्णांक से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा किया जाता है, उदाहरण के लिए:

-

4 _ 35 „

(पूर्णांक 3 से 15 p. 32 k को गुणा करने पर तुलना करें।)

इस गणना पद्धति का नुकसान इसकी बोझिलता है: बड़ी संख्या जो अंश में प्राप्त होती है, गणना को कठिन बना देती है। हालांकि, इस पद्धति का एक फायदा है: भविष्य में, जब छात्र एक मिश्रित संख्या को एक पूर्णांक से विभाजित करने से परिचित हो जाते हैं, तो क्रिया करने से पहले, उन्हें मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता होगी।

सबसे मजबूत छात्रों को दूसरा एसपी भी दिखाया जा सकता है | एक मिश्रित संख्या को एक पूर्णांक से गुणा करना (मिश्रित | संख्याओं को एक अनुचित अंश के रूप में लिखे बिना), उदाहरण के लिए:

(

चेहरों को मापने से प्राप्त संख्याओं के गुणन से तुलना करें, मौखिक रूप से: 15 पी। 32 के। -3 \u003d 45 पी। 96 के.)

इस मामले में, एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से गुणा किया जाता है, प्राप्त किया जाता है ", उत्पाद को एक पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है, फिर गुणा करें!, एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने के नियम के अनुसार संख्या का भिन्नात्मक भाग।

"एक पूर्णांक द्वारा एक अंश का गुणन" विषय का अध्ययन करते समय, निम्नलिखित *! उदाहरणों और कार्यों को हल करने में कोई समस्या नहीं है ताकि भिन्नों को कई गुना बढ़ाया जा सके!

2 बार। विद्यार्थियों को यह दिखाना आवश्यक है कि उदाहरण y 3 किया जा सकता है *

y और 3 का गुणनफल; y और 3 के गुणनखंड, गुणनफल ज्ञात कीजिए। बाद में!

उदाहरण uZ = y का हल, आपको उत्पाद और प्रति- की तुलना करनी चाहिए

आप गुणक: y, y से 3 गुना अधिक है, = 3 बार से कम।

फॉर्म के पहले कारक में अज्ञात अंश या हर के साथ उदाहरणों को हल करना आवश्यक है: -~--2=-आर, t=r-2=-i-.

आप प्रपत्र के अधिक कठिन उदाहरण प्रस्तुत कर सकते हैं:

ए, 4 1 ,-, 3 पी जी-, 2

1 -ए- 4 =Ъи" ए =जी> पी "पी \u003d 5

2. भिन्न tg 3 गुना बढ़ जाता है।

एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजननिम्नलिखित क्रम में दिया गया है:

पूर्व कमी के बिना एक पूर्णांक द्वारा एक अंश का विभाजन।

एक मिश्रित संख्या को बिना पूर्व कमी के एक पूर्णांक से विभाजित करें।

प्रारंभिक कमी के साथ विभाजन।

छात्रों को एक अंश या मिश्रित संख्या को एक पूर्णांक से विभाजित करने के ऐसे मामलों को भी दिखाने की आवश्यकता होती है, जब प्रारंभिक कमी कार्रवाई करने की प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाती है। उदाहरण के लिए:

5- 2= 7^- = 5" 3 4- 9 \u003d टी ": 9 \u003d 4 ^ \u003d टी 2-

अवलोकन और विशिष्ट गतिविधियों के आधार पर, छात्र

n "निष्कर्ष पर गुणा करें: एक अंश को एक पूर्णांक अंश से विभाजित करते समय

1. स्पिन छोटा, लेकिन शेयरों की संख्या नहीं बदलती। उदाहरण के लिए,

| आधा सेब लें और इस आधे सेब को 2 बराबर भागों में बाँट लें

c.k "भागों (-i-: 2] , तो यह के अनुसार निकलेगा -टीसेब हम लिखते हैं: -के\2=-^.

प्रत्येक छात्र को स्वतंत्र रूप से आधे वृत्त (पट्टियों, खंडों) को 2 बराबर भागों में विभाजित करना चाहिए और विभाजन के परिणाम को लिखना चाहिए

भाग: - ^: 3 \u003d k- छात्र देखते हैं कि विभाजित करने पर उन्हें नौवां हिस्सा मिला है, लेकिन उनकी संख्या नहीं बदली है। भागफल और भाजक के अंश और हर की तुलना की जाती है: हर में 3 गुना वृद्धि हुई है, लेकिन अंश नहीं बदला है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक भिन्न को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको हर को इस संख्या से गुणा करना होगा, और अंश को वही छोड़ देना होगा। नियम के आधार पर, एक उदाहरण हल किया जाता है: फिर शिक्षण के विषयों पर

छात्रों को एक बार फिर विभाजन की प्रक्रिया दिखानी चाहिए और सुनिश्चित करना चाहिए कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है।

एक पूर्णांक द्वारा एक अंश के विभाजन की तुलना एक पूर्णांक द्वारा एक अंश के गुणन के साथ की जानी चाहिए, प्रपत्र के परस्पर प्रतिलोम उदाहरणों को हल करना इस मामले में, किसी को तुलना करनी चाहिए

उत्पाद और भागफल, क्रमशः, पहले कारक और लाभांश के साथ। छात्रों को एक सामान्यीकरण में लाने के लिए यह आवश्यक है: जब एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा किया जाता है, तो उत्पाद पहले कारक से कई गुना अधिक होता है क्योंकि दूसरे कारक में इकाइयाँ होती हैं। निजी के लिए एक समान निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए।

एक मिश्रित संख्या का एक पूर्णांक से भाग एक मिश्रित संख्या को एक पूर्णांक से गुणा करने के दूसरे तरीके के सादृश्य द्वारा दिया जाता है, उदाहरण के लिए: मिश्रित संख्या गलत हो जाती है

भिन्न और विभाजन एक भिन्न को एक पूर्णांक से विभाजित करने के नियम के अनुसार किया जाता है।

सबसे मजबूत छात्रों को भी विभाजन के विशेष मामलों से परिचित कराया जाना चाहिए। यदि मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग भाजक से पूर्णतः विभाज्य हो, तो मिश्रित संख्या एक में परिवर्तित नहीं होती है।

कांटा अंश, उदाहरण के लिए: 2-^".2=\-^. पहले शेयर करना होगा

भाग, परिणाम को भागफल में लिखें, फिर भिन्नात्मक भाग को विभाजित करें

एक भिन्न को एक पूर्णांक से विभाजित करने का नियम: 12^:3=47^=4-^। पर

मामले में, मैनुअल के विषयों पर मिश्रित संख्या का विभाजन दिखाया जाना चाहिए। सभी चार क्रियाओं का सामान्य अंशों के साथ अध्ययन करने के बाद, कोष्ठक के साथ जटिल उदाहरण और क्रियाओं के क्रम की पेशकश की जाती है।

एक संख्या से एक और कई भागों को ढूँढना

भिन्नात्मक विषय का अध्ययन करने के तुरंत बाद इस विषय का अध्ययन किया जाता है।

नई अवधारणा की व्याख्या अभ्यास के समाधान से शुरू होनी चाहिए! कार्य, उदाहरण के लिए: "एक बोर्ड से 80 सेमी लंबा आरी बंद" -^ अक्सर बोर्ड को कितनी लंबाई में देखा जाता था? यह कार्य उन लोगों को दिखाया जाना चाहिए जो विषय सहायता पर अध्ययन करते हैं। 80 sc . की लंबाई वाला बार लें

मीटर रूलर से इसकी लंबाई की जांच करें और फिर स्प्रे करें

मैं बैठा हूँ कैसे ढूँढ़ूँ -टीइस तख्ती का हिस्सा। छात्रों को पता है कि योजना

आपको 4 बराबर भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है और एक चौथाई भाग देखा! अंश। तख़्त के आरी के टुकड़े को मापा जाता है। इसकी लंबाई 20 सेमी निकली है। "आपको संख्या 20 सेमी कैसे मिली?" - शिक्षक से पूछो। इस प्रश्न का उत्तर कुछ छात्रों के लिए कठिनाई का कारण बनता है, इसलिए, यह दिखाना आवश्यक है कि चूंकि बार को समान भागों में विभाजित किया गया था, इसलिए, 80 सेमी को 4 बराबर घंटों में विभाजित किया गया था, आइए इस समस्या का समाधान लिखें: -% 80 सेमी से 80 सेमी है: 4- =20 सेमी.

स्कूल आठवीं में एक संख्या के कई भागों को खोजना दो अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके किया जाता है। पहली क्रिया में, संख्या का एक भाग निर्धारित किया जाता है, और दूसरे में

रम - कई भाग। उदाहरण के लिए, आपको 15 से -5- खोजने की जरूरत है। 1 21 . खोजें

डी- 15, 15:3=5 से; -? -ओ- 2 गुना से अधिक, इसलिए 5 को 2 से गुणा किया जाना चाहिए। 15, 5-2 \u003d 10 से * खोजें।

15 में से 3 15:3=5; | 15 से 5-2=10.

इसके किसी एक भाग में संख्या ज्ञात करना *

|इस विषय पर कार्य विशुद्ध रूप से कार्यों से जुड़ा होना चाहिए] I

| kticheskogo सामग्री, उदाहरण के लिए: "यह ज्ञात है कि ^ p. सह

|vlyat 50 k. पूर्ण संख्या क्या है? (कुल कितने kopecks?) "छात्रों को पता है कि एक पूरा रूबल 100 k है। I यदि यह ज्ञात है, तो इसका * भाग क्या है, यह जानकर वे एक अज्ञात संख्या, * रूबल का एक हिस्सा, यानी 50 k निर्धारित करते हैं। ।, से गुणा करो! (अंश का भाजक)।

इस प्रकार, हम कुछ जीवन के अनुभवों और छात्रों के अवलोकन से संबंधित कई कार्यों के समाधान पर विचार कर रहे हैं-के: "-टी-एम 25 सेमी है। 1 मीटर में कितने सेंटीमीटर हैं?"

फेसला। 25 सेमी -4 = 100 सेमी।

“3 मीटर पदार्थ पोशाक पर खर्च किया गया था, जो कि -3- पूरे बंदी मामले का है। आपने कितनी सामग्री खरीदी? फेसला। 3 एमएक्स3 = 9 मीटर - यह सब खरीदा हुआ मामला है। अब हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि - ^ 9 मीटर से 3 मीटर है, यानी, हम जांच सकते हैं कि - डी - 9 मीटर से हम पा सकते हैं। आपको 9 मीटर: 3 = 3 मीटर चाहिए। 3 मीटर सभी खरीदे गए पदार्थ का एक हिस्सा है। तो समस्या को सही ढंग से हल किया जाता है।

जब छात्र एक भाग से संख्या ज्ञात करने के लिए समस्याओं को हल करना सीखते हैं, तो इन समस्याओं के समाधान की तुलना पहले से ज्ञात लोगों के साथ करना आवश्यक है, अर्थात किसी संख्या के एक भाग को खोजने के लिए समस्याओं के साथ, समानताएं प्रकट करना, स्थिति में अंतर, प्रश्न और समस्या को सुलझाना।

केवल तुलनात्मक विश्लेषण की विधि ही इन दो प्रकार की समस्याओं को अलग करना और उनके समाधान के लिए सचेत रूप से दृष्टिकोण करना संभव बनाती है। तुलना के लिए, यह सबसे प्रभावी है, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, एक ही भूखंड के साथ कार्यों की पेशकश करना:

“कक्षा में 16 छात्र हैं। लड़कियां मेकअप-टी- सभी छात्रों का हिस्सा हैं। कक्षा में कितनी लड़कियां हैं? समाधान खोजें -जी 16 छात्रों से। 16 खाते: 4=4 खाते

जवाब। कक्षा में 4 लड़कियां हैं।

"कक्षा में 4 लड़कियां हैं, जो सभी छात्रों का हिस्सा है)! कक्षा। कक्षा में कितने विध्यार्थी है?

4 खाते -4=16 खाते

जवाब। कक्षा में 16 छात्र हैं।